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PROYECTO FIN DE CARRERA
SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V
AUTOR: JOSÉ IGNACIO PRADA VÁZQUEZ
MADRID, SEPTIEMBRE 2009
UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
INGENIERO INDUSTRIAL
Autorizada la entrega del proyecto al alumno:
José Ignacio Prada Vázquez
EL DIRECTOR DEL PROYECTO
Pablo García González
Fdo: Fecha:
Vo Bo del Coordinador de Proyectos
Michel Rivier Abbad
Fdo: Fecha:
I.- Resumen
SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V
Autor: Prada Vázquez, José Ignacio
Director: García González, Pablo
RESUMEN DEL PROYECTO
Actualmente, Los sistemas ferroviarios de tracción eléctrica pueden sufrir
de importantes caídas de tensión, debidas principalmente a la explotación de la
línea por encima de la potencia a la que está diseñada. Cuando se trata de un
sistema de corriente continua, donde hay una catenaria, unas vías, y varias
subestaciones a lo largo del trayecto que mantienen una tensión constante,
existen dos maneras usuales de ampliar la potencia eléctrica.
La primera solución, consiste en instalar un cable adicional sobre la
catenaria ya existente, de modo que se reduce la resistencia total del conductor
de la corriente. La segunda solución es instalar una subestación de potencia
adicional en el tramo donde haya más caídas de tensión. Esta solución es más
efectiva que la primera, pero necesita una conexión a la red eléctrica. En muchas
ocasiones, esa conexión puede ser tan costosa, que la ampliación sea inviable
económicamente.
Este proyecto analiza una nueva solución denominada 2x3000V, porque el
escenario utilizado de base ha sido un sistema ferroviario de tensión nominal de
3000V. Consiste en instalar entre dos subestaciones de un tramo de vía, un cable
auxiliar que tiene una tensión de -3000V, opuesta al valor nominal de la
catenaria. En el lugar donde se emplazaría una subestación, ahora se instala un
convertidor CC/CC, cuya tensión de entrada es de 6000V, entre el cable auxiliar
y la catenaria, y la tensión de salida está situada entre la vía y la catenaria. Si el
convertidor se controla adecuadamente, se puede mantener una tensión constante
SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN, FIGURAS, TABLAS, BIBLIOGRAFÍA.
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sobre el sistema, del mismo modo que lo haría una subestación y sin necesidad
de incurrir en los costes de conexión a la Red Eléctrica.
El estudio está centrado en el convertidor CC/CC. El objetivo es diseñar
un control que pueda mantener la tensión principal a 3000V sin que las
intensidades internas superen el valor máximo del aparato. Para ello, se diseña
un control en cascada, es decir, un control de tensión y un control de intensidad
situados en serie. El primero, proporciona el valor de intensidad necesario para
mantener la tensión de referencia. El segundo restringe ese valor al máximo
permitido y proporciona el factor de servicio del convertidor.
Para analizar la respuesta del sistema ferroviario ante variaciones de
tensión y de corriente, se utiliza Matlab-Simulink. Con este programa
informático, se puede esquematizar el circuito eléctrico completo del sistema,
incluyendo las subestaciones, vías, catenaria, cable auxiliar y el convertidor
CC/CC. Se deben modelizar todos los elementos del sistema de forma que sea
lineal matemáticamente, sin discontinuidades para así obtener la representación
dinámica de estado y las funciones de transferencia Tensión/Intensidad e
Intensidad/Factor de servicio. Estudiando la respuesta en frecuencia se diseña un
regulador Proporcional-Integral para el control de tensión y un regulador
Proporcional-Integral-Diferencial para el control de la corriente.
Finalmente, Se aplica el regulador en cascada sobre un esquema de
simulación del sistema real, con todas las discontinuidades que crea el
convertidor. Los resultados muestran que el convertidor funciona como una
fuente de tensión cuando no se supera la intensidad máxima. En caso contrario,
el convertidor funciona como una fuente de intensidad y no se alcanza la tensión
nominal, pero ayuda a reducir las caídas de tensión. Con todos estos resultados,
se demuestra que es posible aplicar el sistema 2X3000V sobre un escenario real,
con un control sencillo y seguro y con una instalación más sencilla y barata que
las alternativas usuales.
SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN, FIGURAS, TABLAS, BIBLIOGRAFÍA.
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II.- Summary
Nowadays, electrical railway systems can suffer important voltage drops,
owing to the use of the line out of the power which is designed. Whenever is a
direct current system, where it has a catenary, a rail and several substations as
voltage sources along the route, there are two usual ways to increase the
electrical power.
The first choice consists in installing an additional wire over the already
existing catenary, thereby the total resistance of the conductor is reduced. The
second choice, is installing an additional power station in the stretch where the
voltage drops are most. This solution is more effective than the first one, but it is
necessary a new connection to the main transmission grid (in Spain, Red
Eléctrica). In many occasions, that connection is so expensive that the increasing
of the power in this way is economically unfeasible.
This project analyzes a new solution called 2x3000V System, because the
basic case used here was a railway system with 3000V of nominal voltage. It
consists in installing over the rail stretch between two substations, an auxiliary
wire with the opposite voltage of the catenary, -3000V. In the point where it
would be placed a new substation, it is installed a DC to DC converter, which
transforms the voltage between catenary and auxiliary wire (6000V) and has as a
result the voltage between catenary and rails. If the converter is controlled
properly, it can be maintain a constant potential difference, at the same way a
new substation would, with no need of falling into expenses of a new connection
to the transmission grid.
The study is focused on the DC to DC converter. The aim is to design a new
control that can maintain the main voltage to 3000V and, at the same time, the
internal currents do not exceed more than the full capacity. To that end, it is
designed a cascade control, it means a serial connection of a voltage controller
and a current controller. The first one provides the necessary current reference to
SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN, FIGURAS, TABLAS, BIBLIOGRAFÍA.
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maintain voltage to 3000V. The second one, restrict that value for not exceeding
the maximum current, and provides the duty cycle of the converter.
To analyze the railway system response, faced with variations in current
and voltage, it is useful Matlab-Simulink. This computer program can
schematize the full electrical circuit of the system, including rails, catenary,
auxiliary wire and DC to DC converter. It must be implemented all the elements
of the circuit in the way that the system is mathematically linear, with no
discontinuities, to obtain a dynamic representation of state variables an the
transfer functions Voltage/Current and Current/Duty Cycle. By studying the
frequency response of these functions, it can be designed a Proportional/ Integral
controller to control voltage, and a Proportional-Integral-Derivative controller to
control current.
Finally, the full controller is put into a scheme of a real converter in a
railway system, with all the discontinuities that creates the converter. The results
show that the converter works as a voltage source whenever the current
restriction is not activated. On the opposite side, the converter works as a current
source and the nominal voltage is not reached, but the system helps to reduce the
voltage drops. With all this, it is demonstrated that the 2x3000V can work in real
life, with a fast and simple controller, and the installation is cheaper and more
simple than the usual alternatives.
SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN, FIGURAS, TABLAS, BIBLIOGRAFÍA.
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III.- Figuras
Figura 1.- Sección de doble vía con un Puesto de Puesta en Paralelo
(PPP) y feeder a ambos lados.
Figura 2.- Sistema 2 x 1500, propuesto en el artículo.
Figura 3.- Esquema básico del convertidor “chopper” de
Continua/Continua.
Figura 4.- Onda cuadrada generada por la conmutación del
convertidor.
Figura 5.- Tensión de salida resultante, con forma de onda
triangular.
Figura 6.- Tramo ferroviario compuesto por catenaria, vía y 2
subestaciones (fuentes de tensión).
Figura 7.- Sistema ferroviario principal, compuesto por catenarias
principal y auxiliar (feeder), vía y grupos rectificadores.
Figura 8.- Esquema interno del modelo de tren en Simulink.
Figura 9.- Esquema general sin convertidor con varios trenes
distribuidos a lo largo de la vía.
Figura 10.- Esquema del tren para la inicialización del sistema.
Figura 11.- Esquema del convertidor Chopper, con factor de servicio
constante.
Figura 12.- Tensión de onda cuadrada Vx, a la salida de los tiristores,
con respecto al tiempo.
Figura 13.- Tensión de salida del convertidor, con respecto al
tiempo.
Figura 14.- Modelo simplificado de convertidor CC/CC.
Figura 15.- Bloque subsystem del modelo simplificado, calculador de
las tensiones.
Figura 16.- Convertidor simplificado inicializador.
Figura 17.- Sistema 2x3000 con dos trenes a medio camino
Figura 18.- Respuesta eléctrica del convertidor simplificado.
Figura 19.- Respuesta eléctrica del convertidor real.
Figura 20.- Topología de la regulación en cascada del convertidor
CC/CC.
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Figura 21.- Definición de la entrada ΔD (In1) y la salida Io (Out1).
Figura 22.- Topología del caso base.
Figura 23.- Topología del caso base centro.
Figura 24.- Topología del caso imposible.
Figura 25.- Diagrama de Bode de las respuestas en lazo abierto de
las funciones de transferencia Io/D.
Figura 26.- Diagrama de Nyquist de las respuestas en lazo abierto de
las funciones de transferencia Io/D. Figura 27.- Diagrama de Black de las respuestas en lazo abierto de
las funciones de transferencia Io/D.
Figura 28.- Diagrama de Black del lazo abierto de la función FT22,
con un control P-77dB (F).
Figura 29.- Respuesta ante un escalón del sistema con un control
Proporcional.
Figura 30.- Respuesta ante un escalón del sistema con un control
Proporcional-Integral.
Figura 31.- Esquema del regulador PID no interactivo, utilizado para
el control de intensidad.
Figura 32.- Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema con
control P+I+D.
Figura 33.- Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema
imposible, con control P+I+D.
Figura 34.- Definición de la salida V+o (Out1) para la obtención de
las funciones V+o/Io.
Figura 35.- Diagrama de Bode del las respuestas de frecuencia de las
funciones de transferencia V+o/Io.
Figura 36.- Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en
lazo abierto de las funciones de transferencia L.
Figura 37.- Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en
lazo abierto de las funciones de transferencia H.
Figura 38.- Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones
H (J en lazo abierto) exceptuando H22
Figura 39.- Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones
H con el control (J en lazo abierto) exceptuando H22.
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Figura 40.- Implementación del control en cascada sobre el
convertidor real, con bloque de saturación.
Figura 41.- Transitorio de arranque del convertidor con control.
Figura 42.- Transitorio de arranque de las cargas, cuando se
conectan instantáneamente cuatro trenes distribuidos por la
vía (caso base).
Figura 43.- Respuesta del sistema ante un acople (0,5 seg) y
desacople (2 seg) de la carga con bloque de saturación
activado y sin control de la acción integral.
Figura 44.- Respuesta del sistema ante un acople (0,5 seg) y
desacople (2 seg) de la carga con bloque de saturación
activado y sin control de la acción integral.
Figura 45.- Control en cascada definitivo del convertidor.
Figura 46.- Resultados de la simulación con el control definitivo.
Figura 47.- Señal de salida del regulador de tensión (referencia de
Io).
Figura 48.- Tren de simulación, con rampa de 1MW/seg.
Figura 49.- Tren de simulación, con rampa de 1MW/seg.
Figura 50.- Sistema 2x3000V, con modelado de los armónicos de los
grupos rectificadores.
Figura 51.- Resultados de simulación del convertidor, con armónicos
de los grupos rectificadores.
Figura 52.- Modelo del Convertidor “Chopper”.
SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN, FIGURAS, TABLAS, BIBLIOGRAFÍA.
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IV.- Tablas Tabla 1.- Datos eléctricos de las catenarias y la vía.
Tabla 2.- Datos eléctricos del convertidor.
Tabla 3.- Valores finales alcanzados por el sistema con convertidor
simplificado y real con factor de servicio constante y sistema
sin convertidor.
Tabla 4.- Funciones de transferencia Io/D obtenidas para los nueve
casos descritos
Tabla 5.- Ganancia estática de las funciones de transferencia.
Tabla 6.- Parámetros del control de intensidad interactivo (PID).
Tabla 7.- Parámetros equivalentes del control de intensidad no
interactivo (P+I+D.
Tabla 8.- Funciones de transferencia V+o/Io obtenidas para los
nueve casos
Tabla 9.- Funciones de transferencia V+o/Io con el lazo de control de
intensidad, obtenidas para los nueve casos
Tabla 10.- Parámetros del control de tensión interactivo (PI) y no
interactivo
SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN, FIGURAS, TABLAS, BIBLIOGRAFÍA.
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V.-Bibliografía
[LADO06] P. Ladoux, F. Alvarez, H. Caron, G. Josse, J. P. Perret
“Une Nouvelle structure d’alimentation des caténaires
1500 V: le Systeme 2 x 1500 V”, Revue Générale de
Chemins de Fer, nº 151, pp. 21-31 Elsevier Science,
2006
[HART97] Hart, “Introduction to Power Electronics”, Prentice
Hall, 1997
[RLAT08] F. Luís Pagola “Regulación Automática”, Colección
Ingeniería 25, Universidad Pontificia Comillas, MadriD
VI.-Programas empleados
Matlab R2008a
Microsoft Office 2003
- Word
- Powerpoint
PDF Creator
Parte I Memoria .............................................................................................3
Capítulo 1 Introducción ..................................................................................4
1 Estudio de los trabajos existentes. .................................................................. 5
2 Motivación del proyecto................................................................................. 10
3 Objetivos ........................................................................................................... 11
4 Metodología...................................................................................................... 13
5 Recursos............................................................................................................. 16
Capítulo 2 Modelado del sistema ferroviario principal...........................18
1 Introducción...................................................................................................... 18
2 Catenarias, Vías y Subestaciones.................................................................. 18
3 Trenes................................................................................................................. 22
4 Inicialización del sistema............................................................................... 24
Capítulo 3 Modelado del convertidor CC/CC............................................27
1 Introducción...................................................................................................... 27
2 Modelo de convertidor “Chopper”............................................................... 27
3 Convertidor CC/CC simplificado ................................................................. 32
4 Inicialización del convertidor simplificado................................................ 35
5 Simulaciones con factor de servicio constante........................................... 38
Capítulo 4 Diseño del Control Automático del Convertidor ..................43
1 Topología del control automático del convertidor .................................... 43
2 Obtención de la función de transferencia Io/D.......................................... 45
3 Control de intensidad ..................................................................................... 57
4 Obtención de la función de transferencia V+o/Io ..................................... 69
5 Control de Tensión.......................................................................................... 75
Capítulo 5 Resultados ...................................................................................81
1 Implementación del control sobre el convertidor real ............................. 81
Memoria.
2
2 Simulaciones finales ....................................................................................... 89
Capítulo 6 Conclusiones................................................................................96
Capítulo 7 Futuros desarrollos ....................................................................98
Bibliografía........................................................................................................100
Parte II Estudio económico........................................................................101
Parte III Código fuente.................................................................................105
Memoria.
3
Parte I MEMORIA
Memoria.
4
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Los sistemas ferroviarios que funcionan con tracción eléctrica,
independientemente de la tensión y la potencia nominal a las que están
diseñados, poseen un esquema general común, siempre y cuando se trate
de un sistema que funcione con corriente continua. Básicamente, todo
ferrocarril de este tipo está alimentado por una catenaria, un cable
suspendido sobre la vía, paralelo y con una distancia constante entre
ambos elementos durante todo el recorrido. La catenaria está alimentada a
su vez por subestaciones repartidas a lo largo del trayecto, que toman la
potencia de la red eléctrica y transforman a tensión continua mediante
rectificadores. Estas subestaciones son equivalentes a una fuente de
tensión conectada entre los carriles y la catenaria. El tren, para tomar la
potencia necesaria para moverse, se conecta eléctricamente entre estos dos
elementos, tomando la potencia del cable suspendido y usando la vía para
cerrar el circuito.
Los sistemas ferroviarios están diseñados teniendo en cuenta el
número y el tipo de trenes que transiten la línea. Según la cantidad de
ferrocarriles que utilicen el sistema y la distancia que se tenga que abarcar,
se determina la potencia necesaria y el número de subestaciones que se
instalarán. Además de esto, la alimentación de los sistemas ferroviarios
tienen distintos niveles de tensión, que van desde 600V (es el caso de la
electrificación de tranvías y las redes de metro más antiguas), 750V, 1500V
y hasta 3000V, siendo esta última la electrificación más común de los
tramos de cercanías y de larga distancia, y a la que está basada el estudio
de este proyecto, aunque la metodología que se desarrolla aquí se podría
aplicar a cualquier caso.
Memoria.
5
El número de subestaciones que estarán repartidas a lo largo del
trayecto, así como las distancias entre ellas, no solo vendrá determinado
por la potencia y el tráfico de trenes, sino también por el espacio
disponible donde poder hacer la instalación y la accesibilidad a la red
eléctrica del lugar por donde se vaya a trazar la vía. Así pues, las
distancias entre subestaciones son variables, siendo valores habituales
entre 8 y 25kilómetros.
Actualmente, el aumento de la demanda de este sistema de
transporte en ciertas líneas, obliga a que muchos sistemas ferroviarios
trabajen al máximo de su capacidad nominal. Esto provoca que en los
tramos discurran altas intensidades, y en consecuencia, aparezcan
importantes caídas de tensión, que repercutirán directamente en el sistema
de tracción de los trenes. En estos casos, se debe ampliar el sistema, bien
sea reduciendo la resistividad de la instalación (colocando cables en
paralelo o cables mas anchos) o bien instalando más subestaciones en el
recorrido. Los costes de conexión a red, en los casos en que el punto donde
se vaya a construir esté muy alejado de la red eléctrica, pueden llegar a ser
tan elevados, que la instalación sea inviable económicamente.
Este proyecto se dedica a analizar una solución alternativa a las ya
existentes, denominado como sistema 2x3000V.
1 Estudio de los trabajos existentes.
La ampliación de una línea ferroviaria se puede hacer de diversas
formas, dependiendo de las necesidades de potencia y de las caídas de
tensión que haya que solucionar en un trayecto determinado.
La primera opción es un Puesto de Puesta en Paralelo o PPP (Fig. 1),
que no es más que conectar la catenaria de uno y otro sentido en un punto
determinado, siempre y cuando exista doble sentido de circulación de
Memoria.
6
trenes, una contigua a la otra. Esta opción, si lo analizamos con un tren en
circulación, se puede comprobar fácilmente que la resistividad de la línea
disminuye notablemente, ya que desde la subestación a la puesta en
paralelo que haya anterior al tren al que se pretende alimentar, está
circulando la corriente por ambas catenarias y por tanto, la resistividad se
reduce a la mitad. Al llegar al PPP, la corriente del sentido contrario se
desvía a la catenaria que alimenta al tren.
Si analizamos el caso en el que hay dos trenes circulando
simétricamente, es decir, uno al lado del otro, se descubre que el PPP no
desvía apenas corriente, ya que a efectos prácticos, cada catenaria esta
proporcionando la energía necesaria para cada tren y por el PPP apenas
circula corriente. En este caso, la disminución de la resistividad se hace
prácticamente nula. Así que aunque la medida es económica y muy
sencilla de realizar, no se consigue una gran mejoría para una línea que
tenga tráfico constante por ambos sentidos.
Figura 2. Sección de doble vía con un Puesto de Puesta en Paralelo (PPP) y feeder a ambos lados.
La segunda opción para disminuir la resistividad es colocando un
conductor adicional denominado catenaria auxiliar o feeder (Fig. 1). Este
cable, no tiene por qué discurrir con la catenaria de manera totalmente
carriles
trenes
PPP
catenarias feeder
Grupos
rectificadores
Memoria.
7
paralela a la vía, si no que se instala como una línea eléctrica aérea
tradicional y se conecta a la catenaria en paralelo cada poca distancia,
como si se instalaran múltiples PPP no entre las dos catenarias, sino entre
una de ellas y un cable nuevo. Esta solución proporciona casi el mismo
resultado que el sustituir la catenaria por un cable más ancho, y suele ser
lo más recurrido cuando se quiere mejorar la resistividad y reducir las
caídas de tensión sin tener que instalar una nueva suspensión para una
catenaria más ancha. El hecho de que tenga que estar perfectamente
paralela a la vía lo hace mucho más costoso que el instalar un cable
suspendido normal, como sería el caso del feeder.
La tercera opción ya se ha mencionado anteriormente: la instalación
de una subestación más para reducir las caídas de tensión. Esta opción es
la más efectiva, pero no siempre es posible conseguir en el punto deseado
una conexión a la red de media tensión, ya que si la red no discurre cerca,
se deberán incurrir en unos gastos de conexión para unir la subestación
con la red, lo cual puede resultar de precio muy elevado.
Nuestro proyecto analiza una idea propuesta en la revista “Revue
Générale des Chemins de Fer” en un artículo denominado “une nouvelle
structure d’alimentation des caténaires: le Systeme 2x1500” [1] y escrito por
Philippe Ladoux, Frèderic Alvarez, Hervè Caron, Gerard Josse et Jean Paul
Perret. La idea que proponen es la de instalar una catenaria auxiliar, pero
esta vez no se conecta en paralelo con la catenaria, sino que se lleva a un
potencial distinto, desde unos nuevos grupos rectificadores conectados en
las subestaciones ya existentes. Por ejemplo, si es un sistema ferroviario de
3000V, se lleva a -3000V. La conexión con la catenaria de este cable a
distinto potencial, se hace a través de un convertidor electrónico de
corriente continua/continua (Fig. 2).
Memoria.
8
Figura 2. Sistema 2 x 1500, propuesto en el artículo
Con este sistema, no solo transportamos potencia adicional a través
de la catenaria auxiliar, sino que además, se consigue mantener una
tensión controlada en el punto donde se conecta el convertidor CC-CC. De
este modo, el convertidor, a efectos finales, se comporta como una fuente
de tensión, igual que una subestación nueva, sin necesidad de incurrir en
los gastos de conexión a la red eléctrica, porque la potencia se toma desde
los puntos donde la conexión ya está hecha.
El artículo publicado en esta revista se centra en el estudio de la
topología del sistema, y no en el convertidor en sí. Primero modela un
sistema para realizar el estudio, tomando un trayecto de vía entre dos
subestaciones de longitud 15Km y con el sistema 2x1500 instalado. Para
simplificar el modelado, considera los trenes como fuentes de intensidad
constantes, los grupos rectificadores como fuentes de tensión perfectas y el
convertidor como un transformador de potencia, que funcionará como
una fuente de tensión constante y perfecta, al igual que las subestaciones.
No obstante, en el momento en que el convertidor, para poder mantener
una tensión determinada, supere una intensidad máxima por alguno de
sus bornes, el aparato comenzará a funcionar como una fuente de
intensidad, a la intensidad máxima que haya alcanzado, de manera que no
se podrá mantener la tensión deseada, sino todo lo que le sea posible al
Memoria.
9
convertidor sin superar su potencia nominal. Con este tipo de estudio, se
pueden modelar los parámetros básicos del sistema, tal y como la potencia
nominal y las intensidades máximas que incurrirán por él. Si la caída de
tensión que resulta en los momentos en que el convertidor funciona como
una fuente de intensidad, es mayor a un límite admisible, significará que
el convertidor deberá ser de una potencia mayor.
Todos los elementos mencionados son ideales, dado que el objetivo
principal de este grupo de franceses es considerar únicamente el
rendimiento del sistema y el funcionamiento global de éste. Como es de
suponer, la catenaria, cable auxiliar y las vías del modelo, sí están
consideradas con su resistencia e inductancia características, ya que de lo
contrario no habría caídas de tensión a lo largo de la catenaria y el sistema
no tendría ningún objetivo.
Con todo esto comienzan el estudio de las distintas topologías
diferentes. Las podemos dividir en dos tipos. La primera, parte de un
sistema ferroviario normal, de 1500V de tensión nominal, y la catenaria
auxiliar electrificada a una tensión de -1500V. La segunda topología, es
llevar la catenaria auxiliar a una tensión de 3000V, el doble de la tensión
nominal. Después, incurren en una tercera topología, en la que se coloca
un cable auxiliar más a la catenaria, para reducir su resistividad, pero no
deja de ser una variante de la primera topología mencionada.
Para diferentes posiciones de los trenes y con los distintos
elementos formando una topología determinada, pueden calcular las
distintas corrientes que se derivan por cada cable y las caídas de tensión
que se producen mediante la resolución de las distintas ecuaciones que
rigen el circuito eléctrico. Así, consiguen la evolución de las tensiones en
los trenes, la densidad de corriente en el cable auxiliar y la evolución del
rendimiento general del sistema a medida que el tren se sitúa en un punto
distinto del trayecto. Se entiende como rendimiento general, el cociente
Memoria.
10
entre la potencia absorbida por los trenes y la potencia suministrada por
los grupos rectificadores.
Al final, los resultados obtenidos revelan diversas conclusiones. La
primera, es que todas las topologías presentan un comportamiento casi
idéntico, si observamos la tensión que proporcionan a los trenes y a la
catenaria. Respecto al rendimiento y a las densidades de corriente, se
descubre que la solución con feeder positivo es mejor que la de feeder
negativo. Sin embargo, la solución de feeder negativo reduce las corrientes
que van por los carriles, de manera que cualquiera de las dos soluciones
podrá ser la mejor, para según el caso en el que se aplique.
2 Motivación del proyecto
Este proyecto tiene como propósito continuar el estudio del sistema
2x1500V, que de ahora en adelante, denominaremos 2x3000V, ya que es la
tensión habitual en España para recorridos ferroviarios de larga distancia.
