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Simulación/2002 Héctor Allende
1
Capítulo 9
Modelos de Espera
Departamento de Informática
Universidad Técnica Federico Santa María
Simulación/2002 Héctor Allende
2
IntroducciónIntroducción
Una línea de espera es la resultante de un sistema cuando la demanda por un bien o servicio supera la capacidad que puede proporcionar dicho sistema.
Un sistema está formado por un conjunto de entidades que en paralelo proporcionan el bien o servicio donde las transacciones ingresan aleatoriamente al sistema
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Ejemplos de Líneas de Espera
• Redes de Comunicaciones y Computadores• Tareas en un Computador • Cajas en Supermercado o Bancos• Modelos de Tráfico en una Ciudad ( T-A -M)• Líneas de Producción e Inventario• Talleres de Reparación• Hospitales• Estaciones de Bomberos• Sistemas de Distribución o Logísticos
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4
IntroducciónIntroducción
Elementos de estudio de dichas líneas de espera serán
entonces los tiempos asociados a cada uno de los
procesos que se desarrollan y las llegadas de las
transacciones al sistema.
Debido a que las variables están fuera del control del
tomador de decisiones, será necesario realizar el
modelado utilizando procesos estocásticos.
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5
Esquema Líneas de Espera
Población o Fuente deEntrada deClientesAl Sistema
Instalacionesde Servicio
SISTEMA
Clientes Servidossalen del Sistema
de Servicio y vuelven a laPoblación
Algunos Clientespueden no entrar
al sistema deServicio
Clientes que entran al Sistema de Servicioy Esperan ser Atendidos
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6
Definición BásicaDefinición Básica
Una línea de espera puede modelarse como un
proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se
define como el número de transacciones en el
sistema en un momento dado.
El conjunto de valores que puede tomar dicha variable
es { 0, 1, 2, 3, 4,.......,N } y cada uno de ellos tiene
asociada una Prob.de ocurrencia {P0, P1, P2........, PN }
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Objetivo del EstudioObjetivo del EstudioDeterminar el nivel de desempeño del sistema:
• Cantidad de entidades presente
• Velocidad del Servicio en el sistema
Interesa minimizar el costo total del sistema
Los costos de transacciones dan cuenta de la pérdida por
tiempo de espera o la pérdida de clientes por abandono del
sistema.
Los costos de proporcionar el servicio, dan cuenta de los
salarios, energía, mantención, etc.
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8
Objetivo del estudioObjetivo del estudio Matemáticamente :
Min {Ct} = Ce S + C q Lq
dondeS = 1,2,3,4.........
Lq= f {S,E(t),.......}
Donde:
S: Número de entidades que proporcionan servicio.E(t): tiempo promedio de Servicio.
Lq: : Número de transacciones en espera.
Ce : Costo de servicio por entidad - tiempo.
Cq : Costo de servicio por transacción - tiempo.
Ct : Costo total por unidad de tiempo
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Optimización de CostosOptimización de Costos
No. de Servidores
Costo de servicio
Ce.S
Costo de servicio
Ct
Costo de espera
Cq.Lq
$/tiempo
Ct mínimo
S*
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Líneas de Espera (LE)• Los modelos de LE nos permitirán estudiar
este tipo de fenómeno y determinar:
Tiempo de Espera Promedio de los ClientesLargo Promedio de la LEFactor de Utilización de ServidoresDistribución Tiempos de Espera (Difícil)Tiempos OciososEficiencia del SistemaPérdidas de Clientes
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• Población: Fuente de Entradas– Tamaño Poblacional:
Infinito ; Finito
– Patrón de Llegadas : Tasa de Llegada– Patrón de Salidas :
Cliente Satisfecho Cliente vuelve a la LE.
– Actitudes de los Clientes Cambios Renuncias etc.
Elementos Básicos de M-LE
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Estructura General Sistema Espera
Estructura General Sistema Espera
Salida del Sistema
Entrada al Sistema
Servidores en paralelo
Fuente deTransacciones potenciales
Fila
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EstructuraEstructura
Los elementos básicos constituyentes de un
sistema de espera son los siguientes:
Servidor
Fila o Cola
Transacciones Potenciales
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ServidorServidor
Representa el mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera completa el servicio deseado.
