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Solucionario Estadística y Muestreo Ciro Martínez Bencardino
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Estadística y muestreo, 12ª.edición (Segunda reimpresión) - CD Cap.1 Conceptos generales Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
1 Conceptos generales
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Solución: • Estadística • Estadísticas • Estadística descriptiva • Indiferencia estadística • Población • Muestra • Variable discreta • Variable continua • Investigación parcial • Investigación total • Elemento • Unidad • Parámetro • Estimador • Muestreo aleatorio • Muestreo no aleatorio • Estadísticas primarias • Estadísticas secundarias • Estadísticas externas • Estadísticas internas • Error de muestreo • Dominio de estudio • Marco muestral • Marco defectuoso • Sustitución de unidades o elementos • Finalidad de la estadística • Preguntas de control • Preguntas abiertas • Preguntas filtro
Estadística y muestreo, 12ª.edición (Segunda reimpresión) - CD Cap.1 Conceptos generales Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
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• Muestreo aleatorio simple • Muestreo aleatorio estratificado • Muestreo doble • Muestreo por conglomerado • Error ajeno al muestreo • Características • Características cualitativas • Características cuantitativas 2. Solución: • Estadística: método aplicado en la recolección, organización, análisis y descripción
numérica de la información y en la realización de inferencias. • Estadísticas: se refiere a un ordenamiento sistemático de datos presentados en forma de
cuadros y gráficas, que permiten visualizar la información. • Estadística descriptiva: parte de lo general a lo particular, describiendo mediante
cuadros, gráficas y medidas el comportamiento de un conjunto de datos. • Inferencia estadística: parte de lo particular a lo general. A través de una muestra se
obtiene información para toda una población. • Población: objeto de la investigación. Es un conjunto de medidas o el recuento de todos
los elementos que presentan una característica común. • Muestra: recuento de una parte de los elementos pertenecientes a una población. Los
elementos se seleccionan aleatoriamente. • Variable discreta: son aquellas que admiten únicamente valores enteros. • Variable continua: son aquellas que admiten valores fraccionarios. • Investigación mayor: Se selecciona una muestra de la población cuyo resultado es
generalizado a un grupo mayor. • Investigación total: es aquella, en la cual se selecciona la totalidad de elementos de una
población. • Elemento: puede ser una entidad simple o compleja. Es indivisible. • Unidad: conjunto de elementos. Es divisible, como por ejemplo la familia, una empresa
etc., se puede descomponer en personas, trabajadores…
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• Parámetro: son medidas que describen numéricamente la característica de los
elementos de una población. • Estimador: la descripción de una característica correspondiente a los elementos de una
muestra, a través de la aplicación de medidas. • Muestreo aleatorio: cuando todos los elementos que constituyen una población, tienen
las mismas posibilidades de ser seleccionadas. Se realiza al azar. • Muestreo no aleatorio: cuando los elementos son elegidos por métodos no aleatorios, es
decir, a juicio o voluntad, generalmente a juicio del investigador o en forma caprichosa o por conveniencia.
• Estadísticas primarias: son aquellas que las personas o las empresas realizan
directamente a fin de obtener información. • Estadísticas secundarias: son informaciones que fueron producidas por otras personas o
entidades y que en un estudio o en algún momento son utilizadas. • Estadística externas: registros originados fuera de la empresa. Encuestas sobre la
opinión que tienen los consumidores sobre un producto. • Estadísticas internas: registros originados dentro de la empresa. El departamento de
producción; de Recursos Humanos, etc., producen información. • Error de muestreo: error que se puede cometer al realizar una investigación por
muestreo. Es la diferencia que hay entre parámetro y estimador. Generalmente lo establece el investigador.
• Dominio de estudio: manejo inadecuado de la estadística.
Cuando no se tiene la totalidad de los informantes y se trabaja con la información suministrada por un número de informantes, menores al tamaño de la muestra. Cuando está mal diseñada la muestra. Por ejemplo se establece un número óptimo de alumnos matriculados en la universidad y finalmente se analizan únicamente aquellas que trabajan. En cada caso la población y la muestra deben corresponder a alumnos matriculados que trabajan.
• Marco muestral: la lista o mapa completamente actualizada, que contenga las unidades
o los elementos perfectamente identificadas de la cual se selecciona la muestra.
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• Marco defectuoso: cuando contiene elementos que no corresponden a la población que se va a investigar.
• Sustitución de unidades o elementos que no informaron:
- Seleccionar un número de elementos superior al tamaño de la muestra. - Seleccionar del número total que informaron, un número igual a aquellos que no
informaron y duplicamos la información. - Sustituir el elemento que no informó por el siguiente que si informó, y que estaba en
la lista de los seleccionados. - De la población que no fue seleccionada, se extrae un número de elementos igual a
los que no informaron. • Finalidad de la estadística: suministrar información, y su utilidad dependerá en gran
parte del fin que se propongan y de la forma como se obtengan los datos. • Preguntas de control: determinan la veracidad de la información. • Preguntas cerradas: cuando se responde únicamente si o no. • Preguntas abiertas: cuando se pide una opinión. • Preguntas filtro: determinar si se debe dar por terminada la entrevista o si hay
necesidad de pasar a otras preguntas del formulario. • Muestreo aleatorio simple: cuando la población no es numerosa, las unidades se
concentran en un área pequeña, la característica investigada presenta muy poca variabilidad, además, es fácil la elaboración del marco de elementos.
• Muestreo aleatorio estratificado: implica una división de la población en grupos
denominados estratos, en tal forma que el elemento presente una característica tan definida que solo le permitirá pertenecer a un único estrato.
• Muestreo sistemático: se aplica, cuando la característica a investigar se encuentra
ordenada de mayor a menor o de menor a mayor de acuerdo al valor, tiempo o cantidad. La selección se hace a intervalos regulares
• Muestreo doble: es aplicado de preferencia, cuando no existe información auxiliar que
permita conocer los tamaños proporcionales de los estratos y hay dificultad para llegar al elemento o unidad que debe informar.
• Error ajeno al muestreo: errores o fallas que se cometen durante todo el proceso de
investigación.
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• Características: lo que se estudia en cada elemento o unidad. • Características cualitativas: se expresan mediante palabras. • Características cuantitativas: se expresan mediante números. 3. Solución: a. Población: supongamos que nos situamos en un departamento del país: Cundinamarca
y se desea hacer una investigación sobre el consumo de un determinado artículo, la población podría estar constituida por todas las amas de casa del departamento. También se podría hacer investigación sobre la totalidad de empresas; sobre los vehículos de transporte, particular o de servicio público o intermunicipal que operan en el departamento.
b. Población finita: cuando la población está constituida por un número limitado de
elementos, por ejemplo la totalidad de trabajadores del sector industrial textilero del país.
c. Muestra: se investiga una parte de la población, en este caso sería extraer una muestra
aleatorio, de los trabajadores del sector textilero del país. d. Características: tanto en la población como en la muestra, el ejemplo dado
correspondería al trabajador (como elemento) del sector textilero del país, donde las características a estudiar son múltiples, algunas de ellas podrían ser: sexo, edad, tiempo de servicio, estado civil, composición familiar, propietario de vivienda, salario, etc.
4. Solución: Estadística descriptiva: un ejemplo podría ser, la investigación sobre rendimiento académico de los estudiantes de una facultad, en una de las universidades de la capital del país. Para ello, recolectamos información sobre la totalidad de los alumnos de la facultad luego, la procesamos para la elaboración de cuadros y gráficas, con la aplicación de algunas medidas, que puede estar acompañada de comentarios y conclusiones. Estadística inductiva: solamente se obtiene información para una parte de los estudiantes, cuyos resultados son considerados como válidos para el total de alumnos matriculados en esa facultad, de esa universidad.
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5. Solución: Tener la información diaria, semanal o mensual, sobre la producción de un artículo en la empresa donde trabajó, además de otros factores que el proceso involucra. La lectura e interpretación de ese mundo de información, que constantemente se produce, a todo nivel, en cada área del saber, obliga el conocimiento y uso de la estadística. 6. Solución: Conocer la realidad de la producción de un artículo específico, en una empresa. Determinar los cambios que presentan la demanda, la producción, las ventas y los precios en una empresa ya que estos originan cambios constantemente. Determinar las causas que han llevado a la empresa a exportar un artículo; puede estar dado por un mejoramiento del precio en el mercado interno, por un volumen superior a la demanda interna, etc. 7. Solución: Hechos no repetitivos o aislados. La caída de un meteorito en una zona del país. Los hechos cualitativos que no se pueden cuantificar, como el amor a la patria; el grado de religiosidad, etc. Hechos individuales, aquellos que le ocurren a una sola persona, a una empresa, a una entidad, etc. 8. Solución: La estadística se preocupa únicamente por el estado de grupos de personas, cosas, animales, empresas, etc., de ahí que rechaza los estudios individuales, ya que no es propiamente su campo de acción. 9. Solución: 9.1 c (verdadero) 9.2 a (verdadero) 9.3 d (verdadero)
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10. Solución: 10.1 Falso 10.2 Verdadero 10.3 Falso 10.4 Cierto 10.5 Falso 11. Solución: 11.1 d 11.2 a 11.3 b 11.4 c 12. Solución: 12.1 Falso 12.3 Verdadero 12.5 Falso 12.7 Falso 12.2 Falso 12.4 Verdadero 12.6 Falso 13. Solución: A Planeamiento B Recolección C Procesamiento, análisis y publicación A. Planeamiento
- Objetivo o finalidad - Definición del elemento o unidad - Formulación de hipótesis - Método de investigación (censo o muestra) - Método de recolección - Elaboración del presupuesto - Selección y preparación del personal - Actualización o preparación del marco - Examen de la documentación y metodología - Elaboración del cuestionario - Encuesta preliminar
B. Recolección
- Distribución de los formularios - Recolección propiamente dicha
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- Revisión de las informaciones - Control sobre el número de formularios recolectados
C. Procesamiento – análisis y publicación
- Proceso de crítica de la información recibida - Elaboración de cuadros de salida y cruce de información - Procesamiento - Revisión de los cuadros y gráficos - Análisis de la información - Publicación
14. Solución: Aspectos materiales
- Tamaño del papel utilizado - Color del mismo - Tipo de impresión - Calidad del papel
Aspectos técnicos:
- Incluir únicamente las preguntas necesarias - No incluir preguntas que no van a ser contestadas - Comenzar por las preguntas fáciles hasta llegar a las más difíciles - No hacer preguntas que conlleve engorrosos cálculos - Evitar preguntas de difícil recordatorio - Utilizar el lenguaje del informante - No usar abreviaturas
15. Solución: (d) Ocupación 16. Solución: (e) Que todas tengan la misma posibilidad de ser seleccionados 17. Solución: (d) Un conjunto de medidas o el recuento de todos los elementos que tiene una
característica común.
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18. Solución: (a) Parámetro 19. Solución: (d) Los individuales 20. Solución: (e) Efectuar comparaciones sin sacar conclusiones 21. Solución: a. Verdadero b. Cualitativo c. Inferencial d. Igual e. Descriptiva 22. Solución: Objetivo o finalidad d) Grado de homogeneidad a) Costos e) Destrucción del elemento b) Tiempo f) Población infinita c) Recursos humanos g) Población demasiado grande b) Es un listado o puede ser un croquis, donde aparezcan todos los elementos o unidades que constituyen la población que va a ser objeto de la investigación, por lo tanto deben estar plenamente identificados y actualizados. a) Los colectivos f) Individuales b) Los que se registran g) No registrados c) Se repiten h) Aislados d) Distinta frecuencia i) Constantes e) Cualitativos cuantificables j) Los que no son cuantificables 23. Solución: a) Población: hogares de clase media de la ciudad Bellavista
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Muestra: 350 hogares de clase media de dicha ciudad Unidad: hogares de clase media de dicha ciudad Característica: tipo de aceite o grasa usada en la cocina Característica: cualitativa Característica: ninguna de las dos, dado que es un atributo b) Población: plantas infestadas de un jardín Muestra: 50 plantas infestadas de dicho jardín Elemento: planta infestada en dicho jardín Característica: tiempo Característica: cuantitativa Característica: variable continua c) Población: 800 alumnos de un plantel de ambos sexos de 5 a 12 años Muestra: 20 alumnos de ese plantel, de ambos sexos, de 5 a 12 años Elemento: alumnos de ese plantel, de ambos sexos, de 5 a 12 años Característica: escala de medición, de 0 a 10 puntos Característica: cuantitativa Característica: discreta 24. Solución: a) Parámetro: medidas aplicadas a las características de los elementos o unidades en una
población. Estimador: lo mismo, pero aplicado a la muestra. b) Población: conjunto de medidas o recuento de todos los elementos que constituyen la
población que es objeto de investigación. Muestra: lo mismo, pero solo es una parte de los elementos de la población.
c) Atributo: la característica cualitativa, se expresa mediante palabras y se cuantifica
mediante el conteo. Variable: característica cuantitativa se expresa numéricamente, ya sea por conteo, como sucede con la variable discreta o mediante la medición, como ocurre con la variable continua.
d) Muestreo aleatorio: todos los elementos que constituyen la población a investigar,
todos los elementos o unidades que lo conforman, tiene la misma posibilidad de ser seleccionados. También todas las muestras posibles que se pueden obtener de una población, tiene la misma posibilidad de ser seleccionados. Muestreo no aleatorio: los elementos o unidades son seleccionados caprichosamente, por conveniencia, en forma voluntaria o a juicio del investigador.
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25. Solución: El alumno podrá contribuir en la solución de este punto, consultando otros autores, con lo cual va a tener una mejor visión sobre estos términos, aun en muchos casos, encontrar definiciones diferentes a las dadas en este libro.
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2 Elaboración
de cuadros de frecuencias
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Solución: Tabla de frecuencias iy in ih iN iH
0 2 0,10 2 0,10 2 3 0,15 5 0,25 4 7 0,35 12 0,60 6 4 0,20 16 0,80 7 4 0,20 20 1,00
Σ 20 1,00 - -
iX if nf i iF
nFi
2. Solución: Cierto Falso a. ( ) ( X ) b. ( X ) ( ) c. ( ) ( X ) d. ( X ) ( ) e. ( ) ( X ) f. ( ) ( X )
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3. Solución:
nn
h ii =
nn
h 11 =
10)20,0(50)( 22 === hnn
5012,06
1
1 ===hn
n
122 HHh −=
20,012,032,02 =−=h
10)20,0(5022 ==
=nf
nf
5012,0
6
1
1 ===
nff
n
nF
nF
nf 122 −= 20,012,032,02 =−=
nf
4. Solución: a. Hogares de clase media en la ciudad de Guayaquil b. 150 hogares de clase media en esta ciudad c. Atributo d. Tipo de aceite y grasas usados en la cocina e. 7 clases. f. Hábitos de consumo de aceites y grasas g. Manteca de cerdo h. Algunos hogares informaron que usaban más de un tipo de aceite o grasa.
iy in iN ih iH
10 6 6 0,12 0,12 20 10 16 0,20 0,32 30 18 34 0,36 0,68 40 10 44 0,20 0,88 50 6 50 0,12 1,00
Σ 50 - 1,00 -
iX if iF n
f i nFi
Tipo No. de hogares
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5. Solución: a. Niños de 5 a 12 años de edad de ambos sexos, residentes en el barrio de San Eduardo de
la ciudad de Maracaibo; b. 15 niños y 15 niñas de 5 a 12 años; c. Es cuantitativa; d. Puntos de aceptación del nuevo sabor; e. Discreta; f. Numérica (puntuación de 0 a 10); g. Test de aceptación h. 8 clases
6. Solución: a. ( ) ( ) 9,14321321 =++++++ hhhhhhh 25,03 =h 1>∑ ih Falso ( ) ( ) 9,12,04,02,04,02,0 33 =++++++ hh
b. Verdadero 801620,02 ==h
c. Falso 6050 ≠=n 7. Solución:
Aceite de maíz Aceite de soya Aceite de ajonjolí Aceite sin especificar Manteca de cerdo Grasas de origen vegetal Aceite de oliva
14 65 21 17 21 6
13
Puntos No. de niños
2 3 4 5 6 7 8 10
3 1 2 3 7 9 4 1
Total 30
iy in ih iN iH
2 3 0,10 3 0,10 3 1 0,03 4 0,13 4 2 0,07 6 0,20 5 3 0,10 9 0,30 6 7 0,23 16 0,53 7 9 0,30 25 0,83 8 4 0,14 29 0,97
10 1 0,03 30 1,00
Σ 30 1,00 - -
iX if n
f i iF n
Fi
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a. Cualitativo b. Cuantitativo – discreta c. Cualitativo d. Cualitativo e. Cuantitativo – continua f. Cualitativo g. Cuantitativo - continua 8. Solución: Se deja al alumno para que investigue en otros libros a fin de determinar una definición apropiada, diferente a la dada en este libro. 9. Solución:
10. Solución: se deja al estudiante 11. Solución: a. Falso, es atributo b. Falso c. Cierto 12. Solución:
,,1 ii yy −− iy in iN ih iH ii ny
5,1 – 15 10 8 8 0,04 0,04 80 15,1 – 25 20 20 28 0,10 0,14 400 25,1 – 35 30 42 70 0,21 0,35 1.260 35,1 – 45 40 60 130 0,30 0,65 2.400 45,1 – 55 50 42 172 0,21 0,86 2.100 55,1 – 65 60 20 192 0,10 0,96 1.200 65,1 – 75 70 8 200 0,04 1,00 560
Σ - 200 - 1,00 - 8.000 ''
1 ii XX −− iX if iF nf i / nFi / ii fX
iy Tabulación in iN ih iH
3 III 3 3 0,10 0,10 4 IIII 4 7 0,13 0,23 5 IIII II 7 14 0,23 0,46 7 II 2 16 0,07 0,53 8 IIII II 7 23 0,23 0,76
10 IIII 5 28 0,17 0,93 12 II 2 30 0,07 1,00
Σ - 30 - 1,00 -
iX - if iF n
f i nFi
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Proceso a seguir:
a. n
nh i
i = 20004,0
8804,0 ==→=→ n
n
b. 04,096,000,196,000,1 77767 =−=→+=→+= hhhHH
c. 42)200(21,0333
3 =→=→= nnhnn
h
d. 204262624262 2252 =−=→=+→=+ nnnn
e. 3042
260.1260.1)42(260.1 3333 ==→=→= yyny
f. 21
,0
cyy −= ; 55102
1010,0 =−=−=y ;
22,1
cyy −= ; 15520
2
1020,
1 =−=−=y
13. Solución:
160max =x 122min =x minmax xxrango −= 12216038 −=
mc
38= 33,66
38 ==c 7=c
6427 = Se incrementó el rango en 4 unidades y el nuevo recorrido será: minmax42 xx −=
12016242 −=
''1 ii yy −− in iy iN ih iH
120,1 – 127 4 123,5 4 0,08 0,08 127,1 – 134 9 130,5 13 0,18 0,26 134,1 – 141 13 137,5 26 0,26 0,52 141,1 – 148 15 144,5 41 0,30 0,82 148,1 – 155 5 151,5 46 0,10 0,92 155,1 – 162 4 158,5 50 0,08 1,00
Σ 50 - - 1,00 - ''
1 ii XX −− if iX iF n
f i nFi
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14. Solución:
''1 ii yy −− iy in iN ih iH
2,75 – 4,25 3,5 4 4 0,08 0,08
4,25 – 5,75 5,0 16 20 0,32 0,40
5,75 – 7,25 6,5 25 45 0,50 0,90
7,25 – 8,75 8,0 5 50 0,10 1,00
Σ - 50 - 1,00 - ''
1 ii XX −− iX if iF nf i / nFi /
1'
2
1ycyo =+ '
4' 4 ycyo =+ '
4' 4 XiXo =+
Reemplazando tenemos:
5,35,0' =+ cyo 75,84' =+ cyo 75,84' =+ iXo
75,84' =+ cyo
50,35,0' −=−− cyo
25,55,3 =c === 5,15,3
25,5c i
15. Solución: a. Amas de casa del barrio El recuerdo b. 50 amas de casa del barrio El Recuerdo c. Tiempo d. Cuantitativa e. Continua. iy : 3 4 5 6 7 8 in : 3 7 10 16 9 5 = 50 16. Solución: a. Personal de una empresa b. Tiempo c. Continua d. 7=m
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e. 53 =y 72 =n 90,05 =H 32,04 =h 53 =X 72 =f 90,0/5 =nF 32,0/4 =nf 17. Solución: a. 84max =x b. 533184 =−=rango 31min =x
c. 629,640log3,31 ≅=+=m d. 9653 ≅=amplitud
='3y '
3X 57=
5X 5Y= 5,70=
nF4 50,04 == H
5F 325 == N
9== ci
''1 ii yy −− in iN ih iH iy
30,1 – 39 4 4 0,10 0,10 34,5
39,1 – 48 4 8 0,10 0,20 43,5
48,1 – 57 5 13 0,12 0,32 52,5
57,1 – 66 7 20 0,18 0,50 61,5
66,1 – 75 12 32 0,30 0,80 70,5
75,1 – 84 8 40 0,20 1,00 79,5
Σ 40 - 1,00 - - ''
1 ii XX −− if iF nf i / nFi / iX
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18. Solución:
''1 ii yy −− iy in ih iN iH
10,1 – 18 14 20 0,13 20 0,13
18,1 – 26 22 25 0,17 45 0,30
26,1 – 34 30 30 0,20 75 0,50
34,1 – 42 38 30 0,20 105 0,70
42,1 – 50 46 25 0,17 130 0,87
50,1 – 58 54 20 0,13 150 1,00
Σ - 150 1,00 - - ''
1 ii XX −− iX if n
f i iF n
Fi
Primera parte:
150654321 =+++++ nnnnnn 150654321 =+++++ ffffff
150)5(3030)5( 1111 =+++++++ nnnn
150704 1 =+n 150704 1 =+f
204
701501 =−=n
Segunda parte: (1) 225,0'
2 =+ cy
(2) 504'2 =+ cy
(2) 504'
2 =+ cy
(1) 225,0'2 −=−− cy
285,3 =c 85,3
28 ==c Luego se le va sumando este valor a partir del
22. Siendo: 22 + 8 = 30; 30 + 8 = 38, etc.
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9
Tercera parte:
428
2==c Ahora le restamos a iy y tenemos el límite inferior por ejemplo 10 y si le
sumamos formamos el límite superior que sería 18. Luego: 22-4 = 18 y 22 + 4 = 26, etc. 19. Solución: a. 7=m b. 9=m c. 11=m d. Si 20. Solución: a. No se debe utilizar este número de marcas de clase, pues la información quedaría muy concentrada en dos intervalos, cuando lo recomendado son 5 como mínimo. b. Tampoco es aconsejable un número mayor a 16, pues la amplitud se reduce y nos quedaría casi igual a una variable discreta, además, una distribución en su presentación es larga. c. Está dentro de las recomendaciones. 21. Solución: a. Falso b. Falso c. Falso d. Cierto 22. Solución:
a. ( ) ( ) 9,14321321 =++++++ hhhhhhh ( ) ( ) 9,1/////// 4321321 =++++++ nfnfnfnfnfnfnf 9,1)2,04,02,0()4,02,0( 33 =++++++ hh 25,05,029,124,1 333 =⇒=⇒=+ hhh 25,03 =h Cierto b. La frecuencia relativa no puede tener signo negativo (falso). c. Falso m = no puede ser 4, a lo sumo igual a 6.
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23. Solución: a. El 30% de las observaciones b. El 50% c. El 74% 24. Solución: a. Verdadero b. Cierto c. Falso d. Falso 25. Solución:
Diagramas de frecuencias absolutas y acumuladas
Fre
cue
nci
as
Variable
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ni
Fre
cue
nci
as
Variable
30
25
20
15
10
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Ni
26. Solución:
iy in iN
3 3 3 4 4 7 5 7 14 7 2 16 8 7 23
10 5 28 12 2 30
Σ 30 -
iX if iF
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
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Histógrama y polígono Ojiva de frecuencias
Fre
cue
ncia
s
Estaturas (cm)
15
10
5
0 120 127 134 141 148 155 162
ni
ii yy '' 1 −−
Fre
cue
ncia
s
Estatura (cm)
Ni
50
0 120 127 134 141 148 155 162
40
30
20
10
ii yy '' 1 −−
27. Solución: Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas
Fre
cue
ncia
s
Variable
16
14
12
10
8
6
4
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
ni
Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas
Fre
cue
ncia
s
Variable
50
40
30
20
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Ni
28. Solución:
iy in iN
3 3 3 4 7 10 5 10 20 6 16 36 7 9 45 8 5 50 Σ 50 -
iX if iF
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
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''1 ii yy −− in iN
10,1 – 18 20 20 18,1 – 26 25 45 26,1 – 34 30 75 34,1 – 42 30 105 42,1 – 50 25 130 50,1 – 58 20 150
Σ 150 - ''
1 ii XX −− if iF
Histógrama y polígono Ojiva de frecuencias
Fre
cue
ncia
s
Variable
30
25
20
15
10
5
0 10 18 26 34 42 50 58
ni
ii yy '' 1 −−
Fre
cue
ncia
s
Variable
150
100
50
0 10 18 26 34 42 50 58
Ni
ii yy '' 1 −−
29. Solución: Histógrama y polígono de frecuencias
Fre
cue
ncia
s
Variable
4
3
2
1
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
ci
ni
52
ii yy '' 1 −− 30. Solución: a. Es el promedio que se obtiene entre el límite inferior y el límite superior de cada intervalo.
''1 ii yy −− in iN ic ii cn
4,1 – 20 30 30 16 1,88 20,1 – 24 16 46 4 4,00 24,1 – 32 20 66 8 2,50 32,1 – 40 10 76 8 1,25 40,1 – 52 24 100 12 2,00
Σ 100 - - - ''
1 ii XX −− if iF i if i /
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
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b. Variable que toma valores fraccionarios, se trabaja con decimales. c. La diferencia que hay entre el límite superior y el inferior en cada intervalo. d. Es una gráfica de áreas representado por medio de rectángulos cuando la amplitud es constante, en una variable continua. e. Es otra gráfica de línea poligonal, utilizando marcas de clase y las frecuencias. f. Es el mismo intervalo de clase. 31. Solución: a)
''1 ii yy −− ih iH in iN ic ii cn
8,1 – 18 0,30 0,30 240 240 10 24,00 18,1 – 48 0,25 0,55 200 440 30 6,67 48,1 – 98 0,18 0,73 144 584 50 2,88 98,1 – 148 0,14 0,87 112 696 50 2,24
148,1 – 198 0,13 1,00 104 800 50 2,08 Σ 1,00 - 800 - - -
''1 ii XX −− n
f i nFi if iF i n
f i
b. El 73% de las empresas venden menos de 98 millones de pesos.
Variable
Fre
cue
nci
as
25
20
15
10
5
ci
ni
0 8 18 28 38 48 58 68 78 8898 108 118 128 138 148 158 168 178 188 198
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32. Solución:
39151190 =−=Rango 6,650log3,31 =+=m (6 ó 7)
7639 ==Amplitud 42150192 =−=rangodelónRedefinici
''1 ii yy −− in ih iN iH iy
150,1 – 157 4 0,08 4 0,08 153,5
157,1 – 164 13 0,26 17 0,34 160,5
164,1 – 171 19 0,38 36 0,72 167,5
171,1 – 178 9 0,18 45 0,90 174,5
178,1 – 185 3 0,06 48 0,96 181,5
185,1 – 192 2 0,04 50 1,00 188,5
Σ 50 1,00 - - - ''
1 ii XX −− if n
f i iF n
Fi iX
Histógrama y polígono
Fre
cue
nci
as
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0150 164 171 178 185 192157
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
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Ojiva ascendente
Estatura (cm)
Fre
cue
ncia
60
50
40
30
20
10
0150 157 164 171 178 185 192
ii yy '' 1 −−
33. Solución:
533184 =−=Rango 740log3,31 ≅+=m (no importa si trabajamos con 7 o 6)
8753 ==Amplitud 56308656 =−⇒=rangodelónRedefinici
''1 ii yy −− in ih iN iH iy
30,1 – 38 4 0,100 4 0,100 34
38,1 – 46 2 0,050 6 0,150 42
46,1 – 54 5 0,125 11 0,275 50
54,1 – 62 5 0,125 16 0,400 58
62,1 – 70 12 0,300 28 0,700 66
70,1 – 78 9 0,225 37 0,925 74
78,1 – 86 3 0,075 40 1,000 82
Σ 40 1,000 - - -
''1 ii XX −− if
nf i iF
nFi iX
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
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Ojiva ascendente
Fre
cue
nci
as
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Ni
30
Rangos38 46 54 62 78 8670
ii yy '' 1 −−
34. Solución: a) Falso b) Falso c) Falso d) Cierto e) Falso f) Falso (Gráfica) (Cualitativo) (Cartagena) (Continua) (Muestra) 35. Solución:
Costo estimado (Cientos de $)
CONVENCIONES
depreciación
mantenimiento
gasolina
seguros
estacionamiento
impuesto
63,55%
2,22% 2,27%5,10%
12,71%
14,15%
36. Solución: Además de ser un complemento del cuadro, tiene la virtud de visualizar mejor la información.
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37. Solución: Ventas Ventas (mill de $) (mill de $)
Mill
one
s $
Años
9.000
8.000
7.000
6.000
5.000
4.000
3.000
2.000
1.000
2001 2002 2003 2004 2005 2006
Mill
one
s $
Años
9.000
8.000
7.000
6.000
5.000
4.000
3.000
2.000
1.000
2001 2002 2003 2004 2005 2006
(Gráfica lineal) (Gráfica de barras) 38. Solución: Costos y ventas Costos y ventas (mill de $) (mill de $)
Años
250
200
150
100
50
2002 2003 2004 2005 2006
Mill
one
s $
ventascostos Años
250
200
150
100
50
2001 2002 2003 2004 2005
Mill
one
s $
ventas
costos
(Gráfica lineal) (Gráfica de barras dobles)
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
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39. Solución:
Opinión porcentual de posibles votos (positivos y negativos) para congreso y presidente
Negativo77,76%
Positivo22,24%
Negativo51,68%
Positivo48,32%
voto negativo
voto positivo
CONVENCIONES
Congreso Presidente 40. Solución: Valor producción y ventas Valor producción y ventas (mill Tons) (mill Tons)
Años
800
700
600
500
400
300
200
100
2001 2002 2003 2004 2005
Mill
one
s de
ton
ela
das
producción
ventas Años
800
700
600
500
400
300
200
100
2001 2002 2003 2004 2005
Mill
one
s de
ton
ela
das
producciónventas
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
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41. Solución:
Histógrama y polígono
Fre
cue
ncia
s
Variable
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0 4 8 12 16 20 24 28 32 3640 44 48
ci
ni
52
ii yy '' 1 −− 42. Solución:
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
%
Taxis
Computadores
Betamax
Teléfono celular
Automóvil particular
CONVENCIONES
''1 ii yy −− in ic ii cn iy
4,1 – 24 36 20 1,8 14 24,1 – 32 20 8 2,5 28 32,1 – 36 18 4 4,5 34 36,1 – 48 22 12 1,83 42 48,1 – 52 14 4 3,50 50
Σ 110 - - - ''
1 ii XX −− if i i
f i iX
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
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43. Solución: Encuesta realizada para conocer la opinión sobre contratación de un supervisor RESULTADOS DE LA ENCUESTA SOBRE LA CONTRATACIÓN DE UN SUPERVISOR a) b)
Voto
s
250
200
150
100
50
No No estáseguro
Norespondió
35,88%No
responde
25,64%No estáseguro
14,78%No
23,7%Si
CONVENCIONES
Si
No
No esta seguro
No responde c. Resultados: 35,88% no respondió; Respondió afirmativamente el 23,7%; No está
seguro, el 25,64%; 14,78% Respondió negativamente. TOTAL: 100% 44. Solución: a. Tiempo que se gasta en una transacción bancaria
481462 =−=Rango 630log3,31 =+=m
8648 ==Amplitud
''1 ii yy −− in ih iN iH
14,0 – 22 9 0,30 9 0,30 22,1 – 30 5 0,17 14 0,47 30,1 – 38 5 0,17 19 0,64 38,1 – 46 5 0,17 24 0,81 46,1 – 54 4 0,13 28 0,94 54,1 – 62 2 0,06 30 1,00
Σ 30 1,00 - -
iX if n
f i iF n
Fi
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
21
b. Histógrama y Polígono de frecuencias
Fre
cue
nci
as
Variable
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 14 22 30 38 46 54 62
ni
ii yy '' 1 −−
45. Solución: a.
Ventas y costos compañía x (mil mill $)
Años Ventas netas Costos ventas 2001 19.116 15.776 2002 15.586 12.895 2003 13.534 18.287 2004 21.344 18.476 2005 27.342 20.698 2006 30.620 25.382
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
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b.
Ventas y costos compañía x Ventas y costos compañía x 2001 - 2006 2001 - 2006
Años
30.000
25.000
20.000
15.000
10.000
5.000
0
2002 2003 2004 2005 2006
Mile
s de
mill
ones
$
2001
ventascostos
Años
30.000
25.000
20.000
15.000
10.000
5.000
0
2002 2003 2004 2005 2006M
iles
de m
illon
es $
2001
ventas
costos 46. Solución:
iy in iN
2 7 7 4 15 22 6 8 30 8 10 40
10 16 56 12 4 60
Σ 60 -
iX if iF
Diagrama frecuencias Diagrama frecuencias absolutas absolutas acumuladas
Variable
20
15
10
5
0 2 4 6 8 10 12
ni
y i
Variable
60
50
40
30
20
10
0 2 4 6 8 10 12
Ni
ii yy '' 1 −−
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
23
47. Solución:
Artículos Porcentajes Camisas Corbatas Calcetines Pantalones Otros
42 8 5
34 11
Total 100 Ventas porcentuales Ventas Porcentuales Almacén x (agosto 2006) almacén x (agosto 2006)
Po
rcen
taje
s
50
40
30
20
10
0 Cam
isas
Corb
atas
Ca
lcetin
es
Pa
ntalo
nes
Artículos
42%
8% 5%
34%
Otros
11%
42%
CONVENCIONES
camisas
pantalones
corbatas
calcetines
otro
34%8%
5%
11%
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
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48. Solución:
iy in iN ih iH
0 7 7 0,18 0,18 1 3 10 0,07 0,25 2 10 20 0,25 0,50 3 9 29 0,22 0,72 4 5 34 0,12 0,84 5 3 37 0,07 0,91 6 1 38 0,03 0,94 7 1 39 0,03 0,97 8 1 40 0,03 1,00
Σ 40 - 1,00 -
iX if iF n
f i nFi
Diagrama de frecuencias Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas absolutas
Variable
40
30
20
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Ni
Variable
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
ni
49. Solución:
553994: =−Rango 630log3,31 =+=m
606
55 ≅=Amplitud Se aproximó a 60, por lo tanto se incrementó el nuevo rango en 5;
)6610( =×
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
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''1 ii yy −− in iN ih iH iy
36,1 – 46 5 5 0,17 0,17 41
46,1 – 56 4 9 0,13 0,30 51
56,1 – 66 7 16 0,23 0,53 61
66,1 – 76 6 22 0,20 0,73 71
76,1 – 86 5 27 0,17 0,90 81
86,1 – 96 3 30 0,10 1,00 91
Σ 30 - 1,00 - - ''
1 ii XX −− if iF nf i / nFi / iX
Histógrama y polígono Ojiva ascendente de frecuencias
Fre
cue
ncia
s
Variable
7
6
5
4
3
2
1
36 46 56 66 76 86
ni
96ii yy '' 1 −−
Fre
cue
nci
as
Variable
30
25
20
15
10
5
36 46 56 66 76 86
Ni
96ii yy '' 1 −−
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
26
50. Solución: a. Gráfica circular Ventas porcentuales por almacenes y jornadas
33,37%Carulla
31,45%Exito
15,29%Carrefour
19,89%Vivero
23,36%Exito
20,81%Vivero
27,03%Carulla
28,81%Carrefour
16,33%Carulla
21,99%Exito
33,67%Vivero
28,01%Carrefour
CONVENCIONES
Carrulla
ExitoCarrefour
Vivero
Jornada mañana Jornada tarde Jornada noche de 9 a 11 am de 1 a 5 pm de 5 a 10 pm Ventas porcentuales Ventas porcentuales Ventas porcentuales Jornada 9 a 11 am Jornada 1 a 5 pm Jornada 5 a 10 pm
% V
enta
s (v
alo
r)
50
40
30
20
10
Caru
lla
Carre
ofour
Exito
Vivero
Almacenes
22,5
38,6
30,3
46,4
50
40
30
20
10
Carulla
Carre
ofo
ur
Exito
Vivero
Almacenes
42,645,4
36,832,8
% V
enta
s (v
alo
r)
50
40
30
20
10
Carulla
Carre
ofour
Exito
Vivero
Almacenes
34,9
16,0
32,9
20,8
% V
enta
s (v
alo
r)
51. Solución:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
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a. Producción y ventas (miles mill $) 2002 - 2006
Valo
res
800
700
600
500
400
300
200
100
02002 2003 2004 2005 2006
producción
ventas b. Producción y ventas (miles mill $) 2002 - 2006
Años
800
700
600
500
400
300
200
100
2002 2003 2004 2005 2006
Mill
one
s d
e to
nela
das
ventasproducción
52. Solución:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
28
La mayoría, equivocadamente realiza una gráfica circular, sin darse cuenta que un alumno puede practicar más de un deporte y el porcentaje se obtiene sobre el número de alumnos encuestados en este caso son 120.
etc.
%17,393917,0120
47
%83,101083,0120
13
==
==
Porcentaje de alumnos que practican un determinado deporte
Po
rcen
taje
s
60
50
40
30
20
10
0 Aje
dre
z
Balo
nce
sto
Balom
pie
Nata
ción
Deportes
10,83
39,17
51,67
28,33
Ciclism
o
Tenis
16,67
6,67
Gráfica mal elaborada Si la distribución de alumnos por práctica deportiva, se hace mediante una gráfica circular, queda mal elaborada, ya que la sumatoria de alumnos no es igual al tamaño de la muestra.
Deportes No. de alumnos % Ajedrez Baloncesto Balompie Natación Ciclismo Tenis
13 47 62 34 20 8
10,83 39,17 51,67 28,33 16,67 6,67
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
29
Distribución de alumnos por deporte
Ciclismo10,87%
Natación10,48%
Ajedrez7,07%
Balompié33,70
Baloncesto25,54%
Tenis4,35%
CONVENCIONES
ajedrez
baloncesto
balompié
ciclismo
natación
tenis
53. Solución: ( ) ( ) 95,04321321 =++++++ hhhhhhh
95,0)20,015,010,0()15,010,0( 33 =++++++ hh
125,025,0295,070,02 333 =⇒=⇒=+ hhh
15,010,025,0 222212 =⇒+=→=+= hhHhhH
( ) 20,010,026 ==h
⇒=n
410,0 40
10,0
4 ==n
( ) 64015,02 ==n 5)40(125,03 ==n ( ) 940225,05 ==n
Histograma y polígono
''1 ii yy −− iy ih in
35,1 – 45 40 0,100 4 45,1 – 55 50 0,150 6 55,1 – 65 60 0,125 5 65,1 – 75 70 0,200 8 75,1 – 85 80 0,225 9 85,5 – 95 90 0,200 8
Σ - 1,000 40 ''
1 ii XX −− iX n
fi if
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.2 Elaboración de cuadros Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
30
Fre
cue
nci
as
Variable
10
8
6
4
2
0 35 45 55 65 75 85 95
ni
ii yy '' 1 −−
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
3 Medidas de
posición o de tendencia central
EJERCICIOS RESUELTOS
MEDIA ARITMÉTICA 1. Solución:
iY in ''iZ ii nZ ''
10 6 -2 -12 20 10 -1 -10
→y 30 18 0 0
40 10 1 10 50 6 2 12
Σ 50 - 0
iX if 'id ii fd '
CZ
Z i''
''∑=
iAX
d ii
−='
n
nZCOy ii
t
''∑+= =tO A 30= 30)0(1030 =+=y
30'
=
+= ∑
n
fdiAX ii NOTA: en una distribución SIMÉTRICA como la del ejercicio, la
Media se localiza en el centro de la distribución
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
2
2. Solución:
2.1 26.14150063.7 ==
Σ=
nx
x i
2.2 m = 1 + 3,3 log 50 = 6,61 (6 o 7); 717,66
123160 ≅=−=C
''
1 ii yy −− in iy ii ny ih ii hy iZ ii nZ
120,1 – 127 4 123,5 494,0 0,08 9,88 -16,8 -67,2 127,1 – 134 9 130,5 1.174,5 0,18 23,49 -9,8 -88,2 134,1 – 141 13 137,5 1.787,5 0,26 35,75 -2,8 -36,4 141,1 – 148 15 144,5 2.167,5 0,30 43,35 4,2 63,0 148,1 – 155 5 151,5 757,5 0,10 15,15 11,2 56,0 155,1 – 162 4 158,5 634,0 0,08 12,68 18,2 72,8
Σ 50 - 7.015,0 1,00 140,30 - 0
''1 ii XX −− if iX ii fX
nf i
i
ii n
fX id ii fd
Nuevo rango = 162 – 120 = 42 2.3
(a) nny
y iiΣ=
nfX
X iiΣ= 3,140
50015.7 ==y
(b) ii hyy Σ= ( )nfXX ii /Σ= 3,140=y
(c) ( ) 0=−Σ=Σ iiii nyynZ 0=Σ ii fd (Ver última columna)
(d) nnZ
COy iit
''∑+=
nfd
AX ii∑+=
tii OyZ −=' AXd ii −=
150=tO 150=A
−+=
50485150y
'iZ in
ii nZ ' -26,5 4 -106,0 -19,5 9 -175,5 -12,5 13 -162,5 -5,5 15 -82,5 1,5 5 7,5 8,5 4 34,0 Σ 50 -485,0
AX i − if ii fd
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
3
3,1407,9150 =−=y 3,140=X Cuando: AOt == 134
+=
50315134y
3,1403,6134 =+=y 3,140=X 2.4
'iZ ''
iZ in ii nZ '' 3,5 0,5 4 2,0 10,5 1,5 9 13,5 17,5 2,5 13 32,5 24,5 3,5 15 52,5 31,5 4,5 5 22,5 38,5 5,5 4 22,0
Σ - 50 145,0
AX i − 'id if ii fd '
n
nZcOy ii
t
''∑+=
+= ∑
nfd
iAX ii'
cZ
Z ii
''' =
i
AXd i
i
−='
tii OyZ −=' AXd ii −= Cuando:
120=tO 120=A
+=
501457120y 3,140=X
ti oy − in iti noy )( −
-10,5 4 -42,0 -3,5 9 -31,5 3,5 13 45,5
10,5 15 157,5 17,5 5 87,5 24,5 4 98,0 Σ 50 315,0
AX i − if ii fd
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
4
( ) 3,1409,27120 =+=y Cuando 162=tO
n
nZcOy ii
t
''∑+=
−+=
501557162y
( )1,37162 −+=y 3,1407,21162 =−=y 162=A
+= ∑
nfd
iAX ii'
3,140=X 2.5 Este punto se deja para que sea solucionado por el estudiante 3. Solución: a) Primera submuestra b) Segunda submuestra
923,1321 =Σ
=n
nyy ii 291,148
22 =
Σ=
nny
y ii
923,13226456.3
1 ==y 29,14824
0,559.32 ==y
'iZ ''
iZ in ii nZ ''
-38,5 -5,5 4 -22,0 -31,0 -4,5 9 -40,5 -24,5 -3,5 13 -45,5 -17,5 -2,5 15 -37,5 -10,5 -1,5 5 -7,5 -3,5 -0,5 4 -2,0 Σ - 50 -155,0
AX i − 'id if ii fd '
iy in ii ny
123,5 4 494,0 130,5 9 1.174,5 137,5 13 1.787,5
Σ 26 3.456,0
iX if ii fX
iy in ii ny
144,5 15 2.167,5 151,5 5 757,5 158,5 4 634,0
Σ 24 3.559,0
iX if ii fX
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
5
923,1321 =Σ
=n
fXX ii
∑
+=
iwwXwX
X 211 291,1482 =Σ
=n
fXX ii
nfXfX
X 2211 += 21
2211
nn
nynyy
++= 3,140
2426
)24(291,148)26(923,132 =++=
b) [ ] xKM KX = [ ] 6,280)3,140(2 ==KXM
La propiedad se refiere a: “La media aritmética del producto de una constante por una variable es igual a la media de la variable, multiplicado por la constante”.
iy Kyi in ii nKy
123,5 247 4 988 130,5 261 9 2.349 137,5 275 13 3.575 144,5 289 15 4.335 151,5 303 5 1.515 158,5 317 4 1.268 Σ - 50 14.030
iX iKX if ii fKX
[ ] [ ] ⇒= YKY KMM [ ] [ ]XKX KMM =
[ ] ⇒= yKM KY [ ] XKM KX =
[ ] ( ) 60,28030,1402 ==KYM
[ ] 60,28050030.14 ==KYM
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
6
4. Solución
∑=
7
1
'
iid = 7
7
1
' =∑=i
iZ 55=tO 10=C 11040
765
7
5=++=∑
=hhhh
ii
55=A 10=i 11040765
7
5=++=∑
= nf
nf
nf
i
11040
765
7
5=++=∑
=hhhh
ii
11040765
7
5=++=∑
= nn
nn
nn
i
110=n 40765 =++ nnn 401155 =++n 2416405 =−=n
Otra solución posible:
17
1=∑
=iih
=++
=++
11040
11040
765
321
hhh
hhh
11030
4 =h
44321 11070 Hhhhh ==+++
nN
H 44 = 110
6363,070
4
4 ===NH
n
Por este método permite encontrar, que n puede ser cualquier valor diferente a 110.
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
7
''1 ii yy −− iy in iN ii ny ''
iZ 'iZ ii nZ ' ii nZ ''
30,1 – 40 35 1 1 35 -2 -20 -20 -2 40,1 – 50 45 15 16 675 -1 -10 -150 -15
50,1 – 60 55 24 40 1.320 0 0 270.1170−
12717−
60,1 – 70 65 30 70 1.950 1 10 300 30 70,1 – 80 75 24 94 1.800 2 20 480 48 80,1 – 90 85 15 109 1.275 3 30 450 45 90,1 – 100 95 1 110 95 4 40 40 4
Σ - 110 - 7.150 7 - 1.100 110 ''
1 ii XX −− iX if iN ii fX 'id id ii fd ii fd '
Calculamos la media aritmética, aplicando algunas fórmulas ya vistas
a) nny
y iiΣ= 65
110
150.7 == 65=Σ=n
fXX ii
b) nnZ
Oy iit
'∑+= 651055
110
100.155 =+=+= 65=+= ∑
n
fdAX ii
c) nnZ
cOy iit
''∑+= 651055
110
1101055 =+=
+= 65'
=
+= ∑
nfd
iAX ii
NOTA: Como la distribución es SIMETRICA, la media ubica en la mitad de la variable (marcas de clase) 5. Solución:
''1 ii yy −− iN iy in ii ny ''
iZ ii nZ '' 'iZ ''
iZ ii nZ '' 6,1 – 12 8 9 8 72 -3 -24 -21 -3,5 -28,0
12,1 – 18 12 15 4 60 -2 -8 -15 -2,5 -10,0 18,1 – 24 40 21 28 588 -1 -28 -9 -1,5 -42,0
24,1 – 30 70 27 30 810 0 4060− -3 -0,5 -15,0
30,1 – 36 90 33 20 660 1 20 3 0,5 10,0 36,1 – 42 100 39 10 390 2 20 9 1,5 15,0 Σ - - 100 2.580 - -20 0 0 -70,0
''1 ii XX −− iN iX if ii fX 'id ii fd ' id 'id ii fd '
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
8
a) n
nyy iiΣ
= 80,25100
580.2 ==
nnZ
cOy iit
''∑+= 80,25
100
12027
100
20627 =
−=
−+=
80,25=Σ=n
fXX ii 80,25
'
=
+= ∑
nfd
iAX ii 27=A
b) 80,2510042030
10070630 =
−=
−+=y 80,25=y =tO A 30=
6. Solución:
751 =n 100=n 6,521 =x 252 =n 4,482 =x
( ) ( )galonesx 55,51
100254,48756,52 =+=
7. Solución:
500=n 1501 =n 3502 =n 57,1=x 52,11 =x
nnxnx
x 2211 +=
( ) ( )500
35015052,157,1 2x+
= ∑
+=
iwwxwx
X 2211
( ) 235022850057,1 x+=
mediaestaturadeMtsx 59,1350
2287852 ==−
8. Solución:
200=n ?1 =n ?2 =n 20021 =+ nn 21 200 nn −=
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
9
96,160=x 4,1631 =x 3,1572 =x
2003,1574,163
96,160 21 nn += ; ( ) 22 3,1572004,163192.32 nn +−=
22 3,1574,163680.32192.32 nn +−= 4881,6 2 =n
801,6
4882 ==n Estudiantes
120802001 =−=n Estudiantes 9. Solución:
?=n 271 =n ?2 =n 98,60=x 30,571 =x 30,652 =x
( )
2
2
273,65273,57
98,60n
n++=
22 3,651,547.198,6046,646.1 nn +=+ 232,436,99 n= 232 =n Estudiantes 10. Solución:
45=n 201 =n 252 =n 55=x 4,481 =x ?2 =x
( ) ( )
4525204,48
55 2x+=
225968475.2 x+= 28,602 =x Puntos
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
10
11. Solución:
100=n 401 =n 602 =n 3,186=x ?1 =x 1012 −= xx
( ) ( )
100106040
3,186 11 −+=
xx
( )
1006006040
3,186 11 −+=
xx
6006040630.18 11 −+= xx
30,192100
230.191 == x
30,1821030,1922 =−=x Libras 12. Solución:
91=n 21 nn = 513 −= nn 3,69=x 4,701 =x 2,642 =x ?3 =x
91321 =++ nnn
( ) 9152 11 =−+ nn
9153 1 =−n
963 1 =n 32396
1 ==n 322 =n 273 =n
( ) ( )
9127322,64324,70
3,69 3x++= ; 04,74
271,999.1
3 ==x Promedio de calificación
13. Solución:
000.920=x 000.9701 =x 000.8402 =x ?1 =h ?2 =h
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
11
nnxnx
x 2211 += 2211 hxhxx += 211 hh += 21 1 hh −=
( ) 2221 1 hxhxx +−= ( ) 22 000.8401000.970000.920 hh +−=
22 000.840000.970000.970000.920 hh +−= 000.50000.130 2 =h
%46,383846,0000.130000.50
2 ===h Hombres %54,616154,0000.130000.80
1 ===h Mujeres
14. Solución:
000.938=x 000.78=K [ ] xKM XK +=+
000.016.1000.938000.78 =+=+ xK Salario promedio
15. Solución:
0,70=x 4,681 =x 2,712 =x ?1 =n ?2 =n
21
21 2,714,6870
nnnn
++= → 2121 2,714,687070 nnnn +=+
2211 702,714,6870 nnnn −=− 21 2,16,1 nn =
75,06,12,1
2
1 ==nn
Es la relación
16. Solución:
351 =n 152 =n 50=n ?=x
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
12
5,171 =x 85,3100225,17 =× 112 %22 xxx −= ; 65,1385,35,172 =−=x
nnxnx
x 2211 +=
( ) ( )
345,1650
75,2045,61250
1565,13355,17 =+=+=x Edad media del curso
17. Solución:
100=n ?1 =n ?2 =n 10021 =+ nn 21 100 nn −=
750.18=x 580.171 =x 780.192 =x
100780.19580.17
750.18 21 nn +=
( ) ( ) 22 780.19100580.17100750.18 nn +−=
22 780.19580.17000.758.1000.875.1 nn +−=
53200.2000.117
2 ==n Artículos 471 =n Artículos
18. Solución:
ii hyy Σ= 15,18=
( )nfxx ii /Σ= 15,18= Promedio de empleados por sucursal
iy ih ii hy
17 0,10 1,70 18 0,65 11,70 19 0,25 4,75 Σ 1,00 18,15
iX nf i / ( )nfX ii
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
13
19. Solución:
nx
x iΣ= b) 000.83=x a)
51810180.5 ==x
800.51$
800.314$000.180000.83800.51 =++=x
Costo total promedio mensual
c) 18010
800.1 ==y
000.180$ 20. Solución:
ix
560 640 380 600 420 280 550 700 420 630
5.180
''1 ii yy −− in iy ii ny
80,1 – 120 1 100 100 120,1 – 160 3 140 420 160,1 – 200 2 180 360 200,1 – 240 3 220 660 240,1 – 280 1 260 260
Σ 10 - 1.800 ''
1 ii XX −− if iX ii fX
iy in ii ny
500 10 5.000 600 16 9.600 700 35 24.500 800 26 20.800 900 13 11.700 Σ 100 71.600
iX if ii fX
iy + 7% iy +49
535
642
749 →← igual
856 favorable
963
549 favorable
649
749
849
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21. Solución: a) Falso b) Falso c) Falso d) Falso (no puede ser mayor a 1) Se le deja al alumno investigar el por qué 22. Solución:
a) ( )
2
2
254,68,325
8,5n
n++=
( ) ( ) 22 4,68,3258,5258,5 nn +=+ 22 4,6958,5145 nn +=+ 22 8,54,695145 nn −=− 26,050 n=
836,0
502 ==n (Redondeamos)
108258312 =+=+ nn Cierto, el curso tiene más de 90 alumnos.
949
iy in iH – – – – – – – – –
4y – _3,0
=
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b) 7,06 =H 3,04 =H %40/ciertoR 4,03,07,046 =−=− HH
c) Siendo: 321 nnn == 321 fff == es falso
000.7513
000.864000.754000.635 =++=x
000.754000.751 ≠ Siendo: 321 nnn ≠≠ puede ser posible. Cuando 321 nnn == no es posible.
000.254000.864000.754000.635 321 =
++=
n
nnnx
(Procedimiento válido cuando 321 nnn ≠≠ 321 fff ≠≠ ) d) Falso. En el cálculo de la media geométrica no se necesita de la amplitud. e) 75% Hombres empleados públicos 81% Hombres sector privado
%100%25 Mujeres empleados públicos
%100%19 Mujeres sector privado
%22244
21925 ==+=x Mujeres en ambos sectores (Cierto)
– –
6y – – – – – – –
iX iX
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f) Cierto. Si normalmente %100o1∑ =ih , al multiplicar la frecuencia relativa por 2 nos queda: ∑ = 22 ih ; ∑ == %20000,2ih por lo tanto la media se duplica. 23. Solución: a) Cierto b) Falso c) Cierto 24. Solución: a) El total de apartamentos de esa urbanización b) Los 50 apartamentos de esa urbanización c) Tiempo de permanencia del aroma d) Tiempo: horas, minutos, segundos, corresponde a una variable continua. e)
nny
y iiΣ= 1,6
50305 ==y Horas
n
fXX iiΣ= 1,6= Horas
f) Se le deja al estudiante la elaboración de la gráfica. 25. Solución: 000.655=x Para el conjunto de personal se tiene: a) Un aumento de 400.707$)08,1(000.655%8 ==⇒ x También se puede resolver: [ ] 400.707$000.655400.52 =+=+ XKM
iy in ii ny
3 3 9 4 7 28 5 10 50 6 16 96 8 9 72
10 5 50 Σ 50 305
iX if ii fX
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400.52$08,0000.655 =× correspondiente al aumento del 8% b) Un aumento del 750.687$)05,1(000.655%5 ==⇒ x [ ] 750.687$000.655750.32 =+=+=+ xKM XK
Para el grupo es más conveniente la primera alternativa del 8% de aumento. 26. Solución: 000.752$000.90000.662)000.330(000.662 =+=×+=x Será el nuevo promedio de salario mensual. 27. Solución:
a) nx
x iΣ= %075,8
46,43,98,56,12 =+++=x Es el margen de utilidad
b)
nny
y iiΣ= 0937,0
000.562653.52 ==⇒ y
0937,0=Σ=n
fXX ii
El margen de utilidad es del 9,37%
c) La más representativa es 9,37% y no de 8,075% dado que es ponderada, teniendo en cuenta la totalidad de las ventas por cada línea de producto. 28. Solución:
a) nx
x iΣ= %475,1
49,5
44,16,21,18,0 ==+++=⇒ x
iy in ii ny
0,126 214.000 26.964 0,058 90.000 5.220 0,093 183.000 17.019 0,046 75.000 3.450 Σ 562.000 52.653
iX if ii fX
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Porcentaje de artículos defectuosos. Este cálculo se hace para que el alumno note la diferencia con la media ponderada b)
n
nyy iiΣ
=
n
fXX iiΣ=
%73,10173,0000.61
058.1 ===y
Son 1.058 (miles de unidades) producidas en forma defectuosa, para un porcentaje de 1,73% de la producción. 29. Solución:
801 =n 1202 =n 000.620=x 500.5821 += xx
801 =f 1202 =f
( ) ( )200
12080500.58000.620 22 xx ++
=
( ) ( ) 22 12080500.5880000.620200 xx +×+=
2200000.680.4000.000.124 x=−
2200000.320.119 x=
600.596200
000.320.1192 ==x Promedio salarial mensual
500.58600.5961 +=x
100.6551 =x Promedio mensual de salario
iy in ii ny
0,008 8.300 66,4 0,011 12.600 138,6 0,026 24.300 631,8 0,014 15.800 221,2
Σ 61.000 1.058,0
iX if ii fX
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30. Solución:
400=n 600.980=x 730.7251 =x 500.076.12 =x
=1n 1f ?= =2n 2f ?=
( )400
500.076.1400730.725600.980 22 nn +−=
( ) ( ) 22 500.076.1730.725400730.725400600.980 nn +−=
22 500.076.1730.725000.292.290000.240.392 nn +−=
22 730.725500.076.1000.292.290000.240.392 nn −=−
⇒= 2770.350000.948.101 n 291770.350
000.948.1012 ==n Operarios
1092914001 =−=n Técnicos 31. Solución:
80=n 000.9251 =x 000.8702 =x ?3 =x
80321 =++ nnn ⇒ 8010111 =−++ nnn
80321 =++ fff
301 =f 80103 1 =−n
302 =f 1390 n=
203 =f 301 =n 302 =n 203 =n empleados
( ) ( ) ( )80
2030000.87030000.925000.890 3x++
=
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( ) 320000.100.26000.750.2780000.890 x++=
500.867$20
000.100.26000.750.27000.200.713 =−−=x promedio salarial mensual
32. Solución:
11,111.6419770.5 ==⇒
Σ= x
nx
x i (miles)
a) ( ) 78,277.737$15,111,111.641 ==x b) ( ) 22,222.725$000.2022.222.705$10,111,111.641 =+==x Para el obrero la mejor decisión es la primera; para el empresario es la segunda alternativa. 33. Solución: a) Promedio, intenta resumir o representar las características de un conjunto de valores. Es un valor típico o representativo. b) Ventajas: más fácil de calcular, conocido, entendido por todos, el más utilizado. Desventajas: se ve afectado por valores extremos grandes; sensibles a cualquier cambio que se haga en sus datos. c) En datos sin agrupar no hay ponderación; en tablas de frecuencias se hace con el fin de
abreviar los cálculos, y se le denomina media ponderada. 34. Solución:
a) Inversión total ii nyΣ 000.210.16$= ii fXX Σ= 000.210.16=
b) 083,377.3$800.4
000.210.16 ==y
El valor promedio por acción.
iy in ii ny
2.500 500 1.250.000 5.800 1.200 6.960.000
10.000 600 6.000.000 800 2.500 2.000.000
Σ 4.800 16.210.000
iX if ii fX
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35. Solución:
a) 86,35
6,48,32,31,46,3 =++++=x Es la calificación promedio de los 5 cursos o
grupos, cuando cada uno de ellos tiene el mismo número de alumnos. b)
nny
y iiΣ=
n
fXX iiΣ
=
=y X 81,3147
6,560 == calificación ponderada
36. Solución:
iy in ii ny
3,2 26 83,2 3,6 32 115,2 3,8 34 129,2 4,1 40 164,0 4,6 15 69,0
Σ 147 560,6
iX if ii fX
''iZ ii nZ '' in iy ''
1 ii yy −− iN
1 2 2 20 15,1 – 25 2 2 20 10 30 25,1 – 35 12
3 75 25 1−→ jn 40 35,1 – 45 37 1−→ jN
4 100 25 jn→ 50 45,1 – 55 62 jN→
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NOTA: Para ''iZ = 0, le corresponderá el valor de Ot a y0 en este caso será 10. Ahora a 10 le
agregamos el valor de c, siendo 201 =y .
−+=
−
−j
j
j n
Nn
cyMediana1
'1
2 40280
2==n
20,4620,145253045
2531045
2537401045 =+=+=
+=
−+=eM
11
1'1
−+
+− +
+=JJ
JJ nn
ncyModo
75,4840
150452515
151045 =+
++=dM
37. Solución:
5 75 15 1+→ jn 60 55,1 – 65 77
6 18 3 70 65,1 – 75 80 Σ 290 80 − - -
'id ii fd ' if iX ''1 ii XX −− iF
iy in ii ny iN
0 2 0 2
2 3 6 5 1−→ jN
4 7 28 12 jN→
6 4 24 16 7 4 28 20 Σ 20 86 -
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a) Media aritmética: 3,42086 ==y
3,4=X
b) La mediana: 21nN j <− 4== je yM
c) El modo: 4== jd yM
38. Solución:
a) Media aritmética
93,550
50,296 ==y
b) La mediana: 21nN j <−
5,6== je yM
c) El modo: 5,6== jd yM
b)
−+=
−
−j
j
je n
Nn
cyM1
'1
2 05,630,075,525
20255,175,5 =+=
−+=eM
(Trabajando con intervalos iguales)
39. Solución:
a) La media aritmética: 8.675 675.810750.86 ==x
b) La mediana: 3.625 625.32
000.4250.3 =+=eM
iX if ii fX iF
''1 ii yy −− iy in ii ny iN
2,75 – 4,25 3,5 4 14,00 4
4,25 – 5,75 5,0 16 80,00 20 1−→ jN
5,75 – 7,25 6,5 25 162,50 45 jN→
7,25 – 8,75 8,0 5 40,00 50 Σ − 50 296,50 -
''1 ii XX −− iX if ii fX iF
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c) La moda: 3.000 000.3=dM , ya que se repite dos veces el valor de 3.000 d) El valor de 50.000 e) Mediana, ya que no se afecta por valores extremos 40. Solución:
a) 43,971.80370
000.278.56 ==Media
Salario promedio mensual
b) 352 =⇒ nMediana
000.801== Je yM Salario promedio mensual c) 000.801=→ dMModo
Salario promedio mensual 41. Solución:
40,84,293322 −=+ hyhy 213525 32 =+ hh ( ) 213568,025 33 =+− hh 21352517 33 =+− hh
40,010
43 ==h
32,0132 −=+ hh 68,032 =+ hh 32 68,0 hh −= 28,02 =h
iy in ii ny iN
642.000 2 1.284.000 2 751.000 12 9.012.000 14 758.000 8 6.064.000 22
794.000 10 7.940.000 32 1−→ jN
801.000 24 19.224.000 56 jN→
911.000 14 12.754.000 70 Σ 70 56.278.000 -
iX if ii fX iF
''1 ii yy −− ih iy ii hy iH
10,1 – 20 0,20 15 3,00 0,20
20,1 – 30 0,28 25 7,00 0,48 1−→ jH
30,1 – 40 0,40 35 14,00 0,88 jH→
40,1 – 50 0,12 45 5,40 1,00 Σ 1,00 - 29,40 -
''1 ii XX −− n
f i iX
nfX i
i n
Fi
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Mediana: 5,021
2==∑ ih
5,01 <−jH
a) 35== je yM Kgrs/mm
2
b)
−+=
−
−j
j
Je h
hcyM
1'
121
c) 35== jd yM Kgrs/mm2
5,3040,002,0
10304,0
48,02/11030 =
+=
−+=eM Kgrs/mm2
42. Solución:
1002
2002
==n
21nN j <−
−+=
−
−j
j
Je n
Nn
cyM1
'1
2
44,84445
90100200800 =−+=eM =
$844.444 Salario mensual
Moda = 700=jy . Se toma la marca de clase o sea 000.700$7002
800600⇒=+
Salario mensual Media aritmética. No es recomendable su cálculo en este ejercicio, dado que las frecuencias absolutas localizadas en los extremos de la variable no definidas, tienen un peso o importancia que no se puede desechar, estas ponderaciones son 30 y 50 respectivamente.
''1 ii yy −− in iN
Menos de 600 30 30
600,1 – 800 60 90 1−→ jN
800,1 – 1.000 45 135 jN→
1.000,1 – 1.200 15 150 1.200,1 y más 50 200
Σ 200 -
iX if iF
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En el caso de que obligatoriamente se requiera calcular, deberá prescindirse de los valores extremos, es decir:
n
fXX iiΣ= 825=
120
ii nyy
Σ= 825
120
000.99 ==
$825.000 Salario mensual
43. Solución:
a) 000.658== Jd yM
b) 000.668380
38000.20000.648 =
++=dM
0
38 120
1
1
===
−
+
J
J
J
n
n
n
c) ( ) ( ) 18,118.656381200120
38120000.20000.648 =
−+−−+=dM
d) ( ) 15,634.6523801202
038000.20000.648 =
−−−+=dM
e) 19,951.647380120
380000.20000.648 =
++−+=dM
''1 ii yy −− in iy ii ny
600,1 – 800 60 700 42.000 800,1 – 1.000 45 900 40.500
1.000,1 – 1.200 15 1.100 16.500 Σ 120 - 99.000
''1 ii XX −− if iX ii fX
''1 ii yy −− in iN iy
648.000,1 – 668.000 120 120 658.000 668.000,1 – 688.000 38 158 678.000 688.000,1 – 708.000 22 180 698.000 708.000,1 – 728.000 10 190 718.000 728.000,1 – 748.000 6 196 738.000 748.000,1 – 768.000 4 200 758.000
Σ 200 - - ''
1 ii XX −− if iF iX
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(b) 000.668=dM (c) 18,118.656=dM (d) 15,634.652=dM (e) 19,951.647 * Esta fórmula no es aplicable en este ejercicio, ya que el promedio debe localizarse entre el límite inferior y límite superior del recorrido. 44. Solución: a) 807468 << Asimetría negativa; b) 687480 >> Asimetría positiva c) 747474 == Simétrica d) 607474 >= Ligeramente asimétrica positiva 45. Solución: a) 67,61=x 5,62=eM 65=dM b) 67,60=x 62=eM hayNoM d = c) 49=x 38=eM 35=dM d) En (a) y (b) la Media y en (c) la Mediana 46. Solución:
a) 4 4 6 6 6 6 7 10 15 11,79
64 ==x ; 6=eM ; 6=dM
6=eM
8 10 1210 18 20 0,13678 ==x ; 11=eM ; 10=dM
11=eM
b) ( ) ( )
47,915
786415
13691111,7 =+=+=x
47. Solución:
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28
37274
2==⇒ nMediana 301 =−JN 46=JN
5,195,31616
3037816 =+=
−+=eM
⇒Modo Como la amplitud de los intervalos no es constante, lo recomendable es no
calcularlo, pero si lo exigen se debe establecer el mayor valor de if
cn i
i
i = y al frente en iy
se obtendrá el valor del Modo. 31=dM dado que 0,5=cni el valor más alto.
11,1974414.1 =⇒Media
48. Solución: 720 720 720 720 750 810 810 840 840 900 1.680 1.800
5,94212310.11 ==Media ; 720=dM ; 810
2810810 =+=eM
El mejor promedio es la mediana, por ser el centro, eliminando los extremos, correspondiente al salario más bajo y al más alto. Media = $942.500 Modo = $720.000 Mediana = $810.000
''1 ii yy −− in iy iN ic ii cn ii ny
3,1 – 8 8 5,5 8 5 1,60 44 8,1 – 10 8 9,0 16 2 4,00 72
10,1 – 16 14 13,0 30 6 2,33 182 16,1 – 24 16 20,0 46 8 2,00 320 24,1 – 30 18 27,0 64 6 3,00 486 30,1 – 32 10 31,0 74 2 5,00 310
Σ 74 - - - - 1.414 ''
1 ii XX −− if iX iF i if i / ii fX
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29
49. Solución: a) 41=y 37=eM 28=dM b) 432=y 384=eM 276=dM a) 41536 =+=x 37532 =+=eM 28523 =+=dM b) ( ) 4321236 ==x ( ) 3841232 ==eM 276)12(23 ==dM meses 50. Solución:
%66,79
9,689
0,86,72,86,84,78,61,63,89,7 ==++++++++=Media
Mediana: 6,1 6,8 7,4 7,6 9,7 8,0 8,2 8,3 8,6 eM
9,7=Mediana %
⇒Modo No hay, ningún valor se repite 51. Solución:
minutos875,18
15 −=−=Media (1 minuto y 52 segundos)
⇒Mediana -18 -12 -8 -8 -6 10 12 15; minutos7214 −=−=eM
7−=eM
8−=Moda (8 minutos de anticipación)
52. Solución:
''1 ii yy −− in iy ii ny iN ic ii cn
2,1 – 5 120 3,5 420,0 120 3 40,0
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
30
48,6160037.1 ==Media
5,3=Modo
01 == −JNMediana
120=JN
802
=n
422120
08032 =+=
−+=eM
53. Solución:
nnnnnnn =+++++ 654321 → nffffff =+++++ 654321
( ) ( ) 150530305 1111 =+++++++ nnnn
150704 1 =+n
20480804 11 ==→= nn 201 =n 252 =n 303 =n
304 =n 255 =n 206 =n
Sabiendo que:
+= ∑
nnZ
cOy iit
''
⇒
+= ∑
nfd
iAX ii'
5,1 – 9 15 7,0 105,0 135 4 3,75 9,1 – 16 8 12,5 100,0 143 7 1,14
16,1 – 20 6 18,0 108,0 149 4 1,50 20,1 – 28 6 24,0 144,0 155 8 0,75 28,1 – 36 5 32,0 160,0 160 8 0,63
Σ 160 - 1.037,0 - - - ''
1 ii XX −− if iX ii fX iF i if i /
iy in ''iZ ii nZ ''
20 20 -4 -80
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31
(1) Se toma como =tO A 60= (2) De acuerdo a lo visto en la teoría al frente de tO se coloca cero, cuando =c i es
constante para =''iZ '
id (3) Luego hacia arriba se colocará 1− ; 2− etc., y hacia abajo 1, 2, etc.
(4) Reemplazamos en la fórmula inicial
−+=
1502256045 c
(5) Despejamos el valor de la amplitud =c i , siendo 105,1
15156045 =
−−=⇒−=− c
(6) Ahora completamos la columna de iX iy=
1−= MM H (Media armónica)
56,3889,3
150 ==HM
MoGM g == (M. Geométrica)
622234933,1150
33524,243log ==gM
( )622234933,1antilog=gM
,9014M g =
30 25 -3 -75 40 30 -2 -60 50 30 -1 -30 60 25 0 0 70 20 1 20
Σ 150 -225
iX if 'id ii fd '
iy in i
iy
n iylog ii yn log
20 20 1,00 1,30103 26,02060 30 25 0,83 1,47712 36,92803 40 30 0,75 1,60206 48,06180 50 30 0,60 1,69897 50,96910 60 25 0,42 1,77815 44,45375 70 20 0,29 1,84510 36,90196
Σ 150 3,89 - 243,33524
iX if i
iX
f iXlog ii Xf logΣ
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32
54. Solución:
83,29=Media 5,172
2213 =+=Mediana hayNoM d =
62,1689462213636 =×××××=geométricaMedia
La mediana es el valor central, el que mejor representa a ese conjunto de observaciones. 55. Solución:
a) 4,9547 ==Media
19,720128525 =××××=geométricaMedia
22,5958333,0
5
201
121
81
51
21
5 ==++++
=armónicaMedia
22,519,74,9 >> Se cumple la relación 11 −>>⇒ MMM o b) 4,9=Media 8=Mediana hay No=Modo hay No84,9 >> Se cumple la relación de MMM >>⇒ 1 56. Solución:
(1) Se observa que m = 4 número de intervalos (2) Sombreado aparecen los datos del problema (3) Determinamos la 1ª ecuación, recordando las propiedades de las
frecuencias y marcas de clases.
m ''1 ii yy −− iy in iN
(1) 3,75 – 4,25 3,5 4 4 (2) 4,25 – 5,75 5,0 16 20 (3) 5,75 – 7,25 6,5 25 45 (4) 7,25 – 8,75 8,0 5 50 − Σ − 50 -
- ''1 ii XX −− iX if iF
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33
=+
=+
75,84)
5,32
)
'
'
cyb
cya
o
o Eliminamos a 'oy
b) 50,35,0
75,84'
'
−=−−=+
cy
cy
o
o
25,55,3 =c =⇒ c i 5,15,3
25,5 == Completamos la columna =iy iX
(4) Dividimos a la amplitud entre 75,025,1
2 =⇒ , restándolo a la marca de clase formamos
el límite inferior del intervalo y sumándolos, el límite superior.
93,550
5,296 ==Media
7639614,05019807,38
log ==geométricaMedia
( )7639614,0loganti=geométricaMedia
81,5=geométricaMedia 57. Solución:
∑
∑=
i
i
im
VSS
V
4
6080
100100120
60120
40070
V+++
=
...457,474 hpkV = 58. Solución:
706,264
300
300
250
300
250
300900 =
++=mV
...706,264 hpkVm =
ii ny iylog ii yn log
14,0 0,54407 2,17627 80,0 0,69897 11,18352
162,5 0,81291 20,32283 40,0 0,90309 4,51545
296,5 - 38,19807
ii fX iXlog ii Xf log
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34
59. Solución:
44,53
50200
60200
55200
50200
800 =+++
=mV
...44,53 hpkVm =
60. Solución:
48
601
401
2 =+
=mV
...48 mpkVm =
61. Solución:
A
B C
...30,38078,03
501
401
301
3 hpkVm ==
+
+
=
62. Solución:
A 10== tO i 6== c
∑
=−
i
i
yn
nM 1 ∑
=
i
iH
Xf
nM
194,4237,2
100 ==HM
''iZ ii NZ '' iN in iy
i
iy
n
3 15 5 5 28 0,18 4 80 20 15 34 0,44 5 225 45 25 40 0,63 6 450 75 30 46 0,65 7 665 95 20 52 0,38 8 800 100 5 58 0,09 Σ - - 100 - 2,37
'id ii fd ' iF if iX ii fX
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63. Solución: xi: 4,824 10,184 20,502 32,830 65,660
8,26=x 502,20=eM 501,121 =−M 507,18=oM 64. Solución:
44,44
401
501
2 =+
=HM Minutos
65. Solución:
67,11
101
141
2 =+
=HM Papeleras diarias 122
1014 =+=x Papeleras diarias
66. Solución:
a) 550.2$3
570.2830.2250.2 =++=Media Promedio por paquete
b) 58,527.2$
570.21
830.21
250.21
3. =++
=armónicaM Valor promedio por paquete
67. Solución:
m iy in iN ''iZ ii nZ '' ii yn /
(1) 30 4 4 -1 -4 0,1333 (2) 50 16 20 0 0 0,3200 (3) 70 25 45 1 25 0,3571 (4) 90 5 50 2 10 0,0555 − Σ 50 - - 31 0,8659
- iX if iF 'id ii fd ' -
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Σ+=
nnZ
cOy iit
''
+==⇒5031504,62 cy
Σ+=n
fdiAX ii
'
c62,04,12 =
2062,04,12 ==c
4520252
50
2 1 ==⇒==⇒ − JJ NyNn
Mediana (No aparece 2n )
== JyMediana JX 70=
74,578659,050 ==armónicaMedia
68. Solución:
83,144
1401
1501
2 =+
=armónicaMedia
69. Solución:
800.1$
600.31
800.11
200.11
3 =++
=armónicaMedia
Precio promedio pagado por el fabricante
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70. Solución:
50 25 30260
1 ===⇒ − JJ NNMediana
2612525
2530525.).( =+=
−+=CVMediana
5,27)( =VDMediana
77,23524,2
60 ==armónicaMedia
71. Solución: Media, mediana y moda
a) 3,1410
143 ==→ xMedia minutos de retardo
134 −−−→Mediana 2 4 4 6 10 124
32
6 ==eM minutos de retardo
4==→ Jd xMModa minutos
La más representativa es la moda, la que más se repite. b) En este caso se utilizó la mediana, por ser el menor valor de los tres, de esta manera se
muestra que hay un buen servicio. Para mostrar un mal servicio, se utilizó la media aritmética por ser el de mayor valor.
''1 ii yy −− in iy
i
iy
n iN
10,1 – 15 3 12,5 0,240 3 15,1 – 20 7 17,5 0,400 10 20,1 – 25 15 22,5 0,667 25 25,1 – 30 25 27,5 0,909 50 30,1 – 35 10 32,5 0,308 60
Σ 60 - 2,524 - ''
1 ii XX −− if iX ii Xf / iF
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72. Solución: d) Cuando la distribución es simétrica. de MMx ==
Los puntos a), b) y c) se le dejan al estudiante. 73. Solución:
a) Media: 67,2650
5,333.1 ==y
b) Mediana: 14,2914,1287
2425828 =+=
−+=eM
252
50
2==N
31
241
==−
J
J
N
N
c) Moda: 5,13== Jd yM ( ) 67,4/ =ii cn Es el de mayor valor
d) Tercer decil: ( )
1510
503
10
3 ==n 1621 ==− JJ NN
79,1479,21214
2153123 =+=
−+=D
e) Segundo cuartil: ( )
14,29254502
42
2 ==⇒== eMQn
31y 241 ==− JJ NN
ii yy '' 1 −− in JN ii cn / iy ii ny
6,1 - 12 2 2 0,33 9,0 18,0 12,1 - 15 14 16 4,67 13,5 189,0 15,1 - 20 5 21 1,00 17,5 87,5 20,1 - 28 3 1−JN 24 0,38 24,0 72,0
28,1 - 36 7 JN 31 0,88 32,0 224,0 36,1 - 40 16 47 4,00 38,0 608,0 40,1 - 50 3 50 0,30 45,0 135,0
Σ 50 - - - 1.333,5
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f) Percentil sesenta:
( )
30100
5060
100
60 ==n 31241 ==− JJ NN
86,3486,6287
243082860 =+=
−+=P
74. Solución:
( )
400856.320.1400300.857
960.260.1 22 nn +−=
( ) 22 856.320.1300.857400300.857000.384.504 nn +−= 22 300.857856.320.1000.920.342000.384.504 nn −=− 2556.463000.464.161 n=
348556.463
000.464.1612 ==n Operarios 523484001 =−=n Técnicos
75. Solución: Lo debe investigar el estudiante. 76. Solución: Con los datos del ejercicio No. 47, se pide calcular la media cuadrática, cúbica y el séptimo decil.
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40
92,2074388.32 ==cuadráticaMedia
28,2274
125.8183 ==cúbicaMedia
( )
8,5110747
7 =⇒= DdecilSéptimo 461 =−JN 64=JN
93,2593,12418
468,516247 =+=
−+=D
77. Solución:
67,66
40 ==x 4=dM ⇒eM 4 4 4 6 10 12
5=eM
39,767,546
12446104 222222
2 ==+++++=⇒ MCuadráticaMedia
06,867,5226
12446104 33333333
3 ==+++++=⇒ MCúbicaMedia
45,51,1
6
12/14/14/16/110/14/1
61 ==
+++++=⇒ −MArmónicaMedia
''1 ii yy −− iy in ii ny2 ii ny3 iN
3,1 – 8 5,5 8 242 1.331 8 8,1 – 10 9,0 8 648 5.832 16 10,1 – 16 13,0 14 2.366 30.758 30 16,1 – 24 20,0 16 6.400 128.000 46 24,1 – 30 27,0 18 13.122 354.294 64 30,1 – 32 31,0 10 9.610 297.910 74
Σ − 74 32.388 818.125 - ''
1 ii XX −− iX if ii fX 2 ii fX 3 iF
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41
99,5080.4612.4.4.6.10.4 66 ===⇒ oMGeométricaMedia
a)
06,839,767,699,545,5
3211
<<<<<<<<− MMMMM o
Se cumple la propiedad b)
1
1
67,654
5467,6
MMM
MMM
ed
ed
<<<<
===
Asimétrica positiva 78. Solución:
a) 53,210.692$152
000.216.105 ==Media
000.590$=Modo
762
1522
==⇒ nMediana
421 =−JN 152=JN
JyMediana 000.590$ == b) Tanto la Mediana como la Moda, podrían ser representativas, sin embargo al escoger
una de ellas, como mejor promedio nos inclinamos por la última. 79. Solución:
180
120
2
1
==
n
n
216
240
2 ==
x
x
?
