SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR

SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS deTAYLOR

Veronica Briceno V.

noviembre 2012

En esta Presentacion veremos:

Series de PotenciaRadio e intervalo de convergencia.Derivacion e integracion

Series de TaylorPolinomios de TaylorResto y Teorema de TaylorCalculo de series de potencias de funciones elementales.

En esta Presentacion veremos:

Series de PotenciaRadio e intervalo de convergencia.Derivacion e integracionSeries de TaylorPolinomios de TaylorResto y Teorema de TaylorCalculo de series de potencias de funciones elementales.

Series de Potencia

Definicion

Sea {an}n∈N una sucesion de numeros reales y xo ∈ R. Sedefine una serie de potencias centrada en xo, a una serie de laforma:

∞∑n=0

an(x − xo)n

Acuerdo:(x − xo)

0 = 1, incluso si x = xo, o sea: 00 = 1Observacion:Los terminos de la sucesion son llamados coeficientes de laserie de potencias.

Series de Potencia

Definicion

Sea {an}n∈N una sucesion de numeros reales y xo ∈ R. Sedefine una serie de potencias centrada en xo, a una serie de laforma:

∞∑n=0

an(x − xo)n

Acuerdo:(x − xo)

Series de Potencia

DefinicionSea {an}n∈N una sucesion de numeros reales y xo ∈ R. Sedefine una serie de potencias centrada en xo, a una serie de laforma:

∞∑n=0

an(x − xo)n

Acuerdo:(x − xo)

Series de Potencia

∞∑n=0

an(x − xo)n

Acuerdo:

(x − xo)0 = 1, incluso si x = xo, o sea: 00 = 1

Observacion:Los terminos de la sucesion son llamados coeficientes de laserie de potencias.

Series de Potencia

∞∑n=0

an(x − xo)n

Acuerdo:(x − xo)

0 = 1, incluso si x = xo, o sea: 00 = 1

Observacion:Los terminos de la sucesion son llamados coeficientes de laserie de potencias.

Series de Potencia

∞∑n=0

an(x − xo)n

Acuerdo:(x − xo)

0 = 1, incluso si x = xo, o sea: 00 = 1Observacion:

Los terminos de la sucesion son llamados coeficientes de laserie de potencias.

Series de Potencia

∞∑n=0

an(x − xo)n

Acuerdo:(x − xo)

Ejemplos

1 Serie de Potencia centrada en cero.∑∞n=0

n! = 1 + x + x2

2 + x3

3! + ...

2 Serie de Potencia centrada en −1.∑∞n=0(−1)n(x + 1)n = 1− (x + 1) + (x + 1)2− (x + 1)3 + ...

3 Serie de Potencia centrada en 2.∑∞n=0

(x−2)n

2n = 1 + x−22 + (x−2)2

4 + (x−2)3

8 + ...

4 No es una serie de potencia:∑∞n=0

cos(nx)n2+1

Ejemplos

n! = 1 + x + x2

2 + x3

3! + ...

(x−2)n

2n = 1 + x−22 + (x−2)2

4 + (x−2)3

8 + ...

cos(nx)n2+1

Ejemplos

n! = 1 + x + x2

2 + x3

3! + ...

(x−2)n

2n = 1 + x−22 + (x−2)2

4 + (x−2)3

8 + ...

cos(nx)n2+1

Ejemplos

n! = 1 + x + x2

2 + x3

3! + ...