Sus principales características son:
La Cantidad asignada a cada fila existente en el
sistema.
La distribución de probabilidad del Tiempo de
Atención a las transacciones o (Velocidad de
Servicio)
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FilaFilaEs el conjunto de Clientes que espera ser atendido por alguno de los servidores del sistema.
Sus principales características son:
Capacidad : Es la cantidad máxima de transacciones que puede albergar cada fila existente en el sistema.
De acuerdo a esto se clasifican en finitas o infinitas.
Orden : Es la forma como los Clientes son extraídas de la fila para su atención.
Ejemplos: FIFO, prioridad, aleatorio, etc.
Forma de salir : como sale de la filamediante el proceso de serviciomediante factores de abandono : insatisfacción, desesperación, etc.
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Transacciones PotencialesTransacciones Potenciales
Representan el número de clientes potenciales que podría requerir el servicio proporcionado por el sistema.
Sus principales características son:
El Tamaño del conjunto de potencial de
clientes.
La distribución de probabilidad del Tiempo entre
llegadas o tasa de entrada promedio.
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NomenclaturaNomenclatura
S número de servidoresn número de clientes en el sistemaN número máximo de clientes permitidos en el sisteman flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sisteman capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistemaE(t) tiempo promedio de proceso por clienteV(t) varianza del tiempo de procesoE(a) tiempo promedio entre llegadasV(a) varianza del tiempo entre llegada
C a
2
C s
2
C p
2
Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran al sistema.Coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio.
Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema.
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NomenclaturaNomenclaturapii Probabilidad de que el sistema cambie del estado i a un estado j
después de un intervalo de tiempo
Pn Probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el
sistema
L Número promedio de clientes en el sistema
Lq Número promedio de clientes en la fila
W Tiempo promedio de permanencia en el sistema
Wq Tiempo promedio de permanencia en la fila
Factor de utilización promedio del servicio
Ct Costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de
tiempo
Ce Costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo
Cq Costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo
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Clasificación de Kendall y Lee
Clasificación de Kendall y Lee
Kendall y Lee 1953
Proponen un sistema de clasificación para sistemas
de líneas de espera, el cual considera seis de las
características mencionadas en la estructura de los
modelos.
El cual tiene el siguiente formato
(a/b/c)(d/e/f)
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Clasificación de Kendall y Lee
Clasificación de Kendall y Lee
Donde
a Distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones
b Distribuciones de probabilidad del tiempo de servicio.
Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:D : constanteEk: distribución Erlang con parámetro kG : cualquier tipo de distribuciónGI: distribución general independienteH : distribución hiperexponencialM : distribución exponencial
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Clasificación de Kendall y Lee
Clasificación de Kendall y Lee
c número de servidores
d orden de atención de los clientes
Símbolos utilizados en este campo son:
FIFO : primeras entradas, primeros serviciosLIFO : últimas entradas, primeros servicios SIRO : orden aleatorioPR : con base en prioridadesGD : en forma general
e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo
f número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera
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EjemplosEjemplos
Un modelo (M/D/3)(FIFO/20/20) representa la clasificación
de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo
atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas,
primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El
sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían
encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El
tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución
exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los
servidores ocupados, pasan a formarse de una fila común.
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Clasificación de Kendall y Lee
Clasificación de Kendall y Lee
Respetando la clasificación Kendall y Lee, es posible
agrupar los diferentes modelos de una manera donde los
procesos Markovianos y los no Markovianos se separan
claramente.
Los Markovianos se dividen en modelos de capacidad finita
y modelos de capacidad Infinita.
Los No Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos
entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios con
cualquier tipo de distribución.
