Sistema de ecuaciones lineales

ÁLGEBRA SUPERIOR

UNIDAD IVSISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

CONTENIDO4.1 Sistemas no homogéneos

4.2 Sistemas homogéneos4.3 Métodos de Solución

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas son dos ecuaciones

de primer grado con dos incógnitas que han de verificarse a la vez

Se escribe

''' cybxa

cybxa ''' cybxa

cybxa

''' cybxa

cybxa

''' cybxa

cybxa

''' cybxa

cybxa

''' cybxa

cybxa

''' cybxa

cybxa

Se llaman coeficientes

Se llaman términos independientes

Una SOLUCIÓN del sistema

''' cybxa

cybxa

es cualquier pareja de valores (x, y)que verifique las dos ecuaciones

Dos sistemas son EQUIVALENTES si tienen las mismas soluciones

14

32

yx

yx

2.1- 5 = -3

4.1- 5 = -1

Ejem

plo

El par (1, 5) es una solución de este sistema porque:

1x

5y

''' cybxa

cybxa

• Si ''' c

c

b

b

a

a SISTEMA COMPATIBLE

INDETERMINADO

Infinitas soluciones

• Si

• Si

''' c

c

b

b

a

a SISTEMA INCOMPATIBLE

No tiene solución

'' b

b

a

a

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

Tiene una única solución

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS

Sistemas HomogéneosUn sistema de ecuaciones lineales se

llama homogéneo si todos sus términos independientes son cero.

Son de la forma:

a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn = 0

.........................................

am1x1 + am2x2 +...+ amnxn = 0

Todo sistema homogéneo es siempre compatible, pues admite la solución

trivial ( 0,0,...,0)

Sistemas No HomogéneosUn sistema de ecuaciones lineales se llama

No homogéneo si todos sus términos independientes son diferentes de cero.

Son de la forma:

a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn = 2

a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn = 3

.........................................

am1x1 + am2x2 +...+ amnxn = valor dif 0

Una ecuación lineal es una ecuación de la forma

en donde son variables; son constantes llamadas los coeficiente de las variables y b es una constante llamada el término constante de la ecuación.

1 1 2 2 n na x a x a x b

1 2, x , ..., xnx 1 2, , ..., na a a

Ejemplo 1

Solución

Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble de las canicas de Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 103 canicas. ¿Cuántas tiene cada uno?

Si Pedro tiene x canicas, entonces Juan tiene x + 2 canicas. Por tanto:

2 2 103x x

3 4 103x

9933

3x

Ejemplo 2 Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma?

Solución Sea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y sea y la velocidad del río o de la corriente. Entonces:

es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor.

es la velocidad de la lancha con la corriente en contra.

x y

x y

Por lo que: 100

70x yx y

Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema 2x2 de ecuaciones lineales.

Resolviendo el sistema (*) se obtiene:

Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos o más ecuaciones lineales

………(*)

km km85 , 15

h hx y

Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones lineales de dos variables (2x2). Se describirán algunos de ellos resol-viendo el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior.

Método por sustitución

Este método se resume así:

Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones.

3.

2.

1.

La variable despejada en el paso 1, se sustituye en la otra ecuación por su correspondiente expresión, y se resuelve la ecuación que resulta.

El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en la ecuación obtenida en el paso 1.

¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales?

Ejemplo 3 Resolver por sustitución el sistema 100 70

x yx y

Solución 1. Despejando a la variable y de la ecuación (*) se tiene:

….(*)….(**)

100y x

2. Sustituyendo a la variable y por 100 – x en la ecuación (**) se tiene:

100 70x x

2 100 70x 170

852

x

3. Sustituyendo a la variable x por 85 en la ecuación del paso 1 se obtiene el valor de y

100 85 15y

Método por igualación

Este método se resume así:

De cada ecuación se despeja la misma variable.

3.

2.

1.

Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, y se resuelve la ecuación que resulta.

El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en una de las ecuaciones obtenida en el paso 1.

Ejemplo 4 Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si Jaime salió 1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, ¿a qué distancia del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan?

Solución Sea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, y sea t el tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces

t – 1 es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a Juan.

Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/t

se tiene que:

60 90

1

d

td

t

Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene:

O sea: 60 0 90 90

t dt d

90 90 60t t

30 90t

903

30t

Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuación se obtiene que d = 180.

60 0t d

Método gráfico

Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan.

La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es una recta . Por lo que el método gráfico:

Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema 1 2 1x yx y

Solución Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas. Observe:

1y x

x

y

0 – 1

0

1

2 1y x

x

y

0 2

– 1 3

Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para determinar la solución. Observe:

– 1

0– 1

2

3

1

x

y

El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:

2, 3x y

(2, 3)

Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado, compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución del sistema.

Ejemplo 8 El sistema tiene solución única. Observe: 3 1 4 8

x yx y

2

1

0

4

2

x

y

3 1x y

4 8x y

(4, 1)

1

Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la misma recta.

Ejemplo 10 El sistema tiene infinidad de soluciones. Observe: 1

2

2 2

yx

x y

- 2

10

y

x

12

yx

2 2x y

Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema inconsistente o incompatible, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.

El sistema no tiene solución. Observe: 1

2

2 3

yx

x y

- 2

1

0

y

x

12

yx

2 3x y

- 3

Ejemplo 11

Soluciones Matriciales

Considerando que los sistemas de ecuaciones lineales ocurren en muchísimas situaciones prácticas, los métodos numéricos se han desarrollado para eficientizarla resolución de dichos sistemas. Estos métodos numéricos se basas en el concepto de matriz, un arreglo rectangular de coeficientes entre corchetes. Cada número se nombra elemento de la matriz.

Las matrices en general se representan como un sistema de coeficientes de las variables y los valores de las constantes o términos independientes, lo que se conoce como matriz aumentada

Linear system of equations

3 2 1x y z 2 2x y z

2x y z

Las lineas verticales, separan los coeficientes de las variables con respecto a las constantes. Si una matriz tiene 3 renglones y 4 columnas, su orden o tamaño es 3x4: El número de los renglones se indica primero.

Matrix Row Transformations

Para cualquier matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales, se pueden aplicar las siguientes reglas de transformación de los renglones, sin que la igualdad se vea afectada:

1. Intercambiar entre dos renglones.2. Multiplicar o dividir los elementos de cualquier renglón por un

número real diferente de cero.3. Sustituir cualquier renglón de la matriz por la suma de los

elementos de aquél renglón y un múltiplo de los elementos de otro renglón

Método Gauss-Jordan

El método Gauss-Jordan es una técnica sistemática en donde aplica transformación de renglones de una matriz, con el objetivo de reducir la matriz a su forma identidad, como sigue:

De donde las soluciones de las variables se obtienen fácilmente. Esta técnica se llama Forma por reducción de renglones.

Usando el método Gauss-Jordan para obtener una matriz identidadStep 1 Obtener el valor 1 como el primer elemento de la primera

columna y primera fila.Step 2 Usar el primer renglón para transformar los datos de la columna 1

a cero (excepto el primer valor = 1).Step 3 Obtain 1 como segundo valor en la segunda fila y segunda

columna.Step 4 Usar el segundo renglón para transformar los valores de la

segunda columna a cero, excepto el valor unitario de la segunda fila y segunda columna

Step 5 Continuar en este sentido hasta obtener la matriz identidad

Note El método Gauss-Jordan procede de columna en columna de izquierda a derecha.

Ejemplo 1

Resolver el sistema (encontrar X y Y que satisfagan la igualdad en ambas ecuaciones.

