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Tabla de Contenidos
· PARCC Preguntas de Muestra y Aplicaciones
· Triángulos
· Triángulos semejantes
Click sobre el tema para ir a la sección
· Teorema de la Suma de Triángulos· Teorema de los Ángulos Exteriores
· Inecuaciones en Triángulos
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A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.
MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática.MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas .MP6: Ser preciso.MP7: Buscar y hacer uso de la estructuraMP8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.
Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.
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Figuras Geométricas
Euclides hizo ahora la transición a figura geométrica, como la que está formada por un límite que separa el espacio que está dentro de la figura del que no lo está.
Definición 13. Un límite es aquello que está en el extremo de alguna cosa
Definición 14. Una figura es aquella contenida por cualquier límtes o límite.
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Sus definiciones 15 de 18 relacionadas a círculos, se discutirán más tarde. En este capítulo, discutiremos los triángulos que son un ejemplo de figuras rectilíneas: una figura limitada por líneas rectas.
Un triángulo está limitado por tres líneas.
Definición 19. Las figuras rectilíneas son aquellas contenidas por líneas rectas, siendo figuras trilaterales aquellas contenidas por tres, cuadriláteros aquellas contenidas por cuatro y multilaterales aquellas contenidas por más de cuatro líneas rectas.
Figuras Geométricas
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Partes de un triánguloCada triángulo tiene tres lados y tres vértices. Cada vértice es donde se encuentran los lados
Un par de lados y el vértice definen un ángulo, de modo que cada triángulo incluye tres ángulos.
Escribe "lado" junto a cada lado y marca con círculo los vértices sobre el triángulo de abajo.
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1 La letra sobre este triángulo que corresponde al lado es:
A
B
C
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2 La letra sobre este triángulo que representa al vértice es:
AB
C Res
pues
ta
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Partes de un triángulo
C
A B
Cada vértice se nombra con una letra.
Los lados pueden ser nombrados con las letras de los dos vértices o con la de el lado.
El triángulo es nombrado con un triángulo de símbolo adelante, seguido de las tres letras de los vértices.
Nombra los tres lados de este triángulo
______ ______ ______
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3 ¿Cuál es el nombre del lado mostrado en rojo?
A ABB BCC AC
C
A B
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4 ¿Cuál es el nombre del lado mostrado en rojo?
A AB
B BC
C AC
C
A B
Res
pues
ta
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5 ¿Cuál es el nombre de este triángulo?
A ΔABCB ΔBCAC ΔACB
C
A B
D ΔCABE todos
Res
pues
ta
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Partes de un triángulo
C
A B
Arriba el lado rojo es ________________ A,
mientras que los lados verdes son ________________ a A.
Un lado está opuesto al ángulo si éste no lo toca. De otra manera, es adyacente al ángulo..
Res
pues
ta
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6 ¿Qué lado está opuesto al ángulo B?
A AB
B CA
C BC
D Ninguno
C
A B
Res
pues
ta
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7 ¿Qué lado está opuesto al ángulo A?
A AB B CA
C BC D Ninguno
C
A B
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8 ¿Qué lados son adyacentes al ángulo C?
A AB & BC
B CA & BA
C BC & CAD Ninguno
C
A B
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9 ¿Qué lados son adyacentes al ángulo B?
A AB & BCB CA & BA C BC & CAD Ninguno
C
A B
Res
pues
ta
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Tipos de triángulos
En general un triángulo puede tener lados de diferentes longitudes y ángulos de diferentes medidas.
Sin embargo, hay nombres dados para triángulos que tienen ángulos especiales o algunos lados o ángulos iguales.
Euclides definió los nombres para un número de esos en sus definiciones.
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Definición 20: De figuras trilaterales, un triángulo equilátero es aquel que tiene sus tres lados iguales, un triángulo isosceles es aquel que tiene dos lados iguales y un triángulo escaleno tiene sus tres lados desiguales.
Clasificando triángulos
Los Triángulos pueden ser clasificados por sus lados o por sus ángulos.
En su definición, Euclides usó los lados.
En su siguiente definición, Euclides usó los ángulos.
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Definición 21: Más allá de las figuras trilaterales, un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, un triángulo obtusángulo es que tiene un ángulo obtuso y un triángulo acutángulo es el que
tiene sus tres ángulos agudos. .
Trabajaremos con ambas definiciones, ya que en muchos casos ambas aplican a los mismos triángulos.
Clasificando triángulos
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Triángulos agudos
En un triángulo acutángulos cada uno de sus ángulos es agudo.
Observa que en este triángulo no hay ángulos iguales o mayores a 90º .
Definición 21: "...un triángulo acutángulo es que tiene sus tres ángulos agudos."
Clasificando triángulos
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Triángulos rectángulos
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos.
Observa que sólo un ángulo tiene 90º, lo que significa que los otros dos suman 90º; y por lo tanto son agudos.
Al lado opuesto al ángulo recto se lo llama hipotenusa y a los otros dos lados se los llama catetos.
Definición 21: "...un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto..."
Clasificando triángulos
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Triángulo Isósceles
Un triángulo isósceles tiene dos lados de igual longitud.
Los ángulos opuestos a aquel formado por dos lados iguales son de la misma medida.
x x
Definición 20: "...Un triángulo isósceles es aquel que tiene dos de sus lados de igual longitud..."
Clasificando triángulos
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Triángulo Isósceles
A los ángulos iguales de medida x en el diagrama se los llama ángulos de la base. Al lado que está entre ellos se lo llama base.
A los otros dos lados, opuestos a los ángulos de la base y congruentes entre sí se los llama catetos.
Es un caso especial de triángulo acutángulo.
x x
Clasificando triángulos
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Triángulo obtusángulo
Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo que es mayor que 90º y dos ángulos agudos.
Observa que un ángulo es mayor que 90º, lo que significa que la suma de los otros dos es menor que 90º; y que son agudos..
Definición 21: "...un triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso..."
Clasificando triángulos
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Equiangular / Triángulo equilátero
Un triángulo equiangular o equilátero tiene los tres ángulos de igual medida y los lados de igual longitud.
Definición 20: "...un triángulo equilátero es el que tiene sus tres lados iguales..."
Todos los lados tienen la misma medida y todos los lados son de igual longitud.
Cada ángulo mide 60º.
Es un triángulo agudo especial.x x
x
Clasificando triángulos
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Triángulo Escaleno
Ninguno de los lados o ángulos de un triángulo escaleno son congruentes entre sí.
Definición 20: "...un triángulo escaleno es que que tiene sus tres lados desiguales..."
Observa que en este triángulo ninguno de sus lados o ángulos son iguales.
Clasificando triángulos
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10 Un triángulo isósceles es _______________ un triángulo equilátero
A Algunas vecesB SiempreC Nunca
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11 Un triángulo obtusángulo es _______________ triángulo isósceles.
A Algunas vecesB SiempreC Nunca R
espu
esta
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12 Un triángulo puede tener más de un ángulo obtuso.
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
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13 Un triángulo puede tener más de un ángulo recto.
