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Ecuaciones Diferenciales
Catalina DomınguezRicardo Prato
Universidad del Norte
Departamento de matematicas y estadıstica
Semana 13
05-08.10.2015
Pagina 1 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Sistema Masa-Resorte
Sistema Masa-Resorte
l
Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)
Sistema Masa-Resorte
l
Masa
Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)
Posicion de equilibrio:
Sistema Masa-Resorte
l
Masa
l
Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)
Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s
Sistema Masa-Resorte
l
Masa
l
s
Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)
Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s
mg − ks = 0
.
Sistema Masa-Resorte
l
Masa
l
s
Masa
F
Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)
Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s
mg − ks = 0
.En movimiento, se
Sistema Masa-Resorte
l
Masa
l
s
Masa
F
l
ss
Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)
Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s
mg − ks = 0
.En movimiento, se
Sistema Masa-Resorte
l
Masa
l
s
Masa
F
x
l
ss
Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)
Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s
mg − ks = 0
.En movimiento, seproduce undesplazamiento x
Sistema Masa-Resorte
l
Masa
l
s
Masa
x
l
ss
Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)
Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s
mg − ks = 0
.En movimiento, seproduce undesplazamiento x
ma = −k(x+ s) +mg
Sistema Masa-Resorte
l
Masa
l
s
Masa
x
l
ss
Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)
Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s
mg − ks = 0
.En movimiento, seproduce undesplazamiento x
ma = −k(x+ s) +mg
ma = −kx−ks+mg
Sistema Masa-Resorte
l
Masa
l
s
Masa
x
l
ss
Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)
Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s
mg − ks = 0
.En movimiento, seproduce undesplazamiento x
ma = −k(x+ s) +mg
ma = −kx−ks+mg
md2x
dt2= −kx
Sistema Masa-Resorte
l
Masa
l
s
Masa
x
l
ss
Movimiento libre No amortiguado
d2x
dt2+ ω2x = 0, ω =
√
k
m
Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)
Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s
mg − ks = 0
.En movimiento, seproduce undesplazamiento x
ma = −k(x+ s) +mg
ma = −kx−ks+mg
md2x
dt2= −kx
Sistema Masa-Resorte
l
Masa
l
s
Masa
x
l
ss
Movimiento libre No amortiguado
d2x
dt2+ ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)
Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s
mg − ks = 0
.En movimiento, seproduce undesplazamiento x
ma = −k(x+ s) +mg
ma = −kx−ks+mg
md2x
dt2= −kx
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m.
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g ≈ 10m/s2
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g ≈ 10m/s2
W = mg,⇒
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g ≈ 10m/s2
W = mg,⇒ m =10N
10m/s2=
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g ≈ 10m/s2
W = mg,⇒ m =10N
10m/s2= 1Kg
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g ≈ 10m/s2
W = mg,⇒ m =10N
10m/s2= 1Kg
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g ≈ 10m/s2
W = mg,⇒ m =10N
10m/s2= 1Kg
En movimiento:
Mov. libre no amortiguado
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g ≈ 10m/s2
W = mg,⇒ m =10N
10m/s2= 1Kg
En movimiento:
Mov. libre no amortiguado
x′′(t) +k
mx(t) = 0
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g ≈ 10m/s2
W = mg,⇒ m =10N
10m/s2= 1Kg
En movimiento:
Mov. libre no amortiguado
x′′(t) +k
mx(t) = 0
x′′(t) +100
1x(t) = 0
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g ≈ 10m/s2
W = mg,⇒ m =10N
10m/s2= 1Kg
En movimiento:
Mov. libre no amortiguado
x′′(t) +k
mx(t) = 0
x′′(t) +100
1x(t) = 0
x′′(t) + 100x(t) = 0
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g ≈ 10m/s2
W = mg,⇒ m =10N
10m/s2= 1Kg
En movimiento:
Mov. libre no amortiguado
x′′(t) +k
mx(t) = 0
x′′(t) +100
1x(t) = 0
x′′(t) + 100x(t) = 0
x(0) =0.5, x′(0) = 10
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g ≈ 10m/s2
W = mg,⇒ m =10N
10m/s2= 1Kg
En movimiento:
Mov. libre no amortiguado
x′′(t) +k
mx(t) = 0
x′′(t) +100
1x(t) = 0
x′′(t) + 100x(t) = 0
x(0) =0.5, x′(0) = 10
r2+100 = 0,
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g ≈ 10m/s2
W = mg,⇒ m =10N
10m/s2= 1Kg
En movimiento:
Mov. libre no amortiguado
x′′(t) +k
mx(t) = 0
x′′(t) +100
1x(t) = 0
x′′(t) + 100x(t) = 0
x(0) =0.5, x′(0) = 10
r2+100 = 0, r = ±10i
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g ≈ 10m/s2
W = mg,⇒ m =10N
10m/s2= 1Kg
En movimiento:
Mov. libre no amortiguado
x′′(t) +k
mx(t) = 0
x′′(t) +100
1x(t) = 0
x′′(t) + 100x(t) = 0
x(0) =0.5, x′(0) = 10
r2+100 = 0, r = ±10i
x(t) = c1 cos(10t) + c2 sin(10t)
Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.
