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MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO
Tema A4 Termofluidos: Electrocinética
Solución numérica del flujo electroosmótico transitorio de dos fluidos inmiscibles en un microcanal con potenciales zeta simétricos y asimétricos
Escandón Colin Juan Pablo*, Gómez López Juan Rolando, Hernández Roblero Clara Guadalupe
Instituto Politécnico Nacional,SEPI-ESIME Azcapotzalco, Av de las Granjas No. 682, Col Santa Catarina, Del. Azcapotzalco, Ciudad de México, C.P.
02250, México
*Autor contacto.Dirección de correo electrónico: jescandon@ipn.mx
R E S U M E N
La microfluídica estudia el comportamiento, control preciso y manipulación de fluidos en dispositivos construidos en una
escala geométricamente pequeña. Por lo tanto, y debido al requerimiento de los también pequeños volúmenes que van desde
micro- hasta femto-litros en estos dispositivos, el presente trabajo desarrolla un estudio del flujo electroosmótico en estado
transitorio para el análisis del transporte de dos fluidos inmiscibles newtonianos a través de un microcanal. Considerando
potenciales zeta simétricos y asimétricos en las paredes del conducto, las ecuaciones gobernantes de Poisson-Boltzmann y
cantidad de movimiento se resuelven de manera analítica y numérica, respectivamente. Los resultados exhiben
comportamientos interesantes sobre la evolución transitoria del flujo en relación con diferentes parámetros adimensionales
que rigen el fenómeno de transporte; de esta manera, se consigue la predicción de los perfiles de velocidad en formas
parabólicas, simétricas o asimétricas dependiendo de la magnitud y polaridad del potencial zeta. Con esta investigación,
se pretende extender el conocimiento del análisis numérico espacio-temporal de flujo de fluidos inmiscibles en micro-
dispositivos y que sirva para propuestas de diseño para el control preciso de inyección y transporte de muestras.
Palabras Clave: Flujo electroosmótico, estado transitorio, fluidos inmiscibles, potenciales zeta asimétricos.
A B S T R A C T
The microfluidics study the behavior, precise control and manipulation of fluids in devices built on a geometrically small
scale. Therefore, and due to the requirement of the also small volumes that go from micro- to femto-liters in these devices,
the present work develops a study of the electroosmotic flow in transient state for the transport analysis of two immiscible
Newtonian fluids through of a microchannel. Considering symmetrical and asymmetric zeta potentials at the channel walls,
the governing equations of Poisson-Boltzmann and momentum are solved in analytical and numerical form, respectively.
The results show interesting behaviors about the transitory evolution of the flow in relation to different dimensionless
parameters that govern the transportation phenomenon; in this way, the prediction of the velocity profiles in parabolic,
symmetric or asymmetric forms depending on the magnitude and polarity of the zeta potential is achieved. With this
research, it is intended to extend the knowledge of the spatio-temporal numerical analysis of the flow of immiscible fluids
in micro-devices and that serves for design proposals for the precise control of injection and transport of samples.
Keywords: Electroosmotic flow, transient state, immiscible fluids, asymmetric zeta potentials.
Nomenclatura
Ex campo eléctrico en la coordenada x, V m-1
e carga del electrón, C
F vector de fuerza de cuerpo N m-3
H altura del microcanal, m
ISSN 2448-5551 TF 21 Derechos Reservados © 2018, SOMIM
MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO
j posición espacial transversal de la malla
discretizada
kB constante de Boltzmann, J K-1
L longitud del microcanal, m
n posición temporal discretizada
n0 número de concentración iónica, m-3
p presión, N m-2
t tiempo, s
T dominio de la variable temporal
Tf temperatura, K
u velocidad del fluido, m s-1
uc velocidad característica, m s-1
v vector de velocidad, m s-1
x,y coordenadas cartesianas
Y dominio de la coordenada transversal
y1 posición de interfase, m
1y posición adimensional de la interfase
z valencia del electrolito
Símbolos griegos
constante dieléctrica, C V-1 m-1
razón de constantes dieléctricas
-1 longitud de Debye, m
parámetro electrocinético
µ viscosidad dinámica, N m-2 s
razón de viscosidad
densidad del fluido, kg m-3
e densidad de carga eléctrica, C m-3
razón de densidades
potencial eléctrico, V
potencial eléctrico adimensional
potencial zeta en las paredes, V potencial zeta adimensional en las paredes
Subíndices
i fluido, i=1,2
1. Introducción
Las tecnologías de fabricación en sistemas micro-
electromecánicos se han convertido en un importante tema
de investigación debido a las técnicas, métodos y efectos
empleados para controlar y manejar fluidos en micro-escala
[1]; es aquí en donde la atención a estos dispositivos está
motivada por una gran cantidad de aplicaciones novedosas,
particularmente en bioingeniería, electrónica y campos
electromecánicos [2]. En este sentido los micro y nano
sistemas han revolucionado los métodos de manipulación de
volúmenes de líquidos al consumir una pequeña cantidad de
muestras, así como reducir el tiempo y costo de ensayos [3].