TrueFalse
Res
pues
ta
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14 En un triángulo equilátero cada ángulo mide 60°
Verdadero
Falso Res
pues
ta
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15 Un triángulo equilátero también es un triángulo isósceles
Verdadero
Falso Res
pues
ta
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16 Este triángulo es clasificado como _____. (Marca todo lo que aplica)
A agudo
B recto
C isósceles
D obtuso
E equilátero
F equiangular
G escaleno
60º8.6
60º
60º8.68.6
Res
pues
ta
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17 Este triángulo es clasificado como _____. (Marca todo lo que aplica)
A agudo
B recto
C isósceles
D obtuso
E equilátero
F equiangular
G escaleno
57º
79º 44º
6.1 8.7
7.4
Res
pues
ta
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18 Este triángulo es clasificado como _____. (Marca todo lo que aplica.)
A agudo
B recto
C isósceles
D obtuso
E equilátero
F equiangular
G escaleno
26°
128° 26°
2.5
2.5
4.5
Res
pues
ta
Slide 39 / 224
19 Este triángulo es clasificado como _____. Marca todo lo que aplica.
A agudo
B recto
C isósceles
D obtuso
E equilátero
F equiangular
G escaleno
4.8 4.8
45° 45°
6.8
Res
pues
ta
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Mide y clasifica el triángulo por sus lados y ángulosEjemplo
isósceles, agudoClick para la respuesta
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Mide y clasifica el triángulo por sus lados y ángulosEjemplo
escaleno, obtusoClick para la respuesta
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Mide y clasifica el triángulo por sus lados y ángulosEjemplo
escaleno, agudoClick para la respuesta
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20 Clasifica el triángulo a partir de la información dada: Longitud de los lados: 3 cm, 4 cm, 5 cm
A EquiláteroB IsóscelesC Escaleno
D AgudoE EquiangularF RectoG Obtuso R
espu
esta
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21 Clasifica el triángulo a partir de la información dada: Longitudes de lado: 3 cm, 2 cm, 3 cm
A EquiláteroB IsóscelesC Escaleno
D Agudo
E Equiangular
F Recto
G Obtuso
Res
pues
ta
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22 Clasifica el triángulo a partir de la información dada: Longitudes del lado: 5 cm, 5 cm, 5 cm
A EquiláteroB IsóscelesC Escaleno
D AgudoE EquiangularF RectoG Obtuso
Res
pues
ta
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23 Clasifica el triángulo a partir de la información dada: Medidas de los ángulos: 25°, 120°, 35°
A EquiláteroB IsóscelesC Escaleno
D AgudoE EquiangularF RectoG Obtuso
Res
pues
ta
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24 Clasifica el triángulo a partir de la información dada: Medidas de los ángulos: 30°, 60°, 90°
A EquiláteroB IsóscelesC Escaleno
D AgudoE EquiangularF RectoG Obtuso
Res
pues
ta
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25 Clasifica el triángulo a partir de la información dada: Longitud de los lados: 3 cm, 4 cm, 5 cmMedidas de los ángulos: 37°, 53°, 90°
A EquiláteroB IsóscelesC Escaleno
D AgudoE EquiangularF RectoG Obtuso
Res
pues
ta
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26 Clasifica el triángulo a partir de sus lados y ángulos
A EquiláteroB IsóscelesC EscalenoD AgudoE EquiangularF RectoG Obtuso
AB
120°
C
Res
pues
ta
Slide 50 / 224
L
MN
27 Clasifica el triángulo a partir de sus lados y ángulos
A EquiláteroB IsóscelesC EscalenoD AgudoE EquiangularF RectoG Obtuso
Res
pues
ta
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H
J
K45°
85°
50°
28 Clasifica el triángulo a partir de sus lados y ángulos
A EquiláteroB IsóscelesC EscalenoD AgudoE EquiangularF RectoG Obtuso
Res
pues
ta
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Teorema de la Suma de Triángulos
A
B C
Podemos usar lo que aprendimos sobre las rectas paralelas para determinar la suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo.
Primero, vamos a trazar dos rectas paralelas. La primera entre la base del triángulo y la otra pasando por el vértice opuesto.
Slide 54 / 224
Y extender AB para hacerla transversal.
Luego, vamos a nombrar algunos de los ángulos.
A
B C
x
x
y
y
Teorema de la Suma de Triángulos
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29 ¿Cuál es el nombre para el par de ángulos nombrado como x y qué relación hay entre ellos?
A exteriores de afuera, son desigualesB interiores alternos, son desigualesC interiores alternos, son igualesD exteriores de afuera, son iguales
¿Esto es igual para el par de ángulos nombrados como y?
Res
pues
ta
Slide 56 / 224
A
B C
Por lo tanto, ambos ángulos etiquetados como x son iguales y los dos pueden ser llamados x y tienen igual medida que B.
x
x
Repite el mismo proceso con el lado AC y calcula el ángulo a lo largo de la paralela de arriba que es igual al ángulo C.
Teorema de la Suma de Triángulos
Slide 57 / 224
A
B C
x
x
y
y
Vamos a volver a nombrar a los ángulos con A, B y C.
Teorema de la Suma de Triángulos
Slide 58 / 224
A
B C
La suma de aquellos ángulos a lo largo de la recta paralela superior es igual a 180º, de modo que A + B + C = 180º
B C
No hacemos suposiciones especiales sobre este triángulo, de manera que esta demostración aplica a todos los triángulos: la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.
Teorema de la Suma de Triángulos
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La medida de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°
Click aquí para ir al laboratorio llamando "Teorema de la suma de Triángulos".
A
B C
Teorema de la Suma de Triángulos
Prác
tica
de M
atem
átic
a
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Ejemplo: Teorema de la Suma de Triángulos
32º
J
K L 20º
Calcula la medida del ángulo que falta.
Res
pues
ta
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30 ¿Cuál es la m∠B?
A B
C
52°
53°
Res
pues
ta
Slide 62 / 224
31 ¿Cuál es la medida del ángulo que falta?
57°L
M
N
Res
pues
ta
Slide 63 / 224
32 En ΔABC, si m∠ B es 84° y m∠ C es 36°, ¿cuál es la m∠ A?
Res
pues
ta
Slide 64 / 224
33 En el ΔDEF, si m∠ D es 63° y la m∠ E es 12°, calcula la m∠ F.
Res
pues
ta
Slide 65 / 224
Resuelve para x
55°
(12x+8)°
(8x-3)°P
Q
R
Ejemplo
Res
pues
ta
Slide 66 / 224
Q
R
S2x° 5x°
8x°34 Resuelve para x.
Entonces calcula: m∠ Q =
m∠ R =
m∠ S =
Res
pues
ta
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35 ¿Cuál es la medida de ∠ B?
C
B
A
(3x-17)0
(x+40)0 (2x-5)0
Res
pues
ta
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Corolario para el Teorema de la Suma de Triángulos
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.
A
B
C
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Dado: Triángulo ABC es un triángulo rectángulo
Demostración: sus ángulos agudos, ángulos B y C, son complementarios
A
B
C
Demostración del Corolario del Teorema de la Suma de Triángulos
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36 ¿Qué razón aplica al paso 1?A Propiedad de Sustracción de la IgualdadB Propiedad de Sustitución de la IgualdadC DadoD Definición de Triángulo Rectángulo E Definición de un ángulo recto
A
B
C
Afirmación Razón
1 E triángulo ABC es un triángulo rectángulo ?
2 Los Triángulos Rectángulos contienen un ángulo recto. ?
3 ?Teorema de los ángulos
interiores4 m∠ A = 90º ?