Solución

3 4 1x y 5 2 19x y

Ambas ecuaciones están en su fórmula general con las variables ordenadas por columnas con su respectivo coeficiente

Matriz aumentada

Lo mejor es empezar haciendo 1 valor de la columna 1 y renglón 1 en la matíz aumentada

3 es el primer valor en la primera fila y primera columna. Se divide el R1 /3 para hacer dicho valor = 1

Para hacer cero el valor del renglón 2 en la primer columna se multiplica primero R1 * (-5) y se suma al R2 para obtener un nuevo R2 que sustituirá al R2 anterior

Para hacer 1 el valor de la segunda columna, renglon 2, el R2 se multiplica por 3

,26

Finalmente, hacemos el valor del renglón 1, columna 2 igual a cero, multiplicando R2 por y se suma al R1, para obtener un nuevo R1

43

El resultado nos da:

3x

2y

Ejemplo 2

Resolver el sistema.5 6x y z

3 3 10x y z 3 2 5x y z

Solución

Ya hay un valor 1 en el primer renglón de la primera columna, por lo que se procede a hacer cero el valor del segundo renglón y primera columna de la siguiente manera: Multiplicar R1 * (-3) y sumarse a R2 para que sea nuestro nuevo R2

Para hacer cero el tercer elemento de la primera columna se multiplica R1 * (-1) y se suma a R3 para obtener un nuevo R3

Se usa el mismo procedimiento para transformas la segunda y tercera columna.

El sistema lineal asociado con la matriz final es:

1

2

1.

x

y

z

Otro ejemplo de resolución de un sistema 3x3 mediante Gauss-Jordan

2x + 3y +z = 13x - 2y -4z = -35x -y -z = 4

X Y Z bR1 2 3 1 1R2 3 -2 -4 -3R3 5 -1 -1 4

R1/2 = nuevo R11 3/2 1/2 1/2 1 3/2 1/2 1/2

3 -2 -4 -3 5 -1 -1 4

R1*(-3) + R2 = nuevo R2R1*(-3) -3 -9/2 -3/2 -3/2 R2 3 -2 -4 -3 nuevo R2= 0 -13/2 -11/2 -9/2

R2*(-2/13) = nuevo R20 1 22/26 18/26

1 3/2 1/2 1/2 0 -13/2 -11/2 -9/2 5 -1 -1 4

1 3/2 1/2 1/2 0 1 22/26 18/26 5 -1 -1 4

1 3/2 1/2 1/2 0 1 22/26 18/26 0 -17/2 -7/2 3/2

1 3/2 1/2 1/2 0 1 22/26 18/26 0 0 96/221 192/221

1 3/2 1/2 1/2 0 1 22/26 18/26 0 0 1 2

Sistema 3x3 Matriz aumentada

Sistema Gauss-Jordan

R1*(-5) + R3 = nuevo R3R1*(-5) -5 -15/2 -5/2 -5/2 R3 5 -2/2 -2/2 8/2 nuevo R3 0 -17/2 -7/2 3/2

R3 * (2/17) + R2 = nuevo R3R3 * (2/17) 0 -1 - 14/34 6/34 R2 0 1 22/26 18/26 nuevo R3 0 0 96/221 192/221

R3*(221/96) = nuevo R3

0 0 1 2

X 1 Y -1

Z 2

1 3/2 1/2 1/2 0 1 22/26 18/26 0 0 1 2

R3*(-22/26) + R2 = nuevo R2R3*(-22/26) 0 0 -22/26 -44/26 + R2 0 1 22/26 18/26

0 1 0 -26/26

1 3/2 1/2 1/2 0 1 0 -1 0 0 1 2

R3*(-1/2) + R1 = nuevo R1R3*(-1/2) 0 0 -1/2 -2/2 + R1 1 3/2 1/2 1/2

1 3/2 0 -1/2

1 3/2 0 -1/2 0 1 0 -1 0 0 1 2

R2*(-3/2) + R1 = nuevo R1R2*(-3/2) 0 -3/2 0 3/2 + R1 1 3/2 0 -1/2

1 0 0 2/2

1 0 0 1 0 1 0 -1 0 0 1 2

EJEMPLO 3 Resolviendo un sistema inconsistente (infinitas soluciones o no solución)

2

2 2 5

x y

x y

Solución

El siguiente paso sería hace 1 el valor del segundo renglón y segunda columna, sin embargo, como tenemos un valor cero es imposible jugar con las opciones. Por tanto, el segundo renglón corresponde a la ecuación: 0x + 0y = 1, la cual no tiene solución porque 0 no es igual a 1. Esto es, al menos dos rectas son paralelas.

