Sistema Binario

DefinicinUn sistema es un conjunto de elementos que estn activa y dinmicamente relacionados para alcanzar un objetivo a travs de la manipulacin y procesamiento de datos, energa y/o materia de entrada, para entregar informacin, energa y/o materia como producto final a la salida.Un sistema digital es una combinacin de dispositivos diseado para manipular cantidades fsicas (seales) o informacin que estn representadas en forma digital; es decir, que slo puedan tomar valores discretos. Los sistemas digitales emplean solo dos valores discretos, por lo que se dice que son binarios. Un dgito binario llamado bit tiene dos valores: 0 y 1.

DefinicinEl sistema binario, en matemticas e informtica, es un sistema de numeracin en el que los nmeros se representan utilizando solamente los dgitos cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeracin natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

Cdigo BinarioEl cdigo binario es el sistema de representacin de: caracteres en textos, posicionamiento en mecanismos o instrucciones del procesador del computador, entre otros; utilizando el sistema binario (sistema numrico de dos dgitos, o bit: el "0" y el "1"). En informtica y telecomunicaciones, el cdigo binario se utiliza con variados mtodos de codificacin de datos, tales como cadenas de caracteres, o cadenas de bits. Estos mtodos pueden ser de ancho fijo o ancho variable.En un cdigo binario de ancho fijo, cada letra, dgito, u otros smbolos, estn representados por una cadena de bits de la misma longitud, como un nmero binario que, por lo general, aparece en las tablas en notacin octal, decimal o hexadecimal.

Dgitos binarios (bit)Lgica positivaAlto = 1Bajo = 0Lgica negativaAlto = 0Bajo = 1

Algebra de Boole

En Algebra aprendiste leyes y propiedades. Por ejemplo, la propiedad Conmutativa de la Suma A + B = B + A (A y B son nmeros enteros o reales)

En 1860 George Boole desarroll un Algebra en la que los valores de A y B slo podan ser verdadero o falso (1 0). Se llama Algebra de Boole y se utiliza en Electrnica Digital

Suma Booleana es la funcin lgica OR X=A + B

Multiplicacin Booleana es la funcin lgica AND X = AB Operaciones del Algebra de Boole

Commutativa de la sumaA+B = B+AEl orden en la OR no importa

Conmutativa del productoAB = BAEl orden en la AND no importa

Asociativa de la sumaA + (B + C) = (A + B) + CAgrupar variables en la OR no importa

Asociativa del productoA (B C) = (A B) CAgrupar variables en la AND no importa

DistributivaA(B + C) = AB + AC

ABC

XYX=Y

Distributiva(A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BDAB C D X YX=Y

A+0=AHacer una operacin OR con 0 no cambia nada.A

XX=A

A+1=1Hacer una operacin OR con 1 da siempre 1.A

XX=1

A0=0Hacer una operacin AND con 0 siempre da 0A

XX=0

A1 =AHacer una operacin AND con 1 no cambia nadaA

XX=A

A+A = AHacer una operacin OR consigo mismo da el mismo resultadoAA

XA=A

A+A=1O bien A o A sern 1, luego la salida ser 1AA

XX=1

AA = AHacer una operacin AND consigo mismo da el mismo resultadoAA

XA=A

AA =0Bien A o A son 0 luego la salida ser 0.AAXX=0

A = ASi negamos algo dos veces volvemos al principio A

XX=A

A + AB = A ABX

A + AB = A + B (absorcin)Si A es 1 la salida es 1 Si A es 0 la salida es B

A B X YX=Y

(A + B)(A + C) = A + BCABC

XY

Tres leyes y doce propiedades en Algebra de Boole

Leyes de De Morgan

De Morgan ayuda a simplificar circuitos digitales usando NORs y NANDs.

A B = A + B

A + B = A B

Igual para ms de 2 variables.

Ambos circuitos tienen la misma salida: De Morgan funciona

A +B +C + D = A B C D

Clculo de la expresin algebraica de salida (ejemplo 1)

(A + B) (CD) = (A + B) + (CD) = A + B + CDX e Y son iguales

Clculo de la expresin algebraica de salida(ejemplo 2)

X = (A+B) C + CD + B = (A+B) C CD + B = (A+B) C (CD + B) = A B C (C +D +B) = A B C C + A B C D +A B C B = A B C D

Los circuitos son iguales

Anlisis Booleano de Funciones Lgicas

El propsito de este apartado es obtener expresiones booleanas simplificadas a partir de un circuitoSe examina puerta a puerta a partir de sus entradasSe simplifica usando las leyes y propiedades booleanas.