5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ?
6 m∠ B + m∠ C = 90º ?
7 ? Definición de complementario
Res
pues
ta
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37 ¿Qué razón aplica al paso 2?
A
B
C
Afirmación Razón
1 El triángulo ABC es un triángulo rectángulo ?
2 Los triángulos rectángulos contienen un ángulo recto. ?
3 ?Teorema de los ángulos
interiores4 m∠ A = 90º ?
5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ?
6 m∠ B + m∠ C = 90º ?
7 ? Definición de complementario
A Propiedad de Sustracción de la IgualdadB Propiedad de Sustitución de la IgualdadC DadoD Definición de Triángulo Rectángulo E Definición de un ángulo recto R
espu
esta
D Definición de triángulo rectángulo
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38 ¿Qué razón aplica al paso 3?
A
B
C
A La medida de un ángulo llano es 180ºB m∠A + m∠B + m∠C = 180ºC m∠B + m∠C = 90ºD m∠B + m∠C = 180ºE ∠A es un ángulo recto
Afirmación Razón
1 El triángulo ABC es un triángulo rectángulo ?
2 Los triángulos rectángulos contienen un ángulo recto. ?
3 ?Teorema de los ángulos
interiores4 m∠ A = 90º ?
5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ?
6 m∠ B + m∠ C = 90º ?
7 ? Definición de complementario
Res
pues
ta B m∠A + m∠B + m∠C = 180º
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39 ¿Qué razón aplica al paso 4?
A
B
C
Afirmación Razón
1 El triángulo ABC es un triángulo rectángulo ?
2 Un triángulo rectángulo contiene un ángulo recto. ?
3 ?Teorema de los ángulos
interiores4 m∠ A = 90º ?
5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ?
6 m∠ B + m∠ C = 90º ?
7 ? Definición de complementario
A Propiedad de Sustracción de la IgualdadB Propiedad de Sustitución de la IgualdadC DadoD Definición de Triángulo Rectángulo E Definición de un ángulo recto R
espu
esta E Definición de ángulo
recto
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40 ¿Qué razón aplica al paso 5?
A
B
C
Afirmación Razón
1 El triángulo ABC es un triángulo rectángulo ?
2 Un triángulo rectángulo contiene un ángulo recto ?
3 ?Teorema de los ángulos
interiores4 m∠ A = 90º ?
5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ?
6 m∠ B + m∠ C = 90º ?
7 ? Definición de complementario
A Propiedad de Sustracción de la IgualdadB Propiedad de Sustitución de la IgualdadC DadoD Definición de Triángulo Rectángulo E Definición de un ángulo recto R
espu
esta B Propiedad de
Sustitución de la Igualdad
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41 ¿Qué razón aplica al paso 6?
A
B
C
Afirmación Razón
1 El triángulo ABC es un triángulo rectángulo ?
2 Un triángulo rectángulo contiene un ángulo recto. ?
3 ? Teorema de los ángulos interiores
4 m∠ A = 90º ?
5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ?
6 m∠ B + m∠ C = 90º ?
7 ? Definición de complementario
A Propiedad de Sustracción de la IgualdadB Propiedad de Sustitución de la IgualdadC DadoD Definición de Triángulo Rectángulo E Definición de un ángulo recto R
espu
esta A Propiedad de
Sustracción de la Igualdad
Slide 76 / 224
42 ¿Qué razón aplica al paso 7?
A
B
C
Afirmación Razón
1 El triángulo ABC es un triángulo rectángulo ?
2 Un triángulo rectángulo contiene un ángulo recto. ?
3 ?Teorema de los ángulos
interiores4 m∠ A = 90º ?
5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ?
6 m∠ B + m∠ C = 90º ?
7 ? Definición de complementario
A La medida de un ángulo recto es 180ºB La suma de los ángulos interiores de un
triángulo es 180ºC Los ángulos agudos son complementariosD Los ángulos agudos son suplementariosE ∠A es un ángulo recto
Res
pues
ta C Los ángulos agudos son complementarios
Slide 77 / 224
A
B
C
Dado: El triángulo ABC es un triángulo rectángulo
Prueba: Sus ángulos agudos, ángulos B y C, son complementarios
Afirmación Razòn
1 El triángulo ABC es un triángulo rectángulo Dado
2 Un triángulo rectángulo contiene un ángulo recto.
Definición de triángulo rectángulo
3 m∠A + m∠B + m∠C = 180ºTeorema de los ángulos
interiores4 m∠A = 90º Definición de ángulo recto
5 90º + m∠B + m∠C = 180º Propiedad de sustitución de la igualdad
6 m∠B + m∠C = 90ºPropiedad de sustracción
de la igualdad
7 Los ángulos agudos son complementarios
Definición de complementario
Demostración del Corolario del Teorema de la Suma de Triángulos
Slide 78 / 224
Ejemplo
La medida de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es cinco veces la medida del otro ángulo agudo.
Calcula la medida de cada ángulo agudo.
Res
pues
ta
Slide 79 / 224
43 En un triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es 90°.
Verdadero
Falso
Slide 80 / 224
44 ¿Cuál es la medida del ángulo que falta?
57°L
M
N
Slide 81 / 224
45 Resuelve para x.
A
B CCB
A¿Cuáles son las medidas de los tres ángulos?x+57 = 90º
x = 33º
Slide 82 / 224
46 Resuelve para x.
¿Cuáles son las medidas de los tres ángulos?
Slide 83 / 224
47 m∠1 + m∠2 =
1
23
A
Res
pues
ta
Slide 84 / 224
48 m∠1 + m∠3 =
1
23
Res
pues
ta
Slide 85 / 224
20°
X°
49 Calcula el valor de x en el diagrama
Res
pues
ta
Slide 87 / 224
Los ángulos exteriores están formados por la extensión de un lado cualquiera de un triángulo.
El ángulo exterior es entonces el ángulo entre el lado extendido y el lado más cercano del triángulo.
Abajo se muestra un lado exterior.
Tómate un momento y traza otro.
Ángulos Exteriores
A
B Cxº
Slide 88 / 224
Ya que un triángulo tiene tres vértices y dos ángulos externos puede ser trazado en cada vértice, es posible trazar seis ángulos externos al triángulo.
Traza el otro ángulo externo al vértice A.
A
B C
xº
Ángulos Exteriores
Slide 89 / 224
A
B C
xºxº
Los ángulos exteriores en cada vértice son congruentes, ya que son ángulos verticales u opuestos por el vértice.
Ángulos Exteriores
Slide 90 / 224
Los ángulos interiores de un triángulo son ∠A, ∠ABC y ∠C.
Una vez que se traza un ángulo exterior, un ángulo interior es adyacente y los otros dos son remotos.
Ya que se puede trazar ángulos exteriores en cualquier vértice, cualquier ángulo anterior puede ser remoto dependiendo sobre qué vértice se traza el ángulo externo.
Ángulos Interiores Remotos
A
B C
En este caso, ∠A y ∠C son los ángulos interiores remotos y ∠ABC es el ángulo adyacente interior
xº
Slide 91 / 224
50 ¿Cuáles son los ángulos interiores remotos en este ejemplo?