2 5 3 1

2 2 8

x y z

x y z

Solución

Un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas da un número infinito de soluciones, esto es, al menos dos rectas son superponibles entre si.

RESOLVIENDO PARA INFINITAS SOLUCIONES:

No es posible obtener la matriz identidad en este sistema

La ecuación que corresponde a la matriz final es:

16 38 and 7 15.x z y z

Donde :

16 38x z

16 38x z

7 15y z

7 15y z

Resolución de un sistema 3x3 mediante Gauss

• El sistema Gauss es esencialmente el sistema Gauss-Jordan, sin embargo, no se procede a obtener la matriz identidad completa, sino encontrar una incógnita y apartir de sustituciones, se encuentran las demás incógnitas

2x + 3y +z = 13x - 2y -4z = -35x -y -z = 4

X Y Z bR1 2 3 1 1R2 3 -2 -4 -3R3 5 -1 -1 4

R1/2 = nuevo R11 3/2 1/2 1/2 1 3/2 1/2 1/2

3 -2 -4 -3 5 -1 -1 4

R1*(-3) + R2 = nuevo R2R1*(-3) -3 -9/2 -3/2 -3/2 R2 3 -2 -4 -3 nuevo R2= 0 -13/2 -11/2 -9/2

R2*(-2/13) = nuevo R20 1 22/26 18/26

1 3/2 1/2 1/2 0 -13/2 -11/2 -9/2 5 -1 -1 4

1 3/2 1/2 1/2 0 1 22/26 18/26 5 -1 -1 4

1 3/2 1/2 1/2 0 1 22/26 18/26 0 -17/2 -7/2 3/2

1 3/2 1/2 1/2 0 1 22/26 18/26 0 0 96/221 192/221

1 3/2 1/2 1/2 0 1 22/26 18/26 0 0 1 2

Sistema 3x3 Matriz aumentada

Sistema Gauss:

R1*(-5) + R3 = nuevo R3R1*(-5) -5 -15/2 -5/2 -5/2 R3 5 -2/2 -2/2 8/2 nuevo R3 0 -17/2 -7/2 3/2

R3 * (2/17) + R2 = nuevo R3R3 * (2/17) 0 -1 - 14/34 6/34 R2 0 1 22/26 18/26 nuevo R3 0 0 96/221 192/221

R3*(221/96) = nuevo R3

0 0 1 2

1 3/2 1/2 1/2 0 1 22/26 18/26 0 0 1 2

X 3/2Y 1/2 Z 1/2 Y ( 22/26)Z 18/26

Z 2

R1

R2

R3

2(1) + 3(-1) + 1(2) = 13(1) – 2(-1) -4(2) = -35(1) -(-1) -(2) = 4

X = 1

Y = -1

Z = 2

2x + 3y +z = 13x - 2y -4z = -35x -y -z = 4

Comprobación

Resolución de un sistema 4x4 mediante Gauss

a - b= -6 a b c d term indb + c= 3 R1 1 -1 0 0 -6

c + 2d= 4 R2 0 1 1 0 32a - 3d= 5 R3 0 0 1 2 4

R4 2 0 0 -3 5

R1 * (-2) + R4 = nuevo R4R1*(-2) = -2 2 0 0 12 1 -1 0 0 -6R4 2 0 0 -3 5 Suma 0 1 1 0 3nuevo R4 = 0 2 0 -3 17 0 0 1 2 4

0 2 0 -3 17

R2*(-2) + R4 = nuevo R4R2*(-2) = 0 -2 -2 0 -6 1 -1 0 0 -6R4 = 0 2 0 -3 17 0 1 1 0 3nuevo R4 = 0 0 -2 -3 11 0 0 1 2 4

0 0 -2 -3 11

R3*(2) +R4 = nuevo R4r3*(2) 0 0 2 4 8 1 -1 0 0 -6R4 0 0 -2 -3 11 0 1 1 0 3nuevo R4 = 0 0 0 1 19 0 0 1 2 4