Puerta a puerta a partir de sus entradas

X= AB+(C+D)X= AB + C+ DEjemplo 1

X = (AB)(CD)X = ABCDEjemplo 2

Ejemplo 3

X = ABCD +ASimplificando:X = A + BCD

Ejemplo 4

X = (AB+B)BCUsando la propiedad distributiva:X = ABBC +BBCX = ABC + BBCX = ABC + 0CX = ABC + 0X = ABCEn la siguiente transparencia se ve cmo las dos cosas son lo mismo

Ejemplo 5

X = (A +AB) +(B(C+D))

X = (A + B) + (B(C + D))

X = (A + B) + (BC + BD)

X = A + B + BC + BD

X = A + B + C + BD (sigue en la prxima transparencia)

X = A + B + BD + C

X = A + B + D + CLos circuitos son iguales

Expresiones booleanas desde tablas de verdad

Producto de sumas

Y=(A+B+C)(D+C)(E+F)

Suma de productos

Y= ABC+BCD+ACD o directamenteY= ABC+BCD+ACD

Sumas de productosABCD + ABCD + ABCD + ABCDLa funcin es 1 cuando ABCD=1111 o cuando ABCD=1110 o cuando ABCD=1011 o cuando ABCD=0011 y en ningn otro casoCuando ABCD=1111, el producto ABCD y slo se es 1.Cuando ABCD=1110, el producto ABCD y slo se es 1,y as sucesivamente resultando que

(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)Productos de sumasLa funcin es 0 cuando ABCD=0010 o cuando ABCD=0100 o cuando ABCD=0111 o cuando ABCD=1010 o cuando ABCD=1101y en ningn otro casoCuando ABCD=0010, la suma A+B+C+D y slo sa es 0. Cuando ABCD=0100, la suma A+B+C+D y slo sa es 0, y as sucesivamente resultando que

Minimizacin de funciones lgicas

Mapas de Karnaugh: se usan para minimizar el nmero de puertas requeridas en un circuito digitalEs adecuado en vez de usar leyes y propiedades cuando el circuito es grandeSe consigue, aplicando adecuadamente el mtodo, el circuito ms simplificado posible

El mapa se hace con una tabla con tantas celdas como Sumas de Productos posibles, teniendo en cuenta el nmero de variables que se utilice.

2 variables, entonces mapa 2x23 variables, entonces mapa 4x2 4 variables, entonces mapa 4x45 variables, entonces mapa 8x4Mapa de Karnaugh

Lo interesante del mapa es moverse de una celda a otra contigua con el cambio de una sola variable.Los movimientos son arriba-abajo o derecha-izquierda (nunca en diagonal). El mapa tambin se dobla sobre s mismo con la misma regla: slo cambia una variable de la ltima columna a la derecha a la primera a la izquierda, o de la fila de abajo a la de arriba. Emplearemos un cdigo Gray, que se caracteriza porque entre dos cdigos consecutivos (incluidos los extremos) slo hay un bit de diferencia. Mapa de Karnaugh

El mapa va de Falso a Verdadero, de izquierda a derecha y de arriba abajoLa celda de arriba a la izquierda es A B. Si F= A B, entonces hay que poner 1 en esa celdaEsto muestra que F = 1 cuando A=0 y B=00011

Si F=AB + AB entonces hay que poner 1 en las dos celdasSabemos por el Algebra de Boole que A B + A B = BEn el mapa de Karnaugh podemos agrupar celdas adyacentes y ver que F = B

Mapas de 3 variablesCdigo Gray

A BA BA BA BC C

X = A B C + A B C + A B C + A B CCada trmino de 3 variables es una celda en un mapa de Karnaugh 4 X 21111C CCdigo Gray

A BA BA BA B

X = A B C + A B C + A B C + A B CCdigo Gray

A BA BA BA BUna simplificacin podra ser: X = A B + A B1111C C

X = A B C + A B C + A B C + A B CCdigo Gray

A BA BA BA BOtra simplificacin podra ser: X = B C + B CEl mapa de Karnaugh se dobla circularmente1111C C

X = A B C + A B C + A B C + A B CCdigo Gray

A BA B A BA BLa mejor simplificacin sera

X = B1111C C

Mapas de Karnaugh de 3 variables(otra forma de dibujarla)0001111001AAB CB CB CB CCdigo Gray0001111001AAB CB CB CB CCdigo Graymint 0mint 1mint 3mint 2mint 4mint 5mint 7mint 6

En un mapa de 3 variablesUna celda a 1 implica a 3 variables

Dos celdas adyacentes a 1 implican a 2 variables

Cuatro celdas adyacentes a 1 implican a 1 variable

Ocho celdas adyacentes a 1 constituyen funcin de valor 1

Mapa de Karnaugh de 4 variablesCdigo Gray

A B A B A B A BC D C D C D C D

Simplificar X = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D 00 01 11 10C D C D C D C D111111X = ABD + ABC + CDIntentar con reducciones booleanasCdigo Gray