A ∠A y ∠BB ∠A y ∠CC ∠B y ∠C
A
B C
xºxº
Slide 92 / 224
51 Si AB es una línea recta, ¿Cuál es la suma de ∠2 y ∠1?
1A B
2
Slide 93 / 224
52 En este diagrama, ¿cuál es la suma de P, Q y R?
P
R Q Res
pues
ta
Slide 94 / 224
A
B CD
La medida de cualquier ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de sus ángulos interiores remotos.
m∠DBA = m∠A + m∠C
ó
x = m∠A + m∠C
Teorema de los Ángulos Exteriores
xº
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Dado: ∠DBA es un ángulo exterior al ΔABC y ∠A y ∠C son ángulos remotos interiores.
Prueba: m∠DBA = m∠A + m∠C
Demostración del Teorema de los Ángulos Exteriores Remotos
A
B CD
xº
Slide 96 / 224
53 ¿Qué razón aplica al paso 2?A Los ángulos que forman un par lineal son suplementariosB Definición complementarioC Teorema de los ángulos interioresD Propiedad de sustitución de la igualdadE Definición de ángulo recto
A
B CD
xº
Afirmación Razón
1 ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y ∠ A y ∠ C son ángulos interiores remotos Dado
2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ?
3 ? Definición de suplementarios
4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?
5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + m∠ C ?
6 ?Propiedad de
sustracción de la igualdad
Res
pues
ta
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54 ¿Qué afirmación aplica al paso 3?A m∠DBA + m∠ABC = 180°B m∠DBA = m∠A + m∠C C m∠A + m∠B = 180° D m∠DBA + m∠A = 90°E m∠DBA + m∠A = 180°
A
B Cx
D
Afirmación Razón
1 ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y∠ A y ∠ C son ángulos interiores remotos Dado
2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ?
3 ? Definición de suplementario
4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?
5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + m∠ C ?
6 ?Propiedad de
sustracción de la igualdad
Res
pues
ta
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55 ¿Qué razón aplica al paso 4?
A
B Cx
D
Afirmación Razón
1 ∠ DBA es un ángulo exterior la ΔABC y ∠ A y ∠ C son ángulos interiores remotos Dado
2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ?
3 ? Definición de suplementario
4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?
5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + m∠ C ?
6 ?Propiedad de
sustracción de la igualdad
A Los ángulos que forman un par lineal son suplementariosB Definición de complementarioC Teorema de los ángulos interioresD Propiedad de sustitución de la igualdad
E Definición de ángulo recto
Res
pues
ta
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56 ¿Qué razones aplican al paso 5?
A
B Cx
D
Afirmación Razón
1 ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y ∠ A y ∠ C son ángulos interiores remotos Dado
2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ?
3 ? Definición de suplementario
4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?
5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + m∠ C ?
6 ?Propiedad de
sustracción de la igualdad
A Los ángulos que forman un par lineal son suplementariosB Definición complementarioC Teorema de los ángulos interioresD Propiedad de sustitución de la igualdadE Definición de ángulo recto R
espu
esta
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57 ¿Qué afirmaciones aplican al paso 6?A m∠DBA + m∠ABC = 180°B m∠DBA = m∠A + m∠C C m∠A + m∠B = 180° D m∠DBA + m∠A = 90°E m∠DBA + m∠A = 180°
A
B Cx
D
Afirmaciones Razón
1 ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y ∠ A y ∠ C son ángulos interiores remotos Dado
2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ?
3 ? Definición de suplementarios
4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?
5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + m∠ C ?
6 ?Propiedad de
sustracción de la igualdad
Res
pues
ta
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Afirmaciones Razón
1∠ DBA es un ángulo ΔABC y ∠ A y ∠ C son ángulos interiores remotos Dado
2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios
3 ∠ DBA + m∠ ABC = 180° Definición de suplementarios
4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° Teorema de los ángulos interiores
5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + m∠ C
Propiedad de sustitución de la igualdad
6 m∠ DBA = m∠ A + m∠ C Propiedad de sustracción de la igualdad
Demostración del Teorema de Ángulos ExterioresDado: ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y ∠ A y ∠ C son ángulos interiores remotos.
Prueba: m∠ DBA = m∠ A + m∠ C
A
B Cx
D
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58 En esta caso, ¿cuál debe ser la relación entre los ángulos interiores de ΔPQR y ∠1?
A m∠Q = m∠1B m∠1 = m∠PC m∠1 = m∠Q + m∠RD m∠1 = m∠P + m∠RE m∠1 = m∠Q + m∠P
1
P
R Q
Res
pues
ta
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59 En este caso, ¿cuál debe ser la relación entre los ángulos interiores de ΔPQR y ∠2?
A m∠Q = m∠2B m∠2 = m∠PC m∠2 = m∠Q + m∠RD m∠2 = m∠P + m∠RE m∠2 = m∠Q + m∠P
2P
R Q
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Ejemplo: usando el Teorema de los ángulos exteriores
140ºXº
Xº
P
QR
¿Cuál es el valor de x? Res
pues
ta
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EjemploResuelve para x e y.
21°
34°x° y° Res
pues
ta
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xº yº
75º
50º
EjemploResuelve para x e y.
Res
pues
ta
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60 Resuelve para x.
xº yº
60º
55º
Res
pues
ta
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61 Resuelve y.
xºyº
60º
55º
Res
pues
ta
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62 Calcula el valor de x.
2xº
yº
60º
94º
Res
pues
ta
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63 Calcula el valor de x.
(2x+3)º
yº100º
51º
Res
pues
ta
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64 Calcula el valor de x.
(x+2)°
y°(3x-5)°
33°
Res
pues
ta
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65 El segmento PS bisecta a ∠RST, ¿cuál es el valor de w?
25°
P
S
TRwº
Res
pues
ta
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EjemploCalcula los ángulos que faltan en el diagrama.
60°
7
103°
43°45°
30°
5 43
2 1
Not
as p
ara
el
Prof
esor
Slide 114 / 224
40º
1
24 53
60º
66 Calcula la medida de ∠1.
Res
pues
ta
Slide 115 / 224
67 Calcula la medida de∠2.
40º
1
24 53
60º
Res
pues
ta
Slide 116 / 224
68 Calcula la medida de ∠3.
40º
1
24 53
60º
Res
pues
ta
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69
40º
1
24 53
60º
Calcula la medida de ∠4.
Res
pues
ta
Slide 118 / 224
70 Calcula la medida de ∠5.
40º
1
24 53
60º
Res
pues
ta
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Desigualdades en un triángulo
Para determinar desigualdades en un triángulo descargar el esquema, "desigualdades en un triángulo" y la hoja de trabajo "desigualgades en un triángulo"
Ir al esquema, "Desigualdades en un
triángulo."
Ir a la hoja de trabajo,"Desigualdades en un triángulo."
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Ángulos desiguales en un triángulo
El lado más largo está opuesto siempre al ángulo más grande.
El lado más corto está siempre opuesto la ángulo más pequeño.