Todo el artículo resumido en el punto anterior explica que el
estudio se ha centrado sobretodo en las topologías que se pueden formar
con el sistema 2x3000V. Bajo la hipótesis de que todos los elementos son
ideales (salvo los conductores), consiguen descubrir las mejores
soluciones, teniendo en cuenta el rendimiento general del sistema, las
necesidades que se desean cubrir y el caso donde se quiera aplicar. Lo que
falta por estudiar son los demás elementos que conforman el sistema,
además de los cables, en especial el convertidor de Continua/Continua.
El convertidor es la pieza principal del sistema 2x3000V, el que hace
posible llevar potencia desde las subestaciones e inyectarla en la catenaria
manteniendo una tensión de referencia. El sistema debe ser estudiado
teniendo en cuenta sus diferentes topologías y sus parámetros
Memoria.
11
característicos, para conocer el tipo de aparato que debe ser instalado y
como debe ser configurado.
Así pues, nuestro proyecto se centrará en investigar sobre el diseño
y los parámetros necesarios para el convertidor CC/CC. Con todas las
ideas que se desarrollan en este proyecto, se pretende dar así más base
teórica para entender por completo la idea del sistema 2x3000V.
Las motivaciones de este proyecto son claras. De resultar un
sistema viable, técnica y económicamente, podremos ampliar la potencia
de las líneas ferroviarias ya existentes con la misma calidad que si
instaláramos un cable de refuerzo y una subestación, pero incurriendo en
menores gastos fijos y menor tiempo en la instalación. Esto supone una
ventaja y un impulso más para el nuevo desarrollo que se está haciendo
del tren, como sistema de transporte público de larga distancia cada vez
más necesario, para una sociedad creciente que desea desarrollarse de
manera más sostenible y ordenada.
Para que esta nueva tecnología sea posible, es por tanto esencial que
el elemento principal del que depende todo lo demás pueda funcionar con
garantías y de manera correcta. Esto es, el convertidor CC/CC, del que
nos centraremos en estudiar con detenimiento.
3 Objetivos
El objetivo principal es, como ya se ha explicado en el punto
anterior, realizar un estudio del convertidor electrónico de corriente
Continua/Continua. Para ello, es necesario crear un modelado del sistema
semejante al que han creado los autores del artículo que hemos resumido,
solo que ahora el convertidor no será ideal, sino que tendremos en cuenta
todos los componentes que forman el aparato, las corrientes que circulan a
través de estos, y las pérdidas y transitorios que puedan aparecer. En
Memoria.
12
consecuencia se deberá hacer también un modelado más detallado para el
resto del sistema, tal y como incluir las inductancias características de la
catenaria y los carriles.
Todo esto es debido a que el convertidor tendrá que adaptar su
modo de funcionamiento en función de la carga, las corrientes que se
generan y las caídas de tensión que producen. El resultado más
interesante de hacer todo esto a este nivel de detalle es poder diseñar un
control automático de regulación del convertidor, que permita adaptarse
en tiempo real a todos los escenarios que pudieran ocasionarse en un
sistema ferroviario real.
Así pues, los objetivos del proyecto se resumen en los siguientes
puntos:
• Modelar un convertidor CC/CC en detalle, eligiendo un modelo
concreto y teniendo en cuenta todos sus elementos importantes,
para poder realizar un estudio detallado de las corrientes que lo
atraviesan, las pérdidas y los transitorios que se crearán con el
sistema en carga.
• Modelar el resto del sistema consecuentemente con el convertidor,
incluyendo inductancias, resistencias y variaciones de carga, para
observar el tipo de respuesta del convertidor.
• Diseñar un control automático de regulación del factor de servicio,
que responda a las necesidades propias del sistema ferroviario.
• Analizar los resultados, proponer soluciones y conclusiones finales.
Todos estos objetivos corresponderán a uno o varios capítulos de
este proyecto.
Memoria.
13
4 Metodología.
Para entender mejor la metodología desarrollada en este proyecto,
se debe conocer las características principales de un convertidor CC/CC.
Estos convertidores pueden ser indirectos o directos, es decir, con o sin
aislamiento galvánico, respectivamente. Sin embargo, los dos tipos de
convertidores utilizan el mismo principio para transformar.
Figura 3. Esquema básico del convertidor “chopper” de Continua/Continua
Para explicar de manera general como funciona un convertidor
CC/CC nos vamos a apoyar en el modelo más sencillo, un convertidor
reductor o “Chopper” (troceador.) Este convertidor posee un esquema
como el mostrado en la figura 3. Está compuesto por dos interruptores que
realizarán una conmutación, normalmente tiristores o, en el caso que
estamos analizando ahora, transistores IGBT’s. El procedimiento mediante
el cual se trocea es sencillo. Durante un tiempo t1, el IGBT 1 estará cerrado
y el IGBT 2 estará abierto, de manera que la tensión conmutada (Ux) será
la misma que la tensión de entrada (Ue). En la siguiente conmutación los
dos interruptores cambiarán su estado, es decir, el IGBT 1 estará abierto y
el IGBT 2 estará cerrado, haciendo que la tensión conmutada sea ahora
nula. Con estas dos conmutaciones hemos creado una onda cuadrada en la
tensión conmutada Ux de periodo T y con un valor medio menor a la
IGBT2
IGBT1
R L
Ue Us Ux
Memoria.
14
tensión de entrada (Fig. 4). El tiempo que permanecerá en el 1º estado (t1)
será en función de un factor de servicio denominado D, que también
proporcionará el valor de la tensión media. Si se observan las ecuaciones
que rigen el convertidor (ecuaciones 1, 2 y 3) se entiende mejor la relación
de estas variables [2].
E. 1 TDt ⋅=1
E. 2 TDtT ⋅−+= )1(1
E. 3 ee
xmedia UDT
TDUTDU ⋅=⋅⋅−+⋅⋅= 0)1(
Figura 4. Onda cuadrada generada por la conmutación del convertidor
Así, el factor de servicio es directamente proporcional a la tensión
media de conmutación. Para cualquiera de los dos tipos de topologías que
se encuentren en el sistema, siempre habrá una tensión de entrada el doble
de la nominal de los trenes (6000V). En el caso de tener el feeder a -3000V,
la tensión de entrada será entre catenaria y feeder, y la tensión de salida,
entre vía y feeder, mientras que si tenemos el feeder a 6000V, la tensión de
entrada será también entre la catenaria y el feeder y la tensión de salida
será ahora entre catenaria y vía. En ambas soluciones, el factor de servicio
tendrá de valor teórico 0,5, aunque este valor se irá cambiando para
adaptarse a las caídas de tensión que ocasionen los trenes y mantener en la
catenaria un voltaje constante. Cualquiera de las dos soluciones son
t1 T
t
Uc
Ux media
Memoria.
15
correctas, así que nos hemos centrado durante todo el proyecto en la
solución con feeder negativo.
La tensión cuadrada pasa por un filtro RL que convertirá la tensión
de salida en una onda triangular (Fig. 5), con un rizado lo suficientemente
pequeño como para considerar la tensión como continua, con los
armónicos propios de una onda de este tipo. Para reducir estos armónicos,
se debe reducir el periodo de la función, ya que de ese modo el rizado se
presentará de menor amplitud. Los valores característicos del periodo de
la señal de un convertidor suele situarse entre los 1000 y los 1000kHz.
Figura 5. Tensión de salida resultante, con forma de onda triangular
Toda esta introducción teórica del funcionamiento de un
convertidor CC/CC nos ayuda a entender que para realizar este proyecto,
es necesario realizar un estudió dinámico de las tensiones y las corrientes
que circulan por los conductores. La tensión de salida cambiará según la
carga de trenes que exista en el sistema y por tanto, si se quiere mantener
una tensión constante a la salida, se tendrá que ir modificando el factor de
servicio al tiempo que cambie el escenario de operación. El control que
regule el convertidor debe responder lo más rápido posible a los cambios
que se puedan producir en el sistema ferroviario.
Para poder estudiar todo esto, la herramienta principal de trabajo
será el programa Matlab®, y su simulador Simulink, en su versión 7.6
Us media
t1 T
t
Us
Memoria.
16
(R2008a). En este simulador se programarán los elementos y las variables
que conforman el sistema en forma de esquema eléctrico. El propio
Simulink ofrece una librería de bloques que representan resistencias,
inductancias, fuentes de tensión y de corriente variables, tiristores,…
Todo lo necesario para simular el sistema al nivel de detalle que precisa
este proyecto.
Una vez realizado todo esto, el programa utiliza determinados
algoritmos de cálculo que consiguen simular el modelo, pudiendo
analizarse todos y cada uno de los parámetros del sistema 2x3000 en
tiempo real.
5 Recursos.
El recurso principal ha sido el Matlab y su herramienta Simulink,
que permite esquematizar simulaciones de modelos físicos y
matematizables de cualquier tipo, ya sea de regulación automática, de
mecánica, como de electricidad y electrónica.
Con estos programas se han podido realizar todas las simulaciones,
cálculos y resultados del proyecto. Este programa tiene una amplia librería
de dispositivos eléctricos ya modelados, que se conectan a modo de
esquema eléctrico, para luego realizar todas las variaciones y simulaciones
que se quieran programar en el tiempo. A medida que la simulación se
pone en marcha, Matlab calcula las corrientes, tensiones y cualquier otro
parámetro del sistema. En la simulación se pueden variar las potencias
consumidas por los trenes, el factor de servicio y otros parámetros a
tiempo real, conforme se simula el sistema, de manera que el programa irá
dando las variaciones de corriente y de tensión a medida que estos
cambios se producen. Todo ello se puede ir almacenando o ser
monitoreado en el ordenador, según nos interese realizar cálculos a
posteriori, con los resultados de la simulación.
Memoria.
17
El programa, además de simular el sistema eléctrico, también es
capaz de simular el esquema de control que se le haya programado, de
modo que podemos integrar el estudio eléctrico y del control sin ningún
problema. Es por eso que no se ha precisado de ningún programa de
apoyo o de alguna otra herramienta de trabajo para desarrollar este
proyecto.
Además de esta potente herramienta, muchos de los modelos,
conceptos y diseños que puedan aparecer en el proyecto, tienen como base
teórica diversas publicaciones y referencias bibliográficas sin las cuales no
hubiera sido posible solucionar muchos de los problemas que surgen a lo
largo del proyecto. Los libros que recogen en ellos materias como cálculo,
regulación automática, máquinas eléctricas, electrónica de potencia… son
algunos de los ejemplos de obras que han tenido que ser consultadas
durante la ejecución del proyecto y que serán debidamente referenciadas a
lo largo de esta memoria.
Memoria.
18
Capítulo 2 MODELADO DEL SISTEMA
FERROVIARIO PRINCIPAL
1 Introducción
En este capítulo vamos a explicar el modelado de los diferentes
elementos del sistema ferroviario que conformarán la solución de 2x3000V
y su introducción en los esquemas de las simulaciones de Matlab y
Simulink.
Este capítulo no se refiere al convertidor de CC/CC, ya que para
éste hemos reservado un capítulo propio. Aquí solo se comentará el resto
de elementos. En primer lugar, hablaremos de las vías, catenaria auxiliar,
principal y las subestaciones, que son los elementos que conforman el
sistema ferroviario básico, el sistema de inicio al que se pretende ampliar
su capacidad. Después, mostraremos la solución que se ha implantado
para generar los trenes del sistema, y finalmente presentaremos diferentes
ejemplos de cómo funciona este sistema sin instalar el convertidor, para
así poder entender mejor las mejoras que ofrecerá el sistema 2x3000V.
2 Catenarias, Vías y Subestaciones
Estos tres elementos que componen el título de este apartado son la
base de cualquier ferrocarril de tracción eléctrica y por tanto nuestro
punto de inicio.
El sistema 2x3000V está pensado para ser aplicado en un punto
donde haya caídas de tensión, es decir, entre dos subestaciones. Nuestro
modelo por tanto se conforma de dos subestaciones con grupos
rectificadores, que electrifican a una catenaria y una vía, siendo este
Memoria.
19
elemento el que cierra el circuito eléctrico necesario para suministrar
potencia a los trenes (Fig. 6).
V2+V1+
42+
42
41+
41
32+
32
31+
31
22+
22
21+
21
12+
12
11+
11
Figura 6. Tramo ferroviario compuesto por catenaria, vía y 2 subestaciones (fuentes de tensión)
Las subestaciones toman la energía de la red eléctrica de media
tensión, que puede variar de 1 a 30kV de corriente alterna. Esta tensión es
transformada a tensión continua de 3000V, en el caso que estamos
formulando aquí. Esa tensión es aplicada entre la catenaria y la vía del
ferrocarril. Así entonces, nuestras subestaciones, serán a efectos prácticos,
fuentes de tensión continua constantes, con una caída de tensión interna
que se modelará junto con la catenaria del tren.
Para ser más exactos con el modelo, a la fuente de tensión continua
de 3000V deberemos sumarle ciertas fuentes de tensión alterna que
modelarían los rizados y los armónicos que se crean en el proceso de
rectificación. Sin embargo, mas adelante, cuando se simule el sistema y
diseñemos el control, podrá observarse que estas fuentes no son relevantes
y por tanto podremos eliminarlas del sistema.
La catenaria principal, el feeder y la vía del ferrocarril, no son más
que conductores con una resistencia y una inductancia propia,
dependiendo de su forma y de su material. Estos dos parámetros se
modelan en serie, y tienen un valor constante por unidad de longitud, ya
que la sección de los conductores no varía a lo largo del recorrido. En la
tabla 1 se resumen los valores unitarios de la impedancia que se han
Catenaria
Vía Subestación1 Subestación2
Memoria.
20
considerado más representativos de cualquier caso real, tanto para las
catenarias como para la vía. Como ya es sabido, la inductancia será nula
para la corriente continua, pero será muy importante para los armónicos
que surgen de la rectificación de la corriente y para el establecimiento de
una tensión constante por parte del convertidor.
R (Ω/Km) L(H/Km) X a 50Hz (Ω/Km)
Catenaria 0,06662 0,001202 0,3776
Vía 0,007 4,775.10-5 0,015
Tabla 1. Datos eléctricos de las catenarias y la vía
La longitud del tramo de vía que se ha considerado es de 20 Km en
total, entre ambas subestaciones. Como se puede observar en la figura 6,
para modelar las impedancias se ha dividido el tramo total en 8 segmentos
de 2,5Km cada uno. La razón de hacer esto, es para poder colocar los
trenes a una distancia distinta para cada simulación y ver la influencia de
la posición de la carga en el sistema. El hecho de variar cada 2,5Km, es
debido a que distancias menores serían prácticamente imperceptibles.
Con el Matlab, se podría hacer una simulación en tiempo real en el
que se irían variando las inductancias y resistencias de los conductores. De
esa manera se simularía el movimiento del tren. Sin embargo, cuando
veamos la rapidez que tiene el sistema y el control del convertidor que se
ha diseñado ante variaciones de carga, se comprenderá que no ha sido
necesario recurrir a un modelo dinámico, sino cuasiestático, como el que
se está presentando en este capítulo. Cuasiestático quiere decir que los
parámetros son dinámicos, pero los trenes no se moverán de su posición
durante el tiempo. Si un tren circulara a 200Km/h (una velocidad alta para
un sistema de corriente continua) que equivalen a unos 55,5m/s significa
que durante una simulación normal de unos 5 segundos, el tren habría
recorrido 277 metros en total, un 11% de las divisiones que estamos
Memoria.
21
considerando. Este porcentaje es una variación muy poco importante para
los resultados que se desean obtener.
Por último el modelado del feeder, o catenaria auxiliar, es semejante
a lo realizado con el sistema ferroviario. La resistencia e inductancia
características son las mismas que la de la catenaria, y se ha dividido en
ocho tramos. Esto no era necesario, ya que el único dispositivo que se
conecta a este cable será el convertidor, además de las dos subestaciones
en cada extremo del cable, que darán la tensión de -3000V. En este
proyecto, no se ha entrado en detalle en la subestación, ya que todo el
esfuerzo se ha centrado en el convertidor. Damos por hecho que es
completamente posible instalar en las subestaciones una serie de grupos
rectificadores que transformen la corriente alterna en corriente continua a
tensión de -3000V, igual que se hace para obtener 3000V sin resultar de
ello un problema técnico adicional importante.
Así pues, el tramo de 20Km de vía quedará modelado como se
muestra en la figura 7, con la catenaria, el cable auxiliar y las fuentes de
tensión que se colocarán en los grupos rectificadores.
V2-
V2+
V1-
V1+
42-
42+
42
41-
41+
41
32-
32+
32
31-
31+
31
22-
22+
22
21-
21+
21
12-
12+
12
11-
11+
11
Figura 7. Sistema ferroviario principal, compuesto por catenarias principal y auxiliar (feeder), vía
y grupos rectificadores
Catenaria
Vía Subestación1 Subestación2
Feeder
3000V
-3000V
Memoria.
22
3 Trenes
Para modelar los trenes, hemos querido hacerlo de modo que el
parámetro que se vaya a modificar sea el de la potencia. Por lo tanto, se ha
modelado a los trenes como una fuente de potencia, ya sea de potencia
constante o variable.
Para conseguirlo, se ha utilizado una fuente de intensidad variable,
disponible en la librería de dispositivos del Simulink. Se trata de una
fuente de intensidad al que el valor de la corriente le es asignado a tiempo
real. Para el caso que nos atañe, la idea es medir para cada instante de
simulación la tensión que existe entre vía y catenaria, es decir, entre las
bornes de la fuente de intensidad. Al mismo tiempo, se da una referencia
de potencia, que puede ser constante o variable en el tiempo según los
resultados que se quieran obtener. El cociente entre la referencia de
potencia y la tensión da el valor que debe tomar la corriente eléctrica en la
fuente de intensidad. En la figura 8 se muestra el esquema que toman
estos elementos en la simulación.
-
2
+
1
perdidas del tren
fuente de intensidad
s -+
Voltimetro
v+-
Referencia de potencia
P
Funcion de transferencia
1
tau .s+1
División
Figura 8. Esquema interno del modelo de tren en Simulink.
Memoria.
23
Los trenes, cuando se han modelado con una potencia constante, se
les ha considerado un consumo de 1MW, un valor medio utilizado
normalmente para el dimensionado de estos sistemas.
Como se puede observar, existen además otros dos elementos en el
esquema eléctrico del tren. El primero de ellos es una resistencia en
paralelo que hemos denominado pérdidas, porque lo que modela es
precisamente las pérdidas por efecto joule y otros fenómenos de la
maquinaria del tren. Esta resistencia tiene un valor de 900Ω, que a tensión
nominal de 3000V, supone un potencia consumida de 10kW, el 1% de la
potencia consumida por la fuente de intensidad.
El segundo elemento es la función de transferencia de 1º orden, que
viene a continuación del voltímetro. En un primer momento, la inclusión
de esta función se hizo porque la medida directa, y el posterior cálculo de
la intensidad, producen inestabilidades y errores de cálculo. Una vez que
se introduce, el sistema funcionaba correctamente. Lo que viene a
representar esta función es la rapidez con la que el tren aumenta la
intensidad en el momento en que se producen caídas de tensión, ya que si
cae la tensión, y se quiere mantener la potencia constante, la intensidad
debería aumentar instantáneamente, lo cual es imposible en la realidad.
Sin embargo, se ha modelado el tren de manera que esta función de
transferencia tenga la mínima influencia sobre el resto del sistema. Así, la
constante de tiempo τ (tau) equivale a 0,01, que significa que el tiempo de
establecimiento al 5% (es decir, el tiempo de repuesta que tarda en
alcanzas el 95% de su valor, ante un escalón unitario en la entrada) será de
0,03 segundos, un valor muy rápido en comparación con las distintas
respuestas que tendrá el sistema y el convertidor.
A la hora de introducir estos trenes en el sistema de catenarias y
vía, se ha creado un bloque con dos bornes y el cual en su interior posee
los elementos que se acaban de comentar y que se representan en la figura
Memoria.
24
8. Así en el esquema general, los trenes se verán como unos bloques, los
cuales se podrán añadir y situar en cualquier punto del sistema sin
necesidad de reconstruir de nuevo cada elemento que modela el tren (Fig.
9).
V2-
V2+
V1-
V1+Tren 4
+-
Tren 3
+-
Tren 2
+-
Tren 1
+-
42-
42+
42
41-
41+
41
32-
32+
32
31 -
31+
31
22-
22+
22
21-
21+
21
12 -
12+
12
11-
11+
11
Figura 9. Esquema general sin convertidor con varios trenes distribuidos a lo largo de la vía.
4 Inicialización del sistema
A la hora de arrancar el sistema, durante los primeros instantes de
la simulación, las inductancias de las vías y las catenarias hacen que el
valor de tensión sobre los cables sea nulo. Un valor tensión cero implica
que la intensidad será el resultado de una división con denominador 0, lo
cual significa que hay una indeterminación matemática y, en
consecuencia, un error en Matlab. Para salvar este problema, es necesario
hacer una simulación de inicio, en la cual se arrancarán los trenes una vez
electrificado el sistema principal. En el siguiente capítulo se verá como se
incluyen en el esquema de inicialización el convertidor CC/CC.
Para el caso de los trenes, lo que se hace es incluir un interruptor
denominado switch en el esquema que calcula la corriente del tren (Fig.
10). En los primeros instantes, durante un tiempo de 0,5 segundos, el tren
Memoria.
25
toma como valor de la tensión un valor constante de 3000 V. Una vez
pasado este tiempo, el switch hace que el tren tome como valor de tensión
la que existe entre los bornes de la fuente de intensidad, de manera que
empiece a funcionar como el modelo principal de la figura 8. La Referencia
de potencia durante los primeros instantes tendrá un valor 0, para hacer
que el tren esté apagado durante ese tiempo. Después, una vez que ya se
esta tomando la tensión de la medición entre los bornes, se pondrá la
referencia de potencia a 1MW, de manera instantánea. Este caso es
imposible, ya que ningún tren puede pasar de consumir 0 a 1MW en
tiempo nulo. Sin embargo, ahora no interesa el transitorio que esto pueda
ocasionar, sino que el sistema se establezca en los valores habituales de
funcionamiento. No obstante, también se puede mantener la potencia
desde el principio con un valor constante, sin que eso pueda ocasionar
problemas a la simulación. Sería como arrancar el sistema ferroviario a la
vez que se arrancan los trenes.
-
2
+
1
perdidas del trenfuente de intensidad
s -+
Voltimetro
v+-
Timer de 0.5segundos
Switch
Referncia de tension
V
Referencia de potencia
Funcion de transferencia
1
tau .s+1
División
Figura 10. Esquema del tren para la inicialización del sistema.
Pasados todos los transitorios de arranque del sistema, se guardan
los parámetros principales de la simulación para utilizarlos como variables
iniciales de una simulación sin switches (esto sólo es necesario cuando se
Memoria.
26
utiliza el modelo simplificado de convertidor, utilizado para el diseño del
control, como se explica en capítulos posteriores). De esta manera se
consigue trabajar con un modelo sin las discontinuidades que provocan
este interruptor, y por tanto, se podrá ver sin error la respuesta en
frecuencia del sistema y hacer un estudio regulatorio del convertidor.
Memoria.
27
Capítulo 3 MODELADO DEL CONVERTIDOR
CC/CC
1 Introducción.
Este capítulo se encargará de explicar el modelo de convertidor que
se ha utilizado en este proyecto a lo largo de las simulaciones del sistema
2x3000V. Este dispositivo será el convertidor Chopper que se explicó en la
metodología del capítulo de introducción, sólo que ahora se harán dos
modelos de distinto tipo. El primero es el modelo completo del
convertidor chopper, con sus tiristores y todos los elementos que
componen el aparato. El problema de este modelo surge a raíz de que es
un sistema discontinuo, con interruptores, y es imposible determinar la
respuesta en frecuencia del sistema con este tipo de convertidor. Es por
eso que para el diseño del control, se utilizará un modelo simplificado,
continuo y sin interruptores, basándose en las ecuaciones que rigen al
convertidor.
Por último, durante este capítulo se mostrarán algunos resultados
que se obtienen de las simulaciones con un factor de servicio constante, sin
aplicar todavía ningún control, para así comprobar su funcionamiento y
poder empezar con el diseño del control de regulación automática.
2 Modelo de convertidor “Chopper”
Este modelo no es más que llevar lo explicado en el apartado de la
metodología del capítulo 1 a un esquema de Simulink.
Memoria.
28
Son dos tiristores que se conectan en serie a la tensión de entrada,
que en nuestro caso, es la tensión de 6000V que hay entre catenaria
principal y auxiliar. Entre los dos interruptores se toma la tensión de
salida, una onda cuadrada, que mediante una inductancia y unos
condensadores en paralelo con los interruptores se obtiene una tensión
continua con algunos armónicos de menor amplitud. El resultado en el
Simulink está en la figura 11.