7,226
3 ==
n
díasx
2303 =x
( ) ( ) ( )
3
3
300
2302161802401207,226
n
n
+++
=
( )
33
33
7,226230880.38800.28010.68230880.38800.287,2263007,226nn
nn
−=−−++=+
1003,3330 33 =⇒= nn (sección c)
iy in ii ny iN
1.930.000 2 3.860.000 2 1.510.000 4 6.040.000 6 1.370.000 6 8.220.000 12 1.350.000 4 5.400.000 16
646.000 26 16.796.000 42 590.000 110 64.900.000 152 Σ 152 105.216.000 -
iX if ii fX iF
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42
80. Solución: => Número de vehículos vendidos en 10 días es de 34 => Valor total de las ventas: 34(18.500.000) = $629.000.000 => el 0,5% = 0,005 gana por cada vehículo 629.000.000 (0,005) = $3.145.000 + 270.000 = $3.415.000 sería el sueldo promedio en los 10 días. 81. Solución: Se le deja al estudiante para su solución. 82. Solución:
003.973)998.083.1(374.873 ==oM
816.278)776.240(867.322 ==oM
057.234)358.267(903.204 ==oM
118.446)864.575(604.345 ==oM
83. Solución:
''1 ii yy −− in iN
iy ii ny
800,1 - 1.000 5 5 900 4.500 1.000,1 - 1.200 13 18 1.100 14.300 1.200,1 - 1.400 17 35 1.300 22.100 1.400,1 - 1.600 8 43 1.500 12.000 1.600,1 - 1.800 7 50 1.700 11.900
Σ 50 - - 64.800
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43
a) Media: 296.150
800.64 ==⇒ y
Moda: 300.1=⇒ dM
Mediana: 252
50
2==⇒
n
35181 ==− JJ NN
35,282.135,82200.117
1825200200.1 =+=
−+=eM
b) Media cuadrática: 2M⇒ 12,317.150
000.740.862 ==M
Media cúbica: 3M⇒ 70,337.1000.760.393.250
000.000.688.119 333 ===M
i
iy
n iylog ii yn log
0,005556 2,95424 14,77121 0,011818 3,04139 39,53810 0,013077 3,11394 52,93704 0,005333 3,17609 25,40873 0,004118 3,17609 22,61314 0,039902 - 155,26822
ii ny 2 ii ny 3
4.050.000 3.645.000.000
15.730.000 17.303.000.000
28.730.000 37.349.000.000
18.000.000 27.000.000.000
20.230.000 34.391.000.000
86.740.000 119.688.000.000
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
44
Media Armónica: 07,250.1039902,0
501 ==−M
Media Geométrica:
1053644,350
26822,155log ==oM
57,274.11053644,3log == antiM o
84. Solución: a) La mediana b) La media geométrica c) Verdadero d) Verdadero e) Población 85. Solución: se le deja al estudiante. 86. Solución:
xxx ==+
52
21
1021 =+ xx oMxx == 421
1621 =xx
2
116
xx =
Reemplazamos en 521 =+ xx
01016
22
=−+ xx
01016 2
22 =−+ xx
01610 2
22
=+− xx
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
45
82 21 == xx
38,62
82333
3 =+=M
87. Solución: a) 169.000 (1,06) = $179.140, es el salario semanal b) 169.000 (1,04) = $175.760 + 5.800 = $181.560 La mayor es (b) con salario semanal de $181.560 89. Solución:
21
21
1
1
1
4,3
hh
hh
x
−=+=
=
2,42 =x
%5,62;%5,37;375,08,0
3,08,03,0
2,44,34,37,3
7,32,4)1(4,3
1222
22
22
====⇒=
+−==+−=
hhhh
hh
hhx
90. Solución:
508281778
50654321
=+++++
=+++++= nnnnnnn
17
102258
25
3
6
3
31
==+=+=+
n
n
n
nn
86 =n
''1 ii yy −− iy in
ii ny3 ii yn /
10,1 - 18 14 8 21.952 0,5714 18,1 - 26 22 7 74.536 0,3182 26,1 - 34 30 17 459.000 0,5667 34,1 - 42 38 8 438.976 0,2105 42,1 - 50 46 2 194.672 0,0435 50,1 - 58 54 8 1.259.712 0,1481
Σ − 50 2.448.848 1,8584
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
46
157
15
4
42
=+
=+
n
nn
84 =n
504225,0
2
2
=+=+
Cy
Cy
285,3
225,0504
2
2
=−=−−
=+
C
Cy
Cy
85,3
28 ==C
Media cúbica 59,3688,976.4850
844.448.2 333 ≅==⇒ M
Media armónica 90,268584,1
501 ==⇒ −M
91. Solución: a) Falso ya que: de MMx >> y se da 68 como dM , que debe ser menor o igual a 62 ?6268 >> b) 123 −>>>> MMxMM o 76,8 > 72,50 > 70 > 65 > 63 Se cumple la relación. 92. Solución:
24,13=gM 14=x 30,153 =M 70,142 =M
a) Media armónica = 47,123208,0
4
20
1
16
1
12
1
8
14 ==
+++
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
47
93. Solución: a) Verdadero b) Sólo una c) Geométrica d) Media aritmética e) Verdadero f) Mediana g) Verdadero 94. Solución:
( )500
400.86300200328.026.1 11 −+
=xx
( )400.86300300200000.164.513 11 −+= xx
000.920.25500000.164.513 1 −= x
168.078.1500
000.084.5391 ==x y 768.9912 =x
95. Solución: a) Media aritmética == 50tO A
''1 ii yy −− in ih iy ii ny '
iZ ii nZ '
15,1 – 25 8 0,04 20 160 -30 -240 25,1 – 35 20 0,10 30 600 -20 -400 35,1 – 45 42 0,21 40 1.680 -10 -420
45,1 – 55 60 0,30 50 3.000 0 10601060−
55,1 – 65 42 0,21 60 2.520 10 420 65,1 – 75 20 0,10 70 1.400 20 400 75,1 – 85 8 0,04 80 640 30 240 Σ 200 1,00 - 10.000 - 0
''1 ii XX −− if nf i / iX ii fX id ii fd
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
48
(Primer método abreviado)
nny
y iiΣ= 50
200
000.10 == 50=Σ=n
fXX ii
nnZ
Oy iit
'Σ+= 50050 =+= 50
'
=Σ
+=n
fdAX ii
== 50tO A
(Segundo método abreviado)
Σ+=
nnZ
cOy iit
'
50'
=
Σ+=
nfd
iAX ii
( ) 5001050 =+=y
B)
''1 ii yy −− in iN iy ii ny '
iZ ii nZ '
15,1 – 25 6 6 20 120 -30 -180 25,1 – 35 17 23 30 510 -20 -340 35,1 – 45 34 57 40 1.360 -10 -340 45,1 – 55 53 110 50 2.650 0 0 55,1 – 65 42 152 60 2.520 10 420 65,1 – 75 38 190 70 2.660 20 760 75,1 – 85 10 200 80 800 30 300
Σ 200 - - 10.620 0 620 ''
1 ii XX −− if iF iX ii fX id ii fd
A 50== tO
''iZ ii nZ ''
-3 -24 -2 -40 -1 -42 0 0 1 42 2 40 3 24
Σ 0
'id ii fd '
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
49
n
fXX iiΣ= 1,53= 1,5310,350
20062050 =+=
+=y
Σ+=n
fdiAX ii
'
1,53=
50=tO
n
nyy iiΣ
= 1,53200
620.10 ==
Σ+=
nnZ
cOy iit
''
1,53200
621050 =
+=y
b) Mediana A)
21nN j <− 10070 <
−+=
−
−j
j
je n
Nn
CyM1
'1
2
−+=
−
j
j
ie f
Fn
iLM12
−+=60
701001045eM
6030045 +=eM
''iZ ii nZ ''
-3 -18 -2 -34 -1 -34 0 0 1 42 2 76 3 30 Σ 62
'id ii fd '
''1 ii yy −− in iN
15,1 – 25 8 8 25,1 – 35 20 28
35,1 – 45 42 70 1−→ jN
45,1 – 55 60 130 jN→
55,1 – 65 42 172 65,1 – 75 20 192 75,1 – 85 8 200
Σ 200 - ''
1 ii XX −− if iF
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
50
50545 =+=eM B)
53
571001045 −+=eM
53431045 +=eM
5343045 +=eM
11,5311,845 =+=eM
A)
21nN j <−
10070 < jje XyM ==
50=eM
B)
''1 ii yy −− in iN
15,1 – 25 6 6 25,1 – 35 17 23 35,1 – 45 34 57 1−→ JN
45,1 – 55 53 Jn→ 110 JN→
55,1 – 65 42 152 65,1 – 75 38 190 75,1 – 85 18 200
Σ 200 - ''
1 ii XX −− if iF
jy jn jN
20 8 8 30 20 28
40 42 70 1−→ jN
50 jy→ 60 130 jN→
60 42 172 70 20 192 80 8 200
Σ 200 -
JX Jf JF
jy jn jN
20 6 6 30 17 23
40 34 57 1−→ jN
50 jy→ 53 110 jN→
60 42 152 70 38 190 80 10 200
Σ 200 -
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
51
21nN j <− 10057 <
je yM =
50=eM 50== je yM (En ambos casos)
A)
''1 ii yy −− jn
15,1 – 25 8 25,1 – 35 20 35,1 – 45 42 1−→ jn
45,1 – 55 60 jn→
55,1 – 65 42 1+→ jn
65,1 – 75 20 75,1 – 85 8
Σ 200 ''
1 ii XX −− jf
c) Modo:
++=
−+
−−
11
1'1
jj
jje nn
ncyM
A) 508442045
4242421045 =+=
+
+=eM
B) 53,507642045
4234421045 =+=
++=dM
( )
( ) ( )
−+−−
+=+−
−−
11
1'1
jjjj
jjjd nnnn
nncyM
JX Jf JF
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
52
A) ( ) ( ) 5036
1804542604260
42601045 =+=
−+−
−+=dM
++=
−+
−
11
1
JJ
Jid ff
fiLM
B) ( ) ( ) 33,5130
1904542533453
34531045 =+=
−+−
−+=dM
( )
( ) ( )
−+−
−+=+−
−
11
1
JJJJ
JJid ffff
ffiLM
B)
d) Media geométrica: 70329835,120065967,340log ==gM
5,5070329835,1antilog ==gM
n
ynM ii
g
loglog
Σ=
Σ=n
XfM ii
o
logantilog
e) A) 123 MMM ed −= B) 123 MMM ed −= ( ) ( )502503 −=dM ( ) ( )1,5321,533 −=dM 50=dM 1,53=dM f) A)
iy in iylog ii yn log
20 6 1,20103 7,20618 30 17 1,47712 25,11104 40 34 1,60206 54,47004 50 53 1,69897 90,04541 60 42 1,77815 74,68230 70 38 1,84510 70,11380 80 10 1,90309 19,03090 Σ 200 - 340,65967
iX if iXlog ii Xf log
iy in ii yn /
20 8 0,40 30 20 0,67 40 42 1,05
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
53
Media armónica
∑
=
i
iH
yn
nM 35,4541,4
200 ==HM
35,45=HM
35,45==∑
i
iH
Xf
nM
B)
∑
=
i
iH
yn
nM 426,4813,4
200 ==HM
426,48=HM
B)
Media cuadrática y cúbica
n
nyM ii
2
2Σ= 04,55
200
000.6062 ==M
33
3 nny
M iiΣ= 3
3 200
000.534.36=M
74,56670.1823
3 ==M
04,552
2 =Σ
=n
fxM ii 74,563
3
3 =Σ=n
fXM ii
50 60 1,20 60 42 0,70 70 20 0,29 80 8 0,10
Σ 200 4,41
iX if ii Xf /
iy in ii yn /
20 6 0,30 30 17 0,56 40 34 0,85 50 53 1,06 60 42 0,70 70 38 0,54 80 10 0,12
Σ 200 4,13
iX if ii Xf /
in ii ny2 ii ny3 6 2.400 48.000
17 15.300 459.000 34 54.400 2.176.000 53 132.500 6.625.000 42 151.200 9.072.000 38 186.200 13.034.000 10 64.000 5.120.000
200 606.000 36.534.000
if ii fX 2 ii fX 3
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
54
97. Solución: Siendo: 71 =M 6=eM 3
3 657=M
37 321 xxx ++
= 31 621 xx ++= 3115 xx += 31 15 xx −=
333
3313
3 36
657xx
M++
==
( ) 3
331 2166573 xx ++=
33
31216971.1 xx +=−
33
31755.1 xx +=
( ) 3
33
315755.1 xx +−=
33
33
233 45675375.3755.1 xxxx +−+−=
233 45675375.3755.1 xx +−=
045675620.1 2
33 =+− xx
( ) 0153645 233 =+− xx
Dos números que sumados den 15 y multiplicados sean igual a 36, serán: 3 y 12. Siendo: 31 =x 62 =x 123 =x 98. Solución:
25 21 xx +
= → 2110 xx += → 21 10 xx −=
21 . xxM o = → 214 xx= → 2116 xx= → 2
116x
x =
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
55
21 10 xx −= → 22
1016 xx
−= → 2221016 xx −=
01610 2
22 =+− xx 21 =x 82 =x
2,3625,02
81
21
211
1 ==
+
==∑
−
x
nM
99. Solución:
44836410064364100364642 =+++++++++=∑ ix
69,68,4410448
2
2 ==== ∑nx
M i
100. Solución:
00,1307,16930072.5
2 ===M
101. Solución: Variable discreta
iy in ii ny2 4 3 48 8 7 448
12 10 1.440 16 6 1.536 20 4 1.600
Σ 30 5.072
iX if ii fX 2
'iy in jN
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
56
Primer cuartil = 1Q
5,12450
4==n Como no aparece 1−JN será 9 y
24=JN 61 == JyQ
Tercer cuartil →⇒ 3Q ( )
5,374
150
4
503
4
3 ===n (Posición)
Como no aparece 37,5 se toma como 341 =−JN y 40=JN
123 == JyQ
Sexto decil ⇒⇒ 6D ( )
3010300
10506
106 ===n No aparece, por lo tanto 86 == JyD
Percentil 80 ( ) ( )40
100000.4
1005080
10080
80 ===⇒⇒n
P
Como aparece, se tendrá que: 401 =−jN y 50=jN
132
14122
180 =+=
+= − jJ yy
P
b) Variable continua
2 3 3 4 6 9 6 15 24 8 8 32
10 2 34 12 6 40 14 10 50
Σ 50 -
iX if iF
''1 ii yy −− in jN
3,1 – 8 14 14 8,1 – 13 15 29 13,1 – 18 8 37 18,1 – 23 6 43 23,1 - 28 7 50 28,1 - 33 10 60
Σ 60 -
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
57
Primer cuartil
15460 = no está ; siendo: 141 =−JN 29=JN
33,815
1415581 =
−+=Q
Tercer cuartil ⇒3Q ( )
454
1804603 == no está ; siendo: 431 =−JN y 50=JN
43,247
43455233 =
−+=Q
Sexto decil ⇒6D ( )
3610606
106 ==n no está, por lo tanto 291 =−JN y 37=JN
38,178
29365136 =
−+=D
Percentil 80( )
48100
6080
100
80 ==⇒n
no está, por lo tanto 431 =−JN y 50=JN
57,267
434852360 =
−+=P
Veamos algunos modelos, cuando 2/1 nNJ <− 2/1 nFJ <− El segundo cuartil (Mediana), es aquel valor de la variable que supera al 50% de las observaciones y es superado por el 50%.
−+=
−
−j
j
j n
Nn
cyQ1
'12
42
Cuando 42
1nN j <−
''1 ii XX −− if iF
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007
58
El tercer cuartil, es aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones. Variable continua
−+=
−−
j
j
j n
Nn
cyQ1'
1343
Cuando 43
1nN j <−
El quinto decil y el 50 percentil corresponden a la mediana.
(Quinto decil)
−+=
−
−j
j
j n
Nn
cyD1
'15
105
(50 percentil)
−+==
−
−j
j
j n
Nn
cyPC1
'15050
10050
El cuarto decil, es aquel valor de la variable que supera al 40% de las observaciones y es superado por el 60% de las observaciones.
−+=
−
−j
j
j n
Nn
cyD1
'14
104
variable continua, cuando 104
1nN j <−
El 60 percentil, es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de las observaciones
−+=
−
−j
j
j n
Nn
cyP1
'160
10060
variable continua, cuando 10060
1nN j <−
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.4 Medidas de dispersión, de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones deformación y apuntamiento. Actualizado en diciembre de 2007
4 Medidas de dispersión,
de deformación y apuntamiento
Varianza y desviación típica o estándar
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Solución:
xM == 04,31 26,42 =M (Media cuadrática)
nx
M i∑=2
2 ⇒ 1476,1826,42
2 == ∑nxi
22
2 xn
xiS −= ∑ ⇒ 22 04,31476,18 −=S
906,82 =S 906,82416,91476,182 =−=S
984,2906,82 ==+= SS
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2
2. Solución:
nfX
X iiΣ= n
nyy ii∑=
400120 ii nyΣ
=
ii nyΣ=000.48 ii fXΣ=000.48
233245.44000.48 y+= 33367400 =−=n
233245.44000.48 y=−
78,11333755.3
2 == y 78,113=X
a)
245.44 ii nyΣ=245.44
367=n
140135105
78,113
120 se encuentra dentro del recorrido, por lo tanto si puede ser posible.
b)
iy in
105 - 110 37 115 90 120 95 125 85 130 60 135 - 140 - Σ 400
iX if
iy in ii ny
105 - - 110 37 4.070 115 90 10.350 120 95 11.400 125 85 10.625 130 60 7.800 135 - - 140 - -
− 400 48.000
iX if ii fX
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3
nnZ iiS
22 Σ
= n
fdS ii
22 Σ
=
ii nZnS 22 Σ= ii fdnS 22 Σ=
( ) 000.1025400 ==
075.14000.10 < (No puede ser posible)
3. Solución:
[ ] [ ] [ ] [ ]88/188/1 VVVV XXy −⇒= −
[ ] [ ] ( ) 164648
641
641 2 ==== xy VV
12 =yS
4. Solución:
( ) ( )284/1 −= xy 424
5,0242
48
2 ==
=−=−=
x
x
S
S
xSiendoxxy
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5,02;5,75,085,02 VVVyMM xyxy −===−=−=
[ ] [ ] ( ) ⇒=→= 16444 Xy VV ⇒= 162yS 4=yS
5. Solución:
( ) ( )5,121
10030125701202211 =+=
+=
nnxnx
x
( ) ( )n
nxxnxxn
nn SSS 2
221
212
221
212 −+−
++
=
iy in iZ ii nZ ii nZ 2 105 - -15 - - 110 37 -10 -370 3.700 115 90 -5 -450 2.250 120 95 0 0 0 125 85 5 425 2.125 130 60 10 600 6.000 135 - 15 - - 140 - 20 - -
Σ 400 - - 14.075
iX if id ii fd ii fd 2
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4
( ) ( ) ( ) ( )
100305,121125705,121120
10030257036 22
2 −+−+
+=S
( ) ( )
95,3725,570,32100
3025,127025,2100270.32 =+=
++=S 16,695,37 ==S
6. Solución: Siendo: 400.142 =AS 120=AS 600.32 =BS 60=BS AB SS < 12060< Hubo mayor estabilidad en B, porque la varianza o la desviación estándar es menor que la de A. 7. Solución:
221 xx
x+
= ( ) ( )
2
22
212 xxxx
S−+−
=
212 xxx += ( ) ( )2
2
2
122 xxxxS −+−=
( ) 2182 xx += ( ) ( ) ( )2
22
1 8812 −+−= xx
2116 xx += 641664162 2221
21 +−++−= xxxx
21 16 xx −= 01261616 2221
21 =+−+− xxxx
Reemplazamos 21 16 xx −= en 1x : ( ) ( ) 012616161616 2
222
22 =+−+−−− xxxx
0126161625632256 2
222
222 =+−++−+− xxxxx
0126322 2
22 =+− xx
( ) 063162 2
22 =+− xx ⇒ 92 =x y 71 =x
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5
8. Solución:
22
2 xnxiS −= ∑
2
1026025
−=
nn
−=2
10026025n
nn
nn 10026025 −=
10026025 2 −= nn
20525 2 −= nn
044,102 =+− nn ⇒ n será igual a 10, siendo:
aacbb
n2
42 −±−=
21616,1084,10 −±
=n 102
6,94,10 =±=n
9. Solución:
3=x 10=n 1002 =∑ ix
1910310100 22
22 =−=−=−= ∑
xn
xiS 12 =S 11 ==S
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10. Solución:
6,4523
1 ==Σ
=n
xx i
( )
6,8543
54
2 ==+Σ
= ixx
21 xx ≠ 6,86,4 ≠
( )24,86,8
54114 22
2
222 =−=−
+Σ= x
n
xiS 24,86,45
147 221
212
1 =−=−Σ
= xnx
S
22
21 SS = 24,824,8 =
11. Solución:
?=S 2=n 9=x 2,7=gM
221 xx
x+
= → 1821 =+ xx
21 xxM g = → 212,7 xx= → 2184,51 xx= → 2
184,51
xx =
1884,51
22
=+ xx
→ 222 1884,51 xx =+ → 084,5118 2
22 =+− xx
4,141 =x y 6,32 =x
16,298116,110812
32,2209
26,34,14 2
222 ⇒−⇒−⇒−
+=S 4,5=S
ix 4+ix 2ix ( )24+ix
2 6 4 36 6 10 36 100 5 9 25 81 9 13 81 169 1 5 1 25
23 43 147 411
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7
12. Solución:
( ) ( ) ( )70
158925783071 ++=x
35,7770415.5
70335.1950.1130.2
==++
=x
( ) ( ) ( )
321
32
322
212
1
321
3232
221
212
nnnnxxnxxnxx
nnnnnn SSS
S++
−+−+−+
++++
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )70
1535,77892535,77783035,777170
154925643081 2222 −+−+−+++=S
58,11451,4607,6870
96,255.370765.42 =+=+=S
58,1142 =S
70,10=S
Si se considera que todos los cursos tienen el mismo número de estudiantes, los estadígrafos serían:
33,793
897871 =++=x
( ) ( ) ( )3
33,798933,797833,79713
496481222
2 −+−+−+++=S
( ) ( ) ( )
+++=+−+−
+=3
50,9376,138,6966,64
367,933,133,8
3194
2222S
54,11988,5466,643
64,16466,642 =+=+=S
93,10=S
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13. Solución:
''1 ii yy −− iy in ii ny ''
iZ ii nZ '' ii nZ 2'' 0 – 10 5 640 3.200 -4 -2.560 10.240 10,1 – 20 15 684 10.260 -3 -2.052 6.156 20,1 – 30 25 863 21.575 -2 -1.726 3.452 30,1 – 40 35 876 30.660 -1 -876 876 40,1 – 50 45 753 33.885 0 0 0 50,1 – 60 55 663 36.465 1 663 663 60,1 – 70 65 414 26.910 2 828 1.656 70,1 – 80 75 154 11.550 3 462 1.386 80,1 – 90 85 13 1.105 4 52 208
Σ - 5.060 175.610 - -5.209 24.637 ''
1 ii XX −− iX if ii fX 'id ii fd ' ii fd 2'
a) 70,34060.5610.175 ==y 70,34=X 3752 =S
{ } 37506,181,4100060.5209.5
060.5637.24100
22 =−=
−−=S 36,19=S
%79,555579,070,3436,19 ===CV
b) [ ] 70,491570,3415 =+=+=+ xM kx
[ ] [ ] [ ] 375037515 =+=+=+ VVV xkx
36,19=S
%95,383895,070,4936,19 ===CV
Dos distribuciones con diferentes medias aritméticas y con igual varianza o desviación típica, presentan coeficientes de variación diferentes.
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c) SZY ± SZX ± c1) ( )36,195,170,34 ± c2) ( )36,195,270,34 ±
===±
i
S
LL
66,574,63
04,2970,34
=−==±
i
s
LL
70,1310,83
40,4870,34
14. Solución:
360.12 =Σ ix 222 xnxnS i −Σ=
40=Σ ix 2
40360.1280.1
−=
nn
280.12 =Sn n600.1360.1280.1 −=
22
2 xnxiS −
Σ= 600.1360.1280.1 −= nn
n80600.1 =
2080600.1 ==n
15. Solución:
170=x 4,72 =S cms2
[ ] 1619170 =−=−=− KxM KX cms [ ] [ ]24,7 cmsVV XKX ==−
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16. Solución:
1,8,2,3:x nx
x iΣ= 5,3
4
14 ==x
22
2 xnxiS −
Σ= 25,725,125,195,3
478 22 =−=−=xS 25,72 =xS
52 += xy [ ] [ ] 52 += XY MM [ ] ( ) 1255,32 =+=YM 12=y
[ ] 4=YV [ ] 0+XV [ ] ( ) 2925,74 ==YV
( ) 2925,744 22 === XY SS 17. Solución: a) Cierto b) Falso c) Cierto 18. Solución: No es cierto, dado que el peso promedio está dado en kilos, mientras que su desviación típica se da en centímetros. 19. Solución: Como están dadas en las mismas unidades de medida, se pueden comparar sus varianzas o sus desviaciones típicas. En este caso ( )162522 >⇒> AB SS . 20. Solución: No se puede contestar en cuanto a la variabilidad absoluta. Se puede utilizar, en este caso,
el coeficiente de variación = 100xS
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21. Solución:
[ ] ( ) ( ) 400.144600.3460222 ==⇒= XKX SKV minutos2
400.142 =S
22. Solución:
( ) ( )n
nxxnxxn
nn iSSS 2
22
212
221
212 −+−
++
=
( ) ( ) ( ) ( )50
302,109202,101250
306,14202,28 222 −+−++=S
( ) ( )
2,1050
30920122211 =+
=+
=n
nxnxx
2,2216,204,2050
10804,202 =+=+=S
71,42,22 ==S
23. Solución: No es posible. La variabilidad se está elevando al cuadrado, por lo tanto cualquier valor negativo, pasa a ser positivo. 24. Solución:
nnxnx
x 2211 +=
( ) ( )40
23050
4020302050
=+
=+
=x
10=S %2525,04010 ===CV
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25. Solución:
iy in iH ih ''iZ ii nZ '' ii nZ 2''
10 6 0,12 0,12 -2 -12 24 20 10 0,32 0,20 -1 -10 10 30 18 0,68 0,36 0 0 0 40 10 0,88 0,20 1 10 10 50 6 1,00 0,12 2 12 24 Σ 50 - 1,00 - 0 68
iX if n
Fi nf i 'id ii fd '
ii fd 2'
==nn
h ii n
f i ==nn
h 11 n
f1 5012,06
1
1 ===hn
n
( ) ( ) 1020,05022 === hnn
nnZ
cOy iit
''Σ+=
Σ+=
nfd
iAX ii'
( ) 3001030 =+=y 30=Y
iy in iH
10 6 0,12 20 - 0,32 30 - - 40 - - 50 - - Σ - -
iX if n
Fi
iy in yyi −
2)( yyi −
ii nyy 2)( −
10 6 -20 400 2.400 20 10 -10 100 1.000 30 18 0 0 0 40 10 10 100 1.000 50 6 20 400 2.400 Σ 50 - - 6.800
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13
Σ−
Σ=
2'2''22
nnZ
nnZ
c iiiiS
Σ−Σ=2'2'
22
nfd
nfd
iS iiii
( ) ( ) 13636,1100050
681002 ==
−=S
nnyy
S ii∑ −=2
2 )(136
50800.6 2 === S
66,11136 ==S
66,11=S
3886,03066,11 ===
yCV S %86,38=CV
26. Solución:
1021 =+ xx 52
21 =+
=xx
x 421 == xxM g
21 10 xx −= → 214 xx= → 2116 xx= →
21
16x
x = → 22
1016 xx
−= → 2221016 xx −= →
01610 2
22 =+− xx 81 =x 22 =x
92526825
2464
52
28 222
2 =−=−+
=−+
=S 92 =S 3=S
%606,053 ===CV
27. Solución:
( ) ( )5,121
1003012570120
=+
=x
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14
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )100
305,121125705,121120100
3097036 222 −+−
++
=S
15,3325,590,27100525
100790.22 =+=+=S
15,332 =S
76,5=S
%74,40474,05,121
76,5 ===CV
28. Solución: Siendo: 10=x 3=XS 92 =XS
[ ] [ ] [ ]24 MMM XY += → [ ] ( )42
2104
=−+=YM
[ ] yM Y == 42
[ ] [ ] [ ]216 VVV XY += → [ ] ( ) 144916 ==YV 1442 =Ys 12=Ys
%57,282857,04212 ==== XX dCV
yCV YS
=
29. Solución:
iy in iN ''iZ ii nZ '' ii nZ 2'' iy in 2
iy in
30 4 4 -1 -4 4 120 3.600 50 16 20 0 0 0 800 40.000 70 25 45 1 25 25 1.750 122.500 90 5 50 2 10 20 450 40.500 Σ 50 - - 31 49 3.120 206.600
iX if iF 'id ii fd ' ii fd 2' iX if 2
iX if
Σ+=
nnZ
COy iit
''
n
fdiAX ii
'Σ+= 4,6250120.3 ==y
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15
5031504,62 C+= n
ynnY iiS∑ −=
222
C62,0504,62 =− n
S2
2 )4,62(50600.206 −=
C62,04,12 = 24,2382 =S
44,15=S
2062,04,12 ==C 20=i
Σ−
Σ=
2''2''22
nnZ
nnZ
C iiiiS
Σ−Σ=2'2'
22
nfd
nfd
iS iiii
( ){ } 24,23862,098,04005031
504920 2
222 =−=
−=S
44,1524,238 ==S
%74,242474,04,62
44,15 ===CV CV = 24,74%
30. Solución: a) 000.96=AS 000.97=BS AB SS > 97.000 > 96.000
b) %32,101032,0000.930000.96 ====
A
AA x
CVS
%51,90951,000.020.1
000.97 ====B
BB x
CVS
%51,9%32,10 > BA CVCV > 31. Solución:
[ ] $753.1740.113 demillonesxKM xk =+=+=+ [ ] [ ]2$ de millones 100.8==+ xxk VV
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16
90100.8 ==S %13,50513,0753.190 ====
xCV S
32. Solución:
[ ] [ ] 2,11444 === xMM Xx [ ]22
2 xMX
S −=
8,242,11 ==x 22 8,205,15 −=S
[ ] [ ] [ ] [ ] 25,304422 44
22 =++== +++ XXXXX MMMM 84,705,152 −=S
[ ] ( ) 25,3048,2405,1522 =++=+XM 21,72 =S
[ ] 05,152,11425,302 =−−=X
M 69,221,7 ==S
9607,080,269,2 ==CV
%07,96=CV
33. Solución: Como las dos variables están dadas en unidades diferentes (hectáreas y pesos), se debe usar el coeficiente de variación.
xCV S=
%60,545460,040,3533,19 ===ACV %90,70790,0
750.945708.74 ===BCV
BA CVCV > 34. Solución:
a) El tipo A tiene mayor variabilidad absoluta. 22BA SS > 400.5800.7 >
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17
En cuanto a la variabilidad tenemos que:
%04,111104,0800
31,88 ====A
AA x
CVS
%30,111130,0650
48,73 ====B
BB x
CVS
AB CVCV > %04,11%30,11 >
b) 27,048,73
650630
13,131,88
800700
2
1
−=−=
−=−=
Z
Z
12 ZZ > -1,130,27- >
c) 21
2211
ww
wxwxx
++=
horasx 7252
650800 =+=
Suponiendo las mismas cantidades 1n y 2n
2
)725650()725800(
2
5400800.7 222 −+−++=s
57,110
225.12625.5600.62
==+=
s
s ; %25,15100
725
57,110 ==CV
35. Solución:
280.2333
1321
321 ==××=
ini
i
nnn yyyy π 6011
3
1332211 =Σ=++
=nynynyny
i
Como la distribución es Simétrica 1n = 3n
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18
1315321 ++==++ nnn 5321 =++ fff
Además siendo: 12560 ==
Σ=
nny
y ii n
fXX iiΣ=
6036 31 =++ yy 6036 31 =++ XX 24366031 =−=+ yy 280.233321 =yyy ( ) 280.233728.1 31 =yy
135728.1280.233
31 ==yy 13531 =yy
iy in ii ny iniy
1 12 3 36 1.728 1
Σ 5 60 233.280
iX if ii fX ifiX
Se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas
13531 =yy 2431 =+ yy
31
135y
y = 3
1135X
X =
241353
3
=+ yy
323 24135 yy =+
013524 3
23 =+− yy
iy in ii ny ii ny2
9 1 9 81 12 3 36 432 15 1 15 225 Σ 5 60 738
iX if ii fX ii fX 2
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19
== 91y 1X
== 153y 3X
22
2 Xn
fXS ii −Σ=
6,3125
738 222
2 =−=−Σ
= yn
ny iiS
9,16,3 ==S
%83,151583,012
9,1 ====y
CV S
36. Solución: a) ( ) 000.30010,0000.000.3 = y le queda $ 2.700.000 (Cientos de $)
[ ] ==−22XKX SS no cambia, por lo tanto 2000.302 =S (Cientos de $)g
b) Utilidad = ingresos – gastos 000.550$000.450.2000.000.3 =−= (Cientos de pesos) [ ] ==−
22XKX SS no cambia, por lo tanto $000.30 decientosS =
%45,5000.550000.30100 ===
xCV S
37. Solución:
iy in ii ny ii ny2 JN ei My − iei nMy −
2 6 12 24 6 4 24 4 18 72 288 24 2 36 6 16 96 576 40 0 0 8 12 96 768 52 2 24
10 8 80 800 60 4 32 Σ 60 356 2.456 - 116
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20
iX if ii fX ii fX 2 JF ei MX − iei fMX −
nny
y iiΣ=
nfX
X iiΣ=
93,560
356==y cuartos por habitación
nynny ii
S
222 −Σ
= n
XnfXS ii
222 −Σ=
( )7328,5
6093,560456.2 2
2 =−=S
3943,27328,5 ==S
302
60
2==n
241 =−JN 40=JN
241 =−JF 40=JF 6== Je yM
n
nMyD iei
e
−Σ=
n
fMXD iei
e
−Σ= 93,1
60
116 ==⇒ eD
La desviación mediana debe ser menor que la desviación típica
17,293,1 <⇒< SeD queda comprobado
%30,4010093,539,2100 ==⇒= CV
XSCV
38. Solución: [ ] [ ] [ ] [ ]750.1013,1750,1013,1 MMMM XXY i
+== +
a) [ ] ( ) 750.10000.12013,1750.1013,1 +=⇒+== yxyM Y
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21
350.146$750.10600.135 =+=y Semanal
b) ( ) 600.45$38,0000.120000.120
38,0 ==⇒= SS
[ ] [ ] [ ] ( ) ==⇒=+
22
13,1750.1013,1600.4513,122 XXY VVV
( ) ( ) semanalespesosSY 528.51600.4513,1600.4513,1 22 ===
%21,35100350.146
528.51 ==CV
39. Solución:
15100500.1 ==y
( )175
10015100000.40 2
2 =−
=S a) 23,13175 ==S
b) %2,8810015
23,13 ==CV
c) 68,023,13
1524 =−=−=S
xXZ
40A. NOTA: Hay en el libro dos (2) ejercicios diferentes con el mismo consecutivo
[ ] kxM kx +=+ 41x 41536 ==+=x
[ ] [ ]Xkx VV =+ 642 =xs 8=xs
100xsVC =
)%(22%51,19 %51,19100418 cambia≠=
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22
40B. Solución:
11,7964
1 ==x 13678
2 ==x
( )56,10
911,79550 2
21 =−=S
( )67,19
6136132.1 2
22 =
−=S
25,31 =S 44,42 =S
b) 27,025,3
11,781 =−=Z 45,0
44,4
13152 =
−=Z
12 ZZ > 27,045,0 >
c) ( ) ( )
47,915
786415
136911,7=
+=
+=x
( ) ( ) ( ) ( )
15647,913947,911,7
15667,19956,10 22
2 −+−++=S
53,223261,8204,142 =+=S 75,4=S
%16,5010047,975,4 ==CV
41. Solución:
''1 ii yy −− in iy ii ny
ii ny2 8,1 – 16 3 12 36 432
16,1 – 24 6 20 120 2.400 24,1 – 32 10 28 280 7.840 32,1 – 40 15 36 540 19.440 40,1 – 48 4 44 176 7.744 48,1 – 56 2 52 104 5.408
Σ 40 - 1.256 43.264 ''
1 ii XX −− if iX ii fX ii fX 2
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23
b) 375,298
2352 ==x (Datos sin agrupar)
( )
48,4238
375,298291.10 222 =−=S 58,202 =S
a) 40,3140256.1
1 ==x (Datos agrupados)
( )
64,9540
4,3140264.43 221 =−=S 78,964,95 1
21 =⇒= SS
1) 22
21 SS < 2) %15,31100
40,3178,9
1 ==CV 3) 16,078,9
40,31331 =−=Z
48,42364,95 <
%06,70100375,2958,20
2 ==CV 18,058,20
38,29332 =−=Z
Hay una mayor
Variabilidad 21 CVCV < 12 ZZ > en la segunda %06,70%15,31 < 16,018,0 > 42. Solución:
a) ( ) ( )
14,857.29$70
000.3240000.2730 =+=x Salario diario promedio para los 70 primeros
b) 14,857.29
35,0 S= ⇒ ( ) 00,450.10$999,449.1014,857.2935,0 ===S
500.202.1092 =S 43. Solución:
22
2 xnxiS −
Σ=
51,167,510490 22 =−=S
06,4=S
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24
%23,711007,506,4 ==CV es el coeficiente de variación.
EJERCICIOS DE PUNTAJE TÍPICO, COEFICIENTES DE DESVIA CIÓN MEDIA, DESVIACIÓN MEDIANA 44. Solución:
''1 ii yy −− iy in iN ii ny ii ny2
2,75 – 4,25 3,5 4 4 14,00 49,00 4,25 – 5,75 5,0 16 20 80,00 400,00 5,75 – 7,25 6,5 25 45 162,50 1.056,25 7,25 – 8,75 8,0 5 50 40,00 320,00
Σ - 50 - 296,50 1.825,25 ''
1 ii XX −− iX if iF ii fX ii fX 2
1'
21 yCyo =+ '
4' 4 yCyo =+
Reemplazando tenemos: 5,35,0' =+ Cyo 5,84' =+ Cyo Si eliminamos a '
oy se obtendrá el valor de C 75,84' =+ Cyo
50,321' −=−− Cyo 50,1
50,3
25,5 ==C
25,55,3 =C a) Coeficiente de variación
93,550
50,296 ==Σ
=n
nyy ii
nfX
X iiΣ=
22
2 yn
ny iiS −Σ
= 22
2 Xn
fXS ii −Σ=
35,116,3551,3693,550
25,825.1 22 =−=−=S 35,116,1 ==S
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25
y
CV S= %56,191956,093,5
16,1 ===CV
b) Desviación media
iy ( )yyi − yyi − ii nyy − in
3,5 -2,43 2,43 9,72 4 5,0 -0,93 0,93 14,88 16 6,5 0,57 0,57 14,25 25 8,0 2,07 2,07 10,35 5
Σ - - 49,20 50
iX id id ii fd if
98,050
20,49 ==−Σ
=n
nyyD ii
a n
fdD ii
a
Σ=
c) Desviación mediana
n
nMyD iei
e
−Σ=
n
fMXD iei
e
−Σ=
87,050
5,43 ==eD
5,6== Je yM
21nN j <− 25
250
2==n
iy in iN ei My − iei nMy −
3,5 4 4 3,0 12,0 5,0 16 20 1−→ JN 1,5 24,0
6,5 25 45 jN→ 0 -
8,0 5 50 1,5 7,5 − 50 - - 43,5
iX if iF ei MX − iei fMX −
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26
45. Solución:
6,2850
430.1 ==y
a) 32,7696,81728,89450430.1
50714.44
22 =−=
−=S ; 736,8=S
b) Desviación media
6,28=y
44,750372 ==
Σ=
n
nZD ii
a
n
fdD ii
a
Σ=
c) Desviación mediana
n
nMyD iei
e
−Σ=
n
fMXD iei
e
−Σ=
44,750372 ==eD
35;25;25250
2 1 ==== − JJ NNn
''1 ii yy −− iy iN in ii ny ii ny2
10,1 – 16 13 4 4 52 676 16,1 – 22 19 12 8 152 2.888 22,1 – 28 25 25 13 325 8.125 28,1 – 34 31 35 10 310 9.610 34,1 – 40 37 44 9 333 12.321 40,1 – 46 43 50 6 258 11.094
Σ - - 50 1.430 44.714 ''
1 ii XX −− iX iF if ii fX ii fX 2
iZ iZ in ii nZ iN
-15,6 15,6 4 62,4 4 -9,6 9,6 8 76,8 12 -3,6 3,6 13 46,8 25 2,4 2,4 10 24,0 35 8,4 8,4 9 75,6 44
14,4 14,4 6 86,4 50 Σ - 50 372,0 -
id id if ii fd iF
in ei My − ei My − iei nMy −
4 -15 15 60 8 -9 9 72
13 -3 3 39 10 3 3 30 9 9 9 81 6 15 15 90
50 - - 372
if ei MX − ei MX − iei fMX −
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27
21 jj
e
yyM
+= −
28256
23125 ==+=eM 28'
1 == −je yM
(marcas de clase) (variable continua)
d) %5,30305,06,28
736,8 ====x
CV S
46. Solución:
ii hyy Σ== 4,29
Σ==nf
XX ii4,29
214,84,293322 =−=+ hyhy 4,84,5 0,3 ; 4,29
====∑
sumahy
hyhy
ii
iiii
68,032,0132 =−=+ hh 32 68,0 hh −= 213322 =+ hyhy
( ) 213568,025 33 =+− hh 21352517 33 =+− hh
410 3 =h 4,03 =h 28,02 =hnf2=
''1 ii yy −− ih iy ii hy
10 – 20 0,20 15 3,0 20 – 30 0,28 25 7,0 30 – 40 0,40 35 14,0 40 – 50 0,12 45 5,4
Σ 1,00 - 29,4
''1 ii XX −−
nf i / iX
nf
X ii
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28
21nH j <−
n
nMyD iei
e
−Σ=
n
fMXD iei
e
−Σ=
35== Je yM
nfMX i
ei −Σ=eD ⇒ 8De =−Σ= iei hMy
47. Solución:
iy in iN ei My − iei nMy − iy ii ny ii ny2 130 3 3 90 270 260 780 202.800 148 6 9 72 432 296 1.776 525.696 160 5 14 60 300 320 1.600 512.000 220 3 17 0 0 440 1.320 580.800 280 2 19 60 120 560 1.120 627.200 320 4 23 100 400 640 2.560 1.638.400 400 7 70 180 1.260 800 5.600 4.480.000 Σ 30 - - 2.782 - 14.756 8.566.896
iX if iF ei MX − iei fMX −
iX ii fX ii fX 2
a) 15230
2==n
141 =−JN ; 17=JN 220== Je yM
iy ih iH ei My − ei My − iei hMy −
15 0,20 0,20 -20 20 4,0 25 0,28 0,48 -10 10 2,8 35 0,40 0,88 0 0 0 45 0,12 1,00 10 10 1,2 Σ 1,00 - - - 8,0
iX nf i / n
Fi ei MX − ei MX −
−nf
MX iei
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29
73,9230782.2 ==eD
b) %15,42100220
73,92100 ===
e
ee M
DCD
c) 87,49130756.14 ==y
( )
10,627.4330
87,49130896.566.8 22 =−=S
La nueva varianza es de 10,627.43 y la 87,208=S
El coeficiente de variación es: %46,4210087,49187,208 ==CV
48. Solución:
''1 ii yy −− in iy yyi − ii nyy −
8,1 – 16 3 12 19,4 58,2 16,1 – 24 6 20 11,4 68,4 24,1 – 32 10 28 3,4 34,0 32,1 – 40 15 36 4,6 69,0 40,1 – 48 4 44 12,6 50,4 48,1 – 56 2 52 20,6 41,2
Σ 40 321,2 ''
1 ii XX −− if iX XX i − ii fXX −
Nota: de acuerdo al ejercicio No. 41, se obtuvo:
=y 1X 40,31= 64,9521 =S 78,91 =S
2x 38,29= 48,42322 =S 58,202 =S
401 =n 82 =n
a) ( ) ( )
06,3148
838,294040,31 =+=x
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30
( ) ( ) ( ) ( )
48806,3138,294006,314,31
48848,4234064,95 22
2 −+−+
+=S
85,15057,028,1502 =+=S 28,12=S
%54,3910006,3128,12 ==CV
b) 03,840
2,321 ==−Σ
=n
nyyD ii
a
iy in iN ei My − iei nMy −
12 3 3 24 72 20 6 9 16 96 28 10 19 8 80 36 15 34 0 0 44 4 38 8 32 52 2 40 16 32 Σ 40 - - 312
iX if iF ei MX − iei fMX −
e) 20240
2==n 191 =−JN 34=JN 36== Je yM
n
fMXD iei
e
−Σ= 8,7
40312 ==
−Σ=
n
nMyD iei
e
d) 78,9=S 03,8=aD 8,7=eD 78,903,88,7 << Se cumple la relación: Sae DD <<
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31
49. Solución:
4,9547 ==x
8=eM
28,55
4,26 ==−Σ
=n
xxD i
a
0,5525 ==
−Σ=
n
MxD ei
e
04,394,95
637 222
2 =−⇒−Σ
= xnxiS
25,604,39 ==S
6,25 > 5,28 > 5,0 ea DDS >> Se cumple la relación 50. Coeficiente de desviación media:
100x
DCD a
X=
Resultados con los datos de los ejercicios 47, 48, 49.
93,24530378.7)47( ==y
ix xxi − ei Mx −
2ix
2 7,4 6 4 5 4,4 3 25 8 1,4 0 64
12 2,6 4 144 20 10,6 12 400
47 26,4 25 637
iy in ii ny yyi − ii nyy −
130 3 390 115,93 347,79 148 6 888 97,93 587,59 160 5 800 85,93 429,65 220 3 660 25,93 77,79 280 2 560 34,07 68,14 320 4 1.280 74,07 296,28 400 7 2.800 154,07 1.078,49
Σ 30 7.378 - 2.885,73
iX if ii fX XX i − ii fXX −
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191,9630
73,885.2 ==Da
%11,3910093,245
191,96 ==CDa
%57,2510040,3103,8
)48( ==CD
17,5610040,928,5)49( ==CD
51. Solución: Cálculo de los coeficientes de desviación mediana con los datos de los ejercicios 47, 48, 49.
%15,42100220
73,92)47( ==eCD
%67,2110036
8,7)48( ==eCD
%50,621000,80,5
)49( ==eCD
52. Solución: a) CIERTO: con estos datos se calcula la varianza y ésta deberá ser mayor o igual a 0. b) CIERTO: es fácil la justificación c) FALSO: no hay confirmación alguna respecto a esta relación d) CIERTO: [ ]
2222 8 XXKX SSKV ==
e) FALSO: Las mismas unidades pero elevadas al cuadrado.
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53. Solución: a) FALSO: se expresa en términos relativos o porcentuales b) FALSO: debe ser dividida por la media aritmética (relativo) o el resultado multiplicado por 100 (porcentual). c) CIERTO: en una distribución normal, ocurre la aplicación del teorema d) FALSO: esa es la virtud de esta medida 54. Solución:
( ) ( )13,0
50,217.1672.9725.933
=−
=−
=S
MxA e
S Ligeramente asimétrica positiva
55. Solución: a)
iy in ii ny iN yyi − ( ) ii nyy 2− ( ) ii nyy 3−
5 3 15 3 -3,6 38,88 -139,968 7 39 273 42 -1,6 99,84 -159,744 9 10 90 52 0,4 1,60 0,640
11 8 88 60 2,4 46,08 110,592 13 7 91 67 4,4 135,52 596,288 15 3 45 70 6,4 122,88 786,432 Σ 70 602 - - 444,80 1.194,24
iX if ii fX iF id ii fd 2 ii fd3
=y X 6,870
602 ==
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nnyy
m ii3
3
)( −Σ=
nfd
m ii3
3
Σ= (momento de orden tres)
06,1770
24,194.13 ==m
35,670
8,4442 ==S → 52,2=S
35270
2==n 31 =−JN 42=JN 7=dM 7=eM
(1) 07,152,2
06,1733
3 ===S
mAS
(2) 63,052,2
76,8 =−=SA
(3) ( )
90,152,2
76,83 =−=SA
Hay una asimetría positiva b)
iy in ii ny iN yyi − ( ) inyy 2− ( ) ii nyy 3−
5 3 15 3 -6,17 114,2067 -704,6553 7 7 49 10 -4,17 121,7223 -507,5820 9 8 72 18 -2,17 37,6712 -81,7465
11 9 99 27 -0,17 0,2601 -0,0442 13 30 390 57 1,83 100,4670 183,8546 15 3 45 60 3,83 44,0067 168,5457 Σ 60 670 - - 418,3340 -941,6277
iX if ii fX iF id ii fd 2 ii fd3
=y X 17,1160
670 ==
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69,1560
6277,9413 −=−=m (momento de orden tres)
97,660
334,4182 ==S → 64,2=S
13=dM 13=eM 30260
2==n 271 =−JN 57=JN
(1) 85,064,2
69,153
−=−=SA
(2) 69,064,2
1317,11 −=−=SA 13=dM
(3) ( )
07,264,2
1317,113 −=−=SA 13=eM
Asimetría negativa c)
=y X 1070
700 ==
03 =m
iy in ii ny iN yyi −
( ) ii nyy 2−
( ) ii nyy 3−
5 5 25 5 -5 125 -625 7 10 70 15 -3 90 -270 9 20 180 35 -1 20 -20
11 20 220 55 1 20 20 13 10 130 65 3 90 270 15 5 75 70 5 125 625 Σ 70 700 0 470 0
iX if ii fX iF id ii fd 2 ii fd3
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71,6704702 ==S
(1) 0=SA (simétrico) 11=dM 9=dM 102119 =+=eM
Promedio = 10 NOTA: Los histogramas se dejan para ser elaborados por usted.
35270
2==n 351 =−JN 55=JN
(2) 0=SA (3) 0=SA Es simétrica 56. Solución:
a) 20=n 9,4720958 ==x
( )
09,23720
9,4720630.50 22 =
−=S → 40,15=S
• Desviación típica → S = 15,40
• Coeficiente de variación → 15,3210090,4740,15
100 ===x
CV S
• Mediana:
25 28 28 32 34 36 38 40 40 4642 51 56 58 62 64 64 68 70 76
442
4642 =+=eM
• Desviación mediana: +++++++++=−Σ 44681012161619ei Mx
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2723226242020181412722 =++++++++++
6,1320272 ==
−Σ=
n
MxDM ei
e
b) 512576 =−=Rango 9651 ≅==
mRango
C
=y X 3,4720
946 ==
( )20
3,4720379.49 22 −
=S
66,2312 =S
22,15=S
%18,3210030,4722,15 ==CV
57. Solución: a) 362
1 =S ; 66,23122 =S ⇒ 2
122 SS >
3666,231 > Mayor variabilidad en el segundo caso
b) %58,151005,38
61 ==CV
%18,322 =CV 12 CVCV >
''1 ii yy −− in iy ii ny
ii ny2 23,1 – 32 4 27,5 110,0 3.025,00 32,1 – 41 5 36,5 182,5 6.661,25 41,1 – 50 2 45,5 91,0 4.140,50 50,1 – 59 3 54,5 163,5 8.910,75 59,1 – 68 4 63,5 254,0 16.129,00 68,1 – 77 2 72,5 145,0 10.512,50
Σ 20 - 946,0 49.379,00 ''
1 ii XX −− if iX ii fX ii fX 2
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%58,15%18,32 > Mayor variabilidad relativa en la
segunda distribución
c) 58,16
5,38481 =−=Z
18,022,15
3,47502 =−=Z 21 ZZ > ⇒ 18,058,1 >
58. Solución:
''1 ii yy −− iy in ii ny yyi − ( ) ii nyy 2− ( ) ii nyy 3− ( ) ii nyy 4−
23,1 – 32 27,5 4 110,0 -19,8 1.568,16 -31.049,568 614.781,4464 32,1 – 41 36,5 5 182,5 -10,8 583,20 -6.298,560 68.024,4480 41,1 – 50 45,5 2 91,0 -1,8 6,48 -11,664 20,9952 50,1 – 59 54,5 3 163,5 7,2 155,52 1.119,744 8.062,1568 59,1 – 68 63,5 4 254,0 16,2 1.049,76 17.006,112 275.499,1440 68,1 – 77 72,5 2 145,0 25,2 1.270,08 32.006,016 806.551,6032
Σ - 20 946,0 4.633,20 12.772,08 1.772.939,7936 ''
1 ii XX −− iX if ii fX XXi − ( ) ii fXX 2− ( ) ii fXX 3− ( ) ii fXX 4−
=y X 3,4720
946 ==
66,23120
20,633.42 ==S → 22,15=S
604,63820
08,772.123 ==m (momento de orden tres)
99,646.8820
7936,939.772.14 ==m (momento de orden cuatro)
a) Se trata de una distribución asimétrica positiva 18,022,15
604,6383
3
3===
S
mAS
Ligeramente asimétrica, casi normal.
b) 65,122,15
99,646.884
4
4===
S
mAp ⇒ 0,365,1 < Es achatada
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59. Solución:
654321 nnnnnnn +++++=
( ) 1111 530305150 nnnn +++++++= 704150 1 +=⇒ n
84 1 =n ⇒ 201 =n ; 252 =n ; 303 =n ; 304 =n ; 255 =n ; 206 =n
Σ+=
nnZ
COy iit
''
Σ+=n
fdiAX ii
'
4115022550 =
−+= Cy
C5,15041 −=−
65,1
9 =−−=C
yyi −
( ) ii nyy 2−
( ) ii nyy 3−
( ) ii nyy 4−
ii nyy −
iei nMy −
iN
-15 4.500 -67.500 1.012.500 300 300 20 -9 2.025 -18.225 164.025 225 225 45 -3 270 -810 2.430 90 90 75 3 270 810 2.430 90 90 105 9 2.025 18.225 164.025 225 225 130
15 4.500 67.500 1.012.500 300 300 150 0 13.590 0 2.357.910 1.230 1.230 -
id ii fd2 ii fd3 ii fd4 ii fd iei fMX −
iF
iy in ''iZ ii nZ ''
26 20 -4 -80 32 25 -3 -75 38 30 -2 -60 44 30 -1 -30 50 25 0 0 56 20 1 20 Σ 150 -9 -225
iX if 'id ii fd '
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a) =y x 41=
6,90150
590.132 ==S 52,9=S
6,902 =S S=52,9 %22,231004152,9 ==CV
b) 033 ==
S
mAS 41=eM
( )0
52,941413 =−=SA
052,9
4141 =−=−
=S
diS
MMA La distribución es simétrica
c) 4,719.15150
910.357.24 ==m 392,1
6,904,719.15
2<==pA Achatada
60. Solución: a)
24,2750362.1 ==y
a) varianza 0824,13050
12,504.6S 2 ==⇒
b) 41,110824,130 ==S
iy ii ny yyi − ii nyy − ei My − iei nMy − ii nyy 2−
9,0 27 18,24 54,72 19,75 59,25 998,0928 13,5 135 13,74 137,40 15,25 152,50 1.887,8760 17,5 105 9,74 58,44 11,25 67,50 569,2056 24,0 96 3,24 12,96 4,75 19,00 41,9904 32,0 256 4,76 38,08 3,25 26,00 181,2608 38,0 608 10,76 172,16 9,25 148,00 1.852,4416 45,0 135 17,76 53,28 16,25 48,75 946,2528
1.362 Σ 527,04 - 520,50 6.504,1200
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c) %89,4110024,2741,11 ==CV
d) Desviación media 54,1050
04,527 ==aD
e) Desviación mediana 41,1050
5,520 ==eD
Mediana 25250
2==⇒ nM e 231 =−IN ; 31=IN
75,2875,0288
2325628 =+=
−+=eM
Sae DD <≤ 54,1041,10 ≤⇔ < 11,41 61. Solución: a) Asimetría
17,062,474.148,244
33 −=−==
S
mAs (Ligera asimetría negativa)
( )
48,24450
22,224.123
3 −=−=−= ∑n
nyym ii (Momento de orden tres)
( )
99,115.2650
88,799.305.14
4 ==−= ∑n
nyym ii (Momento de orden cuatro)
b) Apuntamiento
55,161,780.1699,115.26
)( 224
44 ====
SS
mmAp
Achatada (platicúrtica) 355,1 <⇒ 62. Solución: 1)
''1 ii yy −− in iy
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6,9=Ay 1210120==x
64,322 =AS 99,442 =BS 71,5=AS 71,6=BS
a) AB SS > 22
AB SS > 71,571,6 > 62,3299,44 >
b) %48,591006,9
71,5 ==ACV ; %92,5510012
71,6 ==BCV AB CVCV <
%48,59%92,55 <
c) Puntaje típico: 47,171,7
6,918 =−=AZ 89,071,6
1218 =−=BZ BA ZZ >
2) 1210120 ==Bx
( )
99,4410
1210890.1 22 =−=BS
71,6=BS 63. Solución:
nnxnx
x 2211 +=
( ) ( )
94,970
1012606,9 =+=x
( ) ( ) ( ) ( )=+=−+−++= 7,040,34
701094,9126094,96,9
701099,446064,32 22
2S
92,510,352 =⇒= SS
2,1 – 6 22 4 6,1 – 10 14 8 10,1 – 14 10 12 14,1 – 18 8 16 18,1 – 22 4 20 22,1 – 26 2 24
Σ 60 - ''
1 ii XX −− if iX
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%59,5910094,992,5
100 ===x
CV S
a) ( ) 486,95 ==x ( ) 81664,32522 ==S 57,28816 ==S
%52,5910048
57,28 ==CV
Anteriormente nos había dado 59,56% ahora nos da casi igual: 59,52%, diferencia sin importancia por los decimales. Se puede concluir que no cambia. b) 6,196,910 =+=x [ ]XKVS +=2
64,322 =S 71,5=S
%13,2910060,19
71,5 ==CV Cambia el resultado
64. Solución:
Asimetría:
98,071,5
46,91 =−=−
=S
dS
MMA
( ) ( )
69,071,5
29,86,933 1 =−=−
=S
eS
MMA
302
60 =
''1 ii yy −− iy in iN
2,1 – 6 4 22 22 6,1 – 10 8 14 36 10,1 – 14 12 10 46 14,1 – 18 16 8 54 18,1 – 22 20 4 58 22,1 – 26 24 2 60
Σ 60 - ''
1 ii XX −− iX if iF
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29,829,2614
22304646,9 =+=
−+=== ed MMy
Hay una ligera asimetría positiva
34,14860
61,900.83 ==m
80,017,186
34,148
71,5
34,1483 ===sA
Asimétrico positivo
53,804.260
87,271.1684 ==m
63,237,065.1
53,084.2
64,32
53,804.22 ===pA
Como 00,363,2 < se dice que la curva es achatada. 65. Solución: a) 600.962600.851 < ⇒ Hay una mayor variabilidad absoluta en el turno II
b) %094,000094,0100000.97882,922
100100000.978600.851
1
1 =====x
CVS
I
%082,000082,0100500.203.112,981
100100500.203.1600.962
2
2 =====x
CVS
II
21 CVCV > Hay mayor variabilidad relativa en el primer turno.
( ) ii nyy3
− ( ) ii nyy4
− -3.863,55 21.635,89
57,34 91,75 138,24 331,78
2.097,15 13.421,77 4.499,46 46.794,34 5.971,97 85.996,34 8.900,61 168.271,87
3)( XX i − if 4)( XX i − if
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c) 000.000.1$000.22000.9781 =+=+ Kx %092,0100000.000.1
82,9221 ==CV
745.287.1$245.84500.203.12 =+=+ Kx %076,0100745.287.112,981
2 ==CV
21 CVCV > %076,0%092,0 > 66. Solución:
''1 ii yy −− iy in ii ny yyi − ( )2yyi − ( ) ii nyy 2− ( ) ii nyy 3− ( ) ii nyy 4−
2,1 – 6 4 3 12 -8,87 78,6769 236,0307 -2.093,5923 18.570,1638 6,1 – 10 8 12 96 -4,87 23,7169 284,6028 -1386,0156 6.749,8961 10,1 – 14 12 25 300 -0,87 0,7569 18,9225 -16,4626 14,3224 14,1 – 18 16 11 176 3,13 9,7969 107,7669 337,3073 1.055,7717 18,1 – 22 20 7 140 7,13 50,8369 355,8583 2.537,2697 18.090,7328 22,1 – 26 24 2 48 11,13 123,8769 247,7538 2.757,4998 30.690,9727
Σ - 60 772 - - 1.250,9350 2.136,0063 75.171,8595 ''
1 ii XX −− iX if ii fX id 2
id ii fd 2 ii fd 3 ii fd 4
87,1260
772 ==y 85,2060
935,250.12 ==S 57,485,20 ==S
Asimetría: 37,057,4
60,3533
3 ===S
mAS 60,35
600063,136.23
3 === ∑n
nZm ii
Hay poca asimetría y es positiva
Apuntamiento: ( ) ( )88,2
85,20
86,252.1222
4 ===S
mAp 86,252.1
6086,171.754
4 === ∑n
nZm ii
388,2 < Luego se concluye que es ligeramente achatada
a) %51,3510087,1257,4
100 ===y
CV S
b) 12,057,4
87,1212 −=−=−
=S
yyZ i
c)
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46
56,360
40,213 ==−
=∑
n
nyyD ii
a (Desviación media)
4,1225
1530410 =−+=Mediana
302
=n 151 =−JN 40=JN
Variable continua: 41,360
0,204 ==−
= ∑n
nMyD iei
e
67. Solución:
( ) 020.852000.8042,0000.810000.810)( =+×+=+ kxx aritméticamedianueva020.852$000.8020.34000.810 =++=x
( ) 2,727.306$36,0020.852020.852
36,0100 ==⇒=⇒= SSS
xCV
a) 22 2,727.306=S y su desviación será pesos2,727.306$ b) La varianza no cambia, cuando utilizamos la propiedad que dice:
iy in yyi − ii nyy − iN
4 3 8,87 26,61 3 8 12 4,87 58,44 15 1−← JN
12 25 0,87 21,75 40 JN←
16 11 3,13 34,43 51 20 7 7,13 49,91 58 24 2 11,13 22,26 60 Σ 60 - 213,40 -
iX if id ii fd iF
ei My − iei nMy −
8,4 25,20 4,4 52,80 0,4 10,00 3,6 39,60 7,6 53,20
11,6 23,20 - 204,00
- iei fMX −
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47
[ ] [ ] [ ]
2XKXKX SVVV =+=+
68. Solución:
Mediana: 2 4 6 8 10 eM
a) 4,25
12 ==aD n
xxD i
a
∑ −=
b) 4,25
12 ==eD n
xD ei
e
∑ −=
M
c) 85402 ==S 83,28 ==S
d) SaDDe <≤ 83,24,24,2 <=
e) %17,471006
83,2 ==CV 6530==x
100xSCV =
69. Solución:
ix xxi − ( )2xxi − xxi − ei Mx −
6 0 0 0 0 4 -2 4 2 2 8 2 4 2 2 2 -4 16 4 4 10 4 16 4 4 Σ 0 40 12 12
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48
[ ]
+
=896
896 YX MM ⇒ [ ] [ ]1212 += YX MM
1212 += yx
( ) 7212512 =+=x 72=x
[ ] 40,0==y
CV YY
S ⇒ ( ) 2540,0 == YS
[ ] [ ] [ ] ( ) 5764144144 2121212 ===== + YYYX SVVV
245765762 ==⇒= Xx SS
%33,331007224 ==XCV 100
xS
CV x=
70. Solución:
xy 106 −=
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]XXXY VVVVV 1000 10106 =+=−=
( ) 80081002 ==yS
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 80012816 2244 ==−=−=− y
Sx
SYXYXYX VVVVV
( ) 800128800816 −=−
[ ] [ ] 800128≠< YX VV
Podemos concluir que hay una diferencia entre las dos varianzas de 672. 71. Solución: Debido a que de MMM ==1 ; por lo tanto la diferencia entre dos de ellos es cero.
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49
72. Solución: a) El más regular en el desarrollo de su trabajo es B dado que, tiene la menor dispersión; sería totalmente parejo si 02 =S b) El más rápido en terminar el trabajo es B, ya que tiene el mayor promedio. 73. Solución: a) Observemos de mayor a menor las calificaciones Derecho > Economía > Inglés > Matemáticas 3,36,30,42,4 >>> Se nota fortaleza en las dos primeras y debilidades especialmente en las matemáticas. b) Si calculamos los puntajes típicos observemos
5,06,0
3,44 −=−=EcoZ 67,075,0
8,23,3 =−=MatZ
4,08,0
2,36,3 =−=IngZ 67,06,0
6,42,4 −=−=DerZ
Matemáticas > Inglés > Economía > Derecho 67,05,04,067,0 −>−>>⇒Z La conclusión con respecto al grupo es todo lo contrario, al resultado obtenido en el punto a.
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50
74. Solución:
a) =y X 57,160
94 ==
Casi en promedio dos reclamaciones en los últimos años.
b) ( )
47,360
57,160356 22 =−=S
86,147,3 ==S
c) %47,11810057,186,1
100 ===x
CV S
Estos resultados nos indican que el promedio de 1,57 es poco representativo, para aceptar la afirmación que en promedio 1,57 sea el número de reclamaciones por usuario.
iy in ii ny ii ny2 0 26 0 0 1 10 10 10 2 8 16 32 3 6 18 54 4 4 16 64 5 3 15 75 6 2 12 72 7 1 7 49 Σ 60 94 356
iX if ii fX ii fX 2
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5
Nociones elementales de probabilidad
EJERCICIOS RESUELTOS
ESPACIO MUESTRAL – ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES – ESPERANZA MATEMÁTICA 1. Solución:
a) Los pares son: [2, 4, 6] 50,021
63 ===P
b) Mayor que 2: [3, 4, 5, 6] 66,032
64 ===P
2. Solución:
a) Que sea 3: (1, 2) (2, 1) 055,0181
362 ===P
b) Que sea 4: (2, 2) (3, 1) (1, 3) 083,0121
363 ===P
3. Solución:
a) Que todas sean caras: (ccc) 125,081 ==P
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2
b) Que dos sean caras: (ccs) (csc) (scc) 375,083 ==P
c) Que dos sean sellos: (ssc) (scs) (css) 375,083 ==P
4. Solución:
Todos varones: VVV; 125,081 ==P 823 = casos posibles
5. Solución: a) 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66
b) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (3, 4) (2, 4) (1, 4) 1667,06
1
36
6 ===P
c) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 1667,06
1
36
6 ===P
d) Que sea 6: (5, 1) (1, 5) (2, 4) (4, 2) (3, 3) 1389,036
5 ==P
Que sea 8: (5, 3) (3, 5) (2, 6) (6, 2) (4, 4) 1389,036
5 ==P
Que sea 7: (5, 2) (2, 5) (4, 3) (3, 4) (6, 1) (1, 6) 1667,06
1
36
6 ===P
Más de 9: (5, 5) (5, 6) (6, 5) (6, 6) (4, 6) (6, 4) 1667,06
1
36
6 ===P
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.5 Nociones elementales de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones probabilidad Actualizado en diciembre de 2007
3
6. Solución: a) 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44
b) (1, 2) (1, 4) (3, 2) (3, 4) 25,041
164 ===P
c) (1, 3) (3, 1) (2, 2) 1875,0163 ==P
d) (1, 1) (3, 1) (1, 3) (2, 2) (2,4) (3, 3) (4, 2) (4, 4) 5,021
168 ===P
7. Solución: 111 211 311 411 112 212 312 412 121 221 321 421 122 222 322 422 131 231 331 431 132 232 332 432 141 241 341 441 142 242 342 442 113 213 313 413 114 214 314 414 123 223 323 423 124 224 324 424 133 233 333 433 134 234 334 434 143 243 343 443 144 244 344 444 a) (121) (211) (231) (241) (321) (421) (412) (112) (132) (142) (312) (332) (342) (432) (123) (213) (233) (243) (323) (423) (442) (124) (214) (234) (244) (324) (424)
%18,424218,06427 ===P
b) (221) (232) (422) (122) (212) (322) (224) (242) (223)
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4
%06,141406,0649 ===P
c) (222)
%56,10156,0641 ===P
8. Solución: a) [ ]CBAU = c) B C
b) 10060
10030
10010 40,0
10040
10010
10030 ==+=P
9. Solución:
[ ]
=
100
5
100
15
100
20
100
25
100
35
65demayores,65a51,50a36,35a21,20demenoresU
40,010040
1005
10015
10020 ==++=P
10. Solución: a) [ ]AzVRAB 100300300500800
b)
000.2100
000.2300
000.2300
000.2500
000.2800
R B Az
c) 60,0000.2200.1
000.2100
000.2800
000.2300 ==++=P
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.5 Nociones elementales de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones probabilidad Actualizado en diciembre de 2007
5
11. Solución:
121
31
21
21 =⋅⋅=P
121=VHC
121=CHC
121=VHN
121=CHN
121=VHF
121=CHF
121=VSC
121=CSC
121=VSN
121=CSN
121=VSF
121=CSF %33,80833,0
121 ===P
V
C
S
H
S
H
C
N
FC
N
FC
N
FC
N
F
½
½
½
½
½
½
1/3
1/3
1/3
1/3
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6
12. Solución: a) Espacio muestral: [ ]RRBBBB
b) Probabilidades: 61
61
61
61
61
61
c) Probabilidad de sacar una bola roja: 33,031
62
61
61 ===+=P
13. Solución:
a) (4, 4, 4) %46,00046,02161 ===P 21663 =
b) (1, 1, 1) (2, 2, 2) (3, 3, 3) (4, 4, 4) (5, 5, 5) (6, 6, 6); 361
2166 ==P
c)
644544344244144464454434424414446445443442441
%94,60694,0725
21615 ====P
d) 4167,012
5
216
90 ===P
14. Solución: Posibilidades: 165623 =+++
Probabilidad favorable: 3125,0165
162
163 ==+=P
Probabilidad adversa: 6875,01611
165
166 ==+=Q
Probabilidad total: 11611
165 =+=+ QP
15. Solución:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.5 Nociones elementales de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones probabilidad Actualizado en diciembre de 2007
7
a) Si b) No c) Si d) Si e) No f) Si 16. Solución: a) ABC ACE BCD BEF ABD ACF BCE CDE ABE ADE BCF CDF ABF ADF BDE CEF ACD AEF BDF DEF
206
456!3!3
!663 =××==C La probabilidad de cada suceso es 05,0
201 == p
b) ABC – ABD – ABE – ABF – ACD
ACE – ACF – ADE – ADF – AEF 5,02010 ==p
c) ABC – ABD – ABE – ABF 20,051
204 ===p
d) ACD AEF BDE ADE BCE BEF
ACE BCD BDF ADF BCF ACF 60,053
2012 ===p
e) 5,02010 ==p
f) 20,051
204 ===p
17. Solución:
33,031
124 ===p o 33%
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.5 Nociones elementales de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones probabilidad Actualizado en diciembre de 2007
8
18. Solución:
HM - MH - HH - MM La probabilidad de cada suceso es 41
19. Solución: a) HHH HHM HMM MMM HMH MHM MHH MMH b) Tendrá 8 puntos c) HHM - HMH - MHH = 3 puntos d) MHH - MHM - MMH - MMM = 4 puntos 20. Solución:
a) MMH 125,081 ==p
b) MMH – MHM – HMM 375,083 ==p
21. Solución: (50; 100) (50; 200) (50; 500) (100; 200) (100; 500) (200; 500) (100; 50) (200; 50) (500; 50) (200; 100) (500, 100) (500; 200) 22. Solución: Sabemos que hay 36 casos posibles 3662 =⇒ Que la suma sea 4 sólo se tiene: (3; 1) (1; 3) y (2; 2) = 3/36
Por lo tanto que no sea 4, será igual a 9167,03633
363
3636 ==−
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.5 Nociones elementales de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones probabilidad Actualizado en diciembre de 2007
9
23. Solución: a) OROS AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY BASTOS AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY COPAS AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY ESPADAS AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY b) CCCCCC CCCCCS CCCCSS CCCSSS CC……. ………. CCCCSC CCCSCS CCSCSS ……….. CCCSCC CCCSSC CCSSCS ……….. CCSCCC CCSCSC CCSSSC CSCCCC CCSSCC CSCSSC SCCCCC CSCSCC CSSCSC CSSCCC CSSSCC SCSCCC SCSSCC SSCCCC SSCSCC ………... SSSCCC ………... ………… ………... ………… ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1/64 6/64 15/64 28/64 15/64 1/64 Son 64 sucesos, los cuales se distribuyen así: 6 caras, un caso 3 caras, 28 casos 0 caras, un caso 5 caras, 6 casos 2 caras, 15 casos 4 caras, 15 casos 1 cara, 6 casos c) (100; 200) (100; 1.000) (100; 10.000) (200; 100) (200; 1.000) (200; 10.000) (1.000; 100) (1.000; 200) (1.000; 10.000) (10.000; 100) (10.000; 200) (10.000; 1.000) d) ABC ACD ADF BDE DEF ABD ACE BCD BDF ABE ACF BCE CDE
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10
ABF ADE BCF CDF 24. Solución: a) 111 121 131 141 112 122 132 142 211 221 231 241 212 222 232 242 311 321 331 341 312 322 332 342 411 421 431 441 412 422 432 442 113 123 133 143 114 124 134 144 213 223 233 243 214 224 234 244 313 323 333 343 314 324 334 344 413 423 433 443 414 424 434 444 b) 6443 = casos posibles, tal como se puede observar en la pregunta (a) c) Exactamente un dos: 121 211 231 241 321 421 123 213 233 243 323 423 112 132 142 312 332 342 412 432 442 124 214 234 244 324 424
6427=p
Exactamente dos dos: 221 122 212 232 242 322 422 223 224
649=p
Exactamente tres dos: 222
641=p
25. Solución:
%2020,0 ==P que llueva; %8080,0 ==P que no llueva
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.5 Nociones elementales de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones probabilidad Actualizado en diciembre de 2007
11
26. Solución:
a) { }3613,3 =⇒ P
b) {1,1} {1,3} {1,5} {3,1} {3,3} {3,5} {5,1} {5,3} {5,5}
369=P
c) {1,2} {1,4} {1,6} {2,1} {2,3} {2,5} {3,2} {3,4} {3,6} {4,1} {4,3} {4,5} {5,2} {5,4} {5,6} {6,1} {6,3} {6,5}
3618=P
d) {3,6} {6,3} 181
362 ==P
e) {3,6} 361=P
27. Solución:
Par: 2, 4, 6 21
63 ==P
Impar: 1, 3, 5 21
63 ==P
Mayor que 0: 1, 2, 3, 4, 5, 6 166 ==P
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.5 Nociones elementales de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones probabilidad Actualizado en diciembre de 2007
12
Menor que 5: 4, 3, 2, 1, 32
64 ==P
28. Solución: (a) CSS SCS SSC p = 3/8 (b) CCS CSC SCC CCC p = 4/8 = ½ (c) CCS CSC SCC p = 3/8 (d) CSS CCS CCC SCS CSC SSS SSC SCC p = 8/8 = 1 29. Solución: a) Evento es un conjunto de uno o más puntos muestrales b) El conjunto de las 52 cartas de la baraja sacar una K Diamantes: AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K Trébol: AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K Corazón: AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K Picas: AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
c) 13
3
52
12
52
4
52
4
52
4 ==++=P
30. Solución: a) { }BBBBBABABBAAABBABAAABAAA=υ b) BBB c) Exactamente 2 trabajan 31. Solución:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.5 Nociones elementales de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones probabilidad Actualizado en diciembre de 2007
13
a) Se determina la probabilidad sin necesidad de realizar el experimento. b) Se requiere la realización del experimento para determinar la probabilidad de un suceso c) La lista de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio
muestral. d) Posibilidad es el resultado que se obtiene al dividir el número de resultados favorables
por el número de resultados no favorables. Probabilidad es el resultado que se obtiene al dividir el número de resultados
favorables por el total de casos posibles. e) Probabilidad subjetiva, se considera cuando la elección de las probabilidades es
fundamentalmente intuitiva. f) Experimento: es un conjunto definido de resultados posibles g) Prueba es la realización de un acto. h) Frecuencias relativas: cuando la elección de las probabilidades se basa en las
experiencias previas. 32. Solución: Considerar que el equipo profesional queda dentro de los 4 primeros puestos, con una probabilidad del 56%. Me baso en los jugadores y entrenador, además, de sus últimas actuaciones. Lo anterior es una probabilidad subjetiva. 33. Solución: Un aficionado bogotano ha visto jugar dos de los tres equipos capitalinos contra los restantes 16 equipos del campeonato, aunque nunca el uno contra el otro. Tiene la impresión que uno de ellos es mejor que el otro y que tiene mayores posibilidades de ganar, por lo tanto asigna las siguientes probabilidades de la siguiente manera: El equipo A gana 0,7 = 70% El equipo B gana 0,3 = 30% Lo anterior corresponde a una probabilidad subjetiva.