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71 Nombra el lado más largo del triángulo.A ABB BCC CAD todos son iguales
AB
C
35°60°
85°
Res
pues
ta
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72 Nombra el lado más corto de este triángulo.A ABB BCC CAD son todos iguales
AB
C
35°60°
85°
Res
pues
ta
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73 Nombra el lado más corto de este triángulo.A ABB BCC CAD son todos iguales
AB
C
35° 105°
40°
Res
pues
ta
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74 Nombra el ángulo más grande de este triángulo.A ∠A B ∠B C ∠C D Son todos iguales
AB
C
10
148
Res
pues
ta
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75 Nombra el ángulo más pequeño de este triángulo.A ∠A B ∠B C ∠C D Son todos iguales
AB
C
10
148
Res
pues
ta
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A
C
1010
10
76 Nombra el ángulo más pequeño de este triángulo.
A ∠A B ∠B C ∠C D Son todos iguales
B
Res
pues
ta
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Desigualdades de longitud en un triángulo
Un lado no puede ser más largo que la suma de los otros dos lados.
Un lado no puede ser más corto que la diferencia de los otros dos lados.
Slide 129 / 224
Ningún lado puede ser más largo que la suma de los otros dos lados.
Esto se deriva del hecho de que si los dos lados más cortos no pueden ser ubicados en un ángulo de 180º y excede la longitud del lado más largo, no se puede formar un triángulo.
Como se muestra abajo, si el lado azul es más largo que la suma del lado rojo y del lado verde, no se puede formar un triángulo.
Mueve los lados de abajo e intenta formar un triángulo.
Desigualdades de longitud en un triángulo
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Ningún lado puede ser menor a la diferencia entre los otros dos lados.
Esto se deriva del hecho de que si los lados más largos no pueden ser ubicados en un ángulo de 0° grado para alcanzar el extremo del lado más corto, no se puede formar un triángulo.
Como se muestra abajo, si el lado azul también es corto para alcanzar a la línea roja, incluso cuando la línea roja está en el ángulo más pequeño, no se puede formar un triángulo.
Desigualdades de longitud en un triángulo
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77 ¿Cuál es la máxima longitud del tercer lado para formar un triángulo si los otros lados son de 4 y 6?
Res
pues
ta
Slide 132 / 224
78 ¿Cuándo es la máxima longitud del tercer lado para formar un triángulo si los otros lados son de 8 y 7?
Res
pues
ta
Slide 133 / 224
79 ¿Cuál es la mínima longitud del tercer lado para formar un triángulo si los otros lados son de 4 y 6?
Res
pues
ta
Slide 134 / 224
80 ¿Cuál es la mínima longitud del tercer lado para formar un triángulo si los otros lados son de 7 y 8?
Res
pues
ta
Slide 136 / 224
Recuerda que:
Congruencia
Dos objetos son congruentes si pueden ser movidos, por alguna combinación de traslación, rotación y reflexión de manera que cada parte de cada objeto se superponga.
Este es el símbolo para congruencia:
Si a es congruente a b se mostraría como
lo cuál se lee como "a es congruente a b"
a b
Slide 137 / 224
Sólo los segmentos con la misma longitud son congruentes.
También, todos los segmentos congruentes tienen la misma longitud.
Antes aprendimos que:
Segmentos Congruentes
ab
cd
c da b
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Recuerda:
Ángulos Congruentes
A B∠ ∠ ∠C ∠D
Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.
Dos ángulos no son congruentes si tienen diferentes medidas.
AB
C
D
If m∠A = m∠B If m∠C # m∠D
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Triángulos Congruentes
Los triángulos están construidos por tres segmentos Y tres ángulos.
Para que un triángulo sea congruente con otro los tres lados Y los tres ángulos deben ser congruentes.
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Triángulos Semejantes
Si los tres lados de dos triángulos son congruentes, vamos a demostrar que los tres ángulos también son congruentes.
Por consiguiente, los triángulos son congruentes.
Además, dos triángulos pueden tener todos sus ángulos congruentes, con todos o ninguno de sus lados siendo congruentes.
En ese caso, se dice que los triángulos son Semejantes.
Slide 141 / 224
Triángulos Congruentes
Los Triángulos Congruentes también son Triángulos Semejantes ya que todos sus ángulos son congruentes.
Los Triángulos Congruentes son además un caso especial de triángulos semejantes. Nos enfocaremos primero en los
triángulos semejantes, y luego trabajaremos con los triángulos congruentes en una unitad posterior.
Los triángulos Semejantes representan una gran herramienta para resolver problemas y son el fundamento de la
trigonometría.
Slide 142 / 224
Los triángulos semejantes tienen la misma forma, pero pueden tener diferentes tamaños.
Si tienen igual forma y son del mismo tamaño, son semejantes y congruentes.
A
B
C D
E
F
Triángulos Semejantes tienen Lados Proporcionales
Slide 143 / 224
Triángulos Semejantes
Este es el símbolo para semejanza
De modo que, la afirmación simbólica para
El triángulo ABC es semejante al triángulo DEF
es:
DEFDEFΔABC Δ
Slide 144 / 224
Nombrando Triángulos Semejantes
Esta afirmación nos dice más que dos triángulos son semejantes.
Nos dice también que los ángulos son iguales
En este caso, que
m∠A = m∠D m∠B = m∠E m∠C = m∠F
Y así que son lados correspondientes y proporcionales.
AB corresponde a DEBC corresponde a EFCA corresponde a FD
DEFDEFΔABC Δ
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De manera que, cuando estás nombrando triángulos semejantes, el orden de las letras importa.
No tienen que ser alfabéticas.
Pero tienen que ser nombrados de manera que ángulos iguales correspondan con los otros iguales.
DEFDEFΔABC Δ
Nombrando Triángulos Semejantes
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Demostrando triángulos semejantesSi puedes probar que los tres ángulos de los dos triángulos son congruentes, directamente queda comprobado que son semejantes.
Además, hay atajos para demostrar que son triángulos semejantes.
Exploraremos tres conjuntos de condiciones que implican que los tres ángulos de los dos triángulos son congruentes, significando que los triángulos deben ser semejantes.
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Teorema de la Semejanza Ángulo a Ángulo
Sabemos del Teorema de la Suma de Triángulos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es igual a 180º.
De modo que, si dos triángulos tienen dos pares de ángulos congruentes que suman x, entonces el tercer ángulo en ambos triángulos debe ser (180 - x)º ....formando tres pares de ángulos congruentes.
Una forma de demostrar que dos triángulos son semejantes es probar que dos de sus ángulos en cada
triángulo son congruentes.
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Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos en otro triángulo, sus terceros ángulos son congruentes y los triángulos son semejantes. Aquí está la demostración
Afirmación Razón
1 ∠ A y ∠ B en ΔABC son ≅ a ∠D y ∠ E en ΔDEF
Dada
2 m∠ A = m∠D; m∠ B = m∠ E Definición de ángulos congruentes
3m∠ A+ m∠ B + m∠C = 180ºm∠D+ m∠ E + m∠ F = 180º
Teorema de la suma de triángulos
4m∠C =180º - (m∠ A + m∠ B) m∠ F =180º- (m∠D + m∠ E)
Propiedad de sustracción de la igualdad
5m∠C =180º - (m∠ A + m∠ B) m∠ F =180º- (m∠ A + m∠ B)
Propiedad de sustitución de la igualdad
6 m∠C = m∠ F Propiedad de sustitución de la igualdad
7 ΔABC y ΔDEF son semejantes Definición de semejanza
Teorema de la Semejanza Ángulo a Ángulo
Slide 149 / 224
Si dos triángulos tiene sus lados proporcionales, los triángulos serán equiangulares y tendrán aquellos ángulos iguales a los que sus lados correspondientes subtienden.