En equilibrio estatico:
Hallar k
Fresorte = W
k · 12m = 50N
k = 100
Hallar m. Si g ≈ 10m/s2
W = mg,⇒ m =10N
10m/s2= 1Kg
En movimiento:
Mov. libre no amortiguado
x′′(t) +k
mx(t) = 0
x′′(t) +100
1x(t) = 0
x′′(t) + 100x(t) = 0
x(0) =0.5, x′(0) = 10
r2+100 = 0, r = ±10i
x(t) = c1 cos(10t) + c2 sin(10t)
x(t) =1
2cos(10t) + 1 · sin(10t)
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x′′ + ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x′′ + ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)
Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x′′ + ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)
Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x′′ + ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)
C =√
c21+ c2
2
Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x′′ + ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)
C =√
c21+ c2
2
x(t) =(
c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C
C
Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x′′ + ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)
C =√
c21+ c2
2
x(t) =(
c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C
C
= C(c1C
cos(ωt) +c2C
sin(ωt))
Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x′′ + ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)
C =√
c21+ c2
2
x(t) =(
c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C
C
= C(c1C
cos(ωt) +c2C
sin(ωt))
c2
c1
C
α
Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x′′ + ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)
C =√
c21+ c2
2
x(t) =(
c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C
C
= C(c1C
cos(ωt) +c2C
sin(ωt))
c2
c1
C
α
cos(α) =
Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x′′ + ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)
C =√
c21+ c2
2
x(t) =(
c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C
C
= C(c1C
cos(ωt) +c2C
sin(ωt))
c2
c1
C
α
cos(α) =c1C
Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x′′ + ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)
C =√
c21+ c2
2
x(t) =(
c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C
C
= C(c1C
cos(ωt) +c2C
sin(ωt))
c2
c1
C
α
cos(α) =c1C
sin(α) =c2C
Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x′′ + ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)
C =√
c21+ c2
2
x(t) =(
c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C
C
= C(c1C
cos(ωt) +c2C
sin(ωt))
= C(
cos(α) cos(ωt) + sin(α) sin(ωt))
c2
c1
C
α
cos(α) =c1C
sin(α) =c2C
Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x′′ + ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)
C =√
c21+ c2
2
x(t) =(
c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C
C
= C(c1C
cos(ωt) +c2C
sin(ωt))
= C(
cos(α) cos(ωt) + sin(α) sin(ωt))
= C cos(ωt− α)
c2
c1
C
α
cos(α) =c1C
sin(α) =c2C
Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x′′ + ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)
C =√
c21+ c2
2
x(t) =(
c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C
C
= C(c1C
cos(ωt) +c2C
sin(ωt))
= C(
cos(α) cos(ωt) + sin(α) sin(ωt))
= C cos(ωt− α) C = Amplitud
c2
c1
C
α
cos(α) =c1C
sin(α) =c2C
Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
... continuacion ...
