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Objetivos
• Resolver un sistema de ecuaciones lineales acopladas
• Obtener la inversa de una matriz
• Calcular el determinante de una matriz
• Factorizar matrices
Solución de sistemas pequeñosLa solución de un sistema lineal de 2 ecuaciones puede obtenerse fácilmente de forma gráfica
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
Despejando x2 y graficando
22
21
22
212
12
11
12
112
ab
xaa
x
ab
xaa
x
12
11
12
112 a
bx
aa
x
22
21
22
212 a
bx
aa
x
solución
Tipos de soluciones
No hay solución Infinidad de soluciones Sistema mal condicionado
Ejemplo
½x1 + x2 = 1
½x1 + x2 = ½
Ejemplo
½x1 + x2 = 1
x1 + 2x2 = 1
Ejemplo
½x1 + x2 = 1
0.501x1 + x2 = 0.9
Determinantes
Solución de un sistema de 3x3
La matriz del sistema es:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
223132211323313321122332332211
3231
222113
3331
232112
3332
232211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
El determinante de A es:
Regla de Cramer
Cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales algebraicas puede expresarse como la razón de dos determinantes con denominados D y con numerador obtenido a partir de D, al reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las constantes independientes b1, b2, …, bn. Por ejemplo x1 se calcula con:
333231
232221
131211
33323
23222
13121
1
aaa
aaa
aaa
aab
aab
aab
x
DefiniciónUn sistema lineal es un sistema de la forma:
E1: a11x1 + a12x2 + a13x3 +...+ a1nxn = b1
E2: a21x1 + a22x2 + a23x3 +...+ a2nxn = b2
.
En: an1x1 + an2x2 + an3x3 +...+ annxn = bn
Donde x1, x2, x3.., xn son las incógnitas.
Operaciones básicas
Se utilizarán tres operaciones para simplificar un sistema lineal:
1. La ecuación Ei puede multiplicarse por una constante distinta de cero. (Ei) (Ei)
2. La ecuación Ej puede multiplicarse por una constante distinta de cero y sumarse a otra ecuación Ei. (Ei +Ej) (Ei)3. El orden de las ecuaciones Ei y Ei puede intercambiarse. (Ei) (Ei)
EjemploE1: x1 + x2 + 3x4 = 4
E2: 2x1+ x2 – x3 + x4 = 1
E3: 3x1- x2 – x3 + 2x4 = -3
E4: -x1+2x2 +3x3 - x4 = 4
Las operaciones:
(E2 –2E1)E2, (E3 –3E1) E3, (E4 + E1)E4
Transforman el sistema en:
positivo
SimplificarE1: x1 + x2 + 3x4 = 4
E2: - x2 – x3 - 5x4 = -7
E3: - 4x2 – x3 -7x4 =-15
E4: + 3x2 +3x3 + 2x4 = 8
Las operaciones:
(E3 –4E2)E3, (E4 +3E2) E4
Transforman el sistema en:
SimplificarE1: x1 + x2 + 3x4 = 4
E2: - x2 – x3 - 5x4 = -7
E3: 3x3 +13x4 = 13
E4: -13x4 = -13
El sistema se puede resolver hacia atrás.
x4 = 1
x3 = (13-13x4)/3 = 0
x2 = -(x3 + 5x4 -7) = 2
x1 = -x2 - 3x4 + 4 = -1
Comprobación
E1: (-1)+(2)+3(1)= 4
E2: 2(-1)+(2)–(0)+(1) = 1
E3: 3(-1)-(2)–(0)+2(1)= -3
E4: -(-1)+2(2)+3(0)-(1) = 4
E1: x1 + x2 + 3x4 = 4
E2: 2x1+ x2 – x3 + x4 = 1
E3: 3x1- x2 – x3 + 2x4 = -3
E4: -x1+2x2 +3x3 - x4 = 4
x1 = -1
x2 = 2
x3 = 0
x4 = 1
Solución en Matlab%sistema de ecuacionesA = [1,1,0,3,4;2,1,-1,1,1;3,-1,-1,2,-3;-1,2,3,-1,4]x = [0 0 0 0]’;%operaciones%(E2 - 2E1) -> E2A(2,:) = A(2,:) - 2*A(1,:);%(E3 - 3E1) -> E3A(3,:) = A(3,:) - 3*A(1,:);%(E4 + E1) -> E4A(4,:) = A(4,:) + A(1,:);%(E3 - 4E2) -> E3A(3,:) = A(3,:) - 4*A(2,:);%(E4 + 3E2) -> E4A(4,:) = A(4,:) + 3*A(2,:);x(4) = A(4,5)/A(4,4);x(3) = (A(3,5)-A(3,4)*x(4))/A(3,3);x(2) = (A(2,5)-A(2,3:4)*x(3:4))/A(2,2);x(1) = (A(1,5)-A(1,2:4)*x(2:4))/A(1,1);
Actividad
Resolver
x1 + x2 + x4 = 2
2x1 + x2 - x3 + x4= 1
4 x1 - x2 - 2x3 + 2 x4 = 0
3x1 - x2 - x3 + 2 x4 = -3
Matrices
nmnn
m
m
ij
aaa
aaa
aaa
aA
21
22221
11211
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos de n renglones y m columnas.