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Clasificación de Kendall y Lee
Mediante cadenas deMarkov de estadofinito
Mediante el factor de corrección K
(G/G/1) (FCFS/ / )
Mediante la fórmula de Pollaczek- Khintchine
(M/G/1) (FCFS/ / )
(M/M/S) (d/N/f)
(M/M/1) (FCFS/N/)
(M/M/1) (FCFS/N/N)
(M/M/S) (FCFS/N/)
(M/M/S) (FCFS/N/N)
Mediante cadenas de Markov y series geométricas
(M/M/S) (d/ / )
(M/M/1) (FCFS/ / )
(M/M/S) (FCFS/ / )Mediante el cálculo de límite superior
(G/G/S) ( FCFS //)
Mediante fórmulas generales
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Medidas de desempeñoMedidas de desempeño
Medidas de desempeño:Utilización de Servicio
Tasa de entrada Promedio
Número Promedio de Clientes en el sistema
Número promedio de Clientes en la fila
Tiempo promedio de espera en el sistema
Tiempo promedio de espera en la fila
Coeficiente cuadrado de variación
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Ecuaciones GeneralesEcuaciones Generales
Utilización de Servicios
Tasa de entrada Promedio
N
nnnP
0
Número Promedio de clientes en el sistema
SLL
nL
q
N
nnP
0
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Ecuaciones GeneralesEcuaciones Generales
Número promedio de clientes en la fila
Tiempo Promedio de espera en el sistema
)(tEWW
LW
q
Tiempo promedio de espera en la fila
N
snn
q PsnL )(
q
qL
W
Simulación/2002 Héctor Allende
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Ecuaciones GeneralesEcuaciones Generales
Coeficiente cuadrado de variación
)()(2
2
aE
aVCa Tiempo entre llegadas
Tiempo de servicio
Tiempo entre salidas del servicio
)()(2
2
tE
tVCs
22222 )1( sap CCC
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Procesos MarkovianosProcesos Markovianos
El proceso estocástico asociado a una línea de espera
tiene la propiedad markoviana, es decir la probabilidad
condicional de llegar a un estado futuro depende
exclusivamente del estado actual en el que se
encuentre el sistema, sin importar el estado inicial de
dicho sistema.
Las probabilidades condicionales deben cumplir con
ip
jipN
jij
ij
0
1
,0
Simulación/2002 Héctor Allende
30
Procesos MarkovianosProcesos Markovianos
Las probabilidades de estado estacionario Pj representan
el comportamiento Probabilístico de cada estado del
sistema a largo plazo y se calculan a partir de las
probabilidades de transición( del estado i al estado j) de
un paso de acuerdo con las Probabilidades de transición
de acuerdo con
N
jj
N
jijij
P
pPP
0
0
10
lim
j
jijn
n
P
Pp
Simulación/2002 Héctor Allende
31
NNNNN
N
N
N
pppp
pppp
pppp
pppp
...
...............
...
...
...
210
2221220
1121110
0020100
Estado Futuro
0 1 2 . . . N
0
1
2
. .
.
N
Estado
Actual
Matriz de probabilidades a un pasoMatriz de probabilidades a un paso
Simulación/2002 Héctor Allende
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Procesos MarkovianosProcesos Markovianos
La matriz Probabilidades a un paso genera un sistema de
ecuaciones con N+1 incógnitas, N+1 ecuaciones
independientes y una ecuación redundante que debe ser
eliminada.
1......
......
......
......
......
210
221100
22221120022
12211110011
02201100000
N
NNNNNNN
NN
NN
NN
PPPP
PpPpPpPpP
PpPpPpPpP
PpPpPpPpP
PpPpPpPpP
Simulación/2002 Héctor Allende
33
Matriz de probabilidades
Matriz de probabilidades
La solución a este sistema de ecuaciones origina los
valores de las probabilidades estacionarias independientes
del estado en que se encuentra el sistema inicialmente.
N
N
N
N
PPPP
PPPP
PPPP
PPPP
...
...............
...
...
...
210
210
210
210
Estado Futuro
0 1 2 . . . N
0
1
2
. . .