Movimiento libre no amortiguado
x′′ + ω2x = 0, ω =
√
k
m
x(0) = x0, x′(0) = v0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)
α
C
C =√
c21+ c2
2
x(t) =(
c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C
C
= C(c1C
cos(ωt) +c2C
sin(ωt))
= C(
cos(α) cos(ωt) + sin(α) sin(ωt))
= C cos(ωt− α) C = Amplitud
c2
c1
C
α
cos(α) =c1C
sin(α) =c2C
Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Sistema Masa-Resorte
Masa
F
x
l + s
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
Movimiento libre amortiguado
Fuerza amortiguamiento:
famort. = βdx
dt
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
Movimiento libre amortiguado
Fuerza amortiguamiento:
famort. = βdx
dt
ma = mg − k(x+ s)− βdx
dt
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
Movimiento libre amortiguado
Fuerza amortiguamiento:
famort. = βdx
dt
ma = mg − k(x+ s)− βdx
dt
md2x
dt2= −kx− β
dx
dt
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
Movimiento libre amortiguado
Fuerza amortiguamiento:
famort. = βdx
dt
ma = mg − k(x+ s)− βdx
dt
md2x
dt2= −kx− β
dx
dtd2x
dt2+
k
mx+
β
m
dx
dt= 0
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
Movimiento libre amortiguado
Fuerza amortiguamiento:
famort. = βdx
dt
ma = mg − k(x+ s)− βdx
dt
md2x
dt2= −kx− β
dx
dtd2x
dt2+
k
mx+
β
m
dx
dt= 0
d2x
dt2+ 2λ
dx
dt+ ω2x = 0
2λ =β
mω2 =
k
m
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
Movimiento libre amortiguado
Fuerza amortiguamiento:
famort. = βdx
dt
ma = mg − k(x+ s)− βdx
dt
md2x
dt2= −kx− β
dx
dtd2x
dt2+
k
mx+
β
m
dx
dt= 0
d2x
dt2+ 2λ
dx
dt+ ω2x = 0
2λ =β
mω2 =
k
mEcuacion caracterıstica:
m2 + 2λm+ ω2 = 0
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
Movimiento libre amortiguado
Fuerza amortiguamiento:
famort. = βdx
dt
ma = mg − k(x+ s)− βdx
dt
md2x
dt2= −kx− β
dx
dtd2x
dt2+
k
mx+
β
m
dx
dt= 0
d2x
dt2+ 2λ
dx
dt+ ω2x = 0
2λ =β
mω2 =
k
mEcuacion caracterıstica:
m2 + 2λm+ ω2 = 0 ⇒ m1,2 = −λ±√
λ2 − ω2
Sistema Masa-Resorte
Caso I: λ2 − ω2 > 0 (Sobre-amortiguamiento)
En este caso β > k y las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1e√λ2−ω2t + C2e
−√λ2−ω2t
)
Sistema Masa-Resorte
Caso I: λ2 − ω2 > 0 (Sobre-amortiguamiento)
En este caso β > k y las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1e√λ2−ω2t + C2e
−√λ2−ω2t
)
1
2
3
0.5 1.0 1.5 2.0−0.5
e−λt
Sistema Masa-Resorte
Caso I: λ2 − ω2 > 0 (Sobre-amortiguamiento)
En este caso β > k y las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1e√λ2−ω2t + C2e
−√λ2−ω2t
)
1
2
3
0.5 1.0 1.5 2.0−0.5
C1e√λ2−ω2t + C2e
−√λ2−ω2te−λt
Sistema Masa-Resorte
Caso I: λ2 − ω2 > 0 (Sobre-amortiguamiento)
En este caso β > k y las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1e√λ2−ω2t + C2e
−√λ2−ω2t
)
1
2
3
0.5 1.0 1.5 2.0−0.5
C1e√λ2−ω2t + C2e
−√λ2−ω2te−λt
x(t)
Sistema Masa-Resorte
Caso I: λ2 − ω2 > 0 (Sobre-amortiguamiento)
En este caso β > k y las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1e√λ2−ω2t + C2e
−√λ2−ω2t
)
1
2
3
0.5 1.0 1.5 2.0−0.5
C1e√λ2−ω2t + C2e
−√λ2−ω2te−λt
x(t)
El cuerpo puede pasar por el puntode equilibrio, pero NO logra realizaruna oscilacion completa
Sistema Masa-Resorte
Caso II: λ2 − ω2 = 0 (Crıticamente amortiguamiento)
En este caso las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1 + C2t)
Sistema Masa-Resorte
Caso II: λ2 − ω2 = 0 (Crıticamente amortiguamiento)
En este caso las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1 + C2t)
1
2
3
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0
e−λt
Sistema Masa-Resorte
Caso II: λ2 − ω2 = 0 (Crıticamente amortiguamiento)
En este caso las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1 + C2t)
1
2
3
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0
C1 + C2te−λt
Sistema Masa-Resorte
Caso II: λ2 − ω2 = 0 (Crıticamente amortiguamiento)
En este caso las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1 + C2t)
1
