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SEMINARIO 1Aritmetica y
Algebra
Ana Marıa Beltran
Nociones yproblemas dearitmetica
Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
Topicos de algebra
Operaciones basicas
SEMINARIO 1
Aritmetica y Algebra
Ana Marıa Beltran
Pre - Unal
Enero 29 de 2012
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 1 Aritmetica y Algebra Enero 29 de 2012 1 / 19
SEMINARIO 1Aritmetica y
Algebra
Ana Marıa Beltran
Nociones yproblemas dearitmetica
Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
Topicos de algebra
Operaciones basicas
1 Nociones y problemas de aritmeticaPotenciacionRadicacionLogaritmacion
2 Topicos de algebraOperaciones basicas
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 1 Aritmetica y Algebra Enero 29 de 2012 2 / 19
SEMINARIO 1Aritmetica y
Algebra
Ana Marıa Beltran
Nociones yproblemas dearitmetica
Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
Topicos de algebra
Operaciones basicas
Nociones y problemas de aritmetica
Conjuntos
Relaciones de pertenencia y contenencia
Ejercicio
Indique si la afirmacion o relacion es verdadera o falsa, dadoslos conjuntos:
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}, B = {2, 3, 5, 7},
C = {1, 3, 5, 7, 9}, D = {11, 13, 15, 17, 19}, E = {2, 3, 19}
1 5 ∈ B
2 9 ∈ E
3 11 /∈ C
4 19 ∈ A y 19 ∈ E
5 2 ∈ A, B , C y E
6 E ⊆ D
7 D ⊆ C
8 C * B
9 B ⊆ A
10 C * D
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 1 Aritmetica y Algebra Enero 29 de 2012 3 / 19
SEMINARIO 1Aritmetica y
Algebra
Ana Marıa Beltran
Nociones yproblemas dearitmetica
Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
Topicos de algebra
Operaciones basicas
Nociones y problemas de aritmetica
Logaritmacion, potenciacion y radicacion
ab = c ⇐⇒ b√c = a ⇐⇒ loga c = b
Potenciacion
Definicion
La potenciacion permite escribir un producto de factoresiguales de una forma simplificada de la siguiente manera
ab = c
donde a es la base; b es el exponente y c es la potencia.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 1 Aritmetica y Algebra Enero 29 de 2012 4 / 19
SEMINARIO 1Aritmetica y
Algebra
Ana Marıa Beltran
Nociones yproblemas dearitmetica
Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
Topicos de algebra
Operaciones basicas
Nociones y problemas de aritmetica
Propiedades
Multiplicacion de potencias con igual base
am × an = am+n
Division de potencias de igual base
am
an= am−n
Potencias con exponente cero
a0 = 1 para todo a 6= 0
Potencias con exponente uno
a1 = a para todo a
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Algebra
Ana Marıa Beltran
Nociones yproblemas dearitmetica
Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
Topicos de algebra
Operaciones basicas
Nociones y problemas de aritmetica
Propiedades
Multiplicacion de potencias con igual base
am × an = am+n
Division de potencias de igual base
am
an= am−n
Potencias con exponente cero
a0 = 1 para todo a 6= 0
Potencias con exponente uno
a1 = a para todo a
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Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
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Operaciones basicas
Nociones y problemas de aritmetica
Propiedades
Multiplicacion de potencias con igual base
am × an = am+n
Division de potencias de igual base
am
an= am−n
Potencias con exponente cero
a0 = 1 para todo a 6= 0
Potencias con exponente uno
a1 = a para todo a
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Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
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Operaciones basicas
Nociones y problemas de aritmetica
Propiedades
Multiplicacion de potencias con igual base
am × an = am+n
Division de potencias de igual base
am
an= am−n
Potencias con exponente cero
a0 = 1 para todo a 6= 0
Potencias con exponente uno
a1 = a para todo a
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Nociones yproblemas dearitmetica
Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
Topicos de algebra
Operaciones basicas
Nociones y problemas de aritmetica
Potencias de una potencia
(am)n = am×n
Multiplicaciones elevadas a un exponente
(a × b)n = an × bn