0 0 0 1 19

R1 a -b -6R2 b C 3R3 C 2d 4R4 d 19

a - b= -6 a b c d term indb + c= 3 R1 1 -1 0 0 -6

c + 2d= 4 R2 0 1 1 0 32a - 3d= 5 R3 0 0 1 2 4

R4 2 0 0 -3 5

R1 * (-2) + R4 = nuevo R4R1*(-2) = -2 2 0 0 12 1 -1 0 0 -6R4 2 0 0 -3 5 Suma 0 1 1 0 3nuevo R4 = 0 2 0 -3 17 0 0 1 2 4

0 2 0 -3 17

R2*(-2) + R4 = nuevo R4R2*(-2) = 0 -2 -2 0 -6 1 -1 0 0 -6R4 = 0 2 0 -3 17 0 1 1 0 3nuevo R4 = 0 0 -2 -3 11 0 0 1 2 4

0 0 -2 -3 11

R3*(2) +R4 = nuevo R4r3*(2) 0 0 2 4 8 1 -1 0 0 -6R4 0 0 -2 -3 11 0 1 1 0 3nuevo R4 = 0 0 0 1 19 0 0 1 2 4

0 0 0 1 19

R4*(-2) +R3 = nuevo R3R4*(-2) 0 0 0 -2 -38 1 -1 0 0 -6R3 0 0 1 2 4 0 1 1 0 3nuevo R3 = 0 0 1 0 -34 0 0 1 0 -34

0 0 0 1 19

R3*(-1) +R2 = nuevo R2R3*(-1) 0 0 -1 0 34 1 -1 0 0 -6R2 0 1 1 0 3 0 1 0 0 37nuevo R2= 0 1 0 0 37 0 0 1 0 -34

0 0 0 1 19

R2 +R1 = nuevo R1R2 0 1 0 0 37 1 0 0 0 31R1 1 -1 0 0 -6 0 1 0 0 37nuevo R1= 1 0 0 0 31 0 0 1 0 -34

0 0 0 1 19

A 31B 37

C -34D 19

Resolución por Regla de Cramer y Ley de Sarrus

55

• Sea un sistema con el mismo número de ecuaciones que incógnitas.• Sea un sistema que es compatible y determinado.• Sea, por ejemplo, el sistema de orden 3 cualquiera:

• a11x + a12y + a13z = b1• a21x + a22y + a23z = b2• a31x + a32y + a33z = b3

• La matriz de los coeficientes será: La matriz ampliada será:

• a11 a12 a13 a11 a12 a13 b1 • (A)= a21 a22 a23 (AM)= a21 a22 a23 b2 • a31 a32 a33 a31 a32 a33 b3

• Si el rango de A es igual al rango de AM y a su vez igual al número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado (que tenga solución única), se podrá resolver mediante determinantes.

REGLA DE CRAMER

• SOLUCIONES POR LA REGLA DE CRAMER

• Si un sistema cumple las premisas de ser compatible y determinado, las soluciones del sistema serán:

•a11 a12 a13

• |A| = a21 a22 a23 • a31 a32 a33

• b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b1

• b2 a22 a23 a21 b2 a23 a21 a22 b2 • b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b3 • x = --------------------; y = ----------------------- ; z = --------------------• |A| |A| |A|•

Obsérvese que en los determinantes del numerador se ha sustituido en |A| los coeficientes de la incógnita a calcular (X, Y ó Z) por la columna de las soluciones (b)

• Ejemplo 1

• Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será:

• x + y + z = 6 1 1 1• 2x + z = 5 A = 2 0 1• 3x - y = 1 3 -1 0

• 1 1 1 1 1 • |A| = 2 0 1 2 0 • 3 -1 0 3 -1

• Siendo las soluciones del sistema:•

6 1 1 1 6 1 1 1 6 • 5 0 1 2 5 1 2 0 5 • 1 -1 0 2 3 1 0 4 3 -1 1 6• x = --------------- = ---- = 1 ; y= --------------- = --- = 2 ; Z = --------------= --- = 3• |A| 2 |A| 2 |A| 2

• Que se puede comprobar que verifican las ecuaciones.

