Sistema cartesiano

Sistema de Sistema de coordenadascoordenadas

o Plano o Plano CartesianoCartesiano

Ing. René Ing. René Soltero Soltero ZarazúaZarazúa

Matemáticas Matemáticas IIII

Índice: Introducción Un poco de historia no hace mal Definición de Sistema de Coordenadas Definición de Par Ordenado Signos de los puntos en los cuadrantes Ejemplo de Par Ordenado Ejercicios resueltos Localizar pares ordenados en el plano Resuelve las ecuaciones Ejercicios resueltos con dos variables Ejercicios para practicar

Introducción Estas paginas han sido creadas con el objetivo de

ayudar al estudiante a entender mejor el funcionamiento y la utilidad del Sistema de Coordenadas o Plano Cartesiano. En la mismas encontrarás varios ejercicios de practica, su explicación y procedimiento.

Además podrá conectar a otras Páginas de Internet relacionadas al tema.

Un poco de historia no hace mal

Las Coordenadas son grupos de números que describen una posición: a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y longitud o la declinación y ascensión recta, son sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera: en el globo de la Tierra o en el globo de los cielos.

Continuación historia

El sistema de coordenadas cartesianas fue conocido con el nombre de René Descartes ("De-kart"), un científico y filósofo francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática de designar cada punto en el plano por medio de dos números.

Continuación de historia

El sistema se basa en dos líneas rectas ("ejes"), perpendiculares entre sí, cada una marcada con las distancias desde el punto donde se juntan ("origen"). (vea el dibujo en la próxima pagina).

Dibujo cartesiano

Fig. 1

Continuación históricaLa distancia en un eje se llama "x" y en el otro "y". Dado un punto P se dibujan, desde él, líneas paralelas a los ejes y los valores de "x" e "y" definen totalmente el punto. En honor a Descartes, (figura 2) se conoce como sistema cartesiano.

Figura 2

René Descartes

Definición de Sistema de Coordenadas

Es un sistema de ejes coordenados, en que a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, al número del eje x se conoce como abscisa, al eje Y ordenada.

Definición de abscisa

Abscisa: los números tomados sobre el eje X que miden la distancia en magnitud y el signo desde el origen. El eje X se llama, eje de las abscisas.

Definición de ordenada

Ordenadas: los números tomados sobre el eje Y miden la distancia en magnitud y signo desde el origen. El eje Y recibe el nombre de ordenada.

Coordenadas (x,y)

Sabemos como se construye una recta numérica. La línea horizontal es el eje de x, la vertical es el eje de y y su intersección es el origen. Estos ejes dividen el plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes.

Definición de Par Ordenado

Par de números de la forma ( x, y ) utilizados para localizar puntos en un plano, se expresan en forma de pares ordenados. El orden en que se escribe es muy importante.

Signos de los puntos ( pares ordenados) en los

cuadrantes ( x, y )

X

Y

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

( + , + )( - , + )

( - , - ) ( + , - )

Origen

Ejemplo de Par Ordenado

Ejemplo:

En el par ordenado ( 3 , 5) el 3 corresponde al número localizado en el eje de ( x ) y el 5 corresponde al número localizado en el eje de ( y ).

Par Ordenado ( 3 , 5)

X

Y

Origen

0

1 2 3 4

12345

( 3 , 5 )

Ejercicios resueltos:

Localiza los siguientes pares ordenados en el

plano:

A ( 2 , 3)

B (-3 , 4)

C (-3 , -2)

D ( 3 , 0)0 X

Y

1 2 3 4 - 4 - 3 -2 -1-1

-2

-3

-4

1

2

3

4( 2 , 3 )

( 3 , 0 )

( -3 , 4 )

( -3 , -2 )

A

D

B

C

Resuelve las ecuaciones y dibuja las gráficas

Ejemplo # 1

y = - 3x + 5

Si x = 0 y = -3 (0) + 5 = 0 + 5 = 5

( x, y )

( 0 , 5 )