N
Estado
Actual
Simulación/2002 Héctor Allende
34
Datos del ejemplo: Consultorio de Salud• Número total de observaciones del SM: 73• Intervalo entre observación: 5 Minutos• Tabla de relaciones existente entre datos
EjemploEjemplo
10001
001005
55555
41078
00253
Estado Futuro
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
Estado
Actual
Simulación/2002 Héctor Allende
35
La matriz anterior se explica como:
• De las 73 observaciones, en 10 de ellas el
sistema estuvo en estado 0 y 5 minutos
después el sistema había permanecido igual
en 3 ocasiones, había cambiado a estado 1
en 5 ocasiones, había cambiado a estado 2
en 2 ocasiones, y no se observaron cambios a
los estados 3 y 4.
EjemploEjemplo
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36
EjemploEjemplo
Calculando la probabilidad condicional de estado presente i al estado futuro j, se obtiene la siguiente matriz a un paso:
5.00005.0
0066.0033.0
2.02.02.02.02.0
2.005.0035.04.0
002.05.03.0
Estado Futuro
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
Estado
Actual
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EjemploEjemplo
Donde claramente
4....1,010
iparapN
jij
Aplicando las ecuaciones de estado estacionario a la matriz de un paso, se obtienen las ecuaciones
1
5.02.02.0
2.005.0
66.02.02.0
2.035.05.0
5.033.02.04.03.0
43210
4214
213
3202
2101
432100
PPPPP
PPPP
PPP
PPPP
PPPP
PPPPPP
Simulación/2002 Héctor Allende
38
EjemploEjemplo
Resolviendo el sistema de ecuaciones
173.0
041.0
122.0
310.0
355.0
4
3
2
1
0
P
P
P
P
P
Número promedio de transacciones en la cola
7179.0
)173.0(3)041.0(2)122.0(1)310.0(0)(
q
N
snnq
L
PsnL
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39
Procesos Markovianos
Procesos Markovianos
Característica principal:
Distribución de probabilidad que define la llegada y salida de transacciones del sistema: sigue una ley Poisson.
Para un intervalo de tiempo t esta dado por:
.... 2, 1, 0!
) () | (0
00
0
xx
e tt x X p
t x
Simulación/2002 Héctor Allende
40
Procesos MarkovianosProcesos Markovianos
Condiciones que se deben cumplir
•Solamente puede ocurrir una llegada entre t y t.•Solamente puede ocurrir una salida entre t y t.•Solamente puede ocurrir una llegada o una salida entre t y t.
Por lo que el cambio de estado de n a n+1 se lleva a cabo
al ocurrir una llegada.
Un cambio de estado de n a n-1 solo ocurre cuando se
produce una salida.
Simulación/2002 Héctor Allende
41
Matriz de probabilidad a un paso
Matriz de probabilidad a un paso
NNNN
NNNN
pp
pp
pp
ppp
ppp
pp
,1,
,11,1
...0000
...0000
.......
00...00
00...0
00...0
00...00
3332
232221
121110
0100
Estado Futuro
0 1 2 3 . . . N-1 N
0
1
2
3
.
N-1
N
Estado
Actual
Simulación/2002 Héctor Allende
42
Procesos MarkovianosProcesos Markovianos
Lo cual conduce a:
Nntn
tnnnp
Nntnt
etnnnp
Nntntetnnn
p
n
n
,......,2,1,01,
,......,2,1,0)(1,
1,......,2,1,0)(1,
Simulación/2002 Héctor Allende
43
Ecuaciones de BalanceEcuaciones de Balance
1............10
1,1
1,11,121,2
2211110011
1100000
1
N
NNNNNN
NNNNNNNNN
PPP
PpPpP
PpPpPpP
PpPpPpP
PpPpP
N
N
De la matriz se obtienen las ecuaciones de balance
Simulación/2002 Héctor Allende
44
Ecuaciones de BalanceEcuaciones de Balance
1............
)1()1(
)111(2
)1(
)()1(
10
1
121
22111001
11000
N
NNNN
NNNNNNNN
PPP
PtPtP
tPPtttPP
tPPtttPP
PtPtP
N
Sustituyendo se obtiene
Resolviendo el sistema
............4
321
02103
21
0102
1
001
P
PP
PP
PP
Simulación/2002 Héctor Allende
45
Ecuaciones de BalanceEcuaciones de Balance
Generalizando
Finalmente se obtiene
0321
13210
.....
.....PP
n
nn
1
321
1210
321
210
21
10
1
00 .....