Divisiones elevadas a un exponente
(a
b
)n
=an
bn
Exponentes negativos
a−n =1
an
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Nociones yproblemas dearitmetica
Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
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Operaciones basicas
Nociones y problemas de aritmetica
Potencias de una potencia
(am)n = am×n
Multiplicaciones elevadas a un exponente
(a × b)n = an × bn
Divisiones elevadas a un exponente
(a
b
)n
=an
bn
Exponentes negativos
a−n =1
an
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Potenciacion
Radicacion
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Nociones y problemas de aritmetica
Potencias de una potencia
(am)n = am×n
Multiplicaciones elevadas a un exponente
(a × b)n = an × bn
Divisiones elevadas a un exponente
(a
b
)n
=an
bn
Exponentes negativos
a−n =1
an
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Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
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Operaciones basicas
Nociones y problemas de aritmetica
Potencias de una potencia
(am)n = am×n
Multiplicaciones elevadas a un exponente
(a × b)n = an × bn
Divisiones elevadas a un exponente
(a
b
)n
=an
bn
Exponentes negativos
a−n =1
an
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Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
Topicos de algebra
Operaciones basicas
Nociones y problemas de aritmetica Radicacion
Radicacion
Definicion
La radicacion es una operacion inversa a la potenciacion.
n√a = b
donde n es el ındice; a es el radicando y b es la raız.
En general:Si el radicando es positivo (a > 0) y,
Si n es par, n√a tiene dos valores, iguales en valor
absoluto pero de signo distinto.
Si n es impar, n√a tiene un unico valor positivo.
Si el radicando es negativo (a < 0) y,
Si n es par, n√a no existe.
Si n es impar, n√a tiene un unico valor, negativo.
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Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
Topicos de algebra
Operaciones basicas
Nociones y problemas de aritmetica Radicacion
Radicacion
Definicion
La radicacion es una operacion inversa a la potenciacion.
n√a = b
donde n es el ındice; a es el radicando y b es la raız.
En general:Si el radicando es positivo (a > 0) y,
Si n es par, n√a tiene dos valores, iguales en valor
absoluto pero de signo distinto.
Si n es impar, n√a tiene un unico valor positivo.
Si el radicando es negativo (a < 0) y,
Si n es par, n√a no existe.
Si n es impar, n√a tiene un unico valor, negativo.
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Nociones y problemas de aritmetica Radicacion
Radicacion
Definicion
La radicacion es una operacion inversa a la potenciacion.
n√a = b
donde n es el ındice; a es el radicando y b es la raız.
En general:Si el radicando es positivo (a > 0) y,
Si n es par, n√a tiene dos valores, iguales en valor
absoluto pero de signo distinto.
Si n es impar, n√a tiene un unico valor positivo.
Si el radicando es negativo (a < 0) y,
Si n es par, n√a no existe.
Si n es impar, n√a tiene un unico valor, negativo.
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Radicacion
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Nociones y problemas de aritmetica Radicacion
Radicacion
Definicion
La radicacion es una operacion inversa a la potenciacion.
n√a = b
donde n es el ındice; a es el radicando y b es la raız.
En general:Si el radicando es positivo (a > 0) y,
Si n es par, n√a tiene dos valores, iguales en valor
absoluto pero de signo distinto.
Si n es impar, n√a tiene un unico valor positivo.
Si el radicando es negativo (a < 0) y,
Si n es par, n√a no existe.
Si n es impar, n√a tiene un unico valor, negativo.
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Radicacion
Logaritmacion
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Nociones y problemas de aritmetica Radicacion
Radicacion
Definicion
La radicacion es una operacion inversa a la potenciacion.
n√a = b
donde n es el ındice; a es el radicando y b es la raız.
En general:Si el radicando es positivo (a > 0) y,
Si n es par, n√a tiene dos valores, iguales en valor
absoluto pero de signo distinto.