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Se tiene una baraja de 40 cartas y se va a extraer una sola carta, la probabilidad de obtener un AS o un rey de copas es:
40
5
40
1
40
4 =+=P Lo anterior es una probabilidad objetiva
34. Solución: a) Cierto b) Cierto 35. Solución:
Esperanza de ganar, si sale el uno ( ) 33,8336
50005000
6
1 === pesos
Esperanza de perder, si sale 2, 3, 4, 5 y 6 ( ) 33,8336
50001000
6
5 === pesos
Sí debo aceptar, es equitativo no gano ni pierdo ya que: 833,33 – 833,33 = 0 36. Solución:
5010
1 =p ( ) 000.1000.550
1011 === npE
5010
2 =p ( ) 200000.15010
22 === npE
5030
3 =p 005030
33 =×== npE
200.10200000.1321 =++=++= EEEE 37. Solución:
321 pppP ⋅⋅= 2416
1 =p 2315
2 =p 2214
3 =p
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277,0144.12360.3
2214
2315
2416 ==××=p
( )pE 000.5=
( ) 385.1277,0000.5 ==E
38. Solución:
a) 35!4!3
!737 ==
b) 157335 =
== npE
NOTA: se trata de combinaciones (forma parte de los ejercicios del 70 al 86) 39. Solución: a) Esperanza (número de accidentes) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,001,0402,0303,0204,0190,00 =++++= b) Durante 200 períodos → ( ) 402,0200 ==E accidentes esperados 40. Solución:
( ) 000.32$04,0000.250 ==E Nota: el libro debería decir $18.500.000, por lo tanto la prima debe ser $740.000 41. Solución:
!npn = 12012345!55 =⋅⋅⋅⋅==P 42. Solución:
040.51234567!77 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅==P 43. Solución:
320.4012345678!88 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==P
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44. Solución:
241234!44 =×××==P 45. Solución:
880.362123456789!99 =××××××××==P 46. Solución:
241234!44 =×××==P 47. Solución:
12012345!55 =××××==P 48. Solución:
6123!33 =××==P (ABC) (ACB) (BAC) (BCA) (CBA) (CAB) 49. Solución:
( ) 650.34!4!4!2
!114,4,2:11 ==rP
50. Solución:
a) ( ) 400.302!2!3
!102,3:10 ==rP b) ( ) 160.20
2320.40
!2!8
2:8 ===rP
51. Solución:
( ) 602
12345!2!5
2:5 =××××==rP
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52. Solución:
( ) 102
45
!32
!345
!3!2
!53,2:5 =×=
×××==rP
53. Solución: Es un caso especial de permutaciones:
241234!45 =×××==P 212!213 =×==P Número de permutaciones con los dos grupos 2!22 ==P El número total de permutaciones ( ) ( ) 962224 == 54. Solución:
( )!!rn
nV n
r −= ( ) 120.15!4
!456789!4!9
!59!99
559 =×××××==−== VP
55. Solución:
( ) 466
4 3603456!2!6
!46!6
PV ==×××==−=
56. Solución:
( ) 52727
5 600.687.92324252627!22!27
!527!27
PV ==××××==−=
57. Solución:
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6060345!2!5
355
3 ===××== PV
58. Solución:
200.187!4!10
!5!10
!6!10
!7!1010
6105
104
103 =+++=+++ VVVV
59. Solución:
355
3 60345!2!5
PV ==××==
60. Solución:
( ) 400.302!3!2
!103,2:10 ==rP
61. Solución: a) 720!6 = b) 800.628.3!10 = c) 6!3 = d) 1!0 = 62. Solución:
a) 33638 =P b) 680.1!4!8
48 ==P c) 720.658 =P
63. Solución:
( ) 800.916.3912
600.001.479
!2!3
!122,3:12 ===rP
64. Solución:
a) 600.15!23!26
326 ==P b) 576.17263 =
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65. Solución: a) ABCD BACD CBAD DABC ABDC BADC CBDA DACB ACBA BCAD CABD DBAC ACAB BCDA CADB DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA b) 24!44 ==P 66. Solución: a) 898.989.278.092.2!910111213141516!1616 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==P Formas de clasificación
b) 680.43!4
!16416 ==P Formas de clasificación
67. Solución: 3! = libros de matemáticas; 2! = Libros de estadística; 2! = Con los dos grupos
24!2!2!3 =⋅⋅ Maneras 68. Solución:
720!66 ==P Maneras de sentarse 69. Solución:
a) 30!4
!626 ==P b) 4
!3
!414 ==P c) 040.95512 =P
d) 720!66 ==P e) 320.40!88 ==P
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70. Solución:
a) 28!6!2
!86
8==
b) 10
!3!2!5
3
5==
c) 10
!2!3!5
2
5==
d) 28!2!6
!82
8==
e) 210
!4!6
!104
10==
f) 210
!4!6
!106
10==
71. Solución:
300.627.54!11!19
!301130 ==C Maneras
72. Solución: MMVVV MVMVV MVVMV MVVVM VMVVM VVMVM VVVMM VMVMV VVMMV VMMVV 10 posibilidades 73. Solución:
Comisiones210!61234
!678910
!6!4
!106
10=
××××××××==
74. Solución:
a) 10!312
!345
!3!2
!5
3
5=
××××==
Comités
b) 7 comités 75. Solución:
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21
a) 210 = 210 b) 56 = 56 c) 21 = 21
=
4
10
6
10
=
5
8
3
8
=
5
7
2
7
76. Solución:
495!4!8
!12
4
12==
Maneras
77. Solución:
a) ( ) 224564!5!3
!8
!! !3
!4
3
8
1
4==×=
Comités
b) Se deja al estudiante, su solución. 78. Solución:
560.643.18!7!33
!407
40==
Grupos de 7 cartas
79. Solución:
( ) !!!
rrnn
rn
−=
a) ( ) 210635!2!2
!4!3!4
!724
37 ==⋅=
Comités
( ) 37121140210214352105
7
1
4
4
7
2
4
3
7=++=++=
+
+
80. Solución:
( ) ( ) 400.8105615!3!2
!5
!3!5
!8
!4!2
!6
3
5
3
8
4
6==⋅⋅=
Comités
81. Solución:
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( ) 5605610!5!3
!8
!3!2
!5
5
8
3
5==
⋅
=
Comités
82. Solución:
a) ( ) 1206
720
123!7
8910
!7!3
!10103 ==
×××××
==C Comisiones
b) 1206
7206
8910!3!7
!10107 ==××==C Comisiones
Se puede notar que 10
7103 CC =
83. Solución:
960.598.2!47!5
!52525 ==C Grupos de 5 cartas
84. Solución:
28!6!2
!882 ==C Maneras
85. Solución:
a) 35!4!3
!737 ==
b) 12034
06
24
16
14
26
04
36 =
+
+
+
86. Solución:
4!1!3
!443 ==C (1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 3, 4) (2, 3, 4)
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23
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES 87. Solución:
( ) ( ) ( )BABoA PPP +=
( ) 4012=AP ( ) 40
4=BP ( ) 40,05
2
40
16
40
4
40
12 ===+=BoAP
88. Solución:
( ) 41=AP ( ) 4
1=BP ( ) 41=CP
( ) 75,043
41
41
41 ==++=CoBoAP
89. Solución:
( ) 524=AP obtener una J ( ) 52
13=BP obtener un corazón
( ) 3077,052
16
52
1
52
13
52
4 ==−+=BoAP ( ) 521=ByAP = obtener J y corazón
(Sucesos compatibles)
( ) ( ) ( ) ( )ByABABoA PPPP −+=
90. Solución:
( ) 5213=AP sea diamante ( ) 52
13=BP sea trébol
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( ) 5,026
13
52
26
52
13
52
13 ===+=BoAP
91. Solución:
( ) 60,0=AP ( ) 30,0=BP ( ) 25,0=ByAP
(Sucesos compatibles)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 65,025,030,060,0; =−+=−+= BóAByABABoA PPPPP
92. Solución:
a) ( ) %67,161667,06
1
30
5 ====AP
b) ( ) 305=AP ( ) 30
10=BP
( ) 5,02
1
30
15
30
10
30
5 ===+=BóAP
c) ( ) 3015=AP ( ) 30
10=BP
( ) %33,838333,030
25
30
10
30
15 ===+=BoAP
93. Solución:
( ) 4012=AP ( ) 40
10=BP ( ) 404=ByAP
(Sucesos compatibles)
( ) %4545,020
9
40
18
40
4
40
10
40
12 ====−+=BoAP
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94. Solución:
( ) 2,0=AP ( ) 5,0=BP ( ) 05,0=ByAP
(Sucesos compatibles)
( ) 65,005,05,02,0 =−+=BoAP
95. Solución:
a) ( ) 20,05
1
40
8
40
4
40
4 ===+=BoAP
b) ( ) 125,08
1
40
5
40
4
40
1 ===+=BoAP
c) ( ) 4019
403
4010
4012 =−+=BoAP (Sucesos compatibles)
d) ( ) 4013
401
404
4010 =−+=BoAP (Sucesos compatibles)
e) ( ) 325,040
13
40
12
40
1 ==+=BoAP
f) ( ) 40,05
2
40
16
40
12
40
4 ===+=BoAP
96. Solución:
a) ( ) 4,05
2
20
8 ===NP b) ( ) 75,04
3
20
15 ===BP
c) ( ) 35,020
7 ==RP ( ) 65,020
13
20
8
20
5 ==+=NoAP
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97. Solución: a) No, son sucesos compatibles b) ( ) 80,010,070,020,0 =−+=BoAP
c) No 98. Solución:
( ) 3077,013
4
52
16
52
1
52
4
52
13 ===−+=BoAP
99. Solución:
a) Los sucesos impares son { } 50,06
35,3,1 =⇒
Divisibles por dos son { }636,4,2 = ; Por lo tanto ( ) 1
66
63
63 ==+=BoAP
b) Par { }636,4,2 ⇒ , divisible por 3 = { } 33,0
6
26;3 =⇒
( ) 61=ByAP Siendo ( ) 6667,0
3
2
6
4
6
1
6
2
6
3 ===−+=BoAP
100. Solución:
( ) 8,030,040,070,0 =−+=BoAP (Sucesos compatibles)
101. Solución:
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( ) 77,003,020,060,0 =−+=BoAP
102. Solución: Que en un 80% es la posibilidad de que ello ocurra, pero no necesariamente debe ocurrir. 103. Solución:
a) ( ) 40,05
2
10
4
30
12 ====AP
b) ( ) 6667,03
2
30
20
30
8
30
12 ===+=BoAP
c) ( ) 60,05
3
30
18
30
10
30
8 ===+=BoAP
104. Solución:
( ) 166=EP ; ( ) 16
4=AP ( ) 625,08
5
16
10
16
4
16
6 ===+=BoAP
SUCESOS INDEPENDIENTES 105. Solución:
( ) ( ) ( )BAByA PPP =
( ) 101
404 ==AP ( ) 10
1404 ==BP ( ) 100
1101
101 =×=ByAP
Consideremos barajas de 40 cartas 106. Solución:
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( ) ( ) ( )BAByA PPP = ( ) 0278,036
1
6
1
6
1 ==×=ByAP
107. Solución: a) ( ) 8,0=AP ( ) 9,0=BP ( ) ( ) 72,09,08,0 ==ByAP
b) ( ) 2,0=JP ( ) 90,0=GP ( ) ( ) 18,09,02,0 ==GyJP
c) ( ) ( ) 20,010,02,0 ==GyJP
108. Solución:
( ) 404=AP ( ) 40
4=BP ( ) 401=CP
Rey As 6 de copas
( ) ( ) ( ) ( ) 00025,0000.4
1
000.64
16
40
1
40
4
40
4 ===××== CBACyByA PPPP
109. Solución:
( ) 0004,003,0015,0 =×=ByAP (Hay 4 posibilidades en 10.000)
110. Solución:
( ) 21=AP ; ( ) 2
1=BP ; ( ) 21=CP ; ( ) 2
1=DP ; ( ) 21=EP
( ) 03125,032
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 ==××××=EyDyCyByAP
111. Solución:
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( ) 21=CP ( ) 2
1=CP ( ) 21=CP
( ) 125,08
1
2
1
2
1
2
1 ==⋅⋅=CyCyCP
112. Solución: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 459,09,075,085,08,0 ==DyCyByAP = 45,9% que ninguno sufra dificultades
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 00075,010,025,015,02,0 ==DyCyByAP = 0,075% que los cuatro sufran accidentes
c) ( ) ( ) ( ) ( ) 02025,090,075,015,02,0 ==DyCyByAP los dos primeros sufran accidentes
113. Solución:
( ) ( ) ( )BAByA PPP =
a) ( ) 5213=AP ( ) 52
13=BP ( ) 0625,02704169
5213
5213 ==×=ByAP
b) ( ) 0059,02704
16
52
4
52
4 ==×=ByAP = 0,59%
c) ( ) 0625,02704
169
52
13
52
13 ==×=ByAP = 6,25%
114. Solución:
Serían sucesos dependientes ( ) 0060,0652.2
16
51
4
52
4 ==×=ByAP = 0,60%
115. Solución: a) ( ) ( ) 0112,014,008,0 ==ByAP = 1,12%
b) ( ) ( ) 7912,086,092,0 ==ByAP = 79,12%
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30
116. Solución:
( ) 0064,0156
1
624
4
6
1
52
4
2
1 ===
=CyByAP = 0,64%
117. Solución:
( ) 404=AP ( ) 40
4=BP ( ) 401=CP
( ) 00025,0000.4
1
000.64
16
40
1
40
4
40
4 ===××=CyByAP
118. Solución: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 7490,099,098,093,088,0'''' ==DyCyByAP = 74,90%
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00000168,001,002,007,012,0 ==DyCyByAP
119. Solución: a) ( ) ( ) ( ) 0009,003,003,0 ==ByAP
b) ( ) ( ) 9409,097,097,0'' ==ByAP = 94,09%
c) ( ) ( ) %91,20291,097,003,0'' ===ByAP
d) ( ) ( ) ( ) %27,919127,097,097,097,0''' ===CyByAP
120. Solución:
( ) %5,12125,08
1
2
1
2
1
2
1 ===××=CyByAP
121. Solución:
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31
( ) %2020,05
1
300
60
20
12
15
5 ====
=ByAP
122. Solución:
a) ( ) %2,4042,0296.1
54
6
2
6
3
6
3
6
3 ===×××=DyCyByAP
b) ( ) %5,2025,0296.1
32
6
4
6
2
6
2
6
2 ===×××=CyByAP
c) ( ) %6,4046,0216
1
6
1
6
1
6
1 ===××=CyByAP
SUCESOS DEPENDIENTES 123. Solución:
02588,0200.265
864.621
5011
5112
5252 ==⋅⋅⋅=P
124. Solución:
0000041,0360.193.2
9373
383
391
401 ==⋅⋅⋅=P
125. Solución: B A B A B A B A B A B
800.916.39400.86
11
21
32
42
53
63
74
84
95
105
116 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=P
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.5 Nociones elementales de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones probabilidad Actualizado en diciembre de 2007
32
%216,000216,04621 ===P
126. Solución:
a) ( ) ( ) ( ) ( ) 0652,0600.132
648.85046
5147
524
// ==⋅⋅=⋅⋅=∩∩ ByACABACBA pppP
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 06805,0600.132
024.9504
5147
5248
// ==××=⋅⋅=∩∩ ByACABACBA ppPP
127. Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) 0004,0280.59
24382
393
404
// ==××=⋅⋅=∩ ByACABABA pppP
128. Solución:
a) ( ) ( ) ( ) ( ) 0409,0840.6
280187
198
205
// ==⋅⋅=⋅⋅=∩∩ ByACABACBA PPPP
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 035,0000.8
280207
208
205 ==⋅⋅=⋅⋅=∩∩ CBACBA PPPP
129. Solución:
a) ( ) 0004,0280.59
24
38
2
39
3
40
4 ==××=CyByAP
b) ( ) 0121,0280.59
720
38
8
39
9
40
10 ==××=CyByAP
130. Solución:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.5 Nociones elementales de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones probabilidad Actualizado en diciembre de 2007
33
00038,0960.960.78
240.30366
377
388
399
4010 ==××××=P
131. Solución:
( ) ( ) ( ) 2381,0462110
2110
2211 ==×=×=∩ BAVAV PPP
132. Solución:
( ) ( ) ( ) 0222,0451
902
91
102 ===×=×=∩ BAABA PPP
Nota:
( )BAP La raya vertical significa “dado que”. La probabilidad de que ocurra A dado
que ha ocurrido B.
( )BAP También se llama probabilidad condicional de A dado B
( )BAP ∩ Probabilidad de que ocurran tanto A como B en un experimento
( )BAP ∩ Probabilidad de intersección de A y B o la probabilidad conjunta de A y B
( )BAP ∪ Probabilidad de que ocurra A, o bien B, o ambos, en un experimento.
( )BAP ∪ Se llama probabilidad de la unión de A y B
( )AP Probabilidad de que ocurra el evento A
( ) ( )AA PP =' Probabilidad de que no ocurra el evento, se llama también la probabilidad
del complemento de A 133. Solución:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.5 Nociones elementales de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones probabilidad Actualizado en diciembre de 2007
34
( ) 40,01
=AP ( ) 18,02
=AP ( ) 42,03
=AP
( ) 40,01
=ABP ( ) 30,02
=ABP ( ) 10,03
=ABP
( )( )
( ) ( ) ( ) %5,62625,010,042,030,018,040,040,0
40,040,01
==++
=BAP
Es la probabilidad de que el primer grupo crezca por encima del promedio 134. Solución:
( )( )
( ) ( ) ( ) %61,383861,06,035,04,05,072,015,0
40,050,0=
++=DBP
135. Solución:
( ) 50,01
=AP ( ) 30,02
=AP ( ) 10,03
=AP
( ) 62,01
=ABP ( ) 80,02
=ABP ( ) 54,03
=ABP
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )%94,80894,054,010,08,030,062,050,0
54,010,03
=++
=BAP
136. Solución:
( ) 6,01
=AP ( ) 25,02
=AP ( ) 15,03
=AP
( ) 09,01
=ABP ( ) 12,02
=ABP ( ) 18,03
=ABP
( )( )
( ) ( ) ( ) %03,272703,018,015,012,025,009,06,0
12,025,02
==++
=BAP
137. Solución:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.5 Nociones elementales de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones probabilidad Actualizado en diciembre de 2007
35
( ) 75,01
=AP ( ) 30,02
=AP
( ) 92,01
=ABP ( ) 40,02
=ABP
( )( )
( ) ( ) %19,858519,04,03,092,057,0
92,075,01
==+
=BAP
138. Solución:
( ) 18,01
=AP ( ) 46,02
=AP ( ) 36,03
=AP
( ) 21,01
=ABP ( ) 08,02
=ABP ( ) 14,03
=ABP
( )( )
( ) ( ) ( ) %32,404032,0125,0
0504,0
14,036,008,046,021,018,0
14,036,03
===++
=BAP
139. Solución:
( ) ( ) ( ) 3077,052
16
26
16
2
1111
==
== ABABA PPP
( ) ( ) ( ) 3846,052
20
26
20
2
1222
==
== ABABA PPP
( ) ( ) ( ) 6923,052
36
52
20
52
1621
===+=+ BBABA PPP
140. Solución:
( )( )
( ) 36
164444,0
52
3652
161
2⇒===
B
BA
BA P
PP
141. Solución:
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36
( )( )
( ) 36
205556,0
52
3652
202
2⇒===
B
BA
BA P
PP
La suma será: ( ) ( ) %10000,15556,04444,0
21==+=+ BABA PP
142. Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6,66,55,65,56,44,65,44,56,33,6 3610=p
143. Solución:
( ) 404=AP (Rey) ( ) 40
10=BP (Copas) ( ) 401=ByAP (Rey de copas)
( ) ( ) ( ) ( )ByABABoA PPPP −+=
( ) 4013
401
4010
404 =−+=BoAP
144. Solución:
725.270!48!4
!52
4
52==
Combinaciones
145. Solución: a) La apuesta corresponde a una permutación cuando corresponde a un orden de llagada 1°, 2° y 3° en esa forma se listarían los nombres de los caballos. b) En este caso se seleccionaran 3 caballos que lleguen a la meta en los primeros lugares, sin importar el orden de llegada. 146. Solución:
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37
a) (5,6) 361=p
b) (2,4) (2,3) (2,2) (2,1) 91
364 ==p
c) (3,4) (2,5) (1,6) 121
363 ==p
147. Solución:
a) ZotaZotaAsAsAs
P
↓↓↓↓↓
==××××= 0000036,0960.960.78
288363
374
382
393
404
b) ==××××=960.960.78
96364
371
382
393
404P 0,0000012 = 0,00012%
148. Solución:
a) 81=P Solo se tiene (SSC)
b) 41
82 ==P Se tiene (CSC) (SCC)
149. Solución:
126!4!5
!959 ==
Comités conformados por 5 personas
150. Solución:
120!55 ==P números 151. Solución:
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38
( ) 720!7
!78910!7!10
310!10
310 =×××==−=P números
152. solución: Son 27 letras de las cuales se toman dos 683.19273 = Se tiene 10 dígitos, del 0 al 9 y se van a formar cifras de 3 dígitos 000.1103 = Por lo tanto el total de placas será: 00.683.19000.1683.19 =× 153. Solución:
a) ( ) 602
120!2!5
2:5 ===rP palabras
b) 6!33 ==P (LBS) (LSB) (BLS) (SBL) (SLB) 154. Solución:
28!6!2
!828 ==
maneras
28 maneras suponiendo que cada manzana está identificada y la selección se haga sin importar el orden de selección. 155. Solución: a) No lo es. El primero implica orden en la colocación de los elementos, en cambio, en el
segundo no importa. b) Si, es un caso de combinación, ya queda lo mismo, cualquiera de los resultados
c) Falso: primero está mal enunciado la variación. Debería escribirse 12!2!4
V 2442 === P
d) Cierto. 10!2!3
!525
85 ==
=
e) Cierto.
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39
f) Cierto 156. Solución:
440.55!6!11
511 ==P Marcadores
157. Solución: a) ( ) ( ) %5,52525,030,0225,040,075,075,030,0)( ==+=+=aprobarP
b) ( )( ) ( ) %86,424286,0
525,0225,0
40,075,075,030,075,030,0
)( ===+=aprobestP
158. Solución:
840.6!17!20
320 ==P
159. Solución:
Jornada Juego Cantidad
Porcentajes
Ganado Perdido
Día 0,60 0,40 0,60 Noche 0,40 0,80 0,20
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2211
11
1ABAABA
ABA
BA PPPP
PPP +=
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) %81,818181,044,036,0
08,036,036,0
2,04,06,06,06,06,0
1===
+=
+=BAP
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40
160. Solución: Primera inspección = 5%; segunda inspección y tercera = 2% De 100 unidades inspeccionadas por primera vez, pasaron 95 unidades En la segunda inspección se tiene: 15,9297,095 =× En la tercera y última inspección: %31,9098,015,92 =× La probabilidad de que una unidad pase por las tres inspecciones es del 90,31% 161. Solución:
%2424,05,06,08,0 ==××=P 162. Solución:
Ciudades Probabilidad
de ser escogida Favorabilidad No favorable
Pereira 0,42 0,55 0,45 Armenia 0,34 0,60 0,40 Manizales 0,24 0,62 0,38
( )( )
( ) ( ) ( ) %57,395838,0231,0
62,024,060,034,055,042,055,042,0
1==++=BAP
( )( )
( ) ( ) ( ) %94,345838,0204,0
62,024,060,034,055,042,060,034,0
2==++=BAP
( )( )
( ) ( ) ( ) %49,255838,01488,0
62,024,060,034,055,042,062,024,0
3==++=BAP
La ciudad con mayor favorabilidad de ser escogida es Pereira
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41
163. Solución:
( ) 60,0400240MartaSantaaVisitan ===AP =60%
( ) %2525,0400
100CartagenaaVisitan ====BP
( ) 175,040070 ==BYAP
( ) ( ) ( ) ( )BYABABoA PPPP −+=
( ) %5,67675,0175,025,060,0 ==−+=BoAP
164. Solución:
===
%65%35
NocturnaDiurna
Jornada
===
%70%15
NocturnoDiurno
Trabajando
a) La probabilidad de que el alumno seleccionado este trabajando ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %75,5070,065,015,035,0
2211=+=+
BAABAA PPPP
b) Dado que el estudiante elegido esté trabajando y la probabilidad que sea del diurno, es:
( )( )
%34,101034,05075,00525,0
5075,015,035,0
1====BAP
165. Solución:
( )( )
( ) ( ) ( ) %5050,0050,0
025,0
08,02,003,03,005,05,0
05,05,01
===++
=BAP
( )( )
%1818,0050,0009,0
050,003,03,0
1====BAP
( )( )
%3232,0050,0016,0
050,008,02,0
1====BAP
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42
166. Solución: a) Probabilidades previas – son probabilidades a priori, es decir, se han determinado
anteriormente, corresponde también a probabilidades iniciales del evento. b) Probabilidades posteriores, es obtenida de información adicional a las probabilidades
iniciales. c) Diagrama de árbol, es una forma gráfica con ramificaciones que nos permiten
establecer los puntos de un experimento ocurrido en varias etapas. d) Teorema de Bayes es un método o procedimiento para el cálculo de probabilidades
posteriores, teniendo como base probabilidades a priori.
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
6 Distribuciones de probabilidad
Distribución binomial – de Poisson – Hipergeométrica y normal
EJERCICIOS RESUELTOS
Se presenta el desarrollo de los 210 ejercicios que tiene este capítulo 1. Solución:
( ) %5,37375,0166
21
21
242422 ===
=
−
= CPx
22121
4
====
X
qpn
( ) %5,372 ==xP
(exactamente dos caras) 2. Solución:
( )13
433 2
121
== CPx
( ) %2525,016
4
16
14
2
1
2
1
!1!3
!43 ===
=
==xP
3
21
21
4
====
X
q
p
n
( ) %0,253 ==xP
(exactamente 3 caras)
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
2
3. Solución:
( )
=
== 36
25361
!2!2!4
65
61
22422 CPx
( ) %57,111157,0296.1
150
296.1
256
296.1
25
2
342 ===
=
⋅==xP
2
65
61
4
====
X
q
p
n
( ) %57,112 ==xP
(exactamente dos cincos) 4. Solución: a) 8=n ( )ganarP 8,0= 2,0=q 2=X ( ) ?2 ==xP
( ) ( ) ( ) ( ) %1146,0001146,02,08,0 62822 ====xP ( ) %1146,02 ==xP
b) 8=n ( )perderP 2,0= 8,0=q 2=X ( ) ?2 ==xP
( ) ( ) ( ) ( ) %36,292936,08,02,0 628
22 ====xP ( ) %36,292 ==xP
c) 8=n ( )perderP 2,0= 8,0=q 8,7,6,5,4,3,2)2( ydosmínimox == ( ) ?2 =≥xP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]7181
80802
1087654322
8,02,08,02,01
1
+−=
+−=++++++=
≥
≥
x
x
P
PPPPPPPPPP
( ) [ ] %67,494967,05033,013355,01678,012 ==−=+−=≥xP ( ) %67,492 =≥xP
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
3
d) 8=n ( )ganarP 8,0= 2,0=q 6,5,4,3,2,1,0 yX = ( ) ?6 =≤xP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]0888
17876
8765432106
2,08,02,08,01
1
++−=
+−=++++++=
≤
≤
x
x
P
PPPPPPPPPP
( ) [ ] %67,494967,05033,011678,03355,016 ==−=+−=≤xP ( ) %67,496 =≤xP
e) 8=n ( )perderp 2,0= 8,0=q 6=X ( )6=xP
( ) ( ) ( ) ( ) %1147,0001147,08,02,0 268
66 ====xP
Observemos que decir: seis pierdan es lo mismo que dos ganen 8=n ( )ganarp 8,0= 2,0=q 2=X ( )2=xP
( ) ( ) ( ) ( ) %1147,0001147,02,08,0 628
22 ====xP ( ) %1147,02 ==xP
5. Solución:
xnxnx qpCP −= 5,0
21 ==p 5,0
21 ==q 6=n
a) ( )
=
== 4
1161
!4!2!6
21
21
24644 CPx
( ) %44,232344,064
15
64
115
64
1
2
564 ===
=
×==xP ( ) %44,234 ==xP
(exactamente 4 caras)
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
4
b) Como máximo 4 caras
( )24
64
3363
4262
5161
60604 2
121
21
21
21
21
21
21
21
21
+
+
+
+
=≤ CCCCCPx
( ) ( )
+
+
+
+
=≤ 4
116115
81
8120
161
4115
321
216
641114xP
( ) %06,898906,064
57
64
15
64
20
64
15
64
6
64
14 ===++++=≤xP ( ) %06,894 =≤xP
También se puede resolver de la siguiente forma:
( )
+
−=≤
0666
15654 2
121
21
211 CCPx
( ) %06,898906,064
57
64
7
64
64
64
6
64
114 ===−=
+−=≤xP ( ) %06,894 =≤xP
(máximo 4 caras) 6. Solución: Aparición de un cinco, la probabilidad es 1/6; Aparición de un seis, la probabilidad es 1/6
31
62
61
61 ==+=p
32
31
331 =−=−= pq
a) ( ) %80,121280,0187.2
280187.2835
278
811
!3!4!7
32
31 34
474 ===
=
=
==xP
(cuatro éxitos) ( ) %80,124 ==xP
b) ( )34
74
6171
70704 3
231..............
32
31
32
31
+
+
=≤ CCCPx
( ) ( )
+
+
+
+
=≤ 27
881135
8116
27135
24332
9121
72964
317
187.2128114xP
( ) ==++++=≤ 187.2088.2
187.2280
187.2560
187.2672
187.2448
187.2128
4xP
%47,959547,0 == (máximo 4 éxitos) ( ) %47,954 =≤xP
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
5
También puede resolverse así:
( )
+
+
−=≤
071625
4 3
2
3
1773
2
3
1763
2
3
175
1xP
( ) ( )
+
+
−=≤ 1
187.211
32
72917
94
24312114xP
( ) 0453,01187.2991
187.21
187.214
187.28414 −=−=
++−=≤xP
%47,959547,0 == ( ) %47,954 =≤xP
7. Solución:
4=n 10,0=p 90,0=q a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %61,656561,06561,0119,01,0 404
00 ===== CPx ( ) %61,650 ==xP
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %16,292916,0729,01,049,01,0 314
11 ===== CPx ( ) %16,291 ==xP
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %86,40486,081,001,069,01,0 224
22 ===== CPx ( ) %86,42 ==xP
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )224
2314
1404
02 9,01,09,01,09,01,0 CCCPx ++=≤
( ) %63,999963,00486,02916,06561,02 ==++=≤xP ( ) %36,992 =≤xP (no más de dos defectuosos) 8. Solución: a) 40,0=p 60,0=q 5=n 2=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %56,343456,0216,016,0106,04,0 325
22 ===== CPx ( ) %56,342 ==xP
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
6
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )415
1505
01 6,04,06,04,0 CCPx +=≤
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1296,04,0!4!1
!507776,01
!5!0!5
1 +=≤xP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2592,007776,01296,04,0507776,0111 +=+=≤xP
%69,333369,0 == (menos de 2 golpes) ( ) %69,331 =≤xP
9. Solución:
8=n 5,0=p 5,0=q ,5,4,3,2,1,0=X
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5383
6282
7181
80805 5,05,05,05,05,05,05,05,0 CCCCPx +++=≤
( ) ( ) ( ) ( ) %54,8585543,05,05,05,05,0 358
5448
4 ==++ CC ( ) %54,855 =≤xP
Es posible resolverlos de la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]0888
1787
26865 5,05,05,05,05,05,01 CCCPx ++−=≤
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]100396,015,000781,0825,0015625,02815 ++−=≤xP
( ) [ ] %54,8585543,014457,0100396,003124,010937,015 ==−=++−=≤xP ( ) %54,855 =≤xP (menos de 6 caras) 10. Solución:
05,0=p 95,0=q 6=n ,2,1,0=X
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4262
5161
60602 95,005,095,005,095,005,0 CCCPx ++=≤
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )814506,00025,015773780,005,06735091,0112 ++=≤xP
( ) %78,99997768,0030543,0232134,0735091,02 ==++=≤xP ( ) %78,992 =≤xP
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
7
11. Solución:
10,0=p 90,0=q 5=n 0=X a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %05,595905,05905,0111,09,09,01,0 055
5505
00 ====== CCPx ( ) %05,590 ==xP
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )055
5145
4235
33 9,01,09,01,09,01,0 CCCPx ++=≥
00856,000001,000045,000810,0 =++= ( ) %856,03 =≥xP
c) ( ) ( ) ( ) %81,000810,09,01,0 235
33 ==== CPx ( ) %81,03 ==xP (exactamente 3 mueran) 12. Solución:
2,0=p 8,0=q 4=n a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %96,404096,0512,02,048,02,0 314
11 ===== CPx ( ) %96,401 ==xP
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %96,404096,04096,0118,02,0 404
00 ===== CPx ( ) %96,400 ==xP
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )224
2314
1404
02 8,02,08,02,08,02,0 CCCPx ++=≤
( ) %28,979728,01536,04096,04096,02 ==++=≤xP ( ) %28,972 =≤xP (no más de dos cerrojos sean defectuosos) 13. Solución:
4,0=p 6,0=q 5=n a) Que ninguno se gradué: ( ) ( ) ( ) %78,70778,06,04,0 505
00 ==== CPx ( ) %78,70 ==xP
b) Que se gradué uno:
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8
( ) ( ) ( ) %92,252592,06,04,0 41511 ==== CPx ( ) %92,251 ==xP
c) Que se gradúe al menos uno: ( ) ( ) ( ) %22,929222,00778,016,04,01 505
01 ==−=−=≥ CPx ( ) %22,991 =≥xP
14. Solución:
61=p 65=q 5=n
a) ( ) %19,404019,0776.7
125.3
296.1
625
6
15
6
5
6
141
511 ===
=
== CPx ( ) %19,401 ==xP
b) ( ) %08,161608,0776.7250.1
216125
36110
65
61
32522 ===
=
== CPx ( ) %08,162 ==xP
c) ( ) %21,30321,0776.7
2503625
216110
65
61
23533 ===
=
== CPx ( ) %21,33 ==xP
d) ( ) %32,00032,0776.725
65
296.115
65
61
14544 ===
=
== CPx ( ) %32,04 ==xP
e) ( ) ( ) %19,404019,0776.7125.311
65
61
50500 ==
=
== CPx (ninguna vez) ( ) %19,400 ==xP
15. Solución:
10,0=p 90,0=q 4=n a) ( ) ( ) ( ) %61,656561,09,01,0 404
00 ==== CPx ( ) %61,650 ==xP
b) ( ) ( ) ( ) %39,343439,09,01,01 404
01 ==−=≥ CPx ( ) %39,341 =≥xP
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )314
1404
01 9,01,09,01,0 CCPx +=≤
%77,949477,02916,06561,0 ==+= ( ) %77,941 =≤xP
16. Solución:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
9
2,0=p 8,0=q 10=n a) ( ) ( ) ( ) %2,303020,08,02,0 8210
22 ==== CPx ( ) %2,302 ==xP
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]8210
29110
110010
03 8,02,08,02,08,02,01 CCCPx ++−=≥
( ) [ ] %22,323222,06778,013020,02684,01074,013 ==−=++−=≥xP ( ) %22,323 =≥xP
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )01010
101910
92810
83710
74610
66 8,02,08,02,08,02,08,02,08,02,0 CCCCCPx ++++=≥
0063,00000,00000,00008,00055,0 =+++= ( ) %63,06 =≥xP (Se usó la tabla para el cálculo) d) ( ) ( ) ( ) %74,101074,08,02,0 10010
00 ==== CPx ( ) %74,100 ==xP
17. Solución:
5,0=p 5,0=q 10=n 0,1,2,3=X
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )100100
91101
82102
731033 5,05,05,05,05,05,05,05,0 CCCCPx +++=≤
%19,171719,00010,00098,00439,01172,0 ==+++= ( ) %19,173 =≤xP
npE = ( ) 100181719,0100 depersonasE ≅= 18. Solución:
5,0=p 5,0=q 10=n 10 9 ,8 ,7 yX =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0101010
19109
28108
371077 )5,0()5,0(5,05,05,05,05,05,0 CCCCPx +++=≥
( ) %19,171719,100010,00098,00439,01172,07 ==+++=≥xP ( ) %19,177 =≥xP
19. Solución:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
10
15=n 10,0=p 90,0=q a) ( ) ( ) ( ) %05,10105,09,01,0 10515
55 ==== CPx ( ) %05,15 ==xP
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++=≥
3121512
4111511
510151010 9,01,09,01,09,01,0 CCCPx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0000,09,01,09,01,09,01,0 01515
1511415
1421315
13 =++ CCC ( ) 010 =≥xP
(Como se trabaja con cuatro decimales, aproximamos a cero) (Se utilizó la tabla) A partir de x > 8 la probabilidad obtenida es demasiado pequeña, casi cero.
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ +++−=≥13215
2
141151
1501505 9,01,09,01,09,01,01 CCCPx
( ) ( ) ( ) ( ) ]11415
412315
3 9,01,09,01,0 CC + Utilizando la tabla se tiene: ( ) [ ]9873,00428,01285,02669.03432,02059,015 =++++−=≥xP ( ) %27,15 =≥xP
( ) %27,10127,09873,015 ==−=≥xP
20. Solución:
20=n 25,0=p 75,0=q a) ( ) ( ) ( ) 0...............0000,075,025,0 51520
1515 ==== CPx (ver tabla) ( ) 015 ==xP
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16420
419120
120020
04 75,025,0...........75,025,075,025,0 CCCPx ++=≤
%48,414148,01897,01339,00669,00211,00032,0 ==++++= ( ) %48,414 =≤xP
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )02020
2011920
912820
88 75,025,0...........75,025,075,025,0 CCCPx ++=≥
Es más fácil resolverlo de la siguiente forma:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]13720
719120
120020
08 75,025,0............75,025,075,025,01 CCCPx ++−=≥
[ ] =+++++++−= 1124,01686,02023,01897,01339,00669,00211,00032,01 %19,108981,01 =−= (por lo menos 8 defectuosas) ( ) %19,108 =≥xP
21. Solución:
5,0=p 5,0=q 4=n a) ( ) ( ) ( ) 9375,00625,015,05,01 404
01 =−=−=≥ CPx ( ) %75,931 =≥xP
( ) 875.19375,0000.2 ==E familias b) ( ) ( ) ( ) 3750,05,05,0 224
22 === CPx ( ) %50,372 ==xP
( ) familiasE 7503750,0000.2 == c) ( ) ( ) ( ) 0625,05,05,0 404
00 === CPx ( ) %25,60 ==xP
( ) familiasE 1250625,0000.2 == (Se utilizaron las tablas) 22. Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )132152
141151
1501502 95,005,095,005,095,005,0 CCCPx ++=≤
9639,01348,03658,04633,0 =++= = 96,39% ( ) %39,962 =≤xP
(Se utilizó la tabla) 23. Solución:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
12
40,0=p 20=n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0202020
8122012
911201111 6,04,0........6,040,06,04,0 CCCPx +++=≥
Utilizando la tabla se tendrá que:
( ) =+++++++++=≥ 00000003,00013,00049,00146,00355,00710,011xP
%76,121276,0 == (mitad más uno) ( ) %76,1211 =≤xP
(Se utilizó la tabla para el cálculo) 24. Solución:
20,0=p 80,0=q 18=n 8=X
( ) ( ) ( ) %20,10120,080,020,0 1081888 ==== CPx ( ) %20,18 ==xP
25. Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )37107
46106
5510575 5,05,05,05,05,05,0 CCCP x ++=≤≤
( ) %84,565684,01172,02051,02461,075 ==++=≤≤ xP ( ) %84,5675 =≤≤ xP
26. Solución:
5=n ( )3≥xP 5,4,3=X 5,0=p 5,0=q
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
13
( ) ( ) ( ) ( )5433 ===≥ ++= xxxx PPPP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )055
5145
4235
3 5,05,05,05,05,05,0 ++= %505000,003125,015625,03125,0 ==++= ( ) %503 =≥xP
27. Solución:
cariescon 90,0109 = %1010,0cariessin == 5=n
a) Cuatro tengan caries 5=n 90,0=p 4=X ( ) ( ) ( ) ( ) %81,3232805,01,09,0 145
44 ====xP ( ) %81,324 ==xP
b) Por lo menos dos tengan caries 90,0=p 5,4,3,2=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( )54322 ====≥ +++= xxxxx PPPPP
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]4151
5050
10
1,09,01,09,01
1
+−=
+−= == xx PP
[ ] %95,999995,000045,000001,01 ≅=+−= ( ) %95,992 =≥xP
c) Por lo menos 2 no tengan caries: 10,0=p 5,4,3,2=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( )54322 ====≥ +++= xxxxx PPPPP
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]4151
5050
10
9,01,09,01,01
1
+−=
+−= == xx PP
[ ] %15,89185,0132805,059049,01 =−=+−= ( ) %15,82 =≥xP
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14
d) Por lo menos una tenga caries 90,0=p 5,4,3,2,1=X ( ) ( )01 1 =≥ −= xx PP
( ) ( ) ( ) %10099999,000001,011,09,01 505
0 ==−=−= ( ) %1001 =≥xP
28. Solución: 20% pierden el 1ª año pierden lo no 80% 6=n a) :aprueben 2 Máximo 210 , , X = 800,p = ( ) ( ) ( ) ( )2102 ===≤ ++= xxxx PPPP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )426
2516
1606
02 2,08,02,08,02,08,0 ++=≤xP
%70,101696,001536,0001536,0000064,0 ==++= ( ) %70,12 =≤xP
b) Todos aprueben: 800, p = 6=X ( ) ( ) ( ) ( ) %21,262621,02,08,0 066
66 ====xP ( ) %21,266 ==xP
c) Ninguno apruebe 800, p = 0=X ( ) ( ) ( ) ( ) %0064,0000064,02,08,0 606
00 ====xP ( ) %0064,00 ==xP
29. Solución:
0,7000068004 =.. Transporte público 30% 0,30 = otro servicio
a) No más de 2 utilicen transporte público 70,p = 2,1,0=X 8=n
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15
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )628
2718
1808
02 3,07,03,07,03,07,0 ++=≤xP
%13,101129,001000,00012247,00000656,0 ==+== ( ) %13,12 =≤xP
b) Por lo menos 3 no lo utilicen 30,0=p 8,7,6,5,4=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8765433 ======≥ +++++= xxxxxxx PPPPPPP
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]6282
7181
8080
210
7,03,07,03,07,03,01
1
++−=
++−= === xxx PPP
[ ] %82,,444482,02965,01977,00576,01 ==++−= ( ) %82,443 =≥xP
c) Exactamente 2 no lo utilicen 30,0=p 2=X ( ) ( ) ( ) ( ) %65,292965,07,03,0 628
22 ====xP ( ) %65,292 ==xP
d) Exactamente 2 lo utilicen 70,0=p 2=X ( ) ( ) ( ) ( ) %10100,03,07,0 628
22 ====xP ( ) %12 ==xP
30. Solución: 60% = 0,60 asisten 0,40 = 40% no asisten n = 8 a) asistan 7 menos loPor 6,0=p 8,7=X
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
16
( ) ( ) ( )877 ==≥ += xxx PPP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )088
8178
7 4,06,04,06,0 += %64,101064,00168,00896,0 ==+= ( ) %64,107 =≥xP
b) Por lo menos 2 no asistan 8=n 40,0=p 8,7,6,5,4,3,2=X ( ) ( ) ( ) ( )8322 .................... ===≥ +++= xxxx PPPP
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]7181
8080
10
6,04,06,04,01
1
+−=
+−= == xx PP
[ ] %36,898936,01064,010896,00168,01 ==−=+−= ( ) %36,892 =≥xP
31. Solución:
gafasusan 4,02000800 = gafasusan no0,6 = 5n =
a) gafasusan 2 menos loPor 40,0=p 5,4,3,2=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( )54322 ====≥ +++= xxxxx PPPPP
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]4151
5050
10
6,04,06,04,01
1
+−=
+−= == xx PP
[ ] %3,666630,03370,012592,00778,01 ==−=+−= ( ) %30,662 =≥xP
b) gafasusan no 2 menos loPor 60,0=p 5,4,3,2=X
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17
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %30,9191296,008704,010768,001024,01
4,06,04,06,01
1
4151
5050
102
==−=+−=
+−=
+−= ==≥ xxx PPP
( ) %30,912 =≥xP
c) ( ) gafasusen no espera se alumnos,200.160,02000 ==⇒= EnpE 32. Solución:
repitentesson 33,031 = repitentes no0,67= 4n = a) repitentessean dos de mas No 33,0=p 2,1,0=X ( ) ( ) ( ) ( )2102 ===≤ ++= xxxx PPPP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
%18,898918,02933,03970,02015,0
67,033,067,033,067,033,0 2242
3141
4040
==++=
++=
( ) %18,882 =≤xP
32y31con trabajamosSí:Nota ( ) %89,882 =≤xP
b) repitente sea no 1 menos Al 67,0=p 4,3,2,1=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43211 ====≥ +++= xxxxx PPPPP
32y31con os trabajamSí :Nota ( ) %77,981 =≥xP
( ) ( )01 1 =≥ −= xx PP
( ) ( ) ( ) %81,989881,00119,0133,067,01 404
0 ==−=−= ( ) %81,981 =≥xP
33. Solución:
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16=n 6,0=p 16,15,14,13,12,11,10=X
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3131613
4121612
5111611
610161010 4,06,04,06,004,06,04,06,0 +++=≥xP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++ 01616
16
1151615
2141614 4,06,04,06,04,06,0
0150,00468,01014,01623,01983,0 ++++= %71,520003,00030,0 =++ ( ) %71,5210 =≥xP (diez o más acontecimientos desfavorables) 34. Solución:
accidentan se 25% accidentan se no 75%
accidentan se 3 menos loPor 7=n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )765433 =====≥ ++++= xxxxxx PPPPPP
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]5272
6171
7070
210
75,025,075,025,075,025,01
1
++−=
++−= === xxx PPP
[ ] %35,242435,07565,013115,03115,01335,01 ==−=++−= ( ) %35,243 =≥xP
35. Solución: 3% son defectuosos 97% Buenos n = 7 a) Por lo menos 3 sean buenos ( ) ( ) ( ) ( )7433 ....... ===≥ +++= xxxx PPPP
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]5272
6171
7070
210
03,097,003,097,003,097,01
1
++−=
++−= === xxx PPP
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[ ] %1001 a aproxima se0001 ==++−= ( ) %1003 =≥xP
b) Por lo menos 3 sean defectuosos
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %09,0%0009,09991,010162,01749,08080,01
97,003,097,003,097,003,01
1
5272
6171
7070
2103
==−=++−=
++−=
++−= ===≥ xxxx PPPP
( ) %09,03 =≥xP
36. Solución:
enferman01,0 ==p 5=n enferman no99,0 ==q a) enfermos2=X ( ) ( ) ( ) ( ) %097,000097,099,001,0 325
22 ====xP ( ) %097,02 ==xP
b) enfermo uno menos loPor 5432,1 , , , X = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %9,4049,09510,0199,001,011 505
001 ==−=−=−= =≥ xx PP ( ) %9,41 =≥xP
c) Por lo menos 2 no enfermen 5432 , , , X =
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %1001 a aproxima se001
01,099,001,099,01
1
4151
5050
102
==+−=
+−=
+−= ==≥ xxx PPP
( ) %1002 =≥xP
37. Solución:
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20
20% de mortalidad 80% de sobrevivir 5=n a) Ninguno sobreviva 0=X ( )mueran todos,5aequivale =x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %032,000032,08,02,02,08,0 055
5505
00 =====xP ( ) %032,00 ==xP
b) Todos sobrevivan ( ) ( ) ( ) ( ) %77,323277,02,08,0 055
55 ====xP ( ) %77,325 ==xP
c) Al menos 1 sobrevivan 54321 , , , , X = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %97,99%968,9900032,012,08,011 505
001 ==−=−=−= =≥ xx PP ( ) %97,991 =≥xP
d) Al menos 1 no sobrevivan 54321 , , , , X = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %23,6767232,032768,018,02,011 505
001 ==−=−=−= =≥ xx PP ( ) %23,671 =≥xP
38. Solución:
scientífico 20%0,20255 == científico no 80%
2520 = 4=n
a) Por lo menos 1 sea científica 4,3,2,1=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %04,595904,04096,018,02,011 404
001 ==−=−=−= =≥ xx PP ( ) %04,591 =≥xP
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21
b) Por lo menos 2 no sean científicos 4,3,2=X
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %28,979728,00272,010256,00016,01
2,08,02,08,01
1
3141
4040
102
==−=+−=
+−=
+−= ==≥ xxx PPP
( ) %28,972 =≥xP
c) Una sea científica 1=X ( ) ( ) ( ) ( ) %96,404096,08,02,0 314
11 ====xP ( ) %96,401 ==xP
39. Solución:
clientes posibles 30% clientessean no 70% 8=n a) Tres o menos sean clientes 0,1,2,3=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )538
3628
2718
1808
03 7,03,07,03,07,03,07,03,0 +++=≤xP
%59,808059,02541,02965,01977,00576,0 ==+++= ( ) %59,803 =≤xP
b) Tres o más no sean clientes 8,7,6,5,4,3=X
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] 0113,0101000,000122,000006,01
3,07,03,07,03,07,01
1
6282
7181
8080
2103
−=++−=
++−=
++−= ===≥ xxxx PPPP
%87,989887,0 == ( ) %87,983 =≥xP
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40. Solución:
AaApoyan 40%0,40 52 == Aaapoyan No 60%60,0 =
a) Exactamente 5 apoyen a A 5=x ( ) ( ) ( ) ( ) %74,70774,06,04,0 257
55 ====xP ( ) %74,75 ==xP
b) Por lo menos 2 apoyen a A 7,6,5,4,3,2=x
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]6171
7070
102
6,04,06,04,01
1
+−=
+−= ==≥ xxx PPP
[ ] %14,848414,01586,011306,00280,01 ==−=+−= ( ) %14,842 =≥xP
c) Por lo menos dos no apoyen a A
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]6171
7070
102
4,06,04,06,01
1
+−=
+−= ==≥ xxx PPP 7,6,5,4,3,2=x
[ ] %12,989812,001884,010172,000164,01 ==−=+−= ( ) %12,982 =≥xP
41. Solución:
Verdadero0,5021 = falso50,0 = 16=n
a) A lo más dos preguntas correctas 210 , , X = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )14216
2
151161
1601602 5,05,05,05,05,05,0 ++=≤xP
%21,0%0021,000183,000024,0000015,0 ==++= ( ) %21,02 =≤xP
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b) Por lo menos 2 sean verdaderas 16......,4,3,2=X
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]151161
160160
102
5,05,05,05,01
1
+−=
+−= ==≥ xxx PPP
[ ] %97,999997,0000255,0100024,0000015,01 ==−=+−= ( ) %97,992 =≥xP
c) Por lo menos 2 no sean verdaderas
( ) ( ) ( )[ ]102 1 ==≥ +−= xxx PPP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] %97,995,05,05,05,01 15116
116016
0 =+−= ( ) %97,992 =≥xP
42. Solución:
0,15203 = Defectuosos buenos85,0 = 8=n
a) Por lo menos dos defectuosos 8,7,6,5,432 , , X =
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]7181
80802
102
85,015,085,015,01
1
+−=
+−=
≥
==≥
x
xxx
P
PPP
[ ] %28,343428,06572,013847,02725,01 ==−=+−= ( ) %28,342 =≥xP
b) Por lo menos 2 no sean defectuosos 8,7,6,5,4,3,2=X
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]7181
8080
102
15,085,015,085,01
1
+−=
+−= ==≥ xxx PPP
[ ] %10099,9999999,000001,001 ≅==+−= ( ) %1002 =≥xP
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c) ( ) ( ) ( ) ( ) %76,232376,085,015,0 62822 ====xP 2=x
( ) Artículos4752376,0000.2 ==E npE =
43. Solución:
fumadores%70 fumadoresno%30 = 16=x 18=n
( ) ( ) ( ) ( ) %58,404576,03,07,0 216181616 ====xP ( ) %58,416 ==xP
44. Solución:
responden%20 responden no%80 10=n a) La mayoría responden 10,9,8,7,6=X (mitad más uno) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1098766 =====≥ ++++= xxxxxx PPPPPP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++++= 1910
92810
83710
74610
6 8,02,08,02,08,02,08,02,0 ( ) ( ) ( ) =++++= 00000074,000079,00055,08,02,0 01010
10 %64,000636,0 == ( ) %64,06 =≥xP
b) Menos del 30% no respondan ( ) 3100,30 = 2,1,0=X ( ) ( ) ( ) ( )2102 ===≤ ++= xxxx PPPP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8210
29110
110010
0 2,08,02,08,02,08,0 ++= 000078,00000737,00000041,00000001,0 =++= %0078,0= ( ) %0078,02 =≤xP
c) Nadie responde 0=X ( ) ( ) ( ) ( ) %00001,00000001,08,02,0 10010
00 ====xP ( ) %010 ≅=xP
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45. Solución:
10=n defectuoso%17 buenos%83 a) Ninguno defectuoso 0=X ( ) ( ) ( ) ( ) %52,151552,083,017,0 10010
00 ====xP ( ) %52,150 ==xP
b) Por lo menos 2 no sean defectuosos 10.......4,3,2=X
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %1001 a aproxima se001
17,083,017,083,01
1
91101
100100
102
==+−=
+−=
+−= ==≥ xxx PPP
( ) %1002 =≤xP
c) Como máximo dos defectuosos 21,0,=X ( ) ( ) ( ) ( )2102 ===≤ ++= xxxx PPPP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8210
29110
110010
0 83,017,083,017,083,017,0 ++= %59,767659,02929,03178,01552,0 ==++= ( ) %59,762 =≤xP
46. Solución: 80% adecuadamente 20% no adecuado 4=n a) Todos adecuadamente 4=X ( ) ( ) ( ) ( ) %96,404096,02,08,0 044
44 ====xP ( ) %96,404 ==xP
b) Falla uno (no adecuado) 1=X ( ) ( ) ( ) ( ) %96,404096,08,02,0 314
11 ====xP ( ) %96,401 ==xP
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c) Uno o más fallan 4,3,2,1=X ( ) ( )01 1 =≥ −= xx PP
( ) ( ) ( ) %04,595904,04096,018,02,01 404
0 ==−=−= ( ) %04,591 =≥xP
47. Solución:
%6060,0106 == Detectados 40% no detectados 8=n
a) Por lo menos 5 veces sea detectado 8,7,6,5=X ( ) ( ) ( ) ( ) ( )87655 ====≥ +++= xxxxx PPPPP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )088
8178
7268
6358
55 4,06,04,06,04,06,040,060,0 +++=≥xP
%41,595941,00168,00896,02090,02787,0 ==+++= ( ) %41,595 =≥xP
b) Exactamente 2 no sea detectado ( ) ( ) ( ) ( ) %90,202090,06,04,0 628
22 ====xP ( ) %90,202 ==xP
48. Solución:
naranja de jugotoman %9,9 90,1% tomanlo no 0,901;0,099 ==
a) Por lo menos 2 toman jugo 5,4,3,2=X
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %80800,09200,013262,05938,01
901,0099,0901,0099,01
1
4151
50502
102
==−=+−=
+−=
+−=
≥
==≥
x
xxx
P
PPP
( ) %82 =≥xP
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b) Como máximo 3 no lo toman 3,2,1,0=X
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %80800,09200,015938,03262,01
099,0901,0099,0901,01
1
0555
1454
5143
==−=+−=
+−=
+−= ==≤ xxx PPP
( ) %83 =≤xP
49. Solución:
vende25,041 = vendeno 0,75= 5=n
Por lo menos 3 compren 5,4,3=X
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
%35,101035,000098,00146,00879,0
75,025,075,025,075,025,0 0555
1454
2353
5433
==++=
++=
++= ===≥ xxxx PPPP
( ) %35,103 =≥xP
50. Solución:
pierden lo16,0 pierden lo no 0,84= 10=n No mayor a 5 ni menor a tres no lo pierdan 5,4,3=X
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
%30,10130,00110,00018,000019,0
16,084,016,084,016,084,0 55105
64104
73103
54353
==++=
++=
++= ===≤≤ xxxx PPPP
( ) %30,153 =≤≤xP
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51. Solución:
tardanse%20 tardanse no 80%= 5=n a) Dos veces se retardan 2=X ( ) ( ) ( ) ( ) %48,202048,08,02,0 325
22 ====xP ( ) %84,202 ==xP
b) Por lo menos 2 no se retardan 5,4,3,2=X
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %33,9900672,010064,000032,01
2,08,02,08,01
1
4151
5050
102
=−=+−=
+−=
+−= ==≥ xxx PPP
( ) %33,992 =≥xP
52. Solución:
años 65 de mas%36 65 de menores 64% = Quince o más tengan más de 65 años
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++=≥01818
1811718
1721618
1631518
1515 64,036,064,036,064,036,064,036,0xP
0000519,0000000049,0000047,0 =+++= %00519,0= ( ) %00519,015 =≥xP
53. Solución: 30% se retiran n = 12 70% siguen a) Por lo menos 9 sigan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )01212
1211112
1121012
103912
99 3,07,03,07,03,07,03,07,0 +++=≥xP
%25,494925,00138,00712,01678,02397,0 ==+++= ( ) %25,499 =≥xP
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b) Como mínimo tres se retiren 1243 ...., ........, X =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %72,742528,011678,00712,00138,01
7,03,07,03,07,03,01 102122
111121
1201203
=−=++−=
++−=≥xP
( ) %72,743 =≥xP
54. Solución:
éxitos 0,10101 = éxitos de nada 0,90 6=n
Por lo menos 2 sean éxitos financieros 6,5,4,3,2=x
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] %43,118857,013543,05314,01
9,01,09,01,01
1
5161
6060
102
=−=+−=
+−=
+−= ==≥ xxx PPP
( ) %43,112 =≥xP
55. Solución:
0,20255 = Técnicos 0,80 No técnicos 4=n
a) Por lo menos 1 sea técnico 432 ,1 , , X = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %04,594096,018,02,011 404
001 =−=−=−= =≥ xx PP ( ) %04,591 =≥xP
b) Por lo menos 2 no sean técnicos 432 , , X =
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30
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ] %28,970272,010256,00016,01
2,08,02,08,01
1
3141
4040
102
=−=+−=
+−=
+−= ==≥ xxx PPP
( ) %28,972 =≥xP
DISTRIBUCIÓN DE POISSON 56. Solución:
10,0=p 90,0=q 10=n 2=X a) Distribución binomial ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %37,191937,04305,001,0459,01,0 8210
22 ===== CP x ( ) %37,192 ==xP
b) Distribución Poisson
!X
ep
x λλ −
= 2=X ( ) 11,010 === pnλ
( )( ) ( )
%39,1818394,0236788,01
!21 12
2 ====−
=e
P x ( ) %39,182 ==xP
57. Solución:
001,0=p np=λ 999,0=q ( ) 2001,0000.2 ==λ 000.2=n
a) ( )( )
%04,1818045,06
13534,08!3
2!
23
3 =====−−
=e
xe
Px
x
λλ ( ) %04,183 ==xP
b) ( ) 000.2................................,5,4,3?;2 ==> XxP
( )( ) ( ) ( )
++−=> !2
13534,02!1
13534,02!0
13534,021
210
2xP
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
31
( ) ( ) =++−=≥ 27068,027068,013534,013xP
%33,323233,067670,01 ==−= ( ) %33,323 =≥xP
58. Solución:
03,0=p 97,0=q ( ) 310003,0 ==λ 100=n pn=λ
a) ( )( )
%98,404979,01
04979,01!0
3 30
0 ====−
=e
P x ( ) %98,40 ==xP
b) ( )( )
%94,1414937,0! 1
04979,031
1 ====xP ( ) %94,141 ==xP
c) ( )( )
%40,2222404,0!2
04979,032
2 ====xP ( ) %40,222 ==xP
d) ( )( )
%40,2222404,0!3
04979,033
3 ====xP ( ) %40,223 ==xP
e) ( )( )
%80,1616803,0!4
04979,034
4 ====xP ( ) %80,164 ==xP
f) ( )( )
%08,1010082,0!5
04979,035
5 ====xP ( ) %08,105 ==xP
59. Solución:
00003,0=p ( ) 6000.20000003,0 ==λ 000.200=n
a) ( )( )
%25,0002479,0 1
002479,01
!0
6 60
0 ====−
=
eP x ( ) %25,00 ==xP
b) ( )( )
%46,4044622,0!2
002479,062
2 ====xP ( ) %46,42 ==xP
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
32
c) ( )( ) ( ) ==== 720
002479,0656.46!6
002479,066
6xP
%06,161606,0720
66,115 === ( ) %06,166 ==xP
d) ( )( ) ( ) ==== 320.40
002479,0616.679.1!8
002479,068
8xP
%33,1010326,0320.40
76,163.4 === ( ) %33,108 ==xP
e) 8,7,6,5,4=X
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
!8002479,06
!7002479,06
!6002479,06
!5002479,06
!4002479,06 87654
84 ++++=≤≤ xP
( )( ) ( ) ( ) +++=≤≤ 720
002479,0656.46120
002479,0776.724002479,0296.1
84 xP
( ) ( ) =++320.40
002479,0616.679.1040.5
002479,0936.29
( ) =++++=≤≤ 320.4079,163.4
040.596,693
72066,115
12028,19
2421,3
84 xP
( ) =++++=≤≤ 1033,01377,01606,01606,01338,084 xP
( )84 ≤≤ xP %60,696960,0 == ( ) %60,6984 =≤≤ xP
f) ( )( ) ( ) ( ) =++=≤ !2
002479,06!1
002479,06!0
002479,06 210
2xP
( ) =++=≤ 044622,0014874,0002479,02xP
( )2≤xP %20,6061975,0 == ( ) %20,62 =≤xP
60. Solución:
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33
0066,01501 ==p ( ) ( ) 9,9500.10066,0 ==λ 500.1=n
a) 3=X
( )( )
%81,0008085,06
04851,06
00005,029,970!3
9,9 9,93
3 =====−
=e
P x ( ) %81,03 ==xP
Con calculadora programable el resultado es = 0,0081141 = 0,81% b) 500.1..............7,6,5,4=X
( )
+++−=
−−−−
≥ !39,9
!29,9
!19,9
!09,9
19,939,929,919,90
4eeee
P x
( )( ) ( ) ( )
+++−=≥ 008085,0200005,00,98
100005,09,9
100005,01
14xP
( ) [ ]00808,000245,000049,000005,014 +++−=≥xP
( ) [ ] %89,9898893,001107,014 ==−=≥xP ( ) %89,984 =≥xP
NOTA: ¿Menos de 5 vuelos se retrazaran más de una hora?
c) ( ) !49,9
!39,9
!29,9
!19,9
!09,9 9,949,939,929,919,90
4
−−−−−
≤ ++++= eeeeeP x
( ) 24480298,000808,000245,000049,000005,04 ++++=≤xP
( ) =++++=≤ 02001,000808,000245,000049,000005,04xP
( )4≤xP %11,303108,0 == ( ) %11,34 =≤xP
61. Solución:
0001,0=p 000.10=n ( ) 1000.100001,0 ==λ 5=X
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34
( )( )
%31,0003065,0120
36788,01
!5
1 15
5 ====−
=e
P x ( ) %31,05 ==xP
62. Solución:
001,0=p 999,0=q ( ) 2000.2001,0 ==λ 000.2=n
a) ( ) ?3 ==xP !X
xx eP
−
= λ
( )( )
%04,1818045,06
0872,16
13534,08!3
2 23
3 =====−
=e
P x ( ) %04,183 ==xP
b) ( ) ?3 =≥xP 000.2.............,6,5,4,3=X También se puede plantear así:
( )
++−=
−−−
≥ !22
!12
!02
1222120
3eee
P x
( )( ) ( ) ( )
++−=≥ 213534,04
113534,02
113534,01
13xP
( ) [ ] =++−=≥ 27067,027067,013534,013xP
( ) =≥3xP %33,323233,06767,01 ==− ( ) %33,323 =≥xP
63. Solución:
a) ( )( )
%68,484868,0!04868,072,0 0
0 ====xP ( ) %68,480 ==xP
b) ( )( )
%05,3535049,0!14868,072,0 1
1 ====xP ( ) %05,351 ==xP
c) ( )( ) ( ) ==== 2
4868,05184,0
!2
4868,072,0 2
2xP
( ) ==2xP ( ) %62,12126178,04868,02592,0 == ( ) ==2xP %62,12
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35
d) ( )( ) ( ) ==== 6
4868,03732,0
!3
4868,072,0 3
3xP
( ) ==3xP %03,3030278,06
181673,0 == ( ) %03,33 ==xP
64. Solución:
5,2== npλ !X
eP
x λλ −
=
a) ( )( )
%21,808208,01
08208,01!0
5,2 5,20
0 ====−
=e
P x ( ) %21,80 ==xP
b) ( )( )
%52,202052,0108208,05,2
!15,2 5,21
1 ====−
=e
P x ( ) %52,201 ==xP
c) ( )( )
%65,252565,0208208,05,2
!25,2 25,22
2 ====−
=e
P x ( ) %65,252 ==xP
d) ( )( )
%37,212137,0608208,05,2
!35,2 35,23
3 ====−
=e
P x ( ) %37,213 ==xP
65. Solución:
0004,0000.52 ==p ( ) 4,00004,0000.1 === npλ
Por lo menos 2 tengan problemas .........., ........,X 32 = 1.000
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36
( ) ( ) ( )[ ]
[ ] %16,60616,09384,012681,06703,01
!14,0
!04,0
1
1
4,014,00
102
==−=+−=
+−=
+−=
−−
==≥
ee
PPP xxx
( ) %16,62 =≥xP
66. Solución:
0005,0000.21 ==p ( ) 30005,0000.6 ==λ
a) Más de 3 se incendien ..............,7,654 ,,X =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
%28,353528,06472,01
2240,02240,01494,00498,01
!33
!23
!13
!03
1
1
33323130
32104
==−=
+++−=
+++−=
+++−=
−−−−
====≥
eeee
PPPPP xxxxx
( ) %28,354 =≥xP
b) ( ) %40,222240,0!2
3 32
2 ===−
=e
P x ( ) %40,222 ==xP
67. Solución:
2=λ a) No más de 3 atracos
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )
%71,858571,01804,02707,02707,01353,0
!32
!22
!12
!02 23222120
32103
==+++=
+++=
+++=
−−−−
====≤
eeee
PPPPP xxxxx
( ) %71,853 =≤xP
b) A lo más 2 atracos
( ) ( ) ( ) ( )
!2
2
!1
2
!0
2 222120
2102
−−−
===≤
++=
++=
eee
PPPP xxxx
%67,676767,02707,02707,01353,0 ==++= ( ) %67,672 =≤xP
68. Solución:
0001,0%01,0 ==p ( ) 10001,0000.10 ==λ Máximo 3 se accidentan
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
!3
1
!2
1
!1
1
!0
1 13121110
32103
−−−−
====≤
+++=
+++=
eeee
PPPPP xxxxx
%10,989810,00613,01839,03679,03679,0 ==+++= ( ) %10,983 =≤xP
69. Solución:
0024,0%24,0 ==p ( ) 6,30024,0500.1 ==λ
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38
a) Dos o menos defectuosos
( ) ( ) ( ) ( )
!2
6,3
!1
6,3
!0
6,3 6,326,316,30
2102
−−−
===≤
++=
++=
eee
PPPP xxxx
%28,303028,01771,00984,00273,0 ==++= ( ) %28,302 =≤xP
b) Más de 2 defectuosos
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
++−=
++−=
−−−
===≥
!2
6,3
!1
6,3
!0
6,31
1
6,326,316,30
2103
eee
PPPP xxxx
[ ] %72,696972,03028,011771,00984,00273,01 ==−=++−= ( ) %72,693 =≥xP
70. Solución:
5semestreun en 10 =⇒= λλ en un trimestre
( ) ( ) ( ) ( )
%46,121246,00842,00337,00067,0
!25
!15
!05 525150
2102
==++=
++=
++=
−−−
===≤
eee
PPPP xxxx
( ) %46,122 =≤xP
71. Solución:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
39
3=λ
a) Ninguna demanda 0=X
( ) %98,40498,0!0
3 30
0 ===−
=ePx ( ) %98,40 ==xP
b) Por lo menos 2 demandas ..........,5,4,3,2=X
( ) ( ) ( )[ ]
[ ] %08,808008,01992,011494,00498,01
!13
!03
1
1
3130
102
==−=+−=
+−=
+−=
−−
==≥
ee
PPP xxx
( ) %08,802 =≥xP
72. Solución:
0005,0=p ( ) 4,00005,0800 ==λ a) Mínimo 3 equivocaciones ..........6,5,4,3=X
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ] %80,00080,09920,010536,02681,06703,01
1 2103
==−=++−=
++−= ===≥ xxxx PPPP
( ) %80,02 =>xP
b) Máximo 2 equivocaciones 2,1,0=X ( ) ( ) ( ) ( ) %20,992102 =++= ===≤ xxxx PPPP ( ) %20,992 =≤xP
(Ver ejercicio anterior)
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40
73. Solución:
003,0000.13 = ( ) 5,1003,0500 ==λ
a) Más de 2 mueran ...,5,4,3=X
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ] %12,198088,012510,03347,02231,01
!25,1
!15,1
!05,1
1
1
5,125,115,10
2103
=−=++−=
++−=
++−=
−−−
===≥
eee
PPPP xxxx
( ) %12,193 =≥xP
b) Como máximo dos mueran 2,1,0=X ( ) ( ) ( ) ( ) %88,808088,02102 ==++= ===≤ xxxx PPPP ( ) %88,802 =≤xP
74. Solución:
horapor 12=λ minutos diezen 2=λ a) Por lo menos 2 se acerquen ....4,3,2=X
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41
( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
%40,595940,0
4060,012707,01353,01!1
2
!0
21
1
2120
102
==
=−=+−=
+−=
+−=
−−
==≥
ee
PPP xxx
( ) %40,592 =≥xP
b) No más de dos se acerquen al especialista
( ) ( ) ( ) ( )
%67,676767,02707,02707,01353,0
!22
!12
!02 222120
2102
==++=
++=
++=
−−−
===≤
eee
PPPP xxxx
( ) %67,672 =≤xP
75. Solución:
0001,0000.101 = 3)0001,0(000.30 ==λ
a) Por lo menos uno sufra reacción ,....4,3,2,1=X
( ) ( ) %02,959502,00498,01!0
311
30
01 ==−=
−=−=
−
=≥e
PP xx ( ) %02,951 =≥xP
b) Más de una sufra reacción ,....4,3,2=X
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42
( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
%08,808008,0
1992,011494,00498,01
!13
!03
1
1
3130
102
==
−=+−=
+−=
+−=
−−
==≥
ee
PPP xxx
( ) %08,802 =≥xP
76. Solución:
minutos 2 cada llamadas20=λ a) Exactamente 4 llamadas en 30 segundos 5=λ
( ) %55,171755,0!4
5 54
4 ===−
=e
P x ( ) %55,174 ==xP
b) Como máximo dos en 15 segundos 5,2=λ 2,1,0=X
( ) ( ) ( ) ( )
%38,545438,02565,02052,00821,0
!25,2
!15,2
!05,2 5,225,215,20
2102
==++=
++=
++=
−−−
===≤
eee
PPPP xxxx
( ) %38,542 =≤xP
77. Solución:
horapor clientes8,6=λ a) Por lo menos uno en la primera media hora ....4,3,2,1=X
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43
( ) ( )
%67,969667,00334,01
!0
4,31
1
4,30
01
==−=
−=
−=
−
=≥
e
PP xx
( ) %67,961 =≥xP
b) Ninguno en el primer cuarto de hora 71,λ = 0=X
( ) %27,181827,0!0
7,1 7,10
0 ===−
=e
P x
( ) %27,180 ==xP
c) Más de uno, en cualquier hora 8,6=λ ....4,3,2=X
( ) ( ) ( )[ ]
[ ] %13,999913,00087,010076,00011,01
!18,6
!08,6
1
1
8,618,60
102
==−=+−=
+−=
+−=
−−
==≥
ee
PPP xxx
( ) %13,992 =≥xP
78. Solución:
minutos 30en 9=λ a) Por lo menos 4 en la primera media hora ....6,5,4=X
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
44
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
%88,979788,00212,01
0150,00050,00011,00001,01
!39
!29
!19
!09
1
1
93929190
32104
==−=
+++−=
+++−=
+++−=
−−−−
====≥
eeee
PPPPP xxxxx
( ) %88,974 =≥xP
b) Ninguno en los 10 primeros minutos 0=X 3=λ
( ) 98,40498,0!0
3 30
0 ===−
=e
P x % ( ) %98,40 ==xP
79. Solución:
año7,5=λ a) Ninguno en los 4 meses 037,5 == Xλ
( ) %96,141496,0!0
9,1 9,10
0 ===−
=e
P x ( ) %96,140 ==xP
b) Por lo menos 1 en el semestre 85,2=λ ...,4,3,2,1=X
( ) ( ) %22,940578,01!0
85,211
85,20
01 =−=−=−=−
=≥e
PP xx ( ) %22,941 =≥xP
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
45
HIPERGEOMETRICA 80. Solución: a) 15=N 6=A 5=n 2=X
( )( )( )
( ) %96,414196,0155
61525
62
2 ===−−
=xP ( ) %96,412 ==xP
b) 15=N 9=A 5=n 2=X
( )( )( )
( ) %98,232398,0155
91525
92
2 ===−−
=xP ( ) %98,232 ==xP
81. Solución:
12=N 4=A 3=n 0=X
( )( )( )
( ) %45,252545,0123
41203
40
0 ===−−
=xP ( ) %45,250 ==xP
82. Solución:
15=N 10=A 5=n a) A dos les guste 2=X
( )( )( )
( ) %99,141499,0155
101525
102
2 ===−−
=xP ( ) %99,142 ==xP
b) A dos no les guste 15=N 5=A 5=n 2=X
( )( )( )
( ) %96,393996,0155
51525
52
2 ===−−
=xP ( ) %96,392 ==xP
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.6 Distribuciones de probabilidad Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
46
83. Solución:
25=N 6=A 4=n 2=X
( )( )( )
( ) %28,202028,0254
62524
62
2 ===−−
=xP ( ) %88,202 ==xP
(dos que no requieren ser ajustadas) 84. Solución:
40=N 35=A 5=n ....,4,3,2,1=X
( ) ( )( )( )
( )
%100199999,0
0000015,0111405
354005
350
01
=≅=
−=
−=−=
−−
=≥ xx PP
(por lo menos uno es economista) ( ) %1001 =≥xP
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
Capítulo 7
Distribuciones muestrales
EJERCICIOS RESUELTOS
DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES
1. Solución:
( ) ?901,31,72 7,71 ==== <xPnσµ
( )22,1
1,349,94,0
901,3
1,727,71 −=−=−=−=n
xZ σ
µ
( )3888,022,1 AZ →−=
%12,111112,03888,05000,0 ==−=P
( ) %12,117,71 =<xP
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
2. Solución
( ) ?400000.18320.659 000.660 ==== >xPnσµ
( )76,0
000.1820680
400000.18
320.659000.660 ==−=Z
( )2764,076,0 AZ →=
2236,02764,05000,0 =−=P
( ) %36,22000.660 =>xP
3. Solución:
( ) ?25000.15500.864 500.857 ==== <xPnσµ
( )33,2
000.15
000.35
000.15
5000.7
25
000.15500.864500.857 −=−=−=−=Z
( )4901,033.2 AZ →−=
0099,04901,05000,0 =−=P
( ) %99,0500.857 =<xP
2
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
4. Solución:
( ) ?2558,242,167 168 ==== ≥xPnσµ
( )12,1
58,290,2
58,2558,0
2558,2
42,167168 ===−=Z
( )3686,012,1 AZ →=
1314,03686,05000,0 =−=P
( ) %14,13168 =≥xP
5. Solución:
361 =n
nnσσ =
132
n
σσ =
63
2
nσσ =
9 9=n
81=n
6. Solución:
21 nnK σσ =
21 nnK = 122 nnK =
7. Solución:
( ) ?2509,0000.23 500.22 ==== < σµ nP x
( ) 34,14100,0 −=→ ZA
( ) 25000.23500.2234,1 −=− σ
( ) ( )67,865.1
34,1
5500 =−
−=σ
3
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
67,865.1=σ
8. Solución:
( ) ( )250.125
2501500
21500
1
==+=∑=
nnx
ii
5,250500
250.125 ==Σ
=Nxiµ
(Ver propiedades de la sumatoria)
( ) ( ) ( ) ( )750.791.41
61000.1501500
6121500
1
2 =+
=++
=∑=
nnnX
ii
25,833.205,250500
750.791.41 222
2 =−=−Σ
= µσNX i
34,14425,833.20 ==σ
50,18716000.3 ==Σ=
nx
x i
( ) ?50,187 =>xP
( )75,1
34,14440,63
16
34,1445,2505,187 −=−=−=−=
n
xZ σ
µ
( )4599,075,1 AZ →−=
9599,04599,05000,0 =+=P ( ) %99,5950,187 =≥xP
OJO HACER CORRECCION EN LA GRÁFICA EN VEZ DE 251 ESCRIBIR 250,5
4
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
9. Solución:
37.7081
700.5 ==x
( )09,6
5,333,21
5,3937,2
815,3
6837,70 ===−=Z
( )5000,009,6 AZ →=
(Muy pequeña la probabilidad, ya que tiende a cero )
( ) 037,70 =>xP
10. Solución:
( ) ?8118170 175 ==== >xPnσµ
( )5,2
1845
1895
8118
170175 ===−=Z
( )4938,05,2 AZ →=
0062,04938,05000,0 =−=P ( ) %62,0175 =>xP
11. Solución:
( ) ?10030,002,5 10,5 ==== >xPnσµ
67,2
100
30,002,510,5 =−=−=
n
xZ σ
µ
( )4962,067,2 AZ →=
0038,04962,05000,0 =−=P
( ) %38,010,5 =>xP
5
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
12. Solución:
6=µ 75,043 ==σ 9=n
Si 5,55,6 << x Se suspende el procesoSi 5,65,5 << x Se deja tal y como está
a) Siendo µ = 6 ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso?
( )2
75,05,1
75,035,0
375,0
65,6 ===−=Z
( )2
75,05,1
75,035,0
375,0
65,5 −=−=−=−=Z
( )4772,02 AZ →= ; ( )4772,02 AZ →−=
( )4773,0 ;9544,04772,04772,0 Aó=+
%56,40456,09544,01 ==−=P ( ) %56,45,55,6 =≤≤ xP
b) Siendo 18,6=µ ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso?
( )28,1
75,096,0
75,0332,0
375,0
18,65,6 ===−=Z
( )72,2
75,004,2
75,0368,0
375,0
18,65,5 −=−=−=−=Z
( )3997,028,1 AZ →= ; ( )4967,072,2 AZ →−=
8964,04967,03997,0 =+=P
6
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
%36,101036,08964,01 ==−=P ( ) %36,105,55,6 =≤≤ xP
c) Siendo 4,6=µ ¿Cuál es la probabilidad de continuar el proceso?
( )40,0
75,03,0
75,031,0
375,0
4,65,6 ===−=Z
( )60,3
75,07,2
75,039,0
375,0
4,65,5 −=−=−=−=Z
( )1554,040,0 AZ →= ; ( )4998,060,3 AZ →−=
%52,656552,04998,01554,0 ==+=P ( ) %52,655,65,5 =≤≤ xP
d) Siendo 8,5=µ ¿Cuál es la probabilidad de continuar el proceso?