Euclides- Libro 7: Proposición 5
Los triángulos equiangulares son semejantes, de modo que esto establece que los triángulos con lados proporcionales son semejantes.
Esta es la segunda forma para demostrar que los triángulos son semejantes:
Si se puede demostrar que los tres pares de lados en dos triángulos son proporcionales, entonces se habrá
demostrado que los triángulos son semejantes.
Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado
Slide 150 / 224
Esto se deriva de la forma que contruimos ángulos congruentes.
Hicimos uso del hecho de que si dos ángulos son congruentes, sus lados se separan a la misma razón a medida que se alejan del vértice.Aquí está el dibujo que usamos para construir ∠ABC de modo que sería congruente a ∠FGH.
Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado
F
G H
A
CB
Slide 151 / 224
Si trazamos los segmentos verdes conectando los puntos donde los arcos azules intersecan las semirrectas, podemos ver que la longitud de ese segmento sería la misma para ambos ángulos.
Ya que los ángulos son congruentes, el segmento opuesto a aquellos ángulos también serán congruentes, si este interseca ambos lados del ángulo a la misma distancia desde el vértice en ambos casos.
Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado
F
G H
A
CB
D
E
Slide 152 / 224
En este caso los segmentos AC y DE serán congruentes ya que los segmentos GD y GE también son congruentes a los segmentos AB y BC.
De modo que el ΔDEG es congruente al ΔABC, ya que todos los ángulos y lados son iguales.
Cambiando la escala del ΔABC no cambiará la medida de sus ángulos. Los lados serán proporcionales a aquellos del ΔDEG, pero no iguales.
Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado
F
G H
A
CB
D
E
Slide 153 / 224
El diagrama de abajo muestra una ampliación del ΔABC y podemos ver que las medidas de los ángulos no cambiaron.
Aún son triángulos semejantes. Los lados correspondientes son proporcionales.
Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado
A
CB
F
G H
D
E
Slide 154 / 224
A
CB
Removiendo los arcos y desplazando el triángulo más pequeño dentro del más grande se hace claro que todos los ángulos son congruentes y los lados están en proporción.
Así que, la segunda forma de demostrar triángulos semejantes es mostrar que todos sus lados están en proporción.
F
D
EG H
Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado
Slide 155 / 224
Si dos triángulos tienen un ángulo igual a otro y los lados alrededor del ángulo igual están en proporción, los triángulos serán equiangulares y tendrán aquellos ángulos iguales con los correspondientes ángulos que subtienden.
Los Elementos de Euclides - Libro Sexto- Proposición 6
La tercera forma de demostrar que son semejantes es mostrar que pueden compartir un ángulo que es igual y los dos lados formando ese ángulo son proporcionales en los dos triángulos.
Teorema de la Semejanza Lado- Ángulo-Lado
Slide 156 / 224
Esto deriva directamente del trabajo que hemos hecho para mostrar que la proporcionalidad Lado-Lado-Lado puede ser usada para demostrar triángulos semejantes.
Si recuerdas, el segmento que forma el tercer lado de un triángulo está completamente definido por el ángulo opuesto y la longitud de los otros dos lados.
Teorema de la Semejanza Lado- Ángulo-Lado
Slide 157 / 224
Si los ángulos son congruentes y los dos lados del ángulo están en proporción, el tercer lado debe estar también en proporción.
Si los tres lados están en proporción, los triángulos deben ser semejantes debido al Teorema Lado-Lado-Lado.
Puedes ver esto en la página siguiente.
Teorema de la Semejanza Lado- Ángulo-Lado
Slide 158 / 224
A
B
C D
E
F
Si ∠B ≅ ∠E y los segmentos AB y BC son proporcionales a los segmentos ED y EF, entonces el segmento AC también debe ser proporcional al segmento DF. Ya que los tres lados están en proporción, los triángulos son semejantes.
Teorema de la Semejanza Lado- Ángulo-Lado
Slide 159 / 224
Error común
NO PUEDES demostrar triángulos semejantes Lado- Lado. Ángulo.
No es lo mismo que Lado-Ángulo-Lado.
Como se muestra abajo, dos triángulos pueden tener dos lados correspondientes y un ángulo correspondientes congruente, pero NO ser semejantes.
Slide 160 / 224
81 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos triángulos son semejantes?
A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- LadoD Podrían no ser semejantes
x
x
E No son semejantes
Res
pues
ta
Slide 161 / 224
82 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos triángulos son semejantes?
A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- LadoD Podrían no ser semejantesE No son semejantes
Res
pues
ta
Slide 162 / 224
83 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos triángulos son semejantes?
6
4
88
12
16
A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- Lado
D No son semejantesE Podrían no ser semejantes
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84 ¿Qué teoremas te permiten demostrar que estos dos triángulos son semejantes?
4 8
36
6 10
A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- LadoD Podrían no ser semejantesE No son semejantes
Res
pues
ta
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85 ¿Qué teoremas te permiten demostrar que estos triángulos son semejantes?
4 8
36
xx
A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- LadoD Podrían no ser semejantesE No son semejantes
Res
pues
ta
Slide 165 / 224
86 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos triángulos son semejantes?
4
3x
8
6
x
A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- LadoD Podrían no ser semejantesE No son semejantes
Res
pues
ta
Slide 166 / 224
87 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos triángulos son semejantes?A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- LadoD Podrían no ser semejantesE No son semejantes
Slide 167 / 224
88 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos triángulos son semejantes?A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- LadoD Podrían no ser semejantesE No son semejantes
Res
pues
ta
Slide 168 / 224
89 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos triángulos son semejantes?
A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- LadoD Podrían no ser semejantesE No son semejantes
Res
pues
ta
Slide 169 / 224
90 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos triángulos son semejantes?
A
B C
D ENota que BC es paralelo a DE.
A Ángulo- ÁnguloB Lado- Ángulo- LadoC Lado- Lado- LadoD Podrían no ser semejantesE No son semejantes
Res
pues
ta
B
Slide 170 / 224
A
B C
D E
Teorema del Divisor de Lado
Cualquier recta paralela a un lado de un triángulo formará un triángulo que es semejante al primer triángulo.
Como aprenderemos más tarde, también hace todos los lados proporcionales, dividiéndolos...de ahí el nombre del teorema.
Slide 171 / 224
A
B C
D E
Dado: BC es paralelo a DE
Prueba: ΔABC ~ ΔADE.
Demostración del Teorema del Divisor de Lado
Slide 172 / 224
91 ¿Cuál es la razón para el paso 2?
A Teorema de Semejanza Ángulo- ÁnguloB Teorema de la Semejanza Lado- Lado- LadoC Propiedad Reflexiva de Congruencia D Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una
transversal, los ángulos correspondientes son congruentesE Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una
transversal, los ángulos interiores alternos son congruentes
A
B C
D E
Afirmación Razón1 BC es paralelo a DE Dada2 ∠ ABC ≅ ∠D; ∠ ACB ≅ ∠ E ?