Representación matricial
nnnmnn
nm
nm
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
El sistema de ecuaciones
Se puede representar por una matriz ampliada
nnnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
A
.
..
.
.
, 2
1
21
22221
11211
b
Ejemplo
4.
3.
1.
4.
1321
2113
1112
3011
(E2 –2E1) E2, (E3 –3E1) E3, (E4 + E1) E4
(E3 –4E2) E3, (E3 +3E2) E4
8.
15.
7.
4.
1330
7140
5110
3011
13.
13.
7.
4.
13000
13300
5110
3011
Eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás
1,
1,2
1,1
21
22221
11211
.
..
.
.
,
nn
n
n
nnnn
n
n
a
a
a
aaa
aaa
aaa
AA
b
Se forma la matriz aumentada
Siempre que aii 0, realizamos la operación
(Ej–(aji/aii) Ei) (Ej)
Para i = 1, 2, 3, ..., n-1 y j = i + 1, i + 2, ..., n.
1,
1,2
1,1
222
11211
.
..
.
.
00
0
nn
n
n
nn
n
n
a
a
a
a
aa
aaa
A
Sustitución hacia atrás
nn
nnn a
ax
,
1,
1,1
,11,11
nn
nnnnnn a
xaax
ii
n
ij jjini
ii
iiinninninii a
xaa
a
xaxaxaax
,
1 ,1,
,
11,11,,1, ...
En general
Algoritmo Gauss
Entrada: número de incógnitas y de ecuaciones n, matriz aumentada (aij) donde 1<= i <= n y 1<= j <= n+1.
Salida: solución x1, x2 ... xn o mensaje de que no hay solución
1. Para i = 1 hasta n-1
2. Sea p el entero más pequeño con i <= p <= n y api <> 0
3. Si no se encuentra p
4. Salida(“no existe solución”)
5. terminar
continuación6. Si p<>i realice (Ei)<->(Ep)
7. Para j = i+1 hasta n
8. mij = aij/aii
9. Realice (Ej-mijEi) -> (Ej)
10. Si ann=0 entonces
11. Salida(“no existe solución”)
12. xn = an,n+1/ann
13. Para i = n – 1 hasta 1
14. xi = [ai,n+1-j=i+1 aijxj]/aii
Inversa
La inversa de una matriz A de n x n es una matriz A -1 tal que A x A-1 = A-1 x A = In
Una matriz que tiene inversa se le llama matriz no singular.
Una matriz que no tiene inversa es una matriz singular.
Se cumple que:
a. La inversa es única.
b. La inversa de una matriz no singular es no singular y (A-1)-1 = A
c. Si A y B son no singulares, (AB)-1 = B-1 A-1
Obtención de la inversaSea Bj la j-ésima columna de la matriz B de n x n.
nj
j
j
j
b
b
b
B2
1
Si AB = C, entonces la j-esima columna de C está dada por:
n
k kjnk
n
k kjk
n
k kjk
nj
j
j
nnnn
n
n
jj
nj
j
j
ba
ba
ba
b
b
b
aaa
aaa
aaa
ABC
c
c
c
1
1 2
1 1
2
1
21
22221
11211
2
1
Cont.
0
0
1
0
0
jAB
Supongamos que A-1 existe y que A-1 = B = (bij). Entonces AB = I y
Para encontrar B podemos resolver n ecuaciones lineales donde la j-ésima columna de la inversa es la solución del sistema lineal que en el lado derecho tiene la j-ésima columna de I.