( )80,2
75,01,2
75,037,0
375,0
8,55,6 ===−=Z
( )20,1
75,09,0
75,033,0
375,0
8,55,5 −=−=−=−=Z
( )4974,080,2 AZ →= ; ( )3849,020,1 AZ →−=
%23,888823,03849,04974,0 ==+=P ( ) %23,885,65,5 =≤≤ xP
7
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
13. Solución:
( ) ?401,05,0 51,049,0 ==== << xPnσµ
( )2
01,0201,0
401,0
50,049,0 −=−=−=Z
( )2
01,0201,0
401,0
50,051,0 ==−=Z
( )4772,02 AZ →= ; ( ) ( )4773,0 4772,02 AóAZ →−=
9544,04772,04772,0 =+=P ( ) %44,9551,049,0 =<< xP
14. Solución:
( ) ?2511510120 115 ===== ≤xPnxσµ
( )5,2
1055
2510
120115 −=−=−=−=
n
xZ σ
µ
( )4938,05,2 AZ →−=
0062,04938,05000,0 =−=P
( ) %62,0115 =≤xP
15. Solución:
( ) 02,010?44 4 ===−=−=− >−µσµµ xPnxx
( ) 33,24900,0 =→ ZA
8
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
⇒=
10
433,2 σ ( )16,3433,2 =σ
( )42,5
33,216,34 ==σ 42,5=σ
16. Solución:
( ) ?3670900 925870 ==== << xPnσµ
( )57,2
70630
6370
900870 −=−=−=Z
( )14,2
70625
3670
900925 ==−=Z
( )4949,057,2 AZ →−= ; ( )4838,014,2 AZ →=
9787,04838,04949,0 =+=P ( ) %87,97925870 =<< xP
17. Solución:
( ) ?100500.1900.32 3,259.33 ==== >xPnσµ
( )40,2
500.1
593.3
500.1
103,359
100
500.1900.323,259.33 ===−=−=
n
xZ σ
µ
9
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( )4918,040,2 AZ →=
0082,04918,05000,0 =−=P ( ) %82,03,259.33 =>xP
( ) 10082,050 ===npE Aproximadamente un restaurante 1=E
18. Solución:
( )82,2
80724,32
4980
58024,612 ==−=Z
( )4976,082,2 AZ →=
0024,04976,05000,0 =−=P ( ) %24,024,612 =>xP
19. Solución:
( ) ?3615,3 7,3 ==== >xPnσµ
( )20,1
162,0
361
5,37,3 ==−=−=
n
xZ σ
µ
( )3849,020,1 AZ →=
1151,03849,05000,0 =−=P ( ) %51,117,3 =>xP
20. Solución:
( ) ?2001800900.25 100.26 ==== >xPnσµ
( )57,1
18002828
180014,14200
2001800
900.25100.26 ===−=−=
n
xZ σ
µ
10
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( )4418,057,1 AZ →=
0582,04418,05000,0 =−=P
( ) %82,5100.26 =≥xP
21. Solución:
( ) ?7536700.2361568 75 ====== >xPxnσµ
( )8,2
1576
3615
6875 ==−=Z
( )4974,08,2 AZ →=
0026,04974,05000,0 =−=P
( ) %26,075 =⟩xP
22. Solución:
36=n 60=x ó más se acepta 60<x se rechaza
a) ( ) ?359 60 === >xPσµ
2
363
5960 =−=Z
( )4773,02 AZ →=
0227,04773,05000,0 =−=P ( ) %27,260 =≥xP
11
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b) ( ) ?35,60 60 === <xPσµ
1
363
5,6060 −=−=Z
( )3413,01 AZ →−=
1587,03413,05000,0 =−=P
( ) %87,1560 =<xP
23. Solución:
( ) 222.960 ?36000.520 000.630 ==== > σµ xPn
96,2
36960.222
000.520000.630 =−=Z
( )4985,096,2 AZ →=
0015,04985,05000,0 =−=P ( ) %15,0000.630 =≥xP
24. Solución:
( ) ?362144168 602 ===⇒== <xPnσσµ
22 441 puntaje=σ
29,2
3621
6860 −=−=Z
( )4890,029,2 AZ →−=
0110,04890,05000,0 =−=P
( ) %1,160 =<xP
12
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
25. Solución:
( ) ?25600.78000.400 000.440 ==== >xPnσµ
54,2
25600.78
000.400000.440 =−=Z
( )4945,054,2 AZ ⇒=
0055,04945,05000,0 =−=P
( ) %55,0000.440 =≥xP
26. Solución:
( ) ?161658 7050 ==== << xPnσµ
( )4987,000,3
1616
5870AZ ⇒=−=
( )4773,02
1616
5850AZ ⇒−=−=
9760,04773,04987,0 =+=P
( ) %60,977050 =≤≤ xP
27. Solución:
( ) ?25200.8000.240 000.237 ==== <xPnσµ
( )4664,083,1
25200.8
000.240000.237AZ ⇒−=−=
0336,04664,05000,0 =−=P
( ) %36,3000.237 =≤xP
13
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
28. Solución:
( ) ?2805,003,1 02,1 ==== >xPnlibras σµ
( )3554,006,1
28
05,003,102,1
AZ ⇒−=−=
8554,03554,0 5000,0 =+=P
( ) %54,8502,1 =>xP
29. Solución:
( ) ?49800.93000.226 000.206 ==== <xPnσµ
( )4319,049,1
49800.93
000.226000.206AZ ⇒−=−=
0681,04319,05000,0 =−=P
( ) %81,6000.206 =<xP
30. Solución:
( ) ( ) ?4050008,0000.17500.417 000.420 ===== >xPnσµ
( )3238,093,0
40000.17
500.417000.420AZ ⇒=−=
1762,03238,05000,0 =−=P
( ) %62,17000.420 =≥xP
14
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
31. Solución:
36500.5000.112 === nσµ
a) ( ) ?500.113 =>xP
( )4495,064,1
36500.5
000.112500.113AZ ⇒=−=
0505,04495,05000,0 =−=P ( ) %05,5500.113 =>xP
b) ( ) ?200.113500.111 =>> xP
( )2088,055,0
36500.5
000.112500.111AZ ⇒−=−=
( )4049,031,1
36500.5
000.112200.113AZ ⇒=−=
[ ] 3863,04049,02088,01 =+−= ( ) %63,38700.113500.111 =≥≥ xP
32. Solución:
( ) ?365,316 3,15 ==== <xPnσµ
15
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( )3849,02,1
36
5,3163,15
AZ ⇒−=−=
1151,03849,05000,0 =−=P
( ) %51,113,15 =≤xP
33. Solución:
( ) ?362070 75 ==== >xPnσµ
( )4332,05,1
3620
7075AZ ⇒=−=
0668,04332,05000,0 =−=P
( ) %68,675 =≥xP
34. Solución:
( ) ?32825
200.82550500.2300 328
2 ======= >xPxnσσµ
( )4974,08,2
2550
300328AZ ⇒=−=
0026,04974,05000,0 =−=P
( ) %26,0328 =≥xP
35. Solución:
( ) ?1005 1 === >− µσ xPn
16
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
22
10051 −== yZ
( )4773,02 AZ ⇒=
0227,04773,05000,0 =−=P
( ) %54,40454,020227,0 == ( ) %54,41 =>− µxP
36. Solución:
( ) ?208 4 === >− µσ xPn
24,224,2
2084 −== yZ
( )4875,024,2 AZ ⇒=
[ ] %50,20250,04875,04875,01 ==+−= ( ) %50,24 =>− µxP
37. Solución:
( ) ?144120400.14700 6802 ===⇒== ≤xPnσσµ
( )4773,02
144120
700680AZ ⇒−=−=
%27,20227,04773,05000,0 ==−=P
( ) %27,2680 =≤xP
38. Solución:
( ) ?3617,25210,8 5,7 ===== <xPnmesesdíasymeses σσµ
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
díasymesesx 157= mesesx 5,7=
( )4515,066,1
36
17,210,85,7
AZ ⇒−=−=
%85,40485,04515,05000,0 ==−=P
( ) %85,45,7 =<xP
DISTRIBUCIONES DE MEDIAS PROPORCIONALES
39. Solución:
100%65 == np
a) ( ) ?%68 =<pP
( ) ( )63,0
002275,0
03,0
1002275,0
03,0
10035,065,0
65,068,0 ===−=−=
nPQ
PpZ
( )2357,063,0 AZ →=
7357,02357,05000,0 =+=P
18
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) %57,73%68 =<pP
b) ( ) ?%5,66%5,65 =<< pP ( )( )066 ==pPqueya
31,00477,0015,0
002275,0
65,0665,0 ==−=−=
nPQ
PpZ
11,00477,0005,0
002275,0
65,0655,0 ==−=−=
nPQ
PpZ
( )1217,031,0 AZ →= ; ( )0438,011,0 AZ →=
0779,00438,01217,0 =−=P
( ) %79,7%5,66%5,65 =<< pP
40. Solución:
( ) ?40001,0 02,0 === >pPnP
( )01,2
40099,001,0
01,002,0 =−=−=
nPQ
PpZ
( )4778,001,2 AZ →=
0222,04778,05000,0 =−=P ( ) %22,202,0 =>pP
41. Solución:
Nota: En variables discretas se puede aplicar el factor de corrección
n2
1 para una mejor
aproximación a la normal.
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ?40004,0 05,0 === ≥pPnP
Fórmula general: Fórmula corregida:
nPQ
PpZ
−=
nPQ
Pn
pZ
−
−= 2
1
( ) 00125,0800
140021 ==
( )( ) ( )
90,00097,000875,0
000096,0
00875,0
40096,004,0
04,000125,005,0 ===−−=Z
( )3159,090,0 AZ →=
1841,03159,05000,0 =−=P ( ) %41,1805,0 =≥pP
42. Solución:
( ) ?40046,0 50,0 === >pPnP
a) Sin corregir:
( ) ( )14,1
0352,0040,0
20054,046,0
46,050,0 ==−=−=
nPQ
PpZ
( )3729,014,1 AZ →=
20
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
1271,03729,05000,0 =−=P ( ) %71,1250,0 =>pP
b) Corregido:
( )( ) ( )
06,1
20054,046,0
46,00025,050,021
=−−=−
−
=
nPQ
Pn
pZ
( )3554,006,1 AZ →=
%46,141446,03554,05000,0 ==−=P ( ) %46,1450,0 =≥pP
43. Solución:
( ) ?20017,0 20,0 === ≥pPnP
( ) ( )13,1
000705,003,0
20083,017,0
17,020,0 ==−=Z
( )3708,013,1 AZ →=
1292,03708,05000,0 =−=P ( ) %92,1220,0 =≥pP
44. Solución:
21
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
a) Planteamiento mediante la Distribución binomial
( ) 50,050,0200?12080 ====≤≤ qpnP x
( ) ( ) ( ) ( )80120200120
1208020080 5,05,0..............5,05,0 CCP +=
b) Distribución normal
( ) ( ) 1005,0200?5,1205,79 ====<< npP x µ
( ) ( ) 07,7505,05,0200 ==== npqσ
9,207,7
5,2007,7
1005,79 −=−=−=−= σµX
Z
9,207,7
5,20
07,7
1005,120
07,7==−=−= µX
Z
( )4981,09,2 AZ →−= ; ( )4981,09,2 AZ →=
( ) %62,999962,04981,04981,05,1205,79 ==+=<< xP
( ) %62,995,1205,79 =≤≤ xP
c) Distribución de proporciones (corregido)
( ) 200?50,0 6,04,0 === << nPP p
( )( ) ( )
90,203535,0
1025,0
2005,05,0
50,00025,04,021
−=−=−−=−
−
=
nPQ
Pn
pZ
( )( ) ( )
90,203535,01025,0
2005,05,0
5,00025,06,021
==−+=−
−
=
nPQ
Pn
pZ
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( )4981,090,2 AZ →−=
( )4981,090,2 AZ →=
9962,04981,04981,0 =+=P
( ) %62,9960,040,0 =<< pP
d) Sin corrección:
( ) ( )83,2
00125,0
10,0
2005,05,0
5,04,0 −=−=−=−=
nPQ
PpZ
( ) ( )83,2
00125,010,0
2005,05,0
5,06,0 ==−=−=
nPQ
PpZ
( )4977,083,2 AZ →=
9954,04977,04977,0 =+=P
( ) %54,996,04,0 =≤≤ pP
45. Solución:
( ) ?22,036
875,025,0 22,0 ===== <pPpQP
( )( )1664,043,0
36
78,022,0
25,022,0AZ ⇒−=
−=
3336,01664,05000,0 =−=P
( ) %36,3322,0 =<pP
23
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
46. Solución:
( ) ?4010,09,0 08,0 ==== >− PpPnQP
( )69,169,1
401,09,0
90,098,0 −=−= yZ
( )69,169,1
401,09,0
08,0 −== yZ
( )4545,069,1 AZ ⇒−=
[ ] %1,9091,04545,04545,01 ==+−=
( ) %1,908,0 =>− PpP
47. Solución:
( ) ?6490,0 95,0 === >pPnP
( )( )4082,033,1
6410,09,0
9,095,0AZ ⇒=−=
0918,04082,05000,0 =−=P ( ) %18,995,0 =≥pP
48. Solución:
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ?10020,0 25,0 === <pPnP
( )( )3944,025,1
1008,02,0
20,025,0AZ ⇒=−=
8944,03944,05000,0 =+=P
( ) %44,8925,0 =≤pP
49. Solución:
( ) ?3670,0 %50 === >pPnP
( )( )4956,062,2
363,07,0
7,05,0AZ ⇒−=−=
9956,04956,05000,0 =+=P
( ) %56,9950,0 =≥pP
50. Solución:
( ) ?15,04064007,0 15,0 ===== >pPpnP
( )( )4762,098,1
4093,007,0
07,015,0AZ ⇒=−=
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0238,04762,05000,0 =−=P
( ) %38,215,0 =≥pP
51. Solución:
( ) ?28,01504215025,0 28,0 ===== >pPpnP
( )( )3023,085,0
15075,025,0
25,028,0AZ ⇒=−=
1977,03023,05000,0 =−=P
( ) %77,1928,0 =≥pP
52. Solución:
( ) ?27,015040150
31
27,0 ===== <pPpnP
( )( )4406,056,1
15067,033,0
33,027,0AZ ⇒−=−=
0594,04406,05000,0 =−=P
( ) %94,527,0 =≤pP
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53. Solución:
( ) ?08,02001620010,0 08,0 ===== <pPpnP
( )( )3264,094,0
20090,010,0
10,008,0AZ ⇒−=−=
1736,03264,05000,0 =−=P
( ) %36,1708,0 =≤pP
54. Solución:
NOTA: Por equivocación se resolvió pensando que la pregunta era del 56% que usen menos la corbata. Sin embargo, de acuerdo con el enunciado se puede resolver de dos (2) formas diferentes:
(1) P = 0,70 ; n = 64 y P(p≤0,44). La otra forma sería: (2) P = 0,30 ; n = 64 y P(p≤0,56). Por lo tanto las gráficas son diferentes y los resultados deben ser iguales.
Si se quiere modificar todo el desarrollo quedaría así:
( )56,06430,0 <== pPnP
( )( )5000,0.543,4
647,06,0
30,056,0AaproxZ ⇒−=−=
( ) menteaproximadaP p %10056,0 =≤
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( ) ?6470,0 56,0 === <pPnP
( )( )4927,044,2
643,07,0
70,056,0AZ ⇒−=−=
0073,04927,05000,0 =−=P
( ) %73,056,0 =≤pP
55. Solución:
( ) ?36%74 %82 === >pPnP
( )( )3621,009,1
3626,074,0
74,082,0AZ ⇒=−=
1379,03621,05000,0 =−=P
( ) %79,1382,0 =≥pP
56. Solución:
( ) ( ) 76,02750,0%5,223610,0 ? =⇒=== < ZAPnP p
( )10,0
369,01,0
76,0 −= p
( )36
9,01,076,010,0 +=p
138,0038,010,0 =+=p
%8,13=p
57. Solución:
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ?10065,0 68,0 === >pPnP
( )( )2357,063,0
10035,065,0
65,068,0AZ ⇒=−=
2643,02357,05000,0 =−=P
( ) %43,2668,0 =≥pP
58. Solución:
( ) ?40015,0 20,0 === >pPnP
( )( )4974,080,2
40085,015,0
15,020,0AZ ⇒=−=
0026,04974,05000,0 =−=P
( ) %26,020,0 =≥pP
59. Solución:
( ) ?8015,0 20,0 === >pPnP
( )( )3944,025,1
8085,015,0
15,020,0AZ ⇒=−=
1056,03944,05000,0 =−=P
( ) %56,1020,0 =>pP
60. Solución:
29
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ?10055,0 %49 === <pPnP
( )( )3849,020,1
100
45,055,0
55,049,0AZ ⇒−=−=
1151,03849,05000,0 =−=P
( ) %51,1149,0 =≤pP
Nota: Podría haberse tomado a 5000,04999,0 <=p
61. Solución:
( ) ?5040,0 25,0 === >pPnP
( )( )4846,017,2
506,04,0
40,025,0AZ ⇒−=−=
9846,04846,05000,0 =+=P
( ) %46,9825,0 =≥pP
62. Solución:
( ) ?73,0000.1
73068,0000.1
680000.170,0 73,068,0 ======= << pPppnP
( )( )4808,007,2
000.130,070,0
70,073,0AZ ⇒=−=
30
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( )( )4162,038,1
000.13,07,0
70,068,0AZ ⇒−=−=
8970,04808,04162,0 =+=P ( ) %70,8973,068,0 =≤≤ pP
63. Solución:
( ) ?12,01001210014,0
507
12,0 ====== <pPpnP
( )( )2190,058,0
10086,014,0
14,012,0AZ ⇒−=−=
2810,02190,05000,0 =−=P
( ) %10,2812,0 =≤pP
64. Solución:
( ) ( ) 31,01200,0%623610,0 ? =→=== < ZAPnP p
( )( )
10,036
9,01,031,0
369,01,0
10,031,0 −=⇒−= p
p
( )1155,00155,010,0
369,01,0
31,010,0 =+=+=p
%12%55,11 ≅=p %1212,0 ==p
31
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
65. Solución:
( ) ?05,03001530003,0 05,0 ===== >pPpnP
( )( )4788,003,2
30097,003,0
03,005,0AZ ⇒=−=
0212,04788,05000,0 =−=P
( ) %12,205,0 =≥pP
66. Solución:
( ) ?08,02001620010,0 08,0 ===== >pPpnP
( )( )3264,094,0
2009,010,0
10,008,0AZ ⇒−=−=
8264,05000,03264,0 =+=P
( ) %64,8208,0 =≥pP
67. Solución:
32
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ?49%80 90,07,0 === >> pPnP
( )75,175,1
4920,08,0
80,090,0 −=−= yZ
( )4599,075,1 AZ ⇒=
[ ] =+−= 4599,04599,010802,09198,01 =−
( ) %02,890,07,0 =>> pP
( ) %02,8101,0 =>− ppP
DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES
68. Solución:
( ) ?64642,74,60 6,021 ======−= >− yxyxyxyx Pnnσσµµµµ
50,0204,1
6,0
45,1
6,0
6484,51
6496,40
06,0 ===+
−=Z
50,045,1
6,0
6484,51
6496,40
06,0 −=−=+
−−=Z
( )1915,050,0 AZ →= ; 3830,01915,01915,0 =+=P
( )1915,050,0 AZ →−= ; 6170,03830,01 =−=P
ó 6170,03085,03085,0 =+=P ( ) %70,616,0 =>− yxP
69. Solución:
33
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ?9105,562520 021 ======= >− yxyxyx Pnnσσµµ
( )90,1
96,65
36,36,35
925,30
1036
25200 ==+
=+
−−=Z
( )4713,090,1 AZ →=
0287,04713,05000,0 =−=P
( ) %87,20 =>− yxP
70. Solución:
( ) ?202518156050 021 ======= >− yxyxyx Pnnσσµµ
( )99,1
2,2510
2,16910
20324
25225
60500 ==+
=+
−−=Z
( )4767,099,1 AZ →=
0233,04767,05000,0 =−=P
( ) %33,20 =>− yxP
34
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
71. Solución:
( ) ?4070850980300.4000.4 30021 ======= ≥− yxyxyx Pnnσσµµ
( )37,3
28,178600
40500.722
70400.960
300300 ==+
−−=Z
( )4996,037,3 AZ →=
( ) %04,0300 =>− yxP (Se aproxima a cero)
72. Solución:
( ) ?100100500.52500.31000.925000.920 510.1221 ======= −>− yxyxyx Pnnσσµµ
( )22,1
000.485.37
510.7
100
000.250.756.2
100
000.250.992
000.925000.920510.12−=−=
+
−−−=Z
( )3888,022,1 AZ →−=
1112,03888,05000,0 =−=P
( ) %12,11510.12 =−>− yxP
73. Solución:
35
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ?10010010090450.1500.1 4021 ======= >− yxyxyx Pnnσσµµ
( )74,0
45,13
10
100
100
100
90
450.1500.14022
−=−=+
−−=Z
( )2704,074,0 AZ ⇒−=
7704,02704,05000,0 =+=P
( ) %04,7740 =≥− yxP
74. Solución:
000.10000.40200.1400.1 22 ==== yxyx σσµµ
125125100200 21 ==== nnxx σσ
a) ( ) ?160 =>− yxP
22040
125000.10
125000.40
200160 −=−=+
−=Z
( )4773,02 AZ ⇒−=
9773,04773,05000,0 =+=P ( ) %73,97160 =≥− yxP
b) ( ) ?250 =>− yxP
5,22050
125000.10
125000.40
200250 ==+
−=Z
( )4938,05,2 AZ ⇒=
36
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
0062,04938,05000,0 =−=P ( ) %62,0250 =≥− yxP
75. Solución:
horas2=xµ minutos40conhora1=yµ hora67,1=yµ
minutos40=xσ hora67,0=xσ minutos32=yσhoras53,0=yσ
281 =n 302 =n ( ) ?0 =>− yxP
( )08,2
159,033,0
3053,0
2867,0
67,12022
−=−=+
−−=Z
( )4812,008,2 AZ ⇒−=
9812,04812,05000,0 =+=P
( ) %12,980 =≥− yxP
76. Solución:
100100685051 21 ====== nnyxyx σσµµ
a) ( ) ?6,0 =>− yxP
( ) ( )1554,04,00,14,0
1006
1008
50516,022
AZ ⇒−=−=+
−−=
37
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
6554,01554,05000,0 =+=P
( ) %54,656,0 =≥− yxP
b) ( ) ?6,0 =−>− yxP
( )4452,06,10,16,1
0,116,0
AZ ⇒−=−=−−=
0548,04452,05000,0 =−=P
( ) %48,56,0 =−≥− yxP
77. Solución:
( ) ?18181,148,135,356,38 221 ======= −>− yxyxyx Pnnσσµµ
( )10,1
65,4
10,5
18
1,14
18
8,13
5,356,38222
−=−=
+
−−−=Z
( )3643,010,1 AZ ⇒−=
1357,03643,05000,0 =−=P
( ) %57,132 =−≥− yxP
78. Solución:
horas75,1minutos45conhora1horas2 =⇒== yyx µµµ
( ) ?30horas33,06020horas5,0
6030
021 ======= <− yxyx Pnnσσ
( )29,2
109,025,0
3033,0
3050,0
75,12022
−=−=+
−−=Z
38
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( )4890,029,2 AZ ⇒−=
011,04890,05000,0 =−=P
( ) %1,10 =<− yxP
79. Solución:
( ) ?2020463034 021 ======= <− yxyxyx Pnnσσµµ
( ) ( )4934,048,261,14
2016
2036
30340AZ ⇒−=−=
+
−−=
0066,04934,05000,0 =−=P
( ) %66,00 =<− yxP
80. Solución:
( ) ?100125180200400.2600.2 15021 ======= >− yxyxyx Pnnσσµµ
39
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( )4756,097,138,25
50
100
180
125
200
20015022
AZ ⇒−=−=
+
−=
( )5000,079,1338,25
200150AZ ⇒−=−−=
9796,004796,05000,0 =++=P ( ) %96,97150 =>− yxP
81. Solución:
( ) ?100100gramos502525gramos25 221 ======−=−= >− yxyxyxx Pnnσσµµµ
( )82,282,2
71,02
10025
10025
02 −==+
−= yZ
( )4976,082,2 AZ ⇒=
[ ] 0048,04976,04976,01 =+−
( ) %48,02 =>− yxP
DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES
82. Solución:
( ) ?10015033,025,0 02121 21===== ≥− ppPnnPP
40
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( )( ) ( )
( )4131,036,1
100
67,033,0
150
75,025,0
33,025,00AZ ⇒=
+
−−=
0869,04131,05000,0 =−=P
( ) %69,8021=≥− ppP
83. Solución:
( ) ?20020015,017,0 03,02121 21===== >− ppPnnPP
( )( ) ( )
27,0037,001,0
20085,015,0
20083,017,0
15,017,003,0 ==+
−−=Z
( )1064,027,0 AZ ⇒=
35,1037,0
05,0037,0
02,003,0 −=−=−−=Z
( )4115,035,1 AZ ⇒−=
4821,03936,00885,0 =+=P
( ) %21,4803,021=>− ppP
84. Solución:
41
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ?20020065,065,0 10,02121 21===== >− ppPnnPP
( ) ( )10,210,2
20035,065,0
20035,065,0
010,0 −=+
−= yZ
( )4821,010,2 AZ ⇒=
[ ] 0358,04821,04821,01 =+−=
( ) %58,310,021=>− ppP
85. Solución:
( ) ( ) ?100150%38%28 02121 2121====== >−> pppp PPnnPP
( )( ) ( )
64,1
10062,038,0
15072,028,0
38,028,00 =+
−−=Z
( )4495,064,1 AZ ⇒=
0505,04495,05000,0 =−=P
( ) %05,5021=≥− ppP
86. Solución:
15015072,072,0 2121 ==== nnPP
42
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a) ( ) ?06,021=>− ppP
( ) ( )16,116,1
15028,072,0
15028,072,0
006,0 −=+
−= yZ
( )3770,016,1 AZ ⇒=
[ ] 2460,03770,03770,01 =+−=
( ) %60,2406,021=≥− ppP
b) ( ) ( ) ?05,0 05,02121=== −≥−< pppp PP
97,00518,0
005,0 −=−−=Z
( )3340,097,0 AZ ⇒−=
1660,03340,05000,0 =−=P
( ) %60,1605,021=−>− ppP
87. Solución:
1008015,012,0 2121 ==== nnPP
a) ( ) ?03,021=>− ppP
43
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( )( ) ( )
18,10509,0
06,0
10085,015,0
8088,012,0
15,012,003,0 ==+
−−=Z
( ) ( )5000,000509,0
03,003,0AZ ⇒=−−−=
( )3810,018,1 AZ ⇒=
( ) ( ) 1190,03810,05000,0 =− AA
6190,01190,05000,0 =+=P
( ) %90,6103,021=>− ppP
b) ( ) ( ) ?02121== >−> pppp PP
59,00509,0
03,00 =+=Z
( )2224,059,0 AZ ⇒=
2776,02224,05000,0 =−=P ( ) %76,27021=>− ppP
88. Solución:
10010020,025,0 2121 ==== nnPP
a) ( ) ( ) ( ) ?03,02121=== −>−<> ppppAB PPP
( )( ) ( )
36,10589,0
08,0
1008,02,0
10075,025,0
20,025,003,0 −=−=+
−−−=Z
( )4131,036,1 AZ ⇒−=
0869,04131,05000,0 =−=P ( ) %69,803,021=−≥− ppP
44
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
b) ( ) ( ) ?03,021== >−> ppBA PP
( )34,0
0589,002,0
0589,020,025,003,0 −=−=−−=Z
( )1331,034,0 AZ ⇒−=
6331,01331,05000,0 =+=P
( ) %31,6303,021=≥− ppP
89. Solución:
( ) ?363650,050,010050
22,02121 21====== >− ppPnnPP
( ) ( )87,187,1
1179,022,0
365,05,0
365,05,0
022,0 −==+
−= yZ
( )4693,087,1 AZ ⇒= ; ( )4693,087,1 AZ ⇒−=
[ ] 0614,09386,014693,04693,01 =−=−−=
( ) %14,622,021=≥− ppP
90. Solución:
45
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ?40040012,008,0 03,02121 21===== ⟨− ppPnnPP
( )( ) ( )
33,3021,0070,0
40088,012,0
4005,008,0
12,008,003,0 ==+
−−=Z
( )48,0
021,0010,0
021,012,008,003,0 ==−−−=Z
( )4996,033,3 AZ ⇒= ; ( )1844,048,0 AZ ⇒=
3152,01844,04996,0 =−=P
( ) %52,3103,021=≤− ppP
TAMAÑO DE MUESTRA M.A.S.
91. Solución:
?000.30%95000.5000.10 ===== nPEN σ
222
22
)1( σσ
ZEN
ZNn
+−=
46
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ( )( ) ( )
personas13742,136000.3096,1000.51000.10
000.3096,1000.10222
22
≅=+−
=n
personas137=n
92. Solución:
000.896,1300?36,0 ===== NZnEP
1−−=
NnN
nQP
ZE
( )1000.8
300000.8300
64,036,096,1 −
−=E
0532,0=E (Error) %32,5=E
93. Solución:
96,1000.5%3 === ZNE ; Como no se conoce P, se tiene que 50,0=P
( ) PQZEN
QPZNn 22
2
1 +−=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 880
5,05,096,103,01000.5
50,050,096,1000.522
2
=+−
=n mujeres casadas 880=n
mujeres casadas
94. Solución:
000.18=σ
a) 57,2000.3? === ZEn
47
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
2
2
22
==
EZ
E
Zn
σσ
23878,237000.3
000.1857,22
≅=
×=n estudiantes universitarios
b) Siendo 000.12=N ¿cuál es el valor de n?
78,2371
2
22
00
0 ==⇒+
=E
Zn
Nn
nn
σ
23416,233
000.1278,2371
78,237 ≅=+
=n estudiantes universitarios
c) El cálculo para totales, arroja un resultado, igual al anterior siendo de 234 estudiantes universitarios.
95. Solución:
estrabajador600.370preliminar == Nn
a) 22 4,267,060
40minutos40 horashorasxx?n ===→== σ
( ) 0335,067,005,0%596,1 ==→== ExdeEZ
( ) ( )( ) ( ) 35,503.2
4,296,10335,01600.3
4,296,1600.322
2
=+−
=n
504.2=n trabajadores
b) %10600.396,163,07044 ===== ENZP
48
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) PQZEN
PQZNn 22
2
1 +−=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 40,87
37,063,096,110,01600.3
37,063,096,1600.322
2
=+−
=n
estrabajadorn 8840,87 ==
c)
( ) 600.396,114,4286,84205,086,84270000.59 ====== NZEx
325=S
( ) ( )( ) ( ) 92,214
32596,114,421600.3
32596,1600.3222
22
=+−
=n
estrabajadorn 215=
Se toma el mayor valor de los n calculados, es este caso el tamaño muestral para la investigación es de 215 trabajadores.
96. Solución:
2%5,9503,060,0 ===== ZPEP
a) 2
2
E
PQZn =
( ) ( )067.167,066.1
03,04,06,02
2
2
≅==n familias con vehículo propio
b) R/ aumenta el tamaño de la muestra (es el valor máximo de n)
49
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( ) ( ) ( ) ( )112.111,111.1
350502
03,05,05,02
2
2
2
2
====n familias con carro propio
Si P = 90 el valor de n se reduce
( ) ( ) ( ) ( )400
3
10902
03,0
1,09,022
2
2
2
===n familias con carro propio
c)96486,963
000.1067,066.11
67,066.1
1 0
0 ≅=+
=+
=
Nn
nn
familias con carro propio
97. Solución:
%85000.2024,2%5,9703,0 ===⇒== PNZPE
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 68746,686
15,085,024,203,01000.20
15,085,024,2000.2022
2
==+−
=n artículos
98. Solución:
57,2%7?20,0 ==== ZEnP
( ) ( ) ( ) ( )21667,215
7
802057,2
07,0
8,02,057,22
2
2
2
≅===n personas adultas
99. Solución:
65,164,12?12365 óZEnN ===== σ
( ) ( )( ) ( ) 7769,76
1264,121365
1236564,1222
22
==+−
=n días
50
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100. Solución:
2%5,95955,0045,01045,0000.5 =⇒==−⇒= ZderiesgoE
?000.28 == nσ
( )12644,125
000.5
000.2822
22
≅==n familias de clase media de un barrio
101. Solución:
200.3?2%5,95%4 ===⇒== NnZPE
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 52401,523
5,05,0204,01200.3
50,050,02200.322
2
≅=+−
=n estudiantes de cierta
universidad privada
102. Solución:
50,0000.10%257,2 ==== PNEZ (dado que no se conoce P)
( ) ( ) ( ) ( )06,128.4
2
505057,2
02,0
5,05,057,22
2
2
2
0 ===n
922.289,921.2
000.1006,128.41
06,128.4
1 0
0 ≅=+
=+
=
Nn
nn
elementos
103. Solución:
90,096,1 10,0 2 === σZlitrosE consumo de oxígeno, litros por minuto2
( )34674,345
10,0
90,096,12
2
≅==n estudiantes entre 17 y 21 años
51
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104. Solución:
1057,2500.1 === EZN minutos ( ) 700.1125,36022 ==σ minutos2
( ) ( )( ) ( ) 51124,510
700.1157,2101500.1
700.1157,2500.122
2
≅=+−
=n empleados
105. Solución:
2000.3?000.30500.12 ===== ZEnsN
( ) ( )( ) ( ) 38863,387
000.302000.31500.12
000.302500.12222
22
==+−
=n hogares en una ciudad
106. Solución:
96,112,072,0? ==== ZEPn
( ) ( ) ( ) ( )5478,53
12
287296,1
12,0
28,072,096,12
2
2
2
≅===n ciudadanos
107. Solución:
a) 50,096,105,0? ==== PZEn
( ) ( ) ( ) ( )385
5
505096,1
05,0
5,05,096,12
2
2
2
===n reses
b)( ) ( ) ( ) ( )
31079,3095
722896,1
05,0
72,028,096,12
2
2
2
≅===n reses
52
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
c) 02,0000.2 == EN P = 0,50
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 092.136,091.15,05,096,102,01000.2
5,05,096,1000.222
2
≅=+−
=n reses
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 98503,984
5,05,096,102,01000.2
72,028,096,1000.222
2
==+−
=n reses
108. Solución:
30,064,190,004,0? ==⇒=== PZPEn
( ) ( ) ( ) ( )35401,353
4
703064,1
04,0
7,03,064,12
2
2
2
≅===n hogares
109. Solución:
a) 20,096,103,0? ==== PZEn
( ) ( ) ( ) ( )68395,682
3
802096,1
03,0
8,02,096,12
2
2
2
≅===n alumnos
b)61416,613
000.695,6821
95,682
1 0
0 ≅=+
=+
=
Nn
nn
alumnos
110. Solución:
2002096,13 ==== NhorassZhorasE
( ) ( )( ) ( ) 9336,92
2096,131200
2020096,1222
22
==+−
=n supervisores
essupervisor93=n
53
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
111. Solución:
a) 000.13$ 96,1400.2$? ==== sZEn
( )11371,112
400.2
000.1396,12
22
===n familias de un barrio de la ciudad
b)10403,103
200.171,1121
71,112
1 0
0 ≅=+
=+
=
Nn
nn
familias de un barrio de la ciudad
familiasn 113=
112. Solución:
( ) 57,2980.290003,0000.30000.2 ===== ZEN σ
( ) ( )( ) ( )
7092,69980.257,29001000.2
980.257,2000.2222
22
==+−
=n
riosuniversitaprofesores70=n
113. Solución:
000.88?2000.22 ==== σnZE
( )64
000.22
000.8822
22
==n
familiasn 64=
114. Solución:
54
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
35,340
134 ==∑=n
nyy ii
( )44,2
140
35,340544 22 =
−−=s
( ) 17,035,305,0%596,1000.4 ===== EEZN
( ) ( )( ) ( ) 301
44,296,117,01000.4
44,296,1000.422
2
=+−
=n
nesexplotacio301=n
115. Solución:
53,13046 ==∑=
nny
y ii
( )22,3
13053,130164 2
2 =−−=s piezas con caries2
%52800.7 === EZN
a) Estimación del promedio ( ) 08,053,105,0 ==E
iy in iiny ii ny2
1 1 1 12 17 34 683 5 15 454 7 28 1125 5 25 1256 4 24 1447 1 7 49Σ 40 134 544
iy in iiny ii ny2
0 10 0 01 9 9 92 5 10 203 2 6 184 2 8 325 0 0 06 1 6 367 1 7 49Σ 30 46 164
55
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ( )( ) ( ) ( ) 600.1
22,3208,01800.7
22,32800.722
2
=+−
=n estudiantes matriculados
b) Proporción → son 20 estudiantes con caries
67,03020 ==p
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 33945,338
33,067,0205,01800.7
33,067,02800.722
2
==+−
=n
estudiantes
Nota: se toma como n el mayor valor, en este caso 600.1=n estudiantes matriculados
116. Solución:
a) Promedio de personas por familia 76,31764 ==Σ=
nx
x i
( )23,2
11776,317276 2
2 =−
−=s
%596,1200.1 === EZN ( ) ( ) 188,076,305,005,0 === xE
( ) ( )( ) ( ) ( ) 20279,201
23,296,1188,01200.1
23,296,1200.122
2
==+−
=n familias
b) Proporción de familias con suscripción: son 35,01766 ==⇒ p %5=E
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 27189,270
65,035,096,105,01200.1
65,035,096,1200.122
2
==+−
=n familias
56
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
117. Solución:
cuentasnnEZP piloto 30?%596,1%95 ====→=
a) Proporción de cuentas que indican gastos de trabajo 40,03012 ==p
( ) ( ) ( ) ( )36979,368
5
604096,1
05,0
6,04,096,12
2
2
2
====n cuentas
b) ( ) 22 000.20000.905,0000.180000.18030
000.400.5 ===== sEx
pesos2
( ) ( )19
000.9000.2096,1
000.9000.2096,1 2
2
22
=
==n Cuentas
Nota: se selecciona, el primer resultado (n = 369) por ser el más alto. En este ejercicio no se conoce el tamaño poblacional.
118. Solución:
a) Promedio de alumnos por colegio 88,499100
988.44 ==Σ=nx
x i
03,600.11288,499100
004.248.36 22 =−=s
96,1%95680.4 =→== ZPN ( ) 99,3988,49908,0 ==E
( ) ( )( ) ( ) ( ) 25676,255
03,600.11296,199,391680.4
03,600.11296,1680.422
2
≅=+−
=n planteles
b) Proporción de colegios privados 46,010046 ==p
57
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 14553,144
54,046,096,108,01680.4
54,046,096,1680.422
2
≅=+−
=n planteles
119. Solución:
a) ?000.20$96,1000.44$ ==== nEZs
( ) ( )( )
19000.20
000.4496,12
22
==n cuentas cuentasn 19=
b) ?000.30$96,1000.44$ ==== nEZs
( ) ( )( ) 9
000.30
000.4496,12
22
==n cuentas
cuentasn 9=
120. Solución:
)5,0(50,057,202,0000.30 conocesenoqueyatomasePZEN ====
?=n
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 629.3
50,050,057,202,0000.30
50,050,057,2000.3022
2
=+
=n
casadeamasn 629.3=
121. Solución:
? 1443365 22 ==== ndiariosaccidentesEN σ
58
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 39
14464,13365
14436564,122
2
=+
=n días díasn 39=
122. Solución:
( ) ?80pesos500.20 222 === nn pσ
a) ?96,1400.2 === nZE
( ) ( )( ) 288
80
21
400.2
500.2096,12
22
=
+
=n familias
familiasn 288=
b) ?000.2 == nN
252
000.2
2881
288 =+
=n familias
familiasn 252=
123. Solución:
iónsignificacdenivelRiesgoE :000.80000.20 == σ
9550,0045,01 =−=P 2%5,95 =⇒= ZP
( ) ( )( ) 64
000.20
000.8022
22
==n
mediaclasedefamiliasn 64=
59
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
124. Solución:
?)(50,02045,005,0 ===⇒== nconocesenoPZRiesgoE
( ) ( ) ( )( ) 400
05,0
50,050,022
2
==n sestudianten 400=
125. Solución:
?96,1ventas000.2580628 22 ===== nZEN σ
( ) ( ) ( )( ) ( ) 15
000.2596,180628
000.2562896,122
2
=+
=n
esrepartidorcaminones15=n
126. Solución:
64,1000.4 == ZN
a)45,05,0%65%4502,0 =⇒== PcasoesteenacercanomáseltomaseoPE
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) viviendasn 176.1
55,045,064,102,04000
55,045,064,1400022
2
=+
=
b)10,050,0%10%501,0 =⇒== PcasoesteenacercanomáseltomaseoPE
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) viviendasn 509.1
90,010,064,101,04000
90,010,064,1400022
2
=+
=
Se toma n = 1.509 viviendas por ser el mayor valor obtenido para n.
127. Solución:
a) ?96,1horas;100horas; 25 ==== nZE σ
60
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ( )( ) bombillasn 6225
10096,12
22
==
b) 000.1=N
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) bombillasn 58
96,110025000.1
100000.196,1222
22
=+
=
128. Solución:
( )conocesenoPNEZn 50,0000.505,064,1? =====
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) títulosn 256
50,050,064,105,0000.5
50,050,064,1000.522
2
=+
=
129. Solución:
a)minutos60hora1306,36006,096,110 ====×=== xnEZ pσ
( ) ( )( ) clientesn 32
3021
6,3
1096,12
22
=
+
=
b) 06,096,125,075,0 ==== EZQP
( ) ( ) ( )( ) clientesn 201
06,0
25,075,096,12
2
==
valormayoreltomaseclientesn ,201=
130. Solución:
50,0000.508,096,1? ===== PNEZn
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) unidadesn 146
50,050,096,108,05000
50,050,096,1500022
2
=+
=
61
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
131. Solución:
10,02002057,2200 ==== PZn
NPQ
ZE = ( ) ( )0545,0
20090,010,0
57,2 ==E %45,5=E
132. Solución:
25,04196,102,0? ===== PZEn
( ) ( ) ( )( ) 801.1
02,0
75,025,096,12
2
==n Conductores con experiencia de un año o menos
133. Solución:
000.95000.796,1500.12? ===== σNZEn pesos ($)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
créditodecuentasn 216000.9596,1500.12000.7
000.95000.796,1222
22
=+
=
134. Solución:
a) ( )PconocesenoPNZEn 50,0000.396,103,0? =====
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) perforadastarjetasn 788
50,050,096,103,0000.3
50,050,096,1000.322
2
=+
=
b) ( )5,072,0000.396,103,0? acercanomáselPNZEn =====
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) perforadastarjetasn 669
28,072,096,103,0000.3
28,072,096,1000.322
2
=+
=
62
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
135. Solución:
10,0000.5096,1005,0? ===== PNZEn
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 834.10
90,010,096,1005,0000.50
90,010,096,1000.5022
2
=+
=n suscriptores
136. Solución:
a) 71000.533,201,0? ===== PNZEn
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 854.2
7/67/133,201,0000.50
7/67/133,2000.5022
2
=+
=n vehículos
b) Los 5.000 vehículos que se van a producir.
137. solución:
a) Falso. Teóricamente no debe haber sustitución.b) Verdadero.c) Falso. Debe ser en un orden determinado.d) Falso. Pro el contrario disminuye el tamaño.e) Falso. Deben tener igual posibilidad de selección.
138. Solución:
565,05628600.596,1%303,0? ======== pnPNZEn
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 897
50,050,096,103,0600.5
50,050,096,1600.522
2
=+
=n egresados (se cálculo sin corregir)
139. Solución:
500? == Nn supervisores
63
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a) 400396,1 2 === σEZ horas2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 128
40096,13500
40050096,122
2
=+
=n supervisores
b) 6,005,096,1 === PEZ
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 213
4,06,096,105,0500
4,06,096,150022
2
=+
=n supervisores
Se tiene el mayor valor de n, en este caso, n = 213 supervisores
140. Solución:
67,61564,12? 2 ===== σNZEn valores2
( )67,6
15615640 222
2 =−=−Σ
=N
XNX iσ
61590 ==Σ=
NX
X i
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) unidadesn 4
67,664,1215
67,61564,122
2
=+
= o valores
141. Solución:
000.20500.164,1000.10? ===== σNZEn pesos ($)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
cuentasn 11000.2064,1000.10500.1
000.20500.164,1222
22
=+
=
142. Solución:
85,010085000.2024,203,0? ====== PNZEn
64
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) artículosn 687
15,085,024,203,0000.20
15,085,024,2000.2022
2
=+
=
143. Solución:
35,0401470064,105,0? ====== PNZEn
( ) ( )99,256
4021
05,065,035,064,1
2
2
=
+
=on
188
70099,2561
99,256 =+
=on hogares (se realizó con corrección)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 182
65,035,064,105,0700
65,035,064,170022
2
=+
=n hogares (se realizó sin corrección)
144. Solución:
225904,0000.696,1?225 ====== PNZEn
( ) ( )0628,0
000.6225000.6
2256,04,0
96,1 =−=E
%28,6=E
145. Solución:
000.7040096,1000.12 ==== RangoNZE
000.70000.80000.150minmax =−=−= XXRango
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) clientesn 99
000.7096,1000.12400
000.7096,1400222
22
=+
=
65
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
NOTA: Se toma como varianza el rango, recorrido u oscilación.
146. Solución:
22 2505,095,005,01000.596,15 ==⇒=−==== σRiesgoPNZE
kgs2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 95
2596,15000.5
2596,1000.5222
22
=+
=n varillas de acero
147. Solución:
9,196,15,0 === σZE kpg.( ) ( )
viajesn 565,0
9,196,12
2
==
148. Solución:
a) 4,030123096,106,0? ====== PnZEn p
( ) ( ) ( )cuentasn 274
3021
06,0
4,06,096,12
2
=
+
=
b) ( ) 96,1800.10000.18006,0000.18030
000.400.5 ===== ZEx
( ) ( )cuentasn 15
3021
800.10
000.2096,12
22
=
+
=
Se debe tomar como n = 274 cuentas por ser el mayor resultado.
149. Solución:
( )PconocesenoPNZEn 5,0360209,0? =====
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 92
5,05,0409,0360
5,05,043602
=+
=n fábricas de helados
66
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
150. Solución:
a) ( ) 22 000.40$000.1096,1000.15000.75002,0? ====== σNZEn
( ) ( )( ) ( ) ( )
28000.408416,3000.15000.10
000.408416,3000.1022
2
=+
=n obreros
8416,396,1 2 ==Z
b) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1436,0 4,0 96,108,0000.10
6,0 4,096,1000.1022
2
=+
=n obreros
151. Solución:
a) 21,096,103,0? ==== PZEn
( ) ( ) ( )709
03,0
79,021,096,12
2
==n ejecutivos subalternos
b) ( )Pconoceseno5,052096,103,0? ===== PNZEn
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 350
5,05,08416,303,0520
5,05,08416,35202
=+
=n ejecutivos subalternos
152. Solución:
a)( ) ( ) 34,2156015,0142564,1156302,5 ======= EdíassnZdíasx p
620=N
( ) ( )( ) ( ) ( ) 84
1464,134,2620
1464,1620222
22
=+
=n vendedores
b) 2562,062064,112,0? ====== pnPNZEn
67
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 42
38,062,064,112,0620
38,062,064,162022
2
=+
=n vendedores
Se toma n = 84 vendedores por ser el mayor valor de n.
153. Solución:
60,0000.5000.336000.3000.5 2 ===== promedioTOTAL EEN σ gramos
( ) ( )( ) ( ) ( )
3573696,16,0000.5
3696,1000.522
2
=+
=n pollitos
154. Solución:
( ) ( ) 8096,112,06,0000.4 ===⇒== pnZpropEpromEN
( ) ( ) ( )( ) ( )proporciónEb
Easy
%1212,0
12,095,106,015,980
95,180036.195,1
80156
22
==
===−===
a)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 516.1
15,996,112,0000.4
15,9000.496,122
2
=+
=n
516.1=n cajas
iy in iiny ii ny2
0 37 0 01 16 16 162 8 16 324 8 32 1285 4 20 1008 2 16 128
10 2 20 20012 3 36 432
Σ 80 156 1.036
68
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 66
46,054,096,112,0000.4
46,054,096,1000.422
2
=+
=n
66=n cajas
54,08043 ==p
Se toma el mayor valor: cajas516.1
155. Solución:
a) 10,0000.596,1005,0? ===== PNZEn
( )pcomoacercanomáseltomaSe 5,0%
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 673.3
90,010,096,1005,0000.5
90,010,096,1000.522
2
=+
=n clientes
b) ( ) 500.1$000.596,1115000.23005,0? ====== σNZEn
( ) ( )( ) ( ) ( ) 579
500.196,1115000.5
500.196,1000.5222
22
=+
=n clientes
673.3=n (se toma el valor mayor como n)
156. Solución:
10,020020?96,11,0200 ====== pEZPn
( ) ( )0415,0
2009,01,0
96,1 ==E
%15,4=E
157. Solución:
04,0000.296,1%6? ===== PNZEn
69
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 41
96,004,096,106,0000.2
96,004,096,1000.222
2
=+
=n cuentas
158. Solución:
a. Los estimadores son medidas, aplicadas a las características de los elementos o unidades en una muestra, en cambio, los parámetros se aplican en la población.
b. Población: es un conjunto de elementos o unidades y la Muestra corresponde a un conjunto de elementos o unidades de una parte de la población.
c. Como su nombre lo indica, describe el comportamiento de las características de los elementos, a través de cuadros gráficas y medidas que le son aplicadas. La inferencia consiste en extraer una muestra, con la cual se obtienen unos resultados que son considerados como correspondiente al comportamiento de toda una población.
d. Cuando todos los elementos de una población tienen la misma posibilidad de ser seleccionados. El no aleatorio, es una muestra resgada es decir, no tienen ninguna confiabilidad, dado que los elementos son seleccionados en forma caprichosa, por conveniencia, en forma voluntaria o en forma intencional.
159. Solución:
a. Cuando la población no es normal, si se extrae muestras pequeñas (n < 30), la distribución que se obtienen con todas ellas, conforman una distribución no normal, por el contrario, si las muestras son grandes (n > 30), se establece con ellas una distribución normal, aunque la población de origen de esas muestras no lo sea.
b. Son 4 condiciones de gran importancia: insesgado, consistente, eficiente y suficiente.
c. Es aquella, en que todas las muestras pueden ser escogidas conforme a un esquema de muestras especificado, es decir, que implique selección al azar, correspondiente a un número fijo de variables aleatorios independientes
EJERCICIOS MISCELÁNEOS
160. Solución:
1501 =n 000.775=x 000.20=xσ yx µµ =
1202 =n 000.780=y 000.20=yσ
70
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ( )04,2
49,449.2000.5
120000.20
150000.20
0000.780000.77522
−=−=+
−−=Z
( )4793,004,2 AZ →−=
%07,20207,04793,05000,0 ==−
( ) %07,2000.5 =−>− yxP
161. Solución:
100$5,1$.8,4 === nmillmill σµ ( ) ?1,5 =>xP
$.1,53,08,4$.3,0 millmillenexceda =+⇒
( )4773,025,11003,0
1005,1
8,41,5AZ ⇒==−=
%27,20227,04773,05000,0 ==−=A
( ) %27,21.5 =>xP
162. Solución:
64=n (a) Se detiene si es superior al punto crítico, pues se rebosa
71
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
5,2=σ (b) Se continua, en caso contrario, funcionamiento normal
( ) 65,1o64,14500,00500,05000,0 =⇒=−= ZA
5,40764
5,265,1
64
5,25,407
65,1 −=
→−= xx
56,407064,05,407 =+=x 56,407=x gramos
163. Solución:
( ) ?03,0400 =>−= PpPn
( ) ( )4332,05,102,003,0
4008,02,0
20,023,0AZ ⇒==−=
72
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( )4332,05,102,003,0
02,020,017,0
AZ ⇒−=−=−=
( ) %36,131336,04332,04332,01 ==+−=P
( ) %36,1303,0 =>−PpP
( ) %36,1323,017 =>> pP
164. Solución:
96,1%95380000.3000.10 =⇒==== ZPEN σ
( ) ( )( ) ( ) ≅
+= 222
22
000.396,1380000.10
000.396,1000.10n 234 Familias de clase media de la ciudad
165. Solución:
( ) 78,0362836600.301,0600.3 preliminar ===== pnN
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 609
22,078,096,103,0600.3
22,078,096,1600.322
2
=+
=n egresados
166. Solución:
a. Consiste en recolectar la mayor información en el menor costo posible
b. Es correcta la afirmación.
c. Prácticamente se puede decir, que es la diferencia que puede haber entre el valor del parámetro y el del estimador.
d. Se dice que es mejor, cuando la característica investigada en la muestra, tiene un alto grado de homogeneidad.
167. Solución:
73
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) ?13,0120
1610.0
120
1203,021 21
===== >− ppPpp
( ) ( ) ( ) ( ) 0
12087,013,0
1209,01,0
03,003,0 =+
−=Z
( )4332,05,104,006,0
04,003,003,0
AZ ⇒−=−=−−=
%68,565668,00668,05000,0 ==+=P
( ) %68,5603,021=>− ppP
168. Solución:
?2582,010 ==== xnσµ
( ) 28,14000,0 =⇒ZA
25
82,028,110
25
82,010
28,1 +=−= xx
21,1021,010 =+=x
21,10=x onzas
169. Solución:
2028 === nhorashoras σµ
a) 45,020
2 ==⇒= xmedialadeestándarerrorn
σσ
b) ( ) ?5,87 =≤≤ xP
74
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( )4868,022,245,01
45,087
AZ ⇒−=−=−=
( )3665,011,145,0
85,8AZ ⇒=−=
%33,858533,03665,04868,0 ==+=P
%33,85)5,87( =⟨⟨ xPc) ( ) ?9 =>xP
( )4868,022,245,01
45,089
AZ ⇒==−=
%32,10132,04868,05000,0 ==−=P
%32,1)9( =⟩xP
170. Solución:
( ) ?3010,0 27,0 === >pPnP
( ) ( )4990,010,3
309,01,0
10,027,0AZ ⇒=−=
%10,00010,04990,05000,0 ==−=P
( ) %10,027,0 =>pP
75
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
171. Solución:
907015,012,0 2121 ==== nnPP
a) ( ) ?03,021=>− ppP
03,015,012,021 −=−=−PP
( )( ) ( ) 09,1
055,006,0
9085,015,0
7008,012,0
03,003,0 ==+
−−=Z
)5000,0(0
0055,00
055,0)03,0(03,0
AZ
Z
⇒⟨
==−−−=
( )3621,009,1 AZ ⇒=
( ) %79,636379,05000,01379,03621,05000,0 ==+=−A
( ) %79,6303,021=>− ppP
b) ( ) ( ) ?2121 0 == >>− pppp PP
( ) ( )2088,055,0055,003,0
055,003,00
AZ ⇒==−−=
%12,292912,02088,05000,0 ==−=A
76
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.7 Distribuciones muestralesCiro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
( ) %12,29021=>− ppP
77
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Prueba de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007
8 Prueba de hipótesis
y límites de confianza
EJERCICIOS RESUELTOS
DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES (muestras grandes) 1. Solución:
82=x 15=σ 25=n 1) 86:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 15=σ 86: ≠µaH
4) ( )33,1
1520
1554
2515
8682 −=−=−=−=Z
Aceptamos que 86=µ ya que 33,1− se ubica en la zona de aceptación.
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Prueba de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007
2
2. Solución:
82=x 15=s 100=n 1) 86:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 15=s 86: ≠µaH
4) ( )67,2
1540
15104
10015
8682 −=−=−=−=Z
Rechazamos la hipótesis de que 86=µ ; por lo tanto aceptamos que 86≠µ ; al nivel del 5%. 3. Solución:
64=µ 8=σ 64=n 68=x 1) 64:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 8=σ 64: >µaH
4) ( )4
884
6486468 ==−=Z
Z = 4 Se ubica en la zona de rechazo (4 > 1,64) por lo tanto puede tenerse la certeza, con un nivel de significación del 5%, que los estudiantes de esta ciudad son superiores en inglés. 4. Solución:
100=n 3,27=x 1,6=s 05,0∝= 25=µ 1) 25:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 1,2=s 25: ≠µaH
4) 77,31,6
231001,6
253,27 ==−=Z
La distancia media requerida es diferente a 25 metros, al nivel del 5%.
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007
3
5. Solución:
80=µ 86=x 16=s 100=n 05,0∝= 1) 80:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 16=s 80: ≠µaH
4) 75,31660
100168086 ==−=Z
Se rechaza la hipótesis de que 80=µ y se acepta la alternativa de que 80≠µ . 6. Solución:
76=x 16=s 400=n 1) 74:0 =µH 2) 01,0∝= 3) 16=s 74: ≠µaH
4) ( )5,2
16202
400167476 ==−=Z
Se ubica en la zona de aceptación; aceptamos que
74=µ , al nivel del 1% 7. Solución:
5,23=x 2,3=σ 25=n 1) 22:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 2,3=σ 22: ≠µaH
4) 34,22,35,7
252,3225,23 ==−=Z
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Prueba de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007
4
Rechazamos la hipótesis de que 22=µ y aceptamos de que 22≠µ , al nivel del 5%. 8. Solución:
100=n 500.12=x 400.2=s 1) 000.12:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 400.2=s 000.12: >µaH
4) 083,2100400.2
000.12500.12 =−=Z
Rechazamos la hipótesis de que 000.12=µ , luego aceptamos que los autos se condujeron en un promedio superior durante ese año, al nivel del 5%. 9. Solución:
40=n 28,1=µ 08,1=x 5,0=s 1) 28,1:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 5,0=s 28,1: <µaH
4) ( )528,2
5,020,032,6
5,04020,0
405,028,108,1 −=−=−=−=Z
Rechazamos que 28,1=µ : Si hay razón para sostener que la disminución de la vida media de los zapatos se debe al uso en el desierto, al nivel 5%. 10. Solución:
9,15=µ 3,2=σ 64=n 15=x 2,2=s 1) 9,15:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 3,2=σ 9,15: <µaH
4) ( )13,3
3,289,0
643,2
9,1515 −=−=−=Z (Se trabaja con σ en vez de s)
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5
Se ubica en la región de rechazo; por lo tanto aceptamos que el nuevo proceso tiene un efecto significativamente negativo, respecto a la resistencia de las cuerdas, al nivel del 5%. 11. Solución:
5,5=µ 35=n 65,5=x 35,0=s %1∝= 1) 5,5:0 =µH 2) 01,0∝= 3) 35,0=s 5,5: ≠µaH
4) ( )54,2
35,092,515,0
3535,05,565,5 ==−=Z
No debe dudarse de lo sustentado por la compañía, al nivel de significación del 1%. 12. Solución:
200.23=µ 500.2=σ 40=n 200.22=x 1) 200.23:0 =µH 2) 01,0∝= 3) 500.2=σ 200.23: <µaH
4) ( )53,2
500.2330.6
500.233,6000.1
40500.2200.23200.22 −=−=−=−=Z
Se ubica en la región de rechazo, por lo tanto, se puede acusar a la compañía de pagar salarios inferiores, al nivel del 1%. 13. Solución:
000.81=µ 100=n 600.80=x 100.1=s 1) 000.81:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 100.1=s 000.81: ≠µaH
4) ( )64,3
100.110400
100100.1000.81600.80 −=−=−=Z
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6
Se rechaza la hipótesis de que 000.81=µ , es decir, que no podemos aceptar lo que dice el investigador, al nivel del 5%. 14. Solución:
8=µ 5,1=σ 36=n 33,8=x 1) 8:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 5,1=σ 8: ≠µaH
4) ( )32,1
50,198,1
5,1633,0
365,1833,8 ===−=Z
Aceptamos que el fabricante tiene razón, al nivel del 5%. 15. Solución:
14=µ 25=n 83,13=x 5,0=σ 05,0∝= 1) 14:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 5,0=σ 14: ≠µaH
4) ( )
7,15,0
517,0
25
5,01483,13 −=−=−=−=
n
xZ σ
µ
Al nivel del 5%, se puede aceptar lo ofrecido por la empresa de que el envase contiene 14 onzas de camarón. 16. Solución:
000.1=µ 100=σ 05,0∝= 100=n 985=x 1) 000.1:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 100=σ 000.1: <µaH
4) 5,1
100100
000.1985 −=−=−=
n
xZ σ
µ
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7
Se puede adquirir la bombilla de la nueva marca, ya que al nivel de 5% no se demuestra que su duración sea inferior a la marca anterior. 17. Solución:
40=µ 36=n 46=x 9=σ 1) 40:0 =µH 2) 05,0∝= 39 9=σ 40: >µaH
4) ( )0,4
966
369
4046 ==−=−=
n
xZ σ
µ
Sí es posible que se compren las lámparas, pues al nivel del 5%, se acepta que tiene una duración superior a las 40 horas. 18. Solución:
12=µ 60=n 15=x 5=s 1) 12:0 =µH 2) 01,0∝= 3) 5=s 12: >µaH
4) ( )65,4
575,73
605
1215 ==−=−=
ns
xZ
µ
Se puede concluir que la solución aumenta la productividad, al nivel del 1%. 19. Solución:
20=µ 8,20=x 5,1=s 36=n %1∝= 1) 20:0 =µH 2) 01,0∝= 3) 5,1=s 20: ≠µaH
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Prueba de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007
8
4) 2,35,18,4
365,1
208,20 ==−=−=
ns
xZ
µ
Se ubica en la región crítica y se rechaza la hipótesis nula de que 20=µ , es decir, que el fusible no cumple con las especificaciones. Al nivel del 1%. 20. Solución:
400=µ 395=x 20=s 64=n 05,0∝= 1) 400:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 20=s 400: ≠µaH
4) 220
40
64
20400395 −=−=−=−=
n
sx
Zµ
El proveedor no sostiene las especificaciones acordadas, al nivel del 5%. 21. Solución:
78=µ 6=σ 16=n 74=x 01,0∝= 1) 78:0 =µH 2) 01,0∝= 3) 6=σ 78: <µaH
4) 67,2616
166
7874 −=−=−=−=
n
xZ σ
µ
Sí se puede afirmar que este grupo fue inferior, ya que rechazamos la hipótesis nula, al nivel del 1%. 22. Solución:
200=n 6,3=µ 62,3=x 1) 6,3:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 21,0=s 6,3: ≠µaH
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9
4) 35,120021,0
6,362,3 =−=−=ns
xZ
µ
Z = 1,35 se ubica en la zona de aceptación, por lo tanto se puede afirmar que el resultado de la muestra se ajusta a las especificaciones de producción, al nivel del 5%. 23. Solución:
onzaslibra 161 ==µ 36=n onzasx 13= onzass 8= 05,0∝= a) 1) 16:0 =µH 2) 05.0∝= 3) 8=s 16: <µaH
4) 25,23681613 −=−=−=
ns
xZ
µ
( ) 65,164,14500,0 óZA =⇒
25,2−=Z Cae en la región crítica, por lo tanto, al nivel del 5% se puede afirmar que se está vendiendo un producto por debajo del peso, ya que aceptamos aH . b) Se está rechazando algo verdadero, por lo tanto se comete un error de tipo I y no de tipo II (aceptar algo falso). 24. Solución:
Minutos53=µ MinutosHorasHoras 706,016,135,135,1 22 =×==⇒= σσ
Artículosn 128= Minutosx 56= a) 1) 53:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 70,0=σ 53: >µaH
4) 48,0128705356 =−=Z
Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el producto requiere de un tiempo mayor de fabricación. Observar que Z = 0,48 cae en la ZA, con lo cual aceptamos0H . Unilateral derecha.
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Prueba de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007
10
b) Si el trabajo real es de 50 minutos, estamos cometiendo un error de tipo II, ya que estamos aceptando a 53=µ 25. Solución:
Kilos6,4=µ 34=n 1,4=x Kiloss 8,1= 1) 6,4:0 =µH 2) %1∝= 3) 8,1=s 6,4: <µaH
4) 62,1348,1
6,41,4 −=−=Z
62,1− cae en la región de aceptación. Al nivel del 1%,
no se debe creer lo anunciado por el gimnasio. Unilateral izquierda. 26. Solución:
.50Kmts=µ 35=n 8,43=x 15=s 1) 50:0 =µH 2) 02,0∝= 3) 15=s 50: <µaH
4) 4,23515508,43 −=−=Z
4,2− cae en la RC, por lo tanto aceptamos aH , es decir se puede afirmar que el
concesionario ha exagerado, al nivel del 2%. Unilateral izquierda. 27. Solución:
60=n añosx 24= 22=µ años8=σ 1) 22:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 8=σ 22: >µaH
4) 94,16082224 =−=Z
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Como 1,94 cae en la RC, al nivel del 5%, se puede aceptar aH , es decir, se acepta la afirmación del ejecutivo. Unilateral derecha. 28. Solución:
horas8=µ 20=n horasmediayhorasx 5,88 == horasutosyhora 75,1min451 ==σ
1) 8:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 75,1=σ 8: >µaH
( ) 65,1o64,14500,0 =⇒ ZA
28,12075,10,85,8 =−=Z
Cae (1,28) en la zona de aceptación. Se acepta 0H , es decir, que al nivel del 5%, no se acepta la aseveración. Unilateral derecha. 29. Solución:
libras650=µ 40=n librasx 700= 84,113960.122 =⇒= ss
= 2960.122 librasS
1) 650:0 =µH 01,0∝= 3) 84,113=s 650: >µaH
4) 78,24084,113
650700 =−=Z
Observemos que 2,78 cae en la RC, por lo tanto, al nivel del 1%, estamos aceptando aH , es decir, que la solución aumenta la producción de nitrato. Unilateral derecha.
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30. Solución:
100=n 40100000.4 ==x 95,999
100900.92 =⇒== ss
= 22
99 añosS
a) 1) 43:0 =µH 2) 05,0∝= 3) 95,9=s 43: ≠µaH
4) 02,310095,94340 −=−=Z
El valor de 02,3− cae en la RC; por lo tanto al nivel del 5% se puede afirmar que la edad promedio de los profesores es diferente a 43 años. Prueba unilateral.
b) Si el promedio verdadero, se conoce (39 años), no se comete ERROR, pues estamos rechazando que sea de 43 años, (rechazamos algo falso). 31. Solución:
78=µ 35=n 82=x 21=s 1) 78:0 =µH 2) 01,0∝= 3) 21=s 78: >µaH 4) ( ) 33,24900,0 =⇒ ZA
13,135217882 =−=Z
Observamos que 13,1 cae en la región de aceptación, es decir, aceptamos 78:0 =µH , con lo cual al nivel del 1% no podemos concluir que sea un curso superior. Unilateral derecha.
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DISTRIBUCIONES PROPORCIONALES 32. Solución:
14,0=P 13,036048 ==p 87,013,01 =−=q
( )( )
0177,000031,03601131,0
36087,013,0 ====ps
1) 14,0:0 =PH 2) 05,0∝= 3) 0177,0=ps
14,0: <PHa
4) 56,00177,0
01,00177,0
14,013,0 −=−=−=Z
Se acepta 14,0=P , el proveedor no tiene razón, es decir, que el nuevo producto no reduce la fracción de defectuosos, al nivel del 5%. 33. Solución:
50,0== pP µ 400=n 45,0400180 ==p 05,0∝=
1) ( )50,050,0:0 == póPH µ 2) 05,0∝= 3) npq
sp =
( )50,050,0: ≠≠ pa óPH µ
4) ( )( ) 00,2025,0
05,0
40055,045,050,045,0 −=−=−=−=
npq
PpZ
No es correcta la estimación hecha por el fabricante, al nivel del 5%.
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34. Solución:
80,0== Ppµ 400=n 75,0400300 ==p 01,0∝=
1) 80,0:0 =PH 2) 01,0∝= 80,0: <PHa
4) ( )( ) 27,2022,0
05,0
40025,075,080,075,0 −=−=−=−=
npq
Ppz
Este resultado sí puede ser considerado como evidencia de que la prueba estuvo bien elaborada, al nivel del 1%. 35. Solución:
10,0== Ppµ 075,0403 ==p 05,0∝= 40=n
1) 10,0:0 =pH µ 2) 05,0∝= 3) npq
sp =
10,0: <paH µ
4) ( )( ) 60,004164,0
025,0
40925,0075,010,0075,0 −=−=−=−=
npq
Ppz
Se puede comprar la máquina, ya que aceptamos la hipótesis nula ( 10,0=P ), al nivel del 5%.
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36. Solución:
20,0== Ppµ 18,0509 ==p 50=n 05,0∝=
1) 20,0:0 =PH 2) 05,0∝= 3) ( )054,0
5082,018,0 ==
ps
20,0: <PHa
4) 37,0054,0
02,0054,0
20,018,0 −=−=−=−=psPp
z
Al nivel del 5%, no se puede concluir que la nueva técnica es mejor y que disminuye la mortalidad post-operatoria. 37. Solución:
80,0=P 400=n 75,0400300 ==p
1) 80,0: =PHO 2) 01,0∝= 3) pqsp =
80,0: <PHa
4) ( ) 31,2
40025,075,080,075,0 −=−=z
El 31,2− cae en la ZA, al nivel del 1%, se puede afirmar que el tratamiento si estuvo bien administrado. Unilateral izquierda.
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38. Solución:
50=n 10,0505 ==p %12=P
1) 12,0:0 =PH 2) 05,0∝= 3) pqsp =
12,0: <PHa
4) ( ) 47,0
509,01,012,010,0 −=−=z
Vemos que 47,0− cae en la ZA. Aceptamos 0H al nivel del 5%. El gerente no exagera el porcentaje. Unilateral izquierda. 39. Solución:
14,0507 ==P 100=n %10
10010 ==p
1) 14,0:0 =PH 2) 05,0∝= 3) pqsp =
14,0: <PHa
4) ( ) 33,1
1009,01,014,010,0 −=−=Z
Como 33,1− cae en la ZA, al nivel del 5% aceptamos 0H , por lo tanto el número de compradores al medio día no es inferior al anotado por el gerente. Unilateral izquierda.
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40. Solución:
225=n 11,022525 ==p 15,0=P 05,0∝=
1) 15,0:0 =PH 2) 05,0∝= 3) pqsp =
15,0: <PHa
4) ( ) 92,1
22589,011,015,011,0 −=−=Z
( ) 65,1ó64,14500,00500,05000,0 ⇒=−=A
Como 92,1− cae en la Región Crítica aH , es decir, que al nivel del 5% se puede concluir, que menos del 15% de las familias tenían perro. 41. Solución:
02,0=P 400=n 04,040015 ≅=p
1) 02,0:0 =PH 2) 05,0∝= 3) pqsp =
02,0: ⟩PHa
4) ( ) 04,2
40096,004,002,004,0 =−=Z
Se tiene que 2,04 cae en la Región Crítica, estamos aceptando aH , y rechazamos la afirmación del proveedor, al nivel del 5%. Prueba unilateral derecha.
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42. Solución:
25,0=P 36=n 22,0368 ==p 05,0=∝
1) 25,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) pqsp = ( ) 65,164,14500,0 ózA =⇒
25,0: <PHa
4) ( ) 43,0
3678,022,025,022,0 −=−=Z
Se observa que 43,0− cae en la Región de Aceptación. Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el porcentaje es inferior. Unilateral izquierdo. 43. Solución:
90,0=P 650=n 88,0650570==p %1%99 =∝⇒=P
1) 90,0:0 =PH 2) 01,0=∝ 3) pqsp =
90,0: <PHa
4) ( )
57,1
65012,088,090,088,0 −=−=Z
Al nivel del 1%, no se puede concluir que la popularidad del proyecto ha sido exagerada. Unilateral izquierda.
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44. Solución:
%52=P 100=n 48,010048 ==p 10,0=∝
1) 52,0:0 =PH 2) 10,0=∝ 3) pqsp =
52,0: <PHa
4) ( )
80,0
10052,048,052,048,0 −=−=Z
Observemos que .28,1−=Z Al nivel del 10%, es válida la afirmación. Unilateral izquierda. 45. Solución:
15,0=P 300=n 18,030054 ==p
1) 15,0:0 =PH 2) %1=∝ 3) pqsp =
15,0: ≠PHa
4) ( )
35,1
30082,018,015,018,0 =−=Z
Al nivel del 1%, es válida la afirmación. Prueba bilateral.
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DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRA LES 46. Solución:
1001 =n 902 =n 107=x 103=y 17=xs 16=ys
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 3947,284,289,290256
100289 =+=+=− yxs
yxaH µµ ≠:
4) 67,13947,2
103107 =−=Z
Al nivel del 5%, no existe diferencia significativa entre las medias de los dos productos. 47. Solución:
461 =n 070.1=x 52,45646000.212 ==xs horas2
642 =n 041.1=y 5,36264200.232 ==ys horas2
1) yxH µµ =:0 2) 01,0=∝
yxaH µµ ≠:
3) 9482,358,1564
5,36246
52,456 ==+=− yxs
4) 34,795,3
299482,3
041.1070.1 ==−=Z
Rechazamos la hipótesis de que yx µµ = ; se acepta que la diferencia es significativa, al
nivel del 1%.
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48. Solución:
1) yxH µµ =:0 2) 01,0=∝ 3) 2
2
1
2
n
s
ns
s yxyx
+=−
yxaH µµ <:
4) 38,3
60000.41
46000.32
000.842000.81822
−=+
−=Z
Sí existe una diferencia significativa, que permite concluir que los salarios en B son superiores a los de A, al nivel del 1%. 49. Solución:
441 =n 6,15=x 80,344
52,1672 ==xs cms2
362 =n 1,14=y 44,436
89,1592 ==ys cms2
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ ≠:
3) 4579,03644,4
448,3 =+=− yxs
4) 28,34579,0
5,14579,0
1,146,15 ==−=Z
Rechazamos la hipótesis de que yx µµ = ; aceptamos que existe diferencia entre ambas
medias, al nivel del 5%.
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50. Solución:
000.51 =x 900.4100
000.4902 ==x (cientos de $)
000.2000.000.25000.002.25000.5100
000.200.500.2 221 =−=−=s
000.1000.010.24000.011.24900.4000.011.24 22
2 =−=−=s
020.1$000.120)000.5(2,020 =+=+=iy (cientos de $)
( ) 010.1490520900.41,05202 =+=+=y (cientos de $)
( ) ( ) 80000.204,004,0 21
21
=== ssy (cientos de pesos2)
( ) 10000.101.02
2==ys (cientos de pesos2)
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ >:
3) 9487,010010
10080 =+=− yxs
4) 54,109487,010
9487,0010.1020.1 ==−=Z
Se rechaza que yx µµ = ; por lo tanto, se puede aceptar, con un nivel de significación del
5%, que el ahorro promedio de la Cía. A es mayor que el de la Cía. B.
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PRUEBA DE HIPÓTESIS DE DISTRIBUCIONES DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES 51. Solución:
70,0=xσ 86,0=yσ 32,3=x %5=∝ 86,0 ; 50,370,0 ; 32,3
22
11
====
σσ
x
x
201 =n 282 =n 50,3=y 1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 86,0=yσ
yxaH µµ <: 70,0=xσ
( ) 65,1ó64,14500,0 =⇒= ZA
4) 80,0
2886,0
207,0
50,332,322
−=+
−=Z
Al nivel del 5%, no se debe aceptar lo que generalmente se dice, que el rendimiento de A es inferior a B. Unilateral izquierdo. * Se trabaja con ,302y1 ≤nn dado que se dan las desviaciones típicas poblacionales.
52. Solución:
361 =n $95 milx = $15 milsx = %5=∝ 402 =n $110mily = $18 milsy =
1) 0:0 =− yxH µµ 2) 05,0=∝ 3) 15=xs 18 ; 11015 ; 95
22
11
====
Sx
Sx
0: ≠− yxaH µµ 18=ys
4) 96,3
4018
3615
1109522
−=+
−=Z
Al nivel del 5%, se puede afirmar que existen diferencias en el comportamiento de estos planes. Prueba bilateral.
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* Se trabaja con las desviaciones típicas muestrales, dado que 302y1 >nn
53. Solución:
801 =n 3,94=x 14=xs 05,0=∝ 211
210
µµµµ
⟩===
H
H
602 =n 7,89=y 17=ys
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 14=xs
yxaH µµ >: 17=ys
( ) 65,1ó64,14500,0 ⇒A
4) 71,1
6017
8014
7,893,9422
=+
−=Z
Al nivel del 5%, se puede afirmar un mayor rendimiento en el turno diurno. Unilateral derecha. 54. Solución:
401 =n 310=x 20=xs 10,0=∝ 342 =n 292=y 26=ys
1) yxH µµ =:0 2) 10,0=∝ 3) 20=xs
yxaH µµ >: 26=ys
4) 29,3
3426
4020
29231022
=+
−=Z
Al nivel del 10%, se puede aceptar el aumento en las ventas. Unilateral derecha.
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55. Solución:
361 =n 000.86=x 200.6=xs %1=∝ 322 =n 000.80=y 800.4=ys
1) yxH µµ =:0 2) %1=∝ 3) 200.6=xs
yxaH µµ >: 800.4=ys
4) 49,4
32800.4
36200.6
000.80000.8622
=+
−=Z
Al nivel del 1%, se puede aceptar la afirmación del mayor precio al que se vende el producto conocido con respecto a la nueva marca. Unilateral derecha. 56. Solución:
461 =n 10=x 4,2=xs 05,0=∝ 352 =n 12=y 0,3=ys
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 4,2=xs
yxaH µµ ≠: 0,3=ys
4) 23,3
350,3
464,2
121022
−=+
−=Z
Al nivel del 5%, se puede decir que si hay una diferencia significativa, en los resultados. Prueba bilateral. 57. Solución:
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821 =n 5082100.4 ==x 59,94150
82210.282 22 =−=xs
412 =n 27,5441225.2 ==y 82,256.227,54
41
284.213 22 =−=ys
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 59,9412 =xs
yxaH µµ <: 82,256.22 =ys
( ) 65,1ó64,14500,0 =⇒ ZA
4) 52,0
41
82,256.2
82
59,941
27,5450 −=+
−=Z
Al nivel del 5%, no se puede concluir que la segunda variable, sea superior a la primera. Unilateral izquierda. DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES M UESTRALES 58. Solución:
75,04030
1 ==p 55,04022
2 ==p
1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa >
4) ( ) ( )
92,1
4045,055,0
4025,075,0
55,075,0
2
22
1
11
21 =+
−=+
−=
nqp
nqp
ppZ
Z = 1,92 se ubica en la región crítica, luego rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa. Se dirá que, al nivel del 5%, se puede aceptar la información de que el equipo debe ganar más partidos cuando juega de local y no como visitante.
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59. Solución:
2001 =n 64,0200128
1 ==p 05,0=∝
1502 =n 71,0150106
2 ==p
1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111
qpsp =
21: PPHa ≠ 222qpsp =
4) ( ) ( )
39,1
15029,071,0
20036,064,0
71,064,0 −=+
−=Z
Al nivel del 5%, se puede concluir que no hay diferencia en cuanto a los hábitos de tomar café. Prueba bilateral. 60. Solución:
601 =n 20,06012
1 ==p 05,0=∝
602 =n 17,06010
2 ==p
1) 21:
0PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111
qpsp =
21: PPHa ≠ 222qpsp =
4) ( ) ( )
42,0
6083,017,0
608,02,0
17,020,0 =+
−=Z
Al nivel del 5%, se puede concluir que el estado civil no influye en el rendimiento. Prueba bilateral.
2
22
1
11
21
nqp
nqp
ppZ
+
−=
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61. Solución:
401 =n 18,0407
1 ==p %10=∝
502 =n 24,05012
2 ==p
1) 210 : PPH = 2) 10,0=∝ 3) 111
qpsp =
21: PPHa < 222qpsp =
4) ( ) ( )
70,0
5076,024,0
4082,018,0
24,018,0 −=+
−=Z
Los anteriores resultados no le dan la razón al jefe de personal, al nivel del 10%. Unilateral izquierda. 62. Solución:
501 =n 76,05038
1 ==p 05,0=∝
702 =n 71,07050
2 ==p
1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111
qpsp =
21: PPHa > 222qpsp =
4) ( ) ( )
62,0
7029,071,0
5024,076,0
71,076,0 =+
−=Z
Estos resultados, al nivel del 5%, no confirman la afirmación del distribuidor. Unilateral derecha.
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63. Solución:
401 =n 65,04026
1 ==p 05,0=∝
402 =n 75,04030
2 ==p
1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111
qpsp =
21: PPHa ≠ 222qpsp =
4) ( ) ( )
98.0
4025,075,0
4035,065,0
75,065.0 −=+
−=Z
Al nivel del 5%, se puede concluir que la proporción de aceptación es igual sin importar el sexo. Prueba bilateral. 64. Solución:
5001 =n 75,0500375
1 ==p 05,0=∝
5002 =n 65,0500325
2 ==p
1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111
qpsp =
21: PPHa > 222qpsp =
( ) 65,1ó64,14500,0 =⇒= ZA
4) ( ) ( )
47,3
50035,065,0
50025,075,0
65,075,0 =+
−=Z
Al nivel del 5%, si puede concluir que la aplicación de la droga A es mejor que la B. Unilateral derecha.
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65. Solución:
1001 =n %641 =p %1=∝ 1002 =n %702 =p
1) 210 : PPH = 2) 01,0=∝ 3) 111
qpsp =
21: PPHa < 222qpsp =
4) ( ) ( )
90,0
1003,07,0
10036,064,0
70,064,0 −=+
−=Z
No hay efectividad en las reformas introducidas al nivel del 1%. Unilateral izquierda. 66. Solución:
1001 =n %81008
1 ==p 05,0=∝
1002 =n %61006
2 ==p
1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111
qpsp =
21: PPHa ≠ 222qpsp =
4) ( ) ( )
55,0
10094,006,0
10092,008,0
06,008,0 =+
−=Z
Al nivel del 5%, se puede decir que no hay ninguna diferencia. Prueba bilateral.