Vx
V-3
V0
2
V+1
filtro L
v+-
v+-
PWM
D
on
off
g CE
g CE
Goto 6
[Imeas_0]
Goto 5
[Imeas_neg ]
Goto 4
[Imeas_pos]
Goto 3
[Vmeas_neg ]
Goto 2
[Vmeas _pos]
Goto 1
[SW2]
Goto
[SW1]
From1
[SW2]
From
[SW1]
Current Measurement 2
i+ -
Current Measurement 1
i+
-
Current Measurement
i+
-
Constant 1
0.5
Figura 11. Esquema del convertidor Chopper, con factor de servicio constante
Se puede observar en la figura el modo de conexionado de los
distintos elementos del sistema. La tensión de entrada está entre V+ y V-,
los bornes que se conectarán posteriormente a la catenaria principal y
auxiliar respectivamente. El borne Vo es el borne que se conecta a la vía.
Así, nuestra tensión de salida será entre Vo y V-. La tensión que existe
entre Vx y Vo es la onda cuadrada producida por los tiristores. Al tener
Memoria.
29
como factor de servicio 0,5, la duración del semiperiodo con tensión de
entrada y el semiperiodo con tensión nula duran lo mismo, luego es una
señal simétrica. En la figura 12 se observa la forma de esta señal y en la
figura 13 se observa la tensión de salida que ha pasado por los distintos
filtros[2].
1.122 1.1225 1.123 1.1235 1.124 1.1245 1.125 1.1255-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Figura 12. Tensión de onda cuadrada Vx, a la salida de los tiristores, con respecto al tiempo.
El hecho de que la señal cuadrada tenga valor exacto de 6000V es
debido a que se está probando sin carga. En el momento en que la tensión
en las catenarias caiga, también lo hará la tensión de entrada, y habrá que
modificar el factor de servicio para mantener el valor nominal. La señal
tiene de frecuencia 1000Hz, que es un valor mínimo para un componente
de electrónica de potencia. El hecho de que usemos una frecuencia baja, es
debido a que a menor frecuencia, las amplitudes de los armónicos
producidos son mayores, luego nos situamos en el peor caso. Podría llegar
hasta los 10 KHz, aunque no se suele superar este valor.
Memoria.
30
1.94 1.9405 1.941 1.9415 1.942 1.9425 1.943 1.9435
2999.9
2999.95
3000
3000.05
3000.1
Figura 13. Tensión de salida del convertidor, con respecto al tiempo.
La tensión de salida tiene la forma que se presenta en la figura 13.
La señal describe una curva debido al filtro inductivo, junto con las
inductancias de la vía y la catenaria, y a los condensadores presentes en
paralelo con los tiristores. El hecho de que la señal esté cortada en la parte
baja se debe al condensador conectado entre V0 y V+, que en el momento
en que desciende de los 3000V, comienza a descargarse para mantener la
tensión constante. Los periodos de tiempo son tan pequeños con respecto
a la capacidad de los aparatos que apenas se podría observar un descenso
gradual de la tensión.
A continuación, en la tabla 2, se resumen los valores de los
condensadores, inductancias y resistencias presentes en el convertidor
chopper.
R(Ω) L(mH) C(mF)
Filtro RL 0,0175 23,9 -
Condensadores 0,001 - 42,4
Memoria.
31
Tabla 2. Datos eléctricos del convertidor
En el esquema se observa, además de los tiristores, los
condensadores y el filtro inductivo, un bloque denominado PWM que son
las siglas de Power-Width Modulation. Es un componente electrónico
presente tanto en los convertidores de CC/CC como en los rectificadores e
inversores. Genera una señal que ordena abrir o cerrar a los tiristores para
generar la tensión de salida. Esta señal no es más que otra onda cuadrada
de una frecuencia concreta (en nuestro caso, 1000Hz) que varía el ancho
del pulso según el factor de servicio que se le esté imponiendo. El
resultado son dos ondas cuadradas que cuando una envía el pulso la otra
no, y viceversa. La señal enviada al primer tiristor, la SW1, tiene la misma
forma que la Tensión Vx aunque por supuesto de menor amplitud,
mientras que la señal SW2 es justamente lo opuesto.
Por último cabe señalar que existen distintos bloques en el modelo
denominados “from” y “goto”. Estos bloques no son más que conectores.
Las señales que llegan al bloque “goto” mandan la señal que les precede a
los bloques “from” que tengan el mismo nombre. Por ejemplo, las señales
SW1 y SW2 que se emiten desde el PWM, están realmente conectadas al
control de los tiristores, a través de su bloque “from” correspondiente.
Ademas de esto, existen también en el convertidor otros bloques que no se
han comentado, denominados “Voltage measurement” y “Current
Measurement”. Estos bloques son voltímetros y amperímetros, que toman
la medida a tiempo real de la tensión y la intensidad respectivamente,
para luego poder analizar estas variables detenidamente.
Memoria.
32
3 Convertidor CC/CC simplificado
Como ya se ha señalado anteriormente, a la hora de diseñar el
control que regule el factor de servicio, se necesita hallar la respuesta
dinámica de los distintos parámetros del sistema. Matlab, puede hallar
para cualquier sistema dinámico una representación matricial de estado
estableciendo variables de entrada y de salida, y en consecuencia hallar la
función de transferencia del sistema que que se defina. Esto permitirá
representar matemáticamente la planta que representa el sistema 2x3000V
para las variables que se precisen establecer.
Por ello, es necesario la creación de un modelo lineal, que no tenga
ni “switches” ni ningún tipo de interruptores que creen discontinuidades
en el sistema. La solución es crear un modelo equivalente del convertidor,
basado en las ecuaciones que rigen a éste y que ya se comienza a presentar
en la introducción. En la ecuación 3 ya se había aclarado que la tensión
media de salida del convertidor es el resultado de multiplicar el factor de
servicio por la tensión de entrada. Esta tensión es la que hay entre el punto
medio de los dos interruptores y el borne de la catenaria auxiliar. Si se
conoce esa tensión, también sabemos la tensión entre el borne de la
catenaria principal y el punto x, tal y como se demuestra en las siguientes
ecuaciones [2]:
E. 4 −=⋅= xexmedia UUDU
E. 5 xxentrada UUU +− +=
E. 6 entradaentradaentradaxentradax UDUDUUUU ⋅−=⋅−=−= −+ )1(
Estas ecuaciones por tanto, dan las tensiones existentes en el
convertidor en función de la tensión de entrada y del factor de servicio.
Esto significa que los tiristores del circuito se pueden sustituir por fuentes
de tensión controladas que dan en cada momento la tensión que le es
Memoria.
33
asignada mediante el factor de servicio. Así, el modelo simplificado, se
diferencia básicamente del modelo real de convertidor por esta sustitución
de tiristores por fuentes de tensión. En la figura 14 se puede observar
como queda finalmente este modelo.
Si comparamos este modelo con el expuesto en la figura 11, del
convertidor real, vemos que además de sustituir los tiristores, se han
incluido tres bloques más. El primero es el denominado Subsystem. Este
bloque, expuesto por dentro en la figura 15, es el encargado de calcular
para cada valor que toma la tensión de entrada y el factor de servicio que
se ha definido (en este caso, sigue siendo 0,5) los valores que deben tener
las fuentes controladas. Toma la medida de las tensiones V+o y Vo- y
suma ambas variables, que sería el equivalente a medir la tensión V+-, la
tensión de entrada, entre la catenaria principal y auxiliar. Después, realiza
los cálculos de la tensión V+x y Vx- para poder ordenar a las fuentes un
valor determinado.
Memoria.
34
Vx
V-3
V02
V+1
filtro
v+-
v+-
Subsystem
D
V+0
V-0
V+x
V-x
Memory 1
Memory
Goto 6
[Imeas_0]
Goto 5
[Imeas_neg ]
Goto 4
[Imeas_pos]
Goto 3
[Vmeas_neg ]
Goto 2
[Vmeas _pos]
Current Measurement 2
i+ -
Current Measurement 1
i+
-
Current Measurement
i+
-
Controlled Voltage Source 2
s -+
Controlled Voltage Source
s -+
Constant
.5
Figura 14. Modelo simplificado de convertidor CC/CC
V-x2
V+x1
fV-x
u(1)*u(2)
fV+x
(1-u(1))*u(2)Add
V-03
V+02
D1
Figura 15. Bloque subsystem del modelo simplificado, calculador de las tensiones
Memoria.
35
Los otros dos bloques añadidos se denominan “memory”, un
bloque utilizado para romper el bucle algebraico que existe en el sistema.
Si se observa detenidamente la figura 14, se verá que las dos fuentes de
tensión están conectadas en serie a la tensión de entrada, y que ambos
valores sumados son precisamente, la tensión de entrada. Sin los bloques
“memory”, lo que se esta haciendo es, para cada instante de simulación,
mandar a las fuentes imponer una tensión que ya existe entre esos dos
puntos, dado que es la medida que están tomando los voltímetros. Esto
provoca que sea imposible para el sistema actualizar los valores de tensión
de las fuentes, provocando que el sistema nunca cambie a pesar de las
variaciones de carga que existan. El bloque “memory” impone un retraso
en la medida, es decir, que la medida que registra el bloque subsystem es
la medida tomada en el instante de simulación justo anterior al que se está
calculando. De esa manera, rompemos el bucle algebraico y el sistema
puede evolucionar.
4 Inicialización del convertidor simplificado
Como se puede intuir en lo explicado anteriormente, los bloques
Memory necesitan ser inicializados, ya que en el instante 0, en el que
comienza a calcular la simulación Matlab, no existe ninguna medida de la
tensión anterior a ese momento. Este valor es desconocido antes de
empezar la simulación y darle un valor distinto provoca unos transitorios
que afectarán a la representación de estado y en consecuencia a errores en
el diseño del control.
Por todo esto, es necesario crear un nuevo sistema inicializador del
modelo presentado en el apartado anterior, al igual que se ha hecho con
los trenes. Éste será un sistema distinto al definidio en el apartado anterior
y por tanto se simulará por separado, primero el modelo simplificado
inicial y después el modelo simplificado sin transitorios ni
Memoria.
36
discontinuidades. Esto se debe de hacer así, ya que en la inicialización
colocaremos interruptores sobre los bornes del convertidor que harán que
el aparato se conecte en un instante determinado. La inclusión de estos
interruptores nos remite de nuevo al problema de la linealidad.
El objetivo de este modelo inicial es poder simular todos los
transitorios de arranque, que en los objetivos de este proyecto no nos
interesan, para obtener un vector con las variables de estado finales. Los
primeros instantes de simulación la carga está desacoplada, con lo que la
tensión que miden los voltímetros es de 3000V. Este es el valor con el que
se inician también los bloques memory. Después de activar la carga y de
que se extingan los transitorios, el sistema llega a unos valores estables de
las variables de estado, que son recogidos en un vector. Estos valores
finales, serán los parámetros iniciales del modelo lineal, incluyendo las
inicializaciones de los bloques memory, con lo que el modelo simplificado
lineal no tendrá ninguna variación en las corrientes ni en las tensiones.
En la figura 16 se muestra el convertidor de arranque tal y como lo
se ha diseñado. El resto del sistema, no precisa de cambios. Los trenes
tienen como referencia de potencia 0 durante 0,5 segundos y 1MW desde
ese instante hasta el final de la simulación.
Memoria.
37
Vx
V-3
V02
V+1
filtro
v+-
v+-
Timer 1
Subsystem
D
V+0
V-0
V+x
V-x
Memory 1
Memory
Goto 6
[Imeas_0]
Goto 5
[Imeas_neg ]
Goto 4
[Imeas_pos]
Goto 3
[Vmeas_neg ]
Goto 2
[Vmeas _pos]
Current Measurement 2
i+ -
Current Measurement 1
i+
-
Current Measurement
i+
-
Controlled Voltage Source 2
s -+
Controlled Voltage Source
s -+
Constant
.5
Breaker1
c 12
Breaker
c 12
Figura 16. Convertidor simplificado inicializador
Como se observa, el único añadido principal son dos interruptores
(breakers) controlados por un temporizador (timer). Estos interruptores
permanecen abiertos inicialmente, provocando que aunque la tensión de
entrada se pueda seguir midiendo, las fuentes no aportan corriente alguna
a la vía o a las catenarias, exceptuando el consumo poco significativo de
los condensadores.
Una vez pasado los instantes iniciales, tanto si los trenes han
arrancado como si no, ya se puede conectar el convertidor en la catenaria.
En el arranque, se ha conectado el convertidor siempre a 0,1 segundos de
tiempo de simulación. Pasado un cierto tiempo, todo el sistema se
estabilizará en unos valores determinados, los cuales almacenaremos para
Memoria.
38
incluirlos en la versión lineal del sistema 2x3000V. Todos estos transitorios
que se van formando a medida que se conecta la carga y el convertidor se
verán en el apartado siguiente.
5 Simulaciones con factor de servicio constante
En este apartado se va a demostrar los distintos resultados que
ofrecen las simulaciones de los sistemas si mantenemos el factor de
servicio constante a 0,5. Con ello se pretende demostrar que tanto el
modelo de convertidor simplificado como el modelo de convertidor
“chopper” real son prácticamente idénticos. También se dará una visión
de los transitorios que se crean durante el arranque del sistema.
Para ello, tomamos un caso común de referencia. Se colocan dos
trenes simétricos, es decir, ambos a medio camino entre una subestación y
el convertidor de continúa (Fig. 17). Es un caso simple y elegido al azar, y
bien se podía haber tomado cualquier otra opción de carga.
V2-
V2+
V1-
V1+
V+x/V-x
I+
I-
I0
V+
V-
V+
V0
V-
Tren 2
+-
Tren 1
+- Scope8
42-
42+
42
41-
41+
41
32-
32+
32
31-
31+
31
22-
22+
22
21-
21+
21
12-
12+
12
11-
11+
11
Figura 17. Sistema 2x3000 con dos trenes a medio camino
En ambas simulaciones, tanto con el convertidor real como con el
simplificado, los trenes estarán a potencia cero hasta pasados los 0,5
segundos de simulación, que pasarán a tener 1MW cada uno. Esto
provocará un transitorio muy brusco en las tensiones y las corrientes del
Memoria.
39
convertidor, pero que sin embargo no es interesante para las conclusiones
finales, ya que nunca ocurrirá nada semejante. Esto se hace así para ver lo
que ocurre en escenarios extremos, y poder observar con mayor facilidad
los transitorios. De ese modo, se podrán comparar las semejanzas entre las
respuestas de los dos modelos. Para el caso del convertidor simplificado,
el que se debe conectar pasados unos instantes, se hace pasados 0,1
segundos de simulación, aunque si no se observan cambios, es debido a
que la única carga que existe en el sistema son las pérdidas de los trenes,
modeladas como resistencias en paralelo con las fuentes de potencia. El
consumo es del 1% de la corriente que se desarrollará con las fuentes
acopladas, de modo que apenes se observarán las variaciones. A
continuación, en las figuras 18 y 19, se muestra la evolución de las
tensiones entre catenaria principal y vía (V+o) y entre vía y catenaria
auxiliar (Vo-), además de las corrientes que se inyectan a través de cada
borne en sentido generador.
0 0.5 1 1.5
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
V+0V0-I+I0I-
Figura 18. Respuesta eléctrica del convertidor simplificado
Memoria.
40
0 0.5 1 1.5
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
V+0V0-I+I0I-
Figura 19. Respuesta eléctrica del convertidor real
El valor más interesante, es precisamente el valor mas parecido en
ambas simulaciones: la tensión catenaria principal y vía (V+o) porque esa
es la tensión que se pretende modificar mediante el control del factor de
servicio. La única diferencia es el amortiguamiento, ya que el modelo
simplificado es ligeramente menos amortiguado que el convertidor real.
Esto puede resultar incluso positivo, porque si se diseña para un modelo
que presenta mayores oscilaciones, el control final estará capacitado para
trabajar sobre el modelo real, dando algo más de amortiguamiento al
sistema del que en un principio se prevé.
En el instante en que se activan las cargas, aparece un pico de
bajada de la intensidad Io, que no se encuentra en el modelo real. El pico
se crea debido a que el modelo simplificado mantiene la suma de las
intensidades salientes a valor de 0, mientras que el convertidor real, no
puede mantener esta realidad en todo momento y la energía que no se
transforma se consume dentro de los elementos que lo conforman. Existe
Memoria.
41
también ligeras variaciones en la curva transitoria en el resto de las
variables, aunque no muy significativas. Las diferencias se deben, como es
de suponer, al hecho de que un modelo posee fuentes de tensión, que no
crean ningún armónico, mientras que el segundo posee tiristores que sí lo
hacen. No obstante solo afecta al amortiguamiento del pico de subida,
mientras que el tiempo de establecimiento es exactamente el mismo para
ambos casos, lo cual resultará útil a la hora de centrarnos en el diseño de
un control lo más rápido posible.
Hay que recalcar de nuevo la poca diferencia que crean los
armónicos en el modelo real sobre las variables eléctricas respecto al
modelo simplificado. El hecho de que no estén presentes en el convertidor
simplificado, no impide que los transitorios, y sobretodo, los valores
medios finales que alcanzan las dos simulaciones, sean muy parecidos,
como se muestra en la tabla 3. En esta tabla, se ha incluido también la
comprobación de la suma de las intensidades. Esta suma, si entendemos
que el convertidor no puede generar potencia, el valor debe ser negativo o
prácticamente nulo (el criterio utilizado, recordamos, es el de generador y
si el valor es negativo, significa que el convertidor esta consumiendo
energía, la energía disipada por las resistencias internas).
Con convertidor
real
Con convertidor
simplificado
Sin Convertidor
V+o (V)
Vo- (V)
2941,5
2953,2
2942,8
2953,9
2883,4
3012,25
I+ (A) 157,4 158,2 0
Io medio(A) -315 -316,3 0
I- (A)
ΣI
157,4
-0,2
158,1
0
0
0
Memoria.
42
Tabla 3. Valores finales alcanzados por el sistema con convertidor simplificado y real con factor de
servicio constante y sistema sin convertidor
Para finalizar es interesante comprobar ahora, aún sin haber
incluido un control en el factor de servicio, el hecho de que la introducción
de cargas sobre el sistema cree unas caídas de tensión en el punto medio
de la catenaria, y que la introducción del convertidor sobre el sistema
ferroviario ayuda a reducir estas caídas, como se puede observar en la
tabla 3. Otro dato que puede llevar a confusión es la tensión Vo- cuando
no existe convertidor. El hecho de que sea mayor de 3000 V es debido a
que la catenaria auxiliar, por donde no pasa corriente ahora, se mantiene a
la misma tensión que los grupos rectificadores, a -3000V con respecto a
tierra, mientras que a lo larga de la vía, las corrientes que regresan de las
cargas inducen tensiones sobre la vía, de manera que la tensión entre
catenaria auxiliar y vía es mayor al valor nominal.
La caída de tensión sobre el punto medio de la catenaria pasa de
116,6V a 58,5V cuando insertamos el convertidor con factor de servicio
constante, lo cual supone una mejora de un 49,8%. Mas adelante, cuando
incluyamos el control, podremos reducir esta caída hasta 0, ya que nuestro
convertidor mantendrá la tensión entre catenaria y vía a 3000V,
reduciendo aún más las caídas que observen los trenes al circular por la
vía.
Memoria.
43
Capítulo 4 DISEÑO DEL CONTROL
AUTOMÁTICO DEL CONVERTIDOR
1 Topología del control automático del convertidor
En este capítulo vamos a seguir todos los pasos que se han tomado
para dar con un control automático de regulación del factor de servicio. El
objetivo no es controlar el factor de servicio en sí, pero mediante el control
de este parámetro se puede controlar la tensión de salida, y más
concretamente, la tensión entre catenaria y vía V+o.
El objetivo principal del control es mantener la tensión entre
catenaria y vía a 3000V, dado que de esa manera se minimizarán las caídas
de tensión sobre los trenes sin superar el valor nominal de voltaje. Por
ello, la regulación tendrá como entrada un punto de consigna que será la
tensión de 3000V, lo comparará con el valor medido por los voltímetros, y
mediante un regulador, se ordenará al convertidor el factor de servicio
necesario para mantener tal tensión en la catenaria.
El problema aparece cuando existen muchas cargas en el sistema.
Al haber fuertes caídas de tensión, y el control exigiendo que se mantenga
la tensión a 3000V, el convertidor tendrá que inyectar sobre el sistema
corrientes elevadas. La idea para el sistema 2x3000V, es que según la
necesidad que haya para cada caso de salvar las caídas de tensión que
aparezcan sobre la vía, el constructor elegirá la potencia nominal del
convertidor. Cuando en el sistema aparezcan muchas cargas, el
convertidor, que estaría manteniendo la tensión de 3000V, deberá reducir
esta consigna lo suficiente para que en este caso, las corrientes que pasen
por él no superen los valores máximos para los que está diseñado. De lo
Memoria.
44
contrario, las sobreintensidades pueden calentar en exceso los circuitos
internos y dañar gravemente alguno de sus componentes, teniendo que
reponer y sustituir el sistema.
Por todo ello, la consigna de tensión, debe estar restringida por las
corrientes que atraviesan el convertidor. La corriente más elevada para la
topología del sistema 2x3000v que se está analizando, es siempre la
intensidad Io, es decir, la corriente inyectada sobre la vía (en realidad, el
valor es siempre negativo, por lo que esta corriente no es inyectada, sino
absorbida). Así pues, la consigna de tensión debe tener un control previo
de su valor, según los valores de intensidad que se estén alcanzando en el
sistema.
La regulación por tanto debe controlar una variable, el factor de
servicio, condicionado por 2 parámetros del sistema: tensión V+o e
intensidad Io. Para tener en cuenta todo lo comentado, la regulación
deberá tener dos lazos de control, uno principal que controle las
variaciones de tensión para una consigna determinada, y un lazo
secundario, dentro del principal, que restringa estas tensiones a los valores
de intensidad.
La solución, una regulación en cascada, como se muestra en la
figura 20 [1]. El control de tensión proporciona un valor de intensidad
necesaria, que a su vez, el control de intensidad restringe sobre el máximo
permitido. Al mismo tiempo, este bloque calcula el factor de servicio
necesario para las condiciones del circuito, ya sea de mantener la
intensidad, o de mantener la tensión. La restricción será por tanto la
encargada de activar uno u otro bloque.
Memoria.
45
Figura 20. Topología de la regulación en cascada del convertidor CC/CC
Para hacer el diseño de los dos controles, se debe conseguir dos
funciones de transferencia del sistema, es decir, tal y como se enseña en la
figura, obtener la planta Io/D y la planta V+o/Io. Con la función de
transferencia de la intensidad con respecto al factor de servicio,
diseñaremos un control PI o PID adecuado, que será el responsable de dar
un factor de servicio para variaciones de corriente. Con la función de
transferencia de la tensión con respecto a la intensidad, junto con el lazo
de control antes definido, obtendremos el control que proporcionará la
intensidad ante ciertas variaciones de la tensión de entrada para una
referencia, que será siempre de 3000V.
2 Obtención de la función de transferencia Io/D
Matlab permite obtener la función de transferencia de cualquier
sistema, definiendo previamente una entrada y una salida, aunque, como
ya se ha explicado anteriormente, para que pueda realizar esta operación
precisa estar definido sobre un sistema continuo y no sobre un sistema con
interruptores.
Para obtener la función de transferencia es preciso utilizar el
sistema simplificado y su inicializador correspondiente. Lógicamente, se
tendrá que definir distintos sistemas para varias posibilidades de carga del
sistema, es decir, un esquema distinto para cada caso, con uno o varios
Control
V Vref + - + -
Control
Io
Planta
Io/D
Planta
Vo+/Io
∆V ∆I D Io V+o Iref
Memoria.
46
trenes y situados a distancias diferentes. La definición de las entradas y las
salidas las hacemos en los propios esquemas ya creados, como se puede
observar en la figura 21. Vemos que para este caso, la definición de
entrada serían variaciones en el factor de servicio, mientras que la salida es
la Intensidad Io.
En la figura se puede observar que a la entrada se le suma 0,5, que
es el valor por el que rondará el factor de servicio durante las
simulaciones, de manera que la entrada serán las variaciones de este
factor, o como se suele denominar, ∆D. En el control final esta suma
también estará presente.
Memoria.
47
Out 11
V2-
V2+
V1-
V1+
V+x/V-x
In 1 I+
I-
I0
V+
V-
V+
V0
V-
Tren 2
+-
Tren 1
+- Scope 8
42-
42+
42
41-
41 +
41
32-
32 +
32
31-
31+
31
22-
22+
22
21-
21+
21
12 -
12+
12
11-
11+
11
In1
1
Vx
V- 5
V+
4
I03
I-
2
I+ 1
V-3
V0
2
V+1
filtro
v+-
v+-
Subsystem
D
V+0
V-0
V+x
V-x
Memory 1
Memory
Goto 6
[Imeas_0]
Goto 5
[Imeas_neg ]
Goto 4
[Imeas_pos]
Goto 3
[Vmeas_neg ]
Goto 2
[Vmeas _pos]
From8
[Imeas_neg ]
From7
[Imeas_pos]
From4
[Imeas_0]
From3
[Vmeas _neg ]
From2
[Vmeas_pos]
Current Measurement 2
i+ -
Current Measurement 1
i+
-
Current Measurement
i+
-
Controlled Voltage Source 2
s -+
Controlled Voltage Source
s -+
Constant
.5
In1
1
Figura 21. Definición de la entrada ∆D (In1) y la salida Io (Out1)
El caso presentado en la figura anterior, es el caso de dos trenes
simétricos a medio camino entre convertidor y subestación. Para que el
estudio abarque gran cantidad de combinaciones de carga posible, hemos
decidido obtener la función de transferencia de 9 casos diferentes. Los tres
Memoria.