(x−2)n

2n = 1 + x−22 + (x−2)2

4 + (x−2)3

8 + ...

cos(nx)n2+1

Observacion

1 Nos interesa saber cuando una serie de potenciaconverge.

2 Notar que la serie geometrica∑∞

n=0 xn de radio x = rconverge si |x | < 1 y diverge si |x | ≥ 1

3 Ademas, 11−x =

∑∞n=0 xn, si x ∈]− 1,1[

4 Ası, obtenemos que la serie de potencias (centrada enxo = 0) converge en un intervalo centrado en xo = 0

5 Esto es comun en las series de potencia.

Observacion

3 Ademas, 11−x =

∑∞n=0 xn, si x ∈]− 1,1[

Observacion

3 Ademas, 11−x =

∑∞n=0 xn, si x ∈]− 1,1[

Observacion

3 Ademas, 11−x =

∑∞n=0 xn, si x ∈]− 1,1[

Observacion

3 Ademas, 11−x =

∑∞n=0 xn, si x ∈]− 1,1[

Observacion

1 Una serie de potencia puede verse como una funcion en x

f (x) =∞∑

an(x − xo)n

donde Dom(f ) : son todos los x para los cuales la serieconverge.

2 Una serie de potencia centrada en x = xos(x) =

∑∞n=0 an(x − xo)

se puede reescribir:r(y) =

∑∞n=0 anyn

como una serie de potencia centrada en y = 03 Obviamente s(u) converge ssi r(u − xo) converge.

Observacion

f (x) =∞∑

an(x − xo)n

∑∞n=0 an(x − xo)

∑∞n=0 anyn

como una serie de potencia centrada en y = 0

3 Obviamente s(u) converge ssi r(u − xo) converge.

Observacion

f (x) =∞∑

an(x − xo)n

∑∞n=0 an(x − xo)

∑∞n=0 anyn

como una serie de potencia centrada en y = 03 Obviamente s(u) converge ssi r(u − xo) converge.

Convergencia

Teorema

Si una serie de potencia∑∞

n=0 cn(x − xo)n

Si la serie converge en x = a 6= xo, entonces estaconverge absolutamente∀x , |x − xo| < |a− xo|.Si la serie diverge en x = b 6= xo, entonces esta convergeabsolutamente∀x , |x − xo| > |b − xo|.

Demostracion:Caso xo = 0, en la pizarra. Se extiende ∀x0 usando laobservaci on anterior.

Convergencia

Teorema

Si una serie de potencia∑∞

n=0 cn(x − xo)n

Convergencia

TeoremaSi una serie de potencia

∑∞n=0 cn(x − xo)

Si la serie converge en x = a 6= xo, entonces estaconverge absolutamente∀x , |x − xo| < |a− xo|.

Si la serie diverge en x = b 6= xo, entonces esta convergeabsolutamente∀x , |x − xo| > |b − xo|.

Convergencia

∑∞n=0 cn(x − xo)

Convergencia

∑∞n=0 cn(x − xo)

Convergencia

∑∞n=0 cn(x − xo)

Convergencia

Corolario

Para una serie de potencia∑∞

n=0 an(x − xo)n se cumple una y

solo una de las siguientes afirmaciones:

La serie converge solo para x = xo. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R = 0.La serie converge para todo x ∈ R. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R =∞.Existe R ∈ R tal que:∀x , |x − xo| < R la serie converge absolutamente.∀x , |x − xo| > R la serie diverge.

Convergencia

Corolario

Para una serie de potencia∑∞

n=0 an(x − xo)n se cumple una y

solo una de las siguientes afirmaciones:

Convergencia

CorolarioPara una serie de potencia

∑∞n=0 an(x − xo)

n se cumple una ysolo una de las siguientes afirmaciones:

La serie converge solo para x = xo. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R = 0.

La serie converge para todo x ∈ R. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R =∞.Existe R ∈ R tal que:∀x , |x − xo| < R la serie converge absolutamente.∀x , |x − xo| > R la serie diverge.

Convergencia

∑∞n=0 an(x − xo)

La serie converge solo para x = xo. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R = 0.La serie converge para todo x ∈ R. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R =∞.

Existe R ∈ R tal que:∀x , |x − xo| < R la serie converge absolutamente.∀x , |x − xo| > R la serie diverge.