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67. Solución:
1301 =n 62,013080
1 ==p 05,0=∝
1002 =n 96,010096
2 ==p
1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3)
11 1qpsp =
21: PPHa < 222qpsp =
( ) 65,1ó64,14500,0 =⇒= ZA
4) ( ) ( ) 25,7
10004,096,0
13038,062,0
96,062,0 −=+
−=Z
Si se puede dar apoyo a la tesis del sociólogo, al nivel del 5%. Unilateral izquierda. 68. Solución:
1001 =n %4210042
1 ==p 01,0=∝
1002 =n %6110061
2 ==p
1) 210 : PPH = 2) 01,0=∝ 3) 111
qpsp =
21: PPHa < 222qpsp =
4) ( ) ( )
88,2
100
39,061,0
100
58,042,0
61,042,0 −=+
−=Z
Al nivel del 1%, si se puede aceptar la afirmación hecha por el líder sindical. Unilateral izquierda.
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69. Solución:
501 =n 74,05037
1 ==p 05,0=∝
502 =n 46,05023
2 ==p
1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111
qpsp =
21: PPHa > 222qpsp =
( ) 65,1ó64,14500,0 ⇒=A
4) ( ) ( )
98,2
5054,046,0
5026,074,0
46,074,0 =+
−=Z
Sí influye utilizar una modelo al nivel del 5%. Unilateral derecha. 70. Solución:
1201 =n 10,012012
1 ==p 05,0=∝
1202 =n 13,012016
2 ==p
1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111
qpsp =
21: PPHa < 222qpsp =
4) ( ) ( )
73,0
12087,013,0
1209,010,0
13,010,0 −=+
−=Z
Al nivel del 5%, no hay razón para hacer dicha afirmación, no es mayor. Unilateral izquierda.
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71. Solución:
1201 =n 25,01 =p 05,0=∝ 1502 =n 15,02 =p
1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 3) 111
qpsp =
21: PPHa ≠ 222qpsp =
4) ( ) ( )
04,2
15085,015,0
12075,025,0
15,025,0 =+
−=Z
Al nivel del 5%, se puede aceptar dicha afirmación. Si es diferente. DISTRIBUCIÓN “t” DE STUDENT DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES (muestras pequeñas) 72. Solución:
29=n 000.808=x 000.16ˆ =s 1) 000.800:0 =µH 2) %5=∝ 3) 000.16ˆ =s 000.800: ≠µaH
4) 64,2000.16
28000.828000.16
000.800000.808 ==−=t
Se rechaza la hipótesis de que 000.500=µ , por lo tanto aceptamos que el verdadero ingreso medio por familias en la ciudad es diferente de $800.000, al nivel del 5%. NOTA: Observe que se toma el nivel del 5%, a lado y lado de la RC.
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73. Solución:
10=µ 16=n 4,10=x 5,0ˆ =s 05,0=∝
15116 =−=v 15=υ 7530,1=t 1) 10:0 =µH 2) %5=∝ 3) 5,0ˆ =s 10: >µaH
4) ( ) 10,35,087,34,0
5,0154,0
155,0
104,10 ===−=t
Al nivel del 5%, se puede concluir que el sedal de la marca G, ofrece garantía de resistencia superior a 10 libras. Unilateral a la derecha. NOTA: Por ser unilateral se toma el doble del nivel de significación en la RC. 74. Solución:
1=µ 05,0=∝ 5=n 2,21 =∑=nx
x ( )64,1
1
21 =−−∑=
nxx
s
1318,2=t 4=υ
1) 1:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 64,1=s 1: >µaH (corregida)
4) 64,1
564,1
12,2 =−=t
Se acepta la hipótesis nula, se puede contratar a la aspirante, al nivel del 5%. * En las pruebas unilaterales, en la región crítica, se toma el doble del nivel de significación.
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75. Solución:
5,0=µ 12=n 05,0=∝ 11112 =−=υ 2010,2=t
1=∑=nxx ( )
95,01
2
=−−∑=
nxx
s
1) 5,0:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 95,0=s 5,0: ≠µaH
4) 82,1
1295,0
5,01 =−=−=
n
sx
tµ
Se acepta la hipótesis nula; puede considerarse que el promedio de nacimiento de mellizos por mes, es de 0,5 al nivel del 5%. 76. Solución:
5=n 05,0=∝ 2=µ 4=υ 1318,2−=t
2,156 ==∑=
nx
x i ( )84,0
1
2
=−−∑=
nxx
s i
1) 2:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 84,0=s 2: <µaH
4) 13,284,079,1
584,0
22,1 −=−=−=−=
n
sx
tµ
Se ubica 13,2− en la zona de aceptación, por lo tanto al nivel del 5%, no debería desconectar el teléfono. También por la cercanía al punto crítico ( 1318,2− ) se podría no tomar ninguna decisión, es decir, omitir juicio.
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77. Solución:
7=µ 16=n 8,5=x 6,1ˆ =s 05,0=∝ 1) 7:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 6,1ˆ =s 7: ≠µaH 4) 151=−= nυ
5) 1ˆ −
−=ns
xt
µ 90,21166,1
78,5 −=−
−=t
Al nivel del 5%, se puede concluir que la máquina no funciona correctamente. Prueba bilateral. 78. Solución:
82=µ 20=n 75=x 9ˆ =s 05,0=∝ 1) 82:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 9ˆ =s 4) 191=−= nυ 82: ≠µaH
5) 39,31209
8275 =−
−=t
La diferencia es significativa, el nivel del 5%. Prueba bilateral. 79. Solución:
78=µ 25=n 82=x 21ˆ =s 01,0=∝ 1) 78:0 =µH 2) 01,0=∝ 3) 21ˆ =s 4) 241=−= nυ 78: >µaH
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5) 93,024217882 =−=t
No se puede afirmar al nivel del 1% , que el carro sea superior. Unilateral derecha. 80. Solución:
380=µ 25=n 360=x 40ˆ =s %1=∝ 1) 380:0 =µH 2) 01,0=∝ 3) 40ˆ =s 4) 241=−= nυ 380: <µaH
5) 45,22440380360 −=−=t
No se puede admitir la afirmación de que el porcentaje es inferior al solicitado, al nivel del 1%. Unilateral izquierda. 81. Solución:
250.18=µ 30=n 500.19=x 000.3ˆ =s %5=∝ 1) 250.18:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 000.3ˆ =s 4) 291=−= nυ 000.18: >µaH
5) 24,229000.3250.18500.19 =−=t
Se observa que 2,24 cae en la región crítica. Al nivel del 5%, se acepta la afirmación de la asociación, ya que el sindicato subestima el salario medio por día. Unilateral derecha.
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82. Solución:
meses10,8=µ 25=n mesesx 5,7= 54,3ˆ5,12ˆ2 =⇒= ss 1) 10,8:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 54,3ˆ =s 4) 241=−= nυ 10,8: <µaH
5) 83,02454,310,85,7 −=−=Z
La duración de las botas, no es inferior al señalado por el gerente de la empresa, al nivel del 5%. Unilateral izquierda. 83. Solución:
200=µ 15=n 210=x 11ˆ =s %1=∝ 1) 200:0 =µH 2) 01,0=∝ 3) 11ˆ =s 200: >µaH 4) 141=−= nυ
5) 40,31411200210 =−=t
Es una prueba suficiente para concluir que el tiempo medio aumenta, al nivel del 1%. Unilateral derecha.
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84. Solución:
12=n 160=µ 92,16112943.1 ==x 75,28
11212943.112699.323
2
=−
−
=s
1) 160:0 =µH 2) 01,0=∝ 3) ( )corregidas 75,28= 4) 11=υ 160: >µaH
5) 23,01275,2816092,161 =−=t
Estos datos no nos permiten concluir que la media poblacional sea superior a 160, al nivel del 1%. Unilateral derecha. 85. Solución:
12=µ 9=n 39,399
5,354 ==x 23,419
95,354925,106.14
2
=−
−
=s
1) 42:0 =µH 2) 01,0=∝ 3) ( )corregidos 23,4= 4) 81=−= nυ 42: <µaH
5) 85,1923,4
4239,39 −=−=t
No se puede rechazar la afirmación del fabricante, pues no esta exagerando, al nivel 1%. Unilateral izquierda.
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86. Solución:
48=µ 6=n 416
246==x 85,2016
62466260.12
2
=−
−
=s
1) 48:0 =µH 2) 05.0=∝ 3) ( )corregidos 85,20= 5=υ 48: ≠µaH
5) 82,0685,20
4841 −=−=t
No se debe rechazar la afirmación del fabricante, al nivel del 5%. Prueba bilateral. PRUEBA DE HIPÓTESIS DE DISTRIBUCIONES PROPORCIONALES 87. Solución:
%30=P 20=n 05,0=∝ 40,0208 ==p
1) 30,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) pqsp = 30,0: >PHa
19120 =−=υ
1−
−=
npq
Ppt
( )89,0
1206,04,030,040,0 =
−
−=t
Al nivel de 5% no se justifica afirmar que el procentaje de ahorradores, tienen un saldo superior al señalado por el gerente. Unilateral derecha.
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88. Solución:
%3=P 28=n 07,0282 ==p 05,0=∝
1) 03,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) pqsp = 4) 27128 =−=υ
03,0: ≠PHa
5) ( )
81,0
12893,007,003,007,0 =
−
−=t
Al nivel del 5%, se justifica afirmar que el fabricante cumple con lo prometido. Prueba bilateral. 89. Solución:
70,0=P 30=n 63,03019 ==p 05,0=∝
1) 70,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) pqsp = 4) 29130 =−=υ
70,0: <PHa
5) ( )
78,0
13037,063,070,063,0 −=
−
−=t
El encargado del negocio no exagera el porcentaje, al nivel del 5%. Prueba unilateral izquierda.
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90. Solución:
86,0=P 18=n 89,01816 ==p %1=∝
1) 86,0:0 =PH 2) 01,0=∝ 3) pqsp = 17118 =−=υ
86,0: >PH a
( )40,0
11811,089,086,089,0 =
−
−=t
El equipo no es mucho más efectivo que el señalado por el fabricante, al nivel del 1%. Unilateral derecha. 91. Solución:
30,0=P 25=n 28,0257 ==p 05,0=∝
1) 30,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) pqsP = 4) 24125 =−=υ
30,0: ≠PHa
5) ( )
22,0
12572,028,030,028,0 −=
−
−=t
Se puede justificar ésta crítica, al nivel del 5%. Prueba bilateral.
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92. Solución:
%70=P 30=n 60,03018 ==p 05,0=∝
1) 70,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) pqsP = 29130 =−=υ
70,0: <PHa
( )10,1
1304,06,07,06,0 −=
−
−=t
No se puede asegurar que el porcentaje de efectividad sea inferior, al nivel del 5%. Unilateral izquierda. 93. Solución:
30,0=P 20=n 45,0209 ==p %10=∝
1) 30,0:0 =PH 2) 10,0=∝ 3) pqsP = 19120 =−=υ
30,0: >PHa
( )31,1
12055,045,030,045,0 =
−
−=t
El porcentaje no es superior al señalado por la oficina, al nivel del 10%. Unilateral derecha.
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94. Solución:
%25=P 25=n 32,0258 ==p %1=∝
1) 25,0:0 =PH 2) 01,0=∝ 3) pqsP = 24125 =−=υ
25,0: >PHa
( )74,0
12568,032,025,032,0 =
−
−=t
La nueva técnica no constituye un progreso en la reducción de la mortalidad post-operatoria, al nivel del 1%. Unilateral derecha. DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRA LES 95. Solución:
581 =x 521 =s 151 =n 05,0=∝
211
210
::
µµµµ
≠=
H
H
632 =x 822 =s 152 =n
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 2821515 =−+=υ 0484,2=t
yxaH µµ ≠:
3) ( ) ( )93,0
151
151
2151581155115 =+
−+−+−=− yxs
4) 38,593,05
93,06358 −=−=−=t
Se ubica en la región de rechazo, por tanto aceptamos que yx µµ ≠ , o sea que existe
diferencia entre los coeficientes de digestibilidad de los ovinos y bovinos, al nivel del 5%.
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45
96. Solución:
5,24
10 ==x 0,36
18 ==y 6 4 21 == nn
( ) ( )
221
222
−+−Σ+−Σ=
nn
yyxxs ii 56,0
26450,222 =−+
+=s
2
2
1
2
ns
nss yx +=− 48,0
656,0
456,0 =+=− yxs
1) yxH µµ =:0 2) 10,0=∝ 3) 48,0=− yxs
yxaH µµ ≠:
4) 04,148,0
0,35,2 −=−=t
Se ubica en la región de aceptación. Se puede concluir que los procesos no dan resultados diferentes, al nivel del 5%. Prueba bilateral
ix iy xxi − ( )2xxi − yyi − ( )2yyi − 1,5 2,5 -1,0 1 -0,5 0,25 2,5 3,0 0 0 0 0 3,5 3,0 1,0 1 0 0 2,5 4,0 0 0 1,0 1,00
3,5 0,5 0,25 2,0 -1,0 1,00
10,0 18,0 0 2 0 2,50
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97. Solución:
1435
715==x
1385
690==y
1018
808255
5342742 ==−+
+=s
36,64,405
2025
1015
101 ===+=− yxs
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 36,6=− yxs
yxaH µµ >:
4) 79,036,65
36,6138143 ==−=t
Se puede concluir que el nuevo método no ha aumentado la resistencia a la comprensión, al nivel del 5%. Unilateral a la derecha. 98. Solución:
121 =n 72 =n 120=x 101=y 45,457112
032.52 =−
=xs 33,42517
552.22 =−
=ys
( ) ( )
48,127
1
12
1
2712
33,4251745,457112 =+−+
−+−=− yxs 17=υ 1098,2=t
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 48,12=− yxs
yxaH µµ ≠:
4) 52,148,12
1948,12101120 ==−=t
ix iy xxi − ( )2xxi − yyi − ( )2yyi − 154 144 11 121 6 36 143 131 0 0 -7 49 132 155 -11 121 17 289 147 126 4 16 -12 144 139 134 -4 16 -4 16 715 690 0 274 0 534
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47
Estos datos no nos indican que exista una diferencia significativa entre las ganancias medias en peso, al nivel del 5%. Bilateral 99. Solución: iy : $ 338 393 416 363 375 420 447 412 510 436 476 380 miles
( )milesny
y i 833,41312966.4 ==∑= ( )milesx 428=
( ) ( )2
2
2
222 25,382.2
112
83,41312268.081.2
1pesosdemiles
n
ynys i
y =−
−=−−∑
= ( )milessx 80=
( ) ( )90,23
121
171
212178011225,382.2117 2
=+−+
−+−=− yxs
27=υ 052,2=t 05,0=∝
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 90,23=− yxs
yxaH µµ ≠:
4) 59,090,23
833,413428 =−=t
Se ubica en la región de aceptación. Se puede concluir que no existe diferencia en los salarios de los empleados de las dos empresas, al nivel del 5%.
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48
100. Solución:
74,125
7,63 ==x
02,137
2,91 ==y
22,010
2268,2
10
9948,02320,12 ==+=s
27,0722,0
522,0 =+=− yxs 10=υ 2281,2=t
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 27,0=− yxs
yxaH µµ ≠:
4) 04,127,028,0
27,002,1374,12 −=−=−=t
La diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Prueba bilateral. 101. Solución:
151 =n 152 =n 131=x 136=y 25,6=xs 65,4=ys
2821515 =−+=υ 10,0=∝ 7011,1−=t 211
210
::
µµµµ
⟨=
H
H
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ <:
3) ( ) ( ) ( ) 01,2365,051,5
15
1
15
1
21515
62,2111506,39115==+
−+−+−
=− yxs
ix iy ( )2xxi − ( )2yyi − 12,6 13,1 0,0196 0,0064 13,4 13,4 0,4356 0,1444 11,9 12,8 0,7056 0,0484 12,8 13,5 0,0036 0,2304 13,0 13,3 0,0676 0,0784
12,7 0,1024 12,4 0,3844
63,7 91,2 1,2320 0,9948
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49
4) 49,201,25
01,2136131 −=−=−=t
Los anteriores resultados sí indican que la segunda calidad de tela es superior, al nivel del 5%. 102. Solución:
2510250==x ( )
28,27110
2510500.6 22 =
−−=xs
8022
2
=∑
n
yi ( ) 000.18801522 ==∑ iy 2
15000.1835 y−= 165.12 =y 13,34=y
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ ≠:
3) ( ) ( )32,2
151
101
2253511578,27110 =+
−−+−=− yxs
4) 94,332,213,9
32,213,3425 −=−=−=t
221 −+= nnυ 05,0=∝
2321510 =−+=υ 0687,2=t
Se ubica en la región crítica, por lo tanto, se acepta que no le es indiferente comprar la maquinaria, ya que las diferencias presentadas son significativas, al nivel del 5%. 103. Solución:
800.2200.41616000.25000.26 21 ====== yx ssnnyx
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) ( ) ( )94,261.1
161
161
21616000.840.715000.640.1715 =+
−++=− yxs
yxaH µµ >:
4) 79,094,261.1
000.25000.26 =−=−=− yxs
yxt
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50
3021616 =−+=υ 6973,1=t No existe evidencia, al nivel del 5%, de que la marca A sea superior a B. Prueba unilateral derecha. 104. Solución:
05,030,024,04,75,71220 21 =∝====== yx ssyxnn
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ ≠: 30=υ
3) ( ) ( )
2121
22
21 11
2
11
nnnn
snsns yx
yx +−+
−+−=−
4) ( ) ( )
04,1
121
201
2122009,0110576,019
4,75,7 =+
−++
−=−=− yxs
yxt
Se acepta la hipótesis nula; la diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Bilateral 105. Solución:
613367.3473,5511
638286.375805,0112
2
21
=∑=∑==
=∑=∑==∝=
ii
ii
yyyn
xxxn
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ >:
( ) ( )
21
22
2
nnyyxx
s i
+−∑+−∑
=
3) ( )[ ] ( )[ ]24,24
2111173,5511367.345811286.37 22
2 =−+−+−=s
4) 20221 =−+= nnυ
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51
2
2
1
2
ns
ns
yxt
+
−= 08,1
1124,24
1124,24
73,5558 =+
−=t
Al nivel del 5%, no se puede concluir que la proteína de maní tostado tiene un menor efecto que el crudo, al nivel del 5%. Unilateral derecha. 106. Solución:
1001010714
05,064112162
2
21
====
=∝===
yy
x
ssyn
sxn
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ ≠:
28221 =−+= nnυ
4) ( ) ( )
52,1
141
161
2141610011464116
107112 =+
−+−+−
−=t
No existe una diferencia que se considere significativa entre el coeficiente de inteligencia según la jornada, al nivel del 5%. Prueba bilateral. 107. Solución:
000.784825025
500.44%540252
212
21
=∑=−+===
=∑=∝==
i
i
ynnyn
xxn
υ
[ ] [ ]
221
22
221
22
−+−∑+−∑
=nn
ynyxnxs ii
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ <:
3) ( )[ ] ( )[ ]67,416
2505025000.784025500.44 22
2 =−
−+−=s
3) ( ) ( )
2121
22
21 11
2
11
nnnn
snsns yx
yx +−+
−+−=−
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4) 73,1
2567,416
2567,416
5040 −=+
−=t
Al nivel del 5%, si se puede concluir con base en estos datos que los empleados de la compañía B se presentan a una edad mayor que los de la compañía A, al nivel del 5%. Unilateral izquierda. 108. Solución:
12230,47073,84,526
05,058,5341,88,648
212
2
21
=−+==∑==∑=
=∝=∑==∑=
nnyyyn
xxxn
ii
ii
υ
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ <:
3) [ ] [ ]
221
22
221
22
−+−∑+−∑=
nnynyxnx
s ii
( )[ ] ( )[ ]89,1
28673,8630,4701,8858,534 22
2 =−+
−+−=s
4) 85,0
6
89,1
8
89,1
73,81,8 −=+
−=t
Al nivel del 5%, el resultado no sugiere que el valor de B produce mayor utilidad que el valor de A. Unilateral izquierda. 109. Solución:
2024,07,312
05,05,05,310
212
1
=−+=====∝===
nnsyn
sxn
y
x
υ
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ <:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007
53
3) ( ) ( )
2121
22
21 1111
nnnn
snsns yx
yx ++
−+−=− ( ) ( ) 1917,0
121
101
212104,01125,0110 22
=+−+
−+−=− yxs
4) 04,11917,0
7,35,3 −=−=t
No se puede afirmar, al nivel del 5%, que el método B es más efectivo que el método A. Unilateral izquierda. 110. Solución: a) 10=n 7,117=x ( )corregidos 24,14= %5=∝ 1) 110:0 =xH µ 2) 05,0=∝ 110: >xaH µ
3) ( )
1
2
1
−−
= ∑n
xxs 4) 91=−= nυ
5) ns
xt
µ−= 71,11024,14
1107,117 =−=t
Los anteriores resultados no son una buena base para afirmar, al nivel del 5%, que el programa sea más efectivo. Unilateral derecha. b) Siendo el valor de $112.000 semanal, se esta cometiendo un error de Tipo II (aceptando algo falso) aceptar a $110.000 cuando es $112.000. c) 05,024,147,117101 =∝=== xsxn 22209,2271,10514 212 =−+==== nnsyn y υ
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ >:
3) ( ) ( )
2121
22
21 11
2
11
nnnn
snsns yx
yx +−+
−+−=−
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007
54
( ) ( )98,7
141
101
2141009,2211424,14110 22
=+−+
−+−=− yxs
4) 50,198,7
71,1057,117 =−=t
El programa no produce los efectos que sostiene el gerente, al nivel del 5%. Unilateral derecha. 111. Solución:
182018.684,8282410
05,0459.561,7575110
212
2
21
=−+==∑==∑=
=∝=∑==∑=
nnyyyn
xxxn
ii
ii
υ
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ <:
3) [ ] [ ]
221
22222
−+−∑+−∑=
nnynyxnx
s ii
( )[ ] ( )[ ]96,9
210104,8210018.681,7510459.56 22
2 =−+
−+−=s
4) 17,5
1096,9
1096,9
4,821,75 −=+
−=t
Si se puede afirmar que el plan de incentivos fue efectivo, al nivel del 5%. Unilateral izquierda. 112. Solución:
3323592520
10,02590515
212
1
=−+=====∝===
nnsyn
sxn
y
x
υ
3) ( ) ( )
2121
22
21 11
2
11
nnnn
snsns yx
yx +−+
−+−=−
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55
1) yxH µµ =:0 2) 10,0=∝
yxaH µµ <:
( ) ( )6404,10
201
151
220153512025115 22
=+−+
−+−=− yxs
4) 88,16404,10
925905 −=−=t
Si hay suficiente evidencia que la resistencia al esfuerzo de los cables B sea superior a los de A, al nivel del 10%. Unilateral izquierda. 113. Solución:
1629,20317
05,00,104011
212
2
21
=−+====
=∝===
nnsyn
sxn
y
x
υ
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ >:
3) ( ) ( )
2121
22
21 11
2
11
nnnn
snsns yx
yx +−+
−+−=−
r
( ) ( )8147,1
71
111
27119,201710111 =+
−+−+−=− yxs
4) 96,48147,1
3140 =−=t
Si se puede concluir que en promedio, la iniciación de los síntomas operó más pronto cuando la toxina se administró por el conducto B, al nivel del 5%. Unilateral derecha.
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DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES M UESTRALES 114. Solución:
201 =n 70,02014
1 ==p 01,0=∝
162 =n 63,01610
2 ==p 34221 =−+= nnυ
1) 210 : PPH = 2) 01,0=∝ 21: PPHa >
4)
11 2
22
1
11
21
−+
−
−=
nqp
nqp
ppt
( ) ( )
43,0
11637,063,0
1203,07,0
63,070,0 =
−+
−
−=t
Se puede concluir que el jefe de cartera tiene razón para hacer tal afirmación, al nivel del 1%. Unilateral derecha. 115. Solución:
201 =n 70,02014
1 ==p 05,0=∝
242 =n 42,02410
2 ==p 42221 =−+= nnυ
1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa >
3) 11 2
22
1
1121 −
+−
=− nqp
nqp
s pp
3) 11 2
22
1
1121 −
+−
=− nqp
nqp
s pp
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57
4) ( ) ( )
90,1
12458,042,0
1203,07,0
42,070,0 =
−+
−
−=t
Al nivel del 5% es valida la afirmación. Unilateral derecha. 116. Solución:
251 =n 8,02520
1 ==p 63,01610
2 ==p 162 =n
05,0=∝ 39221 =−+= nnυ 1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa ≠
3) 2
22
1
11
21 n
qp
nqp
s pp +=−
4) ( ) ( )
14,1
11637,063,0
1252,08,0
63,080,0 =
−+
−
−=t
Hay igualdad en las preferencias, conclusión que se llega con los datos obtenidos, al nivel de significación del 5%. Prueba bilateral. 117. Solución:
161 =n 38,0166
1 ==p 05,0=∝
102 =n 30,0103
2 ==p 24221 =−+= nnυ
1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa ≠
3) 11 2
2
1
11 2
21 −+
−=− n
qp
nqp
s pp
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007
58
4) ( ) ( )
40,0
1107,03,0
11662,038,0
30,038,0 =
−+
−
−=t
La preferencia no depende de los niveles de grasa, de acuerdo a los resultados obtenidos y al nivel del 5%. Prueba bilateral. L IMITES DE CONFIANZA PRUEBAS CON DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES 118. Solución:
25=n 20=µ 4=σ ( ) 65,14500,0 =→ ZA
nzx σµ ±=
±=25465,120x
=±=
68,18
32,21
560,620x
119. Solución:
48,2=σ 100=n 52,168=x %99=P
57,24950,02
9900,0 =→= Z
( )=±=±=
88,167
16,169248,057,252,168
10048,257,252,168
isµ
120. Solución:
60=n 35=x 2,4=s %95=P 4750,02
9500,0 =
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007
59
602,496,135 ±=µ
( ) 96,14750,0 =→ ZA
=±=
±=
938,33
062,36062,135
75,723,835
ISµ
121. Solución:
36=n 40=x 1,2=s %95=P
±=361,296,140
ISµ
=±=
±=
31,39
69,4069,040
612,440
ISµ
122. Solución:
80=n 82,4=x 1,0=s %90=P
( ) 65,14500,0 =→ ZA
=±=±=
802,4
838,4018,082,4
801,065,182,4
ISµ
123. Solución:
110
10 ==∑=n
xx i
( )
0008,09
1100074,101
2222 =−=
−−∑=
n
xnxs i
x
028,00008,0 ==xs 10
028,08331,11±=
ISµ
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007
60
=±=±=
984,0
016,1016,01
16,3051,01
I
Sµ
91101 =−=−= nυ
124. Solución:
20,301.115
518.19 ==∑=n
xx i
( )
17,610.34314
20,301.115364.207.30
1
2222 =−=
−−∑=
n
xnxs i
x 18,58617,610.343 ==xs
14115 =−=υ
n
stx
IS ±=µ
15
18,58614,220,301.1 ±=
ISµ
=±=
31,977
09,625.189,32320,301.1
ISµ
125. Solución:
2,38=x % 15=n 2,5ˆ =s % %99=P 14115 =−=υ
1−±=
n
stx
ISµ
14
2,52,38 t
IS ±=µ
=±=
±=%06,34
%34,4214,42,38
74,3
2,59768,22,38
ISµ
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007
61
126. Solución:
14=n 86,34=x 23,4ˆ =s %95=P 131=−= nυ 05,0=∝
±=
±=60,3
23,41604,286,34
13
23,486,34 t
ISµ
=±=
32,32
40,3754,286,34
ISµ
127. Solución:
23=n 3,26=x 9,1ˆ =s %99=P
±=
±=69,49,1
8188,23,2622
9,18188,23,26
ISµ
=±=
16,25
44,2714,13,26
ISµ
128. Solución:
a)
±=6
83,3zx
I
Sµ
=±=
±=
31,14
48,1958,29,16
45,283,365,19,16
I
Sµ
Nota: cuando se conoce σ se le emplea de preferencia en vez de s; aunque se puede aplicar como en este caso.
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b)
9,166
4,101 ==x
93,95
65,492 ==s 15,393,9 ==s
±=
6
15,39,16 t
Isµ
=±=
±=
31,14
49,1959,29,16
6
15,30150,29,16
Isµ
Nota: si se da σ deberá trabajarse directamente y no como aparece anteriormente con s 129. Solución:
5=n %95=P ?ˆ =s 11,17=sx 39,12=ix
1
ˆ
−
−=
n
sx
tµ
µ−=−
xn
st1
ˆ
µ−= 11,174
ˆ7764,2
s 5,292 =µ
⇒−=
−=−
µ
µ
25,290
39,124
ˆ7764,2
s
75,142
5,29 ==µ
75,1411,172
ˆ7764,2 −=s
( )36,22ˆ7764,2 =s
7,1ˆ
75,14
==
s
µ 7,1
7764,2
72,4ˆ ==s
ix xxi − ( )2xxi − 18,5 1,6 2,65 20,6 3,7 13,69 12,9 -4,0 16,00 14,6 -2,3 5,29 19,8 2,9 8,41 15,0 -1,9 3,61
101,4 0 49,65
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130. Solución:
15,128
2,97 ==x 04,07
28,02 ==xs 2,0=xs
a) ( )=±=±=±=
90,11
40,1225,015,12
83,22,04995,3
15,1282,015,12 t
I
sµ
b) 35,12:0 =µH 35,12: ≠µaH 131. Solución:
=±=
160.366
840.381
400000.8096,1000.374
I
sµ
320.10400000.8058,2 =±== xZsE E = 10.320
ix xxi − ( )2xxi − 12,1 -0,05 0,0025 11,9 -0,25 0,0625 12,4 0,25 0,0625 12,3 0,15 0,0225 11,9 -0,25 0,0625 12,1 -0,05 0,0025 12,4 0,25 0,0625 12,1 -0,05 0,0025 97,2 0 0,2800
Sí se mantiene la producción de 12,35 onzas en promedio por tarro al nivel del 1%, la respuesta anterior se justifica diciendo que µ = 12,35 se encuentra dentro de los límites calculados, es decir entre 11,90 y 12,40.
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132. Solución:
2,5±x n
zx σ± 9900,0%99: ==psiendo
2,5=n
z σ 2,510
57,2 =σ 57,24950,02
9900,0 =→= z
( ) ⇒= 2,516,357,2 σ ( )39,6
57,216,32,5 ==σ 39,6=σ
133. Solución: a) 100=n 26=x 8=σ %99=P 57,2=Z
n
zxIs
σµ ±= 100857,226±=
Isµ
=±=±=94,23
06,2806,226
10
55,2026
Isµ
b) 1) 30:0 =µH 2) 01,0=∝ 3) 8=σ 30: ≠µaH Como µ = 30 no se ubica dentro de los límites de confianza (28,06 y 23,94) hay razón para rechazar la hipótesis nula y aceptar la alternativa, es decir, que el término medio de la nicotina es diferente de 30, al nivel del 1%. 134. Solución:
30=n 000.612=x 000.9352 =s 95,966=s 05,0=∝
1−±=
n
stxµ =±=
−
±=8,632.611
2,367.61220,367000.612
13095,966045,2000.612µ
045,2291 =⇒=−= tnυ 05,0=∝ 8,632.611ˆ2,367.612ˆ
==
I
S
µµ
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135. Solución:
8=n 63,20=x ( )corregidos 50,3= 01,0=∝ 718 =−=υ
a) =±=
±=30,16
96,2433,463,20
850,3499,363,20µ
b) 1) 22:0 =µH 2) 01,0=∝ 3) 53,3=s 22: ≠µaH Observamos que 22:0 =µH cae dentro de los límites 16,30 y 24,96, cuando esto ocurre se acepta la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza. Al nivel del 1% no se puede afirmar que estos resultados sean diferentes al señalado por la empresa. 136. Solución:
18=n semanalx 000.15018
000.700.2 ==
51,470.79118000.351.12 =
−=s 91,28151,470.79 ==s
a) =±=±=
80,859.149
20,140.15020,140000.150
1891,281110,2000.150µ
05,0
171
=∝=−= nυ
110,2=t
b) 1) 000.152:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 20,140.150ˆ =Sµ 000.152: ≠µaH 80,859.149ˆ =Iµ Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el salario promedio por semana es diferente a $152.000, ya que este valor cae por fuera de los límites de confianza al nivel del 5%. c) El error cometido es de tipo II 137. Solución:
9=n 22,2819531.2 ==x ( )
94,894,7919
22,2819413.712 22 =⇒=
−−= ss
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a) =±=
±=⇒±=
35,274
09,28887,622,281
994,8306,222,281x
nstxµ
306,205,0
81=
∝==−=
tnv
b) 1) 280:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 09,288=Sµ 280: ≠µaH 35,274=Iµ Observemos que 280 cae dentro de los límites de confianza, al nivel del 5%, por tal razón se puede aceptar la afirmación. 138. Solución:
100=n 120=x 25=s %2=∝ 33,2=Z %98=P a) 120ˆˆ =⇒= µµ x
b) =±=±=⇒±=
18,11482,12582,5120
1002533,2120ˆˆ µµ
nsZx
c) 1) 100:0 =µH 2) 02,0=∝ 3) 82,125ˆ =Sµ 100: ≠µaH 18,114ˆ =Iµ Como 100=µ cae por fuera de los límites, al nivel del 2%, se puede concluir que la velocidad promedio es diferente a los 100 kilómetros por hora. DISTRIBUCIONES DE UNA PROPORCIÓN 139. Solución:
0376,0000.5
188 ==p 9624,00376,01 =−=q
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( )( )002683,00000072,0
000.50362,0
000.50376,09624,0 ====ps
a) ( )
=±=±=0332,0
0420,00044,00376,0002683,065,10376,0
ISP
b) ( )=±=±=
0323,00429,00053,00376,0002683,096,10376,0
ISP
c) ( )
=±=±=0307,0
0445,00069,00376,0002683,057,20376,0
ISP
140. Solución:
11,082695 ==q 89,0=p %90=P
nqp
zpPIS ±=
( )0108,00001185,0
8260979,0
82611,089,0 ====ps
( )
=±=±=872,0
908,0018,089,00108,065,189,0
IS
P
141. Solución:
100=n 60,0=p %1=∝ 57,2=Z %99=P
a) npq
zpP ±=ˆ
( )=±=±=
47,0
73,013,06,0
1004,06,057,260,0P
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b) 1) 62,0:0 =PH 2) 01,0=∝ 3) pqsp =
62,0: ≠PHa Nota: cuando la prueba es bilateral podemos utilizar los límites de confianza. Como P = 0,62 cae dentro de los límites 0,47 y 0,73, por lo tanto se acepta 0H . El fabricante tiene razón, al nivel del 1%. c) Se está cometiendo un error de Tipo II, ya que estamos aceptando algo falso. Aceptar 0,60 cuando en realidad es 0,65. 142. Solución:
8,0800640==p 800=n %1=∝ 57,2=Z %99=P
a) npq
zpP ±=ˆ ( )=±=±=
76,0
84,004,080,0
8002,08,057,280,0P
b) 1) 85,0:0 =PH 2) %1=∝ 3) pqsP = 85,0: ≠PHa Nota: cuando la prueba es bilateral utilizamos los límites de confianza. Observamos que 0,85 cae por fuera, por lo tanto aceptamos la hipótesis alternativa 85,0: ≠PHa , de ahí que al nivel del 1% no aceptamos la aseveración.
c) ( )800
2,08,003,0
83,077,080,0ˆ ZEEP ==
→±=
( )
( ) 60,9624830,012,2
8002,08,0
03,0 =×⇒== AZ
%60,96=P
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143. Solución:
100=n 85,010085 ==p %90=P 65,164,1 óZ =
a) npq
zpP ±=ˆ ( )
=±=±=
79,091,006,085,0
10085,015,0
64,185,0P
b) 1) 80,0:0 =PH 2) 10,0=∝ 3) pqsp =
80,0: ≠PH a Nota: la prueba es bilateral, por lo tanto si P = 0,80 cae dentro de los límites, aceptamos
80,0:0 =PH , es decir, que el gerente tiene razón al afirmar que el 80% incluyen leche en la compra, al nivel del 10%. 144. Solución:
80=n 65,08052 ==p 96,1%95 =⇒= ZP
a) npq
zpP ±=ˆ ( )=±±=
55,0
75,010,065,0
8035,065,0
96,165,0P
b) 1) 56,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 56,0: ≠PH a 0,56 cae por dentro de los límites, si hay razón para aceptar la afirmación hecha por la Cámara de Comercio, al nivel del 5%. DISTRIBUCIONES DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUEST RALES 145. Solución:
32,5110
1,449211010211092
1
2
1
222 =
−−=
−
−
=−−∑=
nxnx
s ix
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70
80,411664136
116163216136
1
2
2
222 =
−−=
−
−
=−−∑=
nyny
s iy
1,21021
1
==∑=nx
x i 21632
2
==∑=n
yy i
⇒=−=−+= 24226221 nnυ 0639,2=t
( ) ( ) ( )161
101
216108,411632,5110 +
−+−+−±−=− tyx
I
syxµ
( ) ( ) ( )403,02349,20639,210,01625,024
88,1190639,221,2 ±=±−=−I
syxµ
=±=− 76,1
96,186,110,0Isyxµ
El valor de yxs − se podrá calcular así:
( )[ ] ( )[ ]
59958,421610
2161361,21092 222 ≅=
−+−+−=s ; siendo: 9,0
165
105 =+=− yxs
( ) ( )9,00639,221,2 ±+=− yxµ
=±=− 76,1
96,186,11,0yxµ
146. Solución:
16,4136482.12 ==xs 59,28
64830.12 ==ys
26,159,164
59,283616,41 ==+=− yxs
( ) ( )yxyx sZyx
IS −− ±−=µ
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( ) ( )=±=±−=− 06,12
94,1794,21526,133,26075
I
Syxµ
147. Solución: Primera parte:
( ) ( ) ( )2121
22
21 11
2
11
nnnn
snsntyx yx
yx +−+
−+−±−=−µ
( ) ( ) ( )−
=±−=+−+
+±−=− 07,0
07,557,25,2
91
91
29915,5801,8812,25,75yxµ
( )1199,205,0162: 21 ==∝=−+= tquetieneseynnSiendo υ Segunda parte: 1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝ 3) 21,1=− yxs
yxaH µµ ≠:
4) 07,221,1
5,75 −=−=−=− yxs
yxt
16=υ 05,0=∝ 1199,2=t
La diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Prueba bilateral. También se pueden utilizar los límites de confianza (de la primera parte), como 0=− yx µµ
Observemos que el cero, al nivel del 5%, cae dentro de ellos, por lo tanto la diferencia no es significativa. 148. Solución:
91 =n 409
360==x 6=xs %99=P 01,0=∝
202 =n 4820960==y 101002 =⇒= yy ss 27229 =−=υ 771,2=t
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a) ( ) ( ) ( )2121
22
21 11
2
11
nnnn
snsntyx yx
yx +−+
−+−±−=−µ
( ) ( ) ( )201
91
22091001203619
771,24840 +−+
−+−±−=− yxµ
( )( )
−=±−=±−=− 01,18
01,201,10840,000,9771,28yxµ
b) 1) yxH µµ =:0 2) 01,0=∝ 3) 01,2=sL
yxaH µµ ≠: 01,18−=iL
Sabiendo 0=− yx µµ , observamos que queda incluida dentro del intervalo, por lo tanto se
acepta la hipótesis nula 0H , es decir, la diferencia entre las medias muestrales no es significativa, al nivel del 1%. 149. Solución:
71 =n 4,177=∑ ix 34,25=x 2,573.42 =∑ ix 10212 =−=υ
52 =n 7,125=∑ iy 14,25=y 15,181.32 =∑ iy 05,0=∝ 228,2=t
[ ] [ ] =−+
−∑+−∑=221
22
221
22
nnynyxnx
S ii ( )[ ] ( )[ ] =−+
−+−257
14,25515,181.334,2572,573.4 22
94,92 =s
a) ( )2
2
1
2
ˆns
nstyxyx +±−=−µ
( )
−=±=+±−=− 91,3
31,411,420,0
594,9
794,9228,214,2534,25yxµ
b) 1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
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73
yxaH µµ ≠:
3)
=∝=
=05,0
10228,2
υparat
Como 0=− yx µµ , observamos que se ubica dentro de los límites -3,91 y 4,31, estaremos
aceptando 0H . Al nivel del 5%, no podemos afirmar que hay desacuerdo entre ellos. 150. Solución:
a) ( ) ( ) ( )101
101
21010892.1110636.1110
101,2335272 +−+
−+−±−=− yxµ
−−=±−=− 46,102
54,23 46,3963yxµ
b) 1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ ≠:
3)
=∝=
=05,0
1801,2
υparat
Siendo 0=− yx µµ , no cae dentro de los límites -102,46 y -23,54 de ahí que no aceptamos
0H . Al nivel del 5%, si hay diferencias entre la resistencia media de esta fibras. 151. Solución:
a) ±=
±=42,745
58,85458,54800
4115033,2800s
Iµ Saldo promedio en cuentas corrientes
b) 1) 000.1: =µoH 2) %1=α 000.1: >µaH
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3) 92,5
35200
000.1200.1 =−=Z
Al nivel del 1%, se puede concluir que sí es superior a los $1.200.000, las cuentas de ahorro. d) 1) yxoH µµ =: 2) %05.0=α
yxaH µµ ≠:
3) 73,9
35200
41150
200.180022
−=+
−=Z
Se observa que -9,73 cae en la región crítica, por lo tanto al nivel del 5%, hay una diferencia significativa en los saldos. e) 1) yxoH µµ =: 2) %05.0=α
yxaH µµ <:
3) 73,9
35200
41150
200.180022
−=+
−=Z
Al nivel del 5%, se puede concluir que promedio en las cuentas corrientes es menor que el de los ahorros. 152. Solución:
101 =n 4=x 4,0=xs 122 =n 6,3=y 03,0=ys
±=− 14,0
66,026,04,0yxµ
( )1203,0
104,0086,26,34
22
+±−=− yxµ
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DISTRIBUCIÓN DE PROPORCIONES 153. Solución:
33,012040
1 ==p 37,015055
2 ==p
a) ( ) ( ) ( )
−=±−=+±−=− 19,0
11,015,004,0
15063,037,0
12067,033,057,237,033,0
21 ppµ
b) 1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa ≠ Se observa que 021 =− PP y se ubica dentro de los límites, por lo tanto se puede concluir que la diferencia entre éstas dos proporciones de preferencia no es significativa al nivel del 1%. 154. Solución:
63,01610
1 ==p 55,02212
2 ==p 36=υ 028,2=t
a) ( ) ( ) ( )
−=±=
−+
−±−=− 26,0
42,034,008,0
12245,055,0
11637,063,0
028,255,063,021 PPµ
Nota: es muy común, en el caso de muestras pequeñas, donde debe utilizarse la “t” de Student, se obtenga la varianza pq dividiendo por n-1, tal como se hizo en el ejercicio anterior. b) 1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa ≠ Siendo 21 PP = , la diferencia de 021 =− PP ubicándose dentro de los límites que permiten la aceptación de la hipótesis nula (0H ), es decir, que los anteriores resultados no permiten concluir, una diferencia significativa de opción respecto a los nuevos incentivos.
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76
155. Solución:
2001 =n 6,0200120
1 ==p %95=P 96,1=Z
3002 =n 50,0300150
2 ==p 05,0=∝
a) ( ) ( ) ( )=±=+±−=− 01,0
19,009,010,0
3005,05,0
2004,06,0
96,15,06,021 ppµ
( )2
22
1
112121 n
qpnqp
Zpppp +±−=−µ
b) 1) 60,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 60,0: <PHa
3) 2
22
1
11
21 nqp
nqp
s PP +=−
4)
2
22
1
11
21
nqp
nqp
ppZ
+
−=
( ) ( )
22,2
3005,05,0
2004,06,0
5,06,0 =+
−=Z
Como es una prueba unilateral seguimos este proceso. Observemos que 2,22 cae en la región crítica, por lo tanto podemos decir que en la segunda encuesta disminuyó su popularidad. NOTA: Se entiende mejor el problema si se invierten las proporciones, es decir, 50,01 =p y 60,02 =p y la prueba es unilateral izquierda. 156. Solución:
101 =n 60,0106
1 ==p 90,0=P 2621810 =−+=υ
182 =n 50,01810
2 ==p 10,0=∝ 706,1=t
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77
( )11 2
22
1
112121 −
+−
±−=− nqp
nqp
tppppµ
( ) ( ) ( )
−=±=
−+
−±−=− 31,0
39,035,004,0
11844,056,0
1104,06,0
706,156,06,021 ppµ
157. Solución:
%181 =p 161 =n %95=P ⇒=−+= 3422016υ 032,2=t
%102 =p 202 =n 05,0=∝ (se toma el doble 10,0=∝ )
( )21 2
22
1
112121 −
+−
±−=− npp
nqp
tppppµ
( ) ( ) ( )120
9,01,0
116
82,018,0032,210,018,0
21 −+
−±−=− ppµ
−=±=− 16,0
32,024,008,0
21 ppµ
Los límites están entre -16% y el 32%
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78
158. Solución:
( )
( ) ( ) ( )
−=±−=
−+
−±−=
−+
−±−=
=∝====
=−+=====
−
−
−
42,0
12,027,015,0
12015,085,0
1203,07,0
024,285,070,0
11
024,205,085,0201720
3822020%9570,0201420
11
21
212
22
1
1121
22
11
pp
pp
pp nqp
nqp
tpp
tpn
Ppn
µ
µ
µ
υ
Se podría decir que los límites están entre -0,42 y el 12%. 159. Solución:
3,6ˆ1,1520cafédelibra1onzas16 ==== sxn a) 1) 16:0 =µH 2) 05,0=∝ 3) 3,6ˆ =s 16: <µaH
62,01203,6
161,15 −=−
−=t
093,205,0191
=
=∝=−=
tnυ
Al nivel del 5%, no se puede afirmar que se está vendiendo el producto por debajo del peso establecido de una libra. b) Si el valor verdadero es 15,5 onzas, se comete un error de Tipo II, ya que se está
aceptando a 16 onzas, valor que es falso. 160. Solución:
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79
9325,868%1 21 =====∝ yxnn
( ) 215,82 =−=Σ xxi ( ) 48,132 =−=Σ yyi
1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa <
3) 81,1268
48,13215,82 =−+
−=s 81,12 =s
93,0
681,1
881,1
9325,8 −=+
−=t
681,202,01221 =
=∝=−=
tnnυ
Cae (-0,93) en la ZA, por lo tanto al nivel del 1%, no se puede concluir que el valor de B produce una mayor utilidad que el valor A. 161. Solución:
87,012010490,0
120108120120 2121 ====== ppnn
1) 210 : PPH = 2) 02,0=∝ 21: PPH a >
( ) 05,24800,002,0 =⇒⇒=∝ ZA
( ) ( ) 73,0041,003,0
12087,013,0
12090,010,0
87,090,0 ===
−=Z
0,73 cae en la zona de aceptación, por lo tanto al nivel del 2%, no se podrá afirmar que la asistencia en la primera fábrica sea superior a la segunda. 162. Solución:
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80
63828171 === xsxn
67,5275,80882 === ysyn
1) yxH µµ =:0 2) 01,0=∝
yxaH µµ ≠:
807,201,023221 =
=∝=−+=
tnnυ
( ) ( ) ( )8
1
17
1
225
67,5276316807,275,808828
22
+−
+±−=− yxµ
−=±=− 01,53
51,9126,7225,19yxµ
Se acepta 0H al nivel del 1%, por lo tanto no existe diferencia salarial 163. Solución:
50,004,310/07,3 ==== sxnccmgµ 1) 07,3:0 =xH µ 2) 01,0=∝ 07,3: ≠xaH µ
25,301,091
=
=∝=−=
tnυ
19,0
105,0
07,304,3 −=−=t
Al nivel del 1%, se puede aceptar la afirmación del distribuidor, sobre el contenido medio de grasa. Prueba bilateral. 164. Solución:
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81
( )∑ =−== 95,4391,337 2xxxn i
( )∑ =−== 85,3114,335 2yyyn i
228,205,0
10=
=∝=
tυ
58,7257
85,3195,432 =−+
+=s
a) ( )558,7
758,7228,214,3391,33 +±−=− yxµ
−=±=− 82,236,4
59,377,0yxµ
b) 1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ ≠:
Como 0=− yx µµ si el cero cae dentro de los límites, estamos aceptando 0H , es decir, no
hay diferencias o no están en desacuerdo, al nivel del 5%. 165. Solución:
10,0=P 09,0500.2
218 ≅=p
1) 10,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 10,0: ≠PHa
( ) 75,1
500.291,009,0
10,009,0 −=−=Z
-1,75 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5% se puede afirmar que el porcentaje es correcto. 166. Solución:
%120,87,95501 =∝=== xsxn
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82
33,264,68,87502 ==== Zsyn y
1) yxH µµ =:0 2) 05,0=∝
yxaH µµ >:
3) 29,5
5064,6
502,8
8,877,9522
=+
−=Z
5,29 cae en la región crítica. Al nivel del 1%, se acepta la afirmación del fabricante, que el promedio a la tensión de los tornillos A excede a los de B. 167. Solución:
32,0100 11 == pn 24,080 22 == pn 1) 210 : PPH = 2) 02,0=∝ 21: PPHa >
3) ( ) ( )
26,1
100
76,024,0
100
68,032,0
24,032,0 =+
−=Z
1,26 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 2%, se puede concluir que la segunda planta no presenta niveles menores de contaminación, al estar alimentadas con combustibles diferentes. 168. Solución:
40,0=P 35,0600210==p
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83
1) 40,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 40,0: ≠PHa
3) ( ) 57,2
60065,035,0
40,035,0 −=−=Z
Z = -2,57 cae en la zona de rechazo, podemos concluir al nivel del 5%, que la proporción de fumadores es diferente al 40%. 169. Solución:
37,014,12812 ==== sxnµ 1) 12:0 =µH 2) 05,0=∝ 12: ≠µaH
365,205,0
7=
=∝=
tυ
3) 07,1
837,0
1214,12 =−=t
t = 1,07 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5%, el personal no requiere de un promedio diferente a los 12 minutos. 170. Solución:
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84
Se puede plantear con medias o proporciones muestrales. Supongamos que se realiza aplicando este último. El primer método produce un incremento del 12%, mientras que en el segundo es del 10%. Establecemos que el nivel es del 5% y los tamaños muestrales fueron 36 y 50 respectivamente. Los resultados permiten concluir que el primer método presenta un mayor incremento. 1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa >
3) ( ) ( ) 29,0
509,010,0
3688,012,0
10,012,0 =+
−=Z
Como Z = 0,29 cae en la zona de aceptación, al nivel el 5%, se podrá concluir que el primer método no produce mayor incremento con respecto al segundo método. 171. Solución:
05,005,02501307,0
25018250250 2121 =∝====== ppnn
1) 210 : PPH = 2) 05,0=∝ 21: PPHa >
3) ( ) ( )
94,0
25095,005,0
25093,007,0
05,007,0 =+
−=Z
Z = 0,94 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5% no se puede afirmar que la tasa de desempleo en la segunda ciudad sea inferior al la primera. 172. Solución: a) Corresponde a las pruebas de normalidad para un conjunto de observaciones al
comprobar si las mismas pueden haber resultado del muestreo aleatorio de una población supuestamente normal. Se puede decir que ser objeto es evaluar o probar una afirmación con respecto a un valor estadístico de la población.
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007
85
b) La distribución “t” de Student se utiliza en muestras pequeñas, generalmente 30≤n , cuando no conoce la varianza poblacional y se deba sustituir por el de la muestra.
c) El error de tipo I se comete cuando rechazamos la hipótesis verdadera, cuando ella es
falsa. d) La inferencia corresponde a la realización de investigaciones utilizando una parte de los
elementos de la población (muestras) con la cual se obtiene unos resultados, denominadores estimadores, considerándolos representativos de los valores estadísticos de la población (parámetros).
173. Solución:
3ˆ261024 ==== sxnµ 1) 24:0 =µH 2) 01,0=∝ 24: >µaH
821,202,0
9=
=∝=
tυ
2
1103
2426 =
−
−=t
t = 2 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 2%, el tiempo promedio no es mayor de los 24 minutos. 174. Solución: Se deja al alumno la contestación de este punto, con el cual se le facilita recordar conceptos que aprendió en clase y en la lectura de éste u otros textos.
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007
86
175. Solución:
07,01911419105,0 ==== pnP
1) 05,0: 10 =PH 2) 05,0=∝ 05,0: 1 >PHa
3) ( ) 08,1
19193,007,0
05,007,0 =−=Z
Z = 1,08 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5%, no se justifica suponer que el requisito no se está cumpliendo. Unilateral derecha.
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
9
Otras pruebas de hipótesis PARAMETRICAS Y NO PARAMETRICAS
EJERCICIOS RESUELTOS
PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA VARIANZA 1. Solución: a) 1911001020 2 =−==== nssn υ
Valores críticos
=
=
73,1
469,0
19;975,0
219;025,0
2
υχ
υχ
73,1469,02
<<υχ → 73,1
ˆ469,0 2
2
<<σs →
73,11
ˆ46901
2
2
>>s,
σ →
73,1
100
4690
100 2 >> σ,
→ 469,0
100
73,1
100 2 << σ → 47,0
10
73,1
10 << σ →
59,1460,7 << σ
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
2
b) 1001051 2 === ssn
Valores críticos 43,1
647,0
50;975,0
250;025,0
2
=
=
υχ
υχ
43,1647,02
<<υχ → 43,1
100647,0 2 <<
σ →
43,11
10064701 2
>> σ,
647,0
100
431
100 2 << σ,
→ 647,0
10
43,1
10 << σ → 43,1236,8 << σ
2. Solución: a) 100;1070 2 === ssn
36,1
697,0
19;975,0
270;025,0
2
=
=
υχ
υχ
36,1697,02
<<υχ → 36,1
ˆ697,0 2
2
<<σs →
697,01
ˆ3611
2
2
<<s,
σ
697,0
100
361
100 2 << σ,
→ 697,0
10
36,1
10 << σ → 8348,0
10
1662,1
10 << σ
98,1157,8 << σ
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
3
b) 120=n
27,1
763,0
120;975,0
2120;025,0
2
=
=
υχ
υχ
27,1763,02
<<υχ → 27,1763,0
2
2
<<σs
→ 27,1100
763,0 2 <<σ
27,11
10076301 2
>> σ,
→ 27,1
100
7630
100 2 >> σ,
→ 763,0
100
271
100 2 << σ,
763,0
10
27,1
10 << σ → 8735,0
10
1269,1
10 << σ → 45,1187,8 << σ
3. Solución: 1557ˆ === ns σ
1)
≠
==
125
:
125
:
2
2
20
2
σ
σσσ
a
o
H
H
2) 975,02
025,02
05,0 =∝=∝=∝ 3) 25
ˆ22 S=υχ
4) 402,014;025,0
2
=
υχ
5) 87,1402,02
>>υχ 6) 96,1
2549ˆ
2
2
==σS
87,114;975,0
2
=
υχ
7) 125
aceptaryRechazar2
: ≠σao HH
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
4
4. Solución: a) confianzade%95 b) 99% de confianza
63,0
7
37,1
7
402,0
7
87,1
7
402,0
49
871
49
402,0
1
49871
1
87,1
1
494020
1
87,149
402,0
87,1402,0
2
2
2
2
2
2
<<
<<
<<
<<
>>
<<
<<
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
,
,
,
S
11,1111,5 << σ 96,1267,4 << σ
54,07
50,17
291,07
24,27
291,049
24249
24,21
4929101
24,249291,0
24,2291,0
2
2
2
2
2
<<
<<
<<
>>
<<
<<
σ
σ
σ
σ
σ
σ
,
,
S
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
5
5. Solución:
251020 === nsσ
1)
≠
==
120
:
120
:
2
2
2
2
20
2
σ
σσσ
a
o
H
H
2) 05,0=∝ 3) 400
2
2
22ss ==
συχ
4) 517,024;025,0
2
=
υχ
; 64,124;975,0
2
=
υχ
5) 64,12
>
υχ
; 517,02
<
υχ
125
aceptaryRechazar2
:0 ≠σaHH 6) 25,0
400100
202
2
==s
6. Solución:
5,02205,0 ===∝ σn
Continuación
x x2 12,7 161,29 13,1 171,61 12,3 151,29 12,6 158,76 13,2 174,24 12,9 166,41 12,8 163,84 13,0 169,00 13,6 184,96 12,4 153,76 13,1 171,61 14,6 213,16
x x2 12,6 158,76 13,8 190,44 12,4 153,76 13,4 179,56 14,1 198,81 12,7 161,29 13,3 176,89 13,5 182,25 13,4 179,56 12,5 156,25
288,0 3.777,50
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
6
09,1322
288 === ∑n
xx i
( )36,0
22
09,132250,777.3 2222 =−=
−= ∑
n
xnxs i
a) 1) 15,0
: 2
2
0 =σH 2) 05,0=∝
15,0
:2
2
≠σaH
3) 2
2
2
22
5,0
ss ==
συχ
4) 480,021;025,0
2
=
υχ
5) 71,1;480,022
≥
≤
υχ
υχ
71,124;975,0
2
=
υχ
6) 44,125,0
36,02
2
==σs
hipótesis la Aceptamos1:)7 20
2
0 =σσ
H
b) 71,1ˆ
480,0 2
2
<<σs ⇒ 71,1
36,0480,0
2<<
σ ⇒
71,1
1
36,0480,0
1 2
>> σ
71,1
36,0
480,0
36,0 >> σ ⇒ 71,1
60,0
480,0
60,0 >> σ ⇒ 31,1
60,0
69,0
60,0 >> σ
69,0
60,0
31,1
60,0 << σ ⇒ 87,046,0 << σ
7. Solución:
( )000.1
2
=∑n
xi ( ) ( ) 000.100100000.12 ==∑ ix 23,316000.100 ==∑ ix
16,3100
23,316 === ∑n
xx 01,1099,92016,3
100
000.2 222
2 =−=−=−= ∑ xn
xs i
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7
a) 1) 18
:2
0 =σH 2) 05,0=∝
18
:2
≠σaH
3) 742,0100;025,0
2
=
υχ 30,1
2
>
υχ
4) 30,1100;975,0
2
=
υχ
74,02
<
υχ
5) 25,1801,10
2
2
==σs
6) 18
que Aceptamos2
=σ , por lo tanto se puede admitir que la varianza anterior era 8, al
nivel de significación del 5%.
Nota: del ejercicio 8 hasta el 15 se le deja al estudiante para que sean resueltos.
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8
PRUEBAS DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON 16. Solución: 1) 0:0 =RH 0:0 =ρH 2) 05,0=∝ 0: >RHa 0: >ρaH 7341,110,0 =t
3) 18220 =−=υ ncorrelacióHay :
ncorrelacióhay No :
0
0
H
H
4) 21
2
r
nrt
−−=
( ) 69,157,437,037,01
1837,0
2==
−=t
1,69 < 1,7341. Se acepta la hipótesis nula. No se puede deducir al nivel del 5%, que el coeficiente de correlación de la población difiere de 0. No hay correlación 17. Solución: 1) 0:0 =RH 0:0 =ρH 0: ≠RH a 0: ≠ρaH 2) 05,0=∝ 3) 16218 =−=υ
4) 21
2
r
nrt
−−=
( ) 39,992,01
1692,0
2−=
−−−=t
-9,39 < -2,1192. Se ubica en la zona de rechazo. Se puede concluir al nivel del 5% que el coeficiente de correlación es extremadamente significativo.
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9
18. Solución:
6011
660 === ∑n
xix 80
11
880 === ∑n
yy 593.52=∑ ii yx
210.412 =∑ ix ∑ = 864.702
iy
( )[ ] ( )[ ]∑∑
∑
−−
−=
2222 ynyxnx
yxnyxr
ii
ii ( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]239,0
8011864.706011210.41
8060593.52
22−=
−−
−r
1) 0:0 =RH 0:0 =ρH 0: ≠RHa 0: ≠ρaH 2) 05,0=∝ 3) 9211 =−=υ
4) 21
2
r
nrt
−−=
74,0057,01
9239,0 −=
−−=t
Se acepta 0H . Al nivel de significación del 5%, se puede concluir que no existe correlación entre las calificaciones de matemáticas II y estadística II. 19. Solución:
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ ∑∑ ∑
∑ ∑∑
−−
−=2222
iiii
iiii
yynxxn
yxyxnr
2604814310228 22 ===== ∑∑∑∑∑ iiiiii yyyxxx
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]33,0
48260102810210
284814310
22=
−−
−=r
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1) 0:0 =RH 2) 05,0=∝ 0: >RHa 3) 8210 =−=υ
4) 21
2
r
nrt
−−=
99,011,01
833,0 =
−=t
0,99 < 1,86. Se acepta 0H , es decir, que no existe correlación entre las actitudes obtenidas con la muestra, ante los dos tipos de salsa. 20. Solución:
z
zzz
σµ−= 18,0
66,51
335
1
3
1 ==−
=−
=n
zσ
+=r-1r1
In21
zµ
+=r-1r1
log1513,1 10zµ
( ) 4721,12787,11513,110,0
9,1log1513,1
9,0-1
9,01log1513,1 1010 ==
=⇒
+= zz µµ
Ahora determinamos el valor de la variable Z
+=r-1r1
log1513,1 10z ( ) 0986,19542,01513,18,0-18,01
log1513,1 10 ==
+=z
Los valores de zµ y Z se pueden obtener utilizando la tabla de transformación de r en Z. Buscamos en la columna de r el valor de 0,9 y nos da 1,472, luego el de 0,8 y Z será igual a 1,099.
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Con los anteriores valores, reemplazamos en la variante estadística. 1) 90,0:0 =RH 90,0:0 =ρH 90,0: ≠RHa 90,0: ≠ρaH 2) 05,0=∝ 3) 18,0=zσ
4) 075,218,0
4721,10986,1 −=−=−=z
zzz
σµ
Al nivel del 5% se rechaza la hipótesis de que el coeficiente de correlación es de 0,90, es decir que el coeficiente de correlación de 0,8 no proviene de una población con un coeficiente de 0,9. Nota: se hubiera podido hacer una prueba unilateral hacia la izquierda. a) 9,0:0 =RH 05,0=∝ 9,0: <RHa La conclusión será la misma que la dada en la dócima bilateral. 21. Solución:
2182,021
1
3
1 ==−
=n
zσ 6932,06,0-16,01
log1513,1 10 =
+=zµ
(Usando la tabla se obtiene 0,973) 9730,075,0-175,01
log1513,1 10 =
+=z
1) 60,0:0 =RH 2) 05,0=∝ 60,0: >RHa 3) 2182,0=zσ
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4) 28,12182,0
6932,0973,0 =−=−=z
zzz
σµ
Se acepta la hipótesis de que R = 0,60; no se puede rechazar que el coeficiente de correlación r = 0,75, en una muestra, no pertenezca a una población con coeficiente de correlación 0,60. 22. Solución:
143,0352
1 =−
=zσ
2σµ zzis
z ±=
( )
=±=31,0
87,0143,096,1590,0
iszµ
23. Solución: 1) 60,0:0 =ρH 2) 05,0=∝ 60,0: >ρaH
3) 10,0101
3103
1 ==−
=zσ
4) z
zzz
σµ−= 79,7
10,0
693,0472,1 =−=z
Usando la tabla: z para r = 0,90 es igual a 1,472; zµ para r = 0,60 es igual a 0,693 Se rechaza la hipótesis de que el coeficiente de correlación es 0,60, al nivel del 5% 24. Solución:
1428,0352
1 =−
=zσ ( ) ?40,0 =≤rP
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678,0=zµ (Utilizamos la tabla, cuando r = 0,59); 424,0=z (En la tabla cuando r = 0,40)
78,11428,0
678,0424,0 −=−=−
=z
zzz
σµ
( )4625,078,1 Az →−=
( ) ( ) 0375,04625,05000,0 =− AA
( ) %75,340,0 =<rP
25. Solución:
775,0,65,0 == ztablalaenr µ 973,075,0 aigualseráZrparay =⇒= Si la ( ) 15,0%1575,0 ==≥rP
( ) ( ) 04,13500,01500,05000,0 =⇒=− zAA
z
zzz
σµ−=
19,004,1
775,0973,0 =−=zσ ⇒ 3
119,0
3
1
−=⇒
−=
nnzσ ⇒ 26,5
19,0
13 ==−n
3132828326,5326,53 2 =+=⇒=−⇒=−⇒=− nnnn n = 31
26. Solución:
−+=
1
11 1
1log1513,1
r
rz 549,0
5,015,01
log1513,11 =
−+=z (ver tabla)
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310,030,0130,01
log1513,12 =
−+=z (ver tabla) 2669,0
32
1
25
1
3
1
3
1
2121
=+=−
+−
=− nnzzσ
1)
21:0 zzH µµ = 2) 05,0=∝ 3) 2669,0
21=− zzσ
21
: zzaH µµ ≠
4) ( ) ( )
21
2121
zz
zzzzz
−
−−−=
σµµ
( )
8955,02669,0
0310,0549,0 =−−=z
Z = 0,8955 se sitúa en la zona de aceptación, es decir, no existe una diferencia significativa entre los coeficientes de correlación obtenidos en las muestras. 27. Solución:
−+=
1
11 1
1log1513,1
r
rz
099,18,018,01
log1513,11 =
−+=z 693,0
6,016,01
log1513,12 =
−+=z
354,0241
121
31
31
2121
=+=−
+−
=− nnzzσ
1)
21:0 zzH µµ = 2) 05,0=∝
21
: zzaH µµ ≠
3) 354,0
21=− zzσ
4) ( )
15,1354,0
693,0099,10
21
21 =−=−−=− zz
zzz
σ
15,1=z La diferencia no es significativa, al nivel del 5%.
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28. Solución:
ix iy ii yx 2ix 2
iy 5 3 15 25 9 8 2 16 64 4
10 5 50 100 25 12 6 72 144 36 20 14 280 400 196 55 30 433 733 270
115
55 ==x 65
30 ==y 18365
27022
2 =−=−= ∑ yn
ys i
y
6,251215
73322
2 =−=−= ∑ xn
xs i
x 6,20666,86 =−=−= ∑ yxn
yxm ii
yx
81,06,25
6,202
===x
yxxy
s
mb
( ) 91,21181,06 −=−=−= xyxy bxyC 81,0=xyb 91,2−=xyC
xybY =ˆyxCx + 91,281,0ˆ −= xY
( ) ( )31,1
5
43381,03091,22702
2 =−−−=−−
=∑ ∑ ∑
n
yxbyCys iixyixyi
xy
14,131,1 ==xys
06,56,25 ==xs
( )83,0
23,0
73,111,025
06,5
14,170,081,0
2´
==−−=−−
= n
s
s
bbt
x
xy
YXxy
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Siendo 325 =−=υ ; 3554,205,0 =t . Se acepta la hipótesis de que el coeficiente de
regresión puede ser tan bajo como 0,70.
29. Solución:
Lote ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − 1 49 47 2 0,1 0,01 2 58 57 1 -0,9 0,81 3 53 49 4 2,1 4,41 4 60 57 3 1,1 1,21 5 45 44 1 -0,9 0,81 6 49 44 5 3,1 9,61 7 66 67 -1 -2,9 8,41 8 55 52 3 1,1 1,21 9 44 42 2 0,1 0,01 10 52 53 -1 -2,9 8,41 Σ - - 19 0 34,90
9,110
19 === ∑n
dd i
( )97,1
990,34
1
2
==−−= ∑
n
dds i
d 62,010
97,1 ===n
ss d
d
1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝
0: ≠da aH
3) 62,0=ds
4) 06,362,0
09,1 =−=−
=d
d
s
adt
91101 =−=−= nυ Los resultados señalan una diferencia significativa entre ambas semillas; 06,3=t se sitúa en la región crítica, por tal razón, se rechaza la hipótesis nula 0: =do aH y se acepta la
alternativa.
t
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30. Solución:
Pareja ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − 1 25 19 6 3 9 2 30 32 -2 -5 25 3 28 21 7 4 16 4 34 34 0 -3 9 5 23 19 4 1 1
Σ - - 15 0 60
( )
87,3460
1
2
==−−= ∑
n
dds i
d
35
15 === ∑n
dd i
73,15
87,3 ===n
ss d
d
1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 415 =−=υ 0: ≠da aH
3) 73,1=ds
4) 73,173,1
03 =−=−
=d
d
s
adt
t = 1,73 se sitúa en la región de aceptación y se acepta la hipótesis nula, es decir, no puede considerarse que alguna dieta sea superior a la otra.
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18
31. Solución:
48,656 === dsdn
n
stda d
dis
±= 516 =−=υ
−=±=±=
80,1
80,1180,65
6
48,65706,25
isda
32. Solución:
Lote ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 13 12 1 0 0 2 14 16 -2 -3 9 3 19 17 2 1 1 4 10 9 1 0 0 5 15 16 -1 -2 4 6 14 12 2 1 1 7 12 10 2 1 1 8 11 8 3 2 4
Σ - - 8 0 20
( )69,1
7
20
1
2
==−−= ∑
n
dds i
d 18
8 ==d 60,08
69,1 ===n
ss d
d
1) 0:
0:0
>=
da
d
aH
aH 8946,1
10,0
7=
=∝=
tυ
2) 05,0=∝ 3) 60,0=ds
4) 67,160,01 ==
−=
d
d
s
adt
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19
Al nivel del 5%, estos resultados no señalan una mayor producción para la nueva manzana. 33. Solución:
Lote ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 23 28 -5 -3,5 12,25 2 35 38 -3 -1,5 2,25 3 29 29 0 1,5 2,25 4 33 37 -4 -2,5 6,25 5 43 42 1 2,5 6,25 6 32 30 2 3,5 12,25
Σ - - -9 0 41,50
5,16
9 −=−== ∑n
dd i
( )88,2
550,41
1
2
==−−= ∑
n
dds i
d 18,16
88,2 ===n
ss d
d
1) 0:
0:0
<=
da
d
aH
aH 015,2
5
10,0=
==∝
tυ
2) 05,0=∝ 3) 18,1=ds
4) 27,118,1
05,1 −=−−=−
=d
d
s
adt
Como -1,27 se ubica en la zona de aceptación, se considera que estos resultados no indican que la pausa para el café aumenta la productividad. 34. Solución:
Finca ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi −
1 86 80 6 0,5 0,25 2 87 79 8 2,5 6,25 3 56 58 -2 -7,5 56,25 4 93 91 2 -3,5 12,25 5 84 77 7 1,5 2,25
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20
6 93 82 11 5,5 30,25 7 73 74 -1 -6,5 42,25 8 79 66 13 7,5 56,25
Σ - - 44 0 206,00
5,58
44 === ∑n
dd i
( )42,5
7206
1
2
==−−= ∑
n
dds i
d 92,18
42,5 ===n
ss d
d
7=υ 05,0=∝
n
stda d
dis
±=
( )
=±=96,0
04,1092,13646,25,5
isda
35. Solución:
Atleta ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − 1 127 135 -8 -4,1 16,81 2 195 200 -5 -1,1 1,21 3 162 160 2 5,9 34,81 4 170 182 -12 -8,1 65,61 5 143 147 -4 -0,1 0,01 6 205 200 5 8,9 79,21 7 168 172 - 4 -0,1 0,01 8 175 186 -11 -7,1 50,41 9 197 194 3 6,9 47,61
10 136 141 -5 -1,1 1,21
Σ - - -39 0 296,90
9,310
39 −=−== ∑n
dd i
( )74,5
99,296
1
2
==−−= ∑
n
dds i
d 91 =−= nυ 05,0=∝
1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 3) 74,5=ds
0: ≠da aH
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21
4) ( )
15,274,5
16,39,3 −=−=−
=
n
sad
td
d
Se acepta la hipótesis nula. Al nivel del 5%, el programa de entrenamiento no afecta el peso medio de los atletas. 36. Solución:
6,96,52405,025 ====∝= dsdn υ 1) 0:0 =daH 241 =−=nυ 0: >
da aH 10,0=∝
2) 05,0=∝ 3) 6,9=ds
4) 92,2
25
6,906,5 =−=
−=
n
sad
td
d
Se rechaza la hipótesis nula y aceptamos la alternativa. El primer método es superior, al nivel del 5%. 37. Solución:
Amas de casa ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi −
1 3 2 1 3 9 2 1 4 -3 -1 1 3 5 4 1 3 9 4 2 7 -5 -3 9 5 0 3 -3 -1 1 6 4 4 0 2 4 7 3 6 -3 -1 1 8 3 5 -2 0 0 9 2 5 -3 -1 1
10 5 8 -3 -1 1 Σ - - -20 0 36
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22
210
20 −=−== ∑n
dd i
( )2
936
1
2
==−−= ∑
n
dds i
d
1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 0: <da aH 9=υ
3) 2=ds
4) 16,32
102 −=−=−
=
n
sad
td
d
Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa 0<da . Al nivel de
significación del 5%, el tipo de salsa picante menos espesa alcanzó una mayor preferencia en la muestra. 38. Solución:
No. ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 2 3 -1 0 0 2 3 5 -2 -1 1 3 4 7 -3 -2 4 4 5 4 1 2 4 5 1 3 -2 -1 1 6 4 2 2 3 9 7 5 5 0 1 1 8 7 4 3 4 16 9 4 6 -2 -1 1
10 5 7 -2 -1 1 11 3 6 -3 -2 4 12 3 6 -3 -2 4
Σ - - -12 0 46
112
12 −=−== ∑n
dd i
( )04,218,4
11
46
1
2
===−−
= ∑n
dds i
d
1) 0:
0:0
<=
da
d
aH
aH 7959,1
10,0
111−=
=∝=−=
tnυ
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
23
2) 05,0=∝ 3) 04,2=ds
4) ( )
70,104,2
46,31 −=−=−=−
=dd
d
s
nd
n
sad
t
Se ubica en la zona de aceptación; la diferencia no es significativa al nivel del 5%. Podrá afirmarse que el anuncio B no suscita más atención que el anuncio A. 39. Solución:
No. Prueba ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 20 19 1 0,6 0,36 2 17 18 -1 -1,4 1,96 3 18 20 -2 -2,4 5,76 4 20 17 3 2,6 6,76 5 19 18 1 0,6 0,36 6 18 17 1 0,6 0,36 7 19 19 0 -0,4 0,16 8 20 19 1 0,6 0,36 9 19 20 -1 -1,4 1,96
10 20 19 1 0,6 0,36 - Σ 4 0 18,40
4,010
4 === ∑n
dd i
( )43,1
1
2
=−−= ∑
n
dds i
d 452,010
43,1 ===n
ss d
d
1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 0: ≠da aH 3) 43,1=ds
4) 885,0452,04,0 ==−=
d
d
s
adt
Al nivel del 5%, no se puede afirmar que exista una diferencia significativa. 40. Solución:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
24
No. Prueba ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 21 17 4 0 0 2 20 18 2 -2 4 3 20 18 2 -2 4 4 22 16 6 2 4 5 16 14 2 -2 4 6 21 13 8 4 16 - Σ 24 0 32
46
24 === ∑n
dd i
( )53,2
532
1
2
==−−= ∑
n
dds i
d 033,145,2
53,2
6
53,2 ====n
ss d
d
1) 0:0 =daH 2) 01,0=∝ 0: ≠da aH
3) 872,3033,14 ===
ds
dt
Al nivel del 1%, no permite afirmar que exista una diferencia significativa. 41. Solución:
No. Prueba 1º. Estudio 2º Estudio iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 7 8 -1 -4 16 2 8 8 0 -3 9 3 10 7 3 0 0 4 11 6 5 2 4 5 18 10 8 5 25 6 16 9 7 4 16 7 12 9 3 0 0 8 12 8 4 1 1 9 6 7 -1 -4 16
10 12 10 2 -1 1
Σ - - 30 0 88
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25
310
30 === ∑n
dd i %99=P 9=υ 2498,3=t
( )13,3
988
1
2
==−−= ∑
n
dds i
d 99,010
13,3 ===n
ss d
d
dd tsda ±=
( )
−=±=
22,0
22,699,02498,33
isda
1) 0:0 =daH 9=υ 02,0=∝ 0: >da aH 821,2=t
2) 01,0=∝ 3) 03,399,0
3 ==t
Se concluye que este programa si reduce el tiempo medio de ensamble, al nivel del 1%. 42. Solución:
Mecanógrafa ix iy iii yxd −= ii dd − ( )2ddi − 1 75 79 -4 -22,88 523,49 2 89 62 27 8,12 65,93 3 79 54 25 6,12 37,45 4 85 67 18 -0,88 0,77 5 102 81 21 2,12 4,49 6 115 78 37 18,12 328,33 7 97 66 31 12,12 146,89 8 69 73 -4 -22,88 524,49 Σ - - 151 0 1.631,84
88,188
151=== ∑n
dd i
( )27,15
784,631.1
1
2
==−−= ∑
ndd
s id 40,5
8
27,15 ===n
ss d
d
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1) 0:0 =daH 71 =−= nυ 0: ≠da aH 3646,205,0 =t
2) 05,0=∝ 3) 40,5=
ds
4) d
d
s
adt
−= 50,3
40,5
088,18 =−=t
El valor de 50,3=t se ubica en la región crítica. Se rechaza la hipótesis nula 0:0 =daH por lo tanto la diferencia es significativa, al nivel del 5%. CHI – CUADRADO O JI-CUADRADO 43. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
12 16,666 -4,666 21,77 1,306 17 16,666 0,334 0,11 0,007 20 16,666 3,334 11,12 0,667 22 16,666 5,334 28,45 1,707 13 16,666 -3,666 13,44 0,806 16 16,666 -0,666 0,44 0,026
100 99,999 0,004 - 4,519
6
1=p ( ) 666,161006
1* === pnni 51 =−= nSiendoυ 09,15201,0 =χ
1) *
0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 01,0=∝
*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠:
3) ( )
519,4*
2*2 =
−= ∑
i
ii
n
nnχ
Como 519,42 =χ se sitúa en la zona de aceptación, se puede considerar al dado como perfecto, es decir, no está cargado, al nivel del 1%.