48
primeros casos son la función de transferencia con un tren en el sistema,
situado en tres posiciones distintas. El primer caso, el tren se sitúa en el
centro, es decir, en el mismo punto donde se conecta el convertidor. El
segundo caso, el tren se sitúa a medio camino, del mismo modo que se
observa en la figura 21, pero eliminando uno de los trenes. El tercer caso
sería el de situar el tren en el extremo, justo en el punto donde está una de
las subestaciones. Este último caso, es equivalente a no colocar trenes,
dado que la potencia que consume la toma directamente de la subestación,
y la catenaria, que en este caso no transporta la energía, no sufre de caídas
de tensión, igual que en el caso sin trenes .
Los tres siguientes casos, vienen a ser muy semejantes que los casos
con un solo tren, solo que esta vez, el número de trenes a colocar en el
sistema son dos. Los trenes aquí se colocarán de forma simétrica, es decir,
que si un tren se sitúa a medio camino entre una subestación y el
convertidor, habrá otro situado de la misma manera, pero entre al
subestación opuesta y el convertidor. Con esta premisa, creamos los tres
casos de dos trenes, el primero con dos trenes en el centro (donde se sitúa
el convertidor), el segundo con dos trenes a medio camino (Fig. 21), y el
tercero con dos trenes en los extremos (donde se sitúan las subestaciones).
Los tres últimos casos son los que denominamos casos base. El
primer caso base consta de cuatro trenes repartidos uniformemente por la
catenaria y de la manera en que se observa en la figura 22. El segundo caso
base lo denominamos caso base centro, porque la intención de este caso es
que la carga de cuatro trenes se sitúe lo mas cerca del convertidor.
Concretamente, habrá dos trenes en el punto donde se conecta el
convertidor y luego dos trenes más en los puntos inmediatamente
anteriores y posteriores al centro del sistema. Este caso es el que
produciría más caída de tensión sobre la catenaria que el resto de los
casos, dado que se transporta la intensidad necesaria de cuatro trenes
durante un trayecto de catenaria mucho más largo que el caso base
Memoria.
49
normal, con lo que las caídas por efecto joule son mayores. El tren central,
está definido con el doble de potencia que un tren convencional, es decir,
de 2MW, y supone la representación de que hay dos trenes cruzándose
sobre la misma línea.
Out 11
V2-
V2+
V1-
V1+
V+x/V-x1
In 1I+
I-
I0
V+
V-
V+
V0
V-
Tren 4
+-
Tren 3
+-
Tren 2+
-
Tren 1
+-
Scope3
42-
42+
42
41-
41+
41
32-
32+
32
31-
31+
31
22-
22+
22
21-
21+
21
12-
12+
12
11-
11+
11
In11
Figura 22. Topología del caso base
Out 1
1
V2-
V2+
V1-
V1+
V+x/V-x
In 1 I+
I-
I0
V+
V-
V+
V0
V-
Tren 3
+-
Tren 2
+-
Tren 1
+-
Scope8
42-
42+
42
41-
41+
41
32-
32+
32
31-
31+
31
22-
22+
22
21-
21+
21
12-
12+
12
11-
11+
11
In1
1
Figura 23. Topología del caso base centro
El ultimo caso, lo denominamos caso imposible. Aquí, hemos
colocado la mayor cantidad posible de trenes, situando un tren en cada
posición disponible de la catenaria y definiendo cada bloque con el doble
Memoria.
50
de potencia, como se puede observar en la figura 24. Este caso es sólo para
confirmar que la inclusión de muchas o pocas cargas no produce grandes
modificaciones en la función de trasferencia que estamos obteniendo. De
esa manera, nuestro control deberá ser en función del sistema ferroviario y
no de las cargas que exista, porque de lo contrario, nuestro control sólo
sería óptimo para una carga concreta del sistema.
Out 1
1V2-
V2+
V1-
V1+
V+x/V-x1
In 1 I+
I-
I0
V+
V-
V+
V0
V-
Tren 7
+-
Tren 6+
-Tren 5
+-
Tren 4
+-
Tren 3
+-
Tren 2
+-
Tren 1
+-
Scope3
42-
42+
42
41-
41+
41
32-
32+
32
31-
31+
31
22-
22+
22
21-
21+
21
12 -
12+
12
11-
11+
11
In11
Figura 24. Topología del caso imposible
Para que el Matlab obtenga la función de transferencia, hay que dar
tres órdenes concretas, es decir, introducir tres comandos para cada caso.
El primer comando se denomina “linmod(“system”)” Este comando
obtiene, mediante métodos iterativos, la representación de estado del
sistema dinámico. Esta representación de estado es una forma sistemática
y normalizada de describir sistemas dinámicos utilizando el álgebra lineal,
un método muy sencillo de utilizar para Matlab. El programa se encarga
de definir las variables de estado, mientras que las variables de entrada y
de salida deben ser definidas sobre el sistema, tal y como se ha descrito en
la figura 21. Matlab, cuando utilizamos el comando linmod sobre el
sistema que se defina, nos devuelve cuatro matrices, definidas de la
siguiente manera:
Memoria.
51
Vector u: variables de entrada, de tamaño (1,1) en nuestros casos.
Vector y: variables de salida, de tamaño (1,1) en nuestros casos.
Vector x: variables de estado, de tamaño (n,1) según cada caso.
E. 7 BuAxx +=•
E. 8 DuCxy +=
Viendo estas ecuaciones, se puede entender de forma más clara que
la definición de éstas exige un sistema lineal e invariente, ya que de lo
contrario, tendrían que definirse a trozos, o simplemente, sería imposible
hacerlo. A estas ecuaciones se puede aplicar, para eliminar las derivadas,
la transformada de Laplace, quedando como se presentan a continuación:
E. 9 )()()( sUBsXAsXs ⋅+⋅=⋅
E. 10 )()()( sUDsXCsY ⋅+⋅=
Una vez que Matlab obtiene las matrices A, B, C y D, y a partir de las
ecuaciones 9 y 10, se puede hallar la función de transferencia Io/D,
resultado del cociente de Y(s)/U(s):
E. 11 DBAIsCsUsY +⋅−⋅⋅= −1)()()(
Esta operación que describe la ecuación 11, Matlab puede realizarla
utilizando un comando que escribimos así:
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
El comando nos devolverá dos vectores. El vector “num” guarda
los coeficientes del polinomio en función de s, que presenta los ceros de la
función. El vector “den” guarda los coeficientes del polinomio en función
de s, que presenta los polos.
Para rematar esta operación, se utilizan tres comandos más. El
primero se escribe “tf(num,den)”, que hará que Matlab guarde ambos
Memoria.
52
vectores como coeficientes de una función de transferencia. Después, se
usa el comando “zpk(tf)”, que guarda la función de transferencia anterior
en forma de ceros, polos y ganancias. Finalmente, se utiliza el comando
“minreal(ft)”, que elimina todos los ceros y polos que son iguales, para
simplificar la expresión. Todos los resultados que se van obteniendo a lo
largo de la ejecución de los comandos explicados, para cada caso de carga,
se expresan en la última parte de este proyecto.
A continuación, en la tabla 4, se presentan las funciones obtenidas
para cada caso descrito anteriormente. A la hora de presentarlas aquí, se
han eliminado ciertos ceros y polos que, aunque no sean iguales, sus
valores eran muy cercanos. Por ejemplo, en la 1ª función se ha eliminado
el cero -101,7 y el polo 100,7. Para que esto no afecte a la ganancia estática,
se ha multiplicado la ganancia de la funcione por el cociente del cero y el
polo eliminado.
Otra de las razones por las que esto se puede hacer, es que Matlab
halla estas funciones basándose en métodos iterativos. Esto hace que las
expresiones no sean completamente exactas, sino que poseen un ligero
error. Este error, produce variaciones entre ceros y polos que
perfectamente se podrían simplificar, ya que en la respuesta en frecuencia,
la unión de los efectos que hacen un cero y un polo semejantes son
prácticamente se anulan.
Además, Si se ejecuta el programa con alguna variación en el
tiempo de simulación, o simplemente, el programa decide tomar instantes
de simulación más cortos que en cualquier otra ocasión cualquier otra
ocasión, nos encontramos que los resultados pueden variar de manera
importante a la hora de expresar las funciones de transferencia, aunque no
varían las respuestas en frecuencia que producen (El Step Size, como así se
denomina el tiempo entre el cálculo de uno y otro punto de la simulación,
es automático).
Memoria.
53
Esta singularidad, este hecho que hace que las expresiones sean
únicas a cada ocasión que se simulan los casos, nos lleva a adjuntar en este
proyecto el código de ejecución resultante de la obtención de estas
funciones de transferencia. Este código, recoge tanto las matrices A,B,C,D,
de cada caso, como la expresión completa de las funciones de transferencia
resumidas aquí. Para ver estos resultados, se deberá ir a la parte III, sobre
el Código Fuente.
Casos y
denominación de
las funciones
Funciones de transferencia Io/D
Un tren centro
(FT1) 3661) + s48,64 + (s8,301)+(s
)102,356+s()102,672+s(1386,02
45
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Un tren medio
(FT2) 3738) + s49,28 + (s8,184)+(s)102,776+(s
)102,356+s()102,183+s(48474,891525
45
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Un tren extremo
(FT3) 3765) + s49,51 + (s8,144)+(s
)102,356+s( 38742,31042
4
⋅⋅⋅⋅
Dos trenes centro
(FT21) 3548) + s47,67 + (s8,481)+(s
)102,356+s()102,559+s(13771,02
45
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Dos trenes medio
(FT22) 3711) + s49,05 + (s8,255)+(s)102,775+s(
)102,748 + s102,126 + (s)103,403-s(26,225525
8424
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−
Dos trenes
extremo(FT23) 3765) + s49,51 + (s8,144)+(s
)102,356+s( 38742,7992
4
⋅⋅⋅⋅
Caso Base (FTB1) 3627) + s48,33 + (s8,354)+(s)102,77+s()105,66+s(
)104,1+s)(104,9+s)(101,2+s)(102,356+s(102,36255
14554-10
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Caso Base Centro
(FTB2) 3406) + s46,39 + (s8,724)+(s)103,727+s(
)109,304+s)(109,663+s)(102,356+s(0,1358725
454
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Memoria.
54
Caso Imposible
(FTB3) 2961) + s41,73 + (s9,63)+(s)101,402+s)(105,487+s(
)101,12+s)(104,3+s)(103,6+s)(102,356+s(0,1127255
6454
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Tabla 4. Funciones de transferencia Io/D obtenidas para los nueve casos descritos.
A primera vista, ojeando los coeficientes de las funciones, es posible
pensar que muchas difieren entre ellas. Sin embargo, observando mas
detenidamente los valores de los ceros y los polos, se podrá ver que la
mayor parte de las diferencias se encuentran debido a que algunas poseen
polos o ceros del orden de 105, una magnitud muy superior para los
niveles de frecuencia en los que se mueve el convertidor (La frecuencia del
PWM máxima que suele existir es de 10000 Hz, unos 6,28.104 rad/seg). Si
calculamos la ganancia estática de cada una de las funciones, encontramos
que todas las funciones tienden a valores muy semejantes. Los valores que
mas se alejan de la mayoría son, como era de suponer, los casos más poco
probables, es decir, el caso imposible y el caso con 4 trenes en el centro.
FT1 FT2 FT3 FT21 FT22 FT23 FTB1 FTB2 FTB3
F(0) 28711 29358 29769 27591 28849 29769 28217 25987 20986
Tabla 5. Ganancia estática de las funciones de transferencia
Dado que lo que nos interesa para el diseño del control, es la
respuesta en frecuencia del lazo abierto del sistema, se muestra a
continuación el diagrama de Bode de las funciones de transferencia (Fig.
25). Es además una manera de mostrar las grandes semejanzas que ofrecen
las respuestas en frecuencia de todos los casos. Se puede observar en el
diagrama de magnitud que todas las líneas siguen aproximadamente el
mismo recorrido hasta llegar a las frecuencias de 20000 rad/seg. A partir
de este punto, empiezan a actuar esos ceros y polos distintivos de cada
una de las funciones.
Si nos fijamos en el diagrama de fase (Fig. 25), ocurre lo mismo que
lo mencionado para el diagrama de magnitud salvo por una función. La
Memoria.
55
función de dos trenes en el medio (FT22) está pintada 360º por encima del
resto. Esto hace que parezca distinta a las demás, pero en realidad, es el
mismo caso que en el resto, dado que las fases que recorren son
equivalentes, es decir 270º son lo mismo que -90º. La razón de que
aparezca distinta en el diagrama, son el cero y la ganancia negativa que
existen en la función. Esto no supone ningún problema de inestabilidades,
dado que el caso no difiere estructuralmente del resto. Sin embargo, para
que en las gráficas posteriores no aparezca este problema, cambiaremos el
signo, cambiaremos la expresión de este caso por la expresión más
sencilla, es decir, en los casos en los que no hay trenes. La función
utilizada para sustituir a FT22 en las representaciones vendrá a tener los
ceros y polos que aparecen en los casos extremos, sin trenes, pero con la
ganancia estática equivalente, quedando de la forma que se presenta en la
ecuación 12. Si no incluimos el resto de polos y ceros, es porque no nos
interesarán a la hora de diseñar el control. Esta función de transferencia,
será la que utilizaremos para diseñar el control
E. 12 )376551,49()144,8(
)10356,2(3754522
2
4
++⋅+⋅+⋅=
ss
sFT
Memoria.
56
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-1
100
101
102
103
104
105
106
107
108
-360
-180
0
180
360
Pha
se (
de
g)
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de
(dB
)
FT1
FT2
FT21
FT22FT23
FT3
FTB1
FTB2
FTB3
Figura 25. Diagrama de Bode de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia
Io/D
Aún así, ha de tenerse muy en cuenta que el método que utiliza el
Matlab para obtener las representaciones de estado de cada uno de los
sistemas dinámicos que hemos definido, lo hace mediante métodos
iterativos, y por tanto, ninguna obtención es exactamente igual a la
anterior. Muchos de los valores que se presentan en este proyecto pueden
diferir ligeramente si se simula en otro ordenador, o con la configuración
de simulación distinta. En nuestro caso, el método de simulación es el
solucionador Bogacki-Shampine (ode23-ode23t). Teniendo en cuenta todo
esto, podemos afirmar que la función de transferencia se puede reducir
para todos los casos, y a todos los efectos en la expresión de los casos con
los trenes en los extremos. Estos casos, que como ya se ha dicho, son
equivalentes a que no haya trenes en la vía demuestran que lo único que
podrá variar los parámetros de nuestro futuro control, serán las distancias
que abarque el sistema y el tipo de vías y catenarias que se utilicen, es
Memoria.
57
decir, el control dependerá únicamente del sistema ferroviario y nunca de
la carga que presente el mismo.
3 Control de intensidad
A partir de todos los datos obtenidos, vamos a diseñar un control
de intensidad para el convertidor. El método de diseño del control está
basado en técnicas de respuesta en frecuencia, un método muy sencillo y
gráfico, que permitirá obtener los parámetros de los tipos de control más
usuales. Estos son, el control proporcional P, el control proporcional más
integral, el método proporcional más diferencial y el método proporcional
más diferencial. Cada uno de estos controles aportará más rapidez,
amortiguamiento o precisión, según sea el objetivo buscado. Para los dos
controles que se diseñarán en este capítulo, los dos parámetros buscados
más importantes son la rapidez y la precisión, aunque no se perderá de
vista el amortiguamiento, ya que si este es muy bajo, la respuesta tendrá
oscilaciones muy excesivas y habrá que crear un control más amortiguado.
Antes de comenzar con el diseño, es importante estudiar la
estabilidad del sistema. Hay muchos métodos para realizar este análisis,
pero sin duda, con la correcta utilización de Matlab podemos obtener
todos los diagramas existentes para expresar la respuesta en frecuencia,
tales como el diagrama de Bode, mostrado anteriormente, el diagrama de
Black, que utilizaremos para diseñar gráficamente y el que atañe ahora, el
diagrama de Nyquist. Este diagrama muestra la respuesta en frecuencia
Sobre un eje de coordenadas de números complejos, es decir, dibuja para
cada frecuencia el valor complejo que se obtiene de las funciones de
transferencia de lazo abierto. Este diagrama esta dibujado en la figura 26.
Memoria.
58
Nyquist Diagram
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 104
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
4
Figura 26. Diagrama de Nyquist de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia
Io/D
Para conocer el número de inestabilidades que tendrá el lazo
cerrado, basta con contar el número de polos positivos que existen en la
función (en nuestros casos no hay ninguno) y el número de rodeos
horarios que hace la curva sobre el punto crítico -1. Si se observa bien este
diagrama, se pueden contar dos rodeos en total, por lo que habrá que
salvar estas dos inestabilidades para obtener un control estable. Como ya
se verá mas adelante, Si incluimos en el control proporcional una ganancia
menor a 0dB, el efecto sobre la respuesta del lazo abierto es reducir la
curva. Esta reducción, se podrá hacer lo bastante pequeña como para que
los dos rodeos se dibujen fuera del punto -1. Así pues, la inestabilidad se
podrá salvar con un adecuado control proporcional. Esto nos abre las
posibilidades del control a ser de cualquier tipo, tanto proporcional (P),
proporcional-diferencial (PD), proporcional-integral (PI) y la mezcla de
todos, proporcional-integral-diferencial (PID).
Memoria.
59
La manera más gráfica de observar la respuesta en frecuencia, y por
tanto, de encontrar el mejor diseño para el control, es el gráfico de Black (o
también denominado, de Nichols). En este gráfico (Fig. 27), no se muestra
la respuesta en amplitud y fase sobre cada valor de pulsación, como es el
caso del diagrama de Bode. Aquí, la respuesta está dibujada tal que en el
eje de ordenadas se indica la fase y en el eje de abscisas se indica la
amplitud en dB. Esto permitirá medir de forma sencilla el margen de fase
y de ganancia.
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-L
oo
p G
ain
(d
B)
-270 -225 -180 -135 -90 -45 0 45-200
-150
-100
-50
0
50
100
System: FTB3Gain (dB): 76.2Phase (deg): -135Frequency (rad/sec): 42.1
System: FTB3Gain (dB): 60.3Phase (deg): -230Frequency (rad/sec): 88.9
FT1
FT2
FT21
FT22FT23
FT3
FTB1
FTB2
FTB3
Figura 27. Diagrama de Black de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia
Io/D. El punto crítico, se dibuja en rojo.
El Margen de fase es el retraso de fase que habría que añadir al lazo
abierto para obtener un sistema oscilante. Para medir este argumento, se
debe ver el argumento que presenta la respuesta en frecuencia para una
oscilación tal que su amplitud sea 1, es decir 0dB. Esta oscilación, se
denomina pulsación de cruce (w0) y cuanto más grande sea, mas rápido
Memoria.
60
será el sistema. El propio margen de ganancia es también una medida
cualitativa del amortiguamiento, ya que a mayor margen, mayor
amortiguamiento. En el gráfico de Black, es la distancia desde el punto
crítico -1 (0dB, -180º) a la curva. Esta distancia debe ser siempre positiva
para que el lazo cerrado sea estable, lo cual en nuestro caso, no lo es (es de
casi -). Del mismo modo, el margen de ganancia, que sería la distancia
vertical desde el punto crítico a la curva, también debería ser positivo. En
resumidas cuentas, para que nuestro sistema sea estable, la respuesta en
lazo abierto del control y la planta deberá dibujar un gráfico de Black que
haga su recorrido por debajo del punto crítico.
Cada parte del control desplazará la curva de una forma u otra. La
parte proporcional, si aplica al lazo una ganancia mayor o menor a 0dB, la
curva se desplazará hacia arriba o hacia abajo respectivamente. La parte
diferencial crea un adelanto de fase y una cierta ganancia, con lo que
además de aumentar la rapidez del sistema, desplaza el margen de fase
hacia la derecha (mayor amortiguamiento).La parte integral, además de
dar precisión al control (elimina el error de seguimiento), aplica sobre la
respuesta un retraso de fase, con lo que desplaza el margen de ganancia a
la izquierda.
Lo primero que se va a realizar es el diseño con el control más
sencillo. Esto es, un control Proporcional, que es aquel que multiplica
sobre la señal de entrada un valor concreto, es decir, que la función de
transferencia equivalente a este control es C(s)=P, donde P es una
constante. Este control tendrá que aplicar una ganancia de al menos -77dB
para que el margen de fase se encuentre entre 45º y 60º, valores habituales
para el diseño de un control. El valor de P, en unidades normales, es de
0,000155.
Si se aplica este valor sobre la función FT22 (caso dos trenes en el
medio), observamos que el diagrama de Black ahora se acoge a los
Memoria.
61
requisitos de estabilidad que se describen anteriormente, con un margen
de fase de unos 53º (Fig. 28).
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-L
oo
p G
ain
(d
B)
-270 -225 -180 -135 -90 -45 0 45-250
-200
-150
-100
-50
0
50System: FGain (dB): -4.49Phase (deg): -180Frequency (rad/sec): 64.5
System: FGain (dB): -0.0464Phase (deg): -127Frequency (rad/sec): 43.1
Figura 28. Diagrama de Black del lazo abierto de la función FT22, con un control P-77dB (F)
Si se observa la respuesta ante un escalón del lazo cerrado (Es decir,
la respuesta del sistema ante una variación de la corriente Io de 1
Amperio), mostrada en la figura 29, denotamos que el sistema, además de
tener poco amortiguamiento, posee un error de seguimiento de casi un
20%. Esto significa que, si queremos darle precisión al sistema, tendremos
que añadir al control una función integral.
Memoria.
62
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Figura 29. Respuesta ante un escalón del sistema con un control Proporcional
El control que se aplicará ahora a la planta es un control
proporcional-integral. Este control posee una parte proporcional del
mismo modo que el anterior, pero al mismo tiempo se añade una
integración (1/s) de forma que éste irá reduciendo el error de seguimiento
hasta que sea nulo. Sin embargo, este control produce un retardo de la
fase, que conllevará a una respuesta más lenta. La función de transferencia
equivalente a este bloque está descrita en la ecuación 13:
E. 13 Is
IsKpSCPI
+= 1)(
A partir de esta función debe establecerse el margen de ganancia
deseado y el retardo de fase que se pretende que aplique el control. Un
retardo de fase muy bajo, corresponde a una integración muy eficaz contra
ruidos y perturbaciones, pero de una respuesta lenta. El retardo habitual
de diseño es de 10º. Una vez definido esto, hay que establecer el margen
de ganancia deseado. El caso que presenta una mejor respuesta, es decir,
rápida, y estable, es para un margen de ganancia mínimo, de 45º.
Memoria.
63
Para hallar los parámetros del control, basta con tomar el punto de
la respuesta del lazo abierto que tiene de fase -125º, porque con el retardo
de -10º que aportará la integración, será el punto cuyo valor será la
frecuencia de pulsación. Este será el punto de diseño, del que se basarán
los cálculos de los parámetros de control. Para nuestro caso, el valor de
pulsación w de diseño será de 34,6 rad/seg y la amplitud de este punto es
de 78,4dB, luego la ganancia total del control (Ac) en ese punto deberá ser
de -78,4 dB Teniendo en cuenta las ecuaciones 14 y 15 se obtienen los
valores de I y de Kp respectivamente:
E. 14 5
tan1
º10
≅−=⋅
−=
PI
PI
Iwϕ
ϕ
E. 15 )cos( PIAcKp ϕ⋅=
De estas ecuaciones, y bajo las premisas que se plantean antes, los
valores de los parámetros que mejor se adaptan al sistema son Kp de
0,0001184 (-78,53dB) e I de 0,1639. La respuesta en lazo cerrado ante un
escalón (Fig. 30), demuestra que desaparece el error de seguimiento que
había antes, y el tiempo de establecimiento es de unos 0,55 segundos.
Memoria.
64
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
0 0.5 1 1.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Figura 30. Respuesta ante un escalón del sistema con un control Proporcional-Integral
Si queremos mejorar aún más el tiempo de establecimiento,
tendremos que añadirle una acción diferencial. Así pues, el control que
trataremos de hacer ahora es el de un control PID (Proporcional-Integral-
Diferencial). Este control provoca un adelanto de fase sobre la palnta, de
modo que podemos hacer que la frecuencia de pulsación sea mayor y en
consecuencia, crear un control más rápido. La función de transferencia
equivalente a este control está definida en la ecuación siguiente:
E. 16 fDs
Ds
Is
IsKpSCPID +
+⋅+=1
11)(
Al igual que en el caso anterior, lo primero que se debe establecer es
el margen de fase deseado, el retardo que impondrá la acción integral y,
como novedad, el adelanto que impondrá la acción diferencial. Este
Memoria.
65
adelanto (φPD) esta directamente ligado con el parámetro f de la forma
siguiente:
E. 17
10
11
≤≤+−=
f
f
farcsenPDϕ
Como conclusión de la ecuación 17, se entiende que a valores bajos
de f, mayor adelanto de fase se podrá realizar, y en consecuencia, mayor
rapidez del sistema. Sin embargo, la amplitud a altas frecuencias será
proporcional a 1/f, con lo que los armónicos del PWM y de otros
transitorios que se puedan producir, se amplificaran de modo que las
oscilaciones en el sistema puedan acarrear problemas de estabilidad, pese
a diseñar para un margen de ganancia aceptable. Es por eso, que el
adelanto de fase no debe superar los 80º para evitar problemas.