....1
n
nP
Simulación/2002 Héctor Allende
46
• Cola de Espera – Infinita– Finita : Tamaño Máximo
• Instalaciones de Servicio– Número Instalaciones
– Disposición Instalaciones de Servicio En Serie En Paralelo Redes de Servidores
– Distribución Tiempos de Servicio
Elementos Básicos de LE
Simulación/2002 Héctor Allende
47
• Disciplina de Servicio– LIFO– Aleatorio– FIFO– Asignación de Prioridades
A continuación realizaremos las definiciones
de las cantidades que permitirán el estudio
del comportamiento de un sistema de LE.
Elementos Básicos de LE
Simulación/2002 Héctor Allende
48
LE : Definiciones Elementales
N(t): Número Total de Clientes en el Sistema en el tiempo t
Pn(t): Probabilidad de Estado. Probabilidad que en elsistema se encuentren n clientes en el instante t
n(t): Tasa de llegada de clientes nuevos cuando se encuentran n Clientes en el Sistema, en el tiempo t
n(t): Tasa de servicio para el conjunto instalación de servicio cuando se encuentran n clientes en el sistema, en el instante t
S : número de servidores o estaciones de servicio delas instalaciones de servicio del sistema
Simulación/2002 Héctor Allende
49
n :Tasa de Llegada en Estado Estacionario cuando hay n clientes en el sisteman :Tasa de Atención de las instalaciones de servicio en estado estacionario cuando hay n clientes en el sistemabi : Probabilidad que existan i servidores ocupados
b0 = P0 si hay cero servidor ocupado, entonceshay cero clientes en el sistema
bi = Pi probabilidad que existan i, i < s, servidores ocupados, es igual a queexistan i clientes en el sistema
bs = Pn probabilidad que existan s servidoresocupados, es igual a que existans o más clientes en el sistema
n=s
8
LE : Definiciones y Cálculos Elementales
Simulación/2002 Héctor Allende
50
B Número Esperado de Servidores ocupados en uninstante cualesquiera
B = i * b i
esto resulta ser también al número esperado siendoatendidos en un instante dado cualquiera
Ls Número Esperado de Clientes en el Sistema, en cualquier instante
Ls = n Pn
i=0
8
LE : Definiciones y Cálculos Elementales
n=0
8
[Servidores]
[Clientes]
Simulación/2002 Héctor Allende
51
qj Probabilidad que existan j clientes haciendo Cola,en un instante dado
q0 = Pn Probabilidad que existan cero clienteshaciendo Cola; e.o.p., que existan s omenos clientes en el sistema
qj = Ps+j j = 1, 2, 3, .... Probabilidad que existanj clientes haciendo Cola.
Lq Longitud de la Cola: Cantidad promedio o esperado de Clientes esperando ser atendidos, en cualquier instante. (no incluye a los que están siendo atendidos)
Lq= j q j Lq = (n-1)Pn
LE : Cálculos Elementales
j=0
8n=s+1
8
[Clientes]
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52
U Tasa de Utilización de los servidores: Razón Promedio de ocupación por Servidor de la Instalación de Servicio
U =
Tasa Promedio de Llegada de Clientes
= n Pn
R Tasa Promedio (Esperada) de clientes que pasan: entran y salen del sistema. El número promedio de servicios completados por unidad de tiempo.
R =
B
s
LE : Definiciones y Cálculos Elementales
n=0
8
[Clientes]
[Tiempo]
[Clientes]
[Tiempo]
Simulación/2002 Héctor Allende
53
Tasa Promedio de atención de las Instalaciones (cuando en el sistema hay menos clientes que servidores la tasa de atención del sistema es menor)
= n bn n s
Ws tiempo esperado que un cliente cualquiera estaráen el sistema, desde que entra hasta cuando sale de él.