2
3
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0
C1 + C2te−λt
x(t)
Sistema Masa-Resorte
Caso II: λ2 − ω2 = 0 (Crıticamente amortiguamiento)
En este caso las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1 + C2t)
1
2
3
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0
C1 + C2te−λt
x(t)
La masa puede pasar por el puntode equilibrio a lo sumo una vez. Nose presentan oscilaciones
Sistema Masa-Resorte
Caso II: λ2 − ω2 = 0 (Crıticamente amortiguamiento)
En este caso las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1 + C2t)
1
2
3
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0
C1 + C2te−λt
x(t)
La masa puede pasar por el puntode equilibrio a lo sumo una vez. Nose presentan oscilaciones
Sistema Masa-Resorte
Caso III: ∆ := λ2 − ω2 < 0 (Sub-amortiguamiento)
En este caso β < k y las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1 cos√−∆ t+ C2 sin
√−∆ t
)
Sistema Masa-Resorte
Caso III: ∆ := λ2 − ω2 < 0 (Sub-amortiguamiento)
En este caso β < k y las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1 cos√−∆ t+ C2 sin
√−∆ t
)
2
4
−2
−4
1 2 3 4 5 6
e−λt
Sistema Masa-Resorte
Caso III: ∆ := λ2 − ω2 < 0 (Sub-amortiguamiento)
En este caso β < k y las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1 cos√−∆ t+ C2 sin
√−∆ t
)
2
4
−2
−4
1 2 3 4 5 6
C1 cos√−∆ t+ C2 sin
√−∆ t
e−λt
Sistema Masa-Resorte
Caso III: ∆ := λ2 − ω2 < 0 (Sub-amortiguamiento)
En este caso β < k y las soluciones vienen dadas por
x(t) = e−λt(
C1 cos√−∆ t+ C2 sin
√−∆ t
)
2
4
−2
−4
1 2 3 4 5 6
C1 cos√−∆ t+ C2 sin
√−∆ t
e−λt
x(t)
Sistema Masa-Resorte
Masa
F
x
l + s
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
F
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
F
Movimiento forzado
En este caso
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
F
Movimiento forzado
En este caso
d2x
dt2+ 2λ
dx
dt+ ω2x =
Fm
2λ =β
mω2 =
k
m
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
F
Movimiento forzado
En este caso
d2x
dt2+ 2λ
dx
dt+ ω2x =
Fm
2λ =β
mω2 =
k
m
dondex(t) = xc(t) + xp(t)
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
F
Movimiento forzado
En este caso
d2x
dt2+ 2λ
dx
dt+ ω2x =
Fm
2λ =β
mω2 =
k
m
dondex(t) = xc(t) + xp(t)
1 xc(t) se dice solucion transitoria
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
F
Movimiento forzado
En este caso
d2x
dt2+ 2λ
dx
dt+ ω2x =
Fm
2λ =β
mω2 =
k
m
dondex(t) = xc(t) + xp(t)
1 xc(t) se dice solucion transitoria(xc(t) → 0 cuando t → ∞)
Sistema Masa-Resorte
Masa
x
l + s
F
Movimiento forzado
En este caso
d2x
dt2+ 2λ
dx
dt+ ω2x =
Fm
2λ =β
mω2 =
k
m
dondex(t) = xc(t) + xp(t)
1 xc(t) se dice solucion transitoria(xc(t) → 0 cuando t → ∞)
2 xp(t) se dice solucion de estado estacionario
Movimiento Libre Forzado mx′′(t) + βx′(t) + kx = F (t)
x(t) = xc(t) + xp(t)
Pagina 11 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Movimiento Libre Forzado mx′′(t) + βx′(t) + kx = F (t)
x(t) = xc(t) + xp(t)
1
−1
−2
1 2 3 4 5 6 7 8
Solucion transitoria xc
Pagina 11 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Movimiento Libre Forzado mx′′(t) + βx′(t) + kx = F (t)
x(t) = xc(t) + xp(t)
1
−1
−2
1 2 3 4 5 6 7 8
Solucion transitoria xc
Solucion estable xp
Pagina 11 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Movimiento Libre Forzado mx′′(t) + βx′(t) + kx = F (t)
x(t) = xc(t) + xp(t)
1
−1
−2
1 2 3 4 5 6 7 8
Solucion transitoria xc
Solucion estable xp
Solucion estable x(t) = xc(t) + xp(t)
Pagina 11 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Ejemplo
La solucion de
d2x
dt2+ ω2x = F0 sin γt
x(0) = 0 x′(0) = 0
donde γ 6= ω viene dada por
x(t) =F0
ω(ω2 − γ2)(−γ sinωt+ ω sin γt)
Pagina 12 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Ejemplo
La solucion de
d2x
dt2+ ω2x = F0 sin γt
x(0) = 0 x′(0) = 0
donde γ 6= ω viene dada por
x(t) =F0
ω(ω2 − γ2)(−γ sinωt+ ω sin γt)
Pregunta
¿ limγ→ω
x(t)?
