Sólidos de Revolución

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Noviembre 2012

VBV

DEFINICIÓN Un sólido de revolución es un sólido

generado mediante la rotación de una región plana alrededor de una recta en el mismo plano.

EJEMPLOS…

h

altu

ra

rradio

Superficie lateral

bases

CILINDRO DE REVOLUCIÓN Se obtiene al girar una vuelta completa un

rectángulo alrededor de uno de sus lados.

r

h

generatriz

Se obtiene al girar una vuelta completa un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

CONO DE REVOLUCIÓN

R

ESFERA Es el sólido que se obtiene al girar un

semicírculo una vuelta completa alrededor de su diámetro.

MÉTODOS Para calcular el volumen de este tipo de

sólidos veremos por ahora dos métodos:Método de los DiscosMétodo de las Capas Cilíndricas.

MÉTODO DE LOS DISCOS Consideremos la región plana limitada

por y = f(x), el eje X y por las rectas x = a y

x =b Supongamos además que para x [a,b]

se cumple: f(x) 0.

8

f(x)

a bx

Esta región gira alrededor del eje X. f(x)

a bba x

Notar que en la coordenada x, el área de la región transversal corresponde al área del círculo: [f(x)]2.

Por tanto,

OBS: Radio: f(x)

EJEMPLOS. Encontrar el volumen, del sólido de

revolución obtenido, por: f(x)= x – x3, 0 x 1, en torno al eje X.

(Resp. 4/15) f(x) =sen x, 0x, en torno a X (resp: 2)

CASO: ARANDELAS Consideremos la región plana limitada

por y = f(x), y= g(x) y por las rectas x = a y

x =b Supongamos además que para x [a,b]

se cumple: 0 f(x) g(x).

12

f(x)

a bx

g(x)

Esta región gira alrededor del eje X

13

a bx

g(x)

f(x)

Notar que en la coordenada x, el área de la región transversal corresponde al

(área del círculo mayor) - (área del círculo menor)

El mayor radio corresponde a R (x) = g(x) y el menor a r (x) = f(X) se sigue:

EJEMPLOS. Encontrar el volumen, del sólido de

revolución acotado por la región:y=x2+1, y=0, x=0, x =1, en torno al eje X.

(Resp.)y =x ; y=x2 en torno a X (resp: 3/10)

CASO: ROTACIÓN SOBRE EL EJE Y Es la misma idea! y=f(x) x=g(y)

f(x)

CASO: ROTACIÓN SOBRE UNA RECTA Supongamos que la región rota sobre

una recta x=L.

x=L

L- f(y)

L- g(y)

CASO: ROTACIÓN SOBRE UNA RECTA Supongamos que la región rota sobre

una recta x=L.x=L

f(y) - L

g(y) - L

EJERCICIOS PROPUESTOS. Encontrar el volumen, del sólido de

revolución obtenido: y=x2, y=2x gira alrededor del eje Y (R:

8/3) Y=x, y=1, x=4, alrededor de la recta

y=1 (R: 7/6)

MÉTODO DE LAS CAPAS CILÍNDRICAS. V=2(radio)(altura) Esto es,

EJERCICIOS PROPUESTOS. Encontrar el volumen, del sólido de

revolución obtenido: y=x3+x+1, y=1, x=1 gira alrededor de

x=2 (R: 29/15) y=x-x3, y=1, x=4, alrededor del eje Y (R:

4/15)