Convergencia

∑∞n=0 an(x − xo)

Observacion:

El caso |x − xo| = R no se considera en el teorema, portanto se debe analizar en cada serie que sucede en losextremos del intervalo.

El cual se llama intervalo de convergencia que es elconjunto en el cual la serie de potencias converge.

Observacion:

El caso |x − xo| = R no se considera en el teorema, portanto se debe analizar en cada serie que sucede en losextremos del intervalo.El cual se llama intervalo de convergencia que es elconjunto en el cual la serie de potencias converge.

Ejemplos

Hallar el intervalo de convergencia de las series:∑nnxn

∑n!xn∑ xn

n!∑ xn

n∑ xn

n2∑ (x−3)2n

n25n∑ (−1)nx2n+1

(2n+1)!

Ejemplos

Hallar el intervalo de convergencia de las series:∑nnxn∑n!xn

∑ xn

n!∑ xn

n∑ xn

n2∑ (x−3)2n

n25n∑ (−1)nx2n+1

(2n+1)!

Ejemplos

Hallar el intervalo de convergencia de las series:∑nnxn∑n!xn∑ xn

∑ xn

n∑ xn

n2∑ (x−3)2n

n25n∑ (−1)nx2n+1

(2n+1)!

Ejemplos

n!∑ xn

∑ xn

n2∑ (x−3)2n

n25n∑ (−1)nx2n+1

(2n+1)!

Ejemplos

n!∑ xn

n∑ xn

∑ (x−3)2n

n25n∑ (−1)nx2n+1

(2n+1)!

Ejemplos

n!∑ xn

n∑ xn

n2∑ (x−3)2n

∑ (−1)nx2n+1

(2n+1)!

Ejemplos

n!∑ xn

n∑ xn

n2∑ (x−3)2n

n25n∑ (−1)nx2n+1

(2n+1)!

Representacin de Funciones por Series dePotencia.

Estudiaremos...varios metodos que permiten hallar la serie de potencia querepresenta a una funcion dada.

El caso mas simple:

f (x) = 11−x =

∑∞n=0 xn converge si |x | < 1 representa una

serie de potencia centrada en 0.

f (x) = 1/21− 1+x

2∑∞

n=0(x+1

2 )n converge en ]− 3,1[

representa una serie de potencia centrada en −1.

El caso mas simple:

f (x) = 11−x =

f (x) = 1/21− 1+x

2∑∞

n=0(x+1

El caso mas simple:

f (x) = 11−x =

f (x) = 1/21− 1+x

2∑∞

n=0(x+1

Ejemplos

Hallar una serie de potencia para:

f (x) = 11−x centrada en cero

f (x) = 11−x centrada en −1

f (x) = 11+x centrada en cero

f (x) = 11+x2 centrada en cero

f (x) = 4x+2 centrada en cero

f (x) = 1x centrada en 1

f (x) = 3x−1x2−1 centrada en cero

Ejemplos

Teorema.

Para el ultimo ejemplo planteado anteriormente, debemospensar en...

Operaciones con Series de Potencia.

Sean f (x) =∑

anxn y g(x) =∑

f (kx) =∑

anknxn

f (xN) =∑

f (x)± g(x) =∑

(an ± bn)xn

Teorema.

Sean f (x) =∑

anxn y g(x) =∑

f (kx) =∑

anknxn

f (xN) =∑

f (x)± g(x) =∑

(an ± bn)xn

Teorema.

Sean f (x) =∑

anxn y g(x) =∑

f (kx) =∑

anknxn

f (xN) =∑

f (x)± g(x) =∑

(an ± bn)xn

Teorema.

Sean f (x) =∑

anxn y g(x) =∑

f (kx) =∑

anknxn

f (xN) =∑

f (x)± g(x) =∑

(an ± bn)xn

Observacion.

Bajo estas operaciones el intervalo de convergencia puedecambiar

En el caso de la suma, el intervalo de convergenciacorresponde a la interseccion de los intervalos deconvergencia de las dos series originales.