Ws =
Wq Tiempo promedio que un Cliente esperará antes de ser atendido
Wq =
s
LE : Definiciones y Cálculos Elementales
Ls
n=1
Lq
Simulación/2002 Héctor Allende
54
LsNúmero Esperado de Clientes en el Sistema
Ls = nPn
Lq Número Esperado de Clientes en la cola
Lq = (n-s)Pn
Ws Tiempo Estimado de Espera en el Sistema
Ls = Ws
Tasa Estimada de Llegada de Clientes
= nPn
LE : Medidas de Desempeño
n=0
n=s+1
n=0
Simulación/2002 Héctor Allende
55
Relación Tiempos de Espera
Ws = Wq + 1 /
Relación Número Esperado de Clientes
Ls = Lq + /
Número Esperado de Servidores Ocupados
B = Ls - Lq = /
Tasa Esperada de Utilización de los Servidores
U = / s
LE : Medidas de Desempeño
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56
X X , x , X , X, X
PATRON de LLEGADASM: MarkovianoG : GeneralE : Erlang
PATRON del SERVICIOM: MarkovianoG : GeneralE: Erlang
NUMEROSERVIDORES
1: un servidors: s servidores en paralelo
TAMAÑO POBLACION : Infinita P : Finita
8
TAMAÑO COLA : InfinitaK : Finita
8
Notación en LEDISCIPLINA
DE SERVICIODG , FIFO , LIFO
RAND, PRI
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57
Notación en L.E. : Distribuciones Llegadas y Salidas
• M : Distribución de Llegadas o Salidas de Poisson o Markoviana. (Distribución Exponencial de tiempos de servicio)
• D : Tiempo entre llegadas o de servicio constante o determinista
• EK : Distribución de Servicio de Erlang o Gamma de parámetro k entre llegadas o de servicio
• GI : Distribución de Llegadas General Independiente (o tiempo entre llegadas)
• G : Distribución de Salidas General (o tiempo de servicio)
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58
Estudio de L.E.
• Todas las definiciones y ecuaciones anteriores, junto con suposiciones acerca de las distribuciones de llegada y salida nos permitirán realizar el estudio de un sistema de l.e. en el régimen transiente.
• Los cálculos se realizan en secuencia, siendo el primer paso el cálculo de Pn como función de n y n y así sucesivamente hasta lograr calcular todas las medidas de desempeño definidas antes.
• La deducción de una expresión para Pn se logra en base al diagrama de tasas de transición.
Simulación/2002 Héctor Allende
59
Estudio L.E.: Diagrama Tasas de Transición
• Dado que hay n clientes en el sistema en un instante t, el número de clientes luego de un t suficientemente pequeño será (n-1) si ocurrió una salida o (n+1) si fue una entrada
• Se obtiene la ecuación de equilibrio:
n-1Pn-1 + n+1Pn+1= ( n + n) Pn
n-1 n+1
n
n
n
n
n+1
... ...
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60
Estudio L.E.: Ejemplos de Cálculo en base a Diagramas Tasas de Transición
• A continuación ejemplificaremos el proceso de cálculo de las medidas de desempeño de l.e. en 4 tipos de sistemas de colas definidas por tasas de llegadas y tiempos de atención poissonianos: M / M / 1 / DG / / M / M / s / DG / / M / M / 1 / DG / P / M / M / 1 / DG / / K
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61
0 1 2 4 n
t
t
3
....... ....
M / M / 1 / DG / / : markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita
Simulación/2002 Héctor Allende
62
1 2 s+1 n
t
t (s
s-1 s
s s s s s
.... .... ....
M / M / s / DG / / : markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita
Simulación/2002 Héctor Allende
63
0 1 2 n P
P P
3
.... ....
(P (P-n (P-n
M / M / 1 / DG / P / : markoviano, markoviano, 1 servidor, población finita, cola infinita
Simulación/2002 Héctor Allende
64
0 1 2 n K
3
.... ....
M / M / 1 / DG / / K : markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola finita
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65
Estudio de otros ME• Los 4 ejemplos anteriores corresponden a los casos “clásicos en teoría l.e. Veamos otros ejemplos de Poisson o
Markovianos de interés: M / M / s / DG / / K
M / M / s / DG / P /
Caso Finito: M / M / s / DG / P / s P
Autoservicio: M / M / / DG / /
Modelo de Servicio de Máquinas:
M / M / s / DG / P / P s P
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