Ejemplo
211
012
121
A
333231
232221
131211
211
012
121
bbb
bbb
bbb
AB
332313322212312111
231322122111
332313322212312111
222
222
222
bbbbbbbbb
bbbbbb
bbbbbbbbb
AB
Si B = A1, entonces AB = I se tiene
120202
021202
020212
332313322212312111
231322122111
332313322212312111
bbbbbbbbb
bbbbbb
bbbbbbbbb
31
31
31
92
91
94
91
95
92
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
31
31
31
92
91
94
91
95
92
1A
Inversa en Matlabfunction x = inversa(B)[n dumy] = size(B);I = eye(n);A = [B,I];x = zeros(n);for i = 1 : n-1 p = i; while p < n && A(p,i) == 0; p = p + 1; end if p == n fprintf('Matriz singular...'); return; end if p ~= i temp = A(i,:); A(i,:) = A(p,:); A(p,:) = temp; end for j = i+1 : n m = A(j,i)/A(i,i); for k = 1 : 2*n A(j,k) = A(j,k) - m*A(i,k); end endend
Inversa en Matlabif A(n,n)==0 fprintf('Matriz singular...'); return;endfor k = 1: n x(n,k) = A(n,n+k)/A(n,n); for i = n-1 : -1: 1 s = A(i,n+k); for j = i+1 : n s = s - A(i,j)*x(j,k); end x(i,k) = s/A(i,i); endend
Comandos de Matlab para matrices
inv(m) – invierte una matriz cuadrada m.También m^-1.
/ – divide, A/B es equivalente a B*inv(A)
\ – divide, A\B es equivalente a inv(A)*B
det(m) – calcula el determinante de m.
trace(m) – suma los elementos de la diagonal de m.
Tarea
1. Determine cual de las siguientes matrices son no singulares y calcule su inversa. a.| 4 2 6| b.|1 2 0| c.|4 0 0| | 3 0 7| |2 1 -1| |0 0 0| |-2 -1 -3| |3 1 1| |0 0 3|
d.|1 1 -1 1| e.|4 0 0 0| f.|2 0 1 2| |1 2 -4 -2| |6 7 0 0| |1 1 0 2| |2 1 1 5| |9 11 1 0| |2 -1 3 1| |-1 0 -2 -4| |5 4 1 1| |3 -1 4 3|
Álgebra lineal
Definición: dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño n x m y si aij = bij para todo i = 1, 2, .., n y j = 1, 2, ..., m.
Definición: la suma de dos matrices A y B del mismo tamaño n x m es igual a una matriz C donde cij = aij + bij para todo i = 1, 2, .., n y j = 1, 2, ..., m.
Definición: la multiplicación de una matriz A de tamaño n x m por una escalar es una matriz de tamaño n x m cuyos elementos son aij para todo i = 1, 2, .., n y j = 1, 2, ..., m.
Propiedades de las matrices
Si A, B y C son matrices de tamaño n x m, y y son números reales, se cumplen las siguientes propiedades:
a. A + B = B + A e. (A + B) = B + A
b. (A + B) + C = A + (B + C) f. ( + )A = A + A
c. A + 0 = 0 + A = A g. (A) = (A
d. A + (-A) = -A + A = 0 h. 1A = A
Multiplicación de matrices
Sea A una matriz de n x m y B una matriz de m x p. El producto de la matriz A por la matriz B se define como la matriz C de n x p donde los elementos de C se calculan por:
mjimjiji
m
kkjikij babababac
...22111
DefinicionesUna matriz cuadrada es la que tiene igual número de renglones que de columnas.
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada con D =(dij) con dij = 0 simpre que i<>j.
La matriz identidad de orden n, In = (ij) es una matriz diagonal con ij = 1 si i = j y ij =0 si i<>j.
Una matriz triangular superior de n x n U = (uij) tiene, para toda j = 1, 2, ..., n, los elementos
uij = 0, para cada i = j +1, j + 2, ..., n
Una matriz triangular inferior de n x n L = (lij) tiene, para toda j = 1, 2, ..., n, los elementos
lij = 0, para cada i = 1, 2, ..., j – 1
Traspuesta
La traspuesta de una matriz A de n x m es una matriz At tal que la i_ésima columna de At es la misma que el i-ésimo renglón de A.
Se cumple que
a. (At)t = A
b. (A + B)t = At + Bt
c. (AB)t = Bt At
d. Si A-1 existe, (A-1)t = (At)-1
DeterminanteSi A es una matriz de 1 x 1, entonces det(A) = x.