Ejemplo.

Encontrar la representacion en series de potencia def (x) = arc tg(x)

Vamos a pensar en...

Observacion.

Bajo estas operaciones el intervalo de convergencia puedecambiarEn el caso de la suma, el intervalo de convergenciacorresponde a la interseccion de los intervalos deconvergencia de las dos series originales.

Ejemplo.

Observacion.

Bajo estas operaciones el intervalo de convergencia puedecambiarEn el caso de la suma, el intervalo de convergenciacorresponde a la interseccion de los intervalos deconvergencia de las dos series originales.

Ejemplo.

Derivacion e Integracion de Series de Potencia.

TeoremaSi f (x) =

∑∞n=0 an(x − xo)

n es una serie de potencia de radiode convergencia R > 0.Entonces, f es continua, derivable e integrable y tienen elmismo intervalo de convergencia, sin embargo pueden diferiren sus puntos terminales.f ′(x) =

∑∞n=1 nan(x − xo)

n−1∫f (x)dx = C +

∑∞n=0 an

(x−xo)n+1

n+1Ademas,∫ x

0 f (t)dt =∑∞

n=0 an(x−xo)n+1

Ejemplos

Hallar los intervalos de convergencia para:a) f (x) b) f ′(x) c)

∫f (x)dx∑ xn

2 )n∑ (−1)n+1(x−5)n

Ejemplos

∫f (x)dx∑ xn

n∑(x

∑ (−1)n+1(x−5)n

Ejemplos

∫f (x)dx∑ xn

n∑(x

2 )n∑ (−1)n+1(x−5)n

Ejercicios

Escribir las siguientes funciones como series de potencia:

f (x) = arc tg(x)

f (x) = ln(x)f (x) = ln(x + 1)

ObservacionEvidentemente, no todas las funciones tienen unarepresentacion en series de potencias... o bien no es tansimple.

Ejercicios

f (x) = arc tg(x)f (x) = ln(x)

f (x) = ln(x + 1)

Ejercicios

f (x) = arc tg(x)f (x) = ln(x)f (x) = ln(x + 1)

Ejercicios

f (x) = arc tg(x)f (x) = ln(x)f (x) = ln(x + 1)

Polinomios de Taylor

DefinicionSea I un intervalo abierto, con xo ∈ I. Dado n ∈ N yf : I ⊆ R −→ R una funcion n veces derivable en x = xo,entonces se define el n-esimo polinomio de Taylor de falrededor de xo, como:

Pn(x) = f (xo)+f ′(xo)(x−xo)+f (2)(xo)

2!(x−xo)

2+...+f (n)(xo)

n!(x−xo)

Ejemplos

Si f (x) = ex encontrar P5(x) alrededor de cero

Si f (x) = ln(x) encontrar P4(x) alrededor de 1Si f (x) = ln(x + 1) encontrar P4(x) alrededor de 0Si f (x) = sen(x) encontrar Pn(x) con xo = 2πSi f (x) = 1

1−x encontrar Pn(x) con xo = 0.

Ejemplos

Si f (x) = ex encontrar P5(x) alrededor de ceroSi f (x) = ln(x) encontrar P4(x) alrededor de 1

Si f (x) = ln(x + 1) encontrar P4(x) alrededor de 0Si f (x) = sen(x) encontrar Pn(x) con xo = 2πSi f (x) = 1

Ejemplos

Si f (x) = ex encontrar P5(x) alrededor de ceroSi f (x) = ln(x) encontrar P4(x) alrededor de 1Si f (x) = ln(x + 1) encontrar P4(x) alrededor de 0

Si f (x) = sen(x) encontrar Pn(x) con xo = 2πSi f (x) = 1

Ejemplos

Si f (x) = ex encontrar P5(x) alrededor de ceroSi f (x) = ln(x) encontrar P4(x) alrededor de 1Si f (x) = ln(x + 1) encontrar P4(x) alrededor de 0Si f (x) = sen(x) encontrar Pn(x) con xo = 2π

Si f (x) = 11−x encontrar Pn(x) con xo = 0.

