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SERIES TEMPORALES INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

Tema 7- GRADO EN ADE

Temas 9-10-11 GRADO EN ECONOMÍA

J.J. Noguera 1

SERIE TEMPORAL

• Sucesión de observaciones de una variable en distintos momentos del tiempo ordenadas cronológicamente.

• También se llama serie cronológica o histórica.

• El objetivo es hacer predicciones sobre el fenómeno estudiado.

J.J. Noguera 2

EJEMPLO

J.J. Noguera 3

COMPONENTES DE UNA SERIE TEMPORAL (ADE-ECONOMÍA)

• TENDENCIA (T): evolución o tendencia de la serie a largo plazo (25 a 30 años)

• ESTACIONALIDAD (S-E): oscilaciones que se producen en períodos inferiores a un año (exactamente un año o menos si los datos vienen en meses o días…), por razones de tipo físico-natural (por ejemplo ciclos biológicos) o tipo institucional (por ejemplo vacaciones), …

• FACTOR CÍCLICO (C): oscilaciones periódicas de amplitud superior a un año (por ejemplo ciclos económicos de prosperidad o depresión) (de 5 a 8 años)

• FLUCTUACIONES IRREGULARES (I), ACCIDENTALES o RESIDUO (R): fluctuaciones erráticas producidas por fenómenos imprevisibles.

J.J. Noguera 4

COMPONENTES DE UNA SERIE TEMPORAL

• Hay varias hipótesis de como actúan estas componentes: – Hipótesis aditiva, y= T+C+S+I

𝑌𝑡 = 𝑇𝑡 + 𝐶𝑡 + 𝐸𝑡 + 𝑅𝑡 – Hipótesis multiplicativa , y=T·C·S·I

𝑌𝑡 = 𝑇𝑡 · 𝐶𝑡 · 𝐸𝑡 · 𝑅𝑡 Tomando logaritmos se puede expresar como aditivo:

ln 𝑌𝑡 = ln𝑇𝑡 + ln𝐶𝑡 + ln𝐸𝑡 + ln𝑅𝑡 – Esquemas mixtos: otras combinaciones Lo que nos interesará es aislar cada componente de la serie temporal, para sacar conclusiones de las mismas.

J.J. Noguera 5

SOLO ECONOMÍA

• Los más importantes son la tendencia y la estacionalidad

• La tendencia normalmente sigue uno de estos patrones:

– 𝑇𝑖 = 𝑎 (plana)

– 𝑇𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑡 (lineal)

– 𝑇𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡2 (curvilínea)

J.J. Noguera 6

Detección de los componentes

J.J. Noguera

1. TENDENCIA: • ¿Plana? • ¿Lineal? • ¿Curvilínea?

2. ESTACIONALIDAD: 3. ESQUEMA DE AGREGACIÓN: • ¿Aditivo? • ¿Multiplicativo?

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Detección de los componentes

J.J. Noguera

T: plana, Esquema: aditivo (o estacionalidad aditiva)

T: lineal, Esquema: aditivo (o estacionalidad aditiva)

8

J.J. Noguera 9

J.J. Noguera

T: lineal, Esquema: multiplicativo (o estacionalidad multiplicativa)

T: curvilínea, Esquema: aditivo (o estacionalidad aditiva)

T: curvilínea, Esquema: multiplicativo (o estacionalidad multiplicativa)

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Gráfico desviación típica-media

J.J. Noguera

Trayectoria de los puntos: plana

Trayectoria de los puntos: recta

creciente

ADITIVO

MULTIPLICATIVO

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TENDENCIA: método de los semipromedios

Hacemos una campaña en Facebook para aumentar nuestras visitas a nuestro blog, obteniendo la tabla que se muestra.

Dividimos en dos mitades los datos:

(si son impares se desprecia el central):

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑦1−𝑦4 =25+27+38+40

4= 32.5

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑦5−𝑦8 =53 + 52 + 63 + 70

4= 59.5

J.J. Noguera

Dia (x) Visitas (y) 1 25 2 27 3 38 4 40 5 53 6 52 7 63 8 70

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TENDENCIA: método de los semipromedios

Del mismo modo hacemos los promedios en las x:

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑥1−𝑥4 =1+2+3+4

4= 2.5

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑥5−𝑥8 =5 + 6 + 7 + 8

4= 6.5

Obtenemos los puntos :

(2.5, 32.5) (6.5, 59.5)

J.J. Noguera

Dia (x) Visitas(y) 1 25 2 27 3 38 4 40 5 53 6 52 7 63 8 70

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TENDENCIA: método de los semipromedios

La recta que pasa por los puntos 𝑥𝑜, 𝑦𝑜 , (𝑥1, 𝑦1) es:

𝑦 = 𝑦0 +𝑦1 − 𝑦0𝑥1 − 𝑥0

𝑥 − 𝑥0

Sustituyendo obtenemos:

𝑦 = 6.75𝑥 + 15.625

J.J. Noguera 14

TENDENCIA: método de los semipromedios

J.J. Noguera 15

TENDENCIA: método de los semipromedios

• El método de los semipromedios es un método rápido y sencillo de estimar una línea de tendencia recta.