Si a es de orden mayor que 1, calcule el determinante de A como sigue:
Escoja cualquier fila o columna. para cada elemento A[i, j] en esa fila o columna, forme el producto
(-1)(i+ j)*A[i, j]*det(menor(A[i, j]))
Donde det(menor(A[i, j])) es el determinante del menor de A[i, j].
det(A) = suma de todos los productos para la columna o fila seleccionada.
Propiedadesa. Si un renglón o columna tiene solo ceros, el determinante es cero.
b. Si se intercambian 2 renglones o columnas, el signo del determinante cambia
c. Si dos columnas o renglones son iguales, el determinante es cero.
d. Si se multiplica un renglón o columna por un numero real el determinante se multiplica por ese número real.
e. Si se suma un múltiplo de un renglón o columna a otro renglón o columna, el determinante no se altera.
f. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada una.
g. El determinante de la inversa es el inverso del determinante de la matriz original.
Cálculo eficiente del determinante
Convertir la matriz en una matriz triangular superior y calcular el determinante de ésta.
El determinante de una matriz triangular superior es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
La matriz triangular se obtiene mediante la eliminación gaussiana.
Determinante en Matlab
function x = determinante(A)[n dumy] = size(A);for i = 1 : n-1 p = i; while p < n && A(p,i) == 0; p = p + 1; end if p == n x = 0; return; end if p ~= i temp = A(i,:); A(i,:) = A(p,:); A(p,:) = temp; end
for j = i+1 : n m = A(j,i)/A(i,i); for k = 1 : n A(j,k) = A(j,k) - m*A(i,k); end endendif A(n,n)==0 x = 0; return;endp = 1;for i = 1:n p = p*A(i,i);endx = p;
Descomposición LU
La descomposición LU transforma una matriz a en el producto de dos matrices triangulares
A = LU (1)Donde L es triangular inferior y U es triangular superior.
Un sistema Ax = b se puede escribir comoLUx = b (2)
Si hacemosUx = d (3)
ObtenemosLd = b (4)
Con (4) se obtiene z y después con (3) se obtiene x.
En los casos en que se tengan varios sistemas con la misma matriz de coeficientes es más eficiente aplicar este método que resolver cada uno mediante Gauss.
Supongamos un sistema de 3x3
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
En el primer paso de eliminación gaussiana se multiplica el renglón 1 por f 21 = a21/a11 y se le resta al segundo para eliminar a21.
Luego se multiplica el renglón 1 por f 31 = a31/a11 y se le resta al tercer para eliminar a31.
El paso final es multiplicar el segundo renglón por f 32 = a’32/a’22 y restar el resultado al tercer renglón.
Los valores de f 21, f 31 y f 32 se pueden retener en a21, a31 y a32 .
Después de la eliminación
333231
232221
131211
''
''
aff
aaf
aaa
Esta matriz representa un almacenamiento eficiente de la descomposición LU de A.
A = L U
donde
33
2322
131211
''00
''0
a
aa
aaa
U
1
01
001
3231
21
ff
fL
Ejemplo
102.03.0
3.071.0
2.01.03
A
Los valores de f 21, f 31 son
f 21 = 0.1/3 = 0.033333 y
f 31 = 0.3/3 = 0.1
020.1019.01.0
29333.000333.703333.0
2.01.03 El valore de f 32 es
f 32 = 0.19/7.003333 = 0.027130
0120.10027130.01.0
29333.000333.703333.0
2.01.03
0120.1000
29333.000333.70
2.01.03
U
1027130.01.0
0103333.0
001
L
99996.92.03.0
3.07099999.0
2.01.03
0120.1000
29333.000333.70
2.01.03
1027130.01.0
0103333.0
001
A
Algoritmo
Sub Decompose(a, n) DoFor k=1, n – 1 DoFor i=k+1, n factor = ai,k/ak,k
ai,k = factor DoFor j=k+1, n ai,j = ai,j – factor * ak,j
EndDo EndDo EndDoEnd Decompose
Solución del sistemaPara resolver un sistema de ecuaciones procedemos multiplicando L por un vector d y sustituyendo hacia adelante.