Ejemplos

Si f (x) = ex encontrar P5(x) alrededor de ceroSi f (x) = ln(x) encontrar P4(x) alrededor de 1Si f (x) = ln(x + 1) encontrar P4(x) alrededor de 0Si f (x) = sen(x) encontrar Pn(x) con xo = 2πSi f (x) = 1

Resto del Polinomio de Taylor

DefinicionSe define el n-esimo resto de Taylor rn(x) de f alrededor de xo,como:

rn(x) = f (x)− Pn(x)

Teorema

Si n ∈ N, f (n) existe en un intervalo abieto I que contiene a xo.Entonces, ∀x ∈ I, x 6= xo existe tx entre xo y x tal que:f (x) = Pn(x) + rn(x)con:

rn(x) =f (n+1)(tx)(n + 1)!

(x − xo)n+1

Resto del Polinomio de Taylor

DefinicionSe define el n-esimo resto de Taylor rn(x) de f alrededor de xo,como:

rn(x) = f (x)− Pn(x)

Teorema

Si n ∈ N, f (n) existe en un intervalo abieto I que contiene a xo.Entonces, ∀x ∈ I, x 6= xo existe tx entre xo y x tal que:f (x) = Pn(x) + rn(x)con:

rn(x) =f (n+1)(tx)(n + 1)!

(x − xo)n+1

Ejemplo

Aproximar e con un error menor a 0,001

Series de Taylor

DefinicionSi una funcion f tiene derivadas de todos los ordenes en xo, sellama Serie de Taylor de f centrada en xo, a la serie:

∞∑n=0

f (n)(xo)

n!(x − xo)

f (xo)+f ′(xo)(x−xo)+f (2)(xo)

2!(x−xo)

2+...+f (n)(xo)

n!(x−xo)

Si x = xo la serie se conoce como Serie de Maclaurin de f .

Series de Taylor

TeoremaSupongamos que:

f tiene derivadas de todos los ordenes en un intervalo Ique contiene a xo

Existe M > 0 tal que |f (n)(x)| ≤ M para todo x ∈ I y n ≥ N(N fijo).

Entonces, la serie de Taylor de f en xo converge a f (x) paracada x ∈ I, es decir:

f (x) =∞∑

f (n)(xo)

n!(x − xo)

n, x ∈ I

Series de Taylor

f (x) =∞∑

f (n)(xo)

n!(x − xo)

n, x ∈ I

Series de Taylor

f (x) =∞∑

f (n)(xo)

n!(x − xo)

n, x ∈ I

Series de Taylor

f (x) =∞∑

f (n)(xo)

n!(x − xo)

n, x ∈ I

Series de Taylor

f (x) =∞∑

f (n)(xo)

n!(x − xo)

n, x ∈ I

Series de Taylor

f (x) =∞∑

f (n)(xo)

n!(x − xo)

n, x ∈ I

Ejemplos

f (x) = sen(x) =∑∞

n=0(−1)nx2n+1

(2n+1)! , x ∈ R

f (x) = cos(x) =∑∞

n=0(−1)nx2n

(2n)! , x ∈ R

f (x) = ex =∑∞

n! , x ∈ R

Ejemplos

f (x) = sen(x) =∑∞

n=0(−1)nx2n+1

(2n+1)! , x ∈ R

f (x) = cos(x) =∑∞

n=0(−1)nx2n

(2n)! , x ∈ R

f (x) = ex =∑∞

n! , x ∈ R

Ejemplos

f (x) = sen(x) =∑∞

n=0(−1)nx2n+1

(2n+1)! , x ∈ R

f (x) = cos(x) =∑∞

n=0(−1)nx2n

(2n)! , x ∈ R

f (x) = ex =∑∞

n! , x ∈ R

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