De la misma manera que el caso anterior, definiendo las
condiciones tales como el retardo de la acción integral, El adelanto de la
acción diferencial y estableciendo con estos datos el punto de diseño (esto
es, hallar Ac y w), se deducen de la función de transferencia equivalente
del control, las ecuaciones mediante las cuales se obtienen los parámetros
del control. Estas ecuaciones además de las definidas anteriormente
(ecuaciones 14, 15 y 17), se deberán añadir las siguientes:
E. 18 PIPDC ϕϕϕ −=
E. 19 f
wD1=
E. 20 2
2
)(1
)(1cos
wD
fwDAcKp PI
+
+⋅= ϕ
Estas ecuaciones nos servirán para una primera obtención de los
parámetros de diseño. Sin embargo, a la hora de implementar el control
PID en el sistema, se ha optado por utilizar un regulador PID no
Memoria.
66
interactivo. Esta configuración, es muy habitual en los reguladores
comerciales, y la ventaja más positiva de éste es que podemos variar la
acción integral, diferencial o proporcional, sin afectar a la ganancia final
del control, a diferencia del control interactivo, que como demuestra la
ecuación 20, la ganancia está influenciada por los valores de D y de I . El
esquema de este tipo de control, puede ser de muchas formas, pero la
opción utilizada en este proyecto se puede observar en la figura 31:
Step Scope
PLANTA
num (s)
den (s)
INTEGRAL
1/Ti
I
1s
Ganancia
K
DIFERENCIAL
Td .s
Td /N.s+1
Figura 31. Esquema del regulador PID no interactivo, utilizado para el control de intensidad
La Función de transferencia equivalente de este esquema de lazo
cerrado de regulación (H(s)) se define mediante las siguientes ecuaciones:
E. 21 sT
sCIi ⋅
= 1)(
E. 22
sNT
sTsCD
d
d
⋅
⋅=)(
E. 23 )())(1)((1
)()1)(()(
sPsCDsCIK
sPsCIKsH
⋅++⋅+⋅+⋅=
Donde P(s) es la planta Io/D.
Así pues, La obtención inicial de los parámetros se hará según las
premisas del control interactivo, pero una vez hallados, se obtendrán los
Memoria.
67
parámetros del control no interactivo según las ecuaciones siguientes,
deducidas de la expresión anterior:
E. 24 I
Df )1(1 −+=µ
E. 25 KpK ⋅= µ
E. 26 ITi ⋅= µ
E. 27 DfTd
−=µ1
E. 28 11 −=f
Nµ
Las condiciones de diseño que se han establecido para el control
PID no interactivo serán diferentes. El adelanto de fase de la acción
diferencial será de 70º, suficiente para no amplificar demasiado las
perturbaciones. En el caso del control integral, se demostró que el margen
de fase de 45º para este control, supone un amortiguamiento elevado, ya
que en la respuesta ante un escalón de la figura 29 no se observa ninguna
oscilación. Es por eso que ahora no nos fijaremos en el margen obtenido,
sino que partiremos de la premisa de que, para un punto de diseño con
fase -210º, el margen de fase máximo será 40º. Suponiendo que la acción
integral no podrá reducir este margen lo suficiente como para que el
sistema se vuelva inestable, el diseño inicial partirá de un valor de I
elevado. Esto, hace que el retardo sea muy pequeño. Por ejemplo, El
primer valor de I utilizado es de 10, y poco a poco iremos reduciendo el
valor y observando la respuesta del sistema ante un escalón.
Finalmente, los valores de diseño con los que la respuesta ha sido
mejor, se resumen en las tabla 6 y 7, tanto los valores del regulador no
interactivo, como sus equivalentes del regulador interactivo. Mediante el
esquema de la figura 31, podemos simular la respuesta del sistema,
Memoria.
68
compuesto de planta y control, ante un escalón unitario, respuesta que se
muestra en la figura 31 para los parámetros de control finales:
Kp I D F
PID -5107,998⋅ 0,18 0.070626 0,03109
Tabla 6. Parámetros del control de intensidad interactivo (PID)
K Ti Td N
P+I+D -4101,1039⋅ 0,2484 0,048976 22,305
Tabla 7. Parámetros equivalentes del control de intensidad no interactivo (P+I+D)
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X: 1.281Y: 0.9808
Figura 32. Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema con control P+I+D.
Las razones por las que este control es el más adecuado son obvias
si comparamos las respuestas ante escalón de los tres controles distintos
propuestos. El control P+I+D no posee error de seguimiento, y el tiempo
de establecimiento es de 0,281 segundos, la mitad que con el control PI (en
la figura se muestra el punto de establecimiento, al 2% y para un escalón
Memoria.
69
que actúa pasado 1 segundo de simulación). Tiene un amortiguamiento
más que aceptable, con un sobrepaso de no más del 0,8 % de la amplitud.
Es por todo esto por lo que al final, el control de intensidad
diseñado será del tipo P+I+D y los parámetros serán los definidos en la
tabla 7.
Para comprobar que funciona para cualquier caso, se presenta la
respuesta de la misma simulación para el caso imposible, con 14 trenes, en
la figura 33. La única diferencia es que, como era de suponer, aumenta un
poco el tiempo de establecimiento hasta 0,303 segundos.
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1X: 1.573Y: 1.003
X: 1.303Y: 0.9802
X: 1.251Y: 0.9501
Figura 33. Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema imposible, con control P+I+D.
4 Obtención de la función de transferencia V+o/Io
En este apartado, vamos a hacer el mismo desarrollo que el
explicado en el apartado 2 de este capítulo, con la salvedad de que ahora
se tratará de encontrar las funciones definiendo como salida la tensión
Memoria.
70
entre vía y catenaria (V+o), y la entrada como la intensidad absorbida de
la vía (Io).
Este caso tiene una complicación añadida a lo explicado en el
apartado 2. En los sistemas de Matlab, no se puede definir como entrada
un parámetro que viene determinado por otros tantos del sistema, como es
el caso de la intensidad, que está condicionada por la carga, la tensión y el
factor de servicio del convertidor El único parámetro del convertidor
donde se puede definir una entrada es el factor de servicio, como ocurría
en el caso anterior.
La solución para este problema es muy sencillo Lo que vamos a
hacer es definir, para los 9 casos, un sistema que tiene como salida la
tensión V+o y la entrada será, de nuevo, el factor de servicio D. Estos
sistemas, al obtener mediante “linmod” la representación de estado y
luego, con el resto de comandos, la función de transferencia, será la
función V+O/D. La obtención de las funciones de transferencia que
deseamos se hará mediante el cociente de estas nuevas funciones, con las
funciones del apartado 2, viéndose clara la operación en la ecuación 29:
E. 29
)()(
)()(
)()(
0
0
0
0
sDsI
sDsV
sIsV
+
+ =
Así pues, volvemos a definir las entradas y las salidas en los
sistemas ferroviarios, tal y como se indica en la figura 34 (solo se incluye el
esquema general, donde se ve la definición de la salida, ya que la entrada,
definido en el esquema del convertidor, queda igual que en la figura 23).
Del mismo modo, se muestran las diferentes funciones de transferencia
obtenidas para los 9 casos de carga distintos, ya utilizados para la
obtención de las funciones.
Memoria.
71
Out 11
V2
V2
V1-
V1+
V+x/V-x
In 1I+
I-
I0
V+
V-
V+
V0
V-
Tren 1
+-
Scope8
42-
42+
42
41-
41+
41
32-
32+
32
31-
31+
31
22-
22+
22
21-
21+
21
12 -
12+
12
11-
11+
11
In11
Figura 34. Definición de la salida V+o (Out1) para la obtención de las funciones V+o/Io
Casos y
denominación de
las funciones
Funciones de transferencia V+o/Io
Un tren centro
(GT1) )102,672+s(
)56,74+s(0115.8855⋅
⋅−
Un tren medio
(GT2) )102,183+s(
)102,776+s()56,74+s(002562,05
5
⋅⋅⋅⋅−
Un tren extremo
(GT3) 56.74)+(s 0.0032436-
Dos trenes centro
(GT21) )102,559+s(
)56,74+s(943,8675⋅
⋅−
Dos trenes medio
(GT22) )102,748 + s102,126 + )(s103,403+(s
56,76)+(s)8,101s)(4619s)(102,775s(0.0062-8524
5
⋅⋅⋅⋅+−⋅+
Dos trenes
extremo(GT23) 56.74)+(s 0.0032436-
Memoria.
72
Caso Base (FTB1) )101,188+s(
)56,74+s()102.775+(s0,00143-5
5
⋅⋅⋅⋅
Caso Base Centro
(GTB2)
Caso Imposible
(GTB3)
)109,304+s()109.663+(s
)56,74+s()103.726+(s 844.603-45
5
⋅⋅⋅⋅⋅
)109,304+s()109.663+(s
)56,74+s()103.726+(s 844.603-45
5
⋅⋅⋅⋅⋅
Tabla 8. Funciones de transferencia V+o/Io obtenidas para los nueve casos
Estas funciones presentan características completamente diferentes
a las funciones de transferencia Io/D. La primera, es la ganancia estática
negativa. Este hecho no supone ningún problema a la hora de diseñar el
control de tensión, ya que la solución para que sea un sistema estable, será
incluir una ganancia adicional de -1, es decir, eliminar el signo negativo de
las funciones de transferencia.
El segundo hecho más importante, es que todas las funciones
poseen un numero de polos igual o menor que el número de ceros. Esto
provoca que el sistema sea inestable, tanto si lo analizamos en lazo abierto
como si lo analizamos en lazo cerrado. Aunque pueda parecer un hecho
preocupante, en realidad, hay que recordar que a la hora de diseñar el
control, no solo se debe tener en cuenta la planta V+o/Io, sino también el
lazo cerrado interno que compone el control P+I+D junto con la planta
Io/D (se recuerda ver el esquema general de regulación, figura 20).
Por ello, las funciones de transferencia que se estudiarán
directamente para obtener el control de tensión, se referirán al producto
de la función del lazo cerrado de intensidad K(s), calculada para cada
caso, con la función de transferencia V+o/Io (GT) que respecta.
E. 30 )()()( sGTsKsL ⋅=
Memoria.
73
Basándonos en el cálculo que proporcionan las ecuaciones 30 y 23 y
usando los parámetros de la tabla 7, se llegan a las siguientes
representaciones de lazo abierto de la planta V+o/Io. Debe tenerse en
cuenta, que al igual que en los casos anteriores, las expresiones han sido
simplificadas. Las expresiones completas pueden verse en el código fuente
de este proyecto, al igual que en todos los casos anteriores.
Casos Funciones de transferencia V+o/Io con el lazo cerrado de
intensidad
Un tren
centro (L1) )8041+ 74,30s)(82,10(
)102,356+s)(56,74+s(01223,02
4
ss ⋅++⋅⋅−
Un tren
medio (L2) )8268+ 14,31s)(76,10(
)102,356+s)(56,74+s(012307,02
4
ss ⋅++⋅⋅−
Un tren
extremo (L3) )8374+ 2,31s)(74,10(
)102,356+s)(56,74+s(012385,02
4
ss ⋅++⋅⋅−
Dos trenes
centro (L21) )7691+ 16,30s)(92,10(
)102,356+s)(56,74+s(012089,02
4
ss ⋅++⋅⋅−
Dos trenes
medio (L22) )102,75+ 101,2s)(7691+ 30s)(92,10)(104,3(
)102,7+s)(4619-s)(3862+s)(102,4+s)(56,76+s(0231,084224
54
⋅⋅+⋅++⋅−⋅⋅⋅−
ssss
Dos trenes
extremo(L23) )8374+ 2,31s)(74,10(
)102,356+s)(56,74+s(012383,02
4
ss ⋅++⋅⋅−
Caso Base
(LB1) )7876+ 71,30s)(83,10(
)102,356+s)(56,74+s(012077,02
4
ss ⋅++⋅⋅−
Caso Base
Centro (LB2)
Caso
Imposible
(LB3)
)7232+ 42,29s)(04,11(
)102,356+s)(56,74+s(011848,02
4
ss ⋅++⋅⋅−
)5817+ 01,26s)(49,11(
)102,356+s)(56,74+s(0099266,02
4
ss ⋅++⋅⋅−
Memoria.
74
Tabla 9. Funciones de transferencia V+o/Io con el lazo de control de intensidad, obtenidas para los
nueve casos
Si observamos las expresiones de las distintas funciones de
transferencia, simplificadas como todas las anteriores, se ven que todas
ellas comparten los mismos polos y ceros característicos. La única
excepción, es de nuevo la función FT22, donde cabe resaltar que aparece
un polo negativo que produce inestabilidades, ya en el lazo abierto.
Debemos insistir en la idea de que las simulaciones pueden cambiar los
resultados, debido al método iterativo que utiliza Matlab para obtener la
representación de estado. Ha habido veces, durante otras ejecuciones del
proyecto, que las funciones problemáticas eran otras y FT22 se asemejaba
a lo que son las expresiones de la mayoría. De hecho si observamos el
diagrama de Bode que dibujan todas las expresiones (Fig. 35), vemos que
en las frecuencias normales, todas ellas trazan prácticamente la misma
curva tanto en amplitud como en fase. En el momento en que aparecen las
frecuencias altas (entre 104 y 106), aparecen desviaciones de algunas
funciones, resultado de los polos y ceros grandes que tienen en sus
expresiones. No obstante, a frecuencias muy altas, vuelven a presentar la
misma respuesta, todo igual que para el caso de las funciones de
transferencia Io/D.
Memoria.
75
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-1
100
101
102
103
104
105
106
107
-45
0
45
90
135
180
Pha
se (
de
g)
-200
-150
-100
-50
0
Mag
nitu
de
(dB
)
Figura 35. Diagrama de Bode del las respuestas de frecuencia de las funciones de transferencia
V+o/Io
Para realizar el diseño de control, podemos basarnos en cualquiera
de las expresiones de la tabla 9, excepto la función de FT22. Después, una
vez terminado este control, comprobaremos que el sistema completo
funciona para todas las expresiones.
5 Control de Tensión
Este apartado, corresponde con el diseño del segundo módulo del
regulador del convertidor, el control de la tensión V+o. Nos basamos en
todo lo explicado en este capítulo, es decir, Partimos de las funciones L
que se expresan en la Tabla 9 y utilizando los mismos pasos de análisis
que los utilizados para la obtención del control de intensidad,
obtendremos los parámetros y la topología de este regulador de tensión.
Memoria.
76
Como ya se ha explicado antes, vamos a basarnos en la respuesta de
frecuencia en lazo abierto de las expresiones de lo que será ahora nuestra
planta, las funciones V+o/Io unidas al lazo de intensidad correspondiente.
Esto son las funciones L, y como también se ha hecho en el apartado 3, la
mejor manera de analizar la respuesta en lazo abierto de estas plantas, es
observando la gráfica de Black que describen (Fig. 36).
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-L
oo
p G
ain
(d
B)
-45 0 45 90 135 180 225-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
L1
L2
L21
L22L23
L3
LB1
LB2
LB3
Figura 36. Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en lazo abierto de las funciones de
transferencia L.
La primera inclusión que habrá que hacer en nuestro control de
tensión es solucionar el problema del signo negativo. Este signo, viene a
expresar que la intensidad Io es siempre un valor negativo, es decir, que si
el control que vamos a diseñar deberá aumentar, en módulo, el valor de la
intensidad Io para contrarrestar las caídas de tensión, la señal que saldrá
del regulador deberá ser un valor negativo. Por eso, indiferentemente del
tipo de controlador que vayamos a instalar, la ganancia debe incluir un
factor -1.
Memoria.
77
Para poder diseñar del mismo modo que hemos diseñado el
regulador P+I+D, multiplicamos todas las funciones de transferencia L por
-1, de modo que en el diagrama de Black resultante ya podemos observar
con mayor claridad la distancia al punto crítico, los márgenes de fase y los
márgenes de ganancia.
E. 31 )()( sLsH −=
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-L
oo
p G
ain
(d
B)
-225 -180 -135 -90 -45 0 45-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
H1
H2
H21
H22H23
H3
HB1
HB2
HB3
Figura 37. Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en lazo abierto de las funciones de
transferencia H.
Si exceptuamos la función H22, que presenta un polo negativo, se puede
observar en la figura 37 que todas las funciones restantes poseen
estabilidad en lazo cerrado, dado que las respuestas ante un escalón llevan
a un valor estable. El lazo cerrado, que de momento no incluye control, se
calcula como se indica en la ecuación 32. Para calcular el lazo cerrado con
el control, bastaría con H(s) por el producto de ésta y la función de
transferencia equivalente del control.
Memoria.
78
E. 32 )(1
)()(
sH
sHsJ
+=
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
J1
J2
J21
J23
J3
JB1
JB2
JB3
Figura 38. Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones H (J en lazo abierto)
exceptuando H22.
Con esta primera aproximación, ya podemos saber que tipo de
control de tensión se necesita diseñar. La respuesta natural del sistema
posee un enorme error de seguimiento (más de un 80% de error), que con
un simple control proporcional, no se podría reducir del todo. Esto, unido
a que precisa también de cierto amortiguamiento, deja claro que el control
ideal para este tipo de sistema será un control Proporcional-Integral (PI).
Del mismo modo que se diseñó un control PI en el apartado 3,
volvemos a hacer lo mismo, utilizando las mismas ecuaciones que lo rigen
(E. 14 y 15).
Las condiciones de diseño para este control serán semejantes a las
que se utilizaron antes. El margen de fase que se obtendrá con el control
Memoria.
79
en lazo abierto no será menor de 45º y el retardo que añadirá el control
será de unos 10º, luego el punto de diseño utilizado será la respuesta en
frecuencia de los casos tal que la fase resultante sea de 125º. El valor medio
de la frecuencia de pulsación, para todos los casos, es de 90 rad/seg, y una
amplitud de -18,8dB. De todas estas condiciones, y usando las ecuaciones
14 y 15, obtenemos un control PI con los parámetros que se resumen en la
tabla 10. No hay que olvidar, que se ha multiplicado la ganancia resultante
por -1, porque la planta real a la que hay que añadir el control, será como
las funciones de transferencia L y no las funciones H que hemos usado
para diseñar de manera más sencilla.
Kp I
PI de tensión 7,73306- 0,063
Tabla 10. Parámetros del control de tensión interactivo (PI) y no interactivo
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Figura 39. Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones H con el control (J en lazo
abierto) exceptuando H22.
Memoria.
80
La respuesta con los parámetros obtenidos y para todos los casos de
carga está expresada en la figura 39. Se han probado diseños distintos,
como por ejemplo mejorar el margen de ganancia hasta 60º para obtener
un mayor amortiguamiento Los resultados que se obtenían no anulaban
de manera significativa las oscilaciones que aparecen, y además, resultabn
ser respuestas más lentas. Este control consigue, para cualquier caso, un
tiempo de establecimiento de 0,1 segundos, con un sobrepaso muy corto
en el tiempo (ya que se debe a las oscilaciones) de no más del 10% y con
un error de seguimiento nulo.
En el próximo capítulo, donde se mostrará la implementación del
control en cascada sobre el convertidor real, veremos que hará falta aislar
la acción integral del regulador de tensión, para poder anular el que
acumule error sobre él cuando se alcanza el máximo de intensidad
nominal. Por eso, nuestro regulador PI será no interactivo (P+I), al igual
que el control de intensidad. Mediante las ecuaciones equivalentes
utilizadas en el apartado 3 (E. 24,25 y 26), se demuestra que el parámetro
Ti es igual al parámetro I, y que el parámetro K es igual a Kp, luego los
valores de la tabla 10 valen también para el control no interactivo que se
usará en los resultados.
Memoria.
81
Capítulo 5 RESULTADOS
Este capítulo presenta los resultados obtenidos con la inclusión del
control en cascada que se ha diseñado sobre el convertidor CC/CC del
sistema 2x3000V. Antes de demostrar que funciona para cualquier tipo de
carga y restricción de intensidad, se mostrará la implementación de los
dos reguladores, el de tensión y el de intensidad. Una vez mostrado esto,
se pasará a mostrar diferentes resultados para distintas cargas,
comparando con los resultados que se obtendrían con un sistema
ferroviario tradicional, para así ver las mejoras que se obtienen.
1 Implementación del control sobre el convertidor real
Con los parámetros obtenidos en el capítulo anterior, el tipo de
control (PI para el control de tensión P+I+D para el control de intensidad),
Ahora sólo falta llevar a la práctica el conjunto de reguladores sobre el
modelo de convertidor real (Capítulo 3, apartado 2)
La implementación del control se llevó, en un principio, como se
muestra en la figura 40. Se puede observar que la referencia de intensidad
que calcula el regulador de tensión pasa, antes de calcular la variación de
Io, Por un bloque que hemos denominado “Restricción de Io”. Este bloque
pertenece a la librería de Matlab, y se llama “Saturation”, debido a que, lo
único que hace es limitar la señal entrante para que no supere un valor
determinado. En este bloque es donde hay que definir la corriente máxima
del convertidor. Si el control de tensión exige una intensidad superior al
máximo que se defina en el bloque de saturación, éste mantendrá el valor
de la intensidad máxima. Es entonces cuando la tensión de referencia deja
de funcionar, porque la referencia se encontrará en el bloque de
saturación. En el momento en que el control de tensión exija una
Memoria.
82
intensidad menor, el control de tensión volverá a llevar la referencia del
convertidor.
Vx
V-3
V02
V+1
filtro
v+-
v+-
g CE
g CE
Goto 6
[Imeas_0]
Goto 5
[Imeas_neg ]
Goto 4
[Imeas_pos]
Goto 3
[Vmeas_neg ]
Goto 2
[Vmeas _pos]
Goto 1
[SW2]
Goto
[SW1]
From5
[Imeas_0]
From1
[SW2]
From
[SW1]
Current Measurement 2
i+ -
Current Measurement 1
i+
-
Current Measurement
i+
-
Control
V+o
Io
SW 1
SW 2
SW22
SW11
Variacion del factor de servicio
AD
Variacion V +o
AV
Referencia de tensión
3000
RESTRICCION DE Io
ProporcionalPID
K
PWM
D
on
off
KPI
Kp2
Io 1
a
Io
a1
Integrator
1s
Integral PID
1/Ti
Integral PI
Iv.s+1
Iv.s
Factor de servicio
0.5
Diferencial PID
Td .s
Td /N.s+1
Io
2
V+o
1
Figura 40. Implementación del control en cascada sobre el convertidor real, con bloque de
saturación
Los resultados que se obtienen con este control inicial, demuestra
que el sistema funciona correctamente. El primer caso que se ha probado,
es el caso en el que no existen trenes sobre el sistema. Los resultados de las
tensiones e intensidades del convertidor, se muestran sobre la figura 41.
Memoria.
83
Lo único destacable aquí es el arranque del convertidor. Debido al control,
se crea un ligero transitorio, producto del establecimiento de las tensiones
y las intensidades del sistema. Este transitorio es sin embargo muy poco
duradero (de aproximadamente 0,5 segundos) y con sobrepasos también
poco importantes, debido a que al ser una oscilación, el tiempo con
sobretensión es muy corto y las intensidades no llegan a superar los 200 A.
No obstante, las sobretensiones alcanzan en su mayor amplitud los 40V
0 0.5 1 1.5 22900
2950
3000
3050
3100
Figura 41. Transitorio de arranque del convertidor con control
Una vez arrancado el sistema hacemos distintas pruebas de carga.
La primera prueba que se hace es la de arrancar todos los trenes de golpe,
al igual que se hizo con las pruebas del convertidor sin control. Esta
prueba pretende demostrar que el control no produce transitorios más
acentuados que cuando no existía el control (ver capítulo 3, apartado 4),
sino todo lo contrario. Si comparamos la primera de las simulaciones sin
control, con la simulación siguiente (Fig. 42), donde todo es equivalente,
salvo la inclusión del regulador en cascada, vemos que no se alcanzan los
picos tan exagerados que se alcanzaban antes, sino que esos picos se
reducen. Aunque es cierto que existen ciertas oscilaciones durante el
transitorio, el tiempo de establecimiento es mucho menor, es decir el
sistema responde muy rápidamente ante variaciones de carga. Las
oscilaciones que se obtienen son el resultado también de la entrada brusca
0 0.5 1 1.5 2-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
V+oVo-IoI+I-
Memoria.
84
de la carga, algo que no ocurrirá en un sistema de verdad. En el apartado
siguiente, donde se muestran los resultados finales, introduciremos la
carga de manera más real.
Lo más destacable, sin embargo, no es el transitorio, sino que el
control funciona correctamente, ya que la tensión V+o se mantiene sobre
el valor de 3000V, a falta de restricciones sobre la intensidad. Además, se
comprueba que el modelado sobre el sistema simplificado, sin tiristores,
de donde obtuvimos los parámetros de control, es perfectamente
equivalente al caso real.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
V+oVo-IoI+I-
Figura 42. Transitorio de arranque de las cargas, cuando se conectan instantáneamente cuatro
trenes distribuidos por la vía (caso base)
Si añadimos la restricción de intensidad sobre el control, cuando se
introducen las cargas el sistema responde también como se esperaba.
Probando sobre el mismo caso, se ve en los resultados de la simulación
que cuando se arranca la carga, a un segundo del arranque del sistema, la
Memoria.