33232131
22121
11
3
2
1
3
2
1
3231
21
1
01
001
bddldl
bddl
bd
b
b
b
d
d
d
ll
l
Con estos valores evaluamos U por X y sustituimos hacia atrás
1313212111
2123222
33
3
2
1
3
2
1
33
2322
131211
''
'00
''0
dxaxaxa
dxaxa
dx
d
d
d
x
x
x
a
aa
aaa
Ejemplo
4.71
3.19
85.7
102.03.0
3.071.0
2.01.03
3
2
1
x
x
x
0843.70
5617.19
85.7
4.7102713.01.0
3.193333.0
85.7
4.71
3.19
85.7
1027130.01.0
0103333.0
001
3
2
1
321
21
1
3
2
1
d
d
d
ddd
dd
d
d
d
d
Ld
00003.7
5.2
3
0843.70
5617.19
58.7
0120.1000
29333.000333.70
2.01.03
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
Ux
EjemploSea el sistema: -6x1 + x2 + x3 = -37 4x1 + 3x2 + x3 = -25 5x1 - 3x2 + x3 = -34
135
134
116
A
34
25
37
b
La descomposición LU nos da
15909.8333.
016667.
001
L
8182.200
6667.16667.30
116
U
180.94
667.49
37
8182.200
6667.16667.30
116
3
2
1
x
x
x
Ux
34
25
37
15909.8333.
016667.
001
3
2
1
z
z
z
Ly
z1 = -37
-.6667z1 + z2 = -25
-.8333z1 - .5909z2 + z3 = -34
2.8182x3 = -94.180
3.6667x1 + 1.6667x2 = -49.667
-6x1 + x2 + x3 = -37
X1 = 0.87097X2 = 1.64516X3 = -33.41935
PivoteoLa descomposición LU se implementa con el algoritmo de Gauss. Si se modifica el orden de las filas, se deberá tomar en cuenta este hecho.El algoritmo siguiente genera una matriz P de permutación para tomar en cuenta el intercambio de filas.La matriz de permutación se obtiene intercambiando renglones en una matriz identidad. Por ejemplo, la siguiente matriz intercambia el primer y segundo de una matriz A al premultiplicarla por A.
El guión regresaPA = LU
La ecuación original se escribePAx = Py
OLUx = y
100
001
010
P
Algoritmo en Matlabfunction [l u p]= descomposicionLU(a)%l – matriz triangular inferior%u – matriz triangular superior%p – matriz de permutacioneslu = a;[n muda] = size(a);p = eye(n);psigno = 1;for k=1:n j = k; for i = k+1:n % encontrar pivote if abs(lu(i,k))>abs(lu(j,k)) j = i; end end if j!= k % intercambia con el pivote t = lu(j,:); lu(j,:) = lu(k,:); lu(k,:) = t; t = p(j,:); p(j,:) = p(k,:); p(k,:) = t; psigno = -psigno; end
if lu (k,k) != 0 for i = k+1:n lu(i,k) = lu(i,k)/lu(k,k); for m=k+1:n lu(i,l) = lu(i,m)-lu(i,k)*lu(k,m); end end endend %fin lazo kfor i = 1:n for j = 1:n if i>j l(i,j) = lu(i,j); elseif i==j, l(i,j) = 1; elsel(i,j) = 0; end endendfor i = 1:n for j = 1:n if i<=j, u(i,j) = lu(i,j); else u(i,j) = 0; end endend
Substitución hacia adelante y hacia atrás
function y=sub_adelante(L,w)[nRow,nCol]=size(L);y=zeros(nRow,1);y(1)=w(1)/L(1,1);for n=2:nRow y(n)=( w(n) - L(n,1:n-1)*y(1:n-1) ) / L(n,n);end
function x=sub_atras(U,v)[nRow,nCol]=size(U);x=zeros(nRow,1);x(nRow)=v(nRow)/U(nRow,nRow);for n=(nRow-1):-1:1 x(n)=(v(n)-(U(n,n+1:end)*x(n+1:end))) / U(n,n);end
Guión para resolver un sistema
function x=resolver(A,b)% Resuelve Ax=b%ENTRADA:% A: matriz cuadrada% b: vector de tamaño n%%SALIDA:% x: la solución a A*x=b[L,U,P] = descomposicionLU(A);y = sub_adelante(L,P*b);x = sub_atras(U,y);
Tarea1. Factorice las siguientes matrices en la descomposición LU con Octave y con los guiones para LU. Haga a mano el producto PLU y confirme que es igual a la matriz original. Utilice 3 cifras después del punto decimal. a.| 4 2 6| b.|1 2 6| c.|1 3 8| | 3 5 7| |2 1 -1| |0 7 0| |-2 -1 3| |3 1 1| |1 7 3|
d.| 1 -1 -1 1| e.|4 0 4 0| f.|1 3 1 2| | 1 2 -4 -2| |6 7 1 5| |8 1 -6 2| | 2 1 1 5| |7 1 1 0| |2 -4 3 -1| |-1 6 -2 -4| |2 4 1 1| |3 -2 4 3|2. Encuentre los determinantes de las matrices anteriores
AplicaciónUna red eléctrica puede representarse por medio de un sistema de ecuaciones.