Como consecuencia, y desde un punto de vista fluido-
mecánico, la reducción de escalas en estos sistemas
promueve la generación de fenómenos interfaciales para
reducir la importancia del efecto gravitacional y de la
presión [4].
Con respecto al transporte de fluidos en micro-escala, en
los últimos años parte de la comunidad científica ha centrado
su atención a mecanismos de transporte a través del
fenómeno electroosmótico, cuyo principio consiste en la
aplicación de un campo eléctrico que permite el movimiento
de fluidos con una alta concentración iónica dentro de una
doble capa eléctrica, la cual surge en una interacción de un
electrolito y una pared cargada eléctricamente [5]. Debido a
este fenómeno, es que los efectos electroosmóticos
presentan mayor eficiencia en la construcción de
dispositivos microfluídicos, ya que evitan la fabricación de
partes móviles para el bombeo de líquidos [6].
Por otro lado, el transporte de fluidos en sistemas
microfluídicos abarca tareas específicas que involucran el
movimiento de fluidos paralelos multifase relacionando
interfases líquido-líquido, gas-líquido, sólido-líquido y otras
[7]. Dichas tareas se encargan de realizar operaciones como
extracción de anfetaminas en orina [8], extracción de
solventes [9] y en general [10], conducción de suspensiones
en multicapa para la separación de células de sangre de
moléculas de urea [11], separación de eritrocitos y
leucocitos en sangre [12], detección de drogas [13], enfoque
de flujo para detección de nanopartículas [14], fabricación
de liposomas [15], micro-reactores [16, 17] y generación de
microcápsulas [18].
En esta dirección, se han llevado a cabo diversas
investigaciones acerca del flujo electroosmótico en estado
permanente tal como el desarrollado por Ngoma et al. [19],
quienes realizaron un estudio sobre el bombeo por arrastre
viscoso de dos fluidos inmiscibles en un microcanal
considerando a uno de estos fluidos como eléctricamente
conductor; en sus resultados, se encontró que el flujo
volumétrico disminuye cuando aumenta la relación de
viscosidad dinámica para ambos fluidos. También se han
desarrollado investigaciones en el transporte de fluidos
inmiscibles que involucran distintas condiciones
interfaciales [20], cambios de geometría a conductos
rectangulares [21], manejo de fluidos no newtonianos [22] y
análisis para sistemas multi-capa [23].
Respecto a la implementación de una solución para la
determinación del campo de flujo de un fluido o una serie de
fluidos no siempre es analítica, Gao et al. [24] propusieron
una simulación numérica para el análisis del movimiento de
dos capas de fluidos bajo efectos electroosmóticos, donde
uno de los fluidos se considera con una alta conductividad
eléctrica en comparación con el otro. Las simulaciones se
realizan especificando la velocidad del flujo de entrada y las
fuerzas electroosmóticas se aplican para el control de la
posición de la interfase, lo cual tiene una aplicación
potencial para el cambio y la clasificación de células en
sistemas bioanalíticos.
Adicionalmente, se han realizado investigaciones que
involucran el análisis de la distribución de temperatura en
flujo de fluidos inmiscibles como el abordado por Shit et al.
[25], acerca del flujo electroosmótico y transferencia de
calor en un microcanal hidrofóbico. El estudio revela que el
aumento de la temperatura depende en gran medida del
parámetro de calentamiento Joule, así como de la disipación
viscosa.