85
tensión empieza a decaer justo cuando la intensidad alcanza el valor
máximo, ya que sin poder transfomar la potencia necesaria, el sistema
tendrá que reducir la tensión de salida. En la figura 43, se ve la aplicación
de la restricción de intensidad a 900A, cuando el sistema sin bloque de
saturación debería alcanzar los 1300A.
No obstante, el problema surge cuando se desacoplan las cargas.
Mientras el bloque de saturación impone una intensidad de referencia, el
control de tensión sigue midiendo una variación en el voltaje entre
catenaria y vía, que aumenta y se mantiene estable en un valor de
(también mostrado en la figura 43). La acción integral de este regulador,
empieza a acumular el error, ocasionado por la diferencia entre la tensión
real y la de referencia. En consecuencia, la referencia de intensidad va
aumentando a medida que se mantiene activo el bloque de saturación.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
V+oVo-IoI+I-
Figura 43. Respuesta del sistema ante un acople (0,5 seg) y desacople (2 seg) de la carga con bloque
de saturación activado y sin control de la acción integral
Memoria.
86
En el momento en que las cargas dejan de consumir energía, la
intensidad que ordena el control de tensión sigue siendo superior al
máximo, de modo que mantiene la corriente Io a 900A. Esto produce que
la tensión aumente, ya que no hay carga que consuma la intensidad que
esta inyectando el convertidor y lo que se está haciendo por tanto es
alimentar a la resistencia de los cables. En el momento en que el error se
ha reducido, volvemos a alcanzar valores estables. Sin embargo, si para
una simulación donde la carga ha estado presente sólo durante 1,5
segundos se alcanzan sobretensiones de 150V (250V de valor de pico),
entonces cuando la carga dure 10 minutos, la sobretensión será de 60kV de
continua, un valor completamente inaceptable. Si observamos la figura 44
podemos ver la señal de salida del control de tensión, donde se ve como se
acumula el error hasta alcanzar una referencia de intensidad de casi
9000A. Luego, al desconectar los trenes, el error se reduce hasta llegar de
nuevo a los 900A de intensidad máxima, después de 0,5 segundos.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-12000
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
Figura 44. Señal de salida del regulador de tensión (referencia de Io)
Memoria.
87
Para solucionar este problema, se han tenido que hacer
modificaciones sobre el esquema del control en cascada. Lo primero, ha
sido cambiar el control PI de tensión por un control P+I, no interactivo. La
razón de hacer esto es que se va a controlar la acción integral,
independientemente de la acción proporcional. La siguiente modificación
se encuentra sobre el bloque de saturación, al que se le hará una detección
del momento en que se alcanza la intensidad máxima, mediante un bloque
que compara la entrada y la salida (Fig. 45).
SW22
SW11
SaturationReferencia de Tensión
3000
Parámetro de la integral
1/Ti
Parametro deLa integral
1/Iv
PWM
D
on
off
Integrator 1
1s
xo
Integrator
1s
Ganancia Control de tensión
Kp2
Ganancia control de Intensidad
K
Factor de servicio
0.5
CompareTo Zero
~= 0
Bloque Diferencial
Td .s
Td /N.s+1
Io2
V+o1
Figura 45. Control en cascada definitivo del convertidor
Cuando estos dos valores difieren, significa que la referencia de
intensidad es superior al máximo permitido. La señal de detección es
enviada al nuevo bloque integrador, que recibe la orden de congelar el
error. Esto hace que, pese a que la variación de tensión no se soluciona, la
acción integral se mantiene en el mismo estado en el que estaba cuando
activó la saturación. Una vez finalizada la carga, el control de intensidad,
que durante todo el tiempo anterior ha sido el verdadero regidor del
factor de servicio, aumenta la tensión hasta que la diferencia entre la
referencia de 3000V y la medida real sea lo suficiente pequeña como para
que el bloque de saturación se desactive y se vuelva a retomar la acción
integral. La diferencia de tensiones en ese momento será la misma que la
que se tenía cuando se desactivó la integración, de modo que el regulador
de tensión vuelve a tomar el control en el mismo punto en que lo perdió.
Memoria.
88
El resultado de la misma simulación con este nuevo control, es
mucho más satisfactorio, ya que el convertidor reduce la intensidad en el
mismo instante en que se comienzan a desconectar los trenes. Se pueden
observar los nuevos resultados en la figura 46:
0 0.5 1 1.5 2 2.5-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
V+oVo-IoI+I-
Figura 46. Resultados de la simulación con el control definitivo.
Para comprobar que la restricción sobre la acción integral funciona,
del mismo modo que se ha explicado. Se ha medido de nuevo el valor de
la salida del control de tensión en la figura 47:
Memoria.
89
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
Figura 47. Señal de salida del regulador de tensión (referencia de Io)
Si se compara la figura 47 con la 44, es decir, se ven los cambios que
incurren sobre la señal de salida del control de tensión cuando se añade la
desactivación de la acción integral, lo más destacable que se puede
deducir es que el paso de un control Proporcional-Integral, a un control
Proporcional, produce importantes transitorios internos en las señales. No
obstante, los transitorios finales que se obtienen en la corriente y la
tensión, no varían en absoluto, si se comparan los resultados de esta
simulación (Fig. 44) con aquella en la que no se activa la restricción de la
intensidad (Fig. 40).
2 Simulaciones finales
Las simulaciones anteriores se observaban los transitorios
resultantes de activar y desactivar la carga de 4 trenes instantáneamente.
Como es de suponer, este tipo de transitorios no sucederán jamás, ya que
los trenes, irán haciendo caer la tensión de manera gradual, a medida que
los trenes vayan recorriendo la vía.
Memoria.
90
Para crear un caso más realista, se hace ahora la misma simulación
del caso base, con el convertidor y con el control definitivo, solo que esta
vez, la carga de los trenes no entrará instantáneamente. Ahora, a la
referencia de potencia de cada tren, se le aplica una rampa, que empieza
en el tiempo a 0,5 segundos de comenzar la simulación, y crece durante un
segundo hasta alcanzar la potencia de 1MW (Fig. 48). Todos los trenes
actúan de ese modo, y es una forma de cargar el sistema de manera
gradual, a modo en que lo haría un tren que comienza a desplazarse, con 4
MW en total. El resultado obtenido es la respuesta del convertidor que
sería la más habitual, en caso de que el sistema 2x3000V se aplicara sobre
un escenario real.
-
2
+
1
perdidas
fuentei
s -+
VT
v+-
Transfer Fcn
1
tau .s+1
Timer
Switch
SaturationRamp
Divide
Constant 1
V
Figura 48. Tren de simulación, con rampa de 1MW/seg
En los resultados de la simulación (Fig. 49) se ve que el aumento
gradual hace que desaparezcan las oscilaciones anteriores, ya que la
respuesta del sistema es frente a una rampa, y no frente a un paso. La
rapidez, por el contrario, es semejante al resto de casos. Las variables del
sistema se establecen pasados 0,3 segundos (establecimiento del 98%),
Memoria.
91
aunque no alcanzan los valores estables hasta pasados 0,5 en que el error
de seguimiento se hace nulo.
También, se puede observar como el sistema mantiene la tensión a
3000V hasta que la intensidad Io alcanza el valor de la restricción (1000A).
Justo cando esto ocurre, a 1,4 segundos del inicio de la simulación, la
tensión entre catenaria y vía deja de mantenerse en el valor de referencia,
para que no sigan creciendo las corrientes del convertidor.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
V+oVo-IoI+I-
Figura 49. Tren de simulación, con rampa de 1MW/seg
Memoria.
92
El siguiente resultado que se muestra ahora, proviene de una
simulación igual a la anterior, solo que esta vez, se han añadido unas
fuentes de tensión alterna. Estas nuevas fuentes pretenden añadir sobre la
tensión de entrada de los grupos rectificadores de las subestaciones, el
valor de un armónico característico.
Dando por hecho que son rectificadores trifásicos, la frecuencia del
armónico principal será de 150Hz, la amplitud impuesta ha sido de 600V,
un 20% de amplitud de pico-pico de la tensión media continua. La
amplitud del armónico dependerá del tipo de rectificador que se instale
(como por ejemplo, si es controlado o no) luego se ha optado por darle
este valor aproximado. La intención, es comprobar como afectan estos
armónicos sobre el convertidor.
armonico3 armonico
armonico
armonico
V2-
V2+
V1-
V1+
Tren 4
+-
Tren 3
+-Tren 2
+-
Tren 1
+-
Scope 8
DC-DC
I+
I-
I0
V+
V-
V+
V0
V-
42-
42+
42
41-
41+
41
32-
32+
32
31-
31+
31
22-
22+
22
21-
21+
21
12-
12+
12
11-
11+
11
Figura 50. Sistema 2x3000V, con modelado de los armónicos de los grupos rectificadores.
Observando la figura 50, se muestra un rizado importante sobre las
corrientes I+ e I- (de casi 300A), aunque no sobre las tensiones, ya que el
control del factor de servicio hace que se mantenga la tensión de
referencia, y por tanto, la tensión de salida produce un rizado de muy
poca amplitud (de menos de 10V). Por lo tanto, las oscilaciones de las
corrientes del convertidor se producen para que la tensión sea constante.
Memoria.
93
Las corrientes donde se producen estos rizados, son aquellas que tienen de
valor medio, aproximadamente la mitad de –Io. Si se explica esto, es
porque se tiene que entender que el rizado deberá si para un 25% de
amplitud pico-pico sobre la tensión media del armónico principal, la
amplitud del armónico producido en las corrientes es de un 30% (200 pico,
pico), para que alcance el 100%, la amplitud en la tensión deberá ser de un
83%, lo cual no es habitual para este tipo de sistemas.
No obstante, lo importante aquí no es el rizado de las corrientes,
sino que la variación de carga en el sistema produce la misma respuesta,
en valores medios, que en la simulación donde no existen armónicos. El
sistema funciona correctamente tanto si trabaja como fuente de tensión,
como si trabaja como fuente de Intensidad. Esto demuestra que para
diseñar el control, no hace falta tener en cuenta los efectos de la
rectificación de la tensión continua.
Memoria.
94
0 0.5 1 1.5 2 2.5-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
V+oVo-IoI+I-
Figura 51. Resultados de simulación del convertidor, con armónicos de los grupos rectificadores
Sobre el resultado del resto de las variables, tales como la caída de
tensión sobre los trenes, o el rendimiento general del sistema, no varían en
absoluto con los resultados del artículo de Re, comentado en la
introducción.
Cuando el convertidor funciona como fuente de tensión, es decir,
que la restricción de corriente no se ha activado, El sistema es equivalente
Memoria.
95
a la instalación de una nueva subestación. Esto significa, que a efectos
prácticos, la distancia entre subestaciones se reduce a la mitad, y las caídas
de tensión máximas que se producen, son también la mitad de grandes.
Ahora, la tensión mínima está en el punto medio entre convertidor y los
extremos del sistema, mientras que si no se instala el convertidor, la
tensión mínima sería mayor y sobre el punto medio entre los extremos.
En este régimen de funcionamiento, la carga es alimentada por tres
fuentes de tensión. Para un escenario simétrico, como el del caso base, esto
significa que la potencia distribuída por el convertidor CC/CC es el 33%
del total de la potencia suministrada por los grupos rectificadores. Sin
embargo, Si analizamos el caso de que hay un tren en el centro, la potencia
consumida por el tren proviene en exclusiva del convertidor, ya que el
hecho de mantener la tensión a 3000V, hace que la corriente necesaria no
vaya por la catenaria principal, donde las diferencias de tensiones son
nulas. Ahora, toda la corriente que consume el tren viaja por la catenaria
auxiliar.
Para el caso en el que el convertidor actúa como una fuente de
intensidad, es decir, con la restricción activada, las caídas de tensión
dependerán de la corriente máxima del convertidor, luego los resultados
del sistema 2x3000V, están sujetos también a esta restricción. La potencia
que distribuye el convertidor en este caso es su potencia nominal, y
dependiendo del dimensionado del sistema, las caídas de tensión sobre los
trenes serán mayores o menores.
Memoria.
96
Capítulo 6 CONCLUSIONES
Este proyecto es un estudio teórico sobre un método diferente de
solucionar las caídas de tensión sobre un sistema ferroviario aplicando un
convertidor CC/CC entre catenaria, vía y un cable auxiliar adicional que
se lleva al valor de tensión opuesto a la principal. Este procedimiento era
una idea de la que se habían realizado estudios relacionados con la
topología del sistema y el rendimiento general, sin entrar en un estudio
dinámico. Este proyecto fin de carrera, por el contrario, ha hecho un
estudio dinámico para obtener las condiciones y las regulaciones en las
que deberá de funcionar el convertidor CC/CC.
La primera conclusión de este proyecto es que el sistema puede
funcionar en un entorno donde existen variaciones de carga, armónicos y
transitorios resultantes de estos cambios. El convertidor, no solo se puede
adaptar rápidamente, sino que además, mediante un control en cascada
con dos reguladores PI y PID normales, puede mantener la tensión
nominal sobre el punto en que se instale y ante cualquier carga que exista
sobre la vía. Además, si la potencia necesaria a transformar fuera superior
al máximo admitido por el convertidor, el regulador en cascada
Una de las cosas más destacables del estudio de la regulación del
convertidor es que se puede utilizar un control sencillo, rápido y robusto,
cuyos parámetros sólo dependerán del sistema ferroviario, es decir, de las
vías, catenarias y la longitud del tramo que abarque el convertidor,
indiferentemente de la posición y la cantidad de trenes que estén
consumiendo energía. El esquema de control en cascada que se aplicado
concretamente en este proyecto es la aportación más importante del
estudio de la regulación del convertidor. Añadiendo los detalles finales
Memoria.
97
sobre la restricción de las acciones integrales, es sin duda, un esquema que
de seguro se podrá aplicar en cualquier sistema 2x3000V que se desee
implementar.
El proyecto, está aplicado a una topología concreta del sistema
2x3000V, y el convertidor utilizado es el convertidor más sencillo de
estudiar, un convertidor reductor o también denominado “chopper”. No
obstante, la metodología que se ha desarrollado aquí, es perfectamente
aplicable a cualquier otra topología del sistema 2x3000V, ya sea llevar la
tensión del cable auxiliar (o también denominado feeder) a un valor
superior a la nominal (como por ejemplo, 6000V) o bien utilizar un
convertidor distinto a un reductor (como por ejemplo, un convertidor de
puente completo, o “full bridge”)
Así pues, lo más importante no son los resultados obtenidos, sino la
metodología en sí, los pasos que se han ido dando para analizar el sistema
2x3000V, ya que aplicando este procedimiento, podremos analizar
cualquier caso, con potenciales distintos en la catenaria auxiliar o con
convertidores de distintos tipos.
Memoria.
98
Capítulo 7 FUTUROS DESARROLLOS
El siguiente desarrollo que se debería hacer tras este estudio, es
aplicar la misma metodología de este proyecto a distintos convertidores
CC/CC.
El siguiente estudio lógico a éste es aplicar el sistema 2x3000V con
un convertidor de Puente completo, o Full-Bridge. Este convertidor tiene
una ventaja fundamental sobre el convertidor Chopper, y es el hecho de
que posee aislamiento galvánico, con lo que posee una mayor seguridad
para las personas. El aislamiento se debe al transformador de tensión que
se sitúa la salida del puente rectificador.
Vx
V-4
V+3
V0-
2
V0+1
filtro
v+-
v+-
Linear Transformer 1
1
2
3
IGBT 4
gm
CE
IGBT 3
gm
CE
IGBT 2
gm
CE
IGBT 1
gm
CE
Goto 6
[Imeas_0]
Goto 5
[Imeas_neg ]
Goto 4
[Imeas_pos]
Goto 3
[Vmeas_neg ]
Goto 2
[Vmeas _pos]
Goto 1
[SW2]
Goto
[SW1]
From5
[SW1]
From4
[SW2]
From1
[SW2]
From
[SW1]
Diode 3
Diode 2Current Measurement 2
i+ -
Current Measurement 1
i+
-
Current Measurement
i+
-
Control
V+
V-
SW 1
SW 2
Figura 52. Modelo del Convertidor “Chopper”
Memoria.
99
Para este modelo, el control desarrollado a lo largo del proyecto,
con los mismos parámetros, no funciona para casos en los que no hay
cargas sobre el sistema. Es necesario hacer un estudio desde el principio,
comenzando por desarrollar un modelo simplificado de este convertidor.
A partir de ahí, se volverían a obtener las funciones de transferencia
necesarias para el diseño de un control concreto para este aparato.
Además de los posibles futuros desarrollos sobre la aplicación de otros
tipos de convertidores CC/CC, También es interesante desarrollar un
estudio del sistema 2x3000V, con una topología distinta, por ejemplo,
llevando el cable auxiliar a una tensión de 6000V. Esta forma de
implementar el sistema hará que la energía necesaria para el convertidor,
se transporte sobre un potencial mayor y por tanto, el rendimiento global
del sistema mejoraría [1].
Por ultimo, sería necesario un estudio económico en profundidad,
apoyado sobre un caso real y con datos concretos de precios de instalación
y componentes de los dispositivos necesarios. De esta manera, se podría
estimar mejor en cuanto será más rentable el sistema 2x3000V frente al
resto de las soluciones clásicas de ampliación de la potencia de una
catenaria.
Memoria.
100
BIBLIOGRAFÍA
[1] P. Ladoux, F. Alvarez, H. Caron, G. Josse, J. P. Perret “Une Nouvelle
structure d’alimentation des caténaires 1500 V: le Systeme 2 x 1500 V”,
Revue Générale de Chemins de Fer, nº 151, pp. 21-31 Elsevier Science,
2006.
[2] Hart, “Introduction to Power Electronics”, Prentice Hall, 1997
[3] F. Luís Pagola “Regulación Automática”, Colección Ingeniería 25,
Universidad Pontificia Comillas, Madrid
Estudio económico.
101
Parte II ESTUDIO ECONÓMICO
Estudio económico.
102
Este proyecto es un sistema completamente teórico. El sistema
ferroviario del que parte todo el estudio posee valores típicos de
resistividad y de inductancia, pero todo lo desarrollado, no se ha aplicado
sobre un caso concreto, con vistas a conocer la viabilidad de sino que se
pretende ampliar las ideas sobre una posible nueva forma de alimentar las
catenarias de los sistemas ferroviarios que funcionan a corriente continua.
Lo que se demuestra a lo largo de toda la memoria es su viabilidad
técnica, y no económica. No obstante, el resultado del estudio ha sido el
esperado, y se ha comprobado que el sistema 2x3000V puede sustituir a la
perfección a un grupo nuevo de rectificadores.
Partiendo de que se ha demostrado que el proyecto es
completamente viable tecnológicamente, la viabilidad económica va a
depender mucho de las condiciones donde se quiera instalar el sistema
2x3000V. La alternativa que pretende sustituir es la instalación de una
nueva subestación y de sus grupos rectificadores ya que ambos funcionan
a efectos prácticos de la misma manera: manteniendo una tensión
controlada en la catenaria sobre el punto donde se encuentren.
La clave de la viabilidad económica no se encuentra en los precios
de la instalación de una nueva subestación o un convertidor CC/CC, los
cuales van a ser predeciblemente favorables al sistema 2x3000V. Lo que
hace falta ver es, para cada caso donde se desee instalar una nueva fuente
de tensión de la catenaria, los costes de conexión a la red eléctrica de
media tensión en comparación con los costes de instalación del cable
auxiliar, unido a los nuevos grupos rectificadores de las subestaciones ya
instaladas.
Si la red eléctrica, está alejada lo suficiente como para que sea más
rentable la instalación de un cable auxiliar entre las subestaciones
existentes, junto con el nuevo grupo de rectificadores, el proyecto poseería
una clara ventaja económica sobre la instalación de una nueva
Estudio económico.
103
subestación. En este caso, está claro que el proyecto es una alternativa
mucho más rentable.
Para el resto de casos, cuando no hay problemas de conexión de
red, puede resultar mejor el sistema 2x3000V o no, ya sea dependiendo de
la potencia necesaria para ampliar y sobretodo, de la disponibilidad de
ésta sobre las subestaciones existentes. De lo contrario, habría que incurrir
en gastos de ampliación de las subestaciones.
Lo que está claro, es que el sistema 2x3000V puede ser claramente
competitivo en muchos de los posibles casos reales que hay ahora mismo.
Estudio económico.
104
Código fuente.
105
Parte III CÓDIGO FUENTE
Código fuente.
106
En esta parte del proyecto se adjuntan todos los resultados
numéricos obtenidos de las simulaciones sobre Matlab. Se pretende dar así
todos los comandos que se han ejecutado para obtener las funciones de
transferencia del sistema, las cuales se presentan en la memoria muchas
veces en formas simplificadas
Una de las razones de hacer esto, es que los métodos iterativos de
Matlab, pueden llevar a que la ejecución de los sistemas sobre otro
ordenador den números ligeramente distintos, o es más, que aparezcan
ciertos polos o ceros de frecuencia muy alta que son despreciables.
Para conocer los datos utilizados a lo largo de todo el proyecto, se
presentan las diversas capturas del código resultante de la ejecución de las
simulaciones.
La primera captura (11 páginas) corresponde a la ejecución de los
tres casos de carga con un tren en la catenaria, explicados en la memoria.
Estos son, “untrencentro”, “untrenmedio” y “untrenextremo” y sus
equivalentes “untrencentro2”, “untrenmedio2” y untrenextremo2”. Las
primeras tres simulaciones tienen definidos como entrada la variación del
factor de servicio D y salida la intensidad Io, obteniendo como resultados
la representación de estado (A, B, C, D) y las funciones Io/D (funciones
FT). Las tres siguientes, son las simulaciones con D como entrada y V+o
como salida, obteniendo como resultado las representaciones de estado y
las funciones de transferencia V+o/D (funciones G). En cada caso, se
aplican los siguientes comandos:
[A B C D]= linmod (“nombre del sistema”); Halla las matrices A, B
C, D de la representación de estado
[num den]= ss2tf (A B C D); halla los coeficientes de los polinomios
del numerador y del denominador de la función de transferencia
consecuente con la representación de estado.
Código fuente.
107
xxxx = tf(num, den); guarda los vectores en forma de función de
transferencia, con el nombre correspondiente al inicio de la igualdad.
xxxx = zpk(xxxx); guarda la función de forma que se observan las
raices de los polinomios, es decir, en forma de polos, ceros y ganancia.
xxxx = minreal(xxxx); elimina los polos y ceros que sean iguales,
para simplificar la función.
Obteniendo las dos expresiones FT y G de cada caso, luego se realiza la
división de ambos valores, obteniendo las funciones GT, funciones de
transferencia V+o/Io. También se aplican los comandos “zpk” y “minreal”
para simplificar los valores
La segunda captura (12 páginas) es el mismo procedimiento que el
anterior, solo que para los casos con dos trenes en la simulación Estos son,
“dostrencentro”, “dostrenmedio” y “dostrenextremo” y sus equivalentes
“dostrencentro2”, “dostrenmedio2” y dostrenextremo2”.
La tercera Captura (20 página) es el mismo procedimiento, de
nuevo, para los casos base de simulación, que son “casobase”,
“casobasecentro” y “casoimposible” y sus equivalentes casobase2”,
“casobasecentro2” y “casoimposible2”
La última captura, es el cálculo de los lazos abiertos equivalentes de
la planta junto con el lazo de control de la intensidad, es decir, las plantas
V+o Io necesarias. Son cálculos normales, apoyados en las ecuaciones de la
memoria. (E.)
Estas capturas presentan, en definitiva, los resultados numéricos en los
que se apoya todo el estudio del convertidor CC/CC.
Código fuente.