Si n es impar, n√a tiene un unico valor positivo.
Si el radicando es negativo (a < 0) y,
Si n es par, n√a no existe.
Si n es impar, n√a tiene un unico valor, negativo.
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Nociones y problemas de aritmetica Radicacion
Propiedades
Equivalencia en exponentes
n√a = a
1n
n√a × b = n
√a × n
√b
n
√a
b=
n√a
n√b
n
√
m√a × b = n×m
√a
n√an×p = ap
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Propiedades
Equivalencia en exponentes
n√a = a
1n
n√a × b = n
√a × n
√b
n
√a
b=
n√a
n√b
n
√
m√a × b = n×m
√a
n√an×p = ap
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Propiedades
Equivalencia en exponentes
n√a = a
1n
n√a × b = n
√a × n
√b
n
√a
b=
n√a
n√b
n
√
m√a × b = n×m
√a
n√an×p = ap
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Nociones y problemas de aritmetica Radicacion
Propiedades
Equivalencia en exponentes
n√a = a
1n
n√a × b = n
√a × n
√b
n
√a
b=
n√a
n√b
n
√
m√a × b = n×m
√a
n√an×p = ap
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Propiedades
Equivalencia en exponentes
n√a = a
1n
n√a × b = n
√a × n
√b
n
√a
b=
n√a
n√b
n
√
m√a × b = n×m
√a
n√an×p = ap
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Nociones y problemas de aritmetica Logaritmacion
Logaritmacion
Definicion
Se dice que b es el logaritmo en base a de c sı y solosı ab = c.
Propiedades
loga b × c = loga b + loga c
log
(b
c
)
= loga b − loga c
loga (bn) = n loga b
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Nociones y problemas de aritmetica Logaritmacion
Logaritmacion
Definicion
Se dice que b es el logaritmo en base a de c sı y solosı ab = c.
Propiedades
loga b × c = loga b + loga c
log
(b
c
)
= loga b − loga c
loga (bn) = n loga b
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Radicacion
Logaritmacion
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Nociones y problemas de aritmetica Logaritmacion
Logaritmacion
Definicion
Se dice que b es el logaritmo en base a de c sı y solosı ab = c.
Propiedades
loga b × c = loga b + loga c
log
(b
c
)
= loga b − loga c
loga (bn) = n loga b
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Topicos de algebra
Operaciones basicas
Nociones y problemas de aritmetica Logaritmacion
Propiedades
logan√b =
loga b
n
loga 1 = 0
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 1 Aritmetica y Algebra Enero 29 de 2012 10 / 19
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Radicacion
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Propiedades
logan√b =
loga b
n
loga 1 = 0
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Definicion
Expresion algebraica A las expresiones compuestas pornumeros y letras y las diferentes operaciones se les denominaalgebraicas.
Ejercicio
Construyamos, para cada situacion, una expresion algebraica.
(a) El producto de dos numeros desconocidos.
(b) El incremento en 500 del precio de un artıculo.
(c) La tercera parte de un precio.
(d) El cuadrado de un numero incrementado en la quintaparte del numero.
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Topicos de algebra
Definicion
Expresion algebraica A las expresiones compuestas pornumeros y letras y las diferentes operaciones se les denominaalgebraicas.
Ejercicio
Construyamos, para cada situacion, una expresion algebraica.
(a) El producto de dos numeros desconocidos.
(b) El incremento en 500 del precio de un artıculo.
(c) La tercera parte de un precio.
(d) El cuadrado de un numero incrementado en la quintaparte del numero.
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Definicion
Expresion algebraica A las expresiones compuestas pornumeros y letras y las diferentes operaciones se les denominaalgebraicas.
Ejercicio
Construyamos, para cada situacion, una expresion algebraica.
(a) El producto de dos numeros desconocidos.
(b) El incremento en 500 del precio de un artıculo.
(c) La tercera parte de un precio.