Además, el estudio del transporte de fluidos inmiscibles
se ha extendido a la exploración de nuevas predicciones en
la solución del campo de flujo en sistemas microfluídicos
tomando en cuenta el régimen transitorio. Jian et al. [26],
ISSN 2448-5551 TF 22 Derechos Reservados © 2018, SOMIM
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investigaron la evolución transitoria de un flujo
electroosmótico de fluidos de Maxwell a lo largo de un canal
de placas planas paralelas, en donde obtuvieron una solución
semi-analítica y además encontraron que las condiciones
eléctricas en las interfases generan saltos de velocidad y que
se magnifican dependiendo de la polaridad de los
potenciales zeta en las paredes. Por su parte, Gao et al. [27],
desarrollaron un estudio en estado transitorio aplicado a un
conducto rectangular transportando fluidos inmiscibles, y
obtuvieron que es factible el método de bombeo
electroosmótico de dos líquidos bajo la influencia de un
potencial zeta relativamente pequeño en la interfase entre los
fluidos.
Por otra parte, la elaboración de investigaciones
relacionadas al transporte de fluidos inmiscibles en
microcanales rectangulares, se ha extendido a tres capas de
fluidos, como el realizado por Haiwang et al. [28], en donde
se estableció que el fluido intermedio no es eléctricamente
conductor y, por consiguiente, resulta en una disminución de
la velocidad en la región central del conducto. En este
contexto también se han realizado estudios sobre el manejo
de fluidos por medio de fuerzas combinadas
electroosmótico/presión como el elaborado por Su et al. [29]
para el estudio del transporte de dos fluidos newtonianos
dentro de un microcanal de placas planas paralelas. Aquí, los
autores utilizan el método de la transformada de Laplace
para resolver el modelo matemático planteado y encontrar la
velocidad del flujo. En sus resultados, se encuentra que la
velocidad de los fluidos se incrementa con el aumento de la
constante dieléctrica y que, debido a los efectos
interfaciales, se presentan importantes saltos en la velocidad
cuando se incrementa la densidad de cargas eléctricas en la
interfase líquido-líquido.
El análisis de flujos electroosmóticos en estado
transitorio se ha convertido en un tema importante por
brindar información sobre su tiempo de respuesta y
configuración bajo diversos efectos de campo [30, 31] y
geométricos [32-34]. Adicionalmente, el estudio de la
dinámica de flujos electroosmóticos es útil para mejorar la
eficiencia de separación electroforética, ya que es altamente
dependiente de la duración de la inyección de la muestra y a
su vez a la evolución del flujo [35].
Como se ha revisado anteriormente, la comunidad
científica ha estado mostrando interés por la realización de
investigaciones que permitan desarrollar nuevas plataformas
para diferentes sistemas analíticos en el área de
microfluídica. Por esta razón y para dar continuidad a los
trabajos antes mencionados, el presente trabajo contribuye
primeramente en la implementación de una metodología
numérica que se basada en un esquema de diferencias
finitas, la cual no había sido utilizada aun para la solución
de problemas relacionados al manejo de fluidos inmiscibles
en estado transitorio; en segundo lugar, en la predicción de
la evolución temporal de flujos electroosmóticos bajo
diversos efectos de campo eléctricos en interfases sólido-
líquido y líquido-líquido.
2. Formulación del problema
2.1. Descripción del modelo físico
El presente trabajo analiza el transporte en estado transitorio
de dos fluidos inmiscibles a través de un microcanal de
placas planas paralelas con altura H y largo L. El origen del
sistema de coordenadas Cartesianas (x, y) se localiza en la
parte inferior del conducto y la posición de la interfase
liquido-liquido entre los fluidos en una posición y1, como se
muestra en la Fig. 1. Los potenciales zeta en las paredes
superior e inferior son considerados asimétricos, lo que
implica que 1 2 . Se tiene una alta concentración de
cargas eléctricas que se sitúan en la longitud de Debye -1
dentro de la doble capa eléctrica. Cada capa de fluido está
formada por un electrolito, y son impulsadas por fuerzas
electroosmóticas generadas debido al movimiento de cargas
eléctricas adyacentes a las paredes cuando se aplica el
campo eléctrico externo Ex a lo largo del eje x.