Pagina 12 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0
Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0
ω2 − γ2sin(γt)
Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0
ω2 − γ2sin(γt)
Al resolver el PVI
x(t) =F0
ω(ω2 − γ2)
(
− γ sin(ωt) + ω sin(γt))
Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0
ω2 − γ2sin(γt)
Al resolver el PVI
x(t) =F0
ω(ω2 − γ2)
(
− γ sin(ωt) + ω sin(γt))
Si γ → ω
Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0
ω2 − γ2sin(γt)
Al resolver el PVI
x(t) =F0
ω(ω2 − γ2)
(
− γ sin(ωt) + ω sin(γt))
Si γ → ω
limγ→ω
−γ sin(ωt) + ω sin(γt)
ω(ω2 − γ2)=
Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0
ω2 − γ2sin(γt)
Al resolver el PVI
x(t) =F0
ω(ω2 − γ2)
(
− γ sin(ωt) + ω sin(γt))
Si γ → ω
limγ→ω
−γ sin(ωt) + ω sin(γt)
ω(ω2 − γ2)= lim
γ→ω
ddγ
(
− γ sin(ωt) + ω sin(γt))
ddγ
(
ω(ω2 − γ2))
Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0
ω2 − γ2sin(γt)
Al resolver el PVI
x(t) =F0
ω(ω2 − γ2)
(
− γ sin(ωt) + ω sin(γt))
Si γ → ω
limγ→ω
−γ sin(ωt) + ω sin(γt)
ω(ω2 − γ2)= lim
γ→ω
ddγ
(
− γ sin(ωt) + ω sin(γt))
ddγ
(
ω(ω2 − γ2))
= limγ→ω
− sin(ωt) + ωt cos(γt)
−2ωγ
Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0
x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0
ω2 − γ2sin(γt)
Al resolver el PVI
x(t) =F0
ω(ω2 − γ2)
(
− γ sin(ωt) + ω sin(γt))
Si γ → ω
limγ→ω
−γ sin(ωt) + ω sin(γt)
ω(ω2 − γ2)= lim
γ→ω
ddγ
(
− γ sin(ωt) + ω sin(γt))
ddγ
(
ω(ω2 − γ2))
= limγ→ω
− sin(ωt) + ωt cos(γt)
−2ωγ=
− sin(ωt) + ωt cos(ωt)
−2ω2
Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Ejemplo
limα→ω
x(t) =F0
2ω2sin(ωt)− F0
2ωt cos(ωt)
Pagina 14 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Ejemplo
limα→ω
x(t) =F0
2ω2sin(ωt)− F0
2ωt cos(ωt)
2
4
6
8
−2
−4
−6
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2
Pagina 14 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Ejemplo
limα→ω
x(t) =F0
2ω2sin(ωt)− F0
2ωt cos(ωt)
2
4
6
8
−2
−4
−6
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2
Pagina 14 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Ejemplo: Resonancia
limα→ω
x(t) =F0
2ω2sin(ωt)− F0
2ωt cos(ωt)
2
4
6
8
−2
−4
−6
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2
Pagina 14 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Resonancia
Si no ve el video consulte:
http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw
Ejemplo
1 Una masa de 3Kg esta fija al extremo de un resorte quese estira20 cm por una fuerza de 15N . Se pone en movimiento con la posicioninicial de x0 = 0 y la velocidad inicial de v0 = −10m/s. Encuentre laamplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento resultante.
2 Una masa que pesa 100K esta sujeta al extremos de un resorte que seha estirado 1m mediante una fuerza de 100K. Otra fuerza F0 cos(ωt)actua sobre la masa. ¿A que frecuencia (en hertzios) ocurriran lasoscilaciones de resonancia? Haga casa omiso del amortiguamiento.