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27
44. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
20 25 -5 25 1,00 55 50 5 25 0,50 25 25 0 0 0
100 100 0 - 1,50
25,04
11 ==p 50,0
4
22 ==p 25,0
4
13 ==p
( ) 2525,01001
* === pnni ( ) 5050,01002*2 === pnn ( ) 2525,01003
*3 === pnn
1) *
0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 05,0=∝
*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠:
3) ( )
50,1*
2*2 =−= ∑
i
ii
n
nnχ
Siendo 213 =−=υ 99,52
05,0 =χ
Se puede concluir que la segregación se ha presentado de acuerdo a la relación mendeliana de 1: 2: 1. 45. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
120 122,06 -2,06 4,24 0,0347 49 40,69 8,31 69,06 1,6972 36 40,69 -4,69 21,99 0,5404 12 13,56 -1,56 2,43 0,1792
217 217,00 0 - 2,4515
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28
5625,016
91 ==p ( ) 06,1225625,02171
*1 === npn
1875,016
32 ==p ( ) 69,401875,02172
*2 === npn
1875,016
33 ==p ( ) 69,401875,02173
*3 === npn
0625,016
14 ==p ( ) 56,130625,02174
*4 === npn
1) *
0 : ii nnH = 314 =−=υSiendo
*: iia nnH ≠ 82,7205,0 =χ
2) 05,0=∝
3) ( )
4515,2*
2*2 =−= ∑
i
ii
n
nnχ
( )∑
−=e
eo
F
FF 22χ
Se puede concluir, que los resultados son consistentes con la proporción esperada, al nivel del 5%. 46. Solución:
1)
( )∑ =−= 4
*
2*2
i
ii
n
nnχ
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
440 400 40 1.600 4
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
220 200 20 400 2
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29
2)
( )∑ =−= 2*
2*2
i
ii
n
nnχ
Exactamente es la mitad del valor del punto (a)
3) 2002
1400 =
== pnµ 1021
21
400 =
== qpnσ
95,110
2005,219 =−=−=σ
µXz
95,110
2005,180 −=−=−=σ
µXz
( ) 9488,04744,04744,04744,095,1 =+→= Az
( ) %12,50512,09488,015,2195,180 ==−=>> xP
47. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
34 36 -2 4 0,11 10 12 -2 4 0,33 20 16 4 16 1,00 64 64 0 - 1,44
5625,016
91 ==p ( ) 365625,0641
* === pnni
1875,016
32 ==p ( ) 121875,0642
*2 === pnn
oF eF eo FF − ( )2eo FF −
( )e
eo
F
FF 2−
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30
25,016
43 ==p ( ) 1625,0643
*3 === pnn
2131 =−=−=nυ 99,52
05,0 =χ
1) *
0 : ii nnH = 2) 05,0=∝
*: iia nnH ≠
3) ( )
44,1*
2*2 =−= ∑
i
ii
n
nnχ
Los datos son consistentes con el modelo, al nivel del 5% 48. Solución:
Tratamiento Enfermos No Enfermos Total Vacunados
No Vacunados 192 113
4 34
196 147
Total 305 38 343
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
192 173,85 18,15 329,42 1,90 113 131,15 -18,15 329,42 2,51
4 21,66 -17,66 311,87 14,40 34 16,34 17,66 311,87 19,09
343 343,00 0 - 37,90
57,0343196
1 ==p ( ) 85,17357,0305*1 ==n
43,0343147
2 ==p ( ) 15,13143,0305*2 ==n
( ) 66,2157,038*
3 ==n
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31
( ) 34,1643,038*
4 ==n 1) *
0 : ii nnH = eo FFH =:0 ( )( ) 11212 =−−=υ
*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: 64,6201,0 =χ
2) 01,0=∝
3) ( )
90,37*
2*2 =−= ∑
i
ii
n
nnχ ( )
∑−=
e
eo
F
FF 22χ
Estos datos no nos indican la efectividad de la vacunación al nivel del 1%. Aplicando la corrección de Yates.
5,0* −− ii nn 2
* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
17,65 311,52 1,79 17,65 311,52 2,38 17,16 294,47 13,60 17,16 294,47 18,02
_ _ 35,79
( )79,35
5,0*
2*
2 =−−
= ∑i
ii
n
nnχ ; 22
01,0 χχ < ⇒ 79,3564,6 <
Otra fórmula de cálculo para 2χ sin corregir: ( )4321
22
mmmm
BCADn −=χ
[ ]
80,35080.931.333
5,904.5343 22 ===χ
La fórmula con la cual se obtiene el valor 2χ corregida se da a continuación:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
92,37080.931.333
076.6343
14719638305
11343421923435,0 22
4321
2
2 ==−−−=
mmmm
nBCADnχ
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32
49. Solución:
Color Pelo Claro Pelo Oscuro Total
Ojos Azules Ojos Castaños
23 4
7 16
30 20
Total 27 23 50
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
23 16,2 6,8 46,24 2,85 4 10,8 -6,8 46,24 4,28 7 13,8 -6,8 46,24 3,35
16 9,2 6,8 46,24 5,03 50 50,0 0 - 15,51
60,050
301 ==p 40,0
50
202 ==p
( ) 2,1660,027*
1 ==n ; ( ) 8,1040,027*2 ==n ; ( ) 8,1360,023*
3 ==n ; ( ) 2,940,023*4 ==n
( )( ) 11212 =−−=υ ; 84,32
01,0 =χ
1) relaciónhay No:0H 2) 05,0=∝ relación Existe:aH
3) ( )
51,15*
2*2 =
−= ∑
i
ii
n
nnχ
Puede concluirse que existe relación entre ambas propiedades, al nivel del 1%. Aplicando la corrección de Yates:
*in *
ii nn −
−− 5,0*
ii nn 2
* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
16,2 6,8 6,3 39,69 2,45 10,8 -6,8 6,3 39,69 3,68 13,8 -6,8 6,3 39,69 2,88
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33
9,2 6,8 6,3 39,69 4,31 50,0 0 - - 13,32
∑ =
−−
= 32,135,0
*
*
2
i
ii
n
nnχ 22
05,0 χχ < 32,1384,3 <
Otra forma de cálculo sin corregir: ( )
4321
22
mmmm
BCADn −=χ
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
51,15600.372
000.780.5
600.372
34050
20302327
47162350 222 ===−=χ (Se llega a la misma conclusión)
La fórmula con la cual se obtiene2χ corregida:
( ) [ ]32,13
600.372
315505,0 2
4321
2
2 ==−−
=mmmm
nBCADnχ
50. Solución:
Sexo Escuchan No escuchan Total
Hombres Mujeres
35 20
65 80
100 100
Total 55 145 200
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
35 27,50 7,50 56,25 2,045 20 27,50 -7,50 56,25 2,045 65 72,50 -7,50 56,25 0,776 80 72,50 7,50 56,25 0,776 200 200,00 0 _ 5,642
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34
50,0200
1001 ==p 50,0
200
1002 ==p
( ) 50,27555,0*
1 ==n ; ( ) 50,27555,0*2 ==n ; ( ) 50,721455,0*
3 ==n ; ( ) 50,721455,0*4 ==n
( )( ) 11212 =−−=υ ; 64,62
01,0 =χ
1) *
0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 01,0=∝
*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠:
3) ( )
∑ =−= 64,5*
2*2
i
ii
n
nnχ ( )
∑−=
e
eo
F
FF 22χ
No existe una diferencia significativa entre los hábitos de este grupo de hombres y mujeres respecto al programa radial. Aplicando la corrección de Yates:
*in *
ii nn − 5,0* −− ii nn 2
* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
27,5 -7,5 7 49 1,78 27,5 7,5 7 49 1,78 72,5 7,5 7 49 0,68 72,5 -7,5 7 49 0,68 200,0 0 - - 4,92
∑ >>=
−−
= 92,464,6;92,45,0
2201,0*
2*
2 conclusiónmismalaallegasen
nnn
i
ii
χχχ
Otra forma de calcular 2χ sin corregir:
( )4321
22
mmmm
BCADn −=χ ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
64,5000.750.79
500.1200
10010014555
20658035200 222 ==−=χ
La fórmula con la cual 2χ se obtiene corregida es:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
35
( ) ( )91,4
000.750.79
400.12005,0 2
4321
22 ==
−−=
mmmm
nBCADnχ
51. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
8 6 2 4 0,66 2 4 -2 4 1,00 16 18 -2 4 0,22 14 12 2 4 0,33 40 40 0 - 2,21
6,040
241 ==p 4,0
40
162 ==p
( ) 6106,0*1 ==n ( ) 4104,0*
2 ==n ( ) 18306,0*3 ==n ( ) 12304,0*
4 ==n 1) *
0 : ii nnH = 2) 02,0=∝
*: iia nnH ≠ 3) ( )( ) 11212 =−−=υ
( )
21,2*
2*2 =−= ∑
i
ii
n
nnχ ( )
∑−
=e
eo
F
FF 22χ
La cantidad de fruta deteriorada no depende de su fumigación, al nivel del 2% Aplicando la corrección de Yates:
*in *
ii nn − 5,0* −− ii nn 2
* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
6 2 1,5 2,25 0,38 4 -2 1,5 2,25 0,56 18 -2 1,5 2,25 0,12 12 2 1,5 2,25 0,19
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
36
40 0 _ _ 1,25
( )∑ >⇒>=
−−= conclusiónmismalaallegaSe
n
nn
i
ii25,141,5;25,1
5,022
02,0*
2*
2 χχχ
corregirsinχcalculardeformaOtra 2 : ( )4321
22
mmmm
BCADn −=χ
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
22,2200.115
000.256
200.115
8040
16243010
21614840 222 ===−=χ
.2 corregidaobtienesecuallaconfórmulaLa χ :
( ) ( )25,1
200.115
60405,0 2
4321
2
2 ==−−
=mmmm
nBCADnχ
52. Solución:
( ) 59,41727,0*1 ==n ; ( ) 41,121773,0*
2 ==n ; ( ) 11,259327,0*3 ==n ; ( ) 89,679373,0*
4 ==n
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
9 4,59 4,41 19,45 4,24 8 12,41 -4,41 19,45 1,57 21 25,11 -4,11 16,89 0,67 72 67,89 4,11 16,89 0,25
110 110,00 0 _ 6,73
27,0110
301 ==p 73,0
110
802 ==p
1) *
0 : ii nnH = 2) 05,0=∝
*: iia nnH ≠ ( )( ) 11212 =−−=υ 84,32
05,0 =χ
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37
3) ( )
∑ =−
= 73,6*
2*2
i
ii
n
nnχ
La diferencia es significativa, al nivel del 5%. Aplicando la corrección de Yates:
*in *
ii nn − 5,0* −− ii nn 2
* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
4,59 4,41 3,91 15,29 3,33 12,41 -4,41 3,91 15,29 1,23 25,11 -4,41 3,61 13,03 0,52 67,89 4,11 3,61 13,03 0,19 110,00 0 - - 5,27
∑ <⇒>=
−−
= 27,584,327,55,0
2201,0*
2*
2 χχχ conclusiónmismalaallegasen
nnn
i
ii
corregirsinχcálculodeformaOtra 2 ( )4321
22
mmmm
BCADn −=χ
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
68,6400.794.300.344.25
400.794.3480110
80309317821729110 22
2 ===−=χ
:2 corregidaobtienesecuallaconfórmulaLa χ
( ) [ ]
24,5400.794.3
42511050 2
4321
2
2 ==−−
=mmmm
n,BCADnχ
53. Solución:
20,0110
201 ==p 30,0
110
302 ==p 50,0
100
503 ==p
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( ) 42020,0*1 ==n ( ) 62030,0*
2 ==n ( ) 102050,0*3 ==n ( ) 63020,0*
4 ==n
( ) 93030,0*5 ==n ( ) 153050,0*
6 ==n ( ) 105020,0*7 ==n ( ) 155030,0*
8 ==n
( ) 255050,0*9 ==n
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
2 4 -2 4 1,00 3 6 -3 9 1,50
15 10 5 25 2,50 9 6 3 9 1,50 6 9 -3 9 1,00
15 15 0 0 0 9 10 -1 1 0,10
21 15 6 36 2,40 20 25 -5 25 1,00
100 100 0 - 11,00
1) *
0 : ii nnH = 2) 01,0=∝
*: iia nnH ≠
( )( ) 41313 =−−=υ 28,13201,0 =χ
3) ( )
0,11*
2*2 ∑ =−=
i
ii
n
nnχ
El color del pelo no depende de la región geográfica, al nivel del 1%. 54. Solución:
Vendedor in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
A 35 35 0 0 0 B 20 35 -15 225 6,43 C 47 35 12 144 4,11 D 32 35 -3 9 0,26
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E 51 35 16 256 7,31 F 25 35 -10 100 2,86
Σ 210 210 0 - 20,97
356
1210*
1 =
=n 07,1105,05 205,0 ==∝= χυ ySiendo
1) *
0 : ii nnH = 2) 05,0=∝
*: iia nnH ≠
3) ( )∑ =−= 97,20
*
2*2
i
ii
n
nnχ ( )
∑−=
e
eo
F
FF 22χ
Se rechaza la hipótesis ya que 97,202 =χ se sitúa en la zona de rechazo es decir, que el número de visitas no está distribuido en forma uniforme, al nivel del 5%. 55. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
59 51 8 64 1,25 43 51 -8 64 1,25 102 102 0 - 2,50
5,0=p ( ) 515,01021
*1 === pnn
1) *
0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 05,0=∝
*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: Siendo 1=υ y 05,0=∝ Se tiene 84,32
05,0 =χ
3) 50,22 =χ
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Dado que 2,50 es menor que 3,84, podemos admitir al nivel del 5%, que la hipótesis (nula) es correcta; no hay razón para suponer que se produzcan más accidentes en la fábrica A que en la fábrica B. 56. Solución:
Región in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
1 61 54 7 49 0,907 2 83 90 -7 49 0,544 3 54 63 -9 81 1,286 4 46 51 -5 25 0,490 5 56 42 14 196 4,666
Σ 300 300 0 - 7,893
( ) 5418,0300*
1 ==n ( ) 9030,0300*2 ==n
( ) 6321,0300*
3 ==n ( ) 5117,0300*4 ==n 42*
5 =n 1) *
0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 01,0=∝
*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: 3) Siendo 41 =−= nυ 28,132
01,0 =χ > 893,72 =χ
Como 893,72 =χ es menor que 13,28 se sitúa en la zona de aceptación, en consecuencia
podemos admitir que las frecuencias de venta no son, en conjunto, significativamente diferente a las frecuencias dadas por las cuales, aunque acusen diferencias muy grandes para la región cinco, al nivel del 1%. 57. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
77 70,54 6,46 41,73 0,59
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54 60,46 -6,46 41,73 0,69 63 69,46 -6,46 41,73 0,60 66 59,54 6,46 41,73 0,70
260 260,00 0 - 2,58
54,70140260
131*1 =×=n 46,60120
260
131*2 =×=n
46,69140260
129*3 =×=n 54,59120
260
129*4 =×=n
1) *
0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 05,0=∝
*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠:
3) ( )
∑ =−= 58,2*
2*2
i
ii
n
nnχ
No se puede concluir que un procedimiento es mejor que el otro. Aceptamos la hipótesis nula 0H
Ahora procederemos aplicando la corrección de Yates ∑
−−
=*
2*
25,0
i
ii
n
nnχ
in *in *
ii nn − 2
* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
77 70,54 6,46 5,962 0,504 54 60,46 -6,46 5,962 0,588 63 69,46 -6,46 5,962 0,511 66 59,54 6,46 5,962 0,597 260 260,00 0 - 2,200
( ) ( ) 84,311212 205,0 =→=−−= χυ
1) *
0 : ii nnH = 2) 05,0=∝
*: iia nnH ≠
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3) 20,25,0
*
2*
2 =
−−
=∑i
ii
n
nnχ
( )∑
−=e
eo
F
FF 22χ
20,22 =χ se sitúa en la zona de aceptación. La diferencia entre las dos muestras no es
significativa y no se puede tomar ninguna conclusión de que uno de ellos sea mejor, al nivel del 5%. 58. Solución:
37,245550513.1
675*1 =×=n 18,164368
513.1
675*2 =×=n 98,111251
513.1
675*3 =×=n
47,153344513.1
675*4 =×=n 39,201550
513.1
554*5 =×=n 75,134368
513.1
554*6 =×=n
91,91251513.1
554*7 =×=n 96,125344
513.1
554*8 =×=n 23,103550
513.1
284*9 =×=n
08,69368513.1
284*10 =×=n 11,47251
513.1
284*11 =×=n 57,64344
513.1
284*12 =×=n
in *in
( )*
2*
i
ii
n
nn −
229 245,37 1,092 186 164,18 2,900 110 111,98 0,035 150 153,47 0,078 216 201,39 1,060 119 134,75 1,841 92 91,91 0,000
127 125,96 0,009 105 103,23 0,030 63 69,08 0,535 49 47,11 0,076 67 64,57 0,091
1.513 1.513,00 7,747
1) *
0 : ii nnH = 2) 02,0=∝
*: iia nnH ≠
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( )747,7
*
2*2 =−= ∑
i
ii
n
nnχ ( )
∑−=
e
eo
F
FF 22χ
3) ( ) ( ) 03,1561314 2
02,0 =→=−−= χυ
747,72 =χ se ubica en la región de aceptación, por ser inferior a 15,03, podemos concluir
que la distribución de las piezas producidas por las cuatro máquinas, no acusan diferencias significativas en lo concerniente a la calidad, al nivel del 2%. 59. Solución:
( ) 91,90500100.1
200*1 ==n ( ) 82,181500
100.1
400*2 ==n ( ) 36,136500
100.1
300*3 ==n
( ) 91,90500100.1
200*4 ==n ( ) 18,18100
100.1
200*5 ==n ( ) 36,36100
100.1
400*6 ==n
( ) 27,27100100.1
300*7 ==n ( ) 18,18100
100.1
200*8 ==n ( ) 55,54300
100.1
200*9 ==n
( ) 09,109300100.1
400*10 ==n ( ) 82,81300
100.1
300*11 ==n ( ) 55,54300
100.1
200*12 ==n
( ) 36,36200100.1
200*13 ==n ( ) 73,72200
100.1
400*14 ==n ( ) 55,54200
100.1
300*15 ==n
( ) 36,36200100.1
200*16 ==n
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
85 90,91 -5,91 34,93 0,3842 153 181,82 -28,82 830,59 4,5682 128 136,36 -8,36 69,89 0,5137 134 90,91 43,09 1,856,75 20,4240 23 18,18 4,82 23,23 1,2778 44 36,36 7,64 58,37 1,6053 26 27,27 -1,27 1,61 0,0590
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7 18,18 -11,18 124,99 6,8751 56 54,55 1,45 2,10 0,0385
128 109,09 18,91 357,59 3,2779 101 81,82 19,18 367,87 4,4961 15 54,55 -39,55 1.564,20 28,6746 36 36,36 -0,36 0,13 0,0708 75 72,73 2,27 5,15 0,0715 45 54,55 -9,55 91,20 1,6719 44 36,36 7,64 58,37 1,6053
1.100 1.100,00 0 - 75,6139
bebery fumar de hábitos los entrerelación hay No:0H bebery fumar de hábitos los entrerelación hay S: iH a
2) ( ) ( ) 91414 =−−=υ 92,162
05,0 =χ
3) ( )61,75
*
2*2 =−= ∑
i
ii
n
nnχ
Se contrasta la hipótesis de independencia. Como 75,61 es mayor que 16,92 se rechaza la hipótesis de independencia, por lo tanto se infiere que existe una relación entre los hábitos de fumar y beber, al nivel del 5%.
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60. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
51 60 -9 81 1,35 74 60 14 196 3,27 25 60 -35 1.225 20,42 90 60 30 900 15,00
110 100 10 100 1,00 106 100 6 36 0,36 124 100 24 576 5,76 60 100 -40 1.600 16,00 39 40 -1 1 0,02 20 40 -20 400 10,00 51 40 11 121 3,02 50 40 10 100 2,50
800 800 0 - 78,70
Siendo: ( ) ( ) 61314 =−−=υ 05,0=∝ 1) :0H Hay homogeneidad :aH No hay homogeneidad
2) ( )
7,78*
2*2 =
−= ∑
i
ii
n
nnχ ( )
∑−=
e
eo
F
FF 22χ
Se rechaza la hipótesis de homogeneidad, los 4 grupos no tienen la misma preferencia, al nivel del 5%. 61. Solución: (a) Falso (b) Falso (c) Cierto (d) Cierto (e) Cierto (f) Cierto
59,12205,0 =χ
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62. Solución:
Sexo Eslogan
Totales Recuerdan No recuerdan
Varones 209 67 276 Mujeres 65 33 98 Totales 274 100 374
1. a igual y 22 de tablauna de tratase que dado Yates, de corrección laefectuar necesario Será υ ×
in *in *
ii nn − Corrección Yates
2* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
209 202 7 6,5 42,25 0,209 65 74 -7 6,5 42,25 0,571 67 72 -7 6,5 42,25 0,587 33 26 7 6,5 42,25 1,625 374 374 0 - - 2,992
1) adhomogeneidhay :0H adhomogeneidhay no:aH
2) 992,25,0
*
2*
2 =
−−
= ∑i
ii
n
nnχ
( )
∑−=
e
eo
F
FF 22χ
3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ
71,2210,0 =χ
10%. del nivel al rechaza, se adhomogeneid de hipótesis la;71,299,2 >
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63. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
62 61,2 0,8 0,64 0,01 84 79,9 4,1 16,81 0,21 24 28,9 -4,9 24,01 0,83 36 36,0 0,0 0,00 0,00 42 47,0 -5,0 25,00 0,53 22 17,0 5,0 25,00 1,47
270 270,0 0 - 3,05
1) *
0 ii nn:H = 2) ( ) ( ) 21213 =−−=υ 99,5205,0 =χ
*iia nn:H ≠
3) ( )
05,3*
2*2 =−= ∑
i
ii
n
nnχ ( )
∑−=
e
eo
F
FF 22χ
Se acepta que tienen la misma opinión, al nivel del 5%. 64. Solución:
Sexo Margarina Mantequilla Total Hombres 86 74 160 Mujeres 144 96 240
Total 230 170 400
in *in *
ii nn − *ii nn −
2* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
86 92 -6 6 30,25 0,33 144 138 6 6 30,25 0,22 74 68 6 6 30,25 0,44 96 102 -6 6 30,25 0,30
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400 400 0 - - 1,29
==×==×
→==*3
*1
168170
9223040,0
400160
n
np
==×==×→==
*4
*2
2102170
13823060,0
400240
n
np
1) *
0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 05,0=∝
*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: 3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ 4) 84,32
05,0 =χ
29,12 =χ cae en la zona de aceptación, al nivel del 5%, no hay diferencias en las
preferencias. 65. Solución:
Resultados A B Total Defectuoso 40 60 100
No Defectuoso 300 500 800 Total 340 560 900
in *in *
ii nn − *ii nn −
2* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
40 37,4 2,6 2,6 4,41 0,12 300 302,6 -2,6 2,6 4,41 0,01 60 61,6 -1,6 1,60 1,21 0,02
500 498,4 1,6 1,60 1,21 0,00
900 900,0 0 - - 0,15
oF eF eo FF − eo FF − ( )25,0−− eo FF
( )e
eo
F
FF2
5,0−−
11,0900
1001 ==p 89,02 =p
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48
=*
1n ( ) 4,3734011,0 = =*3n ( ) 6,6156011,0 =
=*
2n ( ) 6,30234089,0 = =*4n ( ) 4,49856089,0 =
1) *
0 : ii nnH = 2) 01,0=∝
*: iia nnH ≠ 3) 1=υ 4) 15,02 =χ
15,02 =χ cae en la ZA, al nivel del 1%, por lo tanto no se puede afirmar diferencias entre la proporción de defectuosas para las dos operadoras. 66. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
85 85 0 0 0 11 10 1 1 0,10 3 4 -1 1 0,25 1 1 0 0 0
100 100 0 - 0,35
oF eF eo FF − ( )2eo FF −
( )e
eo
F
FF 2−
( )∑
−=*
2*2
i
ii
n
nnχ 35,02 =χ
1) *
0 : ii nnH = 2) 10,0=∝
*: iia nnH ≠
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49
3) 31 =−= nυ 25,6210,0 =χ
Al nivel del 10%, se puede concluir que los porcentajes de opinión son los mismos. 67. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
8 9,29 -1,29 1,6641 0,18 7 9,29 -2,29 5,2441 0,56 9 9,29 -0,29 0,0841 0,00 6 9,29 -3,29 10,8241 1,17 13 9,28 3,72 13,8384 1,49 12 9,28 2,72 7,3984 0,80 10 9,28 0,72 0,5184 0,06
65 65,00 - - 4,26
oF eF eo FF − ( )2eo FF −
( )e
eo
F
FF 2−
( )
∑−= *
2*2
i
ii
n
nnχ
29,9651429,07
1 =×==p 59,12205,0 =χ 6171 =−=−= nυ
05,0=∝ 26,42 =χ
Como 26,42 =χ cae en la zona de aceptación, podemos concluir al nivel del 5%, que los incendios están homogéneamente distribuidos por semana.
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50
68. Solución:
Calificaciones Hombres Mujeres Total
Aprueban 110 80 190 No Aprueban 20 10 30
Total 130 90 220
=×=×
→==40,7790
80,11113086,0
220
1901p
=×=×
→==60,1290
20,1813014,0
22030
2p
in *in *
ii nn − *ii nn −
2* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
110 111,80 -1,8 1,8 1,69 0,015 20 18,20 1,8 1,8 1,69 0,093 80 77,40 2,6 2,6 4,41 0,057 10 12,60 -2,6 2,6 4,41 0,350
220 220,00 0 - - 0,515
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51
∑
−−
=*
2*
25,0
i
ii
n
nnχ 515,02 =χ
1) relaciónhayNoH :0 2) 05,0=∝ relaciónhaySiHa : 3) 84,32
05,0 =χ
4) ( ) ( ) 111 21 =−−= nnυ Al nivel del 5%, se concluye que no hay relación entre el sexo y la aprobación de curso. 69. Solución:
Habito Fumar Bebedores Abstemios Total
Fumadores en exceso 40 20 60 Fumadores promedio 60 40 100
Poco Fumadores 80 40 120 No Fumadores 10 60 70
Totales 190 160 350
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
40 32,3 7,7 59,29 1,84 60 55,1 4,9 24,01 0,44 80 64,6 15,4 237,16 3,67 10 38,0 -28,0 784,00 20,63 20 27,2 -7,2 51,84 1,91 40 46,4 -6,4 40,96 0,88 40 54,4 -14,4 207,36 3,81 60 32,0 28,0 784,00 24,50
350 350,0 - - 57,68
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
52
oF eF eo FF − ( )2eo FF −
( )e
eo
F
FF 2−
=×=×
→==2,27160
3,3219017,0
350
601p
=×=×
→==4,46160
1,5519029,0
350
1002p
=×=×
→==4,54160
6,6419034,0
350
1203p
=×=×
→==0,32160
0,3819020,0
350
704p
( )
∑−= *
2*2
i
ii
n
nnχ 68,572 =χ
1) )(: *
0 diferenciahayNonnH ii = 2) 05,0=∝
)(: * haylaSinnH iia ≠ 3) 82,72
05,0 =χ
4) ( ) ( ) 31214 =−−=υ Al nivel del 5%, se puede concluir que si hay diferencia en los fumadores, entre bebedores y abstemios. 70. Solución:
Tipo Poder Bogotá Medellín Cali Total
Novelas 70 40 40 150 Música 100 80 60 240
Ciencia ficción 40 50 30 120 Comedia 30 30 30 90
Total 240 200 160 600
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
70 60 10 100 1,67 100 96 4 16 0,17
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
53
40 48 -8 64 1,33 30 36 -6 36 1,00 40 50 -10 100 2,00 80 80 0 0 0 50 40 10 100 2,50 30 30 0 0 0 40 40 0 0 0 60 64 -4 16 0,25 30 32 -2 4 0,13 30 24 6 36 1,50 600 600 0 - 10,55
=×=×=×
→==40160
50200
60240
25,0600
1501p
=×=×=×
→==64160
80200
96240
40,0600
2402p
=×=×=×
→==32160
40200
48240
20,0600120
3p
=×=×=×
→==24160
30200
36240
15,060090
4p
( )∑
−= *
2*2
i
ii
n
nnχ ( )
∑−=
e
eo
F
FF 22χ
1) *
0 : ii nnH = eo FFH =:0 2) 05,0=∝
*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: 3) ( ) ( ) 61314 =−−=υ 4) 59,122
05,0 =χ
55,102 =χ Al nivel del 5%, se puede concluir que las preferencias por los programas son las mismas en las tres ciudades, al nivel del 5%. 71. Solución:
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54
Pacientes Curados No curados Total
Tratados 140 30 170 No tratados 20 40 60
Total 160 70 230
in *in *
ii nn − 2
* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
140 118,4 21,6 445,21 3,76 20 51,8 31,8 979,69 18,91 30 41,6 11,6 123,21 2,96 40 18,2 21,8 453,69 24,93
230 230,0 - 50,56
=×=×
→==8,5170
4,11816074,0
230
1701p
=×=×
→==2,1870
6,4116026,0
230
602p
∑
−−
=*
2*
25,0
i
ii
n
nnχ
( )∑
−−=
e
eo
F
FF2
2 5,0χ
1) relaciónhayNoH :0 2) 01,0=∝ relaciónhaySiH a : 3) ( ) ( ) 111 =−−= nnυ 4) 64,62
01,0 =χ ; 56,502 =χ
Se puede concluir que si hay relación entre el tratamiento y la curación, al nivel del 1%. 72. Solución:
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55
a) ( ) ( ) ( ) 56231314 ≠==−−=υ Falso b) =2χ No puede tomar valor negativo c) Es lo más recomendable d) No puede ser, siempre la suma de esas dos columnas deben ser iguales. 73. Solución:
Características Padres Hijos Total
No Fumadores 8 30 38 Ocasión 10 24 34
Habituales 40 56 96 Ex fumadores 20 12 32
Total 78 122 200
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
8 14,82 -6,82 46,5124 3,14 10 13,26 -3,26 10,6276 0,80 40 37,44 2,56 6,5536 0,18 20 12,48 7,52 56,5504 4,53 30 23,18 6,82 46,5124 2,01 24 20,74 3,26 10,6276 0,51 56 58,56 -2,56 6,5536 0,11 12 19,52 7,52 56,5504 2,90
200 200,00 0 14,18
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56
=×=×
→==18,23122
82,147819,0
20038
1p
=×=×
→==74,20122
26,137817,0
20034
2p
=×=×
→==56,58122
44,377848,0
200
963p
=×=×
→==52,19122
48,127816,0
200
324p
( )
∑−= *
2*2
i
ii
n
nnχ ( )
∑−=
e
eo
F
FF 22χ
1) relaciónhayNoH :0 2) 05,0=∝ relaciónhaySiH a : 3) ( ) ( ) 31214 =−−=υ 4) 82,72
05,0 =χ 18,142 =χ
Al nivel del 5%, se puede concluir que si hay relación entre las diferentes clases de fumadores y la posición familiar. 74. Solución:
Vacunados No enfermos Si enfermos Total Si 70 30 100 No 24 36 60
Total 94 66 160
in *in *
ii nn − 2
* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
70 58,75 11,25 115,5625 1,97 24 35,25 11,25 115,5625 3,28
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57
30 41,25 11,25 115,5625 2,80 36 24,75 11,25 115,5625 4,67
160 160,00 - - 12,72
=×=×
→==25,4166
75,5894625,0
160
1001p
=×=×
→==75,2466
25,3594375,0
160
602p
∑
−−
=*
2*
25,0
i
ii
n
nnχ
( )∑
−−=
e
eo
F
FF2
2 5,0χ
1) *
0 : ii nnH = 2) 10,0=∝
*: iia nnH ≠ 3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ 4) 71,22
10,0 =χ 72,122 =χ
Al nivel del 10%, se puede concluir que la vacuna es efectiva. 75. Solución:
Resultados Vía de Aplicación
Total Intradérmica Escarificación
Positivo 30 20 50 Negativo 70 80 150
Total 100 100 200
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58
in *in *
ii nn − 2
* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
30 25 5 20,25 0,81 70 75 5 20,25 0,27 20 25 5 20,25 0,81 80 75 5 20,25 0,27
200 200 - - 2,16
=×=×
→==25100
2510025,0
200
501p
=×=×
→==75100
7510075,0
200150
2p ( )
∑−−
=e
eo
F
FF2
2 5,0χ
∑
−−
=*
2*
25,0
i
ii
n
nnχ
1) 0: *
0 =− ii nnH 2) 05,0=∝
0: * ≠− iia nnH 3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ 4) 84,32
05,0 =χ 16,22 =χ
No existe ninguna diferencia significativa, al nivel del 5%. 76. Solución:
Resultados Pro Contra Total
Gobierno 600 375 975 Oposición 225 300 525
Total 825 675 1.500
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59
in *in *
ii nn − 2
* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
600 536,25 63,75 4.000,5625 7,46 225 288,75 63,75 4.000,5625 13,85 375 438,75 63,75 4.000,5625 9,12 300 236,25 63,75 4.000,5625 16,93
1.500 1.500,00 - - 47,36
=×=×
→==75,438675
25,53682565,0
500.1975
1p
=×=×
→==25,236675
75,28882535,0
500.1
5252p
∑
−−
=*
2*
25,0
i
ii
n
nnχ
( )∑
−−=
e
eo
F
FF2
2 5,0χ
1) *
0 : ii nnH = 2) 05,0=∝
*: iia nnH ≠ 3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ 4) 84,32
05,0 =χ 36,472 =χ
La afirmación no tiene que ver con la preferencia del voto, al nivel del 5%. 77. Solución:
Artículos Masculinos Femeninos Total Neveras 380 400 780 Radios 260 300 560
Televisores 270 350 620 Total 910 1.050 1.960
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60
in *in *
ii nn − 2
* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
380 364,0 16,0 240,25 0,66 260 263,9 -3,9 11,56 0,04 270 282,1 -12,1 134,56 0,48 400 420,0 -20,0 380,35 0,91 300 304,5 -4,5 16,00 0,05 350 325,5 24,5 576,00 1,77
1.960 1.960,0 - - 3,91
oF eF eo FF − ( )25,0−− eo FF ( )
e
eo
F
FF2
5,0−−
=×=×
→==420050.1
36491040,0
960.1
7801p
=×=×
→==5,304050.1
9,26391029,0
960.1560
2p
=×=×
→==5,325050.1
1,28291031,0
960.1
6203p
( )
∑−−
=*
2*
25,0
i
ii
n
nnχ
( )∑
−−=
e
eo
F
FF2
2 5,0χ
1) relaciónhayNoH :0 2) 05,0=∝ relaciónhaySiH a : 3) ( ) ( ) 21213 =−−=υ 4) 99,52
05,0 =χ 91,32 =χ
No hay relación entre el sexo y la preferencia, al nivel del 5%. 78. Solución:
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Nivel ingreso Frecuente Ocasional Nunca Total
Alto 220 70 30 320 Medio 131 100 80 311 Bajo 30 80 120 230
Total 381 250 230 861
in *in *
ii nn − 2
* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
220 140,97 79,03 6.166,9609 43,75 70 92,50 -22,50 484,0000 5,23 30 85,10 -55,10 2.981,1600 35,03
131 137,16 -6,16 32,0356 0,23 100 90,00 10,00 90,2500 1,00 80 82,80 -2,80 5,2900 0,06 30 102,87 -72,87 5.237,4169 50,91 80 67,50 12,50 144,0000 2,13
120 62,10 57,90 3.294,7600 53,06 861 861,00 0 - 191,40
=×=×=×
→==10,85230
50,92250
97,140381
37,0861
3201p
=×=×=×
→==80,82230
00,90250
16,137381
36,0861
3112p
=×=×=×
→==10,62230
50,67250
87,102381
27,0861
2303p
( )
∑−−
=*
2*
25,0
i
ii
n
nnχ
( )∑
−−=
e
eo
F
FF2
2 5,0χ
1) relaciónexisteNoH :0 2) 01,0=∝ relaciónhaySiH a :
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
62
3) ( ) ( ) 41313 =−−=υ 4) 28,132
01,0 =χ 40,1912 =χ
Al nivel del 1%, se puede aceptar que si hay alguna relación entre los niveles de ingreso y la teleaudiencia en los noticieros. 79. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
18 21 -3 9 0,43 22 20 2 4 0,20 40 44 -4 16 0,36 20 15 5 25 1,67 100 100 0 2,66
( )∑
−= *
2*2
i
ii
n
nnχ
1) *
0 : ii nnH = eoo FFH =: 2) 05,0=∝
*: iia nnH ≠ eoa FFH ≠: 3) 31 =−= nυ 4) 82,72
05,0 =χ 66,22 =χ
Se puede afirmar, que las preferencias por las pantallas es el mismo, al nivel del 5%. 80. Solución:
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63
Sexo Acabado Precio Total Masculino 950 550 1.500 Femenino 850 1.650 2.500
Total 1.800 2.200 4.000
in *in *
ii nn − 2
* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
950 675 275 75.350,25 111,63 550 825 275 75.350,25 91,33 850 1.125 275 75.350,25 66,98 1.650 1.375 275 75.350,25 54,80 4.000 4.000 - - 324,74
=×=×
→==825200.2
675800.1375,0
000.41500
1p
=×=×
→==375.1200.2
125.1800.1625,0
000.4
500.22p
∑
−−
=*
2*
25,0
i
ii
n
nnχ
( )∑
−−=
e
eo
F
FF2
2 5,0χ
1) nteIndependieH :0 2) 05,0=∝ eDependientHa : 3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ 4) 84,32
05,0 =χ 74,3242 =χ
Se puede aceptar que el sexo es dependiente de la respuesta dada, al nivel del 5%.
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81. Solución:
Desempeño Nivel
Total Elemento Sección Universidad
Bueno 82 427 191 700 Regular 10 110 60 180 Malo 8 63 49 120 Total 100 600 300 1.000
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
82 70 12 144 2,06 427 420 7 49 0,12 191 210 -19 361 1,72 10 18 -8 64 3,56
110 108 2 4 0,04 60 54 6 36 0,67 8 12 -4 16 1,33
63 72 -9 81 1,13 49 36 13 169 4,69
1.000 1.000 0 - 15,32
=×=×=×
→==210300
420600
70100
70,0000.1
7001p
=×=×=×
→==54300
108600
18100
18,0000.1
1802p
=×=×=×
→==36300
72600
12100
12,0000.1
1203p
( )∑
−= *
2*2
i
ii
n
nnχ ( )
∑−=
e
eo
F
FF 22χ
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1) nteIndependieH :0 2) 05,0=∝ eDependientHa : 3) ( ) ( ) 41313 =−−=υ 4) 49,92
05,0 =χ 32,152 =χ
Al nivel del 5%, se puede concluir que la calificación de su desempeño es independiente del nivel educacional. 82. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
74 55,2 18,8 353,44 6,40 56 55,2 0,8 0,64 0,01 50 55,2 -5,2 27,04 0,49 54 55,2 -1,2 1,44 0,03 42 55,2 -13,2 174,24 3,16
276 276,0 0 - 10,09
2,5527620,05
11 =×==p
( )∑
−= *
2*2
i
ii
n
nnχ ( )
∑−=
e
eo
F
FF 22χ
1) *
0 : ii nnH = 2) 05,0=∝
*: iia nnH ≠ 3) 415 =−=υ 4) 49,92
05,0 =χ 09,102 =χ
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Se concluye que cada grupo de edad, teme de manera diferente a los exámenes, al nivel del 5%. 83. Solución:
Tiempo Libre Delincuentes No Delincuentes Total Alto 10 29 39 Bajo 20 41 61 Total 30 70 100
in *in *
ii nn − 2
* 5,0
−− ii nn
*
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
10 11,7 1,7 1,44 0,12 29 27,3 1,7 1,44 0,05 20 18,3 1,7 1,44 0,08 41 42,7 1,7 1,44 0,03 100 100,0 - - 0,28
=×=×
→==3,2770
7,113039,0
100
391p
=×=×
→==7,4270
3,183061,0
100
612p
∑
−−
=*
2*
25,0
i
ii
n
nnχ
1) relaciónhayNoH :0 2) 05,0=∝ relaciónhaySiHa : 3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ 4) 84,32
05,0 =χ 28,02 =χ
Al nivel del 5%, se puede afirmar que no hay relación en cuanto a los criterios de clasificación.
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84. Solución:
Maquina Rosa Lila Amar Anar Verde Blanco Total
A 11 77 6 5 3 3 105 B 6 7 10 7 6 6 42
Total 17 84 16 12 9 9 147
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
11 12,07 -1,07 1,1449 0,09 77 59,64 17,36 301,3696 5,05 6 11,36 -5,36 28,7296 2,53 5 8,52 -3,52 12,3904 1,45 3 6,39 -3,39 11,4921 1,80 3 6,39 -3,39 11,4921 1,80 6 4,93 1,07 1,1449 0,23 7 24,36 -17,36 301,3696 12,37
10 4,64 5,36 28,7296 6,19 7 3,48 3,52 12,3904 3,56 6 2,61 3,39 11,4921 4,40 6 2,61 3,39 11,4921 4,40
147 147,00 0 - 43,87
======
×→==
39,69
39,69
52,812
36,1116
64,5984
07,1217
71,0147
1051p
=×=×=×=×=×=×
→==
61,29
61,29
48,312
64,416
36,2484
93,417
29,0147
422p
( )∑
−= *
2*2
i
ii
n
nnχ ( )
∑−=
e
eo
F
FF 22χ
1) nteIndependieH :0 2) 01,0=∝ eDependientHa : 3) ( ) ( ) 51612 =−−=υ
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4) 09,152
05,0 =χ 87,432 =χ
Se puede considerar que hay dependencia entre la mezcla de los colores con la máquina que los envuelve, al nivel del 1%. 85. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
63 60 3 9 0,15 78 60 18 324 5,40 54 60 -6 36 0,60 49 60 -11 121 2,02 56 60 -4 16 0,27 300 300 0 - 8,44
*1 6030020,0
5
1inp ==×==
( )
∑−= *
2*2
i
ii
n
nnχ ( )
∑−=
e
eo
F
FF 22χ
1) *
0 : ii nnH = 2) 05,0=∝
*: iia nnH ≠ 3) 41 =−= nυ 4) 49,92
05,0 =χ 44,82 =χ
Es aproximadamente igual al número de reclamaciones que recibe cada almacén, al nivel del 5%.
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86. Solución:
( )4321
2
2 5,0
mmmm
nBCADn
×××−−
=χ ( )( )
25,116243010
405,032112402
2 =×××
−−=χ
1) adependencihayNoH :0 2) 05,0=∝ adependencihaySiHa : 3) ( ) ( ) 11212 =−−=υ 4) 84,32
05,0 =χ 25,12 =χ
No hay dependencia entre la cantidad de fruta deteriorada y su fumigación, al nivel del 5%. 87. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
18 17 1 1 0,06 12 17 -5 25 1,47 25 17 8 64 3,76 23 17 6 36 2,12 8 17 -9 81 4,76
19 17 2 4 0,24 14 17 -3 9 0,53
119 119 0 - 12,94
171191428,07
1 *1 ≅=×== inp
( )∑
−= *
2*2
i
ii
n
nnχ ( )
∑−=
e
eo
F
FF 22χ
1) *
0 : ii nnH = 2) 05,0=∝
*: iia nnH ≠
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3) 61 =−= nυ 4) 59,122
05,0 =χ 94,122 =χ
Los alumnos no muestran las mismas preferencias según las secciones en las cuales están distribuidos, al nivel del 5% Observaciones Apareadas (pruebas del Signo) 88. Solución:
1417 == Positivosn Negativos = 3 Ceros = 3 Se eliminan los 0
5,82
117 =
== npµ
06,225,42
1
2
117 ==
== npqσ
1) 2
1:0 =PH 2) 05,0=∝
2
1: >PHa 3) 06,2=σ
iii yxD −= + + - - + + - + + 0 + + 0 + + + + + + 0
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4) 43,206,2
5,85,13 =−=−=σ
µXz
Se rechaza la hipótesis nula, al nivel del 5%, se puede concluir que el primer sistema es superior. Otro procedimiento, válido únicamente para pruebas bilaterales:
198,02
1 +−−= nn
k 1898,02
16 −=k 085,33 Hrechazamos<
89. Solución:
Nota: se puede trabajar con diferencias positivas y la curva resultaría al lado contrario. 3positivosSignos = 15 negativos Signos = Ceros = 2 (se eliminan los ceros)
92
118 =
== pnµ
12,25,421
21
18 ==
== qpnσ
X = 3, el cual quedara así: X = 3,5
1) 5,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 5,0: <PH a 3) 12,2=σ
Signo de la Diferencia
- - - 0 - + - - - - 0 - - + - + - - - -
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4) 59,212,2
95,3 −=−=−=σ
µXz
Se ubica en la región crítica, de ahí que rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa; afirmamos que la dieta es efectiva, al nivel del 5%. Se hubiera podido realizar la prueba en forma unilateral derecha, con el mismo resultado. Sólo se aplica cuando la prueba es bilateral:
23,41998,02
17 =−=k ; 0HrechazaseKS <
90. Solución:
Parejas 1x 1y iii yxD −= 1 56 49 + 2 90 88 + 3 38 51 - 4 47 50 - 5 85 83 + 6 49 41 + 7 55 52 + 8 58 69 - 9 68 83 - 10 74 89 - 11 83 77 + 12 87 62 + 13 60 65 - 14 31 44 - 15 89 92 -
Signos positivos = 7 Signos negativos = 8 n = 15
5,72
115 =
== pnµ 94,175,321
21
15 ==
== qpnσ
1) 5,0:0 =PH 2) 05,0=∝
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5,0: ≠PH a 3) 94,1=σ
4) 094,1
5,75,7 =−=−=σ
µXz
La diferencia no es significativa, al nivel del 5%: Otro procedimiento, en el caso de que se trate de una dócima bilateral, al nivel del 5%.
( ) ( ) 198,02
1 +−−= nn
k 08,392,3711598,02
115 =−=+−−=k
S = 7, ya que el número de signos negativos es menor que el número de signos positivos. Como 7 > 3,08, es decir que S > K, aceptamos la hipótesis nula; la diferencia no es significativa. 91. Solución:
Signo de la Diferencia
iD -
+
- - -
0
- -
-
- -
-
- - 0
+
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Signos positivos = 3 Ceros = 4 (se eliminan los ceros) Signos negativos = 23 n = 26
132
126 =
== pnµ
55,25,621
21
26 ==
== qpnσ
1) 5,0:0 =PH 5,0: ≠PH a 2) 05,0=∝ 3) 55,2=σ
4) 73,355,2
135,3 −=−=−=σ
µXz
La diferencia es significativa, ya que rechazamos la hipótesis nula 5,0:0 =PH . Otro procedimiento en la dócima del signo es como sigue; siempre y cuando sea bilateral y
05,0=∝
( ) ( ) 198,02
1 +−−= nn
k 4,710,55,1212698,02
126 =−=+−−=k
- 0
- - - - - - - - 0 - + -
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Siendo S = 3 y S < K, se rechaza la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa, es decir, que la diferencia es significativa; cuando la prueba es bilateral y 05,0=∝ 92. Solución:
.No ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − iD
1 46 40 6 4,69 21,9961 + 2 42 42 0 -1,31 1,7161 0 3 38 36 2 0,69 0,4761 + 4 36 38 -2 -3,31 10,9561 - 5 30 32 -2 -3,31 10,9561 - 6 28 25 3 1,69 2,8561 + 7 25 25 0 -1,31 1,7161 0 8 20 22 -2 -3,31 10,9561 - 9 20 17 3 1,69 2,8561 +
10 17 15 2 0,69 0,4761 + 11 14 10 4 2,69 7,2361 + 12 9 6 3 1,69 2,8561 + 13 8 9 -1 -2,31 5,3361 - 14 7 5 2 0,69 0,4761 + 15 5 3 2 0,69 0,4761 + 16 4 3 1 -0,31 0,0961 +
21 0 81,4376 -
a) Observaciones apareadas
31,116
21 ≅=== ∑n
dd i
( ) 0=−∑ ddi Si no da cero, se debe a la aproximación que hacemos 3125,1=d
( )
33,2116
4376,81
1
2
=−
=−−= ∑
n
ddS i
d
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1) 0:
0:0
≠=
da
d
aH
aH 2) 131,2
15116
05,0==
=−==∝
tυ
3) 25,21633,2
31,1 ===ns
dt
d
De acuerdo al resultado de t = 2,25, se puede concluir que hay diferencias, la nivel del 5%. b) Prueba del signo: positivo = 10 ; negativo = 4 ; cero = 2 14410 =+=n ( ) 75,014 === pnµ ( ) ( ) 87,15,05,014 === qpnσ
1) 5,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) 14=n 5,0: ≠PHa 4) %95=P 96,1=Z
5) σ
µ−= XZ 34,1
87,1
75,9 =−=Z
Se concluye que no existen diferencias significativas al nivel del 5%. 93 Solución:
.No ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − iD
1 27 20 7 4,22 17,8084 + 2 28 25 3 0,22 0,0484 + 3 10 10 0 -2,78 7,7284 0 4 20 21 -1 -3,78 14,2884 - 5 11 11 0 -2,78 7,7284 0 6 11 13 -2 -4,78 22,8484 - 7 15 18 -3 -5,78 33,4084 - 8 27 20 7 4,22 17,8084 + 9 21 16 5 2,22 4,9284 +
10 20 20 0 -2,78 7,7284 0 11 28 23 5 2,22 4,9284 + 12 32 29 3 0,22 0,0484 + 13 30 26 4 1,22 1,4884 + 14 26 28 -2 -4,78 22,8484 - 15 38 29 9 6,22 38,6884 +
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16 27 23 4 1,22 1,4884 + 17 34 26 8 5,22 27,2484 + 18 36 33 3 0,22 0,0484 +
- Σ - 50 0 231,1112 ∑
a) Observaciones apareadas
n
dd i∑= 78,2
18
50 ≅=d ( ) 0=−∑ ddi
( )
69,3118
1112,231
1
2
=−
=−−= ∑
n
ddS i
d
1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝
0: ≠da aH
3) ns
dt
d
= 20,31869,3
78,2 ==t
110,205,0
118 =
=∝−=
tυ
Se concluye que las diferencias son significativas al, nivel del 5%. b) Prueba del signo: positivo = 11; ceros = 3; negativos = 4 n = 15 pn=µ ( ) 5,75,015 ==µ qpn=σ ( )( ) 94,15,05,015 ==σ
1) 5,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 5,0: ≠PHa 3) %95=P 96,1=Z
4) σ
µ−= XZ 55,1
94,1
5,75,10 =−=Z
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Podemos concluir, que las diferencias que se observan no son significativas, al nivel del 5%. 94. Solución:
Par I II iD id ( )2ddi − 1 440 410 + 30 298,9441 2 400 440 - -40 2.778,3441 3 400 290 + 110 9.465,3441 4 310 270 + 40 744,7441 5 300 300 0 0 161,5441 6 410 360 + 50 1.390,5441 7 260 250 + 10 7,3441 8 260 300 - -40 2.778,3441 9 320 340 - -20 1.069,9441
10 380 350 + 30 298,9441 11 360 360 0 0 161,5441 12 370 350 + 20 53,1441 13 290 250 + 40 744,7441 14 290 290 0 0 161,5441 15 286 290 - -4 279,2241 16 310 320 - -10 515,7441 17 252 252 0 0 161,7441
Σ 216 21.071,7297 a) Prueba del signo: positivo = 8 ; ceros = 4 ; negativos = 5 n = 13 pn=µ ( ) 5,65,013 ==µ qpn=σ ( )( ) 80,15,05,013 ==σ
1) 5,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 5,0: ≠PHa 3) %95=P 96,1=Z
4) σ
µ−= XZ 56,0
80,1
5,65,7 ===Z
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
79
Las diferencias no son significativas, al nivel del 5%. b) Observaciones apareadas:
n
dd i∑= 71,12
17
216 ==d
( )
1
2
−−
= ∑n
dds i
d 29,36117
7297,071.21 =−
=ds
1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 3) 161 =−= nυ
0: ≠da aH
4) 120,2=t
ns
dt
d
= 44,11729,36
71,12 ==t
No se puede concluir que las diferencias presentadas sean significativas, al nivel del 5%. NOTA: Los puntos c y d, se deja al estudiante su solución. 95. Solución:
Par ix iy iD 1 10 10 0 2 8 15 - 3 12 10 + 4 16 18 - 5 5 13 - 6 9 14 - 7 7 9 - 8 11 16 - 9 8 6 +
10 16 16 0 11 8 6 + 12 5 5 0 13 8 5 +
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
80
14 6 4 + 15 12 11 + 16 14 12 + 17 8 8 0 18 4 2 + 19 9 8 +
( )
( ) ( )
15
4
94,12121156
5,721159
=
=
====
====
n
Ceros
qpnNegativos
npPositivos
σσ
µµ
1) 50,0:0 =PH 2) 05,0=∝ 3) 96,1=Z 50,0: ≠PHa %95=P
4) σ
µ−= XZ 52,0
94,1
5,75,8 =−=Z Las
diferencias obtenidas no son significativas al nivel del 5%. 96. Solución:
Par ix iy iD id ddi − ( )2ddi − 1 45 45 0 0 1,56 2,4336 2 44 48 - -4 -2,44 5,9536 3 29 36 - -7 -5,44 29,5936 4 27 27 0 0 1,56 2,4336 5 30 28 + 2 3,56 12,6736 6 36 32 + 4 5,56 30,9136 7 35 31 + 4 5,56 30,9136 8 30 42 - -12 -10,44 108,9936 9 34 36 - -2 -0,44 0,1936
10 40 42 - -2 -0,44 0,1936 11 43 44 - -1 0,56 0,3136 12 29 29 0 0 1,56 2,4336 13 32 30 + 2 3,56 12,6736 14 38 42 - -4 -2,44 5,9536
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81
15 34 40 - -6 -4,44 19,7136 16 28 28 0 0 1,56 2,4336 17 32 30 + 2 3,56 12,6736 18 36 40 - -4 -2,44 5,9536
Σ − - - -28 0 286,4448
a) Prueba soluciones apareadas:
n
dd i∑= 56,1
18
28 −=−=d
( )1
2
−−
= ∑n
dds i
d 10,4118
4448,286 =−
=ds
1) 0 :
0:0
pda
d
aH
aH = 740,1
17118
05,0=
=−==∝
tυ
ns
dt
d
= 61,11810,4
56,1 −=−=t
Se puede concluir que no se mejoró el rendimiento, al nivel del 5%. b) Prueba del signo: positivos = 5 negativos = 9 ceros = 4 n = 14 pn=µ ( ) 75,014 ==µ qpn=σ ( )( ) 87,15,05,014 =
1) 50,0:
50,0:0
<=
PH
PH
a
64,1%95
05,0=
==∝
ZP
σ
µ−= XZ 80,0
87,1
75,5 −=−=Z
Como en el caso anterior, también se puede concluir que no se mejoró el rendimiento, al nivel del 5%.
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82
97. Solución:
Indi- viduos ix iy id ddi − ( )2ddi − iD
1 65 72 -7 -4,71 22,1841 - 2 65 70 -5 -2,71 7,3441 - 3 76 78 -2 0,29 0,0841 - 4 84 84 0 2,29 5,2441 0 5 68 74 -6 -3,71 13,7641 - 6 70 76 -6 -3.71 13,7641 - 7 66 72 -6 -3,71 13,7641 - 8 82 79 3 5,29 27,9841 + 9 64 65 -1 1,29 1,6641 -
10 65 70 -5 -2,71 7,3441 - 11 88 88 0 2,29 5,2441 0 12 82 80 2 4,29 18,4041 + 13 70 76 -6 -3,71 13,7641 - 14 70 76 -6 -3,71 13,7641 - 15 75 75 0 2,29 5,2441 0 16 80 86 -6 -3,71 13,7641 - 17 92 80 12 14,29 204,2041 +
Σ − - -39 0 387,5297 ∑
a) Observaciones apareadas (poblaciones dependientes)
n
dd i∑= 29,2
17
39 −=−=d
( )
1
2
−−
= ∑n
dds i
d 92,4117
5297,387 =−
=ds
1) 0:
0:0
≠=
da
d
aH
aH
120,216117)3
05,0)2=
=−==∝
tυ
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83
ns
dt
d
= 92,11792,4
29,2 −=−=t
Las diferencias no son significativas, al nivel del 5%. b) Prueba del signo: negativos = 11 positivos = 3 ceros = 3 n = 14 pn=µ ( ) 75,014 ==µ qpn=σ ( )( ) 87,15,05,014 ==σ
1) 50,0:
50,0:0
≠=
PH
PH
a
96,195,0)305,0)2
=
==∝
ZP
σ
µ−= XZ 87,1
87,1
75,3 −=−=Z
Las diferencias no son significativas, al nivel del 5%. 98. Solución:
Sujeto ix iy iD id ddi − ( )2ddi −
*1 98 82 + 16 9,33 87,0489 2 81 71 + 10 3,33 11,0889 3 72 63 + 9 2,33 5,4289 4 63 63 0 0 -6,67 44,4889 5 92 90 + 2 -4,67 21,8089 6 63 72 - -9 -15,67 245,5489 7 81 66 + 15 8,33 69,3889 8 73 54 + 19 12,33 152,0289 9 63 63 0 0 -6,67 44,4889
10 82 88 - -6 -12,67 160,5289 11 54 50 + 4 -2,67 7,1289 12 88 88 0 0 -6,67 44,4889 13 93 82 + 11 4,33 18,7489 14 68 52 + 16 9,33 87,0489
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84
15 97 82 + 15 8,33 69,3889 16 81 81 0 0 -6,67 44,4889 17 72 63 + 9 2,33 5,4289 18 63 54 + 9 2,33 5,4289
Σ − - - 120 0 1.124,0002
a) Prueba del signo: 144212 ==== ncerosnegativospositivos pn=µ ( ) 75,014 ==µ qpn=σ ( )( ) 87,15,05,014 ==σ
1) 50,0:
50,0:0
≠=
PH
PH
a
96,195,0)305,0)2
=
==∝
ZP
σ
µ−= XZ 41,2
87,1
75,11 =−=Z
Se concluye que el alcohol sí tiene efecto sobre la ansiedad al nivel del 5% b) Observaciones apareadas
n
dd i∑= 67,6
18
120 ==d
( )
1
2
−−
= ∑n
dds i
d 13,8118
0002,124.1 =−
=ds
1) 0:
0:0
>=
da
d
aH
aH 740,1
171)3
05,0)2=
=−==∝
Tnυ
ns
dt
d
= 48,31813,8
67,6 ==t
Se concluye que el alcohol reduce la ansiedad, de acuerdo a los resultados obtenidos y al nivel de significación del 5%.
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85
99. Solución:
Per- sonas ix iy iii yxd −= ddi − ( )2ddi − iD
1 29 30 -1 3,53 12,4609 - 2 22 26 -4 0,53 0,2809 - 3 25 25 0 4,53 20,5209 0 4 29 35 -6 -1,47 2,1609 - 5 26 33 -7 -2,47 6,1009 - 6 24 36 -12 -7,47 55,8009 - 7 21 32 -11 -6,47 41,8609 - 8 20 20 0 4,53 20,5209 0 9 46 54 -8 -3,47 12,0409 -
10 38 58 -20 -15,47 239,3209 - 11 28 43 -15 -10,47 109,6209 - 12 30 30 0 4,53 20,5209 0 13 29 30 -1 3,53 12,4609 - 14 25 20 5 9,53 90,8209 + 15 21 20 1 5,53 30,5809 + 16 22 20 2 6,53 42,6409 + 17 23 23 0 4,53 20,5209 0
Σ − - -77 0 738,2353
a) Observaciones apareadas
n
dd i∑= 53,4
17
77 −=−=d
( )
1
2
−−
= ∑n
dds i
d 79,6117
2353,738 =−
=ds
1) 0:
0:0
<=
da
d
aH
aH
746,116117)3
05,0)2=
=−==∝
tυ
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86
ns
dt
d
= 75,21779,6
53,4 −=−=t
Se concluye al nivel del 5%, que si hubo mejoramiento. b) Prueba del signo: 131034103 =+==== ncerosnegativospositivos pn=µ ( ) 5,65,013 ==µ qpn=σ ( )( ) 80,15,05,013 ==σ
1) 50,0:50,0:0
<=
PH
PH
a
1,64 65,1%95)3
05,0)2oZ
P=
==∝
σ
µ−= XZ 67,1
8,15,65,3 −=−=Z
Se concluye, al igual que en la prueba anterior y al nivel del 5%, que si hubo mejoramiento. 100. Solución:
Auto- móvil ix iy id ddi − ( )2ddi − iD
1 40,6 51,2 -10,6 -8,46 71,5716 - 2 63,3 62,1 1,2 3,34 11,1556 + 3 48,2 52,3 -4,1 -1,96 3,8416 - 4 38,4 42,0 -3,6 -1,46 2,1316 - 5 39,2 43,5 -4,3 2,16 4,6656 - 6 42,6 40,5 2,1 4,24 17,9776 + 7 42,0 42,0 0 2,14 4,5796 0 8 46,1 50,2 -4,1 -1,96 3,8416 - 9 51,0 51,0 0 2,14 4,5796 0
10 39,1 42,6 -3,5 -1,36 1,8496 - 11 38,6 40,4 -1,8 0,34 0,1156 - 12 42,0 42,4 -0,4 1,74 3,0276 - 13 38,6 37,5 1,1 3,24 10,4976 + 14 38,4 39,6 -1,2 0,94 0,8836 - 15 37,3 40,2 -2,9 -0,76 0,5776 - 16 38,6 41,2 -2,6 -0,46 0,2116 -
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87
17 39,3 38,4 0,9 3,04 9,2416 + 18 37,6 40,2 -2,6 -0,46 0,2116 -
Σ − - -36,4 0 150,9608 ––
a) Observaciones apareadas
n
dd i∑= 14,2
118
4,36 −=−
−=d
( )
1
2
−−
= ∑n
dds i
d 98,2118
9608,150 =−
=ds
n
Stda d
d ±= 11,205,0
171==
=∝=−=
tnυ
−−
=±−=62,3
66,0
18
98,211,214,2da
66,048,114,2 −==+− SL 62,348,114,2 −==−− IL 1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 0: ≠da aH La diferencia es significativa, al nivel del 5%, ya que 0=da , no cae dentro de los límites. b) Prueba del signo: 161242124 =+==== ncerosnegativospositivos pn=µ ( ) 85,016 ==µ qpn=σ ( )( ) 25,05,016 ==σ
1) 5,0:
5,0:0
≠=
PH
PH
a
96,1%95)3
05,0)2=
==∝
ZP
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88
σ
µ−= XZ 25,2
2
85,3 −=−=Z
Al nivel del 5%, la diferencia que se presenta se puede considerar significativa. 101. Solución:
Sujeto ix iy iD id ddi − ( )2ddi −
1 30,4 30,4 0 0 0,5 0,25 2 28,6 29,4 - -0,8 -0,3 0,09 3 27,6 30,0 - -2,4 -1,9 3,61 4 34,2 34,4 - -0,2 0,3 0,09 5 32,8 33,8 - -1,0 -0,5 0,25 6 30,2 30,4 - -0,2 0,3 0,09 7 30,1 32,4 - -2,3 -1,8 3,24 8 32,4 34,5 - -2,1 -1,6 2,56 9 33,3 33,3 0 0 0,5 0,25
10 28,4 30,6 - -2,2 -1,7 2,89 11 33,6 31,4 + 2,2 2,7 7,29 12 36,4 34,2 + 2,2 2,7 7,29 13 36,6 36,6 0 0 0,5 0,25 14 35,4 34,5 + 0,9 1,4 1,96 15 30,6 33,5 - -2,9 -2,4 5,76 16 37,6 36,6 + 1,0 -1,5 2,25 17 37,6 39,4 - -1,8 -1,3 1,69 18 38,6 38,6 0 0 0,5 0,25 19 34,5 37,3 - -2,8 -2,3 5,29 20 33,8 31,4 + 2,4 2,9 8,41
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89
Σ − - - -10 - 53,76
a) Observación apareada:
n
dd i∑= 5,0
20
10 −=−=d
68,1120
76,53 =−
=ds
30,068,1
5,0 −=−=t
1) 0:0 =daH 2) 05,0=∝ 3) 093,2 =t 0: ≠da aH Las diferencias, se pueden considerar que no son significativas, al nivel del 5%. b) Prueba del signo: 161154115 =+==== ncerosnegativopositivo pn=µ ( ) 85,016 ==µ qpn=σ ( )( ) 25,05,016 ==σ
1) 5,0:
5,0:0
≠=
PH
PH
a
96,1%95)3
05,0)2=
==∝
ZP
σ
µ−= XZ 25,1
2
85,5 −=−=Z
Al igual que en la prueba anterior, al mismo nivel del 5%, se puede concluir que las diferencias no son significativas. 102. Solución:
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90
Prueba del signo: 173143314 =+==== ncerosnegativospositivos
pn=µ ( ) 5,85,017 ==µ
qpn=σ ( )( ) 06,25,05,017 ==σ
1) 5,0:
5,0:0
≠=
PH
PH
a
96,195,0)3
05,0)2=
==∝
ZP
σµ−= X
Z 43,206,2
5,85,13 =−=Z
Las diferencias son significativas, al nivel del 5%, de acuerdo a los resultados obtenidos. 103 – 108. Se dejan estos ejercicios para que el alumno los resuelva. 109. Solución: a) positivos = 8 negativos = 3 ceros = 3 11=n
No. iD id ( )2ddi − 1 + 2 0,5041 2 + 4 1,6641 3 - -2 22,1841 4 0 0 7,3441 5 + 6 10,8241 6 0 0 7,3441 7 0 0 7,3441 8 + 4 1,6641 9 + 7 18,4041 10 - -4 45,0241 11 + 5 5,2441 12 + 6 10,8241 13 + 12 86,3041 14 - -2 22,1841 38 246,8574
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91
( ) 5,55,011 ==µ ( ) ( ) 66,15,05,011 ==σ
1) 0:0:0
>=
PH
PH
a
(Equivale a reducir)
2) 05,0=∝
2,166,1
5,55,7 =−=Z
Al nivel del 5%, no se redujo el número de accidentes en los cruces de alto riesgo.
b) 71,214
38 ==d 36,4114
8574,246 =−
=ds
1) 0:0:0
>=
da
d
H
H
aa
2) 05,0=∝
33,2
1436,4
71,2 ==t 771,110,0
13=
=∝=
tυ
Al nivel del 5%, se puede concluir que se redujo el número de accidentes en los cruces de alto riesgo. 110. Solución:
No. id ( )2ddi − 1 -0,67 0,9168 2 -0,35 0,4064 3 4,89 21,1830 4 2,05 1,7625 5 -0,20 0,2377 6 0,25 0,0014 7 -1,36 2,7143 8 -0,19 0,2280 9 -0,30 0,3452 10 -1,12 1,9810 11 0,45 0,0264
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92
2875,012
45,3 ==d 65,1112
8027,29 =−
=ds
1) 0:0:0
>=
da
d
aH
aH (Equivale a reducir)
2) 05,0=∝
60,0
1265,12875,0 ==t
796,110,0
11=
=∝=
tµ
Al nivel del 5%, no se ha presentado ningún cambio positivo en los dos períodos. 111. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
250 221,76 28,24 797,4976 3,60 186 184,80 1,20 1,4400 0,00 124 123,20 0,80 0,6400 0,00 50 73,92 -23,92 572,1664 7,74 6 12,32 -6,32 39,9424 3,24
616 616,00 - - 14,58
58,142 =χ 49,9205,0 =χ 49,9
05,041 2 =
=∝=−= χυ n
1) *
*0
:
:
iia
ii
nnH
nnH
≠=
2) 05,0=∝
14,58 cae en la zona de rechazo, al nivel del 5% por lo tanto se puede concluir que ha habido cambios en las
12 0 0 ∑ 3,45 29,8027
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93
preferencias de compra según la marca del auto. 112 y 113. Se dejan estos ejercicios para que el alumno los resuelva. 114. Solución:
992818.11345517511 22 =∑=∑=∑=∑=∑= iiiiii yxyyxxn
a) ( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]91,0
134818.1117555111
1347599211
22=
−−
−=r
b) 1) 0:0:0
≠=
ρρ
aH
H 2) 05,0=∝
28,791,01
21191,0 2 =
−−=t
262,1205,0
92=
=∝=−=
tnυ
Al nivel del 5%, si hay correlación lineal entre esas dos variables. 115. Solución:
PAR ( )ii yx − ( )2ddi − 1 -2 1,9044 2 5 70,2244 3 8 129,5044 4 0 11,4244 5 -6 6,8644 6 -20 276,2244 7 -5 2,6244 8 4 54,4644 9 4 54,4644
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Paramétricas y no paramétricas Actualizado en diciembre de 2007
94
10 -12 74,3044 11 -10 43,8244 12 -6 6,8644 13 -4 0,3844 ∑ -44 733,0772
a) 38,313
44 −=−=d 82,712
0772,733 ==ds
1) 0:0:0
<=
da
d
aH
aH 2) 01,0=∝
56,1
1382,7
38,3 −=−=t
681,202,0
121−=
=∝=−=
tnυ
Como t = -1,56 cae en la zona de aceptación, se puede concluir que los hombres no obtienen un mayor puntaje que las mujeres, al nivel del 1%.
b)
−=±−=±−=
30,8
54,192,438,3
12
82,7179,238,3da
179,205,0
1205,0 =
=∝=
tυ
116. Solución:
in *in *
ii nn − ( )2*ii nn −
( )*
2*
i
ii
n
nn −
1 5,04 -4,04 16,3216 3,24 9 8,40 0,60 0,3600 0,04 11 7,56 3,44 11,8336 1,57 11 6,96 4,04 16,3216 2,35 11 11,60 -0,60 0,3600 0,03
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95
7 10,44 -3,44 11,8336 1,13
50 50 0 - 8,36
( )( )( )( )( )( ) 44,102936,0
60,112940,0
96,62924,0
56,72136,0
40,82140,0
04,52124,0
*6
*5
*4
*3
*2
*1
============
n
n
n
n
n
n
40,050
2036,0
50
1824,0
50
12 ===
1) :0H son idénticas :aH son diferentes
36,82 =χ
49,9205,0 =χ
( )( )
05,041313
=∝=−−=υ
36,82 =χ cae en la zona de aceptación, al nivel del 5%, pudiéndose concluir que las
diferencias son idénticas. 117. Se deja el ejercicio para que el alumno lo resuelva. 118. Se deja el ejercicio para que el alumno lo resuelva 119. Solución:
in *in
−− 5,0*
ii nn *
2* 5,0
i
ii
n
nn
−−
144 137,55 5,95 0,26 128 134,45 5,95 0,26 34 40,45 5,95 0,88 46 39,55 5,95 0,90
352 352,00 - 2,30
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96
55,3980352
174
45,4080352
178
45,134272352
174
55,137272352
174
*4
*3
*2
*1
=
=
=
=
=
=
=
=
n
n
n
n
( )( )
30,2 )3
84,305,0
11212 )2
:
: )1
2
205,0
*
*
=
=
=∝=−−=
≠=
χ
χυiia
iio
nnH
nnH
30,22 =χ cae en la zona de aceptación, al nivel del 5%, no hay diferencias significativas en cuanto a la aprobación de la materia. 120. Solución:
46,0=r 22=n 32,246,01
22246,0
2=
−−=t
086,205,0
20=
=∝=
tυ
0:0 =ρH (no hay correlación) 0: ≠ρaH (si hay correlación)
Al nivel del 5%, se puede concluir que hay correlación entre las variables. 121. Solución:
78,0=r 52=n
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97
53,578,01
25278,0
2=
−−=Z
0:0 =ρH (no hay correlación) 0: ≠ρaH (si hay correlación)
Como Z = 5,53, cae en la zona crítica, se concluye que hay correlación al nivel del 1%. 122. Solución:
56,0=r 26=n 31,356,01
22656,0
2=
−−=t
1) 0:0 =ρH (no hay correlación) 0: ≠ρaH (si hay correlación) 2) %1=∝
797,201,0
24=
=∝=
tυ
El valor de 3,31 cae en la Región crítica, por lo tanto al nivel del 1%, se puede concluir que hay correlación entre las variables. 123. Solución: se deja al estudiante su respuesta. 124. Solución:
in *in ( )2*
ii nn − ( )
*
2*
i
ii
n
nn −
10 6,8 10,24 1,51 3 6,8 14,44 2,12 2 6,8 23,4 3,39 5 6,8 3,24 0,48 14 6,8 51,84 7,62
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98
34 34 - 15,12
20,05
1 = ( ) 8,6342,0* ==in 49,905,0
41 205,0 =
=∝=−= χυ n
1) *
*0
:
:
iia
ii
nnH
nnH
≠=
2) 05,0=∝ Como 12,152 =χ cae en la RC se está concluyendo, al nivel del 5% de que si hay diferencia de ocurrencia de accidentes en los días de la semana. NOTA: los ejercicios 125, 126, 127 y 128 se dejan, para que sean resueltos por el estudiante.
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10
Regresión y correlación simple, ponderada y múltiple
EJERCICIOS RESUELTOS
REGRESION LINEAL SIMPLE 1. Solución:
( ) ( ) 60,10912225
868.1;60,8312
5
138.1
20,147225
156.312
5
6022
5
110
22
22
=−==−=
=−=====
xyy
x
ms
syx
a) 0,29956,120,147
16,012.126,832 ≅=−=yxs 4142,12 =+=yxs
2
222
x
xyyyx
s
mss −=
b) 222
ayyxy sss =− ⇒=−=⇒ 60,8126,832ays 60,812 =ays
776,205,041 =
=∝=−=
tnυ
c) ( ) yxxbY yx +−=ˆ 74,07446,02,147
6,109 ≅==yxb
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2
( ) 92,5412228074,0ˆ =+−=Y 92,54ˆ =Y
( ) ( )( )
=±=−
−+±=
37,46
47,6355,892,54
5
110156.3
2280
5
141,1776,292,54ˆ
2
2
Y
2. Solución:
8
1
8
2
8
8 =+ yx 1
9
9
9
16 =+ yx
8
1
4
1 =+ yx 9
1
9
16 =+ yx
8
1
4
1 +−= yx 9
1
9
16 +−= xy
4
1−=xyb 9
16−=yxb
( ) ( ) 44,036
16916412 ==−−== yxxy bbR 44,02 =R 66,0=r
3. Solución:
4,164 −== yxyx bC
a) ( ) 57,135714,134,1
194,14564 ≅==⇒−−=⇒−= xxxbyC yxyx
b) 2x
xyyx
s
mb = ⇒ 2
xyxxy sbm = ( ) ( ) 576,7284,514,1 −=−=xym
( ) ( ) 96,05,102,7
576,72 −=−==yx
xy
ss
mr 84,512,7 22 ==xs
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3
c) xyxy cybX +=ˆ ó ( ) xyybX xy +−=ˆ 25,1105,10 22 ==ys
6582,025,110
576,72 −=−=xyb
xyxy byxC −= ( ) 18,43658,04557,13 =−−=xyC
( ) 57,1345658,0ˆ +−−= yX ó 18,43658,0ˆ +−= yX 4. Solución:
yx
xy
ss
mr = ( ) ( ) ( ) 000.100.5000.3000.285,0 === xyyx mssr
[ ] [ ] [ ] xyyxyx mVVV 2−+=− 000.000.4000.2 22 ==xs 000.000.9000.3 22 ==ys
[ ] ( ) 000.800.2000.100.52000.000.9000.000.4 =−+=− yxV 32,673.1=s
5. Solución:
64,08,0 2 =→= Rr 4=yxb 7=yxc 22 636 ==yxs
2
22 1
y
yx
s
sR −= →
2
36164,0
ys−= 100
36,0
363636,0 2
2=
−−=⇒
−=−⇒ yy
ss
xyyx bbR =2 → ( )xyb464,0 = ⇒ 16,04
64,0 ==xyb
( ) ( ) 1610016,02 === yxyxy sbm
2x
xyyx
s
mb = ⇒ 4
4
162 ===yx
xyx b
ms 42 =xs 2=xs
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4
6. Solución:
186
108 ==x
50,326
195 ==y
( ) ( )
04,658,3639,433,1982,033,19
83,15
83,15185,326
605.3;33,1918
6
060.2;58,365,32
6
557.6 2222
======
=−==−==−=
yxyx
xyxy
ssb
mss
a) ( ) yxxbY yx +−=ˆ ( ) 86,3050,32181682,0ˆ =+−=Y 86,30ˆ =Y
b) ( ) ( ) 59,004,639,4
83,15 ===yx
xy
ss
mr 59,0=r
c) 2
222
x
xyyyx
s
mss −= 61,23
33,19
59,25058,362 =−=yxs 86,461,23 =+=yxs
d) ( )
( )∑
∑−
−+±
n
xx
xx
nstY
ii
yx 22
21ˆ
( ) ( )( )
=±=−
−+±26,25
46,3660,586,30
6
108060.2
1816
6
186,4571,286,30 2
2
ix iy ii yx 2ix 2
iy 9 23 207 81 529
17 35 595 289 1.225 20 29 580 400 841 19 33 627 361 1.089 20 43 860 400 1.849 23 32 736 529 1.024
108 195 3.605 2.060 6.557
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5
7. Solución:
94286,073 22 ====−== yxxyxyx sssxbC
yxyx bxyC −= ⇒ ( ) 20,6880,47380,4736,0873 =−=→+=→−−= yyy
2x
xyyx
S
mb = 2
xyxxy sbm = ( ) ( ) 40,246,0 −=−=yxm
( ) ( ) 4,032
4,2 −=−==yx
xy
ss
mr 4,0−=r 20,68=y
8. Solución:
87,35875,358
287 ≅=== ∑nx
x i 12,34125,348
273 ≅=== ∑ny
y i
( ) ( ) 24,55412,3487,358
225.14 =−=−= ∑ yxn
yxm ii
xy
70,5357006,53512,348
599.13 222
2 ≅=−=−= ∑ yn
ys i
y
22,5772181,57787,358
911.14 222
2 ≅=−=−= ∑ xn
xs i
x
96,09602,022,577
24,5542
≅===x
xyyx
s
mb
035,103461,170,535
24,5542
≅===y
xyxy
s
mb
( ) ( ) 32,087,35960,013,34 −=−=−= xbyC yxyx
( ) ( ) 56,012,34035,187,35 =−=−= ybxC xyxy
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.10 Regresión y correlación simple Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones ponderada y múltiple Actualizado en diciembre de 2007
6
a) Error estándar de estimación: 2yxyx ss +=
525,322,577
24,55470,535
2
2
222 =−=−=
x
xyyyx
s
mss 88,1525,3 =+=yxs
b) ( )
nyY
s iay
∑ −=
2
2ˆ
222yxyay sss −= ⇒ 18,532525,370,5352 =−=ays
c) xyyxyx
xy bbss
mR == 22
22 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 9934,0035,1959,0
22,57770,53524,554 2
2 ===R
9967,09934,02 ==== Rss
mr
yx
xy
d) yxyx CxbY +=ˆ ó ( ) yxxbY yx +−=ˆ
32,0960,0ˆ −= xY ó ( ) 12,3487,35960,0ˆ +−= xY 9. Solución:
6,6=y ó 600.6 20=x ó 000.20 302 =xs ó 000.30
602 =ys ó 000.60 4,8=xym ó 400.8
28,030
4,82
===x
xyyx
s
mb ( ) ( ) 128,0206,6 =−=−= yxyx bxyC
yxyx CxbY +=ˆ 28,0000.30
400.8 ==yxb
( ) 12828,0ˆ +=Y ( ) 000.1000.2028,0600.6 =−=yxC
84,8184,7ˆ =+=Y diarioY 840.8$ˆ =
( ) 000.1000.2828,0ˆ +=Y diarioY 840.8000.1840.7ˆ =+=
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7
10. Solución:
[ ] [ ] [ ] xyyxyx mVVV 2++=+
yxxy bbR =2 ⇒ ( ) ( )yxb2,09,0 −= ⇒ 5,42,0
9,0 −=−
=yxb
2x
xyyx
s
mb = ⇒
85,4 xym
=− ⇒ ( ) ( ) 3685,4 −=−=xym
2y
xyxy
s
mb = ⇒ 180
2,0
362 =−−==
xy
xyy b
ms
[ ] xyyxyx mssV 222 ++=+ [ ] ( ) 1163621808 =−++=+ yxV [ ] 116=+ yxV
11. Solución:
3=yxs → 92 =yxs VT
VRR −= 12 64,0
25
912 =−=R
5=ys → 252 =ys 2Rr = 8,064,0 ==r
8,0=r
12. Solución:
a) ( ) 25,040
10
85
10 ====yx
xy
ss
mr 0625,025,0 22 ==R
0625,064
42
22 ===
y
ay
s
sR Cierto
b) 1≤yxxy bb ( ) 178,195,024,1 = 1178,1 > Falso
c) 7,0−=xyb 9,0=yxb
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8
angularesescoeficientlossignomismoeltenerdebenFalso ,, o de regresión d) 10−=xym 8,0=r
covarianzaladesignomismoeltenerdeberáncorrelaciódeeCoeficientElFalso. e) [ ] 14−=y-xV [ ] 8=xV [ ] 12=yV cov = 17
negativasserpuedennuncavarianzaslasFalso, 13. Solución:
a) 2
22 1
y
yx
s
sR −= ⇒
100
19181,02 −==R ⇒ 19,0181,0 −= 81,081,0 =
Cierto b) 7=yxb 4=yxC ⇒ yxyx bxyC −= ⇒ ( )710644 −≠
70644 −≠ ⇒ 64 −≠ Falso c) 3,0=yxb 3−=xyb signomismoeltenerdebenFalso,
d) 60=xym 502 =xs 502 =ys 2,1=yxb
2,150
602 ===x
xyyx
S
mb Cierto 2,1=yxb
14. Solución:
[ ] [ ] [ ] 7=+=+=+ yxMMM yxyx
yxn
yxm ii
xy −= ∑ ⇒ yx−=20240.1
50 ⇒ yx−=− 6250
12=yx ⇒ 34712 ysonmediaslasdevaloresLosyxenosreemplazamy
x =+=
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.10 Regresión y correlación simple Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones ponderada y múltiple Actualizado en diciembre de 2007
9
712 =+ yy
⇒ yy 712 2 =+ ⇒ 01272 =+− yy
[ ] yxquetieneseMComo yx >>− 0 ⇒ 4=x y 3=y
[ ] 651681222 =−=−= xMs
xx 22
2 xn
xsx −= ∑
[ ] 40949222 =−=−= yMs
yy 22
2 yn
ys i
y −= ∑
2
222
x
xyyyx
s
mss −= ⇒ 54,146,3840
65
500.2402 =−=−=yxS 24,154,1 ==yxs
15. Solución:
[ ] [ ] [ ] 2,92)1( =++=+ xyyxyx mVVV [ ] [ ] [ ] 8,142)2( =−+=− xyyxyx mVVV
Multiplicamos a la segunda ecuación por -1 y le restamos a la primera:
[ ] [ ][ ] [ ]
xy
xyyx
xyyx
mmVVmVV
4006,528,1422,9
=−+−−=−++=
4,14
6,5 −=−=xym 4,1−=xym
16. Solución:
a) 2
222
x
xyyyx
s
mss −= 8=ys ⇒ 642 =ys 10=xs → 1002 =xs
yx
xy
ss
mr = ; ( )( ) ( ) ( ) xyyx mssr === 481086,0 ; 96,4004,2364
100
304.2642 =−=−=yxs
b) 48,0100
482
===x
xy
yx s
mb ( ) 131648,0ˆ +−= xY
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10
17. Solución: a) Falso b) Cierto c) Falso d) Falso e) Falso 18. Solución:
7,820
174 === ∑n
xx i 17
20
340 === ∑n
yy i
( ) ( ) 2,5177,820
062.3 =−=−= ∑ yxn
yxm ii
xy
61,57,820
626.1 222
2 =−=−= ∑ xn
xs i
x 927,061,5
2,52
===x
xyyx
s
mb
( ) yxxbY yx +−=ˆ ( ) 75,36177,830927,0ˆ =+−=Y 75,36ˆ =Y
381,161,5
2,52,6
2
2
222 =−=−=
x
xyyyx
s
mss 2,617
20
904.5 222
2 =−=−= ∑ yn
ys i
y
175,1381,12 ==+= yxyx ss
( ) ( )( )
=±=−
−+±=77,31
73,4198,475,36
20
174626.1
7,830201
175,1093,275,36ˆ2
2
Y
19. Solución:
20400 ==xym → ( ) 333,115
20
53
20 ====yx
xy
ss
mr 333,1=r
El coeficiente de correlación no puede ser mayor de 1. Por lo general: 11 ≤≤− r
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11
20. Solución:
a) =1002
2
y
yx
s
s porcentaje de la varianza total que queda sin explicar.