Se agregan las dos primeras columnas y se obtiene el punto cruz de la matríz principal =

(1*0*0) + (1*1*3) + (1 * 2 * -1) – [(3*0*1) + (-1*1*1) + (0*2*1)]

= 2 = |A| diferente de cero, si aplica ppor regla de cramer

Se resuelve igual que para la |A|, añadiendo las dos primeras columnas y obteniendo el punto cruz para cada caso, y se divide entre |A| = 2

• Ejemplo 2

• Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será:

• x + z = 3 1 0 1• 2.y + z = 8 A = 0 2 1• 3.x – y = – 5 3 – 1 0

• 1 0 1 • |A| = 0 2 1 = 0 + 0 + 0 – 6 – 0 – (– 1) = – 5 • 3 – 1 0

• Siendo las soluciones del sistema:•

3 0 1 1 3 1 1 0 3 • 8 2 1 0 8 1 0 2 8 • – 5 – 1 0 5 3 – 5 0 – 10 3 – 1 – 5 – 20 • x = ---------------- = ----- ; y = ----------------- = ------ ; z = ---------------- = -----• |A| – 5 |A| – 5 |A| –

5

• Es decir: x = – 1, y = 2 , z = 4 , que se puede comprobar.

• Ejemplo 3

• Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será:

• x + y + z = 3 1 1 1• x – y + z = 1 A = 1 – 1 1• – x + y + z = 1 – 1 1 1

• 1 1 1 • |A| = 1 – 1 1 = – 1 – 1 + 1 – 1 – 1 – 1 = – 4 • – 1 1 1

• Siendo las soluciones del sistema:•

3 1 1 1 3 1 1 1 3 • 1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 • 1 1 1 – 4 -1 1 1 – 4 -1 1 1 – 4 • x = ---------------- = ----- ; y = ----------------- = ------ ; z = ---------------- = -----• |A| – 4 |A| – 4 |A| –

4

• Es decir: x = y = z = 1 , que se puede comprobar.

• Ejemplo 4 • Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será:

Donde a es un parámetro•• x + y + z = 3 1 1 1• x – y + z = 1 A = 1 – 1 1• a.y + z = 1 0 a 1

• 1 1 1 • |A| = 1 – 1 1 = – 1 + 0 + a – 0 – a – 1 = – 2 • 0 a 1• El rango de |A| es 3, independientemente de lo que valga el parámetro a. • Siendo las soluciones del sistema:•

3 1 1 1 3 1 1 1 3 • 1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 • 1 a 1 –2a -2 0 1 1 – 2 0 a 1 2a– 2 • x = --------------- = -------- ; y = -------------- = ------ ; z = ---------------- = ---------• |A| – 2 |A| – 2 |A| –

2

• Es decir: x = a + 1, y = – 1 , z = 1 – a , que se puede comprobar.

• Ejemplo 5 • • Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será:

Donde a es un parámetro•• x + y + z = 3 1 1 1• x – a.y + z = 1 A = 1 – a 1• 2.x + z = a 2 0 1• 1 1 1 • |A| = 1 – a 1 = – a + 0 + 2 + 2.a – 0 – 1 = a + 1 • 2 0 1• El rango de |A| es 3 si (a + 1)<> 0 , si a <> – 1• Si a = – 1 , el rango de A no es 3 y por tanto NO se puede aplicar Cramer. • Siendo las soluciones del sistema, si a <> – 1•

3 1 1 1 3 1 1 1 3 • 1 -a 1 1 1 1 1 -a 1 • a 0 1 2 a 1 2 0 a • x = --------------- ; y = ---------------- ; z = ---------------- • |A| |A| |A|

• … Ejemplo 5 • • Teníamos las soluciones del sistema, si a <> – 1•

3 1 1 1 3 1 1 1 3 • 1 -a 1 1 1 1 1 -a 1 • a 0 1 2 a 1 2 0 a • x = --------------- ; y = ---------------- ; z = ---------------- • |A| |A| |A|

• Que resolviendo los determinantes, queda:• x = (a2 – 2.a – 1)/(a+1)• y = 2/(a+1)• z = (– a2 + 5.a + 2)/(a+1)

• Si a = – 1• x + y + z = 3 • x + y + z = 1• 2x + z = – 1• Como se puede ver el sistema es incompatible, no admite solución: 3 no

es igual a 1