2.2. Ecuaciones gobernantes
El campo de flujo de los fluidos inmiscibles está gobernado
por la ecuación de Poisson-Boltzmann, que describe la
distribución del potencial eléctrico dentro de la doble capa
eléctrica
, 0,22
sinh ,e i i i i i
i
i i B f i
n z e z e
k T
= − =
(1)
así como la ecuación de continuidad para fluidos
incompresibles
0,i =v (2)
y la ecuación de cantidad de movimiento
Figura 1 – Esquema del flujo electroosmótico de dos fluidos
inmiscibles en un microcanal de placas planas paralelas.
ISSN 2448-5551 TF 23 Derechos Reservados © 2018, SOMIM
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2 ,i
i i i i
Dp
Dt = − + +
vv F (3)
donde es el potencial eléctrico, e es la densidad carga
eléctrica libre, es la constante dieléctrica, n0 es la densidad
de iones, z es la valencia del electrolito, kB es la constante de
Boltzmann y Tf es la temperatura absoluta del fluido.
Adicionalmente, v es el vector de velocidad, es la densidad
del fluido, t es el tiempo, p es la presión, es la viscosidad
dinámica y F es el vector de fuerza de cuerpo.
Adicionalmente, el subíndice i indica la capa de fluido
i=1,2.
2.3. Simplificación de las ecuaciones gobernantes
El modelo matemático para resolver el flujo electroosmótico
de los fluidos inmiscibles puede ser simplificado tomando
en cuenta las siguientes hipótesis:
• No existe gradiente de presión externo aplicado.
• Las propiedades físicas de los fluidos son independientes
del campo eléctrico local, la concentración de iones y la
temperatura [21].
• Los potenciales zeta en las paredes son suficientemente
bajos (≤ 25 mV) para considerar la aproximación de
Debye-Hückel ( )sinh / / ,B Bze k T ze k T [6, 36].
• La interfase líquido-líquido se define estable [37] y plana
[19].
• El microcanal es lo suficientemente largo (𝐿 ≫ 𝐻). Por
lo tanto, en análisis se centra en una región donde se
desprecian los efectos de entrada y salida, asumiendo un
flujo unidireccional [6, 38].
En consecuencia, las ecuaciones gobernantes (1)-(3) de
Poisson-Boltzmann, continuidad y de cantidad de
movimiento pueden ser reescritas de la siguiente manera:
2 ,i
i i
d
dy
= (4)
y
2
2
2.i i
i i i i i x
u uE
dt dy
= − (5)
2.4. Condiciones iníciales y de frontera
Las condiciones de frontera para la ec. (4) son las
condiciones de potencial en las paredes inferior y superior
del canal como:
1 1 2 2( 0) , ( ) ,y y H t = = = =
(6)
y en la interfase líquido-líquido se tiene la continuidad de
potencial y de gradiente de potencial, como:
1 1
1 1
1 1 1 1( ) ( ), , .y y y y
d dy y y y t
dy dy
= =
= = = =
(7)
Respecto a la ecuación de cantidad de movimiento, la
condición inicial para la ec. (5) está definida como:
1 2( 0) ( 0) 0, 0 ,u t u t y H= = = =
(8)
en conjunto con las condiciones de frontera de no
deslizamiento en las paredes del microcanal expresadas
como:
1 2( 0) ( ) 0, 0u y u y H t= = = =
(9)
y con las condiciones de interfase líquido-líquido de
continuidad de velocidad y balance de esfuerzos viscosos
como:
1 1
1 2
1 1 2 1 1 2( ) ( ), , 0.y y y y
u uu y y u y y t
y y
= =
= = = =
(10)
2.5. Modelo matemático adimensional
Para adimensionalizar el modelo matemático dado en la
sección anterior, se introducen las siguientes variables
adimensionales:
1
2
1
, , , , ,i i i i i
i i i
c B fi B fi
u z e z etyy t u
H u k T k TH
= = = = =
(11)
donde 1 1 1 1/c B xu k T E z e = − es la velocidad característica
de un flujo electroosmótico. Por lo tanto, las ecs. (4)-(10)
quedan en forma adimensional para las dos capas de fluido
como:
Ecuación de Poisson-Boltzmann
21
1 1
d
dy
= (12)
y
22
2 2 .d
dy
= (13)
Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento
2
21 1
1 12
u u
t dy
= +
(14)
y
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2
22 2
2 22.