(d) El cuadrado de un numero incrementado en la quintaparte del numero.
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Definicion
Expresion algebraica A las expresiones compuestas pornumeros y letras y las diferentes operaciones se les denominaalgebraicas.
Ejercicio
Construyamos, para cada situacion, una expresion algebraica.
(a) El producto de dos numeros desconocidos.
(b) El incremento en 500 del precio de un artıculo.
(c) La tercera parte de un precio.
(d) El cuadrado de un numero incrementado en la quintaparte del numero.
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Definicion
Expresion algebraica A las expresiones compuestas pornumeros y letras y las diferentes operaciones se les denominaalgebraicas.
Ejercicio
Construyamos, para cada situacion, una expresion algebraica.
(a) El producto de dos numeros desconocidos.
(b) El incremento en 500 del precio de un artıculo.
(c) La tercera parte de un precio.
(d) El cuadrado de un numero incrementado en la quintaparte del numero.
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Definicion
Expresion algebraica A las expresiones compuestas pornumeros y letras y las diferentes operaciones se les denominaalgebraicas.
Ejercicio
Construyamos, para cada situacion, una expresion algebraica.
(a) El producto de dos numeros desconocidos.
(b) El incremento en 500 del precio de un artıculo.
(c) La tercera parte de un precio.
(d) El cuadrado de un numero incrementado en la quintaparte del numero.
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Definicion
Expresion algebraica A las expresiones compuestas pornumeros y letras y las diferentes operaciones se les denominaalgebraicas.
Ejercicio
Construyamos, para cada situacion, una expresion algebraica.
(a) El producto de dos numeros desconocidos.
(b) El incremento en 500 del precio de un artıculo.
(c) La tercera parte de un precio.
(d) El cuadrado de un numero incrementado en la quintaparte del numero.
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Topicos de algebra
Definicion
Terminos En la expresion algebraica 2x2 + 34 encontramosdos terminos: 2x2 y 34. El primero esta compuesto por uncoeficiente (parte numerica) y una parte literal (letras); elsegundo es un termino independiente, es decir, no tieneparte literal y, por tanto, no depende de esta.Los terminos en una expresion algebraica se separan por lossignos + o -.
Definicion
Polinomio Las expresiones algebraicas que tienen un solotermino con exponenetes enteros positivos en las variables sellaman monomios. Las expresiones que involucran la suma odiferencia de monomios se denominan polinomios.Dentro de los polinomios se encuentran los binomios (dosterminos) y los trinomios (tres terminos).
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 1 Aritmetica y Algebra Enero 29 de 2012 12 / 19
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Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
Topicos de algebra
Operaciones basicas
Topicos de algebra
Definicion
Terminos En la expresion algebraica 2x2 + 34 encontramosdos terminos: 2x2 y 34. El primero esta compuesto por uncoeficiente (parte numerica) y una parte literal (letras); elsegundo es un termino independiente, es decir, no tieneparte literal y, por tanto, no depende de esta.Los terminos en una expresion algebraica se separan por lossignos + o -.
Definicion
Polinomio Las expresiones algebraicas que tienen un solotermino con exponenetes enteros positivos en las variables sellaman monomios. Las expresiones que involucran la suma odiferencia de monomios se denominan polinomios.Dentro de los polinomios se encuentran los binomios (dosterminos) y los trinomios (tres terminos).
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Radicacion
Logaritmacion
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Operaciones basicas
Topicos de algebra
Nota
1 Expresiones como: −4x2, 13x
2,√2x2, 3x2 que son
monomios con la misma parte literal, reciben el nombrede terminos semejantes.
2 El grado de un monomio es la suma de los exponentesde la parte literal.
3 En un polinomio el termino de mayor grado indica elgrado de la expresion.
Ejercicio
¿Cual es el grado de los siguientes monomios?