A B A B A B A B

En un mapa de 4 variablesUna celda a 1 implica a 4 variables

Dos celdas adyacentes a 1 implican a 3 variables

Cuatro celdas adyacentes a 1 implican a 2 variables

Ocho celdas adyacentes a 1 implican a 1 variable

Diecisis celdas adyacentes a 1 constituyen funcin de valor 1

Simplificar Z = B C D + B C D + C D + B C D + A B C

A BA BA BA BC D C D C D C D111111111111X = C + A B + B D

Dado un circuito encontrar otro ms sencillo usando Mapas de KarnaughPrimero lo pasamos a Suma de Productos

Y= A + B + B C + ( A + B ) ( C + D)

Y = A B + B C + A B ( C + D )

Y = A B + B C + A B C + A B D

Y = A B + B C + A B C A B D Y = A B + B C + (A + B + C ) ( A + B + D)Y = A B + B C + A + AB + A D + B + BD + AC + BC + CDY = A B + A + B + CD = A + B + B + C D = 1

A BA BA BA BC D C D C D C D111Z = 1 1111111111111

SIMPLIFICACIN POR KARNAUGH1) Realizar agrupaciones de 1's, con sus adyacentes, lo mayor posibles, pero siempre en cantidades potencias de 2.2) No dejar ningn 1 sin agrupar. Puede ocurrir que un 1 pertenezca a ms de una agrupacin. No se pueden coger agrupaciones dentro de agrupaciones.3) Por cada agrupacin de 1's resulta un producto de variables. Cuanto ms 1's se agrupen, ms sencilla resultar la expresin de esa agrupacin. En MK de 5 variables, las agrupaciones que tomen 1s de las dos porciones deben ser simtricas respecto al eje central.4) En cada agrupacin, cada una de las variables puede aparecer en alguno de los siguientes casos:a) Si siempre vale 1 -----> Se pone afirmada.b) Si siempre vale 0 -----> Se pone negada.c) Si cambia de valor (50% de los casos un valor y el otro 50% otro valor) -----> No se pone. 5) La expresin de la funcin booleana ser la suma lgica de todos los productos que hayan salido.

Disear un sistema de alarmaSensores disponibles1.V = Ventana (V=0 CERRADA, V=1 ABIERTA)2.P = Puerta (P=0 CERRADA, P=1 ABIERTA)C = Calefaccin (C=0 APAGADA, C=1 ENCENDIDA)4.A = Aire acondicionado (A=0 APAGADO, A=1 ENCENDIDO)5.I = Alarma de proximidad de intruso (I=0 NO HAY INTRUSO, I=1 S HAY INTRUSO)

El sistema de alarma debe activarse cuando:1.La puerta est abierta y la calefaccin encendida (P=1, C=1)La puerta est abierta y el aire acondicionado encendido (P=1, A=1)La puerta est abierta con una alarma de proximidad de intruso (P=1, I=1)La ventana est abierta y la calefaccin encendida. (V=1, C=1)La ventana est abierta y el aire acondicionado encendido (V=1, A=1)6.La ventana est abierta con una alarma de proximidad de intruso (V=1, I=1)

Rellenando el mapa(P=1, C=1)V P

V P

V P

V P

11111111

Rellenando el mapa(P=1, A=1)V P

V P

V P

V PC A I C A I C A I C A I C A I C A I C A I C A I

111111111111

Rellenando el mapa(P=1, I=1)V P

V P

V P

V PC A I C A I C A I C A I C A I C A I C A I C A I

11111111111111

Rellenando el mapa(V=1, C=1)V P

V P

V P

V PC A I C A I C A I C A I C A I C A I C A I C A I

111111111111111111

Rellenando el mapa(V=1, A=1)V P

V P

V P

V PC A I C A I C A I C A I C A I C A I C A I C A I

11111111111111111111

Rellenando el mapa(V=1, I=1)V P

V P

V P

V PC A I C A I C A I C A I C A I C A I C A I C A I

111111111111111111111

V PV PV PV P11 11111 1 1 111 1 11 1 1 111 1Podemos agrupar asX = P A + V A + P C + V C + P I + V ICuntos chips necesito para esto? C A I C A I C A I C A I C A I C A I C A I C A I

O usando los cerosX = C A I + V PSlo dos chips11 111111 1 111 1 11 1 1 111 100000000000V PV PV PV PC A I C A I C A I C A I C A I C A I C A I C A I X = C A I + V P

Patillaje de los circuitos 7404 y 745474047454

Conexionado fsico

Circuito diseado

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