108
31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 1 of 11
>> [A,B,C,D]=linmod('untrencentro');Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You candisable this diagnostic by setting 'Automatic solve r parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configurat ionparameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60>> A A = 1.0e+004 * -0.0100 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 -0.0000 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 -0.0136 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781 0.0012 0.0136 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 >> B B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 2.4704 >> C C = 11.5427 1.0000 1.0000 -1.0000 -1.0000 0.0006 -0.0006 0.0000 >> D D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FT1=tf(num,den) Transfer function:
31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 2 of 11
0.1372 s^7 + 4.317e004 s^6 + 1.815e009 s^5 + 2.08 2e013 s^4 + 5.287e015 s^3 + 4.892e017 s^2 + 1.961e019 s + 2.89e020--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.004e009 s^5 + 7.989e010 s^4 + 4.08e012 s^3 + 1.274e014 s^2 + 2.031e015 s + 1.007e016 >> FT1=zpk(FT1) Zero/pole/gain: 0.13724 (s+2.672e005) (s+2.356e004)^2 (s+101.7) (s+56.74) (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------(s+2.356e004) (s+100.7) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.3 01) (s^2 + 48.64s + 3661) >> FT1=minreal(FT1) Zero/pole/gain: 0.13724 (s+2.672e005) (s+2.356e004)^2 (s+101.7)--------------------------------------------------- ----(s+2.356e004) (s+100.7) (s+8.301) (s^2 + 48.64s + 3 661) >> [A,B,C,D]=linmod('untrencentro2');Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60>> A A = 1.0e+004 * -0.0100 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 -0.0000 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 -0.0136 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781 0.0012 0.0136 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 >> B B = 1.0e+005 *
31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 3 of 11
0 0 0 0 0 0 0 2.4704 >> C C = 0.0058 0.0005 0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 >> D D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> G1=tf(num,den) Transfer function: -123.5 s^7 - 5.859e006 s^6 - 7.04e010 s^5 - 2.167 e013 s^4 - 2.634e015 s^3 - 1.576e017 s^2 - 4.654e018 s - 5.433e019--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.004e009 s^5 + 7.989e010 s^4 + 4.08e012 s^3 + 1.274e014 s^2 + 2.031e015 s + 1.007e016 >> G1=zpk(G1) Zero/pole/gain: -123.522 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.74 )^2 (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------(s+2.356e004) (s+100.7) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.3 01) (s^2 + 48.64s + 3661) >> G1=minreal(G1) Zero/pole/gain:-123.522 (s+2.356e004) (s+100) (s+56.74)-----------------------------------------(s+100.7) (s+8.301) (s^2 + 48.64s + 3661) >> GT1=G1/FT1
31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 4 of 11
Zero/pole/gain:-900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+100.7) (s+100) (s+56.7 4) (s+8.301) (s^2 + 48.64s + 3661)--------------------------------------------------- ---------------------------------- (s+100.7) (s+101.7) (s+8.301) (s+2.356e004)^2 (s+ 2.672e005) (s^2 + 48.64s + 3661) >> GT1=zpk(GT1) Zero/pole/gain:-900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+100.7) (s+100) (s+56.7 4) (s+8.301) (s^2 + 48.64s + 3661)--------------------------------------------------- ---------------------------------- (s+100.7) (s+101.7) (s+8.301) (s+2.356e004)^2 (s+ 2.672e005) (s^2 + 48.64s + 3661) >> GT1=minreal(GT1) Zero/pole/gain:-900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.74)------------------------------------------- (s+101.7) (s+2.356e004)^2 (s+2.672e005) >> [A,B,C,D]=linmod('untrenmedio');Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60>> A A = 1.0e+006 * 0.0104 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 -1.6797 -0.1441 0.1440 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.6797 0.1440 -0.1441 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 -0.0001 0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0001 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000
31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 5 of 11
-0.0000 >> B B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4917 >> C C = 0 0 1 1 -1 -1 0 0 0 >> D D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FT2=tf(num,den) Transfer function: 4.838e004 s^7 + 1.285e010 s^6 + 5.278e014 s^5 + 5.9 98e018 s^4 + 1.526e021 s^3 + 1.414e023 s^2 + 5.674e024 s + 8.367e025--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^9 + 3.015e005 s^8 + 6.637e009 s^7 + 2.076e012 s^6 + 2.82e014 s^5 + 2.257e016 s^4 + 1.159e018 s^3 + 3.631e019 s^2 + 5.788e020 s + 2.849e021 >> FT2=zpk(FT2) Zero/pole/gain: 48380.0287 (s+2.183e005) (s+2.356e004)^2 (s +102.2) (s+56.74) (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------------------(s+2.776e005) (s+2.356e004) (s+102) (s+56.74) (s+49 .6)^2 (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738)
31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 6 of 11
>> FT2=minreal(FT2) Zero/pole/gain: 48380.0287 (s+2.183e005) (s+2.356e004) (s+102.2)--------------------------------------------------- --(s+2.776e005) (s+102) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 373 8) >> [A,B,C,D]=linmod('untrenmedio2')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * 0.0104 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 -1.6797 -0.1441 0.1440 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.6797 0.1440 -0.1441 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 -0.0001 0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0001 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4917
31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 7 of 11
C = 0 0 0.0005 0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> G2=tf(num,den) Transfer function: -124.6 s^8 - 4.05e007 s^7 - 1.712e012 s^6 - 1.974e0 16 s^5 - 6.104e018 s^4 - 7.449e020 s^3 - 4.472e022 s^2 - 1.323e024 s - 1.548e025 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^9 + 3.015e005 s^8 + 6.637e009 s^7 + 2.076e012 s^6 + 2.82e014 s^5 + 2.257e016 s^4 + 1.159e018 s^3 + 3.631e019 s^2 + 5.788e020 s + 2.849e021 >> G2=zpk(G2) Zero/pole/gain: -124.5875 (s+2.776e005) (s+2.356e004)^2 (s+ 101.8) (s+56.74)^2 (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------------------(s+2.776e005) (s+2.356e004) (s+102) (s+56.74) (s+49 .6)^2 (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738) >> G2=minreal(G2) Zero/pole/gain:-124.5875 (s+2.776e005) (s+2.356e004) (s+101.8) (s+ 56.74)--------------------------------------------------- ------ (s+2.776e005) (s+102) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3 738) >> GT2=G2/FT2 Zero/pole/gain:-0.0025752 (s+2.776e005)^2 (s+2.356e004) (s+102) (s +101.8) (s+56.74) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738)--------------------------------------------------- ---------------------------------
31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 8 of 11
---------------- (s+2.776e005) (s+2.183e005) (s+2.356e004) (s+10 2.2) (s+102) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738) >> GT2=zpk(GT2) Zero/pole/gain:-0.0025752 (s+2.776e005)^2 (s+2.356e004) (s+102) (s +101.8) (s+56.74) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738)--------------------------------------------------- ------------------------------------------------- (s+2.776e005) (s+2.183e005) (s+2.356e004) (s+10 2.2) (s+102) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738) >> GT2=minreal(GT2) Zero/pole/gain:-0.0025752 (s+2.776e005)^2 (s+101.8) (s+56.74)---------------------------------------------- (s+2.776e005) (s+2.183e005) (s+102.2) >> [A,B,C,D]=linmod('untrenextremo')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781 0.0012 0 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0
31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 9 of 11
0 2.5133 C = 0 1 1 -1 -1 0 0 0 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FT3=tf(num,den) Transfer function: 3.874e004 s^6 + 1.836e009 s^5 + 2.198e013 s ^4 + 5.548e015 s^3 + 5.112e017 s^2 + 2.043e019 s + 3.003e020--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.007e009 s^5 + 8.056e010 s^4 + 4.134e012 s^3 + 1.293e014 s^2 + 2.057e015 s + 1.009e016 >> FT3=zpk(FT3) Zero/pole/gain: 38742.3104 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.7 4) (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -----------------------(s+2.356e004) (s+100) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.144 ) (s^2 + 49.51s + 3765) >> FT3=minreal(FT3) Zero/pole/gain: 38742.3104 (s+2.356e004)-------------------------------(s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >> [A,B,C,D]=linmod('untrenextremo2')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A =
31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 10 of 11
1.0e+004 * -0.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781 0.0012 0 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 2.5133 C = 0 0.0005 0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> G3=tf(num,den) Transfer function: -125.7 s^7 - 5.961e006 s^6 - 7.162e010 s^5 - 2.20 4e013 s^4 - 2.679e015 s^3 - 1.603e017 s^2 - 4.734e018 s - 5.527e019--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.007e009 s^5 + 8.056e010 s^4 + 4.134e012 s^3 + 1.293e014 s^2 + 2.057e015 s + 1.009e016 >> G3=zpk(G3) Zero/pole/gain:
31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 11 of 11
-125.6637 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.74 )^2 (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -----------------------(s+2.356e004) (s+100) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.144 ) (s^2 + 49.51s + 3765) >> G3=minreal(G3) Zero/pole/gain:-125.6637 (s+2.356e004) (s+56.74)--------------------------------- (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >> GT3=G3/FT3 Zero/pole/gain:-0.0032436 (s+2.356e004) (s+56.74) (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765)--------------------------------------------------- --------------- (s+8.144) (s+2.356e004) (s^2 + 49.51s + 3 765) >> GT3=zpk(GT3) Zero/pole/gain:-0.0032436 (s+2.356e004) (s+56.74) (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765)--------------------------------------------------- --------------- (s+8.144) (s+2.356e004) (s^2 + 49.51s + 3 765) >> GT3=minreal(GT3) Zero/pole/gain:-0.0032436 (s+56.74) >>
31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 1 of 12
>> [A,B,C,D]=linmod('dostrencentro')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You candisable this diagnostic by setting 'Automatic solve r parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configurat ionparameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 -0.0001 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 -0.0283 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781 0.0012 0.0283 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0.0001 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 2.4263 C = 24.0283 1.0000 1.0000 -1.0000 -1.0000 0.0006 -0.0006 0.0000 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FT21=tf(num,den) Transfer function: 0.1348 s^7 + 4.088e004 s^6 + 1.711e009 s^5 + 1.95 9e013 s^4 + 5.013e015 s^3 + 4.662e017 s^2 + 1.876e019 s + 2.772e020--------------------------------------------------- ---------------------------------
31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 2 of 12
------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.001e009 s^5 + 7.914e010 s^4 + 4.021e012 s^3 + 1.253e014 s^2 + 2.002e015 s + 1.005e016 >> FT21=zpk(FT21) Zero/pole/gain: 0.13479 (s+2.559e005) (s+2.356e004)^2 (s+103.7) (s+56.74) (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------(s+2.356e004) (s+101.5) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.4 81) (s^2 + 47.67s + 3548) >> FT21=minreal(FT21) Zero/pole/gain: 0.13479 (s+2.559e005) (s+2.356e004)^2 (s+103.7)--------------------------------------------------- ----(s+2.356e004) (s+101.5) (s+8.481) (s^2 + 47.67s + 3 548) >> [A,B,C,D]=linmod('dostrencentro2')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 -0.0001 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 -0.0283 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781 0.0012 0.0283 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0.0001 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0
31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 3 of 12
0 0 2.4263 C = 0.0120 0.0005 0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> G21=tf(num,den) Transfer function: -121.3 s^7 - 5.755e006 s^6 - 6.914e010 s^5 - 2.12 8e013 s^4 - 2.587e015 s^3 - 1.548e017 s^2 - 4.57e018 s - 5.336e019--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.001e009 s^5 + 7.914e010 s^4 + 4.021e012 s^3 + 1.253e014 s^2 + 2.002e015 s + 1.005e016 >> G21=zpk(G21) Zero/pole/gain: -121.3161 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.7 4)^2 (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------(s+2.356e004) (s+101.5) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.4 81) (s^2 + 47.67s + 3548) >> G21=minreal(G21) Zero/pole/gain:-121.3161 (s+2.356e004) (s+100) (s+56.74)-----------------------------------------(s+101.5) (s+8.481) (s^2 + 47.67s + 3548) >> GT21=G21/FT21 Zero/pole/gain:-900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+101.5) (s+100) (s+56.7 4) (s+8.481) (s^2 + 47.67s + 3548)--------------------------------------------------- ---------------------------------- (s+101.5) (s+103.7) (s+8.481) (s+2.356e004)^2 (s+ 2.559e005) (s^2 + 47.67s + 3548) >> GT21=minreal(GT21)
31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 4 of 12
Zero/pole/gain:-900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.74)------------------------------------------- (s+103.7) (s+2.356e004)^2 (s+2.559e005) >> [A,B,C,D]=linmod('dostrenmedio')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * 0.0105 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 -1.6967 0 -0.1441 0.1440 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.6967 0 0.1440 -0.1441 -0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0001 -0.0001 0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 -1.6967 0 0.0000 0.0000 -0.1441 0.1440 -0.0000 -0.0001 0.0001 -0.0000 0 1.6967 0 -0.0000 -0.0000 0.1440 -0.1441 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 -0.0000 -0.0003 0.0001 0.0003 0.0000
31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 5 of 12
-0.0001 0.0384 0.0384 2.4700 C = 0 0 0 1 1 -1 0 -1 0 0 0 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FT22=tf(num,den) Transfer function: -26.1 s^10 - 7.534e006 s^9 - 6.137e010 s^8 + 5.926e 015 s^7 + 1.522e020 s^6 + 1.65e024 s^5 + 5.828e026 s^4 + 8.1e028 s^3 + 5.482e030 s^2 + 1.807e032 s + 2.329e033 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^11 + 5.79e005 s^10 + 9.034e010 s^9 + 1.852e015 s^ 8 + 7.638e017 s^7 + 1.368e020 s^6 + 1.421e022 s^5 + 9.565e023 s^4 + 4.265e025 s^3 + 1.181e027 s^2 + 1.708e028 s + 8.042e028 >> FT22=zpk(FT22) Zero/pole/gain: -26.0978 (s+2.775e005) (s-3.403e004) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008) --------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------- (s+2.775e005)^2 (s+2.356e004) (s+102.2) ( s+101.8) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.225) (s^2 + 49.05s + 3711) >> FT22=minreal(FT22) Zero/pole/gain:-26.0978 (s-3.403e004) (s+2.775e005) (s+102.7) (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008)--------------------------------------------------- -------------------------- (s+2.775e005)^2 (s+102.2) (s+8.225) (s^2 + 49.05s + 3711)
31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 6 of 12
>> [A,B,C,D]=linmod('dostrenmedio2')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * 0.0105 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 -1.6967 0 -0.1441 0.1440 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.6967 0 0.1440 -0.1441 -0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0001 -0.0001 0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 -1.6967 0 0.0000 0.0000 -0.1441 0.1440 -0.0000 -0.0001 0.0001 -0.0000 0 1.6967 0 -0.0000 -0.0000 0.1440 -0.1441 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 -0.0000 -0.0003 0.0001 0.0003 0.0000 -0.0001 0.0384 0.0384 2.4700
31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 7 of 12
C = 0 0 0 0.0005 0.0005 -0.0005 0 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 D = 0.1631 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) num = 1.0e+032 * 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0003 -0.0162 -0.4131 -4.3344 den = 1.0e+028 * 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0043 0.1181 1.7081 8.0420 >> G22=tf(num,den) Transfer function: 0.1631 s^11 + 9.43e004 s^10 + 1.466e010 s^9 + 2.892 e014 s^8 - 3.671e017 s^7 - 5.462e021 s^6 - 2.23e024 s^5 - 3.757e026 s^4 - 3.315e028 s^3 - 1.616e030 s^2 - 4.131e031 s - 4.334e032 --------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------ s^11 + 5.79e005 s^10 + 9.034e010 s^9 + 1.852e015 s ^8 + 7.638e017 s^7 + 1.368e020 s^6 + 1.421e022 s^5 + 9.565e023 s^4 + 4.265e025 s^3 + 1.181e027 s^2 + 1.708e028 s + 8.042e028 >> G22=zpk(G22) Zero/pole/gain: 0.16307 (s+2.775e005)^2 (s+2.356e004) (s+3862) (s -4619) (s+101.8)^2 (s+56.76) (s+56.74) (s+49.6)^2--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------(s+2.775e005)^2 (s+2.356e004) (s+102.2) (s+101.8) ( s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.225)
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(s^2 + 49.05s + 3711) >> G22=minreal(G22) Zero/pole/gain:0.16307 (s+2.775e005)^2 (s-4619) (s+3862) (s+101.8) (s+56.76) (s+56.74)--------------------------------------------------- -------------------- (s+2.775e005)^2 (s+102.2) (s+56.74) (s+8.225) (s^ 2 + 49.05s + 3711) >> GT22=G22/FT22 Zero/pole/gain: -0.0062484 (s+2.775e005)^4 (s-4619) (s+3862) (s+ 102.2) (s+101.8) (s+56.76) (s+56.74) (s+8.225) (s^2 + 49.05s + 3711)--------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------(s+2.775e005)^3 (s-3.403e004) (s+102.7) (s+102.2) ( s+56.74) (s+8.225) (s^2 + 49.05s + 3711) (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008) >> GT22=minreal(GT22) Zero/pole/gain: -0.0062484 (s+2.775e005)^4 (s-4619) (s+3862) (s+ 101.8) (s+56.76) (s+56.74)--------------------------------------------------- -----------------------------(s+2.775e005)^3 (s-3.403e004) (s+102.7) (s+56.74) ( s^2 + 2.126e004s + 2.748e008) >> [A,B,C,D]=linmod('dostrenextremo')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 0 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 0 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781
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0.0012 0 0 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 2.5133 C = 0 0 1 1 -1 -1 0 0 0 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FT23=tf(num,den) Transfer function: 1.819e-011 s^8 + 3.874e004 s^7 + 1.839e009 s^6 + 2. 216e013 s^5 + 7.746e015 s^4 + 1.066e018 s^3 + 7.155e019 s^2 + 2.343e021 s + 3.003e022 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^9 + 2.398e004 s^8 + 9.819e006 s^7 + 1.751e009 s^6 + 1.813e011 s^5 + 1.219e013 s^4 + 5.428e014 s^3 + 1.499e016 s^2 + 2.158e017 s + 1.009e018 >> FT23=zpk(FT23) Zero/pole/gain:
31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 10 of 12
1.819e-011 (s+2.13e015) (s+100.1) (s+99.86) (s+56.7 6) (s^2 + 4.712e004s + 5.552e008) (s^2 + 99.2s + 2460)--------------------------------------------------- ------------------------------------------------------ (s+2.356e004) (s+100)^2 (s+56.74) (s+ 49.6)^2 (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >> FT23=minreal(FT23) Zero/pole/gain:1.819e-011 (s+100.1) (s+99.86) (s+56.76) (s+2.13e01 5) (s^2 + 4.712e004s + 5.552e008) (s^2 + 99.2s + 2460)--------------------------------------------------- ------------------------------------------------------ (s+2.356e004) (s+100)^2 (s+56.74) (s+ 49.6)^2 (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >> [A,B,C,D]=linmod('dostrenextremo2')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 0 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 0 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781 0.0012 0 0 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 B = 1.0e+005 *
31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 11 of 12
0 0 0 0 0 0 0 0 2.5133 C = 0 0 0.0005 0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> G23=tf(num,den) Transfer function: -125.7 s^8 - 5.974e006 s^7 - 7.222e010 s^6 - 2.92e0 13 s^5 - 4.883e015 s^4 - 4.283e017 s^3 - 2.077e019 s^2 - 5.287e020 s - 5.527e021 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^9 + 2.398e004 s^8 + 9.819e006 s^7 + 1.751e009 s^6 + 1.813e011 s^5 + 1.219e013 s^4 + 5.428e014 s^3 + 1.499e016 s^2 + 2.158e017 s + 1.009e018 >> G23=zpk(G23) Zero/pole/gain: -125.6637 (s+2.356e004)^2 (s+100)^2 (s+56. 74)^2 (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------(s+2.356e004) (s+100)^2 (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.1 44) (s^2 + 49.51s + 3765) >> G23=minreal(G23) Zero/pole/gain:-125.6637 (s+2.356e004) (s+56.74)--------------------------------- (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765)
31/08/09 0:58 MATLAB Command Window 12 of 12
>> GT23=G23/FT23 Zero/pole/gain: -6908434692430.801 (s+2.356e004)^2 (s+ 100)^2 (s+56.74)^2 (s+49.6)^2 (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765)--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------(s+56.76) (s+99.86) (s+100.1) (s+8.144) (s+2.13e015 ) (s^2 + 4.712e004s + 5.552e008) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 49.51s + 3765) >> GT23=minreal(GT23) Zero/pole/gain: -6908434692430.801 (s+2.356e004)^2 (s+ 100)^2 (s+56.74)^2 (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------------------------(s+56.76) (s+99.86) (s+100.1) (s+2.13e015) (s^2 + 4 .712e004s + 5.552e008) (s^2 + 99.2s + 2460) >>
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 1 of 20
>> [A,B,C,D]=linmod('casobase')Warning: Using a default value of 0.06 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You candisable this diagnostic by setting 'Automatic solve r parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configurat ionparameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * Columns 1 through 13 0.0109 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0109 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 -3.5361 0 0 0 -0.2881 0.2881 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 1.7680 -1.7680 0 0 0.1440 -0.2881 0.1440 -0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 0 3.5361 0 0 0.0000 0.2881 -0.2881 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 0.0002 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 0 0 -3.3948 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.2881 0.2881 0.0000 -0.0000 -0.0002 0 0 1.6974 -1.6974 0 0 -0.0000 -0.0000 0.1440 -0.2881 0.1440 -0.0000 0.0000 0 0 0 3.3948 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.2881 -0.2881 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 -0.0118 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0118 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 Columns 14 through 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 2 of 20
-0.0002 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0002 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0118 0.0000 -0.0118 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4254 C = 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 -1 0 0 0 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FTB1=tf(num,den) Transfer function: 2.328e-010 s^14 + 9.561e004 s^13 + 1.433e011 s^12 + 7.628e016 s^11 + 1.722e022 s^10 + 1.572e027 s^9 + 4.968e031 s^8 + 5.123e035 s^7 + 2.797e038 s^6 + 6.581e040 s^5 + 8.498e042 s^4 + 6.476e044 s^3 + 2.907e046 s^2 + 7.11e047 s
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 3 of 20
+ 7.308e048 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^15 + 1.71e006 s^14 + 1.064e012 s^13 + 2.89e017 s^ 12 + 3.098e022 s^11 + 5.982e026 s^10 + 3.637e029 s^9 + 9.889e031 s^8 + 1.581e034 s^7 + 1.659e036 s^6 + 1.206e038 s^5 + 6.175e039 s^4 + 2.177e041 s^3 + 4.91e042 s^2 + 6.015e043 s + 2.611e044 >> FTB1=zpk(FTB1) Zero/pole/gain: 2.3283e-010 (s+4.107e014) (s+5.654e005) (s+4.899e00 5) (s+2.773e005) (s+1.188e005) (s+2.356e004) (s+2.356e004) (s+56.74) (s+49.74) (s+49.47) (s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------(s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e 005) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.354) (s^2 + 48.33s + 3627) >> FTB1=minreal(FTB1) Zero/pole/gain: 2.3283e-010 (s+56.74) (s+49.74) (s+49.47) (s+2.356e 004) (s+2.356e004) (s+1.188e005) (s+2.773e005) (s+4.899e005) (s+5.65 4e005) (s+4.107e014) (s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------(s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e 005) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.354) (s^2 + 48.33s + 3627) >> [A,B,C,D]=linmod('casobase2')Warning: Using a default value of 0.06 for maximum step size. The simulation step
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 4 of 20
size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * Columns 1 through 13 0.0109 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0109 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 -3.5361 0 0 0 -0.2881 0.2881 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 1.7680 -1.7680 0 0 0.1440 -0.2881 0.1440 -0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 0 3.5361 0 0 0.0000 0.2881 -0.2881 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 0.0002 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 0 0 -3.3948 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.2881 0.2881 0.0000 -0.0000 -0.0002 0 0 1.6974 -1.6974 0 0 -0.0000 -0.0000 0.1440 -0.2881 0.1440 -0.0000 0.0000 0 0 0 3.3948 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.2881 -0.2881 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 -0.0118 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0118 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 Columns 14 through 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0002 0.0000 -0.0000 0.0000