u u
t dy
= +
(15)
Con sus condiciones de frontera para el potencial
1 1 2 2( 0) , ( 1) ,y y t = = = =
(16)
1 1
1 2
1 1 2 1( ) ( ), , .y y y y
d dy y y y t
dy dy
= =
= = = =
(17)
Adicionalmente, las condiciones iníciales y de frontera para
la velocidad son
1 2( 0) ( 0) 0, 0 1,u t u t y= = = = (18)
1 2( 0) ( 1) 0, 0,u y u y t= = = = (19)
11
1 2
1 1 2 1( ) ( ), , 0.y y y y
u uu y y u y y t
y y
= =
= = = =
(20)
Los parámetros adimensionales que surgen en esta sección
se presentan a continuación:
1 2 2 2
1
1 1 1
, , , , ,i i
yH y
H
= = = = =
(21)
donde, i es el parámetro electrocinético que representa la
razón entre el alto del microcanal y la longitud de Debye, 1y
es la posición adimensional de la interfase, es la razón de
densidades, es la razón de constantes dieléctricas y es
la razón de viscosidades.
3. Metodología de solución
3.1. Solución analítica del potencial eléctrico
Las ecuaciones de Poisson-Boltzmann mostradas en las
ecs. (12) y (13) se integran dos veces respecto a la
coordenada transversal adimensional y , obteniéndose las
siguientes soluciones para cada capa de fluido
respectivamente como
1 1
1 1 2 ,y y
C e C e −
= +
(22)
y
2 2
2 3 4 ,y y
C e C e −
= +
(23)
donde 21 3, ,C C C y 4C son constantes de integración las
cuales se determinan al sustituir las condiciones de frontera
dadas por las ecs. (16) y (17) en las ecs. (22) y (23), para
obtener que
1
1
2
1
1 ,C e
Ce
−−
=
(24)
( ) ( )2 1 11 1 1 1
1 1 1 1
1 2 1
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1
2 2
2
2
1 1
1,
y y y y
y y y y
A e e e B e e eC
Be e Be A e Ae e
− −
− − − −
− − −=
− − −
(25)
23 4 ,C C= −
(26)
y
( )
1
2 1 1
1
1 1 11 2
4
12
2 2
,2sinh
y y yC ee e C e
eC
y
−
− −− −
=
(27)
donde
( ) ( )2 2 21 12sinh , 2cosh .A y yB = =
(28)
3.2. Solución numérica de la velocidad
En el caso de los perfiles de velocidad, se realiza la
discretización de los modelos matemáticos de la cantidad de
movimiento para cada capa de fluido, basada en el esquema
theta ( ) de diferencias finitas [39]; por lo tanto, a partir de
las ecs. (14) y (22), se tiene que para la capa de fluido 1
( )
( )( )1 1
1 1 1 1
1; 1; 1; 1 1; 1; 1
2
1; 1 1; 1; 1 2
1 1 22
2
2(1 ) ,
n n n n n
j j j j j
n n n
j j j j y j y
u u u u u
t y
u u uC e C e
y
+ + + +
+ −
+ − −
− − + = +
− + − + +
(29)
y a partir de las ecuaciones (15) y (23) se tiene
respectivamente que para la capa de fluido 2
( )
( )( )2 2
1 1 1 1
2; 2; 2; 1 2; 2; 1
2
2; 1 1; 1; 1 2
2 3 42
2
2(1 ) ,
n n n n n
j j j j j
n n n
j j j j y j y
u u u u u
t y
u u uC e C e
y
+ + + +
+ −
+ − −
− − + = +
− + − + +
(30)
ISSN 2448-5551 TF 25 Derechos Reservados © 2018, SOMIM
MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO
donde j define una posición espacial particular de la malla
trasversal discretizada y n denota una posición temporal
particular en el dominio temporal discretizado. Por otra
parte, el paso espacial y y el paso temporal t se definen
matemáticamente como sigue
, 0,1..., ,Y
y j NN
= =
(31)
, 0,1..., ,T
t n MM
= =
(32)
donde Y es el dominio de la coordenada transversal
adimensional y T es el dominio de la variable temporal
adimensional. El número total de nodos en el dominio
computacional, espacial y temporal están dados por N y M,
respectivamente. De la discretización en el esquema de
diferencias finitas, se derivan los siguientes métodos de
solución: con 0 = , corresponde al método explícito de
Euler, con 1 = , corresponde al método implícito de Euler
y finalmente para 1/ 2 = se tiene el método implícito de
Crank-Nicholson. Tomando en cuenta que lo anterior, para
las ecs. (29) y (30) se considera que 0 = , simplificándose
de la siguiente forma respectivamente como:
( )( )1 1
1
1; 1; 1; 1 1; 1; 1 2
1 1 22
2n n n n n
j j j j j j y j yu u u u u
C e C et y
+
+ − − − − + = + +
(33)
y
( )
( )2 2
1
2; 2; 2; 1 1; 1; 1
2
2
2 3 4
2
.