• No serviría para tendencias que no sean rectas.

• Tampoco se obtiene la recta ‘optima’, es decir la que menos error acumula entre los datos reales y los datos ajustados.

J.J. Noguera 16

TENDENCIA: método de los mínimos cuadrados

• Se puede elegir el tipo de función para hacer el ajuste.

• Veremos un ejemplo de ajuste lineal, con una recta, aunque se podrían utilizar otras funciones como vimos en temas anteriores

• En este método los cálculos son más largos pero se obtiene una recta óptima, en el sentido que minimiza los errores entre ésta y los datos reales.

J.J. Noguera 17

TENDENCIA: método de los mínimos cuadrados

El problema es el siguiente: tenemos una serie de datos:

Queremos encontrar una recta: 𝑦𝑡 = 𝑎 + 𝑏 · 𝑡

que cuya distancia a dichos puntos sea la menor posible.

J.J. Noguera

𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 … 𝒕𝒏

𝒚𝒕𝟏 𝒚𝒕𝟐 𝒚𝒕𝟑 𝑦𝑡𝑛

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TENDENCIA: método de los mínimos cuadrados

• Ejemplo: Hallar la recta de mínimos cuadrados que ajuste:

J.J. Noguera

t 𝑦𝑡

1 52

2 29

3 27

4 11 y = -12,5x + 61

0

10

20

30

40

50

60

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

y

y

Lineal (y)

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Solución:

La recta de regresión de y sobre x es:

𝑦𝑡 − 𝑦 𝑡 =𝑆𝑡𝑦𝑡𝑆𝑡2 (𝑡 − 𝑡 )

O dicho de otra manera:

𝑦𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑡

Con

• b =𝑆𝑡𝑦𝑡𝑆𝑡2 pendiente

• 𝑎 = 𝑦 𝑡 − 𝑏𝑡 ordenada en el origen

20 J.J. Noguera

Bondad del ajuste: coeficiente de determinación, 𝑹𝟐

• Como más próximo a la unidad, mejor ajuste. Varía de 0 a 1.

• Coincide con el Coeficiente de Correlación lineal de Pearson al cuadrado:

𝑅2 =𝑆𝑡𝑦𝑡2

𝑆𝑡2 · 𝑆𝑦𝑡2

21 J.J. Noguera

EJEMPLO: mínimos cuadrados

𝑆𝑡𝑦𝑡 = 𝑚11 = 𝑡 ∙ 𝑦𝑡𝑁 − 𝑡 · 𝑦 𝑡 =

235

4−10

4·119

4= −15,625

J.J. Noguera

t 𝒚𝒕

1 52

2 29

3 27

4 11

𝒕 𝒚𝒕 𝒕𝟐 𝒚𝒕𝟐 𝒕 · 𝒚𝒕

1 52 1 2704 52

2 29 4 841 58

3 27 9 729 81

4 11 16 121 44

10 119 30 4395 235

𝒂 = 𝑦 𝑡 − 𝑏𝑡 = 61 𝒃 =𝑆𝑡𝑦𝑡𝑆𝑡2 = −𝟏𝟐, 𝟓

𝑆𝑡2 = 𝑚20 = 𝑎20 − 𝑎10

2 = 𝑡𝑖

2𝑁𝑖=1

𝑁 - 𝑡 2 =

30

4−10

4

2= 1,25

𝒚𝒕 = 𝟔𝟏 − 𝟏𝟐, 𝟓𝒕

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EJEMPLO: mínimos cuadrados

Bondad del ajuste:

• 𝑆𝑡𝑦𝑡 = 𝑡𝑦𝑡

𝑛− 𝑡 · 𝑦 = −15,625

• 𝑆𝑡2 = 𝑡2

𝑛− 𝑡 2 = 1,25

• 𝑆𝑦𝑡2 =

𝑦𝑡2

𝑛− 𝑦𝑡

2 =4935

4−119

4

2= 213,6875

𝑅2 =𝑆𝑡𝑦𝑡

2

𝑆𝑡2𝑆𝑦𝑡2 =

−15,625 2

1,25 · 213,6875= 0,9140

J.J. Noguera 23

TENDENCIA: medias móviles

Simplemente hay que hacer la media de un determinado orden o número de observaciones o período (mensual, trimestral, anual…). En ADE se considera siempre centrada. Hay dos casos:

– Número de observaciones impar

– Número de observaciones par

En Economía se considera también la media móvil asimétrica (la media se asigna al punto final del intervalo)

J.J. Noguera 24

TENDENCIA: medias móviles

EJEMPLO: Centrada 𝑌 𝑝+1

2=𝑌1+𝑌2+⋯+𝑌𝑝

𝑝 p impar

J.J. Noguera

2018 Media móvil centrada de orden 3

Enero 25

Febrero 27 29,33

Marzo 36 33,33

Abril 37 39,33

Mayo 45 44,67

Junio 52 53,33

Julio 63 58,33

Agosto 60 64,67

Septiembre 71 67,00

Octubre 70 74,67

Noviembre 83 81,00

Diciembre 90

25 + 27 + 36

3

27 + 36 + 37

3

25

TENDENCIA: medias móviles

EJEMPLO: Asimétrica 𝑌 𝑝 =𝑌1+𝑌2+⋯+𝑌𝑝

𝑝 p impar

J.J. Noguera

2018 Media móvil asimétrica de orden 3

Enero 25

Febrero 27

Marzo 36 29,33

Abril 37 33,33

Mayo 45 39,33

Junio 52 44,67

Julio 63 53,33

Agosto 60 58,33

Septiembre 71 64,67

Octubre 70 67,00

Noviembre 83 74,67

Diciembre 90 81,00

25 + 27 + 36

3

27 + 36 + 37

3

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TENDENCIA: medias móviles • Ejemplo: media móvil centrada de periodo 4 par

J.J. Noguera

2018 Primera media Segunda media

Enero 25

Febrero 27

(25+27+36+37)/4= 31,25

Marzo 36 (31,25+36,25)/2=33,75

(27+36+37+45)/4= 36,25

Abril 37 39,375

42,50

Mayo 45 45,875

49,25

Junio 52 52,125

55,00

Julio 63 58,25

61,50

Agosto 60 63,75

66,00

Septiembre 71 68,5

71,00

Octubre 70 74,75

78,50

Noviembre 83

Diciembre 90 27

TENDENCIA: medias móviles

J.J. Noguera

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Real

Media móvil

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TENDENCIA: medias móviles

• Ventajas: – Su cálculo es sencillo. – Permite aplicarlo a tendencias que no sean rectas. – Se produce un suavizado de la serie original, aislando así la

tendencia.

• Inconvenientes: – Se pierde información al principio y final de la serie. – La decisión del número de períodos utilizados es arbitraria

y puede conducir a soluciones diferentes. – No se pueden realizar predicciones ya que no disponemos

de una función matemática (como sí ocurre con el método de los semipromedios y el de mínimos cuadrados).

J.J. Noguera 29

TENDENCIA: medias móviles

J.J. Noguera 30

VARIACIONES ESTACIONALES: porcentaje promedio

J.J. Noguera

5630

5494,25· 100

5630

96,32· 100

2016 2017 promedio

2016 promedio

2017 ÍNDICE

ESTACIONAL

Serie destacionaliza

da 2016

Serie destacionaliza

da 2017

Enero 5630 6322 102,47 90,17 96,32 5845,19 6563,64

Febrero 6720 5780 122,31 82,44 102,37 6564,24 5646,03

Marzo 4570 7305 83,18 104,19 93,68 4878,21 7797,66

Abril 5057 8639 92,04 123,21 107,63 4698,65 8026,81

MEDIA 5494,25 7011,5 102,47 + 90,17

2

Habría que hacerlo con todo el año. Esto es solo para ver los

cálculos

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VARIACIONES ESTACIONALES: PORCENTAJE SOBRE PROMEDIO MÓVIL

• Se hace un promedio móvil de orden 12 si los datos son en meses o de orden 4 si son en trimestres.

• Se calcula un nuevo promedio móvil de orden 2 para centrar los resultados.

• Se calcula el porcentaje dividiendo los datos originales por el promedio móvil obtenido y multiplicando por 100

• Los promedios móviles centrados constituyen la serie desestacionalizada.