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0.0002 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0118 0.0000 -0.0118 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4254 C = Columns 1 through 13 0 0 0 0 0 0 0.0005 0.0005 -0.0005 0 0 -0.0005 -0.5000 Columns 14 through 15 0.5000 -0.0005 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> GB1=tf(num,den) Transfer function: -121.3 s^14 - 2.102e008 s^13 - 1.34e014 s^12 - 3.80 9e019 s^11 - 4.583e024 s^10 - 1.611e029 s^9 - 1.753e033 s^8
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 6 of 20
- 1.049e036 s^7 - 2.767e038 s^6 - 4.131e040 s^5 - 3.804e042 s^4 - 2.21e044 s^3 - 7.908e045 s^2 - 1.593e047 s - 1.384e048 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^15 + 1.71e006 s^14 + 1.064e012 s^13 + 2.89e017 s^ 12 + 3.098e022 s^11 + 5.982e026 s^10 + 3.637e029 s^9 + 9.889e031 s^8 + 1.581e034 s^7 + 1.659e036 s^6 + 1.206e038 s^5 + 6.175e039 s^4 + 2.177e041 s^3 + 4.91e042 s^2 + 6.015e043 s + 2.611e044 >> GB1=zpk(GB1) Zero/pole/gain: -121.271 (s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e005) (s+2.356e004)^2 (s+101.9) (s+101.8) (s+100.9) (s+100.9) (s+56.74) (s+56.74) (s+49.6)^2 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------(s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e 005) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.354) (s^2 + 48.33s + 3627) >> GB1=minreal(GB1) Zero/pole/gain: -121.271 (s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e005) (s+2.356e004) (s+101.9) (s+101.8) (s+100.9) (s+100.9) (s+56.74) (s+56.74) --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------(s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e 005) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74) (s+8.354) (s^2 + 48.33s + 3627)
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 7 of 20
>> GTB1=GB1/FTB1 Zero/pole/gain: -520854901030 (s+5.654e005)^4 (s+2.775e005)^2 (s+2. 771e005)^2 (s+2.356e004)^2 (s+102.7) (s+101.8)^3 (s+100.9)^4 (s+56.74)^3 (s+49.6)^2 (s+8.354) (s^2 + 48.33s + 3627) --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------(s+5.654e005)^3 (s+4.899e005) (s+2.775e005) (s+2.77 3e005) (s+2.771e005) (s+1.188e005) (s+2.356e004) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56 .74) (s+56.74) (s+49.74) (s+49.47) (s+8.354) (s+4.107e014) ( s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) (s^2 + 48.33s + 3627) >> GTB1=minreal(GTB1) Zero/pole/gain: -520854901030 (s+5.654e005)^4 (s+2.775e005)^2 (s+2. 771e005)^2 (s+2.356e004)^2 (s+101.9) (s+101.8) (s+100.9) (s+100.9) (s+56.74)^2 (s+49.6)^2 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------(s+5.654e005)^3 (s+4.899e005) (s+2.775e005) (s+2.77 3e005) (s+2.771e005) (s+1.188e005) (s+2.356e004) (s+2.356e004) (s+56.74) (s+49.74) (s+ 49.47) (s+4.107e014) (s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) >> [A,B,C,D]=linmod('casobasecentro')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A =
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 8 of 20
1.0e+006 * -0.0001 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0.0114 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0114 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0.0000 -1.2257 0 -0.0961 0.0960 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 3.6771 0 0.2881 -0.2881 -0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0002 -0.0002 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 -3.6956 0 0.0000 0.0000 -0.2881 0.2881 -0.0000 -0.0002 0.0002 -0.0000 -0.0000 0 1.2319 0 -0.0000 -0.0000 0.0960 -0.0961 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0003 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000 0.0003 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.3559 C = 25.5292 0 0 0 1.0000 1.0000 -1.0000 0 -1.0000 0.0006 -0.0006 0.0000 D =
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 9 of 20
0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FTB2=tf(num,den) Transfer function: 0.1309 s^11 + 1.936e005 s^10 + 7.242e010 s^9 + 7.51 1e015 s^8 + 2.453e020 s^7 + 2.547e024 s^6 + 1.154e027 s^5 + 2.17e029 s^4 + 2.133e031 s^3 + 1.153e033 s^2 + 3.248e034 s + 3.727e035 --------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------- s^12 + 7.693e005 s^11 + 1.568e011 s^10 + 3.353e01 5 s^9 + 1.708e018 s^8 + 3.821e020 s^7 + 4.956e022 s^6 + 4.175e024 s^5 + 2.399e026 s^4 + 9.363e027 s^3 + 2.319e029 s^2 + 3.09e030 s + 1.432e031 >> FTB2=zpk(FTB2) Zero/pole/gain: 0.13088 (s+9.663e005) (s+3.726e005) (s+9.304e00 4) (s+2.356e004)^2 (s+107.2) (s+101.4) (s+100.8) (s+56.74) (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------(s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+2.356e004) (s+103.3) (s+101.4) (s+100.7) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) >> FTB2=minreal(FTB2) Zero/pole/gain: 0.13088 (s+9.663e005) (s+3.726e005) (s+9.304e00 4) (s+2.356e004)^2 (s+107.2) (s+101.4) (s+100.8)--------------------------------------------------- ----------------------------------------------------(s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+2.356e004) (s+103.3) (s+101.4) (s+100.7) (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) >> [A,B,C,D]=linmod('casobasecentro2')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A =
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 10 of 20
1.0e+006 * -0.0001 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0.0114 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0114 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0.0000 -1.2257 0 -0.0961 0.0960 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 3.6771 0 0.2881 -0.2881 -0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0002 -0.0002 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 -3.6956 0 0.0000 0.0000 -0.2881 0.2881 -0.0000 -0.0002 0.0002 -0.0000 -0.0000 0 1.2319 0 -0.0000 -0.0000 0.0960 -0.0961 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0003 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000 0.0003 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.3559 C = 0.0128 0 0 0 0.0005 0.0005 -0.0005 0 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 D =
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 11 of 20
0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> GB2=tf(num,den) Transfer function: -117.8 s^11 - 9.34e007 s^10 - 2.061e013 s^9 - 8.301 e017 s^8 - 9.505e021 s^7 - 4.774e024 s^6 - 1.027e027 s^5 - 1.212e029 s^4 - 8.441e030 s^3 - 3.47e032 s^2 - 7.801e033 s - 7.404e034 --------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------- s^12 + 7.693e005 s^11 + 1.568e011 s^10 + 3.353e01 5 s^9 + 1.708e018 s^8 + 3.821e020 s^7 + 4.956e022 s^6 + 4.175e024 s^5 + 2.399e026 s^4 + 9.363e027 s^3 + 2.319e029 s^2 + 3.09e030 s + 1.432e031 >> GB2=zpk(GB2) Zero/pole/gain: -117.7953 (s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+ 2.356e004)^2 (s+101.4) (s+101.4) (s+100) (s+56.74)^2 (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------(s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+2.356e004) (s+103.3) (s+101.4) (s+100.7) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) >> GB2=minreal(GB2) Zero/pole/gain:-117.7953 (s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+2.356e004) (s+101.4) (s+101.4) (s+100) (s+56.74)--------------------------------------------------- --------------------------------------(s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+103.3) (s+101.4) (s+ 100.7) (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) >> GTB2=GB2/FTB2 Zero/pole/gain: -900.0567 (s+3.726e005)^4 (s+2.356e004)^2 (s+103.3) (s+101.4)^3 (s+100.7) (s+100) (s+56.74) (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) --------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 12 of 20
(s+3.726e005)^3 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.3 56e004)^2 (s+107.2) (s+103.3) (s+101.4)^2 (s+100.8) (s+100.7) (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) >> GTB2=minreal(GTB2) Zero/pole/gain: -900.0567 (s+3.726e005)^4 (s+2.356e004)^2 (s+1 01.4) (s+100) (s+56.74)--------------------------------------------------- ----------------------------(s+3.726e005)^3 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.35 6e004)^2 (s+107.2) (s+100.8) >> [A,B,C,D]=linmod('casoimposible')Warning: Using a default value of 0.06 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+007 * Columns 1 through 13 0.0031 0 0 0 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0.0031 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0.0025 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0.0030 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0025 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0.0030 0 0 0 0 0 0 -1.0070 0 0 0 0 0.0000 0 -0.0288 0.0288 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0070 0 0 0 -0.8090 0.0000 0 0.0288 -0.0576 0.0288 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 -1.0070 0 0 0.8090 0.0000 0 0.0000 0.0288 -0.0576 0.0288 -0.0000 -0.0000 0 1.0070 0 0 0 -0.0000 0 0.0000 0.0000 0.0288 -0.0288 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 -0.8090 0 0 0.0000 0 0
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 13 of 20
0 0 0.0000 0.0000 -0.0288 0 0 0.8090 0 0 -0.0000 -0.9513 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0288 0 0 0 -0.9505 0 -0.0000 0.9513 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.9505 0 -0.0000 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 Columns 14 through 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0288 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0576 0.0288 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0288 -0.0576 0.0288 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0288 -0.0288 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0.0000 -0.0012 -0.0012 0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0012 -0.0012 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 14 of 20
0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.1056 C = Columns 1 through 13 0 0 0 0 0 32.9967 0 0 0 0 1.0000 1.0000 -1.0000 Columns 14 through 20 0 0 0 -1.0000 0.0006 -0.0006 0.0000 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FTB3=tf(num,den) Transfer function: 0.117 s^19 + 4.693e005 s^18 + 7.51e011 s^17 + 6.119 e017 s^16 + 2.689e023 s^15 + 6.243e028 s^14 + 7.103e033 s^13 + 3.671e038 s^12 + 8.456e042 s^11 + 7.358e0 46 s^10 + 6.284e049 s^9 + 2.486e052 s^8 + 5.825e054 s^7 + 8.896e056 s^6 + 9.225e058 s^5 + 6. 567e060 s^4 + 3.165e062 s^3 + 9.874e063 s^2 + 1.799e065 s + 1.452e066 --------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------s^20 + 3.309e006 s^19 + 4.243e012 s^18 + 2.656e018 s^17 + 8.404e023 s^16 + 1.265e029 s^15 + 8.016e033 s^14 + 1.339e038 s^13 + 1.221e041 s^12 + 5.162e043 s^11 + 1.32e04 6 s^10 + 2.276e048 s^9 + 2.799e050 s^8 + 2.535e052 s^7 + 1.72e054 s^6 + 8.769e055 s^5 + 3 .319e057 s^4 + 8.993e058 s^3 + 1.622e060 s^2 + 1.679e061 s + 6.91e061
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 15 of 20
>> FTB3=zpk(FTB3) Zero/pole/gain: 0.11697 (s+1.12e006) (s+9.551e005) (s+8.005e005) (s +5.467e005) (s+3.586e005) (s+1.403e005) (s+4.322e004) (s+2.356e004)^2 (s+129.4) (s+109.5) (s+104) (s+56.74) (s+ 49.61) (s+49.6) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) --------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------(s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447e0 05) (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+2.356e004) (s+114) (s+109.5) (s+99.99) (s+56.74) (s+9.629) (s^2 + 99.21s + 2461) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) >> FTB3=minreal(FTB3) Zero/pole/gain: 0.11697 (s+104) (s+109.5) (s+129.4) (s+49.61) (s+ 49.6) (s+2.356e004)^2 (s+4.322e004) (s+1.403e005) (s+3.586e005) (s+5.467e005) (s+8.005e005) (s+9.551e 005) (s+1.12e006) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) --------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------(s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447e0 05) (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+2.356e004) (s+114) (s+109.5) (s+99.99) (s+9.629) (s^2 + 99.21s + 2461) ( s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) >> [A,B,C,D]=linmod('casoimposible2')Warning: Using a default value of 0.06 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+007 *
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 16 of 20
Columns 1 through 13 0.0031 0 0 0 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0.0031 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0.0025 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0.0030 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0025 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0.0030 0 0 0 0 0 0 -1.0070 0 0 0 0 0.0000 0 -0.0288 0.0288 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0070 0 0 0 -0.8090 0.0000 0 0.0288 -0.0576 0.0288 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 -1.0070 0 0 0.8090 0.0000 0 0.0000 0.0288 -0.0576 0.0288 -0.0000 -0.0000 0 1.0070 0 0 0 -0.0000 0 0.0000 0.0000 0.0288 -0.0288 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 -0.8090 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0288 0 0 0.8090 0 0 -0.0000 -0.9513 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0288 0 0 0 -0.9505 0 -0.0000 0.9513 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.9505 0 -0.0000 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 Columns 14 through 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 17 of 20
0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0288 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0576 0.0288 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0288 -0.0576 0.0288 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0288 -0.0288 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0.0000 -0.0012 -0.0012 0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0012 -0.0012 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.1056 C = Columns 1 through 13 0 0 0 0 0 0.0165 0 0 0 0 0.0005 0.0005 -0.0005 Columns 14 through 20 0 0 0 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 D = 0
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 18 of 20
>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> GB3=tf(num,den) Transfer function: -105.3 s^19 - 3.508e008 s^18 - 4.549e014 s^17 - 2.9 01e020 s^16 - 9.506e025 s^15 - 1.54e031 s^14 - 1.158e036 s^13 - 3.398e040 s^12 - 3.451e044 s^11 - 3.079e0 47 s^10 - 1.281e050 s^9 - 3.198e052 s^8 - 5.292e054 s^7 - 6.079e056 s^6 - 4.942e058 s^5 - 2.84e060 s^4 - 1.13e062 s^3 - 2.964e063 s^2 - 4.609e064 s - 3.219e065 --------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------s^20 + 3.309e006 s^19 + 4.243e012 s^18 + 2.656e018 s^17 + 8.404e023 s^16 + 1.265e029 s^15 + 8.016e033 s^14 + 1.339e038 s^13 + 1.221e041 s^12 + 5.162e043 s^11 + 1.32e04 6 s^10 + 2.276e048 s^9 + 2.799e050 s^8 + 2.535e052 s^7 + 1.72e054 s^6 + 8.769e055 s^5 + 3 .319e057 s^4 + 8.993e058 s^3 + 1.622e060 s^2 + 1.679e061 s + 6.91e061 >> GB3=zpk(GB3) Zero/pole/gain: -105.2785 (s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447e005) (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+2.356e004)^2 (s+99.81) (s+56.75) (s+56.74) (s+49.61) (s+49.6) (s^2 + 219s + 1.199e004) (s^2 + 205.8s + 1.059e004) (s^2 + 202.2s + 1.022e004) --------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------- (s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447 e005) (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+2.356e004) (s+114) (s+109.5) (s+99.99) (s+56.74) (s+9.629) (s^2 + 99.2 1s + 2461) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) >> GB3=minreal(GB3) Zero/pole/gain: -105.2785 (s+99.81) (s+56.75) (s+56.74) (s+49.61) ( s+49.6) (s+2.356e004) (s+1.
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 19 of 20
402e005) (s+1.404e005) (s+5.447e005) (s+5.487e005) (s+9.55e005) (s+9.552e005) (s ^2 + 219s + 1.199e004) (s^2 + 205.8s + 1.059e004) (s^2 + 202.2s + 1.022e004) --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- (s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447e 005) (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+114) (s+109.5) (s+99.99) (s+56.74) (s+9.629) (s^2 + 99.21s + 2461) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) >> GTB3=GB3/FTB3 Zero/pole/gain: -900.0567 (s+109.5)^3 (s+114) (s+99.99) (s+99.81) (s+56.75) (s+56.74) (s+49.6)^4 (s+9.629) (s+2.356e004)^2 (s+1.402e005)^2 (s+1.404e005)^2 (s+5.447e005)^2 (s+5.487e 005)^2 (s+9.551e005)^4 (s^2 + 205.8s + 1.059e004) (s^2 + 202.2s + 1.022e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) --------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------(s+9.551e005)^3 (s+1.12e006) (s+8.005e005) (s+5.487 e005) (s+5.467e005) (s+5.447e005) (s+3.586e005) (s+1.404e005) (s+1.403e005) (s+1.402e005) (s+4.322e004) ( s+2.356e004)^2 (s+129.4) (s+114) (s+109.5) (s+109.5) (s+104) (s+99.99) (s+56.74) (s+49.6)^4 (s+9.629) (s ^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) >> GTB3=zpk(GTB2) Zero/pole/gain: -900.0567 (s+3.726e005)^4 (s+2.356e004)^2 (s+1 01.4) (s+100) (s+56.74)--------------------------------------------------- ----------------------------(s+3.726e005)^3 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.35 6e004)^2 (s+107.2) (s+100.8) >> GTB3=minreal(GTB3) Zero/pole/gain: -900.0567 (s+3.726e005)^4 (s+2.356e004)^2 (s+1 01.4) (s+100) (s+56.74)--------------------------------------------------- ----------------------------
31/08/09 1:21 MATLAB Command Window 20 of 20
(s+3.726e005)^3 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.35 6e004)^2 (s+107.2) (s+100.8) >>
1/09/09 13:31 MATLAB Command Window 1 of 7
>> Td Td = 0.0490 >> Ti Ti = 0.2484 >> N N = 22.3049 >> K K = 1.1039e-004 >> PD=tf([Td 0],[Td/N 1]) Transfer function: 0.04898 s--------------0.002196 s + 1 >> PI=tf([1],[Ti 0]) Transfer function: 1--------0.2484 s >> L1=((PI+1)*K*FT1)/(1+K*FT1*(PD+1+PI))*GT1 Zero/pole/gain: -0.013635 s (s+4.025) (s+8.301) (s+56.74) (s+100) (s+100.7) (s+101.7) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+2.672e005) (s^2 + 48.64s + 3661) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+2.356e004)^4 (s+2.672e005) (s+466.1) (s+101.7) (s+101.1) (s+100.7) (s+10.82) (s+8.301) (s+4.335) (s^2 + 48.64s + 3661)
1/09/09 13:31 MATLAB Command Window 2 of 7
(s^2 + 30.74s + 8041) >> L1=minreal(L1) Zero/pole/gain: -0.013635 (s+4.025) (s+56.74) (s+100) (s+455.4) (s+2.356e004)^5-----------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004)^4 (s+466.1) (s+101.1) (s+10.82) (s+4.335) (s^2 + 30.74s + 8041) >> L2=((PI+1)*K*FT2)/(1+K*FT2*(PD+1+PI))*GT2 Zero/pole/gain: -0.013753 s (s+4.025) (s+8.184) (s+56.74) (s+101.8) (s+102) (s+102.2) (s+455.4) (s+2.356e004) (s+2.183e005) (s+2.776e005)^3 (s^2 + 49.28s + 3738) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- s (s+2.776e005)^3 (s+2.183e005) (s+466.5) (s+102.2) (s+102.1) (s+102) (s+10.76) (s+8.184) (s+4.378) (s^2 + 49.28s + 3738) (s^2 + 31.14s + 8268) >> L2=minreal(L2) Zero/pole/gain:-0.013753 (s+4.025) (s+56.74) (s+101.8) (s+455.4) (s+2.356e004) (s+2.776e005)^3------------------------------------------------------------------------------- (s+2.776e005)^3 (s+466.5) (s+102.1) (s+10.76) (s+4.378) (s^2 + 31.14s + 8268) >> L3=((PI+1)*K*FT3)/(1+K*FT3*(PD+1+PI))*GT3 Zero/pole/gain:-0.013872 s (s+4.025) (s+8.144) (s+56.74) (s+455.4) (s+2.356e004) (s^2 + 49.51s + 3765)--------------------------------------------------------------------------------------- s (s+466.7) (s+10.74) (s+8.144) (s+4.399) (s^2 + 49.51s + 3765) (s^2 + 31.2s + 8374) >> L21=((PI+1)*K*FT21)/(1+K*FT21*(PD+1+PI))*GT21 Zero/pole/gain: -0.013392 s (s+4.025) (s+8.481) (s+56.74) (s+100) (s+101.5) (s+103.7) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+2.559e005)
1/09/09 13:31 MATLAB Command Window 3 of 7
(s^2 + 47.67s + 3548) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+2.356e004)^4 (s+2.559e005) (s+465.4) (s+103.7) (s+102.3) (s+101.5) (s+10.92) (s+8.481) (s+4.265) (s^2 + 47.67s + 3548) (s^2 + 30.16s + 7691) >> L21=minreal(L21) Zero/pole/gain: -0.013392 (s+4.025) (s+56.74) (s+100) (s+455.4) (s+2.356e004)^5-----------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004)^4 (s+465.4) (s+102.3) (s+10.92) (s+4.265) (s^2 + 30.16s + 7691) >> L22=((PI+1)*K*FT22)/(1+K*FT22*(PD+1+PI))*GT22 Zero/pole/gain: -0.025896 s (s+4.025) (s+8.144) (s+56.74) (s+56.76) (s+101.8) (s+455.4) (s+3862) (s-4619) (s+2.356e004) (s+2.775e005)^4 (s^2 + 49.51s + 3765) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+8.144) (s+10.69) (s+4.364) (s+56.74) (s+102.7) (s+466.4) (s-3.403e004) (s+2.775e005)^3 (s^2 + 49.51s + 3765) (s^2 + 31.63s + 8228) (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008) >> L22=minreal(L22) Zero/pole/gain: -0.025896 (s+4.025) (s+56.74) (s+56.76) (s+101.8) (s+455.4) (s+3862) (s-4619) (s+2.356e004) (s+2.775e005)^4------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+10.69) (s+4.364) (s+56.74) (s+102.7) (s+466.4) (s-3.403e004) (s+2.775e005)^3 (s^2 + 31.63s + 8228) (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008) >> L23=((PI+1)*K*FT23)/(1+K*FT23*(PD+1+PI))*GT23 Zero/pole/gain: -0.013872 s (s+4.025) (s+8.144) (s+49.6)^4 (s+56.75)^4 (s+99.86) (s+100)^4 (s+100.
1/09/09 13:31 MATLAB Command Window 4 of 7
1) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+2.13e015) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 49.51s + 3765) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+2.356e004)^4 (s+466.7) (s+100.1) (s+100.1) (s+100)^2 (s+99.91) (s+99.86) (s+56.75)^3 (s+49.6)^2 (s+10.74) (s+8.144) (s+4.399) (s+2.13e015) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 49.51s + 3765) (s^2 + 31.2s + 8374) >> L23=minreal(L23) Zero/pole/gain: -0.013872 (s+4.025) (s+49.6)^2 (s+56.74)^2 (s+100)^2 (s+455.4) (s+2.356e004)-----------------------------------------------------------------------------------------------------(s+466.7) (s+100.1) (s+99.91) (s+56.75) (s+10.74) (s+4.399) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 31.2s + 8374) >> LB1=((PI+1)*K*FTB1)/(1+K*FTB1*(PD+1+PI))*GTB1 Zero/pole/gain: -0.013387 s (s+4.025) (s+8.354) (s+49.47) (s+49.6)^4 (s+49.74) (s+56.74)^4 (s+100.9)^4 (s+101.8)^3 (s+102.7) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+1.188e005) (s+2.771e005)^3 (s+2.773e005) (s+2.775e005)^3 (s+4.899e005) (s+5.654e005)^7 (s+4.107e014) (s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) (s^2 + 48.33s + 3627) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+5.654e005)^7 (s+4.899e005) (s+2.775e005)^3 (s+2.773e005) (s+2.771e005)^3 (s+1.188e005) (s+2.356e004)^4 (s+465.8) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74)^3 (s+49.74) (s+49.71) (s+49.6)^2 (s+49.51) (s+49.47) (s+10.83) (s+8.354) (s+4.299) (s+4.107e014) (s^2 + 206.7s + 1.069e004) (s^2 + 200.2s + 1.002e004) (s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) (s^2 + 48.33s + 3627) (s^2 + 30.71s + 7876) >> LB2=((PI+1)*K*FTB2)/(1+K*FTB2*(PD+1+PI))*GTB2
1/09/09 13:31 MATLAB Command Window 5 of 7
Zero/pole/gain: -0.013003 s (s+4.025) (s+8.724) (s+56.74) (s+100) (s+100.7) (s+100.8) (s+101.4)^3 (s+103.3) (s+107.2) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+9.304e004) (s+3.726e005)^7 (s+9.663e005) (s^2 + 46.39s + 3406) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+3.726e005)^7 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.356e004)^4 (s+464.5) (s+107.2) (s+104.6) (s+103.3) (s+101.4)^2 (s+100.8)^3 (s+11.04) (s+8.724) (s+4.165) (s^2 + 46.39s + 3406) (s^2 + 29.42s + 7232) >> LB2=minreal(LB2) Zero/pole/gain: -0.013003 (s+4.025) (s+56.74) (s+100) (s+101.4)^3 (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+3.726e005)^7-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+3.726e005)^7 (s+2.356e004)^4 (s+464.5) (s+104.6) (s+101.4)^2 (s+100.8) (s+11.04) (s+4.165) (s^2 + 29.42s + 7232) >> LB3=((PI+1)*K*FTB3)/(1+K*FTB3*(PD+1+PI))*GTB3 Zero/pole/gain: -0.011621 s (s+4.025) (s+9.629) (s+49.6)^4 (s+56.74) (s+99.99) (s+100) (s+101.4) (s+104) (s+109.5) (s+109.5) (s+114) (s+129.4) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+4.322e004) (s+1.402e005) (s+1.403e005) (s+1.404e005) (s+3.586e005) (s+3.726e005)^4 (s+5.447e005) (s+5.467e005) (s+5.487e005) (s+8.005e005) (s+9.551e005)^3 (s+1.12e006) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- s (s+9.551e005)^4 (s+9.663e005) (s+5.487e005)^2 (s+5.447e005)^2 (s+3.726e005)^3 (s+1.404e005)^2 (s+1.402e005)^2 (s+9.304e004) (s+2.356e004)^4 (s+461.6) (s+117.4) (s+114) (s+109.5) (s+109.5) (s+107.2) (s+100.8) (s+100.3) (s+99.99) (s+49.6)^4 (s+11.49) (s+9.629) (s+3.798) (s^2 + 207.1s + 1.073e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004)
1/09/09 13:31 MATLAB Command Window 6 of 7
(s^2 + 202.7s + 1.027e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) (s^2 + 26.01s + 5817) >> LB3=((PI+1)*K*FTB3)/(1+K*FTB3*(PD+1+PI))*GTB3 Zero/pole/gain: -0.011621 s (s+4.025) (s+9.629) (s+49.6)^4 (s+56.74) (s+99.99) (s+100) (s+101.4) (s+104) (s+109.5) (s+109.5) (s+114) (s+129.4) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+4.322e004) (s+1.402e005) (s+1.403e005) (s+1.404e005) (s+3.586e005) (s+3.726e005)^4 (s+5.447e005) (s+5.467e005) (s+5.487e005) (s+8.005e005) (s+9.551e005)^3 (s+1.12e006) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- s (s+9.551e005)^4 (s+9.663e005) (s+5.487e005)^2 (s+5.447e005)^2 (s+3.726e005)^3 (s+1.404e005)^2 (s+1.402e005)^2 (s+9.304e004) (s+2.356e004)^4 (s+461.6) (s+117.4) (s+114) (s+109.5) (s+109.5) (s+107.2) (s+100.8) (s+100.3) (s+99.99) (s+49.6)^4 (s+11.49) (s+9.629) (s+3.798) (s^2 + 207.1s + 1.073e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.7s + 1.027e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) (s^2 + 26.01s + 5817) >> LB3=minreal(LB3) Zero/pole/gain: -0.011621 (s+101.4) (s+100) (s+104) (s+109.5) (s+129.4) (s+56.74) (s+455.4) (s+4.025) (s+2.356e004)^5 (s+4.322e004) (s+1.403e005) (s+3.586e005) (s+3.726e005)^4 (s+5.467e005) (s+8.005e005) (s+9.551e005) (s+1.12e006) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+9.663e005) (s+5.487e005) (s+5.447e005) (s+3.726e005)^3 (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+9.304e004) (s+2.356e004)^4 (s+461.6) (s+117.4) (s+109.5) (s+107.2)
1/09/09 13:31 MATLAB Command Window 7 of 7
(s+100.8) (s+100.3) (s+11.49) (s+3.798) (s^2 + 207.1s + 1.073e004) (s^2 + 202.7s + 1.027e004) (s^2 + 26.01s + 5817) >>
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