n n n n n
j j j j j
j y j y
u u u u u
t y
C e C e
+
+ −
−
− − + = +
+
(34)
En el caso de los métodos explícitos, la estabilidad, depende
del tamaño de los pasos espaciales y temporales, mientras
que los métodos implícitos son incondicionalmente estables.
Por otra parte, en un esquema explícito, el valor de 1nu +
se
puede obtener directamente conociendo los valores en el
instante anterior, lo cual significa que la implementación de
los métodos será más sencilla que los implícitos.
Despejando 1
1,2;
n
ju + de las ecuaciones anteriores, se tiene que
( )
( )1 1
1; 1 1; 1; 1
21
1; 1;
2
1 1 2
2
,
n n n
j j j
n n
j j
j y j y
u u u
yu t u
C e C e
+ −
+
−
− + + = +
+
(35)
y
( )
( )2 2
2; 1 1; 1; 11
2; 2
2
2 3 4 2;
2
.
n n n
j j jn
j
j y j y n
j
u u utu
y
C e C e u
+ −+
−
− + = +
+ +
(36)
Las condiciones de frontera de no deslizamiento en las
paredes del microcanal de la ec. (19), se asumen de la
siguiente forma:
1; 0n
ju = en ; 0y j y j= = y 0,...., ,n M= (37)
2; 0n
ju = en ;y j y j N= = y 0, ...., ,n M= (38)
y las condiciones de interfase líquido-líquido a la mitad del
alto del microcanal, de la ec. (20) quedan
1; 2;
1; 1; 1 2; 1 2;
; /2 ; /2
( ; / 2) ( ; / 2),
, .
n n
j j
n n n n
j j j j
y j y j N y j y j N
u y j y j N u y j y j N
u u u ut
y y
− +
= = = =
= = = = =
− −=
(39)
De forma complementaria, la condición inicial de la ec. (18)
1;
2;
( ) 0; 1,..., / 2 1, 0
( ) 0; / 2,..., 1, 0.
n
j
n
j
u t n t j N n
u t n t j N N n
= = = − =
= = = − =
(40)
La estabilidad del método numérico se impone con la
siguiente condición / 1t y .
Con el objetivo de determinar el tiempo que emplea el
flujo electro-osmótico para alcanzar el régimen permanente,
en la solución numérica se implementó un criterio de
convergencia de la siguiente manera:
1) Para los casos con valores positivos de los
potenciales zeta, 1 y 2 , el criterio de
convergencia se evalúa en la posición central del
microcanal, expresada como:
1
/2 /2 ,n n
j N j Nu u tol+
= =−
(41)
2) Para los casos en que alguno de los valores de los
potenciales zeta, 1 y 2 sea negativo, la
evaluación se llevó a cabo en la posición /4
n
j Nu =,
debido a que la evolución de los perfiles de
velocidad no permite una evaluación en una
posición central del canal. Para estos casos el
criterio de convergencia se expresa de la siguiente
forma:
1
/4 /4 ,n n
j N j Nu u tol+
= =− (42)
Donde tol, es la magnitud del criterio de convergencia del
método, y se compara con la diferencia de velocidades en el
punto nodal analizado, a la cual se le asignó un valor de
ISSN 2448-5551 TF 26 Derechos Reservados © 2018, SOMIM
MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO
0.0001. Las ecs. (35)-(42) fueron implementadas en el
método numérico FTCS (Forward in the Time Central in
Space) [39] en lenguaje de programación de Fortran
PowerStation 4.0.