3x2y5
−12x
3y2
m2n
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 1 Aritmetica y Algebra Enero 29 de 2012 13 / 19
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Radicacion
Logaritmacion
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Operaciones basicas
Topicos de algebra Operaciones basicas
Suma de polinomios
La suma de dos o mas polinomios da como resultado unpolinomio formado por la suma de los terminos de cadapolinomio. Cuando hay terminos semejantes, hacemosreduccion de tales terminos.
Ejemplo
Sumemos los polinomios
p(x , y) = 3x2y + 2xy + 4xy2 y q(x , y) = 4x2y + 3x + 5
p(x) + q(x) = 3x2y + 2xy + 4xy2 + 4x2y + 3x + 5
= 7x2y + 2xy + 4xy2 + 3x + 5
pues se suman los dos terminos semejantes
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 1 Aritmetica y Algebra Enero 29 de 2012 14 / 19
SEMINARIO 1Aritmetica y
Algebra
Ana Marıa Beltran
Nociones yproblemas dearitmetica
Potenciacion
Radicacion
Logaritmacion
Topicos de algebra
Operaciones basicas
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Suma de polinomios
La suma de dos o mas polinomios da como resultado unpolinomio formado por la suma de los terminos de cadapolinomio. Cuando hay terminos semejantes, hacemosreduccion de tales terminos.
Ejemplo
Sumemos los polinomios
p(x , y) = 3x2y + 2xy + 4xy2 y q(x , y) = 4x2y + 3x + 5
p(x) + q(x) = 3x2y + 2xy + 4xy2 + 4x2y + 3x + 5
= 7x2y + 2xy + 4xy2 + 3x + 5
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La suma de dos o mas polinomios da como resultado unpolinomio formado por la suma de los terminos de cadapolinomio. Cuando hay terminos semejantes, hacemosreduccion de tales terminos.
Ejemplo
Sumemos los polinomios
p(x , y) = 3x2y + 2xy + 4xy2 y q(x , y) = 4x2y + 3x + 5
p(x) + q(x) = 3x2y + 2xy + 4xy2 + 4x2y + 3x + 5
= 7x2y + 2xy + 4xy2 + 3x + 5
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Nociones yproblemas dearitmetica
Potenciacion
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Logaritmacion
Topicos de algebra
Operaciones basicas
Topicos de algebra Operaciones basicas
Sustraccion de polinomios
La diferencia de dos polinomios se obtiene adicionando alminuendo el opuesto del sustraendo.
Nota
El opuesto de un polinomio es el ponimonio que tiene losmismos terminos pero con signos opuestos.
Ejemplo
Calculemos la siguiente diferencia:
t(x) = (3x2 + 7x + 2)− (x2 + 2x + 1)
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Sustraccion de polinomios
La diferencia de dos polinomios se obtiene adicionando alminuendo el opuesto del sustraendo.
Nota
El opuesto de un polinomio es el ponimonio que tiene losmismos terminos pero con signos opuestos.
Ejemplo
Calculemos la siguiente diferencia:
t(x) = (3x2 + 7x + 2)− (x2 + 2x + 1)
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Sustraccion de polinomios
La diferencia de dos polinomios se obtiene adicionando alminuendo el opuesto del sustraendo.
Nota
El opuesto de un polinomio es el ponimonio que tiene losmismos terminos pero con signos opuestos.