3 A mass of 1 slug, when attached to a spring, stretches it 2 feet andthen comes to rest in the equilibrium position. Starting at t = 0, anexternal force equal to f(t) = 8 sin 4t is applied to the system. Findthe equation of motion if the surrounding medium offers a dampingforce numerically equal to 8 times the instantaneous velocity.
Pagina 16 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
.Circuitos RLC
E
R
L
C
Carga: q(t)
Voltaje: V (t)
Corriente: i(t)
Resistencia: R
Fuente: E
Capacitancia: C
Inductancia: L
.Circuitos RLC
E
R
L
C
Carga: q(t)
Voltaje: V (t)
Corriente: i(t)
Resistencia: R
Fuente: E
Capacitancia: C
Inductancia: L
Caıda de voltaje en el condensador:q(t)
C
.Circuitos RLC
E
R
L
C
Carga: q(t)
Voltaje: V (t)
Corriente: i(t)
Resistencia: R
Fuente: E
Capacitancia: C
Inductancia: L
Caıda de voltaje en el condensador:q(t)
CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri
.Circuitos RLC
E
R
L
C
Carga: q(t)
Voltaje: V (t)
Corriente: i(t)
Resistencia: R
Fuente: E
Capacitancia: C
Inductancia: L
Caıda de voltaje en el condensador:q(t)
CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri
Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)
dt
.Circuitos RLC
E
R
L
C
Carga: q(t)
Voltaje: V (t)
Corriente: i(t)
Resistencia: R
Fuente: E
Capacitancia: C
Inductancia: L
Caıda de voltaje en el condensador:q(t)
CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri
Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)
dtUsando la segunda ley de Kirchhoff
.Circuitos RLC
E
R
L
C
Carga: q(t)
Voltaje: V (t)
Corriente: i(t)
Resistencia: R
Fuente: E
Capacitancia: C
Inductancia: L
Caıda de voltaje en el condensador:q(t)
CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri
Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)
dtUsando la segunda ley de Kirchhoff
Ldi(t)
dt
.Circuitos RLC
E
R
L
C
Carga: q(t)
Voltaje: V (t)
Corriente: i(t)
Resistencia: R
Fuente: E
Capacitancia: C
Inductancia: L
Caıda de voltaje en el condensador:q(t)
CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri
Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)
dtUsando la segunda ley de Kirchhoff
Ldi(t)
dt+Ri(t)
.Circuitos RLC
E
R
L
C
Carga: q(t)
Voltaje: V (t)
Corriente: i(t)
Resistencia: R
Fuente: E
Capacitancia: C
Inductancia: L
Caıda de voltaje en el condensador:q(t)
CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri
Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)
dtUsando la segunda ley de Kirchhoff
Ldi(t)
dt+Ri(t) +
1
Cq(t) =
.Circuitos RLC
E
R
L
C
Carga: q(t)
Voltaje: V (t)
Corriente: i(t)
Resistencia: R
Fuente: E
Capacitancia: C
Inductancia: L
Caıda de voltaje en el condensador:q(t)
CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri
Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)
dtUsando la segunda ley de Kirchhoff
Ldi(t)
dt+Ri(t) +
1
Cq(t) = E(t)
.Circuitos RLC
E
R
L
C
Carga: q(t)
Voltaje: V (t)
Corriente: i(t)
Resistencia: R
Fuente: E
Capacitancia: C
Inductancia: L
Caıda de voltaje en el condensador:q(t)
CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri
Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)
dtUsando la segunda ley de Kirchhoff
Ldi(t)
dt+Ri(t) +
1
Cq(t) = E(t)
Ld2q(t)
dt2+R
dq(t)
dt+
1
Cq(t) = E(t)
Si E(t) = 0
Ld2q(t)
dt2+R
dq(t)
dt+
1
Cq(t) = 0
las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.