J.J. Noguera 32

VARIACIONES ESTACIONALES: PORCENTAJE SOBRE PROMEDIO MÓVIL

2018 Primera media

Segunda media (centrada)

Serie desestacionalizada

Porcentaje sobre media

móvil

2017

Trimestre 1 25

Trimestre 2 27

62,50

Trimestre 3 36 49,38 72,91

36,25

Trimestre 4 37 39,38 93,97

42,50

2018

Trimestre 1 45 45,88 98,09

49,25

Trimestre 2 52 52,13 99,76

55,00

Trimestre 3 63

Trimestre 4 60

J.J. Noguera 33

ANÁLISIS DE LA ESTACIONALIDAD

• Una vez conocido el esquema de agregación:

– Esquema multiplicativo: método de la razón a la tendencia

– Esquema aditivo: método de las diferencias estacionales

• OBJETIVO: eliminar la componente estacional (desestacionalización).

J.J. Noguera 34

Método de la razón a la tendencia PASO 1. Calcular los índices brutos de variación estacional:

𝐼𝐵𝑉𝐸𝑡 = 𝑌𝑡

𝑇𝑡 (=𝑇𝑡·𝐸𝑡·𝑅𝑡

𝑇𝑡 ) t=1,…,T

PASO 2. Calcular la media de los IBVE:

𝐼𝑉𝐸𝑖 = 𝐼𝐵𝑉𝐸𝑖𝑗

𝑛

𝑛

𝑗=1

, 𝑖 = 1,… , 𝑝

p=4 para trimestres, o p=12 para años… n= número de años que nos dé el ejercicio si la tendencia es a partir de mínimos cuadrados. Si es a partir de medias móviles n es el número de años menos uno

PASO 3. Calculamos la media de los IVE: 𝐼𝑉𝐸 = 𝐼𝑉𝐸𝑖

𝑝

𝑝𝑖=1

– Si 𝐼𝑉𝐸 = 1 hemos acabado.

– Si 𝐼𝑉𝐸 ≠ 1 debemos normalizar: 𝐼𝑉𝐸 𝑛 𝑖 =𝐼𝑉𝐸𝑖

𝐼𝑉𝐸 , para i=1,…,p.

J.J. Noguera 35

Ejemplo del libro (Pág. 197)

J.J. Noguera 36

J.J. Noguera

𝐼𝐵𝑉𝐸𝑡 = 𝑌𝑡

𝑇𝑡

𝐼𝑉𝐸𝑖 = 𝐼𝐵𝑉𝐸𝑗

𝑛𝑛𝑗=1

𝐼𝑉𝐸 = 𝐼𝑉𝐸𝑖𝑝

𝑝

𝑖=1

37

Desestacionalizar

J.J. Noguera 38

Método de la diferencia a la tendencia

PASO 1. Calcular las diferencias brutas de variación estacional: D𝐵𝑉𝐸𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝑇𝑡 (= 𝑇𝑡 + 𝐸𝑡 + 𝑅𝑡 − 𝑇𝑡 ) t= 1,…,T

PASO 2. Calcular la media de los DBVE:

𝐷𝑉𝐸𝑖 = 𝐷𝐵𝑉𝐸𝑖𝑗

𝑛

𝑛

𝑗=1

, 𝑖 = 1, … , 𝑝

p=4 para trimestres, o p=12 para años… n= número de años que nos dé el ejercicio si la tendencia es a partir de mínimos cuadrados. Si es a partir de medias móviles n es el número de años menos uno

PASO 3. Calculamos la media de los DVE: 𝐷𝑉𝐸 = 𝐷𝑉𝐸𝑖

𝑝

𝑝𝑖=1

– Si 𝐷𝑉𝐸 = 0 hemos acabado. – Si 𝐷𝑉𝐸 ≠ 0 debemos normalizar: D𝑉𝐸 𝑛 𝑖 = 𝐷𝑉𝐸𝑖 − 𝐷𝑉𝐸 ,

para i=1,…,p.

J.J. Noguera 39

Ejemplo del libro. Pág. 197

J.J. Noguera 40

J.J. Noguera

D𝐵𝑉𝐸𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝑇𝑡

𝐷𝑉𝐸𝑖 = 𝐷𝐵𝑉𝐸𝑖𝑗𝑛

𝑛

𝑗=1

41

Desestacionalizar

J.J. Noguera 42

Variaciones cíclicas e irregulares

• Cíclicas: son las variaciones regulares que se producen con periodo superior a un año. Tienen dos componentes, amplitud y período. Su estudio matemático es complejo y no se ve aquí.

• Irregulares o accidentales: son aleatorias. Se pueden suavizar con una media móvil de poco orden o con métodos que sobrepasan esta asignatura.

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