Ejemplo
Calculemos la siguiente diferencia:
t(x) = (3x2 + 7x + 2)− (x2 + 2x + 1)
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Nociones yproblemas dearitmetica
Potenciacion
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Logaritmacion
Topicos de algebra
Operaciones basicas
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t(x) = 3x2 + 7x + 2 + (−x2 − 2x − 1)︸ ︷︷ ︸
opuesto del sustraendo
= 3x2 + 7x + 2− x2 − 2x − 1
= (3x2 − x2) + (7x − 2x) + (2− 1) = 2x2 + 5x + 1
Ejercicio
Calcular las siguientes diferencias:
(a) (3x2 − 8x − 5)− (3x2 − 12x − 2)
(b) (5x2 − 5)− (5x2 − 4x − 2)
(c) (−x + y − z)− (x + 3y − 6z)
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t(x) = 3x2 + 7x + 2 + (−x2 − 2x − 1)︸ ︷︷ ︸
opuesto del sustraendo
= 3x2 + 7x + 2− x2 − 2x − 1
= (3x2 − x2) + (7x − 2x) + (2− 1) = 2x2 + 5x + 1
Ejercicio
Calcular las siguientes diferencias:
(a) (3x2 − 8x − 5)− (3x2 − 12x − 2)
(b) (5x2 − 5)− (5x2 − 4x − 2)
(c) (−x + y − z)− (x + 3y − 6z)
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opuesto del sustraendo
= 3x2 + 7x + 2− x2 − 2x − 1
= (3x2 − x2) + (7x − 2x) + (2− 1) = 2x2 + 5x + 1
Ejercicio
Calcular las siguientes diferencias:
(a) (3x2 − 8x − 5)− (3x2 − 12x − 2)
(b) (5x2 − 5)− (5x2 − 4x − 2)
(c) (−x + y − z)− (x + 3y − 6z)
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opuesto del sustraendo
= 3x2 + 7x + 2− x2 − 2x − 1
= (3x2 − x2) + (7x − 2x) + (2− 1) = 2x2 + 5x + 1
Ejercicio
Calcular las siguientes diferencias:
(a) (3x2 − 8x − 5)− (3x2 − 12x − 2)
(b) (5x2 − 5)− (5x2 − 4x − 2)
(c) (−x + y − z)− (x + 3y − 6z)
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Nociones yproblemas dearitmetica
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Operaciones basicas
Topicos de algebra Operaciones basicas
Multiplicacion de expresiones algebraicas
El producto de dos o mas monomios se obtienemultiplicando los coeficientes entre sı. Luego semultiplican los literales aplicando la ley de losexponentes para potencias de igual base.
La multiplicacion de un monomio por un polinomio serealiza multiplicando el monomio por cada uno de losterminos del polinomio.
Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cadatermino de un polinomio por cada termino del otro.Luego adicionamos los resultados.
Ejercicio
(a) (4x3y)(−3x2yz3)
(b) 2x(3x − 5x2y)
(c) (2x + y)(3y − 4)
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Multiplicacion de expresiones algebraicas
El producto de dos o mas monomios se obtienemultiplicando los coeficientes entre sı. Luego semultiplican los literales aplicando la ley de losexponentes para potencias de igual base.
La multiplicacion de un monomio por un polinomio serealiza multiplicando el monomio por cada uno de losterminos del polinomio.
Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cadatermino de un polinomio por cada termino del otro.Luego adicionamos los resultados.
Ejercicio
(a) (4x3y)(−3x2yz3)
(b) 2x(3x − 5x2y)
(c) (2x + y)(3y − 4)
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Potenciacion
Radicacion
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Division de monomios
Al dividir un monomio entre otro monomio, se obtiene unaexpresion cuyo factor numerico es el cociente de loscoeficientes de los monomios y la parte literal es el cocientede las variables de los monomios, aplicando las leyes de lapotenciacion. Cuando en la expresion resultante todos losexponentes de las variables son positivos, se obtiene unmonomio.
Ejemplo
36x5y9
9x3y4= 4x5−3y9−4 = 4x2y5
Ejercicio
Realizar las siguientes divisiones
1 5a2b4c3
3ab2; 4x3y5z
8xyz ; −6m3n2
mn4
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Division de monomios
Al dividir un monomio entre otro monomio, se obtiene unaexpresion cuyo factor numerico es el cociente de loscoeficientes de los monomios y la parte literal es el cocientede las variables de los monomios, aplicando las leyes de lapotenciacion. Cuando en la expresion resultante todos losexponentes de las variables son positivos, se obtiene unmonomio.
Ejemplo
36x5y9
9x3y4= 4x5−3y9−4 = 4x2y5
Ejercicio
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