3 ∠ A ≅ ∠ A ?4 ΔABC ~ ΔADE ?
Res
pues
ta
Slide 173 / 224
92 ¿Cuál es la razón para el paso 3? A
B C
D E
Afirmación Razón1 BC es paralelo a DE Dada2 ∠ ABC ≅ ∠D; ∠ ACB ≅ ∠ E ?
3 ∠ A ≅ ∠ A ?4 ΔABC ~ ΔADE ?
A Teorema de Semejanza Ángulo- ÁnguloB Teorema de la Semejanza Lado- Lado- LadoC Propiedad Reflexiva de Congruencia D Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una
transversal, los ángulos correspondientes son congruentesE Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una
transversal, los ángulos interiores alternos son congruentes
Res
pues
ta
Slide 174 / 224
93 ¿Cuál es la razón para el paso 4? A
B C
D E
Afirmación Razón1 BC es paralela a DE Dada2 ∠ ABC ≅ ∠D; ∠ ACB ≅ ∠ E ?
3 ∠ A ≅ ∠ A ?4 ΔABC ~ ΔADE ?
A Teorema de Semejanza Ángulo- ÁnguloB Teorema de la Semejanza Lado- Lado- LadoC Propiedad Reflexiva de Congruencia D Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una
transversal, los ángulos correspondientes son congruentesE Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una
transversal, los ángulos interiores alternos son congruentes
Res
pues
ta
Slide 175 / 224
Demostración del Teorema Lado Divisor
Dado: BC es paralelo a DE
Prueba: ΔABC ~ ΔADE
A
B C
D EAfirmación Razón
1 BC es paralelo a DE Dada
2∠ ABC ≅ ∠D; ∠ ACB ≅ ∠ E
Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una transversal, los
ángulos correspondientes son congruentes
3 ∠ A ≅ ∠ A Propiedad Reflexiva de la Congruencia
4 ΔABC ~ ΔADE Teorema de la Semejanza Ángulo- Ángulo
Slide 176 / 224
Los triángulos semejantes tienen la misma forma, pero pueden tener diferentes tamaños. Si tienen la misma forma y el mismo tamaño, son congruentes.
Si tienen igual forma y son de diferentes tamalos, son semejantes y sus lados están en proporción.
A
B
C D
E
F
Teorema Triángulos Semejantes tienen Lados Proporcionales
Slide 177 / 224
Lo contrario también es cierto y demostrará ser muy útil.
Si dos triángulos son semejantes, todos sus lados correspondientes están en proporción.
*Mientras Euclides si probó ese teorema, sus demostraciones resultaron en otros teoremas que tendrían que ser probados primero y se irían de los objetivos de este curso. Así que, sólo relacionaremos sobre ese teorema y observa que la demostración está disponible en Los Elementos de Euclides- Libro Sexto: Proposición 5
Teorema Triángulos Semejantes tienen Lados Proporcionales
Slide 178 / 224
Triángulos Semejantes y Proporcionalidad
A
B
C D
E
F
En los triángulos de abajo, si sabemos que
m∠A = m∠D, m∠B = m∠E, y m∠C = m∠F,
Entonces sabemos que los triángulos son semejantes.
Slide 179 / 224
A
B
C D
E
F
También sabemos que los lados correspondientes son proporcionales.
El símbolo para proporcional es la letra griega, alfa: #
AB α DE, ya que AB corresponde a DEBC α EF, ya que BC corresponde a EFAC α DF, ya que AC corresponde a DF
Triángulos Semejantes y Proporcionalidad
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Lados Correspondientes
A
B
C D
E
F
Nuestro trabajo con triángulos similares y nuestro futuro trabajo con triángulos congruentes nos requiere identificar los lados correspondientes.
Una forma de hacer esto es localizar los lados opuestos a los ángulos congruentes. Si sabemos que los triángulos ABC y EDF son semejantes y que el ángulo A es congruente al ánguo D, entonces los lados opuestos a A y D están en proporción: BC α EF
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Lados Correspondientes
A
B
C D
E
F
Otra forma de indentificar lados correspondientes es usar la descripción de Euclides.....aquellos ángulos [son] iguales a los que los lados correpondientes subtienden."
Abajo, ya que el ángulo A es igual al ángulo D y el ángulo B es igual al ángulo E, entonces los lados AB y DE están en proporción.
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A
B
C D
E
F
Cualquiera de estos enfoques funciona, usa el que sea más fácil
Identifica los lados correspondientes con los lados que conectan ángulos iguales o los lados opuestos a ángulos iguales... obtendrás el mismo resultado.
Lados Correspondientes
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Triágulos Semejantes y Proporcionalidad
A
B
C D
E
F
Otra manera de decir que dos lados son proporcionales es decir que uno está en una versión ampliada del otro. Si multiplicas todos los lados de un triángulo por el mismo factor de escala, K, obtienes el otro triángulo. En este caso, si ΔABC es k veces más grande que ΔDEF, entonces: AB = kDE BC = kEF AC = kDF
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A
B
C D
E
F
O resulta de dividir los lados proporcionales:
AB BC ACDE EF DF = k= =
Esta propiedad de proporcionalidad es muy útil en la resolución de problemas usando triángulos semejantes y provee el fundamento para la trigonometría.
Triágulos Semejantes y Proporcionalidad
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94 Si m∠A = m∠D, m∠B = m∠E, y m∠C = m∠F, identifica que lado corresponde al lado AB.
A DEB EFC FG
A
B
C D
E
F
Res
pues
ta
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95 Si m∠I = m∠M, m∠H = m∠N, y m∠J = m∠L, identifica que lado corresponde al lado IJ.
A MNB NLC ML
I
J
H
M
N
L
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A
B
C8 D
E
F4
Ejemplo- Lados Proporcionales
Dado que el ΔABC es similar al ΔDEF, y dadas las longitudes indicadas, calcula las longitudes de AB y BC.
5 7
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Ya que los triángulos son semejantes sabemos que la siguiente relación cabe entre todos los lados correspondientes.
Primero, vamos a calcular la constante de proporcionalidad, k, a partir de usar los dos lados de valores: AC y DF. ¿Qué relación podría escribir para determinar el valor de k?
AB BC ACED EF DF = k= =
A
B
C8 D
E
F4
5 7
Ejemplo- Lados Proporcionales
Slide 189 / 224
A
B
C
5 7
8 D
E
F4
AB BC ACED EF DF = k = 2= =
AC 8 DF 4= = k = 2
Esto significa que los otros dos lados del ΔABC también serán dos veces más grandes que los lados correspondientes de ΔDEF
¿Cómo podríamos escribir las proporciones requeridas para calcular AB y BC?
Ejemplo- Lados Proporcionales
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A
B
C
5 7
8 D
E
F4
AB ED = 2 BC
EF = 2
AB 5 = 2
AB = 10
BC 7 = 2
BC = 14
Ejemplo- Lados Proporcionales
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96 Dado que m∠ A = m∠D, m∠ B = m∠ E, y m∠C = m∠ F. Si BC = 8, DE = 6, y AB = 4, EF = ?
A
B
C D
E
F
Res
pues
ta
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97 Dado que ΔJIH es semejante a ΔLMN; calcula la longitud de LM.