3. Análisis de resultados
Los parámetros físicos y geométricos para la estimación de
los parámetros adimensionales en este trabajo son::
1 10H m , 11 100i− nm,
i ~ 1010− 1 1CV m− − , 310i−= Nm-2s,
410xE Vm-1, 1000i kgm-3, T=300 K,
25i mV y iz ~ 010 . Adicionalmente, en esta sección de
análisis de resultados, se considera que 1 = = = .
En la Fig. 2 (a)-(d), muestra la evolución temporal de los
perfiles de velocidad de dos fluidos inmiscibles newtonianos
a través de un microcanal de placas planas paralelas
impulsados por fuerzas electroosmóticas como función de la
coordenada transversal adimensional y . Los parámetros
electrocinéticos utilizados son 1 2 20 = = . La evolución
transitoria muestra el arranque del flujo desde un tiempo 0t , hasta alcanzar el régimen permanente en un tiempo
adimensional t = . La posición de la interfase liquido-
liquido se encuentra a la mitad del microcanal con1 0.5y = ,
mientras que los potencias zeta en las paredes 1 y 2 varían
para cada caso en particular.
La Fig. 2(a) muestra el crecimiento temporal del perfil de
velocidad para dos capas de fluidos newtonianos bajo los
efectos de potenciales zeta simétricos 1 2 1 = = . En un
tiempo adimensional corto de 0.00125t = , se observa que
el movimiento de las capas de fluido inicia dentro de las
regiones de la doble capa eléctrica en las cercanías de las
paredes del microcanal, mientras que en la región central del
conducto permanece en reposo. Este comportamiento se
repite hasta que en un tiempo más avanzado en 0.0125,t =
el efecto electroosmótico se ha transmitido hacia la parte
central de las capas del fluido por arrastre viscoso. Para un
tiempo adimensional de 0.1t = , el flujo casi se ha
desarrollado, alcanzando el régimen permanente en un
tiempo de t = . Por otro lado la posición de interfase
liquido-liquido es el punto más alejado de las paredes, lo que
significa que carecerá de fuerza de cuerpo de impulso y
únicamente podrá moverse por medio de efectos de arrastres
viscoso simultáneos.
Figura 2 – Evolución del perfil de velocidad de un flujo electroosmótico en un microcanal, con el parámetro electrocinético y
diferentes valores del potencial zeta: (a) ; (b) ,, ; (c) , ; (d) , .
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En la Fig. 2(b) se observa que debido a que los
potenciales zeta en las paredes son antisimétricos, i.e.,
1 1 = − y 2 1 = el comportamiento de las líneas de
crecimiento del perfil de velocidad van en sentidos
contrarios, y la región en 0 0.5y el flujo es inverso.
Con este arreglo de los potenciales zeta en las paredes del
microcanal, se provoca un punto de estancamiento o
movimiento nulo en la posición de la interfase entre los
fluidos.
La Fig. 2(c), representa la aplicación de potenciales zeta
asimétricos, siendo el potencial zeta de la pared inferior
mayor en magnitud que el establecido en la pared superior
1 2 . Aquí en contraste con el caso anterior existe una
diferencia de distribución de cargas eléctricas lo que exhibe
un predominio del flujo en la capa del fluido 1, donde la
magnitud de cada línea tiene la tendencia de duplicar lo
obtenido en la capa de fluido 2; además, la influencia que
ejerce la capa de fluido 1 sobre la otra se puede notar a través
de la posición de interfase en 1 0.5y = , predominando los
valores negativos de la velocidad o bien, del llamado flujo
inverso.
