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Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
).(T.RCo220
90R
).(T.R360
180R
)(RT
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2013-III
TRIGONOMETRÍA “Reducción al Primer Cuadrante” Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con reducción al primer cuadrante. Aplicar técnicas empleadas en la comprobación de diversas identidades.
Aplicar razones trigonométricas equivalentes de ángulos mayores a 360°, menores a 360º y negativos.
Def inición:
Es el procedim iento m ediante el cual se determ inan las razones trigonom étricas de un ángulo que no es a gudo, en función de otro que sí lo sea.
La conversión de una razón trigonométrica (R.T) de u n ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un á ngulo del primer cuadrante se llama:”reducción al pr imer cuadrante” También reducir al prim er cuadrante un ángulo significa encontrar los valores de las RT de cualquier á ngulo en forma directa mediante reglas prácticas.
Casos:
I. Ángulos cuyas medidas están en
<90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "α" se descom pone com o la suma o resta de un ángulo cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo qu e sea agudo; para luego aplicar :
Donde el signo que deberá anteponerse al resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original " α "
Por ejemplo; calculemos:
*
*
*
*
II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º: En este caso, se procede de la siguiente manera:
Por ejemplo, calculemos:
*
R.T.( ) R.T.( )
: no es agudo : sí es agudo
).(T.RCo220
90R
).(T.R360
180R
)(RT
2
3º30Cos)30º90(Senº120Sen
)(
2
1º60Cos)º60º180(Cosº120Cos
)(
3º30Cot)º30º270(Tanº240Tan
)(
2º30Csc)º30º360(Cscº330Csc
)(
R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º
q
Residuo
2
3º60Senº2580Sen * Tan 3285º = Tan45º = 1
2580º 360º
2520º 7
60º
3285º 360º
3240º 9
45º
Semana Nº 6
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
*
Si el ángulo estuv iese expresado en radianes, se pr ocede de la siguiente manera:
*
Es decir, si fuese: Se divide:
*
III. Ángulos de medida negativa: Se
procede de la siguiente manera:
Por ejemplo, calculemos:
*
*
IV. Ángulos relacionados:
1 .
2 .
Por ejemplo, calculemos:
En esta expresión note que:
Luego:
Reduciendo, quedaría C = 0
ROBLEMAS RESUELTOS
1. Reducir:
tg º sec ºsen( º )Q
cos( º ) ctg º csc º
270 90180
90 360 180
A) 0 B) -3 C)-1 D) 3 E) 1
RESOLUCIÓN
sen ctg cscQ
sen ctg csc
Q 1 1 1 1
2
3º60Senº2580Sen * Tan 3285º = Tan45º = 1
2580º 360º
2520º 7
60º
3285º 360º
3240º 9
45º
Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2
1200º 360º
1080º 3
120º
( )
133 4
132 33
1
127 6
126 21
1
12
1Sen
2Sen133
2
1
3
1Cos
3127Cos
*
133 4
132 33
1
127 6
126 21
1
12
1Sen
2Sen133
2
1
3
1Cos
3127Cos
*
2ba ; b
a.T.R
a 2bq
r este residuo reemplaza al numerador "a"
1315 8
51 164
35
3
1345
31345Sen
*
4
3Tan
41315Tan
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx
Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx
2
2º45Sen)º45(Sen
2
1º60Cos)º60(Cos
3)º30Cot()º30º90(Tanº120Tan)º120(Tan
)(
TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
180ºyx : Si
TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
360ºyx : Si
7
6Cos
7
5Cos
7
4Cos
7
3Cos
7
2Cos
7CosC
7
6Cos
7Cos
7
6
7
7
5Cos
7
2Cos
7
5
7
2
7
4Cos
7
3Cos
7
4
7
3
7
6Cos
7
5Cos
7
4Cos
7
4Cos
7
5Cos
7
6Cos C
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
RPTA.: C
2. Si
3
Calcule: sen cos
P
sec csc
15 92
927 1683
2 2
A) 3
16
B) 1
16
C) 1
16
D) 3/16 E) 5
16
RESOLUCIÓN
sen 15 sen 15 sen sen
cos cos 92
csc sec
1683
2
927sec csc
2
Reemplazando:
sen cos sen cosP
1csc sen
sen cos
sen cos 2 2
reemplazando:
3
P sen cos
2 2
3 3
2 2
3 1 3
2 2 16
RPTA.: A
3. Reduce:
cos x cos x cos xW
sen x
24 53
47
2
A) -1 B) 1 C) -3 D) 3 E) 0
RESOLUCIÓN
* cos x cosx
* cos x cos x cosx 24 2 12
* cos x cos x 53 52 cos x cosx
* sen x sen x
47 47
2 2
cosx cosx cosxW
cosx
W = 1 RPTA.: B
4. Siendo “ ” y “ ” las medidas de dos