I
J
H
M
N
L
14
10
12
5
Res
pues
ta
Slide 193 / 224
98 Dado que ΔJIH es semejante a ΔLMN; calcula la longitud de LN.
I
J
H
M
N
L
14
10
12
5
Res
pues
ta
Slide 194 / 224
99 Dado que BC es paralelo a DE y las longitudes dadas, calcula la longitud de DE.
A
B C
D E
8
64
Res
pues
ta
Slide 195 / 224
100 Dado que BC es paralelo a DE y las longitudes dadas, calcula la longitud de DB.
A
B C
D E9
7
3
Res
pues
ta
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Ejemplo - Semejanza y Lados Proporcionales
D
P
K
12
9
18
R
L
B6
1210
Determina si los triángulos son semejantes. Si son semejantes, escribe una afirmación de semejanza. Si no son similares, explica por qué.
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D
P
K
12
9
18
R
L
B6
1210
Para identificar los lados correspondientes sin perder mucho tiempo, primero escribe todos los lados desde el más corto al más largo de ambos triángulos y compara para ver si son proporcionales.
Entonces puedes identificar los lados correspondientes y la constante de proporcionalidad.
Ejemplo - Semejanza y Lados Proporcionales
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D
P
K
15
9
18
R
L
B6
1210
Lado de ΔPDK Longitud Lado del ΔBRL Longitud Razón
DK 9 BR 6 1.5
PD 15 RL 10 1.5
PK 18 BL 12 1.5
Todos los lados correspondientes tienen una relación de 1.5:1, de modo que los triángulos son semejantes. Esto también prueba el orden de los lados, así que podemos decir que ΔKDP es semejan a ΔBRL. Controla para asegurte que todos los lados están en el orden correcto.
Ejemplo - Semejanza y Lados Proporcionales
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101 Si estos triángulos son semejantes, ingresa la constante de proporcionalidad, k, entre el triángulo más grande y el más pequeño. Si no lo son, ingresa cero.
D
P
K
12
9
18
R
L
B6
1210
Res
pues
ta
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102 Si estos triángulos son semejantes, ingresa la constante de proporcionalidad, k, entre el triángulo más grande y el más pequeño. Si no lo son, ingresa cero..
52°
1
2
3
R
S
T
52°24
6X
Y
Z
Res
pues
ta
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103 Si estos triángulos son semejantes, ingresa la constante de proporcionalidad, k, entre el triángulo más grande y el más pequeño. Si no lo son, ingresa cero.
P
R
S
3 4.2
6B
C
D
2 2.8
4
Res
pues
ta
Slide 202 / 224
A
B C
D E
Teorema del Lado Divisor Opuesto
Si una recta divide los dos lados de un triángulo proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.
Slide 203 / 224
104 Calcula el valor de x para demostrar que AB es paralelo a ER.
27
x
18 12R
EA
B
D
Res
pues
ta
Slide 204 / 224
105 Calcula el valor de x para probar que FC es paralelo a MN.
J
M
NC
F
x 9
6
8 Res
pues
ta
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106 Calcula el valor de y.
6
1012
y
Res
pues
ta
Slide 206 / 224
107 Calcula el valor de y.
4
14 12
y
Res
pues
ta
Slide 207 / 224
108 Calcula el valor de y.
2415y
6 Res
pues
ta
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109 La figura ΔABC ~ ΔDEF con longitudes de lado como se indica. ¿Cuál es el valor de x?
F
D
E
95
7
C
BA
27
21
x
From PARCC EOY sample test
Res
pues
ta
Slide 210 / 224
¿Cómo puedes usar figuras semejantes para resolver problemas de la vida real?
Usando triángulos semejantes y midiendo indirectamente podemos calcular distancias grandes y la altura de árboles, mástiles y edificios.
¿Cuál es la diferencia entre medir directamente y medir indirectamente
Usando Triángulos Semejantes
Res
pues
ta
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¿Cómo podemos calcular la distancia entre un lado y otro del Gran Cañón?
Grand Canyon National Park, AZ
Usando Triángulos Semejantes
Slide 212 / 224
Primero, construye un triángulo rectángulo ΔABC.
1. Identifica y marca un punto A. 2. Ubica un marcador en el punto B directamente enfrente del punto A. 3. Ve hasta el punto C, ubica un marcador y mide la distancia de BC.
Usando Triángulos Semejantes
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Luego, construye un triángulo rectángulo ΔEDC.
1. Ve al punto D, ubica un marcador y mide la distancia de CD. 2. Ve al punto E, ubica un marcador y mide la distancia de DE.
Usando Triángulos Semejantes
Slide 214 / 224
¿Cómo podemos demostrar que ΔABC ~ ΔEDC?
¿Cómo podemos calcular la distancia que cruza el Gran Cañón?
Usando Triángulos Semejantes
Slide 215 / 224
ΔABC ~ ΔEDC
¿Por qué?
¿Por qué?¿Por qué?
∠DCE ≅ ∠BCA∠CDE ≅ ∠CBA
Usando Triángulos Semejantes
Res
pues
ta
Slide 216 / 224
¿Cómo podemos calcular d?
Escribe una sentencia de proporcionalidad que use d. click
Usando Triángulos Semejantes
Slide 217 / 224
¿Cómo podemos calcular la altura del Monumento a Washington cuando no hay sombras?
Usando Triángulos Semejantes
Slide 218 / 224
Vamos a usar un truco de espejo para calcular la altura del Monumento a Washington. Este es otro método de medida indirecta.
Ubica un espejo con pelos cruzados (en X) trazando sobre el un plano sobre el piso entre tu mismo y el Monumento. Mira dentro del espejo y camina a un punto en el que puedas ver la parte más alta del Monumento alineada con los pelos cruzados en el espejo.
Los rayos de luz desde la parte superior del Monumento a Washington al espejo y atrás de tu ojo forman ángulos iguales.
Usando Triángulos Semejantes
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En Física
ángulo de incidencia
ángulo de reflexión
rayo reflejado rayo incidente
surperficie
ángulo de reflexión = ángulo de incidencia
Usando Triángulos Semejantes
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Usando Triángulos Semejantes
Mide la distancia entre tu y el espejo y entre el Monumento a Washington y el espejo.
¿Cómo puedes probar que ΔABC ~ ΔDEF? ¿Cómo puedes calcular la altura del Monumento a Washington?
Slide 221 / 224
¿Por qué?
¿Por qué?
ΔABC ~ ΔADE
∠CAB ≅∠EAD
∠ACB ≅∠EAD
Usando Triángulos Semejantes
¿Por qué?
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¿Cómo puedes calcular h?
Escribe una sentencia de proporcionalidad que use h
Usando Triángulos Semejantes
click
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110 Tu hermana más pequeña quiere saber la altura de la jirafa. Ubicas un espejo sobre el piso y te paras donde puedas ver la parte de arriba de la jirafa como se muestra. ¿Qué altura tiene la jirafa?
A 189 pulgadas
B 21 pies
C 15.75 pies
D 18.9 piesTú5 pies 3 pulgadas
g
15 pies
5 pies
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111 Para calcular el ancho de un río usas una técnica de supervivencia como se muestra. Establece la proporción para calcular la distancia que cruza el río.
A
B
C
D
=963
w12
=963w12
=963w
12
=963 w
12
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