En la Fig. 2(d) se desarrolla la evolución del perfil de
velocidad para dos fluidos newtonianos bajo la influencia de
potenciales zeta de diferentes magnitudes pero igual
polaridad,1 1 = y 2 0.5 = , de ahí que el comportamiento
del flujo se reproduce hacia una misma dirección del
microcanal, sin embargo la percepción al movimiento que
recibe la capa de fluido 1 es mayor y con esto se consigue la
velocidad más alta, mientras que del lado de la capa de
fluido 2, la concentración iónica es menor y la generación
de impulso electroosmótico resulta inferior al de la capa de
fluido 1.
En las Fig. 3 y 4, se desarrolla la evolución transitoria de
los perfiles de velocidad tomando en consideración que el
parámetro electrocinético para ambos casos es de 60 = .
Para el caso de la Fig. 3, se toman los mismo valores del
potencial eléctrico de la Fig. 2(a), en donde se puede
observar que el crecimiento del parámetro electrocinético
modifica el espesor de la doble capa eléctrica y el
comportamiento de las cargas eléctricas contenidas ahí. En
consecuencia, para cada lapso de tiempo, se tiene que los
bordes que aparecen en los extremos del perfil de velocidad
se van afinando o agudizando y pierden la forma redondeada
que aparece cuando 20 = . Al alcanzar el régimen
permanente ambas graficas en las Figs. 2(a) y 3, se
mantienen al margen de igual magnitud, sin embargo
cuando el parámetro electrocinético aumenta, también se
predice el aumento de la taza de flujo al incrementar la
velocidad en los extremos de cada capa de fluido.
Esto quiere decir que para la Fig. 4, ocurre lo mismo en
comparación con la Fig. 2(c), al tomar de referencia que para
la construcción de esta grafica se ocuparon los mismos
valores del potencial eléctrico. De acuerdo a esta tendencia
el parámetro electrocinético define la forma de los bordes
del perfil de velocidad, es decir, si este parámetro llegara a
alcanzar valores superiores a 60, las líneas de crecimiento
tenderán a perder su forma curveada y terminaran adoptando
una pendiente brusca para cada valor del tiempo y de igual
forma cuando la magnitud de este parámetro disminuya, se
podrían observar líneas con rasgos curvos o parabólicos.
4. Conclusión
En esta investigación se implementó un método numérico
para resolver el transporte de dos fluidos inmiscibles a través
de un conducto formado por placas planas paralelas,
impulsados por el fenómeno electroosmótico. Tomando en
consideración los efectos que producen los parámetros
adimensionales sobre el campo de flujo, a continuación se
enlistan los aspectos más importantes:
• La manipulación de los potenciales eléctricos, así como
sus polaridades, permiten conocer la tendencia o
dirección de flujo que tomara el perfil de velocidad en el
proceso de arranque hasta llegar al régimen permanente
• El impacto que generan la acumulación de cargas
eléctricas dentro de la doble capa eléctrica, repercute en
la magnitud de las fuerzas electroosmóticas de impulso,
en conjunto con las condiciones eléctricas de cada fluido. Figura 3 – Evolución del perfil de velocidad de un flujo
electroosmótico, con valores de y .
Figura 4 – Evolución del perfil de velocidad de un flujo
electroosmótico, con valores de , y .
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• La forma de los perfiles de velocidad se ven afectados por
la magnitud del parámetro electrocinético, desde
construir formas curvas o parabólicas con valores
pequeños de este parámetro o hasta alcanzar velocidades
con pendientes bruscas con valores superiores.
• Los casos del flujo electroosmótico con potenciales zeta
asimétricos llegan en un tiempo más corto al régimen
permanente que el caso simétrico.
Con esta investigación, se pretende extender el
conocimiento del análisis numérico espacio-temporal de
flujo de fluidos inmiscibles en micro-dispositivos y que
sirva para propuestas de diseño para el control preciso de
inyección y transporte de muestras. Por lo tanto, para trabajo
futuro se recomiendo abordar lo siguiente:
• Solución del perfil de velocidad considerando
condiciones de frontera con interacciones eléctricas en la
interfase líquido-líquido.
• Geometrías rectangulares.
• Interfases móviles.
• Considerar el estudio en fluidos no newtonianos.
Agradecimientos
Este trabajo de investigación contó con el respaldo del
proyecto de investigación SIP-20181022 del Instituto
Politécnico Nacional en México.
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