2
22 1
y
yx
s
sR −= ⇒
2
2
18836,0y
yx
s
s−= ⇒ 1164,08836,01
2
2
=−=y
yx
s
s
%64,111002
2
=y
yx
s
s %64,11100 =
VT
VR
El porcentaje de la varianza total que queda sin explicar es del 11,64%.
b) [ ] [ ] [ ] xyyxyx mVVV 2++=+ 2x
xyyx
s
mb = ⇒ ( ) ( ) 2,71840,02 === xyxyx msb
xyyx bbR =2 ⇒ 209,240,0
8836,02
===yx
xy bRb
2y
xyxy
s
mb = 259,3
209,2
2,72 ===xy
xyy b
ms ; [ ] ( ) 659,352,72259,318 =++=+ yxV
21. Solución:
7,820
174 === ∑n
xx i 17
20
340 === ∑n
yy i
61,57,820
626.1 222
2 =−=−= ∑ xn
xs i
x 2,61720
904.5 222
2 =−=−= ∑ yn
ys i
y
a) 9269,061,5
2,52
===x
xyyx
s
mb ( ) ( ) 2,5177,8
20
062.3 =−=−= ∑ yxn
yxm ii
xy
( ) 936,89269,07,817 =−=−= yxyx bxyc ( ) 205,18936,8109269,0ˆ =+=Y
b) ( )( ) 88,090,5
2,5
49,237,2
2,5 ====yx
xy
ss
mr
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12
22. Solución:
2x
xyyx
s
mb = →
yx
xy
ss
mr = → ( )x
xyy sr
ms = → ( ) yxxyxyx mmsb ==⇒= 4202,02
( )9937,0
025,4
4
209,0
4 ===ys ⇒ 9875,02 =ys
[ ] [ ] [ ] ( ) 9875,28429875,0202 =++=++=+ xyyxyx mVVV [ ] 9875,28=+ yxV
23. Solución:
09,562 =xs ⇒ [ ]22
2 xMsxx −= ⇒ 225,812.2709,56 x−=
16,756.2709,5625,812.272 =−=x ⇒ 60,16616,756.27 ==x
60,166=x
8,642 =ys ⇒ [ ]
222 yMs
yy −= ⇒ 221,567.48,64 y−= ⇒ 1,6741,502.4 ==y
[ ] ( ) ( ) 64,441,6760,1665,223.11 =−=⇒−= xyxyxy myxMm
68,08,64
64,442
===y
xyxy
s
mb
( ) xyybX xy +−=ˆ ⇒ ( ) 17,13420,1661,672068,0ˆ =+−=X 17,134ˆ =X
24. Solución:
24,418Sy 42,042,0)24,4(2
6,3)
8,139,0ˆˆ
8,13)8(90,02190,04
6,3)
2
======
+=⇒+=
=−=−====
rm
rb
xYCxbY
xbyCm
ba
yx
xy
yxyx
yxyx
x
xy
yx
ss
S
25. Solución:
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4282,128 22 ===== Covssyx yx
( ) ( ) 645,2215,1;38,12,115,1%15 22 ====⇒ ysydelincrementoCon
( ) 6,4415,1 ==Cov
a) ( ) 128
162222
222 ===⇒== Rr
ss
CovrRincrementodelAntes
yx
( ) 11645,286,4
:2
2 aigualsiendosigueRincrementoelCon →== 12 =R
b) ( ) ( ) 6,31282,132ˆ22
42
=+−=+−=→=== xyybXs
Covb xy
yxy
6,31ˆ =X ( )$millincrementodelantes
( ) 817,302838,13739,1ˆ739,1645,26,4
: =+−=→== XbDespués xy
817,30ˆ =X ( )$millincrementodeldespués 26. Solución:
( )76,5
20
2,115ˆ 2
2 ==−
= ∑n
yYs i
ay 162 =xs 4=xs 8=ys
a) EVRVVT += → 222222
ayyyxyxayy ssssss −=⇒+=
24,5876,5642 =−=yxs
regresiónderectalaporlicadoexpquedanoquePorcentajeVTVR %9191,0
6424,58 ===
b) ( ) yxxbYCxbY yxyxyx +−=⇒+= ˆˆ
VT
VER =2
yxy
ay
ss
CovR
s
sR =⇒===⇒ 09,0
64
76,52
22
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14
( ) ( ) 60,93230,084
30,0 ==⇒= CovCov
30,009,0 ==R
60,016
6,92
===x
yxs
Covb ( ) 2,7075706260,0ˆ =+−=Y 2,70ˆ =Y
finalexamenelendeóncalificaciunaesperaSe 2,70 c) [ ] CovssV yxyx 222 ++=+
[ ] ( ) 20,996,926416 =++=+ yxV [ ] 20,99=+ yxV
27. Solución:
( )27
30
810ˆ 2
2 ==−
= ∑n
yYs i
ay ( )
67,9666,930
290ˆ 2
2 ≅==−
= ∑n
Yys i
yx
a) 222
yxayy sss += 67,3667,9272 =+=⇒ ys
86,07363,07363,067,36
27 222
222 ≅==⇒==⇒=== RrR
s
s
VT
VERr
y
ay
86,0=r
b) 699,12
05,004,11996,12096,0120
30
11,3699,1120ˆ =
−==∝
=±=
±= t
nY υ
28. Solución:
serviciodepromedioañosYCovssx yx 4ˆ300500.2500.2820.3 22 =====
( ) ( ) 12,00144,00144,0500.2500.2
300:
22
22
22 ==⇒==⇒= rR
ss
CovRaumentoSin
yx
360)300(20,1cov : cov ==siendocambiaarianzalaaumentoCon
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cambio) ( 14,0020,0020,0)500.2(
30622 huborR ==⇒=
29. Solución:
10=n 34=∑ ix 36=∑ iy 130=∑ ii yx
1382 =∑ ix 1542 =∑ iy
a) ( ) 6,34,3ˆˆ ==+−=⇒+= yxyxxbYCxbY yxyxyx
( ) ( ) 76,06,34,310
130 =−=Cov 24,22 =xs 44,22 =ys
34,03393,024,2
76,02
≅===x
yxs
Covb
( ) sucursalesconempresaunaparatocoselesdemillY 10$84,58394,56,34,3103393,0ˆ ≅=+−=
30. Solución: a) VRVEVTsss yxayy +=⇒+= 222
4,06,282,28222 −=−=−= ayyyx sss 4,02 −=yxs
Las varianzas de x, de y, las explicadas y las residuales, no pueden ser negativas Falso⇒ b) xY 8,45ˆ += 5=x 29=y solucionesdostienenSe b1) xbyC yxyx −= ( ) 558,429 =−=⇒ yxC cierto
b2) [ ] [ ] [ ] ( ) 2958,458,458,45 =+=+=⇒+= xyMMM xy Ciertoy 29=
c) 2,1505080 22 ==== yxyx bssCov
6,150
802
==⇒= yxx
yx bs
Covb Falso 2,16,1 ≠
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e) Los dos coeficientes deben tener el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos). 31. Solución:
100=∑ ix 50=n 250
100 ==x 1050
500 ==y
308,0;5005,390.52 ==== ∑∑ ∑ n
yxryy ii
ii
a)
−=
−== ∑∑∑50
500
50
10030
n
y
n
x
n
yxCovm iiii
xy
( ) 1010230 =−=Cov 2
2
50
500
50
5,390.5
−=ys
↓
28,12804,181,7
10 ≅==xyb 81,710081,1072 =−=ys
8,108,12250
50028,1
50
100 −=−=
−
=xyC ; 7946,281,7 ==ys
8,1028,1ˆ −= yX
b) 21,781,7
1001,20
22 =−=xys ; ( )7946,2
108,0
xyx sss
Covr =⇒=
( ) 4729,47946,28,0
10 ==xs ( ) 01,204729,4 22 ==xs 01,202 =xs
c) ( ) 8,142102028,1ˆ =+−=X $ 8,14ˆ demillonesX =
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17
32. Solución: Nota: se elaboró un cuadro de doble entrada, a fin de reducir operaciones y trabajos en una regresión lineal ponderada (frecuencias absolutas).
ix
,,1 ii xx −− 1 2 3 4 ∑
2,5 1,1 - 4 - 2 2 - 4 5,5 4,1 - 7 3 4 6 2 15 8,5 7,1 -10 1 - 6 4 11 - - 4 6 14 6 30
ix iy in ii nx ii ny
ii nx2 ii ny2 iii nyx
2,5 2 2 5,0 4 12,50 8 10,00 2,5 3 2 5,0 6 12,50 18 15,00 5,5 1 3 16,5 3 90,75 3 16,50 5,5 2 4 22,0 8 121,00 16 44,00 5,5 3 6 33,0 18 181,50 54 99,00 5,5 4 2 11,0 8 60,50 32 44,00 8,5 1 1 8,5 1 72,25 1 8,50 8,5 3 6 51,0 18 433,50 54 153,00 8,5 4 4 34,0 16 289,00 64 136,00
- - 30 186,0 82 1.273,50 250 526,00
20,630
186 === ∑n
nxx ii 73,27333,2
3082 ≅=== ∑
nny
y ii
01,420,645,4220,630
5,273.1 2222
2 =−=−=−= ∑ xn
nxs ii
x
88,073,230
250 222
2 =−=−= ∑ yn
nys ii
y
( ) 61,073,220,630
00,526 =−== Covmxy 15,001,4
61,0 ==yxb
(a) ( ) 70,273,220,6615,0ˆ =+−=Y 70,2ˆ =Y
iy
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18
79,001,461,0
88,02
2
222 =−=−=
xyyx
sCovss ⇒ 89,079,0 ==yxs
(b) ( )( )
=+=
−
−++
±=
36,204,3
34,07,2
30186
5,273.1
2,663011
30
89,0048,27,2ˆ
2
2
Y
c) ( ) ( ) 33,011,011,088,001,4
61,0 222 ==→=== rRr 33,0=r
(Hay muy poca correlación) 33. Solución:
209,02,0 2 === xyx srb
2x
yx sCovb = ( ) 4202,0 ==⇒ Cov
( ) ( ) ( )99,09876,0
209,0
42
2
22
22
22
222 ≅===⇒==
xy
yx sR
Covs
ss
CovRr
[ ] ( ) 99,284299,020 =++=+ yxV [ ] 99,28=+ yxV
34. Solución:
595
453
5
15 ===== nyx
235
55 22 =−=xs 1895
495 22 =−=ys
( ) 6935
165 =−=Cov
a) ( ) ( ) 1182
62
22
22 ===
yx ss
CovR 12 =R
b) 32
6 ==yxb ( ) 189363ˆ =+−=Y 18ˆ =Y
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19
Cuando 12 =R la varianza residual ( )2
yxs es igual a 0 y el error es igual a 0, donde 60ˆ =Y
(límites de confianza).
c) 0=VT
VR Todos los puntos quedaron explicados por la recta de regresión.
35. Solución: a) Se deja al estudiante hacer la gráfica.
81,83840,473.1720.7610.810 ===== yx ssyxn
600.7032 =ys 900.170.22 =xs 800.139.1=Cov
6199,1600.703
800,139.1 ==xyb ( ) 63,895.3720.76199,1610.8 −=−=xyC
b) 63,895.36199,1ˆ −= yX c) ( ) 13,191.1663,895.3400.126199,1ˆ =−=X (cientos de $) Nota: el (a) se le deja al estudiante para que lo realice, lo mismo que la segunda parte del (c). 36. Solución:
a) ( ) ( ) ( ) ( ) 312,11828,2580,0 ===→= yx ssrCovCovrx
Sy
S
414,18
312,112
===y
xys
Covb ( ) 962,5304528414,1ˆ =+−=X 962,5ˆ =X
b) 2
222
y
xxys
Covss −= 01,98312,11
252
2 =−=⇒ xyS 01,92 =xys
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20
37. Solución: a) xbyC yxyx −= ( ) 072,8104932,0105 =−=⇒ yxC
Falso84,6072,8 ≠
b) 1852,35
168,4
5
24 222 ====== yayyx snss
222
ayyxy sss += 82,38,42 =+=⇒ ys Falso188 ≠
c) 44,09
42
==⇒= yxx
yx bs
Covb Falso444,0 ≠
d) xbyC yxyx −= ( ) ⇒=−=⇒−=−⇒ 246302,04 yy 2=y
( ) ( ) ⇒==⇒= 502,022 xyxx
yx SbCovs
Covb 10=Cov
( ) ( ) ⇒−=−⇒−= ∑ 1023050yxn
yxCov ii Falso1010 ≠−
e) [ ] [ ] ( ) [ ] ⇒+=⇒=→= + 52
252
2 ? VVsVVs xyxyy22 4 xy SS =
( ) 641642 ==ys 4375,064
3611 2
2
22 =−=⇒−= R
s
sR
y
yx
⇒== 66,04375,0r Falso3,066,0 ≠ 38. Solución:
76210620.7 ==x 85,2
10
5,28 ==y
a) 786.12976210
300.104.7 22 =−=xs 8525,185,210
75,99 22 =−=ys
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21
( ) ( ) 3,46585,276210370.26 =−=Cov
xyxy CybX +=ˆ ( )85,217,25176217,2518525,1
3,465 −=⇒==⇒ xyxy Cb
1655,46=xyC
cxbY yx +=ˆ 003585,0786.1293,465 ==yxb ( ) =−= 762003585,085,2yxC
( ) díasY 49,511823,0500.1003585,0ˆ =+= 11823,0=yxC
acuerdodeEstoydíasdías 349,5 >
b) 2
222
xyyx
s
Covss −= ⇒ 1843,0
786.129
3,4658525,1
22 =−=yxs
222
yxyay sss −= ⇒ 6682,11843,08525,12 =−=ays
%05,901008525,16682,1100 ==
VTVE %05,90100 =
VTVE
39. Solución:
( ) ( ) 241=−−∑ yyxx ii
( ) ( )82,4
50241 =
−−== ∑
nyyxx
Cov ii ( )2,6
50310
22 ==
−= ∑
nxx
s ix
( )363,4
50
15,21822 ==−= ∑
n
yys i
y 9268,350
34,1962 ==ays
777,020,682,4 ==yxb ( ) 77,37302030777,0ˆ =+−=Y
62,02,6
82,4363,4
22 =−=yxs ⇒ 79,062,0 ==yxs
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22
a) =±=
±=57,37
97,3720,077,37
5079,0800,177,37Y
b) %21,14100363,4
62,0100
2
2
==y
yx
s
s %21,14100 =
VTVR
40. Solución:
8=n ∑ = 68ix ∑ = 6,66iy ∑ = 3,544ii yx
4682∑ =ix ∑ = 94,5582iy 5,8=x 325,8=y
2057,0−=yxb 073,10=yxC 073,102057,0ˆ +−= xY
a) ( ) originalgrosorelfuémmY 073,10073,1002057,0ˆ =+−= mm 073,10ˆ =Y
b) 85,45618,0
725,22 −=−==y
xyxy S
mb
( ) horasX 88,485,8325,8085,4ˆ =+−−= horas 88,48ˆ =X c) A partir de las 48,88 horas ya no hay lámina, por lo tanto no tiene sentido pronosticar el
grosor después de 70 horas de fricción. 41. Solución:
6=n ∑ = 18ix ∑ = 45iy ∑ = 122ii yx
∑ = 642ix ∑ = 3552
iy 3=x 5,7=y
a) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]98,09827,0
45355618646
45181226
22−≅−=
−−
−=r 98,0−=r
b) 30,1299,167,117,2 −≅−=−=yxb 17,2−=xym
92,2
67,12
2
==
y
x
s
s
( ) 4,115,7303,1ˆ =+−−=Y segundos es la rapidez de acción en ausencia del agente químico
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c) 743,092,217,2 −=−=xyb
( ) gramosX 57,835,70743,0ˆ =+−−= es la proporción que deberá contener el producto para que
la solución sea instantánea. 42. Solución:
8=n ∑ = 4,179ix ∑ = 3,166iy ∑ = 62,919.3ii yx
∑ = 68,937.42ix ∑ = 37,505.32
iy
43,22425,22 ≅=x 79,207875,20 ==y 33,1142 =xs 05,62 =ys
a) Se deja al estudiante la realización de la gráfica de dispersión y de regresión.
b) 2
222
xyyx
s
Covss −= ⇒ 10,1099,1
33,114
79,2305,6
22 ≅=−=yxs
222
yxyay sss −= 95,410,105,62 =−=⇒ ays
%82,818182,005,6
95,42
2
====y
ay
s
s
VT
VE Es el porcentaje que queda explicado por la recta de regresión
c) 93,305,679,23 ==xyb
( ) 98,3843,2279,202593,3ˆ =+−=X 98,38ˆ =X
05,0
62
04,35
92,4294,398,38
856,4447,298,38ˆ
=∝=−=
=±=
±=n
Xυ
78,2005,6
79,2333,114
2
2
222 =−⇒−=
yxxy
s
Covss 56,478,20 ==xys
43. Solución:
4,145,7602580,0 ===== yx ssyxr
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( ) ( ) ( ) ( ) 4,864,145,780,0 ==⇒= CovssrCov yx 4,86=Cov
536,125,564,86 ==yxb 25,562 =xs 36,2072 =ys
a) ( ) 04,83602540536,1ˆ =+−=Y valor de la cuenta (miles de $)
b) 65,7425,56
4,8636,207
22
2
222 =−=⇒−= yx
xyyx s
S
Covss
%3636,036,207
65,742
2
====y
yx
s
s
VT
VR es el porcentaje de la varianza total que no queda explicada por la recta de regresión.
44. Solución:
30=x 5=xs 252 =xs 45=y 642 =ys 8=ys 90,0=r
Se requiere de las dos ecuaciones xyxy CybX +=ˆ y YXyx CxbY +=ˆ
( ) ( ) 368590,0 ==⇒= CovssrCov yx
44,12536 ==yxb 5625,0
6436 ==xyb
( )( ) 6875,4455625,030
8,1 3044,145
=−=
=−=
xy
yx
c
c
( ) 453044,1ˆ +−= xY ( ) 30455625,0ˆ +−= yX
8,144,1ˆ −= xY 6875,45625,0ˆ += yX
Se le dan dos valores a ix para obtener dos valores de Y ; lo mismo, en la segunda
ecuación, dos valores de iy para obtener dos valores de X , con los anteriores resultados se puede elaborar la gráfica. 45. Solución:
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65,0=r 6=xs 362 =xs 100=y 1002 =ys 50=x
a) ( ) ( ) 3910665,0 ==Cov ( ) ( )yx ssrCov =
0833,136
392
===x
yxs
Covb ( )
predichaón calificaci
167,8910050400833,1ˆ =+−=Y
b) 2
222
xyyx
s
Covss −= ⇒ 75,5736
39100
22 =−=yxs
Porcentaje de la varianza total que no queda explicada por la recta
5775,0100
75,572
2
===y
yx
s
s
VT
VR ⇒ %75,57100 =
VE
VR
46. Solución: a) Diagrama de dispersión b) Coeficiente de correlación c) Igual a uno d) Verdadero VEVT = e) Falso 11 <≤−⇒ r f) Verdadero 47. Solución:
2,170,030 22 === aySRn
71,17,02,1 2
2
22
2
22 ==⇒=⇒= y
ayy
y
ay sR
ss
S
SR
⇒=−=⇒−= 51,02,171,12222
yxayyyx ssss 51,02 =yxs
48. Solución:
1685,0150 2 === yxsrn
222
2
22 162775,016185,01
yyy
yx
sSs
sR −=−⇒−=⇒−=
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66,572775,0
162 ==ys 66,572 =ys
a) 222
yxyay sss −= 66,411666,572 =−=⇒ ays 66,412 =ays
b) %75,272775,066,57
16 ===VTVR %75,27100=
VE
VR
49. Solución:
20=n 2,56=VE 3,66=VT
2,562 =ays 3,662 =ys
222ayyyx sss −= ⇒ 1,102,563,662 =−=yxs 178,31,10 ==yxs
50. Solución:
258,05,21
=== nSb byx
a) ( )8,0064,25,2111 1
±=⇒±= ββ bStb
=±=
84,016,46512,15,21β
b) 125,38,0
05,2
1
11 =−=−=bS
bt
β
1) ( )( )relaciónhaySiH
relaciónhayNoH
0:
0:
11
10
≠
=
ββ
3)
2) 05,0=∝ 064,205,0
24105,0 ==
=∝===
tnυ
Algunos trabajan con 069,205,0
23205,0 =
=∝=−=
tnυ
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Observemos que 127,3=t cae en la región crítica, por lo tanto rechazamos 0:0 =iH β y aceptamos 0: ≠iaH β , es decir, que si hay relación. 51. Solución:
( )∑ =− 2202yyi ( )∑ =− 4,38ˆ 2yY 30=n
33,730
2202 ==ys 28,130
4,382 ==ays
a) 17,01746,033,7
28,122
22 ≅==⇒= R
s
sR
y
ay 42,01746,0 ==r
b) %46,17leporexplicadaQueda
c) 45,2
2301746,01
42,0
21 2
=
−−
=
−−
=
nr
rt (Resultado obtenido trabajando con la calculadora)
1) ( )( )ncorrelacióhaySiH
ncorrelacióhayNoH
a 0:0:0
≠=
ρρ
2) 05,0=∝ 3) 45,2=t
048,205,0282
05,0 ==
=∝=−=
tnυ
Observamos que 45,2=t cae en la región crítica, rechazando 0H y aceptando 0: ≠ρaH , por lo tanto si hay correlación. 52. Solución:
11=n ∑ = 220ix ∑ = 840.42ix 20=x 64,727.1=∑ ii yx
∑ = 15,77iy ∑ = 3679,6202iy 013,7=y 402 =xs
3244,6=xs 685,2=ys 21,72 =ys
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a) ( ) xyybX xy +−=ˆ
33,221,781,16
2 ===y
xy sCovb
( ) ( ) ( ) 81,1698,1699,0685,23244,6
99,0cov ==⇒=⇒= CovCovss
ryx
( ) xyybX xy +−=ˆ
( ) 62,4520013,71833,2ˆ =+−=X
62,45ˆ =X % es el porcentaje de descuento que debe dar, que no queda explicado
b) explicado queda no que varianzala de porcentaje el es %08,2100
21,715,0100
15,01455,04081,1621,7 ;cov
2
2
22
2
222
===
==−=−=
Y
yx
yxx
yyx
S
sVTVR
ss
ss
( ) 07,721,798,021,7
98,0 22
2
22 ==⇒=⇒= ay
ay
y
ay ss
s
sr 07,72 =ays
c)
21 2
−−
=
nr
rt 63,20048,099,0
002222,0
99,0
902,0
99,0
21198,01
99,0 ====
−−
=⇒ t
1) ( )ncorrelacióhayNoH 0:0 =ρ ( )ncorrelacióhaySiH a 0: ≠ρ 2) 05,0=∝
3) 262,205,0
92112 =
=∝=−=−=
tnυ
Se le acepta, debido a que se ubica en la región crítica (t = 20,63), es decir, si hay correlación.
d)
±
n
stX xyˆ 60,45ˆ =X
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=±⇒
± 61,060,451190,0262,260,45
%99,44%21,42
90,081,0
81,021,781,1640
2222
==
=−⇒−=
xy
yxxy
s
sCovss
53. Solución:
xY 85,0000.18ˆ +−= a) ( ) mensualesgastosY 000.577000.70085,0000.18ˆ =+−= b) No se debe estimar, pues la ecuación corresponde a familias de 4 miembros, y aquí nos
piden para familias de 5 miembros. c) Tampoco se puede utilizar la ecuación, dado que se emplea para familias de 4
miembros, con ingresos entre $688.000 y $820.000. En este caso, nos piden para familias de 5 miembros y con ingresos inferiores al anterior rango.
d) Tampoco se debe utilizar la ecuación, dado que $450.000 no está dentro del rango de
ingresos 54. Solución: a) Por cada unidad que toma X (Variable independiente), la variable Y (dependiente),
crece en 0,3. b) ( ) 62403,050ˆ =+=Y para un gasto semanal de $40.000, se estima, que el alumno
obtiene una nota promedio de 62 puntos sobre 100. Se nota en este ejercicio, a pesar del resultado, no hay relación entre las dos variables, podemos decir que fue una relación “CASUAL”
55. Solución:
8,064,064,02 ==⇒= rR
a) 1) ( )( )ncorrelacióhaySiH
ncorrelacióhayNoH
a 0:
0:0
≠=
ρρ
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2) 05,0=∝
3) 66,5
22064,01
8,0
21 2
=
−−
=⇒
−−
= t
nr
rt
(Resultado calculadora)
101,205,0
1822005,0 =
=∝=−=
tυ
Se concluye al nivel del 5%, que la muestra realizada permite admitir que proviene de poblaciones con cierto grado de correlación.
b) VTVR−= 1R2 %3636,064,01 ==−=⇒
VTVR %00,36100 =
VT
VR
36% es la proporción de la variación que queda sin explicar por la recta de regresión. 56. Solución:
16=n ∑ = 192ix ∑ = 748iy ∑ = 391.10ii yx
∑ = 988.22ix ∑ = 026.382
iy 75,422 =xs
12=x 75,46=y 0625,1912 =ys
a) ( ) yxxbY yx +−=ˆ
( ) 069,275,42
4375,884375,8875,4612
16
391.10 ===−= yxbCov
( ) díasY 58,7175,461224069,2ˆ =+−=
b) 85,211,811,875,42
4375,880625,191
22 ==⇒=−= yxyx ss
=±=±=
44,5148,5452,196,52
16
85,2145,296,52Y días
( ) 96,5275,461215069,2ˆ =+−=Y días
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=±=⇒
±=
4,51
43,5447,196,52ˆ
16
74,2145,296,52ˆ YY días
c) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]98,09785,0
748026.3816192988.216
748192391.1016
22≅=
−−
−=r
1) ( )( )ncorrelacióhaySiH
ncorrelacióhayNoH
a 0:0:0
≠=
ρρ
2) 05,0=∝
3) 33,1805345,0
98,0
21696,01
98,0
21 2
==
−−
=
−−
=
nr
rt
18,33 cae en la RC, luego aceptamos la alternativa, es decir, que hay correlación al nivel del 5%.
d) 1) ( )( )relaciónhaySiH
relaciónhayNoH
a 0:
0:
1
10
≠=
ββ
2) 05,0=∝
( )1089,0
684
185,2
121
=⇒−
=∑ xx
sSi
yxb
999,181089,0
0069,2 =−=−
=byx
yxyx
S
bt
β
Observemos que 18,999 cae en la región crítica, por lo tanto rechazamos a 0H y aceptamos
0: ≠yxaH β , luego se puede aceptar al nivel del 5% que si hay relación.
57. Solución:
25618929405435 22 ====== ∑∑ ∑∑∑ iiiiii yxyyxxn
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( ) ( ) ( )
( ) ( )317,0
10433
291895
294325652 ==
−−=xyb 7614,6
5)29(317,043 =−=xyC
( ) 93,9761,610317,0ˆ =+=X millones de pesos semanales es el costo de mano de obra.
58. Solución:
( ) ( ) ( )( ) ( )
=−
−= 215555
45151655yxb 3 ( )
05
15345 =−=yxC
a) 03ˆ += xY
b) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1
150
150
45495515555
45151655
22==
−−
−=r
c) perfecta. esn correlació La regresión. de recta lapor explicado queda%10012 === RVTVE
59. Solución:
a) ( ) ( ) ( )( ) ( )
44,1234796.135
831234890.5352 =
−−=yxb 686,6
35
234 ;74,23
35
831 ==== xy
( ) yxxbY yx +−=ˆ ( ) 74,23686,644,1ˆ +−=⇒ xY
b) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
61,071,251.19
696.11
831037.2135234796.135
831234890.53522
==−−
−=r
60. Solución:
10=n ∑ = 243ix ∑ = 125iy ∑ = 236.3ii yx
∑ = 405.62ix ∑ = 739.12
iy
a) 3969,0=yxb 8548,2=yxC
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( ) 8083,88548,2153969,0ˆ =+=Y 81,8ˆ =Y b) 4463,06681,0 2 =⇒= Rr 61. Solución:
∑∑ === 6215830 iiii nynxn 07,20660,2 ≅=y 27,526667,5 ≅=x 148956348 22 === ∑ ∑∑ iiiiiii nynxnyx
( ) ( ) ( )71555,06911,027,507,230348 =−=Cov *
( ) ( )128788,409,430
27,530956 22 =
−=xS *
* resultados, usando programa RL en la calculadora
( ) ( )66222,065,0
3007.230148 2
2 =−=ys *
a) ( ) xyybXb xyxy +−=== ˆ*)0805,1( 06,165,0
6911,0
( ) 32,727,507,2406,1ˆ =+−=X
b) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]19,0*)432739,0(43,0
621483015895630
6215834830 2
22=⇒=
−−
−= Rr
c) 36,365,0
6911,009,4
2
2
222 =−=−=
y
xxy sCovss (3,355)* Varianza residual
83,136,3 ==xys
222
xyxax sss −= 73,036,309,42 =−=⇒ axs Varianza explicada
d) =±=
±=
64,600,868,032,7
30
83,1048,232,7X 32.7ˆ =X
ix iy in
2 1 3 2 2 2 4 1 5 4 3 3 6 2 5 6 3 5 8 1 1 8 2 3 8 3 3
∑ 30
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62. Solución:
30=n ∑ = 550.1ii nx ∑ = 150.862ii nx
940.2=∑ ii ny 400.3002 =∑ ii ny
800.157=∑ iii nyx
( )6666,5167,5130550.1 ==x *
9830940.2 ==y
* resultados con la calculadora
( ) ( )3333,40933,40930
9830400.300 22 =−=ys *
( ) ( )2222,20288,201
30
67,5130150.86 22 =−=xs *
a) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]47,068,0
940.2400.30030550.1150.8630
940.2550.1800.15730 2
22=⇒=
−−
−= Rr
b) 67,19630
940.2
30
550.1
30
800.157 =
−=xym
( )97252,0979,088,201
67,197 ==yxb *
( ) 37,969867,5150979,0ˆ =+−=Y miles de $ $96.370
c) ( )019,21874,21788,201
67,19633,409
22 =−=yxs *
76,1474,217 ==yxs
=±=
±=
85,90
89,10152,537,96
30
76,14048,237,96Y miles de $
ix iy in 35 80 2 35 60 4 40 120 1 40 100 6 40 80 2 60 120 4 60 100 2 60 80 1 70 120 5 70 100 3
∑ 30
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35
d) 59,19174,21733,409;222 =−=−== VEssVEs yxyay
regresiónderectalaporexplicadoquedaVT
VE
s
s
y
ay %81,464681,033,409
59,1912
2
====
63. Solución:
30=n 813∑ =ii nx
∑ = 984ii ny 7322 =∑ ii nx
472.332 −∑ ii ny 672.4=∑ iii nyx
6,4=x 8,32=y 24,32 =xs ( )89333,3989,392 =ys *
( ) ( ) ( )85333,485,48,326,430
672.4 =−=Cov *
* Resultados con calculadora
a) ( )497942,14969,124,3
85,4 ==yxb *
( ) 40,338,326,454969,1ˆ =+−=Y años de edad
b) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]43,04269,0
984472.333013873230
984138672.430
22≅=
−−
−=r 181822,02 ≅=R
ix iy in 2 24 3 2 32 2 2 40 1 4 24 4 4 32 5 4 40 3 6 24 1 6 32 3 6 40 5 8 32 1 8 40 2
∑ 30
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36
64. Solución:
30=n 127=∑ ii nx 152=∑ ii ny
6692 =∑ ii nx 9842 =∑ ii ny
513=∑ iii nyx 23,4=x 07,5=y
4071,423,430
669 22 =−=xs 095,707,530
984 22 =−=ys
a) ( ) 3461,407,523,430
513 −=−=Cov
986,04071,4
3461,4 −=−=yxb
( ) dincapacidadedíasY 32,307,523,46986,0ˆ =+−−=
b) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]61,078,0
1529843012766930
15212751330 2
22=⇒−=
−−
−= Rr
65. Solución:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )7034,0
50374045,2800
045,2374410.450
800374282.950222
=−=−
=
=−
−=−
−=
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑∑
yx
iiyxii
yx
yx
iiii
iiiiiiiyx
Cn
nxbnyC
bnxnxn
nynxnyxnb
( ) 05,627034,030045,2ˆ =+=Y 05,62ˆ =Y
ix iy in 7 2 2 8 1 3 2 5 6 3 6 5 5 4 4 3 9 7 7 2 3
∑ 30
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37
( ) ( )
=±=±===
=−−=−−
=∑ ∑ ∑
51,61
59,6254,005,62
50
96,196,105,62ˆ;96,183,3
83,350
282.9045,28007034,0736.192
2
Ys
n
nxybnyCnys
yx
iiiyxiiyxiiyx
66. Solución: Coeficiente de correlación Pearson:
72,13850
5080050736.19
1
2
2222 =
−
=−==−= ∑n
ynnyTVs
VTVRR ii
y
99,0986,09723,072,138
83,312 ≅=⇒=−= rR 99,0=r
67. Solución:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
67,930
3014530991
9838,067,9
1565,01
1565,030
127.25087,014566,0991)
46,6ˆ4618,666,0145087,0ˆ66,030
3245087,0145
5087,0324602.430
145324127.230)
127.2991145
602.432430
2
22
2
2
22
=
−
==−=
=−+=
==−=⇒−=−=
=−
−=
===
=== ∑
∑∑
∑∑
y
yx
yx
yx
iii
ii
ii
ii
ii
sR
sb
YYC
ba
nyxnyny
nxnxn
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38
68. Solución:
cxbaxY ++= 2ˆ
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑
++=++=++=
2342
23
2
iiiii
iiiii
iii
xcxbxayx
xcxbxayx
ncxbxay
a) Le damos valores a las ecuaciones anteriores Los valores de los parámetros son:
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
cba
cba
cba
626.1110.16130.167418.29
174626.1110.16062.3
20174626.1340
++=++=++=
74,2
*455,245,2*087,009,0
===
−=−=
yx
yx
yx
cba
* resultado calculadora
La regresión parabólica de “2 en 1” será:
( ) 74,245,209,0ˆ 2 ++−= xxY ( ) ( ) 24,1874,21045,210009,0ˆ =++−=Y
b) n
xyaxybycys
iiyxiiyxiyxiyx
∑ ∑ ∑ ∑−−−=
222 24,18ˆ =Y
( ) ( ) ( )
73,020
418.29087,0062.3455,234074,2094.52 =+−−=yxs
89,011,012,673,0
112
2
2 =−=−=−=y
yx
s
sr 94,0=r
2,61720
904.5 222
2 =−=−= ∑ yn
ys i
y
El ajuste parece mejor que el de la recta, ya que r = 0,94 acercándose más a 1.
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69. Solución:
ix iy 5 28 8 32 4 46 7 24
10 28 4 36 3 42 4 37 3 51 4 42
52 366
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
=====
078.14
137.10
767.1
366
308.18
290.2
320
5210
2
2
4
3
2
i
ii
ii
i
i
i
i
i
y
yx
yx
y
x
x
x
xn
( )( )
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
Cba
Cba
Cbaa
320290.2308.18137.10)3
152320290.2767.1)2
2,51052320366)1)
++=−++=
++=
( )( )( )
desealoasísiíasimboestautilizarpodráse
cba
cba
cba
log
320290.2308.18137.103
52320290.2767.12
10523203661
++=++=++=
( )( )( ) yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
cba
cba
cba
320290.2308.18137.103
52320290.2767.12
10523203661
++=++=++=
Multiplicamos la (1) por 5,2 y le restamos la (2) ( )( )( ) 06,496262,1364
52320290.2767.12
524,270664.12,903.11
yxyx
yxyxyx
yxyxyx
ba
cba
cba
−−=−−−=−++=
2ix 3
ix 4ix ii yx ii yx2 2
iy 25 125 625 140 700 784 64 512 4.096 256 2.048 1.024 16 64 256 184 736 2.116 49 343 2.401 168 1.176 576
100 1.000 10.000 280 2.800 784 16 64 256 144 576 1.296 9 27 81 126 378 1.764
16 64 256 148 592 1.369 9 27 81 153 459 2.601
16 64 256 168 672 1.764 320 2.290 18.308 1.767 10.137 14.078
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40
Multiplicamos la ecuación (1) por -32 y se le resta a la (3) ( )( )( ) 0626068.8575.15
320664.1240.10712.111
320290.2308.18137.103
yxyx
yxyxyx
yxyxyx
ba
cba
cba
+=−−−−=−++=
Multiplicamos la (4) por 626 y la (5) por – 49,6
( )( )
8607,08,296.8
2,141.78,296.82,141.7
6,049.318,172.4000,120.785
6,049.310,876.3912,261.854
==⇒=+=−−−=
yxxy
yxxy
yxxy
aa
ca
ca
Reemplazamos en la ecuación (4)
( ) yxb6,498607,06262,136)4 −−=
( )
6088,136,49
8607,06262,136 −=−
+=yxb Reemplazamos en la ecuación (1)
( ) ( ) yxc106088,13528607,0320366)1 +−+=
( ) ( )
8234,7910
6088,13528607,0320366=
+−=yxc
( ) ( ) 16,291558,298234,7966088,13368607,0ˆ ≅=+−=Y 16,29ˆ =Y
16,29ˆ =Y debe ser la edad estimada para un trabajador que solicita 6 permisos.
( ) ( ) ( )
4469,1810
137.108607,0767.16088,133668234,79078.14) 2 =−+−=yxsb
29,44469,18 ==yxs
24,6810
366
10
078.142
2 =
−=ys
73,07297,024,68
4469,1811 2
2
2
2 ≅=−=⇒−= Rs
sR
y
yx 73,02 =R
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41
=±=
±=
03,26
29,3213,316,29
10
29,4306,216,29ˆ) Yc años (edad)
70. Solución: Por comodidad, cambiamos por yi = Capacidad y xi = el número de pasajeros, con el fin de estimar Y en vez de estimarX , tal como se hace frecuentemente, obteniéndose los mismos resultados.
ix iy 8 12
12 20 5 12
10 20 14 40 8 12
11 20 16 40 6 12 5 20
95 208 a) cxbxaY ++= 2ˆ ⇒ yxyxyx cxbxaY ++= 2ˆ
cbacba
cba
031.1389.12067.160148.28)395031.1389.12284.2)2
1095031.1208)1
++=++=
++=
( )
05,1285,594.2308)4(
955,9025,794.9976.1)1(
95031.1389.12284.2)2(
25,9
ba
cba
cba
dosecuaciónladerestamoslayporecuaciónprimeralamosMultiplica
+=−−+−=−++=
−
2ix 3
ix 4ix ii yx
ii yx2 2iy
64 512 4.096 96 768 144 144 1.728 20.736 240 2.880 400 25 125 625 60 300 184
100 1.000 10.000 200 2.000 400 196 2.744 38.416 560 7.840 1.600 64 512 4.096 96 768 144
121 1.331 14.641 220 2.420 400 256 4.096 65.536 640 10.240 1.600 36 216 1.296 72 432 144 25 125 625 100 500 400
1.031 12.389 160.067 2.284 28.148 5.376
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( )
05,594.29,770.532,703.6)5(
031.15,794.91,296.1068,444.21)1(
031.1389.12067.160148.28)3(
1,1031
ba
cba
cba
porlandomultiplicáecuacióntercerayprimeralacontrabajamosAhora
+=−−−=++=
Nos quedan dos ecuaciones con dos incógnitas (4) y (5) y despejamos a, multiplicando por 2.594,5 la ecuación (4) y por 128,5 la ecuación (5), luego restamos
04,130.1782,255.62
25.393.33325,430.731.60.106.799)4(
25,393.33365,560.909.62,361.861)5(
a
ba
ba
=−−=−+=
( ) bdespejamosyecuaciónlaenosReemplazama 43495,04,130.1782,255.62 ==
( )=−=−=⇒+=
yxbb
bb 6598,45,128
78,9063085,128)3495,0(5,594.23084
Ahora reemplazamos en la ecuación (1) para calcular el valor de c
( ) ( ) c106598,4953495,0031.1208 +−+=
( ) ( )==+−=
yxcc
c 0347,2910
6598,4953495,0031.1208
0347,296598,43495,0ˆ 2 +−= xxY Siendo x = 13 se tiene:
( ) ( ) 5228,270347,29136598,4133495,0ˆ 2 =+−=Y 52,27ˆ =Y pasajeros
pasajerosdementeaproximadaserpuedevehículodelcapacidadLa 30,
b) ( ) ( ) ( )
20,1410
148.283495,0284.26598,42080347,29376.52 =−+−=yxs
35,44710
95
10
376.52
2 =
−=ys
⇒=−=⇒−= 9683,035,447
20,1411 2
2
2
2 Rs
sR
y
yx 98,0≅r
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43
CORRELACIÓN MÚLTIPLE 71. Solución: *Presentamos dos maneras de simbolizar las columnas de las variables, el proceso es el mismo
*
Presentamos dos de las ecuaciones que podemos utilizar, en cuanto se refiere a la SIMBOLOGIA utilizada:
( )( )( )
++=++=++=
++=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
231.23313.21313.232
131.23213.21113.212
31.2313.2113.22
31.2313.2113.22
321
ˆ
xbxxbxbxxxxbxbxbxx
xbxbbnxxbxbbX
ó
( )
++=++=++=
++=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
2221122
12221111
2211
2211
2
1ˆ
xxxxxyxxxxxy
xxnyxxY
oi
oi
oi
o
βββββββββ
βββ
( )( )( ) 21
21
21
800.949380.48060.3360.503380.48708.2152536.22060.3152101641
βββββββββ
++=++=++=
o
o
o
1.2323.21113.2 ββββ === bbo ( ) ( ) 2,1521 porprimeralamosmultiplicayyecuacioneslasosConsideram
ix 2x 3x
1x iy 2x 5 20 270 9 18 250 12 16 280 8 10 260 16 14 310 18 16 330 19 16 350 20 17 320 18 17 360 27 20 330 152 164 3.060
21x 2
2x 23x 21 xx 31 xx 32 xx
21x 2
iy 22x 1xyi 21 xx 2xyi
25 400 72.900 100 1.350 5.400 81 324 62.500 162 2.250 4.500 144 256 78.400 192 3.360 4.480 64 100 67.600 80 2.080 2.600 256 196 96.100 224 4.960 4.340 324 256 108.900 288 5.940 5.280 361 256 122.500 304 6.650 5.600 400 289 102.400 340 6.400 5.440 324 289 129.600 306 6.480 6.120 729 400 108.900 540 8.910 6.600
2.708 2.766 949.800 2.536 48.380 50.360
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44
21
21
21
800.9496,39702,43)4(
512.464,23101528,492.2)1(
380.48708.2152536.2)2(
ββββββββ
+−=−−−=−++=
o
o
( ) 3061 porecuaciónlamosmultiplicaAhora
2
2
2
340.13868.10176)5(
360.936512.46060.3184.50)1(
800.949380.48060.3360.50)3(
ββββββββ
++=−−−=++=
i
io
io
( ) ( ) 6,3975868.141 porlayporlandomultiplicaEliminamosβ
2
21
21
560.814.100,720.10
984.303.58,716.7426,977.69
424.489.38,716.7426,697.80)4(
βββββ
−=−−=−+=
( )0059,0868.16,3972,4340059,0560.814.1
720.1012 +=== ββ yecuaciónlaenosReemplazam
( )
0809,06,397
0059,0868.12,431 =−=β
( )1ecuaciónlaenosReemplazam
( ) ( )060.30059,01520809,010164 ++= oβ
( )
3649,1310
)060.3(0059,01520809,0164 =−−=oβ
3649,1313.2 == boβ 0809,03.211 == bβ 0059,01.232 == ββ
2211ˆ xxY o βββ ++=
21 0059,00809,03649,13ˆ xxY ++=
( ) ( ) 34,16338,16240059,0350809,03649,13ˆ ≅=++=Y 34,16ˆ =Y
%34,16delutilidadunaesperaríaSe
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.10 Regresión y correlación simple Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones ponderada y múltiple Actualizado en diciembre de 2007
45
72. Solución:
22111 xxY o βββ ++=
32,1323,1223,11ˆ xbxbbX ++=
( )( )( ) 2.133.1223.1
2.133.1223.1
2.133.1223.1
145.1994.4308264.43994.4157.22363555.1828136363081
bbbbbb
bbb
++=++=
++=
cba
321
321
321
145.1994.4308
994.4157.22363
813636
XXX
XXX
XXX
++++++
264.4
555.18
308
11
11
1
308
3636
acc
abb
aa
−=−=
=
32
32
321
013.3640.130
5,935,1950
5,135,60
XX
XX
XXX
−−−+++
6564,546.11
9879,78
3333,51
−−
212
12
212
640.13
5,195
5,60
bcc
bb
baa
+==−=
3
32
31
012,511.3004783,0 04371,15 0
XXXXX
++−
22,057.17
4040,0
7753,75
−−
012,511.34783,04371,15
23
322
323
cccbbcaa
=−=
+=
0 0 0 0 0 0
3
2
1
X
X
X
1.232
3.121
23.1
8582,49196,17788,0
bbbo
==−====
βββ
a) ( ) ( ) 4122,23238582,4709196,17788,0ˆ =−+=Y 41,23ˆ =Y b) Se deja planteada las ecuaciones: 31.2313.2113.22
ˆ xbxbbX ++=
( )( )( ) 1,233,2113,2
1,233,2113,2
1,233,2113,2
145.1264.481994.43
264.4152.16308555.182
8130863631
bbb
bbb
bbb
++=++=++=
o 2211
ˆ xxY o βββ ++=
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.10 Regresión y correlación simple Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones ponderada y múltiple Actualizado en diciembre de 2007
46
( )( )( )
sCalcularloo
o
o
o
???
145,1264.4 81 994.43264.4152.16308 555.182
81308 6 3631
2
1
21
21
21
===
++=++=++=
βββ
ββββββ
βββ
cba
321
321
321
145.1264.481
264.4152.16308
813086
xxx
xxx
xxx
++++++
994.4
555.18
363
11
11
1
81 308
6
acc
abb
aa
−=−=
=
32
32
321
5,510027,1060
1063436,3410
5,133333,51
xx
xx
xxx
++++++
5,93
0,79
5,60
−
212
12
212
0027,1063436,341
3333,51
bcc
bb
baa
−=
=
−=
3
32
31
5862,1800
3105,00
4390,20
x
xx
xx
++−
0290,118
2314,0
3785,72
−
5862,183105,04390,2
23
323
323
cccbbcaa
=−=
+=
3
2
1
00
00
00
x
x
x
3504,6
2032,2
8671,87
−
3504,62032,28671,87 21 =−== βββo 21 3504,62032,28671,87ˆ xxY +−=
c) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )7963,0
173.1048.2
474
363157.226308152.166
363308555.186
2212 −=−=
−−
−=r
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]7994,0
)309(048.2
636
81145.16308152.166
81308264.4622
13 ==−−
−=r
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]0930,0
)173.1( 309
56
363157.22681145.16
81363994.4622
23 ==−−
−=r
7963,02112 −== rr 7994,03113 == rr 0930,03223 == rr
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.10 Regresión y correlación simple Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones ponderada y múltiple Actualizado en diciembre de 2007
47
73. Solución:
32,1323,1223,11ˆ xbxbbX ++=
232.13323.12323.131
232.13223.12223.121
32.1323.1223.11
xbxxbxbxx
xxbxbxbxx
xbxbnbx
∑+∑+∑=∑
∑+∑+∑=∑
∑+∑+=∑
( )( )( ) 2.133.1223.1
2.133.1223.1
2.133.1223,1
1881,1439,12923,798,2013
39,129279.179996.12
23,77961291
bbb
bbb
bbb
++=++=++=
cba
321
321
321
1881,1439,12923,7
39,129279.179
23,7796
xxx
xxx
xxx
++++++
98,201
996.1
129
11
11
1
23,7
796
acc
abb
aa
−=−=
=
32
32
321
4760,51948,340
195,348307,2380
205,11667,13
xx
xx
xxx
+++
535,46
5,297
5,21
212
12
212
1948,34
8307,238
1667,13
bcc
bb
baa
−==
−=
3
32
31
5793,000
1432,00
6805,00
x
xx
xx
++−
9420,3
2456,1
0995,5
5793,01432,06805,0
23
323
323
cccbbcaa
=−=
+=
3
2
1
00
00
0 0
x
x
x
8048,6
2712,0
730,9
321 8048,62712,0730,9ˆ xxX ++=
( ) ( ) 0164,7588048,6402712,0730,9ˆ1 =++=X 02,75ˆ
1 =X
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.10 Regresión y correlación simple Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones ponderada y múltiple Actualizado en diciembre de 2007
48
74. Solución:
31,2313,2113,22ˆ xbxbbX ++=
231.23313.21313.232
131.23213.21113.212
31.2313.2113.22
xbxxbxbxx
xxbxbxbxx
xbxbnbx
∑+∑+∑=∑
∑+∑+∑=∑
∑+∑+=∑
( )( )( ) 1.233.2113.2
1.233.2113.2
1.233.2113,2
725 057.18 95 833.33
057.1868,175.9394,247.3 1,060.982
95 4,247.3 15 6041
bbb
bbb
bbb
++=++=++=
cba
321
321
321
725057.1895
057.1868,175.9394,247.3
954,247.315
xxx
xxx
xxx
++++++
833.3
1,060.98
604
11
11
1
95
4,247.315
acc
abb
aa
−=−=
=
32
32
321
3365.1238635.509.207584,509.23376,135.23603333,64933,216
xxxxxxx
+−−+++
6635,79816,701.322667,40
−
212
12
112
8635,509.23376,135.236
4933,216
bccbb
baa
−==
−=
3
32
31
65665,960001063,001625,50
xxxxx
+−−
9275,3391385,02510,70
−−
7319,96
01060,0
6281,8
23
323
323
−=+=
+=
cc
cbb
caa
3
2
1
00
00
00
x
x
x
51686,31012,0
88211,39−
( ) 312 51686,31012,088211,39ˆ xxXa +−= ( ) ( ) ( ) 2144,36551686,32101012,088211,39ˆ
2 =+−=Xb 21,36ˆ2 =X
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.10 Regresión y correlación simple Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones ponderada y múltiple Actualizado en diciembre de 2007
49
75. Solución:
iy 1x 2x 2iy 2
1x 22x 1xyi 2xyi 21 xx
0,5 43 14 0,25 1.849 196 21,5 7,0 602 0,5 36 16 0,25 1.296 256 18,0 8,0 576 0,9 39 10 0,81 1.521 100 35,1 9,0 390 1,6 41 12 2,56 1.681 144 65,6 19,2 492 2,5 34 8 6,25 1.156 64 85,0 20,0 272 2,8 46 12 7,84 2.116 144 128,8 33,6 552 3,0 35 6 9,00 1.225 36 105,0 18,0 210 3,2 32 6 10,24 1.024 36 102,4 19,2 192 3,3 49 4 10,89 2.401 16 161,7 13,2 196 3,7 38 12 13,69 1.444 144 140,6 44,4 456 22,0 393 100 61,78 15.713 1.136 863,7 191,6 3.938
2211ˆ xxY o βββ ++=
( )( )( )
( )( )23,39
1
136.1938.31006,1913938.3713.153937,8632
10039310221
21
21
21
ecuaciónlaarestamosloyporecuaciónlamosmultiplica
o
o
o
−++=++=++=
βββββββββ
( )( )( ) 21
21
21
81,26809,04
930.39,444.153936,8641
938.3713.153937,8632
ββββββββ
++=−−−−=−++=
o
o
( ) ( ) 10)1(31 −porecuaciónlandomultiplicayecuacioneslascontrabajamos
( )( )( ) 21
21
21
36804,285
000.1930.31002201
136.1938.31006,1913
ββββββββ
++=−−−−=−++=
o
o
( ) ( )55,44 ecuaciónlarestaleseyporecuaciónlamosmultiplica
( )( )
0203,045,198.1
35,24045,198.135,24
3600,840,285
3645,206.105,44
11
21
21
==⇒=−−=++=−
ββββββ
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.10 Regresión y correlación simple Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones ponderada y múltiple Actualizado en diciembre de 2007
50
( )5ecuaciónlaenosReemplazam
( ) ( ) ( )7934,0
36
0203,084,28360203,084,285 22 −=−−=⇒+=− ββ
( )1ecuaciónlaenosReemplazam
( ) ( ) 3362,910
34,799779,7227934,01000203,03931022 =+−=⇒−+= oo ββ
( ) ( ) ..4208,1117934,0400203,03362,9ˆ VTdehorasY =−+= 42,1ˆ =Y
76. Solución:
∑ ∑∑
∑∑∑
====
==
====
50750
532618
313
35
439
914
605
22
22
21
1
21
2 xxy
yxx
x
x
xx
y
yn
i
ii
i
i
( )( )( ) ( ) ( ) 721
eliminamos
618439507503
439313355322
50355601
21
21
21
−++=++=++=
últimaestandomultiplicayecuacioneslascon
trabajandoa o
o
o
o β
βββββββββ
( )( )( ) 21
21
21
896801124
350245354201
439313355322
ββββββββ
++=
−−−=−++=
o
o
( ) ( ) 10)1(tan31 −domultiplicaecuaciónladoresyecuacioneslascontrabajamosAhora
( )( )( ) 21
21
21
1188901505
500350506001
618439507503
ββββββββ
+=−−−=−++=
o
o
( ) ( ) 8951184 porlayporecuaciónlamosmultiplica
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.10 Regresión y correlación simple Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones ponderada y múltiple Actualizado en diciembre de 2007
51
( )( ) 301,1
103
134
0103134
502.10024.8216.134
502.101921.7350.135
1
1
21
2
−=−=−=
−−=−+=
ββ
ββββ
Reemplazamos en la ecuación (4)
( ) ( ) ( )2524,2
89301,168112
89301,1681124 22 =+=⇒+−= ββ
( )1ecuaciónlaenosReemplazam
( ) ( ) 417,15
62,112535,45602524,250301,135560 −=−+=⇒+−= oo ββ
( ) ( ) 14,23162524,211301,1417,1ˆ =+−−=Y 14,23ˆ =Y
2112 975,01
rrryx === 3113 991,02
rrryx === 3223 9936,032
rrr xx ===
( ) ( ) ( )99,09947,0
9936,01
9936,0991,0975,02991,0975,0)
2
22
. 21≅=
−−+=xxyRb
77. Solución:
Vendedor ix Rango ix iy Rango iy
1 70 1,0 29 1,0 2 71 2,0 32 3,0 3 72 3,5 32 3,0 4 72 3,5 32 3,0 5 82 5,0 34 5,0 6 85 6,0 37 6,0 7 86 7,0 39 7,0 8 87 8,0 41 8,0 9 88 9,5 42 9,0 10 88 9,5 43 10,0 11 89 11,0 44 11,0 12 93 12,5 46 12,0 13 93 12,5 50 13,0 14 96 14,0 51 14,0 15 98 15,0 53 15,0
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.10 Regresión y correlación simple Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones ponderada y múltiple Actualizado en diciembre de 2007
52
Vendedor ix Rango
ix iy Rango
iy id 2id
1 72 3,5 34 5,0 -1,5 2,25 2 88 9,5 42 9,0 0,5 0,25 3 70 1,0 32 3,0 -2,0 4,00 4 72 3,5 44 11,0 -7,5 56,25 5 87 8,0 29 1,0 7,0 49,00 6 71 2,0 32 3,0 -1,0 1,00 7 85 9,5 41 8,0 1,5 2,25 8 89 11,0 46 12,0 -1,0 1,00 9 93 12,5 50 13,0 -0,5 0,25 10 98 15,0 51 14,0 1,0 1,00 11 93 12,5 53 15,0 -2,5 6,25 12 96 14,0 32 3,0 11,0 121,00 13 86 7,0 39 7,0 0,0 0,00 14 82 5,0 43 10,0 -5,0 25,00 15 88 9,5 37 6,0 3,5 12,25
∑
0 281,75
nn
dr is −
−= ∑3
261
( )
4965,05031,01
1515
75,28161
3
=−=
−−=
s
s
r
r
50,04965,0 ≅=sr
El resultado de 0,50 nos muestra que hay muy poca correlación entre esas dos variables * Ver más ejercicios capítulo 9 78. Solución:
No. ix Rango
ix iy Rango
iy 1 6 2,0 8 1,0 2 6 2,0 9 2,0 3 6 2,0 10 3,5 4 10 4,5 10 3,5
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.10 Regresión y correlación simple Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones ponderada y múltiple Actualizado en diciembre de 2007
53
5 10 4,5 12 5,5 6 11 6,5 12 5,5 7 11 6,5 13 7,0 8 13 8,0 17 8,0 9 14 9,5 18 10,0 10 14 9,5 18 10,0 11 17 11,5 18 10,0 12 17 11,5 20 12,0
No. ix Rango
ix iy Rango
iy id 2id
1 6 2,0 10 3,5 -1,5 2,25 2 10 5,5 13 7,0 -1,5 2,25 3 14 9,5 18 10,0 -0,5 0,25 4 17 11,5 12 5,5 6,0 36,00 5 6 2,0 9 2,0 0,0 0,00 6 6 2,0 8 1,0 1,0 1,00 7 11 6,5 12 5,5 1,0 1,00 8 14 9,5 18 10,0 -0,5 0,25 9 10 5,5 17 8,0 -2,5 6,25 10 17 11,5 10 3,5 8,0 64,00 11 11 6,5 18 10,0 -3,5 12,25 12 13 8,0 20 7,0 1,0 1,00
∑
0 126,50
( )
variablesdosesasentrencorrelaciópocamuyindicanosrs 57,05577,04423,011212
5,12661
3≅=−=
−−=
57,0=sr
79. Solución:
No. ix Rango
ix iy Rango
iy 1 12 1 16 1 2 13 2 17 2 3 14 3 18 3 4 15 4,5 20 4 5 15 4,5 21 5
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.10 Regresión y correlación simple Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones ponderada y múltiple Actualizado en diciembre de 2007
54
6 16 6 22 6 7 17 7 24 7,5 8 18 8 24 7,5 9 20 9 25 9,5 10 21 10 25 9,5 11 22 11,5 31 11,5 12 22 11,5 31 11,5 13 23 13 34 13 14 24 14 35 14
No. ix Rango
ix iy Rango
iy id 2id
1 13 2 21 5 -3,0 9,00 2 12 1 17 2 -1,0 1,00 3 16 6 22 6 0 0,00 4 15 4,5 16 1 3,5 12,25 5 14 3 18 3 0 0,00 6 22 11,5 35 14 -2,5 6,25 7 23 13 34 13 0 0,00 8 17 7 20 4 3,0 9,00 9 24 14 31 11,5 2,5 6,25 10 20 9 24 7,5 1,5 2,25 11 21 10 25 9,5 0,5 0,25 12 18 8 25 9,5 -1,5 2,25 13 15 4,5 24 7,5 -3,0 9,00 14 22 11,5 31 11,5 0 0,00
∑
0 57,50
a) ( )
8736,01264,011414
5,5761 3 =−=
−−=sr 87,0=sr
Hay una buena correlación entre esas variables, según el coeficiente de Spearman b) Pearsondencorrelaciódeecoeficientr =
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]8764,0
343899.814252742.414
343252454.614
22=
−−
−=r
SpearmandencorrelaciódeecoeficientaligualCasi
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80. Solución:
No. iy Rango
iy 1 20 1,0 2 45 2,5 3 45 2,5 4 52 5,0 5 52 5,0 6 52 5,0 7 53 7,0 8 60 9,0 9 60 9,0 10 60 9,0 11 68 11,5 12 68 11,5 13 70 13,5 14 70 13,5
( )2538,07462,01
1414
50,33961 3 =−=
−−=sr 25,0=sr
variablesdoslasentrencorrelacióhaynoquedecirpuedeSe
81. Solución:
No. ix Rango
ix iy Rango
iy 1 65 2,0 25 2,0 2 65 2,0 25 2,0 3 65 2,0 25 2,0 4 75 4,0 30 4,0 5 76 6,0 35 6,0 6 76 6,0 35 6,0 7 76 6,0 35 6,0 8 78 8,0 38 8,5 9 80 9,5 38 8,5 10 80 9,5 40 10,0 11 83 12,0 42 11,5 12 83 12,0 42 11,5
No. Rango
ix Rango
iy id 2id
1 11,0 2,5 8,5 72,25 2 1,0 9,0 -8,0 64,00 3 2,0 7,0 -5,0 25,00 4 5,0 5,0 0,0 0,00 5 3,5 9,0 -5,5 30,25 6 3,5 9,0 -5,5 30,25 7 6,0 1,0 5,0 25,00 8 9,0 5,0 4,0 16,00 9 12,0 13,5 -1,5 2,25 10 13,5 11,5 2,0 4,00 11 9,0 13,5 -4,5 20,25 12 7,0 5,0 2,0 4,00 13 13,5 11,5 2,0 4,00 14 9,0 2,5 6,5 42,25
∑ 339,50
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13 83 12,0 45 13,0 14 84 14,0 48 14,0 15 85 15,0 50 15,0 16 90 16,0 55 16,0
No. ix Rango
ix iy Rango
iy id 2id
1 65 2,0 30 4,0 -2,0 4,00 2 80 9,5 25 2,0 7,5 56,25 3 76 6,0 35 6,0 0,0 0,00 4 75 4,0 40 10,0 -6,0 36,00 5 80 9,5 38 8,5 1,0 1,00 6 78 8,0 42 11,5 -3,5 12,25 7 83 12,0 48 14,0 -2,0 4,00 8 84 14,0 50 15,0 -1,0 1,00 9 85 15,0 55 16,0 -1,0 1,00 10 90 16,0 45 13,0 3,0 9,00 11 65 2,0 25 2,0 0,0 0,00 12 83 12,0 35 6,0 6,0 36,00 13 76 6,0 38 8,5 -2,5 6,25 14 76 6,0 35 6,0 0,0 0,00 15 83 12,0 25 2,0 10,0 100,00 16 65 2,0 42 11,5 -9,5 90,25
∑ 357,00
( )4750,05250,01
1616
35761
3=−=
−−=sr 48,0=sr
ncorrelaciópocaMuy
EJERCICIOS MISCELÁNEOS 82. Solución:
14,1033882771
71,747140282
2
==∑=∑=∑
====∑=∑
yxyyy
Covxnxx
iiii
ii
a) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]99,0987,0
718277281407
71283387
22≅=
−−
−=r
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b) 505,027,15
71,72
===y
xyS
Covb ( ) 12,114,10505,04 −=−=xyC
( ) →=−= 99,912,122505,0X (Con todos los decimales, usando la calculadora 15,10ˆ =X )
( ) →=−= 32,15
7
14,107827 22yS (Con calculadora 27,152 =yS )
( )( ) →=== 725,714,1047
338Cov (Con calculadora 7,71)
Queda fuera de servicio a los 9,99 años aproximadamente )15,10ˆ( =X 83. Solución: La solución se le deja al estudiante 84. Solución:
11=n 75=∑ ix 134=∑ iy 992=∑ ii yx
83,02 =r 5512 =∑ ix 818.12 =∑ iy 12,7=Cov
60,32 =xS 88,162 =yS 82,6818,6 ==x 18,12=y
a) ( ) 50,16298,19977,1ˆ =−=Y (Resultado con calculadora) b) ( ) 79,291,0181,16 22 =−=yxS (Resultado con calculadora)
671792 ,,yxS ==
622,205,0
92=
=∝=−=
tnυ
=±=
±=18158217
321501611
67162225016ˆ
,,
,,,
,,Y
c) r = 0,91 es un buen coeficiente de correlación (muy cercano a 1), esto quiere decir, que
el ajuste rectilíneo es una buena línea de estimación; b = 1,98 es el coeficiente de regresión, que indica el aumento en Y por cada unidad de x.
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85. Solución: 1. a) salariox = 5,996.235=∑ ii yx 991.3=∑ ix serviciodetiempoy = 15=n 487.3=∑ iy
0196,0=xyb 52,527.672 =∑ ix 695.108.12 =∑ iy
16,996.1903,13742,3922,23207,66 22 ===== yx SSCovyx
( ) 82,5407,662,2322000196,0ˆ =+−=X (calculadora) $54.820 es el salario semanal b) 15=n 991=∑ ix 52,527.672 =∑ ix 151.42=∑ ii yx
346,0=xyb 632=∑ iy 776.272 =∑ iy
52,7603,13746,2613,4207,66 22 ===== yx SSCovyx
( ) 66,4407,6613,4238346,0ˆ =+−=X (calculadora) 66,44ˆ =X $44.660 salario semanal c) En ambos casos son positivos, por lo tanto indican el crecimiento en la variable x
(variable dependiente) de acuerdo al valor de y (variable independiente). 2. a) Salariox = 991=∑ ix 483.32 =∑ x 6323 =∑ x
servicioTx .2 = 52,527.6721 =∑ x 695.108.12
2 =∑ x
776.2723 =∑ x
Edadx =3 15=n 5,996.23521 =∑ xx 151.4231 =∑ xx 678.16332 =∑ xx
32.1323.1223.1
ˆ XbXbbX ++=
232.13323.12323.131
232.13223.12223.121
32.1323.1223.11
)3(
)2(
)1(
xbxxbxbxx
xxbxbxbxx
xbxbbnx
∑+∑+∑=∑
∑+∑+∑=∑
∑+∑+=∑
Reemplazando se tiene que:
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2.133.1223.1
2.133.1223.1
2.133.1223.1
776.27678.163632151.42)3(
678.163695.108.1483.35,996.235)2(
632483.315991)1(
bbb
bbb
bbb
++=++=++=
Multiplicamos a la ecuación (1) por -232.2
2.133.12
2.133.1223.1
2.133.1223.1
6,927.164,942.29903,886,5)4(
4,750.1464,520.808 483.32,110.230)1(
678.163695,108.1486.35,996.235)2(
bb
bbb
bbb
++=−−−=−++=
Ahora proseguimos con las ecuaciones (1) y (3), con el fin de eliminar a 23.1b , para ello multiplicamos a la (1) por 632 y la (3) por 15 y luego restamos al mayor valor, el menor de ellos así:
2.133.12
2.133.1223.1
2.133.1223.1
216.17914.2530953,5)5(
424.399256.201.2480.9312.6261
640.416170.455.2480.9265.6323
bb
bbbb
bbb
++=−−−=−++=
Nos queda dos ecuaciones (4 y 5) con dos incógnitas cada una, para ello eliminamos
2.13b multiplicando a la ecuación (4) por 17.216 y por 16.927,6 la ecuación (5), luego restamos, para hallar el valor de 23.1b
0 040.294.8550,538.568)5(
6,561.425.291318.514.308.48,002.770.1005
6,561.425.291358.808.163.58,540.338.1014
3.12
2.133.12
2.133.12
+=−−=−+=
b
bb
bb
00066,0596.291.859
8,538.5683.12 ==b Reemplazamos en la ecuación (4) o (5).
Consideremos esta última:
( ) 2.13216.1700066,0914.253953.5 b+=
( )336,0
216.17
00066,0914.253953.52.13 =
−=b Reemplazando en la ecuación (1)
( ) ( )336,063200066,0483.315991 23.1 ++= b
( ) ( )
77,5115
336,06320006,0483.399123.1 ≅
−−=b
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321 336,000066,077,51ˆ xxX ++= ( ) ( ) 75,6953336,026000066,077,51ˆ
1 ≅++=X 75,69ˆ =X b) El coeficiente de regresión 1β o 3.12b nos da el crecimiento o decrecimiento en X ,
manteniendo constante los demás coeficientes de regresión, algo similar sucede con 2β o 2.13b . El primero corresponde al coeficiente angular de la segunda variable y el segundo, es el coeficiente angular de la tercera variable.
c) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]237,0
483.3695.108.11599152,527.67 15
483.39915,996.23515
2212 =
−−
−=r 237,02112 == rr
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]258,0
632776.271599152,527.6715
632991151.4215
2213 =
−−
−=r 258,03113 == rr
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]91,0
632776.2715483.3695.108.115
632483.3678.16315
2223 =
−−
−=r 91,03223 == rr
( )( ) ( )
81,066,083,01
91,0258,0237,02067,0056,023.1 ==
−−+=R
66,081,0 22
23.1 ≅≅R (Se trabajó con los decimales que da la calculadora)
d) 23
2313122
232
132
1223.1 1
211 r
rrrrrrSS
−+−−−
=
( ) ( ) ( )
131,8083,01
91,0258,0237,0283,0067,0056,0103,13723.1 =
−+−−−=S
e) ( ) ( ) 63,6747336,012000066,076,51ˆ
1 =++=X 63,67ˆ1 =X
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EJERCICIOS MISCELÁNEOS 86. Solución: A) (a) B) (d) 87. Solución: La solución se le deja al alumno 88. Solución: La solución se le deja al alumno 89. Solución:
8,2=yxb 3,0=xyb ( ) 92,09165,03,08,2 ≅==r 92,0=r
90. Solución:
a) ( )
75,34
1275,024 =−=yxC
( ) ( )( )
( ) ( ) 75,032
24
12444
24127842
==−
−=yxb
b) 75,375,0ˆ += xY c) ( ) 25,875,3675,0ˆ =+=Y 25,8ˆ =Y 91. Solución:
a) 7,920
194 ==y ; 360.9 ;91,065.1620
)7,9(20200.323 22 ==−= xSy
( ) ( ) 20n ; 694.7 ;25,006.1091,065.16694.79,0 2 ===== xyx SrCov SS
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30,1694.7
25,006.102x
yxyx S
Covbb ===
( ) yxxY +−= 3,1ˆ b) ( ) 7,617,9360.9400.93,1ˆ ≅+−=Y 7,61ˆ =Y 92. Solución: 1. (a) 2. (b) 93. Solución: a) 0 b) 1=r c) 33,0=r 94. Solución:
( )
2202
2 =−∑
=n
yyiyS
( )4,38
ˆ 2
2 =−∑=n
yYSay
a) 17,0220
4,382
22 ===
y
ay
S
SR 41,017,0 === rR 41,0=r
b) Ha sido explicada en un 17% = 100100 2
2
y
ay
S
SVTVE =
c) 1) 0:0:0
≠=
ρρ
aH
H 2) 05,0=∝
38,217,01
23041,0 =
−−=t
048,205,0
282=
=∝=−=
tnυ
t = 2,38 cae en la Región Crítica, por lo tanto al nivel del 5%, podemos concluir que hay correlación entre las variables. La correlación es muy baja.