Pagina 18 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Si E(t) = 0
Ld2q(t)
dt2+R
dq(t)
dt+
1
Cq(t) = 0
las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.La ecuacion caracterıstica para esta dada por
Lm2 +Rm+1
C= 0
Pagina 18 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Si E(t) = 0
Ld2q(t)
dt2+R
dq(t)
dt+
1
Cq(t) = 0
las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.La ecuacion caracterıstica para esta dada por
Lm2 +Rm+1
C= 0 ⇒ m1,2 =
−R±√
R2 − 4LC
2L
Pagina 18 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Si E(t) = 0
Ld2q(t)
dt2+R
dq(t)
dt+
1
Cq(t) = 0
las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.La ecuacion caracterıstica para esta dada por
Lm2 +Rm+1
C= 0 ⇒ m1,2 =
−R±√
R2 − 4LC
2L
Lo anterior define 3 estados del circuito dependiendo del valor deldiscriminante:
Pagina 18 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Si E(t) = 0
Ld2q(t)
dt2+R
dq(t)
dt+
1
Cq(t) = 0
las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.La ecuacion caracterıstica para esta dada por
Lm2 +Rm+1
C= 0 ⇒ m1,2 =
−R±√
R2 − 4LC
2L
Lo anterior define 3 estados del circuito dependiendo del valor deldiscriminante:
Estadoamorti-guado
Discriminante
∆ := R2 − 4LC
Solucion
sobre R2 − 4LC
> 0, q(t) = e−R
2Lt(C1e
√∆t + C2e
√∆t)
crıtico R2 − 4LC
= 0 q(t) = e−R
2Lt(C1 + C2t)
sub R2 − 4LC< O q(t) = e
−R
2Lt(C1 cos
√−∆t+ C2 sin
√−∆t)
Pagina 18 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y lasvibraciones electricas no tienden a cero cuando t crece sin lımite, larespuesta del circuito es armonica simple.
Pagina 19 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato
Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y lasvibraciones electricas no tienden a cero cuando t crece sin lımite, larespuesta del circuito es armonica simple.
En cada uno de estos tres casos la solucion general de q(t) contiene el
factor e−R
2Lt, y ası
q(t) → 0 cuando t → ∞
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Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y lasvibraciones electricas no tienden a cero cuando t crece sin lımite, larespuesta del circuito es armonica simple.
En cada uno de estos tres casos la solucion general de q(t) contiene el
factor e−R
2Lt, y ası
q(t) → 0 cuando t → ∞
En el caso subamortiguado cuando q(0) = q0, la carga en elcondensador oscila a medida que decae, en otras palabras, elcondensador se carga y descarga cuando t → ∞.
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Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y lasvibraciones electricas no tienden a cero cuando t crece sin lımite, larespuesta del circuito es armonica simple.
En cada uno de estos tres casos la solucion general de q(t) contiene el
factor e−R
2Lt, y ası
q(t) → 0 cuando t → ∞
En el caso subamortiguado cuando q(0) = q0, la carga en elcondensador oscila a medida que decae, en otras palabras, elcondensador se carga y descarga cuando t → ∞.
Cuando el voltaje aplicado en el circuito E(t) 6= 0 , las vibracioneselectricas se dicen que estan forzadas. En el caso en que R 6= 0, lasolucion de la homogenea asociada qc(t), se denomina una soluciontransciente o remanente (transient solution).
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Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y lasvibraciones electricas no tienden a cero cuando t crece sin lımite, larespuesta del circuito es armonica simple.
En cada uno de estos tres casos la solucion general de q(t) contiene el
factor e−R
2Lt, y ası
q(t) → 0 cuando t → ∞
En el caso subamortiguado cuando q(0) = q0, la carga en elcondensador oscila a medida que decae, en otras palabras, elcondensador se carga y descarga cuando t → ∞.
Cuando el voltaje aplicado en el circuito E(t) 6= 0 , las vibracioneselectricas se dicen que estan forzadas. En el caso en que R 6= 0, lasolucion de la homogenea asociada qc(t), se denomina una soluciontransciente o remanente (transient solution).
Si E(t) es periodica o una constante, entonces la solucion particularqp(t) de se dice solucion de estado estacionario (steady-statesolution).
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Ejemplo
1 Find the charge on the capacitor in an RLC series circuit when L = 1
2
h, R = 10Ω , C = 0.01 f, E(t) = 150 V, q(0) = 1 C, and i(0) = 0 A.What is the charge on the capacitor after a long time?
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Ejemplo
1 Find the charge on the capacitor in an RLC series circuit when L = 1
2
h, R = 10Ω , C = 0.01 f, E(t) = 150 V, q(0) = 1 C, and i(0) = 0 A.What is the charge on the capacitor after a long time?
2 Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRCen serie cuando L = 1h, R = 2Ω, C = 1/4 y E(t) = 50 cos(t)V .
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