Si x = 1 y = -3 (1) + 5 = -3 + 5 = 2 ( 1 , 2 )

Si x = 5 y = -3 (5) + 5 = -15 + 5 = -10 ( 5, -10 )Si x = -1 y = -3 (-1) + 5 = 3 + 5 = 8 ( -1, 8 )

X Y

0 5

1 2

5 -10

-1 8 X

Y

2 4 6 8 10-10 -8 -6 -4 -2 0

2

4

6 8

10

-2

-4

-6

-8

-10

(0, 5)

(1, 2)

(5, 10)

(-1, 8)

Continuación I

Gráficamente estos fueron los pares ordenados que se

formaron.

Ejercicio # 2 y = 4x + 2

Si x = 0 y = 4 (0) + 2 = 0 + 2 = 2 ( 0 , 2 )

( x, y )

Si x = 1 y = 4 (1) + 2 = 4 + 2 = 6 ( 1 , 6 )

Si x = -1 y = 4 (-1) + 2 = -4 + 2 = - 2 ( -1,-2 )

X Y

0 2

1 6

-1 -2

Variable independiente

Variable dependiente

Continuación II

X Y

0 2

1 6

-1 -2X

Y

0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1

1

23456

-1-2

-3-4-5-6

Continuación III

(1,6)

(0,2)

(-1,-2)Los pares ordenados

formados son estos.

Ejercicios resueltos con dos variables

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

X Y

0 2

Si x = 0

2( 0 ) + 5y = 10 0 + 5y = 10

5y / 5 = 10/ 5 y = 2

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

X Y

0 2

5 0Si x = 5

2( 5 ) + 5y = 1010 + 5y = 10 5y = 10 - 10

5y = 0

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

Si x = -5

2( -5 ) + 5y = 10

-10 + 5y = 10 5y = 10 + 10

5y = 20

5y/5 = 20/5 y = 4

X Y

0 2

5 0

-5 4

Continuación, ejercicio anterior

X

Y

X Y

0 2

5 0

-5 4

0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1-1-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

5

Continuación B

Estos son los pares ordenados que se

formaron.

(0,2)

(5,0)

(-5,4)

Practicar para no olvidar

Ejercicio 1

¿Cuales signos corresponden al primer cuadrante en el plano cartesiano? Recuerda que se gira contrario a la manecilla del reloj:

A: ( + , - )

B: ( + , + )

Ejercicio 2

¿Cuales signos corresponden al tercer cuadrante en el plano cartesiano?:

A: ( - , - )

B: ( + , + )

Ejercicio 3 Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano: P =

(3, 5). Seleccione su respuesta:

A:

B:

1 2 3 -1-2-3-4-5

1234 5

P

1 2 3 4 5 -4 -3 –2 -1-1

-3-4-5

-2

P

Ejercicio 4

Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano: Q = (-4, 2). Seleccione la respuesta correcta.

1 2 3 4 -1-2-3-4-5

1234 5

1 2 3 4 -1-2-3-4-5

1

-4 -3 -2 -1

2

3 B:A:

Ejercicio 5 Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano:

R = (-1, -3). . Seleccione la respuesta correcta.

A: B:

1 2 3 4 -1-2-3-4

1

-4 -3 -2 -1

2

3

-1-2-3-4-5

1

-4 -3 -2 -1

2

3R

R

Ejercicio 6

Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 1. Selecciona la alternativa correcta:

B:A:

( 1 , 7 ) ( 3 , 5 )

Ejercicio 7

Resuelve la ecuación y = 3x + 7 cuando x = 2. Selecciona la alternativa correcta:

B ( 2 , 13 )

A ( 3 , 10 )

Ejercicio 8 Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 4

A: ( 5 , 10 )

B: ( 4 , 13 )

C: ( 13 , 4 )

Ejercicio 9 Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 5

A: ( 2 , 5 )

B: ( 5 , 15)

C: ( 4 , 10 )

Ejercicio 10 Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 0

A: ( 0 , 5 )

B: ( 5 , 2 )

C: ( 1 , 4)