Supongamos una red que consista solo de resistencias y fuentes de voltaje independientes.
El sistema a resolver es
RI = V
Donde R es la matriz de resistencias de la red, V es un vector donde cada componente es el voltaje de la malla e I es el vector de corrientes a determinar.
La matriz de resistencias tiene la siguiente forma
nnn
n
RR
RR
RRR
..
....
....
...
1
2221
11211
Donde Rii es la resistencia total de la malla i, y –Rij es la resistencia total entre la malla i y la malla j.
Análisis de redes
I1 I2
I4I3
R1
R2 R3
R4
R5
R6
R7
R9
V1
V2V3
2
23
1
4
3
2
1
9866
744
66535
45421 0
00
00
0
0
V
VV
V
I
I
I
I
RRRR
RRR
RRRRR
RRRRR
R8
Solución en Matlab% Calculo de las corrientes de malla en una red eléctrica% a - vector utilizado para leer los datos desde un archivo% nm = numero de mallas% nr = numero de resistencias% m1 = vector con la malla uno de cada resistencia% m2 = vector con la malla dos de cada resistencia% res = vector con los valores de las resistencias leídas% r = matriz de resistencias% v = vector con los voltajes totales de malla% amp = vector de corrientes de malla% la descripción de la red se lee desde un archivo, el formato es% nm% nr% res(1)% m1(1)% m2(1)% ...% res(nr)% m1(nr)% m2(nr)% v(1)% ...% v(nm)%
Solución en Matlabnn = 1;%almacena todos los datos en el vector aa = textread('malla.txt');nm = a(nn);nn = nn+1;nr = a(nn);nn = nn+1;%lee cada elementofor n = 1:nr res(n) = a(nn);nn = nn+1; m1(n) = a(nn);nn = nn+1; m2(n) = a(nn);nn = nn+1;end%descripcion de los datos leidosfor n = 1:nr fprintf('R%d=%6.3f entre malla %d y %d\n',n,res(n),m1(n),m2(n));end%Leer voltajes de malla y los despliegafor n = 1:nm v(n) = a(nn);nn = nn+1; fprintf('Voltaje de malla %d = %12f8:\n',n,v(n))end
Solución en Matlab%crea matriz de resistenciasr = zeros(nm);for n = 1:nr j = m1(n); k = m2(n); if k~=0 r(k,k) = r(k,k) + res(n); r(j,k) = r(j,k) - res(n); r(k,j) = r(j,k); end r(j,j) = r(j,j) + res(n);end%imprime matriz de resistenciasfprintf('Matriz de resistencias');r%calcula corrientesamp = inv(r)*v';%imprimir resultadosfor n = 1:nm fprintf('Corrientes de malla %d = %12f8:\n',n,amp(n))end
Ejemplo numérico
I1I5
I4I2
38.9
1017
9493492
837
42.1 986
4821
5732842
5670
I359.76
4821349864057324 55670 5 038.9042.1059.76
Número de mallas
Número de resistencias
Valor de resistencia
Malla 1
Malla 2
59101713349212837249492084235
Número de mallas
Número de resistencias
Resultados
R1=1017.000 entre malla 1 y 3R2=3492.000 entre malla 1 y 2R3=837.000 entre malla 2 y 4R4=949.000 entre malla 2 y 0R5=842.000 entre malla 3 y 5R6=4821.000 entre malla 3 y 4R7=986.000 entre malla 4 y 0R8=5732.000 entre malla 4 y 5R9=5670.000 entre malla 5 y 0Voltaje de malla 1 = 38.900000Voltaje de malla 2 = 0.000000Voltaje de malla 3 = 42.100000Voltaje de malla 4 = 0.000000Voltaje de malla 5 = 59.760000
Matriz de resistencias r = 4509 -3492 -1017 0 0 -3492 5278 0 -837 0 -1017 0 6680 -4821 -842 0 -837 -4821 12376 -5732 0 0 -842 -5732 12244
Corrientes de malla 1 = 0.036338Corrientes de malla 2 = 0.027346Corrientes de malla 3 = 0.028966Corrientes de malla 4 = 0.020833Corrientes de malla 5 = 0.016626
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