ángulos complementarios:
32
23
64cos
42cos
ctg
tgQ
A) -1 B) 1 C) 0 D) -2 E) 2
RESOLUCIÓN
* 90
* cos cos 2 4 2 2 2 cos cos 180 2 2
* cos cos 4 6 4 4 2 cos 360º 2 cos2
* tg 3 2 tg 2 2 tg 180º tg
* ctg ctg 2 3 2 2 ctg ctg 180
cos tg cos
Q Qcos ctg cos
2 2
2 180 2
tg
ctg
90
RPTA.: D
5. Reducir:
3 4 67 7 7 7
H cos cos cos cos
A) 0 B) 1 C) 2 D) ½ E) 3
RESOLUCIÓN
3 4 67 7 7 7
H cos cos cos cos
sen x
322
2
22cos
2cos
ctg
ctgQ
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
3 3H cos cos cos cos
7 7 7 7
H cos7
3cos
7
3cos
7
cos
7
H = 0 RPTA.: A
6. Si: ctg20 a
Calcule: csc200ºsen110ºEcos290ºcsc430º
A) a B) -a C) 2a D)
2a E) 1
RESOLUCIÓN
( ) ( )
( )
csc200 sen110E ( )cos290 csc430
csc20 sen70E
sen20 csc70
csc20 cos20E
sen20 sec20
2
2
cos 20ºE
sen 20º
2
cos20E
sen20
2E ctg 20º
2E a RPTA.: D
ROBLEMA DE CLASE
1) Si , simplifique:
1º9022
122
CosCos
CosSenF
A) - 1
B) - ½
C) 0 D) ½ E) 1
2) Si SenA +2Cos2A = 0, Calcule el valor de F , Si:
ASenACosACxc
ATgASecACtgF
º360.º180.º180
º90.º180.º270
A) –8
B) -5
C) 5/4 D) 0 E) 8
3) Al reducir: (Examen de admisión 2011 – II)
xsenxctg
xxxtgR
40.2
91
90sec.2
37cos.99
a) 1 b) senx c) cosx d) - secx e) cscx
4) Si: cos 10º = a. ¿a que es igual
E = sen100º.cos190º? a) a b) 2a c) a/2 d) a2 e) -a2
(Segundo examen sumativo 2011 – II)
5) ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo que:
04
b2a36Ctg
8
b3a2Tg
a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6
6) Cuál es la relación que existe entre x e y.
2
89
10
2415
10
40 Cos
yxCtg
xTg
a) 2y = 3x b) y = 3x c) 2y – 3x = k d) y = 3x + k e) 2y – 3x = 2k
7) Sabiendo que:
Entonces el valor de: M = |sen + csc| en
términos de K es: (k > 0)
A)2K B) 1/K C) 2/K D) E)
8) En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple:
Entonces el valor del ángulo D es:
A) 45º B) 60º C) 90º D) 135º E) 150º
)sencos(2
77ctg
2
37Ksen
2
)1k( 2
k
)1k( 2
2
C
2
B
2
Asen
2
C
2
B
2
Acos)CBA(sen 22
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
9) Analice la veracidad de las proposiciones
siendo , Zn i . SennSen )(
ii .
6
5
6
5
2
3
3
2 CtgTgTg
iii . )()781( CosSecCosSec
iv.
xCtg
xnCtg
113
a) FFFF b) FFVF c) FVVV d) FVVF e) VFVF
10) Si a y b son ángulos complementarios,
simplificar la expresión:
baTgabCos
abTgbaSenM
1110.54
1413.76
a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1
11) Calcular el valor de F, Si:
12
31
12
29
12
23
12
11
CtgTg
CtgTg
F
A) 2
3
B) 2
2 C) 2
3 D) 3 E) 32
12) Calcular:
osTér
CosCosCosCosR
min29
30
29...
30
3
30
2
30
a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) – 2
13) En el triángulo ABC, Simplifique la expresión F, si:
2.
2.
2.
ASenCBCos
BASec
CSenCBCscSenA
F
A) CBSen B) CBCos C) 0 D) 1 E) 2
14) Si entonces al simplificar:
Se obtiene:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5
15) Si a y c son suplementarios, además a y b son complementarios. Reducir:
)(
)(
)(
)34()32cos(4
cbaSen
cbaSen
cbatg
cbCsccaM
a) -3 b)2 c) -1 d)-2 e) 0
16) Calcular el valor de
ZkkCos
SecSen
Tg
E
;2
)12(
6
253
3
109
6
143
a) 7
2 b) 7
2
c) 21
32 d) 21
32
e)15
32
PROBLEMA DE REPASO
1. Hallar s ot
x
y
(x;-5)13
a) 2/3 b)-3/2 c) -2/3 d)3/2 e) -2
2. Calcular el valor de:
os os n
os (
)
x y2
3secx.sec y cos(8x 9y)F
tgx tgy sen(9x 8y)
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
6
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
x
y
a) n b) n c)-1 d) n e)1
3. Si se cumple: *
+ [ ]
[ ] *
+
2/3
Calcular: a) -2/3 b) -3/2 c) 2/3 d) 1 e) 1/3
4. Si : s
; s
D t rmin r l v lor d ‘‘m’’ qu h qu sean suplementarios. a) 1/2 b) -1/2 c) -1/4 d) 0 e) ¼
5. Si: es centro, hallar: n| | | ot |
x
y
3
21
O1
a) -2 b) 2 c) 0 d) 10/3 e) -10/3
6. Si:
∑ (
) ∑ (
)
Calcule:
∑ *
+
a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2
7. Si ABCD es un cuadrado, calcular:
A
B C
D
M
a)-2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
8. Hallar: Ctg si ‘‘ ’’ s ntro
3
2
1
O
a)31/11 b)11/31 c) -31/11
d) -11/31 e) -1/3
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