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95. Solución:
20=n 36,02 =R 6,0=r
a) 1) 0:0:0
≠=
ρρ
aH
H 2) 05,0=∝
18,336,01
2206,0 =
−−=t
101,205,0
18220=
=∝=−=
tυ
t = 3,18 cae en la región crítica, por lo tanto al nivel del 5%, se puede concluir que hay correlación entre las variables. Es baja la correlación.
b) 64,036,011 22
2
=−=−= Ry
yx
S
S %64100 =
VT
VR
El porcentaje de la varianza que queda sin explicar por la recta de regresión es del 64% 96. Solución:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )6735,0
50
374049,2800
049,2374410.450
800374288.950222
=−=−
=
=−
−=−
−=
∑∑
∑ ∑∑ ∑∑
n
nxbnyC
nxnxn
nynxnyxnb
iiyxiiyx
iiii
iiiiiiiyx
( ) 14,626735,030049,2ˆ ≅+=Y 14,62ˆ =Y
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( ) ( )
=±=
±=
==
=−−=−−
= ∑ ∑ ∑
64,61
64,6250,014,62
50
82,196,114,62ˆ
82,132,3
32,350
288.9049,28006735,0736.192
2
Y
S
n
nyxbnyCnyS
yx
iiiyxiiyxiiyx
97. Solución:
No. ix Rango
ix iy Rango
iy 1 7 1 3,6 1 2 8 2 3,7 2 3 9 3 3,8 4 4 10 5 3,8 4 5 10 5 3,8 4 6 10 5 3,9 6,5 7 11 7,5 3,9 6,5 8 11 7,5 4,2 8,5 9 12 9,5 4,2 8,5 10 12 9,5 4,3 10,5 11 13 11,5 4,3 10,5 12 13 11,5 4,4 12,5 13 14 13,5 4,4 12,5 14 14 13,5 4,5 14,0
No. ix Rango
ix iy Rango
iy id 2id
1 12 9,5 3,9 6,5 3,0 9,00 2 10 5,0 4,2 8,5 -3,5 12,25 3 13 11,5 4,2 8,5 3,0 9,00 4 8 2,0 3,8 4,0 -2,0 4,00 5 7 1,0 3,8 4,0 -3,0 9,00 6 11 7,5 3,8 4,0 3,5 12,25 7 11 7,5 4,3 10,5 -3,0 9,00 8 14 13,5 4,4 12,5 1,0 1,00 9 12 9,5 4,5 14,0 -4,5 20,25 10 14 13,5 4,4 12,5 1,0 1,00
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65
11 9 3,0 3,9 6,5 -3,5 12,25 12 10 5,0 3,7 2,0 3,0 9,00 13 10 5,0 4,3 10,5 -5,5 30,25 14 13 11,5 3,6 1,0 10,5 110,25 - - - - - 0 248,50
( )variablesdoslasentrencorrelaciópocamuyrs 45,0546,01
1414
50,24861
3=−=
−−=
98. Solución:
31.233.2113.2ˆ xbbbX2 ++=
( )( )( ) ∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑
++=++=++=
231.23313.21313.232
131.23213.21113.212
31.2313.2113.22
3
2
1
xbxxbxbxx
xxbxbxbxx
xbxbbnx
( )( )( ) 1.233.2113.2
1.233.2113.2
1.233.2113,2
507.6761.49303406.223
761.49778.401446.2293.1792
303446.215096.11
bbb
bbb
bbb
++=++=++=
manerasiguienteladepresentadohubieraseTambien
2211ˆ xxY o βββ ++=
( )( )( )
( )ecuaciónsegundalaarestamoslose
yporecuaciónlamosmultiplica
o
o
o 066667,1631
507.6761.49303406.223
761.49778.401446.2293.1792
303446.215096.11
21
21
21 −
++=++=
++=
ββββββ
βββ
( )( )( ) 21
21
21
8,35193,916.2093,5714
2,409.4907,861.398446.207,721.1781
0,761.4900,778.401446.200,293.1792
ββββββββ
++=−−−=−++=
o
o
( ) ( )32,201 ecuaciónlaarestamoslaseyporecuaciónlamosMultiplica −
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66
( )( )( ) 21
21
21
4,3868,35108,2665
6,120.62,409.493032,139.221
5070.60,761.493030,406.223
ββββββββ
+=−−−=−++=
o
o
( ) ( )
4,386)4(8,351)5(54 1
porecuaciónlaypor
ecuaciónlamosmultiplicadespejarparayecuacioneslasconTrabajamos
−β
( )( ) 1267,0
51,338.003.1
51,133.127
051,338.003.151,133.127
52,935.13524,763.12324,860.935
52,935.13575,101.127.175,993.2204
1
1
21
21
===
−−=−+=
ββ
ββββ
( )5ecuaciónlaenosReemplazam
( ) ( ) ( )4716,0
4,386
1267,08,3518,2264,3861267,08,3518,2265 22 =−=⇒+= ββ
( ) oobtenerparaecuaciónlaenosreemplazamAhora β1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )8798,42
15
3034716,0446.21267,0096.13034716,0446.21267,015096.11 =
−−=⇒++= oo ββ
21 4716,01267,08798,42ˆ) xxYa ++=
( ) ( ) 248,77254716,01801267,08798,42ˆ mtsY =++= 248,77ˆ mtsY =
37,033,059,0) 231312 === rrrb
( ) ( ) ( )
60,037,01
37,033,059,0233,059,02
22
23,1 =−
−+=r
36,02
23,1223,1 == Rr
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.10 Regresión y correlación simple Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones ponderada y múltiple Actualizado en diciembre de 2007
67
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11
Series de Tiempo, Tendencia Rectilínea
Parabólica y Logarítmica
EJERCICIOS RESUELTOS
REGRESION LINEAL SIMPLE 1. Solución:
ix 2ix ii yx
0 0 0 1 1 383 2 4 674 3 9 1.170 4 16 1.624 5 25 2.295 6 36 2.880 21 91 9.026
Años Producción( iy )
2000 360 2001 383 2002 337 2003 390 2004 406 2005 459 2006 480
Σ 2.815
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.11 Series de tiempo, tendencia Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones rectilínea - Parabólica y logarítmica Actualizado en diciembre de 2007
2
a) cbxY +=ˆ
( )( ) iiii
ii
xcxbyx
ncxby
∑+∑=∑
+∑=∑2
2
1
Reemplazamos:
( )( ) cb
cb
2191026.9
721815.2
2
1
+=+=
Multiplicamos a la primera ecuación por −3 ( )( )
⇒=
−−=−+=
b
cb
cb
28581
2163445.8
2191026.9
1
2
75,2028
581==b
Ahora reemplazamos en la primera ecuación: ( ) ( ) c775,2021815.21 +=
89,3397
75,435815.2 =−=c
cbxY +=ˆ 1920002019 =−=x ( ) 14,73489,3391975,2019 =+=Y (Miles Tons)
b) 75,2028581==
∑
∑=i
ii
xxy
b 14,4027815.2 ==∑=
ny
c i
1120032014 =−=x ( ) 39,63014,4021175,20ˆ14,40275,20ˆ
1414 =+=⇒+= YxY (Miles Tons)
ix 2ix ii yx
−3 9 −1.080 −2 4 −766 −1 1 −337 0 0 0 1 1 406 2 4 918 3 9 1.440 0 28 581
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3
c)
16,15168
547.22 ==
∑
∑=i
ii
x
yxb
88,4268
415.3 ==∑
=n
yc i
NOTA: Para que 0=∑ ix Se debe trabajar con semestres.
cbxY +=ˆ 88,42616,15ˆ += xY semestresx 2112021020042014 =+=×=−= ( ) 24,72588,4262116,1514 =+=Y (Miles tons) 2. Solución:
( )
nYy ii
yxSˆ
2 −∑= 93,5407
48,786.32 ==yxS 25,2393,540 ==yxS
Años iy
2000 360 2001 383 2002 337 2003 390 2004 406 2005 459 2006 480 2007 600
Σ 3.415
ix 2ix ii yx
−7 49 −2.520 −5 25 −1.915 −3 9 −1.011 −1 1 − 390 1 1 406 3 9 1.377 5 25 2.400 7 49 4.200 0 168 2.547
Años iy
2000 360 2001 383 2002 337 2003 390 2004 406 2005 459 2006 480 Totales 2.815
ix iY)
ii Yy)
− ( )2ii Yy)
−
0 339,89 20,11 404,41 1 360,64 22,36 499,97 2 381,39 −44,39 1.970,47 3 402,14 −12,14 147,38 4 422,89 −16,89 285,27 5 443,64 15,36 235,93 6 464,41 15,59 243,05 21 2.815,00 0 3.786,48
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4
=±i
syx
Y
Y
ntY
S
ˆ
ˆˆ cbxY +=ˆ ( ) 39,63089,3391475,2014 =+=Y
89,33975,20026.921
7875.147.191815.2 22
===Σ=Σ==Σ=Σ=Σ
cbyxx
nyxy
iii
iii
( )
=±=87,608
99,651
7
25,2345,239,630Y 1420002014 =−=x
La varianza residual se hubiese podido calcular en forma más rápida, así:
nxybycy iii
yxS∑−∑−∑=
212 ( ) ( )
16,5427
026.975,20815.289,339875.147.12 =−−=yxS
28,2316,542 ==yxS (hay una pequeña diferencia)
Nota: por calculadora el valor de la varianza residual es 541,02 en cada uno de los cálculos de 2
yxS , se empleó el valor de n, sin embargo, muchos lo obtienen con n – 2 que, en este
caso sería sobre 5. b) Coeficiente de correlación
( )( )
( )[ ] ( )[ ]( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]87,0
815.2875.147.1721917
815.221547.27
222222
=−−
−=∑−∑∑−∑
∑∑−∑=
iiii
iiii
yynxxn
yxyxnr
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5
3. Solución:
a) cbxY +=ˆ 1) ncxby ii +∑=∑ 2) iiii xcxbyx ∑+∑=∑ 2
ny
c i∑= 2i
ii
x
yxb
∑
∑=
28,1477
031.1 ==c 64,528
158==b
añosx 520032008 =−=
cbxY +=ˆ ⇒+= 28,14764,5ˆ xY ( ) 48,17528,147564,508 =+=Y
b)
( )n
Yy iiyxS
22
ˆ−∑=
11,9781,632 ==yxS
019,3=yxS
Aplicando la siguiente fórmula n
xybycy iiiiyxS
∑−∑−∑=2
2 nos daría:
Años iy 2000 128 2001 135 2002 148 2003 145 2004 152 2005 161 2006 162
Σ 1.031
ix 2ix ii yx
-3 9 -384 -2 4 -270 -1 1 -148 0 0 0 1 1 152 2 4 322 3 9 486 0 28 158
iY ( )ii Yy ˆ− ( )2ii Yy − 2iy
130,37 -2,37 5,61 16.384 136,00 -1,00 1,00 18.225 141,65 6,35 40,32 21.904 147,28 -2,28 5,19 21.025 152,93 -0,93 0,86 23.104 158,56 2,44 5,95 25.921 164,21 -2,21 4,88 26.244
1.031,00 0 63,81 152.807
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6
( ) ( );03,10
715864,5031.128,147807.1522 =−−=yxS ( )residualtípicaDesvyxS .16,3=
O mediante el uso de la calculadora ( ) 03,101 222 =−= rYyx SS
Nota: no olvidar que muchos calculan la varianza residual dividiendo por n – 2
ntY yxS
±ˆ=±⇒
±⇒81,171
15,17967,348,175
7019,3571,248,175
c) 28,1477
031.1 ==y 39,691.212 =y
22
2 yn
yiYS −
∑= ;18,13839,691.21
7807.1522 =−=YS 75,1118,1382 === yy SS
966,0935,0065,0118,138
11,911 2
2
==−=−=−=y
yx
S
Sr 97,0=r
También se puede calcular el coeficiente de correlación aplicando la fórmula siguiente:
( )( )
( )[ ] ( )[ ]2222iiii
iiii
yynxxn
yxyxnr
∑−∑∑−∑
∑∑−∑= ( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]96,0
031.1807.15270287
031.101587
22
=−−
−=r
96,0=r
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4. Solución:
a) 580ˆ == Yc ;900.25
580 =∑=∑= ii y
y 551
580635
20042005
ˆˆ=−=
−−= ot YY
b
( ) 185.15801155ˆ58055ˆ
15 =+=⇒+= YxY añosx 112004015.2 =−=
b) 000.1900.1900.2 2121 =+⇒++= yyyy 55010
55 =∑⇒∑= ii
ii yxyx
550.12100.22550 2121 −=−−⇒+−−= yyyy Eliminando 2y se tiene que 5501 −=− y ⇒ donde 5501 =y y 4502 =y 5. Solución:
ny
c iΣ= 4505
90 =Σ⇒Σ
=⇒ ii y
y
Años iy iY 2002 1y 2003 2y 2004 550 580 2005 600 635 2006 750 Σ 2.900
ix 2ix ii yx
-2 4 -2( 1y ) -1 1 -1( 2y ) 0 0 0 1 1 600 2 4 1.500 0 10 550
Años iy iY 2002 50 2003 2y 2004 100 90 2005 4y 2006 140 148 Σ 450 450
ix 2ix ii yx
-2 4 -100 -1 1 -1 )( 2y 0 0 0 1 1 1 )( 4y 2 4 280 0 10 290
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8
292
90148
20042006
ˆˆ01 =−=
−−
=YY
b
a) 45029ˆ += xY ( ) 798450122916 =+=Y 122004016.2 =−=x
b) 2i
ii
x
yxb
ΣΣ= ( ) 2901029 =Σ=⇒ ii yx
( )14242 110180290 yyyy +−=⇒++−= ( )24242 160290450 yyyy +=⇒++= Eliminado 2y
301302
2602260 244 ===⇒= yyyy
6. Solución:
a) 280=Σ=n
xy i ( ) 400.15280 ==Σ iy
700200400.1 32 +++= yy ( )132 500900400.1 =+=− yy
( )( )
220y280
5007802480.22260.3
23
132
23232
==−=−−
=+⇒++=
yy
yy
yyyy
b) cbxY +=ˆ
ix 2ix
0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 10 30
Años iy ii yx 2002 200 0 2003 2y 1 )( 2y 2004 3y 2 )( 3y
2005 320 960 2006 380 1.520 Σ 1.400 3.260
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9
iiii
ii
xcxbxy
ncxby
Σ+Σ=Σ+Σ=Σ2
)2
)1 ( )cb
cb
1030260.3
2510400.1
)2
)1
+=−+=
⇒
461046010460
1020800.2
1030260.3
)1
)2
==→=
−−=−+=
bb
cb
cb
( )
c
c
5460400.1
54610400.1)1
+=+=
1885
460400.1 =−=→ c
( ) 6941881146ˆ18846ˆ
13 =+=⇒+= YxY añosx 1120022013 =−= 7. Solución: Se considera ix== 0985.1 (a) (b)
(a) 84=Σ ix 260.12 =Σ ix 8=n 650=Σ iy 636.582 =Σ iy 094.8=Σ ii yx
( ) ( )( )
( ) ( ) 36,384260.18
65084094.882 =
−−=b
( )
97,458
8436,3650 =−=c Con la calculadora el resultado de c = 46
ix -21 -15 -9 -3 3 9 15 21
Años iy 1985 42 1988 64 1991 48 1994 82 1997 110 2000 96 2003 84 2006 124
ix 0 3 6 9 12 15 18 21
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10
( ) 09,10397,451736,302 =+=Y 09,10302 =Y 1719852002 =−=x
( ) 25,12397,452336,308 =+=Y 25,12308 =Y 2319852008 =−=x Con calculadora 09,10302 =Y y 21,12308 =Y Ahora trabajando con cambio de origen, de tal manera que 0=Σ ix , se tiene 22 períodos. El 1º de enero/96 ⇒ x = 0 y el 1º de julio ⇒ x =1 0=Σ ix 512.12 =Σ ix 650=Σ iy 636.582 =Σ iy 538.2=Σ ii yx 8=n
semestralb 678,1512.1
538.2 == ; 25,818
650==c
( ) 06,10325,8113678,102 =+⇒+= cbxY 06,10302 =Y x = 2002 – 1996 = años × 2 = 12 meses + 1 ⇒ x = 13 semestres.
07Y = 1,678 (25) + 81,25 = 123,20 20,12307 =Y
x = 2.008 – 1996 = 12 años × 2 = 24 semestres + 1 = 25 semestres
b) ( ) ( )( )( )[ ] ( ) ( )[ ]
85,08553,0
650636.5880512.18
6500538.28
2
≅=−−
−=r 85,0=r
En (a) y (b) el valor de r es el mismo
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11
8. Solución:
Como 0=Σ ix calculamos b y c aplicando las siguientes fórmulas.
ny
c iΣ= 976
582==c 2i
ii
x
yxb
ΣΣ= 27,9
280596.2 ==b
cbxY +=ˆ 97)(27,9ˆ += xY
TonsY 84,229716,7497)8(27,988 =+−=+−= 8996.1988.1 −=−=x
TonsY 05,2369705,13997)15(27,911 =+=+= añosx 1519962011 =−=
9. Solución:
27,452,175,252,1)25(11,013 =+=+=Y 2512421220012013 =+=×=−=x (semestres)
93,452,141,352,1)31(11,016 =+=+=Y 3113021520012016 =+=×=−=x El coeficiente 87,02 =R , nos indica que hay una buena correlación, para la realización de los anteriores cálculos. 10. Solución:
27356235)31(216 −=+−=+−=Y 2716 −=Y
Años iy 1986 12 1990 30 1994 86 1998 114 2002 140 2006 200
Σ 582
ix 2ix ii yx
-10 100 -120 -6 36 -180 -2 4 -172 2 4 228 6 36 840 10 100 2.000 0 280 2.596
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12
Siendo 99,02 =R la recta explica perfectamente el comportamiento de la variable, en el período (1997 – 2006), pero el estimado para 2016, es absurdo, ya que arroja una producción de –27 y no puede haber una producción menor a cero. 11. Solución:
3,210
232
==Σ
Σ=
i
ii
x
yxb
2,3 = Incremento promedio por período de tiempo (x).
12. Solución:
cbxY +=ˆ
xcxbyx
ncxby
iii
ii
Σ+Σ=Σ
+Σ=Σ2)2
)1
Se le dan valores a las ecuaciones anteriores: cb
cb
33255662
633102
)2
)1
+=+=
cb
cb
335,1815611
33255662
)
)2
−−=−+=
(Multiplicamos a la ecuación (1) por -5,5)
⇒+= 05,73101 b 37,15,73
101 ==b
Reemplazamos la ecuación (1) ( ) c637,133102 +=
465,96
21,45102 =−=c
46,937,1ˆ += xY
97Y = 1,37 (1) + 9,46 = 10,83 83,1097 =Y
98Y = 1,37 (2) + 9,46 = 12,20
iy ix 2ix ii yx
10 -2 4 -20 12 -1 1 -12 13 0 0 -32 / 55 15 1 1 15 20 2 4 40 70 0 10 23
Años iy 1996 8 1999 16 2000 14 2003 20 2005 22 2006 22
Σ 102
ix ii yx 2ix
0 0 0 3 48 9 4 56 16 7 140 49 9 198 81 10 220 100 33 662 255
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13
01Y = 1,37 (5) + 9,46 = 16,31
02Y = 1,37 (6) + 9,46 = 17,68
04Y = 1,37 (8) + 9,46 = 20,42 42,2004 =Y 13. Solución:
a) 13,1960
148.1 ==b 1809
620.1 ==c
( ) 3,3711801013,19ˆ =+=Y 13,37ˆ =Y
( ) ( )22,1052,104
9148.113,19620.1180502.3142 =⇒=−−= yxyx SS
∝===−=
=±=05,0306,245,363
8115,379
922,10306,23,371ˆ
t
nY
υ
Nota: algunos trabajan con 2−= nυ donde t = 2,365 y cambian los valores estimados
b) ( ) ( )( )( )[ ] ( ) ( )[ ]
969,098,0620.1502.31490609
620.10148.19 2
2=→=
−−
−= Rr
14. Solución:
a) ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]98,0
032.2992.5099609
723.19
2=
−=r 98,0=r
b) 02003 =→ x ( ) 82,42678,225772,2810 =+=Y 82,42610 =Y
72,2860
723.1 ==b 78,2259
032.2 ==c
x = 2010 – 2003 = 7 años
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15. Solución:
5=n 0=Σ ix 102 =Σ ix 510.1=Σ iy 450.4652 =Σ iy 300=Σ ii xy
3010
300==b 3025
510.1 ==c
30230ˆ += xY 1020042014 =−=x
( ) 602302103014 =+=Y En el 2014 se tendrá 602ˆ =Y miles de millones de $ 16. Solución:
5=n 0=Σ ix 102=Σ ix a) 900=Σ iy 000.1752 =Σ iy 350=Σ ii yx
3510
3502 ==
ΣΣ=
i
ii
x
yxb 180
5900==c
( ) 320180435ˆ =+=Y 420042008 =−=x
b) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]
⇒=−
= 97,0
900000.1755105
3505
2
r 94,02 =R
17. Solución: Y = 900 + 40 (13) = 1.420 x = 2008 – 2002 = 6 × 2 = 12 + 1 = 13 semestres
usadoscarrosY 420.1ˆ =
Años iy ix 2002 230 -2 2003 285 -1 2004 310 0 2005 325 1 2006 360 2
Años iy ix 2002 100 -2 2003 150 -1 2004 200 0 2005 200 1 2006 250 2
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18. Solución:
200.15920012006
000.896000.692.1 =−−=b
⇒= 000.896c ( ) 400.010.2$000.8967200.159ˆ =+=Y
añosx 720012008 =−= También puede estimarse: ( ) 400.010.2000.692.12200.159ˆ =+=Y 400.010.2ˆ =Y añosx 220062008 =−= 19. Solución:
a) 88,360
233==b 11,279
244==c
( ) 91,6511,271088,3ˆ =+=Y 91,65ˆ =Y 1020002010 =−=x
( ) ( )
⇒=−−= 57,669
23388,324411,27118.82yxS 16,8=yxS
=±=±=64,59
18,7227,691,65
9
16,8306,291,65Y
( )2;81 −==−= nvnv 05,0∝=
b) ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]78,0
244118.89609
2339
2
=−
=r 78,0=r
Años iY
2001 896.000 2006 1.692.000
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20. Solución:
a) ( ) ( )( )
( ) ( ) 92,9825
180.8
4528510
54445266.3102
==−
−=b
( )
76,910
4592,9544 =−=c
76,992,9ˆ += xY Se toman dos puntos, por ejemplo: 2000 ⇒ x = 3 años 2002 ⇒ x = 5 años
( ) 52,3976,9392,900 =+=Y 52,3900 =Y ( ) 36,5976,9592,902 =+=Y 36,5902 =Y
Se establecen dos puntos en el plano cartesiano, uniéndose y prolongándose para 1997 – 2006. El estudiante debe terminar el ejercicio.
b) ( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]98,0
544040.38104528510
54445266.310
22
=−−
−=r 98,0=r
21. Solución:
a) 6=n 0=Σ ix 702 =Σ ix 93,014.8=Σ ii yx 67,919.7=Σ iy 9,826.373.112 =Σ iy
499,11470
93,014.8 ==b
945,319.16
67,919.7 ==c
1511427004.2011.2 =+=×=−=x semestres
Años ix 1997 0 1998 1 1999 2 2000 3 2001 4 2002 5 2003 6 2004 7 2005 8 2006 9
Σ 45
Años iy (miles)
ix
2001 723,00 -5 2002 982,50 -3 2003 1.236,42 -1 2004 1.450,60 1 2005 1.636,25 3 2006 1.890,90 5
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semestresx 15=
( ) 43,037.3945,319.115499,11411 =+=Y pasajeros 037.3 (miles)
( ) 42,182.4945,319.125499,11416 =+=Y pasajeros 182.4 (miles)
semestresx 251242122004016.2 =+=×=−=
Deberíamos haber hecho un ajuste exponencial, pero nos fue solicitado hacerlo mediante un ajuste rectilíneo.
b) ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]⇒=
−= 9985,0
67,919.79,826.373.116706
93,014.86
2
r Casi = 1 1≅r
c) ( ) ( ) =−−=6
93,014.8499,11467,919.7945,319.19,826.373.112yxS 77,4322 =yxS
8,20=yxS
=±=±=60,015.3
26,059.383.2143,037.3
6
8,20571,243,037.3Y (miles de pasajeros)
22. Solución:
Se trabaja en miles, a fin de simplificar las operaciones. Además se va a realizar un ajuste rectilíneo, cuando lo recomendado en este caso, es el ajuste exponencial.
a) 5=n 0=Σ ix 102 =Σ ix 71,012.3=Σ iy 20,225.869.12 =Σ iy 06,697=Σ ii xy
706,6910
06,697 ==b 542,6025
71,012.3 ==c
( ) 19,160.1542,6028706,69542,602706,6912 =+=+= xY (miles de pasajeros)
Años iy ix 2002 417,50 -2 2003 572,80 -1 2004 620,35 0 2005 679,26 1 2006 712,80 2
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Es decir, se estiman en, 1.160.190 pasajeros para el año 2.012 añosx 8004.2012.2 =−= b) y = miles de pasajeros
5=n 0=Σ ix 102 =Σ ix 08,237.1=Σ iy 8114,234.3162 =Σ iy 82,287=Σ ii xy 882,27=b 416,247=c
añosx 8004.2012.2 =−=
( ) pasajerosY 472.470472,470416,2478882,2712 ==+= 23. Solución:
6=n 15=Σ ix 552 =Σ ix 410.17=Σ iy 100.979.502 =Σ iy 350.46=Σ ii xy
( ) ( )( )
( ) ( ) 43,16115556
410.1715350.4662 =
−−=b
( )
09,498.26
1543,161410.17 =−=c
añosx 7001.2008.2 =−= ( ) 10,628.309,498.2743,16108 =+=Y (mill de $) 10,628.308 =Y
Años iy ix 2002 167,00 -2 2003 229,12 -1 2004 248,14 0 2005 271,70 1 2006 285,12 2
Años Gastos (Mill. de $) ix
2001 2.460 0 2002 2.700 1 2003 2.850 2 2004 2.950 3 2005 3.150 4 2006 3.300 5
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b) ( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]9945,0
410.17100.979.50615556
410.1715350.466
22
=−−
−=r
99,0≅r 24. Solución:
7=n 84=Σ ix 456.12 =Σ ix 740.1=Σ iy 400.5352 =Σ iy 600.26=Σ ii xy
( ) ( )( )( ) ( ) 77,12
84456.16
740.184600.2662 =
−−=b
( )
33,957
8477,12740.1 =−=c
añosx 28982.1010.2 =−=
( ) 89,45233,952877,1210 =+=Y 89,45210 =Y 25. Solución:
7=n 0=Σ ix 4482 =Σ ix 740.1=Σ iy 400.5352 =Σ iy 720.5=Σ ii xy
77,12448720.5 ==b 57,248
7740.1 ==c
añosx 16994.1010.2 =−=
( ) 89,45257,2481677,1210 =+=Y 89,45210 =Y Los resultados son exactamente iguales
Años iy ix 1982 120 0 1986 180 4 1990 100 8 1994 260 12 1998 370 16 2002 250 20 2006 460 24
Años iy ix 1982 120 -12 1986 180 -8 1990 100 -4 1994 260 0 1998 370 4 2002 250 8 2006 460 12
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26. Solución:
( )( )[ ] ( ) ( )[ ]
8425,0
740.1400.53574487
720.57
2
=−
=r 84,0=r
Coeficiente de correlación de Pearson, Los resultados son iguales, si utilizamos los datos del ejercicio 25. ESTIMACIONES MENSUALES 27. Solución: Consideremos a la variable iY como si fuera producción (miles tons)
Tomando como origen el año 2000 se tiene: 12
89,339144
75,20ˆ += xY
32,2814,0ˆ += xY )00/º1( julio 39,2814,0ˆ += xY )00/15( juliode
39,2807,032,28 =+=c mes 07,0 delmitad= Los estimativos para los diferentes meses, son: Y Mayo/01 = 0,14(10) + 28,39 = 29,79 (miles tons) Y Sep./03 = 0,14(38) + 28,39 = 33,71 Y Oct./05 = 0,14(63) + 28,39 = 37,21 Y Dic./09 = 0,14(113)+28,39 = 44,21
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28. Solución:
28,14764,5ˆ += xY 28,1471264,5ˆ += xY
28,14747,0ˆ += xY (1º julio/03) 51,14747,0ˆ += xY (15 julio/03)
mesmedio
c
c
235,0
515,147
235,028,147
=
=+=
92,15212
98,834.104 ==Y
Observe que el resultado del ejercicio 3 donde 92,15204 =Y , exactamente se obtiene el resultado, al igual cuando sumamos los estimativos mensuales y luego este total se divide por los 12 meses, con lo cual obtendremos el precio promedio para el 2004. 29. Solución:
1297
14427,9ˆ += xY Y = 0,064 (– 64) + 8,112 (Marzo/91)
Y = 0,064 x + 8,08 (1º Julio/96) 91Y = – 4,096 + 8,112 = 4,016
Y = 0,064 x + 8,112 (15 Julio/96) Y = 0,064 (45) + 8,112 (Abril de 2000) 00Y = 2,88 + 8,112 = 10,992
2004 Estimativos Enero Y = 0,47 (6) + 147,51 = 150,33 Febrero Y = 0,47 (7) + 147,51 = 150,80 Marzo Y = 0,47 (8) + 147,51 = 151,27 Abril Y = 0,47 (9) + 147,51 = 151,74 Mayo Y = 0,47 (10) + 147,51 = 152,21 Junio Y = 0,47 (11) + 147,51 = 152,68 Julio Y = 0,47 (12) + 147,51 = 153,15 Agosto Y = 0,47 (13) + 147,51 = 153,62 Septiembre Y = 0,47 (14) + 147,51 = 154,09
Octubre Y = 0,47 (15) + 147,51 = 154,56 Noviembre Y = 0,47 (16) + 147,51 = 155,03 Diciembre Y = 0,47 (17) + 147,51 = 155,50
Σ Total 1.834,98
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30. Solución: Estimar los meses de Mayo/2001 y Octubre/07 (Variable Producción)
julio/03) de 15 (al 815,181994,0ˆ
julio/03) de 1 (al 815,18ˆ12
78,225
144
72,28ˆ
+=
=⇒+=
xY
xYxY
7303,139147,18)26(1994,0ˆ9147,181994,0ˆ
2001/ =+−=⇒+= MayoYxY
( ) 0841,299147,18511994,0ˆ
07/. =+=OctY 31. Solución: Estimar el mes de Agosto del 2008, a fin de conocer los gastos en ese mes.
julio/04) de (15 1215,152430,0ˆ
)julio/2004 (1 152430,0ˆ12
180
144
35ˆ
+=
+=⇒+=
xY
xYxY
152430,0ˆ += xY ( ) 0285,271215,15492430,0ˆ
08/. =+=⇒ AgY
32. Solución: Y = 9,292x + 9,76 Estimar los meses de Sep./2004, Octubre 2006 y Octubre 2008.
( )
( )
( ) 14793,1084778,013506889,0ˆ
49446,884778,011106889,0ˆ
7723,684778,08606889,0ˆ84778,006889,0ˆ
84778,006889,0ˆ
81333,1006889,0ˆ12
76,9
144
92,9ˆ
08/.
06/.
04/.
97/ 15
97/ 1
=+=
=+=
=+=→+=
→+=
→+=⇒+=
Oct
Oct
Sep
Y
Y
YxY
XY
XYxY
Julio
Julio
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23
AJUSTE POR EL METODO DE LOS SEMI-PROMEDIOS 33. Solución:
Años iy Semi-suma Semi-promedio ix iY
2000 200
1.050
2.310
3503050.1 =
7703310.2 =
0 2001 366 1 350 2002 490 2 2003 500 3 2004 620 4 2005 780 5 770 2006 910 6
El valor de x dependerá del origen que se tome, el cual puede ser localizado en cualquier período. Siendo Y = bx + c se tendrá dos ecuaciones:
cb
cb
+=+=
5770
350
)2(
)1(
1por(1)ecuación
laamosMultiplica
−
cb
cb
−−=−+=
350
5770
)1(
)2(
1054
420==b Reemplazamos la ecuación (1): 350 = 105+c ⇒ c = 350 – 105 = 245
La ecuación quedará Y = 105 x + 245 Si estimamos a Y para el 2013 se tendrá:
13Y = 105 (l 3) + 245 = 1.365 + 245 = 1.610 610.113 =Y
Un procedimiento similar, que podríamos llamar empírico, consiste en determinar la diferencia entre los dos semi-promedios; el resultado es dividido por el valor correspondiente al período transcurrido entre los dos semi-promedios. Con este proceso se obtendrá el valor de b:
1054
420
19951999
350770ˆˆ
1
12 ==−−=
−−
=ott
yyb y el valor de c podrá ser el valor de cualquiera
de los semi-promedios. El semi-promedio que se ha tomado como C, en ese punto o período, se tendrá x igual a cero, así: Y = 105x+350 ⇒ siendo: 13Y = 105(12) + 350 = 1.610 Y = 105x+770 ⇒ siendo: 13Y = 105 (8) + 770 = 1.610
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34. Solución:
a) 81.996-2004 x5,878
700700200900 ====⇒=− b
2005,87ˆ += xY ( ) 0,72520065,8702 =+=Y 996.1 0 enX = 9005,87ˆ += xY ( ) 0,72590025,8702 =+−=Y 2004 0 enX =
2008900 += b 2009008 −=b 5,878
700==b
b) Considerando que la variable “Y” corresponde a precios tenemos:
cxbY +=12
ˆ 1996) de Julio de (1º20029,72001275,8ˆ +=+= xY
1996) de Julio de (15 64,20329,7ˆ += xY 14)( 1995 de Mayo Para −=x 58,10164,203)14(29,7Mayo/95 =+−=Y
83)( 2003 de Junio Para =x ( ) 71,80864,20383 29,7Junio/03 =+=Y
Años iy Semi-suma Semi-promedio ix ix iY
1994 60
600
2.700
=3
600200
9003700.2 =
-2 -10 25 1996 140 0 -8 200 1998 400 2 -6 375 2000 600 4 -4 550 2002 800 6 -2 725 2004 900 8 0 900 2006 1000 10 2 1.075
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25
35. Solución:
ix
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
42.001-2.005 x 325,534
370.133,583.1 ===−=b
370.1325,53ˆ += xY o 33,583.1325,53ˆ += xY
( ) ;0012 0 ; 575,956.1370.111325,5312 . en XY ==+=
( ) Y 605,956.133,583.17325,5312 =+= ; 0052 0 . en X =
También se pueden obtener los parámetros b y c en la siguiente forma:
CbxY +=ˆ
( )( ) cb
cb
+=+=
433,583.1
0370.1
)2(
)1(
ecuación primera la a 1-por mosMultiplica
b433,213
c -01.370,00-
c4b1.583,33
=
=+=
325,534
33,213 ==b
Reemplazamos el valor de b en la ecuación (1), para obtener el valor de c:
( )370.1
053,3251.370(1)
=+=
c
c
Años iy Semi-suma Semi-promedio ix
2000 1.280 110.4
750.4
370.13110.4 =
33,583.13
750.4 =
-1 2001 1.350 0 2002 1.480 1 2003 1.450 2 2004 1.520 3 2005 1.610 4 2006 1.620 5
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001.2 0 ; 370.1325,53ˆ enXxY =+= ; ( ) 11001.2012.2 ; 575,956.1370.111325,5312 =−==+= XY
36. Solución:
Años Trimestre Ventas (mill. $) Semi-suma Semi-promedio ix
2004
I 810
050.8
090.1
610.1
-2
II 1.200 -1 III 860 0 IV 1.680 1
2005
I 900 2 II 1.300 3 III 850 4 IV 1.600 5
2006
I 860 6 II 1.100 7 III 940 8 IV 1.400 9
610.167,86ˆ090.167,86ˆ
)2(
)1(
+=+=
xY
xY
67,866
090.1610.1 =−=b ( )( ) 03,390.2610.19 67,86ˆ
05,390.2090.11567,86ˆ
)2(
)1(
=+==+=
Y
Y
Los gráficos pedidos en (a) y (b) se dejan al alumno para que los realice 37. Solución: a) La solución se le deja al estudiante
409
340700 =−=b
Años iy Semi-suma Semi-promedio ix
1991 200
-3 1994 360 0 1997 460 3 2000 580 6 2003 720 9 2006 800 12
5.450
(2° semestre/08)
340
700
1.020
2.100
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27
b)
70040ˆ34040ˆ
)2(
)1(
+=+=
xY
xY
( )( ) 980700740ˆ
9803401640ˆ
10
10
)2(
)1(
=+==+=
Y
Y
añosxañosx
7003.2010.216994.1010.2
=−==−=
38. Solución:
40,54
19992004468740 =
−−=b
7404,54ˆ4684,54ˆ
)2(
)1(
+=+=
xY
xY
( )( ) 4,066.17406 4,54ˆ
4,066.146811 4,54ˆ
10
10
)2(
)1(
=+==+=
Y
Y
añosxañosx
6004.2010.211999.1010.2
=−==−=
AJUSTE PARABÓLICO 39. Solución:
Años iy Semi-suma Semi-promedio ix
1997 200
2.340
3.700
468
740
-2 1998 380 -1 1999 520 0 2000 600 1 2001 640 2 2002 720 3 2003 580 4 2004 660 5 2005 940 6 2006 800 7
Años iy 2000 234 2001 171 2002 147 2003 124 2004 140 2005 144 2006 206 Σ 1.166
ix 2ix 3
ix 4ix ii yx ii yx2
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 171 171 2 4 8 16 294 588 3 9 27 81 372 1.116 4 16 64 256 560 2.240 5 25 125 625 720 3.600 6 36 216 1.296 1.236 7.416
21 91 441 2.275 3.353 15.131
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28
( ) 2342
23
2
3
)2(
)1(
iiiii
iiiii
iii
xcxbxayx
xcxbxayx
ncxbxay
Σ+Σ+Σ=Σ
Σ+Σ+Σ=Σ
+Σ+Σ=Σ
Le damos valores a las ecuaciones anteriores:
cba
cba
cba
91441275.2131.15
2191441353.3
72191166.1
)3(
)2(
)1(
++=++=++=
Procedemos con las ecuaciones (1) y (2) Multiplicamos a la ecuación (1) por -3
ba
cba
cba
28168145
2191441353.3
2163273498.3
)4(
)2(
)1(
+=−++=−−−=−
Ahora trabajamos con las ecuaciones (1) y (3) multiplicando la ecuación (1) por – 13
0 168092.127
91441275.2131.15
91273183.1158.15
)5(
)3(
)1(
ba
cba
cba
+=−++=−−−=−
Se despeja a trabajando con las ecuaciones (4) y (5) multiplicando la ecuación (4) por – 6
a
ba
ba
84843
168092.1 27
168008.1870
)5(
)4(
=+=−−−=
03,1084
843==a
Se reemplaza en la ecuación (4)
b
b
b
2804,830.1
2804,685.1145
28)03,10(168145
=−+=−
+=−
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29
36,6528
04,830.1 −=−=b
Se reemplaza en la ecuación (1)
c
c
c
783,625.1
756,372.173,912166.1
7)36,65(21)03,10(91166.1
=+−=
+−+= 26,232
7
83,625.1 ==c
cbxaxY ++= 2ˆ ( ) ( ) 66,58126,2321036,6510003,1010 =+−=Y ; 10000.2010.2 =−=x
b)
Como la 0=Σ ix trabajamos con las siguientes ecuaciones: Le damos valores a las ecuaciones:
( ) 242
2
2
3
)2(
)1(
iiii
iii
ii
xcxayx
xbyx
ncxay
Σ+Σ=Σ
Σ=Σ
+Σ=Σ
( )( )( ) ca
b
ca
28196507.5
28145
728166.1
3
2
1
+==−
+=
Se tiene que: ( ) 18,528
1452
2 −=−=Σ
Σ=
i
ii
x
yxb
Se procede con las ecuaciones (1) y (3) multiplicando la ecuación (1) por – 7
Años iy 2000 234 2001 171 2002 147 2003 124 2004 140 2005 144 2006 206
Σ 1.166
ix 2ix 3
ix 4ix ii yx ii yx2
−3 9 −27 81 −702 2.106 −2 4 −8 16 −342 684 −1 1 −1 1 −147 147 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 140 140 2 4 8 16 288 576 3 9 27 81 618 1.854 0 28 0 196 −145 5.507
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30
( )( )
c
ca
ca
210655.2
28196507.5
49196162.8
3
1
−=−
+=−−=−
43,12621655.2 ==⇒ c
Reemplazamos en la ecuación (1)
( )
99,28028
01,88528166.1
43,126728166.1
=+=+=
a
a
a
03,1028
99,280 ==⇒ a
cbxaxY ++= 2ˆ ( ) ( )( ) 59,508.143,1261218,51203,10ˆ 2
15 =+−+=Y ; 12003.2015.2 =−=x 40. Solución:
57,1667
166.1 ==y
( )222
2 57,1667
754.203 −=−Σ
= yn
yiyS
15,362.1564,745.27714,107.292 =−=yS ⇒ 90,36=yS
( )84,45
7883,320ˆ 2
2 ==−Σ=n
YyiyxS ⇒ 84,452 =
yxS
a) VT
VRR −=12 ⇒=−= 966,0
15,362.184,4512R 982,0=r
b) 2yxyx SS = 77,684,45 ==yxS ⇒ 77,6=
yxS
iY ( )ii Yy ˆ− ( )2ii Yy − 2iy
232,26 1,74 3,027 54.756 176,94 -5,94 35,283 29.241 141,66 5,34 28,515 21.609 126,43 -2,43 5,904 15.376 131,30 8,70 75,690 19.600 156,22 -12,22 149,328 20.736 201,19 4,81 23,136 42.436
1.166,00 0 320,883 203.754
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31
c) ±
I
Syx
L
L
ntY
S15ˆ
447,205,01%95
=∝=−==
tnvP
=
±=33,502.1
85,514.1
7
77,6447,259,508.115Y
41. Solución:
Observemos que ,0≠Σ ix por lo tanto debemos trabajar con un sistema de ecuaciones normales
( ) 2342
23
2
3
)2(
)1(
iiiii
iiiii
iii
xcxbxayx
xcxbxayx
ncxbxay
Σ+Σ+Σ=Σ
Σ+Σ+Σ=Σ
+Σ+Σ=Σ
Reemplazando se tiene que: (1) 300 = 1.258a + 66b + 5c (2) 4.550 = 26.334a + 1.258b + 66c (3) 99.110 = 583.282a + 26.334b + 1.258c Eliminamos a c multiplicando a la ecuación (1) por -13,2 y se lo restamos a la ecuación (2)
( )0 8,3864,728.9590
662,8716,605.16960.3
66258.1334.26550.4
)4(
1
)2(
ba
cba
cba
+=
−−−=−++=
Ahora se procede a multiplicar la ecuación (1) por -251,6 y se lo restamos a la ecuación (3) para eliminar a c.
Años iy
1981 70 1989 36 1994 24 2001 60 2006 110
Σ 300
ix 2ix 3
ix 4ix ii yx ii yx2
0 0 0 0 0 0 8 64 512 4.096 288 2.304 13 169 2.197 28.561 312 4.056 20 400 8.000 160.000 1.200 24.000 25 625 15.625 390.625 2.750 68.750 66 1.258 26.334 583.282 4.550 99.110
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32
( )( )( ) 04,728.92,769.266630.23
258.16,605.168,512.316480.75
258.1334.26282.583110.99
5
1
3
++=
−−−=−++=
ba
cba
cba
Procedemos a eliminar b multiplicando a la ecuación (4) por -9.728,4 y a la ecuación (5) por 386,8 ( )( )
3979,004,560.544.8
328.400.3004,560.544.8328.400.3
12,945.762.356,766.641.94756.739.5
12,945.762.360,326.186.103084.140.9
4
5
==⇒+=
−−=+=
aSiendoa
ba
ba
Conociendo a = 0,40 (aproximadamente), reemplazamos en la ecuación (4) para despejar b
(4) 590 = 9.728,4 (0,3979) + 386,8b⇒ Siendo: ( )
4822,88,386
3979,04,728.9590 −≅=−= cb
y reemplazamos en la ecuación (1) para despejar c ( ) ( ) ( ) c54822,8663979,0258.13001 +−+=
Siendo c igual a: ( ) ( )
8534,715
4822,8663979,0258.1300 =+−=c
La ecuación queda así: 8534,714822,80,3979xY 2 +−= x Si fuéramos a estimar el valor de Y para el año 2011 se tendrá que: x = 2.011 – 1.981 = 30 Reemplazando se tendrá que:
11Y = 0,3979 (900) – 8,4822(30) + 71,8534 = 175,50 aproximadamente.
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33
42. Solución:
2i
ii
x
yxb
ΣΣ= 82,2
168474==⇒ b
( )( )( )224
22
ii
iiii
xxn
yxyxna
Σ−ΣΣΣ−Σ=
( ) ( )( )( ) ( ) 1756,0
168216.68
548168980.1182
=−
−=⇒ a
nxay
c ii2Σ−Σ= ( )
81,648
1681756,0548 =−=⇒ c
81,6482,218,0ˆ 2 ++= xxY semestresx 111102520032008 =+=×=−=
( ) ( ) 61,11781,641182,21118,0Y 2
08 =++= 61,11708 =Y La varianza residual, el error estándar y el coeficiente de correlación parabólico serán iguales a:
nyxayxbycy iiiiii
yxS22
2 Σ−Σ−Σ−Σ=
( ) ( ) ( ) 13,290
8980.1118,047482,254881,64330.412 =−−−=yxS
( )
4748
5,688330.41 22 =−=yS 5,68
8
548 ==y
ix 2ix 3
ix 4ix ii yx
ii yx2 iY
−7 49 −343 2.401 −392 2.744 53,89 −5 25 −125 625 −210 1.050 55,21 −3 9 −27 81 −210 630 57,97 −1 1 −1 1 −82 82 62,17 1 1 1 1 41 41 67,81 3 9 27 81 189 567 74,89 5 25 125 625 550 2.750 83,41 7 4 9 343 2.401 588 4.116 93,37
0 168 0 6.216 474 11.980 −
Años iy
1999 56 2000 42 2001 70 2002 82 2003 41 2004 63 2005 110 2006 84 Σ 548
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34
03,1713,290 ==yxS
⇒=−= 38,0474
13,29012R 0,62=r
No se recomienda la aplicación del ajuste parabólico para esta serie. 43. Solución: a)
Trabajamos con 0=Σ ix , al 1º de Enero del 99 con el fin de simplificar operaciones, pero Usted puede trabajar con 0=ix ; 3; 6; 9; 15 y los resultados finales son exactamente iguales.
2i
ii
x
yxb
ΣΣ= 067,2
630302.1 ==b
( ) ( )( )( ) ( ) 0327,0
630534.1146
318630806.3162 −=
−−=a
( )
43,566
6300327,0318 =+=c añosx 9999.1008.2 =−=
semestresx 19118)2(9 =+==
43,56067,20327,0ˆ 2 ++−= xxY
( ) ( ) 90,8343,5619067,2190327,0ˆ 208 ≅++−=Y (aproximadamente)
Años iy
1991 20 1994 36 1997 42 2000 62 2003 84 2006 74 Σ 318
ix 2ix 3
ix 4ix ii yx ii yx2
−15 225 −3.375 50.625 −300 4.500 −9 81 −729 6.561 −324 2.916 −3 9 −27 81 −126 378 3 9 27 81 186 558 9 81 729 6.561 756 6.804 15 225 3.375 50.625 1.110 16.650
0 630 0 114.534 1.302 31.806
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35
b)
518,419942003
67,3233,73 =−−=b
( )( ) 33,73518,4ˆ
67,32518,4ˆ
2
1
+=
+=
xY
xY
( ) ( )( ) ( ) 92,9533,735518,4ˆ
92,9567,3214518,4ˆ
08
08
2
1
=+=
=+=
Y
Y
añosxóañosx 5003.2008.214994.1008.2 =−==−=
44. Solución:
1,351188,13311,0ˆ 211 ++= xxY
( ) ( ) 20,7651,35121188,1321311,0ˆ 2
11 =++=Y
( ) semestresx 21121020012011 =+=−= 45. Solución:
0=b ( ) ( ) ( )( ) ( ) 56,0
10345
20104852 =
−−=a
( )88,2
5
1056,020 =−=c
( ) ( ) 88,22688,22002056,0ˆ 2 =++=Y
=±=
±=53,222
23,23135,488,226
5
51,3776,288,226Y
Años iy Semi-suma Semi-promedio ix
1991 20
1994 36 1997 42 2000 62 2003 84 2006 74
32,67
73,33
98
220
32,67
73,33
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b) ( ) ( ) ( )
51,3;304,125
4856,0002088,21462 ==−−−== yxyx SVRS
2,135
5205146
2
2 =
−
=yS
068,02,13
30,1212 =−=R 26,0068,0 ==r
c) 0=b
( )4
50020 =−=c ( ) diferente) totalmente(44200ˆ =+=Y
46. Solución:
a) 18,060
11 ==b ( ) ( )( )( ) ( )
14,3607089
37960559.192 −=
−−=a
( )04,63
9
6014,3379 =+=c
( ) ( ) 48,13604,63818,06414,3ˆ −=++−=Y añosx 8002.2010.2 =−=
b) ( ) ( ) ( )12,57
9559.114,31118,037904,63513.192 =+−−==VRyxS
56,712,57 ==yxS
Años iy 1998 20 1999 26 2000 42 2001 58 2002 78 2003 63 2004 42 2005 36 2006 14 Σ 379
ix 2ix 3
ix 4ix ii yx
ii yx2 2iy
−4 16 −64 256 −80 320 400 −3 9 −27 81 −78 234 676 −2 4 −8 16 −84 168 1.764 −1 1 −1 1 −58 58 3.364 0 0 0 0 0 0 6.084 1 1 1 1 63 63 3.969 2 4 8 16 84 168 1.764 3 9 27 81 108 324 1.296 4 16 64 256 56 224 196
0 60 0 708 11 1.559 19.513
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−−
=±−=
±−=44,142
52,13096,548,136
956,7365,248,136Y
c) 80,076,394
12,57122 =−== Rr 80,02 =r
76,3949
93799513.19
2
2 =
−
=yS (varianza)
Se deja la gráfica para que el estudiante la elabore 47. Solución:
Años iy 1997 36 1998 48 1999 72 2000 84 2001 63 2002 52 2003 48 2004 36 2005 56 2006 72
Σ 567
ix 2ix 3
ix 4ix ii yx
ii yx2 2iy
−9 81 −729 6.561 −324 2.916 1.296 −7 49 −343 2.401 −336 2.352 2.304 −5 25 −125 625 −360 1.800 5.184 −3 9 −27 9 −252 756 7.056 −1 1 −1 1 −63 63 3.969 1 1 1 1 52 52 2.704 3 9 27 9 144 432 2.304 5 25 125 625 180 900 1.296 7 49 343 2.401 392 2.744 3.136 9 81 729 6.561 648 5.832 5.184
0 330 0 19.194 81 17.847 34.433
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a) 245,0330
81 ==b ; ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 104,0330194.1910
567330847.17102
−=−
−=a ; ( )
132,5810
330104,0547=
+=c
( ) ( ) 24,25132,5819245,019104,0ˆ 2
11 =++−=Y añosx 9002.2011.2 =−= semestresx 1911829 =+=×=
=±=
±=
98,11
5,38132624,25
10
19,18306,224,2511Y
b) ( ) ( ) ( )
84.33010
847.17104,081245,0567132,58433.342 =+−−==VRyxS
84,3302 =xyS
19,1884,330 ==yxS
41,22810
10
56710433.34
2
2 =
−=yS
45,041,228
84,33012 =−=R
No hay correlación, por lo tanto no es bueno hacer este ajuste parabólico, se deberá utilizar otra línea.
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48. Solución:
Meses iy Enero 13 Febrero 17 Marzo 38 Abril 50 Mayo 40 Junio 20 Julio 10
Σ 188
ix 2ix 3
ix 4ix ii yx
ii yx2 2iy
−3 9 −27 81 −39 117 169 −2 4 −8 16 −34 68 289 −1 1 −1 1 −38 38 1.444 0 0 0 0 0 0 2.500 1 1 1 1 40 40 1.600 2 4 8 16 40 80 400 3 9 27 81 30 90 100 0 28 0 196 −1 433 6.502
a) 036,028
1 −=−=b ; ( ) ( )( )( ) ( ) 7976,3
281967
1882843372 −=
−−=a ;
( )05,42
7
287976,3188 =+=c
( ) ( ) 28,20105,428036,0647976,3ˆ
. −=+−−=DicY
b) ( ) ( ) ( )
87,542,347
4337976,31036,018805,42502.62 =⇒=+−+−= yxyx SS
−−
=±−=±−=98,206
58,19570,528,201
787,5571,228,201ˆ
.DicY
c) 55,20783,055,207
42,341 22 ==−= ySR
91,083,0 ==r 91,0=r
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AJUSTE LOGARÍTMICO 49. Solución:
a) La ecuación general es xbcY = o bxcY logloglog += . Para determinar los parámetros b y c procedemos utilizando el método de los mínimos Cuadrados, cuyas ecuaciones son:
( )( )2
1 ( )( ) ( ) bxcxyx
bxcny
iiii
ii
logloglog
logloglog2Σ+Σ=Σ
Σ+=Σ
Se le dan valores a las ecuaciones
b log 5.572 c log 134 496,62393
b log 134 c log 5 18,18442
(2)
(1)
+=+=
Determinar el valor de b multiplicando la ecuación (1) por 134 y la ecuación (2) por -5
bc
bc
log860.27log6701196,483.2
log956.17log6707122,436.2
)2(
)1(
−−=−+=
⇒−=− blog904.904074,46 00468,0904.94074,46
log ==b
Reemplazamos en la ecuación (1)
62712,0log518442,18
)00468,0(134log518442,18
+=+=
c
c 51146,3
55573,17log ==⇒ c
bxcY loglogˆlog += ( ) ⇒=+= 78758,300468,05951146,3ˆlog 2010Y 69,131.62010 =Y
añosx 59951.1010.2 =−= 78758,3deantilog10 =Y
Años iy 1951 3.221 1964 3.715 1974 4.287 1994 5.024 2006 5.933
Σ 22.180
ix iylog ii yx log 2ix
0 3,50799 0 0 13 3,56996 46,40948 169 23 3,63215 83,53945 529 43 3,70105 159,14515 1.849 55 3,77327 207,52985 3.025
134 18,18442 496,62393 5.572
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b) La tasa de crecimiento se simboliza por r. rb +=1 →= 00468,0logb →=+= 0108,11 rb →= %08,1r %8,10 o=r 1,0108 0,00468 log == deantib c)
436.4=y ( )6,988.7
5943.39ˆ 2
2 ==−Σ=n
YyiyxS 38,89 =xyS
d) 004.921096.678.195
500.995.10222
2 =−=−Σ
= yn
yiyS
Nota: lo normal es calcular la varianza residual con fórmulas donde se emplean logaritmos, pero se hizo de la anterior manera, a sabiendas de haber una ligera diferencia, con el único fin de agilizar operaciones.
VT
VRR −=12
004.921
6,988.712 −=R ( )cuadradoalncorrelaciódeecoeficient9913,0=
e) ( ) 79688,328548,05114,3ˆlog00468,0615114,3ˆlog 20122012 =+=⇒+= YY 41,264.62012 =Y 41,264.679688,3deantilog12 ==Y 378,896,988.7 ==yxS
95%adProbabilid 0,05=∝ 415 =−=υ 2,776=t
( )
±=±=±45,153.6
37,375.696,11041,264.6
5
378,89776,241,264.62012
ntY yxS
Años iY ii Yy ˆ− ( )2ii Yy − 2iy iYlog
1951 3.248 -27 729 10.373.841 3,51146 1964 3.736 -21 441 13.801.225 3,57230 1974 4.160 127 16.129 18.378.369 3,61910 1994 5.162 -138 19.044 25.240.576 3,71270 2006 5.873 60 3.600 35.200.489 3,76886
Σ 22.179 1 39.943 102.995.500 18,1842
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Nota: el procedimiento que se debe seguir, siendo un poco más complejo, para calcular la varianza residual y el coeficiente angular, es el siguiente:
El coeficiente de correlación se debe calcular así:
2log
2log2 1
y
yx
S
SR −= Donde:
( )n
ynyi
222logy
loglogS
−Σ= n
yy ilog
logΣ
=
(Varianza) (Media) 50. Solución:
1296 =P millones)en (2106 =P a) ?r = b) ?P12 = a) ( )10
9606 1 rPP += b) ( )20612 1 rPP +=
( )rPP ++= 1log10loglog 9606 ( )rPP ++= 1log6loglog 0612 ( )r++= 1log1012log21log ( )rP ++= 1log621loglog 12 ( )r++= 1log1007918,132222,1 ( )024304,0632222,1log 12 +=P
( )r+=−1log
10
07918,132222,1 145824,032222,1log 12 +=P
( ) 024304,010
24304,01log ==+ r 468044,1log 12 =P
( ) 024304,0.log1 antir =+ 38,2912 =P millones de habitantes ( ) 057,11 =+ r 1057,1 −=r 057,0=r %7,5=r o %57 o=r (Tasa de crecimiento)
( )n
yxbycy iiiiyxS
logloglogloglog 22log
Σ−Σ−Σ= ( )n
Yy iiyxS
22log
ˆloglog −Σ=
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51. Solución:
( ) MrM 21 4 =+
( ) MrM 2log1log4log =++
( ) 301030,01log4 =+ r
( ) 075258,04
301030,01log ==+ r
189,11 =+ r 189,0=r %9,18=r %189 o=r (Tasa de crecimiento) 52. Solución:
( ) ( )
( )
( ) años24,10029384,0
301030,0301030,0029384,0
301030,01log
2log1loglog21
==⇒=
=+
=++→=+
nn
rn
crnccrc n
díasymesesañosn 26 2 , 10=
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53. Solución:
xcbY =ˆ bxci loglogy log +=
a) Como ,0=Σ ix nos queda:
03841,27
26888,14loglog === Σ
n
yc i 24,109=⇒ c
01386,028
38813,0loglog
2
===
ΣΣ
i
ii
x
yb
x 0324,1=⇒ b
La función será: ( )xY 0324,124,109ˆ = ; también ( )01386,003841,2ˆlog xY += b) La tasa de crecimiento será: rb += 1 0324,010324,11 =−=−= br %24,3=r %4,32 o=r (Tasa de crecimiento) 54. Solución: Si en el 2.000 el valor de Y es 120 y en el 2.006 el valor es de 460, se pide con esos dos períodos, determinar la tasa de crecimiento geométrico, además estimar el valor de Y para el 2.010.
ix 2ix iylog ii yx log
−3 9 2,00000 −6,00000 −2 4 2,00860 −4,01720 −1 1 2,02160 −2,02160 0 0 2,03862 −−−− 1 1 2,05346 2,05346 2 4 2,06633 4,13266 3 9 2,08027 6,24081
0 28 14,26888 0,38813
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( ) 0972628,0000.2006.2
120log460log1log =
−−=+ r
76,126.1051829832,3deantilog10 ==Y 76,126.110 =Y
251015,011 +=+ r
%10,25=r o %251 o=r
(Tasa de crecimiento) 55. Solución: a)
( )
07486,00748556,011
031350108,0log1
031350108,0log
=+=+
=+=
=
rr
antirb
b
%49,7=r (Tasa de crecimiento)
b) Trabajando con el índice 2.000 – 2.006
( ) 157388,29log
4032138,0log
28498,14log
2807
2
2
=Σ
=Σ
=Σ
=Σ=Σ=
i
ii
i
ii
y
yx
y
xxn
0144005,028
4032138,0log ==b ; 040711,2
7
28498,14log ==c
Años Crecimiento %
x
2000 ---- 0 2001 2,0 1 2002 3,6 2 2003 4,2 3 2004 3,8 4 2005 3,4 5 2006 3,5 6
Años iy ix
2000 100,00 -3 2001 102,00 -2 2002 105,60 -1 2003 110,10 0 2004 114,30 1 2005 118,20 2 2006 122,30 3
( ) 051829832,3460log40972628,0ˆlog 2010 =+=Y
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( ) 1127135,2040711,250144005,0ˆlog 08 =+=Y
63,1291127135,2deantilog08 ==Y 63,12908 =Y 56. Solución: a) ( )n0175,1000.50000.150 =
( ) meses33,630175,1log
000.50log000.150log =−=n
días 11 meses, 3 años,528,512
63,33 ===n
b) ( ) ( )0175,1log72000.50loglog0175,01000.50 72 +=⇒+= ff CC
meses 7212 años 6 =× ; 241448093,5Clog f = ( ) 49,360.174241448093,5log == antiC f 49,360.174$=fC
57. Solución:
a) ( ) ( )( )
( ) ( ) 0755046,0105015.115
33100,8010545830,58315log 2 =
−−=b
( ) ⇒== 18988,10755046,0logantib 18988,0=r %99,18=r %99,189 o=r (Tasa de crecimiento)
b) 35540,515
33100,80log ==c ; 1719912008 =−=x
( ) 6389782,635540,5170755046,0ˆlog 08 =+=Y 13,900.354.408 =Y ( ) 13,900.354.46389782,6log08 == antiY
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58. Solución:
6=n 15=Σ ix 552 =Σ ix 77845168,13log =Σ iy 76243818,31)(log 2 =Σ iy 69787348,35log =Σ ii yx
( ) 8328704,2117588002,210071528244,0ˆlog 11 =+=Y añosx 10001.2011.2 =−=
56,6808328704,2deantilog11 ==Y 56,68011 =Y
1790,0=r (Tasa de crecimiento anual) %90,17=r 0,179=r %o
b) 6=n 15=Σ ix 552 =Σ ix 260.1=Σ iy 820.3=Σ ii xy 400.3032 =Σ iy
( ) ( )( )
( ) ( ) 285,3815556
260.115820.362 =
−−=b ; 14,49711 =Y
( )29,114
6
15285,38260.1 =−=c
( ) 14,49729,11410285,3811 =+=Y
( ) ( )( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
41,0
260.1400.303615556
260.115820.36
22
=−−
−=r (Coeficiente de correlación)
59. Solución:
a) 06776,1028474,060
708451,1log =→== bb
%78,606776,006776,011 ==⇒+=+ rr (Tasa de crecimiento)
%78,6=r o %8,67=r
Años iy ix
2001 150 0 2002 140 1 2003 180 2 2004 220 3 2005 190 4 2006 380 5
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b) 1937859,39
744073,28log ==c
( ) 4215779,31937859,38028474,0ˆlog 10 =+=Y ( ) ⇒= 4215779,3log10 antiY 84,639.210 =Y 60. Solución:
( )4248,1000.580.2 iC=
( )248,1log4log000.580.2log += iC
3848583,0log4116197,6 += iC
0267614,63848583,04116197,6log =−=iC
⇒= 0267614,6log iC 54,558.063.1$=iC 61. Solución: a) ( )81000.150000.450 r+=
( ) 059640156,01log8
000.150log000.450log =+=−r
( ) 1472,01472,1059640156,0log1 =⇒==+ rantir anual %72,14=r (Tasa de crecimiento) b) ( )61472,1000.150=fC
( )1472,1log6000.150loglog +=fC
⇒= 533926089,5log fC 25,921.341$final Capital =
c) ( )961000.150000.450 r+=
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( ) 0049700,01log96
000.150log000.450log =+=−r
( ) 0115,10049700,0log1 ==+ antir mensual %15,1=r (Tasa de crecimiento) 62. Solución:
( ) ( )( )( ) ( ) 0426295,0
9181914
43915,189155270,12914log 2 =
−−=b
( )
039990,114
910426295,043915,18log =−=c
a) ( ) 722062,1039990,1160426295,0ˆlog 08 =+=Y añosx 1619922008 =−= ( ) 73,52722062,1log08 == antiY 73,5208 =Y
b) ( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1826,0
43915,1867826,36149181914
43915,189155270,12914
22
=−−
−=r (No hay correlación)
EJERCICIOS MISCELÁNEOS 63. Solución: La respuesta es la (e); 155,8 56,95 (10) 9,885 Y =+= x = 2.011 – 2.001 = 10
885,9)15()55(6
(15)(490) - 6(1.398) b
2=
−= 95,56
6
9,885(15) - 490 c ==
64. Solución:
1220012006
15-75 b =
−= La respuesta corresponde a la pregunta (a)
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65. Solución:
Años Meses iy
(a)
ix (b)
ix 21x 3
1x 41x i1 yx i
21 yx
2004 Oct. 75 0 -12 144 -1.728 20.736 -900 10.800 2005 Ene. 92 3 -9 81 -729 6.561 -828 7.452
Abr. 63 6 -6 36 -216 1.296 -378 2.268 Jul. 107 9 -3 9 -27 81 -321 963 Oct. 94 12 0 0 0 0 0 0
2006 Ene. 130 15 3 9 27 81 390 1.170 Abr. 68 18 6 36 216 1.296 408 2.448 Jul. 162 21 9 81 729 6.561 1.458 13.122 Oct. 134 24 12 144 1.728 20.736 1.608 19.296
a) n = 9 ∑ =108x i ∑ = 836.1x2
i ∑ = 925yi ∑ = 067.104y2
i ∑ = 537.12yx ii
66,2(108) - 9(1.836)
(108)(925)-9(12.537)b
2== 84,70
9
2,66(108)-925c ==
63,17484,70)39(66,2Yenero/08 =+= 63,174ˆ08/ =eneroY
b) 0x i =∑ 0x3
i =∑ 437.1yx ii =∑ 925yi =∑ 540x2
i =∑ 348.57x4i =∑ 519.57yx i
2i =∑ n = 9
66,2540
1.437b == 081,0
)540()348.57(9
)925)(540()519.57(9 a
2=
−−=
92,979
0,081(540)-925c ==
92,976620810ˆ 2 ++= x ,x,Y ; 34,9592,971)(662)1(0810ˆ 205 =+−+−= ,,Ysep/
0415192,97(14)662)(140810ˆ 206 ,,,Ydic/ =++=
66. Solución: se deja al estudiante el desarrollo de este ejercicio
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67. Solución:
Años Meses iy semisuma semipromedio iY ix
2004 Oct. 75
-6 2005 Ene. 92 -3
Abr. 63 2,865
431= 86,2 0
Jul. 107 3 Oct. 94 6 2006 Ene. 130 9 Abr. 68 12 Jul. 162 33,121
3364= 121,33 15
Oct. 134 18
34,215
86,2 - 121,33b == c = 86,2
997286)5(342ˆ05 ,,,Ysep/ =+= 04,1332,86)20(34,2ˆ
06 =+=dic/Y
9,97ˆ05/ =sepY 04,133ˆ
06/ =dicY
68. Solución: a) n)02,01(300600 +=
)duplicarse para (tiempo meses 35 n )02,1log(
300log600log ==−
b) n)32,01(300600 +=
)duplicarse para (tiempo años 2,4966 n )32,1log(
300log600log ==− n = 2 años, 5meses, 29 días
431
364
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69. Solución: a) Tasa de crecimiento aritmético
anual ocrecimient67,672.000 - 2.006110 - 516 b ==
b) log 480 = log 120 + 6 log (1 + r)
0,10034 r)log(16
120log480log =+=−
1 + r = antilog 0,10034 = 1,25991 r = 0,25991 = 25,991% = 259,91%o (Tasa de crecimiento geométrico) r = 25,99% 70. Solución:
082599,3)25991,1log(4480logYlog)25991,1(480Y 104
10 =+=⇒= x = 2.010 – 2.006 = 4
48,209.1082599,3logantiY10 ==
48,209.1Y10 = 71. Solución: Se deja que el alumno lo investigue. 72. Solución: r = 1 ⇒ correlación perfecta, es una recta ascendente r = 0,90 ⇒ buena correlación, recta ascendente r = 0,20 ⇒ no hay correlación r = -1 ⇒ correlación perfecta, recta descendente
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73. Solución: Es un resultado mal calculado, ya que 1r1 ≤≤− , por lo tanto no puede ser mayor a 1 74. Solución: Años iy
ix 2ix ii yx
3ix 4
ix i2i yx
2iy
2000 11,3 0 0 0 0 0 0 127,69 2001 2,5 1 1 2,5 1 1 2,5 6,25 2002 8,3 2 4 16,6 8 16 33,2 68,89 2003 7,6 3 9 22,8 27 81 68,4 57,76 2004 18,9 4 16 75,6 64 256 302,4 357,21 2005 12,6 5 25 63,0 125 625 315,0 158,76 2006 18,3 6 36 109,8 216 1.296 658,8 334,89
∑ 79,5 21 91 290,3 441 2.275 1.380,3 1.111,45
a) La gráfica con los datos originales, así con la rectilínea y parabólica (estimadas) que se
pide en (b) y (c) se deja al estudiante su representación.
b) b 85,1)21()91(7
)5,79)(21()30,290(7b
)x(xn
)y)(x( -yxn
22i
2i
iiii =−−=⇒
∑−∑
∑∑∑=
c) n
xb -y c ii ∑∑= ⇒ 81,5
7
)21(85,15,79 c =−=
c bx Y +=ˆ ⇒ 815851ˆ , x , Y +=
Se toman dos valores de ix , podrían ser: 2 y 5 y con ellos se traza una recta tal como se solicita. c)
2342
23
2
3
2
1
iiiii
iiiii
iii
xcxbxaxy)
xcxbxaxy)
ncxbxay)
∑+∑+∑=∑
∑+∑+∑=∑
+∑+∑=∑
cbx axY ++= 2ˆ
reemplazando en las tres ecuaciones, se tendrá que:
1) 79,50 = 91a + 21b + 7c trabajamos con las ecuaciones (1) y (2); 2) 290,30 = 441a + 91b + 21c multiplicamos la (1) por -3 y se la restamos 3) 1.380,30 = 2.275a + 441b + 91c a la (2).
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(2) 290,30 = 441a + 91b + 21c Ahora trabajamos con las ecuaciones (1) y (3); (1) -238,50 = –273a – 63b – 21c multiplicando a la (1) por -13 (4) 51,8 = 168a + 28b (3) 1.380,30 = 2.275a + 441b + 91c Se trabaja con las ecuaciones (4) y (5); (1) -1.033,50 = –1.183a – 273b – 91c multiplicamos la ecuación (4) por -6 (5) 346,80 = 1.092a + 168b
(5) 346,80 = 1.092a + 168b (4)-310,80 = –1.008a – 168b
36,00 = 84a ⇒ 4286,084
00,36 ==a
Reemplazamos en la ecuación (4) (4) 51,80 = 168 (0,4286) + 28b
7216,028
)4286,0(16880,51 −=−=b
Reemplazamos en la ecuación (1) 79,50 = 0,4286 (91) – 0,7216(21) + 7c
cc ⇒=+−= ;9501,77
)21(7216,0)91(4286,050,79= 7,9501
4280,0=a 7216,0−=b 9501,7=c La ecuación de la parábola será:
950177216,042860ˆ 2 ,xx, Y +−= se le da a x varios valores (ojalá desde 0 hasta 6) para estimar Y y dibujar la gráfica respectiva. 75. Solución:
Recta n
xybycys iiii
yx
∑−∑−∑=2
2 (Utilizamos los datos del ejercicio 74)
01,407,167
)3,290(85,1)5,79(81,545,111.12 =⇒=−−= yxyx ss
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61,2081,5)8(85,1ˆ =+=Y 61,20ˆ =Y
x = 2.008 – 2.000 = 8 ;52 =−= nυ 05,0=α
=±=±=71,16
51,2490,361,20
7
4,012,57120,61Y
Parabólico 90,137
)3,380.1(4286,0)3,290(7216,0)5,79(9501,745,111.12yx =−+−=S
93,390,13yx ==s 71,29ˆ =Y
Y 61,29,95017(8)1,7216-(64)0,4286 =+=
d) Recta
[ ] [ ]2i
2i
2i
2i
iiii
)y(yn)x(xn
)y)(x(yxnr
∑−∑∑−∑
∑∑−∑=
[ ][ ]68,0
92,534
6,362
)5,79(7(1.111,45)21(7(91)
)79,5)(21(7(290,30)r
22==
−−
−= 68,0=r
Parabólico
2y
2yx2 1R
s
s−=
( )n
nynys ii
y
222 /∑−∑
=
79,297
)7/5,79(745,111.1 22y =−=s
⇒=−= 5334,079,29
90,131R 2 0,73r =
Según la teoría, se acepta como mejor ajuste, aquel que tenga un coeficiente de correlación más cercano a 1. En este caso sería el parabólico, donde r = 0,73, para el rectilíneo es de 0,68.
=±=±=99,25
23,3362,361,29
7
3,732,57161,29Y
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76. Solución:
n = 7 32182,7)(log 2 =∑ iy 5,79=∑ iy 08537,0blog = 21=∑ ix 728206,0clog = 912 =∑ ix
89019,6log =∑ iy 06094,23log =∑ ii yx a) xcbY = ⇒ b logx logcYlog += 1,4111668(0,08537)0,728206Ylog =+= 25,77 1,411166 antilogY == 1,21770,08537 antilogb0,08537blog ==⇒= r = 0,2177 ⇒ 21,77% ⇒ 217,7%o (tasa de crecimiento)
b) [ ] [ ])ylog()y(logn)x(xn
)ylog)(x(logyxnRr
i2
i2
i2i
iiii
∑−∑∑−∑
∑∑−∑== 6148,0=r
De acuerdo con la teoría, es el menos indicado es el logarítmico, ya que es el menor de los tres coeficientes de correlación. r = 0,74 → parabólico r = 0,66 → rectilíneo r = 0,61 → logarítmico 77. Solución: se deja al estudiante su desarrollo. 78. Solución: se deja al estudiante su desarrollo.
Años iy 2000 11,3 2001 2,5 2002 8,3 2003 7,6 2004 18,9 2005 12,6 2006 18,3
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12 Índices simples, ponderados
encadenamiento y aplicaciones
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Solución:
Meses
Producción
a) Índice
Enero = 100
b) Índice
Mayo = 100
c) Base
Variable Enero 185 100,00 92,96 100,00 Febrero 178 96,22 89,45 96,22 Marzo 220 118,92 110,55 123,60 Abril 179 96,76 89,95 81,36 Mayo 199 107,57 100,00 111,17 Junio 175 94,59 87,94 87,94 Julio 216 116,76 108,54 123,43 Agosto 207 111,89 104,02 95,83 Septiembre 199 107,57 100,00 96,14 Octubre 208 112,43 104,52 104,52 Noviembre 218 117,84 109,55 104,81 Diciembre 213 115,14 107,04 97,71
a) 100100185
185100 =×=×=
E
EEE
X
XI
22,96100185
178100 =×=×=
E
FFE
X
XI etc.92,118100
185
220 =×=MEI
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2
b) 96,92100199
185100 =×=×=
M
EEM X
XI
45,89100199
178100 =×=×=
M
FFM X
XI etc.55,110100
199
220 =×=MMI
c) 22,96100185
178 =×=FEI 60,123100
178
220 =×=MFI
36,81100220
179 =×=AMI etc.17,111100
179
199 =×=MAI
2. Solución:
Productos
Cosecha (cientos de Toneladas) Relativos Índices
2000 2006 A 11.158 13.044 1,1690 116,90 B 1.196 1.357 1,1346 113,46 C 1.111 1.326 1,1935 119,35 D 1.460 1.840 1,2602 126,02 E 859 997 1,1606 116,06 F 1.106 870 0,7866 78,66 G 41 659 16,0731 1.607,31 H 6.686 7.978 1,1932 119,32 I 204 202 0,9901 99,01
Totales 23.821 28.273 24,9609 2.496,09
a) 69,118100821.23273.28100
00
060600 =×=×=
XX
I b) 34,2771009
9609,24060006
00 =×=Σ
=n
RI
34,2779
09,496.2
9
060006
00 ==Σ
=I
I
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.12 Índices simples, ponderados Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones encadenamiento y aplicaciones Actualizado en diciembre de 2007
3
3. Solución:
a)
10010012012096
96 =×=I
67,11610012014097
96 =×=I
00,15010012018098
96 =×=I
etc00,15010012018099
96 =×=I
b) 67,6610018012096
99 =×=I etc.78,7710018014097
99 =×=I
4. Solución:
JJJ PLF ×= ( ) JJ PF 160=
JP×= 160200 JP×=160000.40 250
160
000.40 ==JP
5. Solución:
1200504 =I 17406
0 =I 0504
040
050 III ×=
11806
05 =I 0605
050
060 III ×= 20,145,147 04
0 ×= I
?040 =I 18,1174 05
0 ×= I 87,12220,145,14704
0 ==I
?050 =I 45,147
18,1174 05
0 == I 87,12204 =oI
45,14705 =oI
Años Ventas
(Miles Mill. $) Índice
1996 = 100 Índice
1999 = 100
1996 120 100,00 66,67 1997 140 116,67 77,78 1998 180 150,00 100,00 1999 180 150,00 100,00 2000 190 158,33 105,56 2001 150 125,00 83,33 2002 120 100,00 66,67 2003 160 133,33 88,89 2004 200 166,67 111,11 2005 240 200,00 133,33 2006 350 291,67 194,44
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4
6. Solución:
Años 2003 2004 2005 2006
Índice (base variable)
100,00 107,83 108,12 104,26
0605
0504
0403
0303
0603 IIIII ×××=
55,1210426,10812,10783,110006
03 =×××=I (Se trabaja con los relativos en vez
de los índices) Falso11955,121 ≠
7. Solución:
3105→ ( )
2000 el para86,2105
1003 ==X
X→100
02857,000,105
3 ==K
( ) 300,10502857,0)00,105( ==K
8. Solución:
710605 =I 15006
03 =I 71,0150 0503 ×= I
?0503 =I 06
050503
0603 III ×= 26,211
71,0
1500503 ==I
Años l q
2000 100,00 2,86 2001 112,14 3,20 2002 115,26 3,29 2003 110,04 3,14 2004 105,00 3,00 2005 110,82 3,17 2006 120,55 3,44
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5
9. Solución:
( ) 66,861303
2
3
2 ==⇒= LPL
( )( ) ( ) ( ) 14,1061001265,11008666,030,1 ===×= PLF 14,106=F
10. Solución: (1) e) Superiores o igual a un 20%
120100125
150 =×
%20100120 =−
(2) d) %1010,025025 ==
(3) c) Desarrollo 175 Vivienda 25 Préstamos Autorizados 200
e) %79,545479,0100365
200 ≅=×
11. Solución: El costo de construcción de casas de habitación en el 2006 asciende a $69.791.165,62
6'200.000108,44→ ( )
62,165.791.69108,44
1.220,676'200.000x ==
x1.220,67→
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6
12. Solución:
1500692 =I 7506
00 =I ?0092 =I
0600
0092
0692 III ×= 75,0150 00
92 ×= I 20075,0
1500092 ==I
20000
92 =I 13. Solución:
Artículos 03p 03q 06p 06q 0303 qp 0606 qp 0306 qp 0603 qp
A 2.600 10 3.800 8 26.000 30.400 38.000 20.800
B 6.000 5 10.000 7 30.000 70.000 50.000 42.000
C 1.000 2 4.000 5 2.000 20.000 8.000 5.000
D 6.000 1 15.000 2 6.000 30.000 15.000 12.000
E 3.600 2 2.000 1 7.200 2.000 4.000 3.600
Σ --- 71.200 152.400 115.000 83.400
0603 pp 06q por el mínimo( )0603 ; pp
03q por el mínimo( )0603 ; pp 0603 pp 060306 ppq 060303 ppq
9.880.000 20.800 26.000 3.143,25 25.146,00 31.432,50
60.000.000 42.000 30.000 7.745,97 54.221,79 38.729,85
4.000.000 5.000 2.000 2.000 10.000 4.000
90.000.000 12.000 6.000 9.486,83 18.973,66 9.486,83
7.200.000 2.000 4.000 2.683,28 2.683,28 5.366,56
− 81.800 68.000 − 111.024,73 89.015,74
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7
a) 52,161100200.71000.115100
0303
03060603 =×=×
ΣΣ
=qpqp
LI 52,1610603 =IL
73,182100400.83400.152100
0603
06060603 =×=×
ΣΣ
=qpqp
P I 73,1820603 =IP
( )( ) 80,1711008273,16152,10603
0603
0603 ==×= PLF I 80,171
0603 =IF
b) ( )( ) 29,120100
000.68
800.81100
;
;
0306minimo03
0306minimo060603 =×=×
ΣΣ
=ppq
ppqK J
( )( ) 64,126100
200.186800.235100
060303
0603060603 =×=+Σ
+Σ=ppqppq
M J
83,1242
52,13213,1170603
060306
03 =+=+=JJ
PLSJ
71,12474,015.89
77,024.111100
060303
0603060603 ==×
Σ
Σ=
ppq
ppqW J
Los índices de Laspeyres y Paasche de Cantidad son:
13,117100200.71400.83100
0303
06030603 =×=×
ΣΣ
=qpqp
LJ ; 52,132100000.115400.152100
0306
06060603 =×=×
ΣΣ
=qpqp
PJ
0603 pp + )( 060306 ppq + )( 060303 ppq +
6.400 51.200 64.000
16.000 112.000 80.000
5.000 25.000 10.000
21.000 42.000 21.000
5.600 5.600 11.200
Σ 235.800 186.200
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14. Solución:
Años Índice Base Variable
Relativos Índice Encadenado
% Variación
1 103,15 1,0315 100,00 0
2 108,36 1,0836 108,36 +8,36
3 94,86 0,9486 102,79 +2,79
4 117,28 1,1728 120,55 +20,55
5 104,84 1,0484 126,39 +26,39 15. Solución:
000.000.1352,161 →
X→82,495 ( )
48,265.906.39$52,161
82,495000.000.113 ==X
El costo de la construcción para vivienda de dos pisos, etc., es de $39.906.265,48 16. Solución:
a) 87,1381005,230.795,030.110
1000404
04060604 =×=×
ΣΣ
=qpqp
LI (precios)
87,1311005,929.865,637.114
1000604
06060604 =×=×
ΣΣ
=qpqp
P I
( ) 32,13587,13187,1380604
0604
0604 ==×= III PLF
0404qp 0606 qp 0604qp 0406qp
14.700,0 20.840,0 19.600,0 15.630,0
852,0 2.250,0 1.278,0 1.500,0
37.760,0 48.100,0 30.680,0. 59.200,0
4.462,5 6.457,5 3.187,5 9.040,5
21.456,0 36.990,0 32.184,0 24.660,0
79.230,5 114.637,5 86.929,5 110.030,5
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9
b) 72,1091005,230.795,929.86
1000404
06040604 =×=×
ΣΣ
=qpqp
LJ (cantidad)
19,1041005,030.1105,637.114
1000406
06060604 =×=×
ΣΣ
=qpqp
PJ
( ) 92,10619,10472,1090604
0604
0604 ==×= JJJ PLF
17. Solución:
Años Ventas (Mill. $)
Relativos Índice
2000 = 100 Índice
2002 = 100
2000 12.320 1,0000 100,00 --- 2001 14.563 1,1821 118,21 --- 2002 18.624 1,2789 151,18 100,00 2003 27.632 1,4836 224,29 148,36 2004 24.830 0,8986 201,55 133,32 2005 29.316 1,1807 237,97 157,41
2006 32.514 1,1090 263,90 174,56
a) 000,1320.12
320.12 = 1821,1320.12
563.14 = 2789,1563.14
624.18 = , etc…
b) 10000
00 =I ; 118,211,1821100 0100 =×=I
etc...,18, 1511,27891,1821100 0200 =××=I
c) 10002
02 =I 36,1484836,11000302 =×=I
etc...,32,1338986,04836,11000402 =××=I
18. Solución:
06,13600,107 ×=⇒×=tO
tO
tO
tO IIII LPLF ( ) t
Oto II LL ==⇒= 15,84
06,136449.1106,1361072
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( ) 72,11671,1388415,0 ==×=tO
tO
O
JIt PLVI (es el índice de valor) 19. Solución:
85,11110063,18228,204 =
17,11510063,18234,210 =
...,37,11710063,18236,214 etc=
20. Solución:
a) El índice de precios de Laspeyres, como su nombre lo indica, nos determina las variaciones en los precios entre dos períodos, manteniendo constante las cantidades del período base como ponderaciones.
b) Indica las variaciones en las cantidades entre dos períodos, manteniendo constante,
como ponderaciones los precios del período base.
c) Indica las variaciones en los precios entre dos períodos, tomando como ponderaciones, las cantidades del período que se investiga.
d) Indica las variaciones en las cantidades entre dos períodos, tomando como
ponderaciones los precios del período que se investiga. 21. Solución:
1300403 =I 9005
04 =I 1150605 =I
0605
0504
0403
0303
0603 IIIII ×××= 55,13415,190,030,110006
03 =×××=I 55,13406
03 =I
Años Índice 1995 = 100
Índice 2001 = 100
% Variación
2001 182,63 100,00 ---
2002 204,28 111,85 11,85
2003 210,34 115,17 15,17
2004 214,36 117,37 17,37
2005 286,49 156,87 56,87
2006 322,24 176,44 76,44
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22. Solución:
o%82,943000.1400.3209.3 Tasa =×=
23. Solución: a) Índices simples de precios
a) 08,123100300.1
600.10604 === AI 92,76100
600.2
000.20604 === BI
;00,600100600
600.30604 === CI 00,100100
800.4
800.40604 === DI
b) Índice agregativo simple
Se presenta dos maneras de calcular: b) 03,129100300.9000.12100
04
060604 ==
ΣΣ
=pp
I
00,2254
00,10000,60092,7608,123Simples Indices )( 06
042 =+++=Σ=n
Ib 00,2250604 =I
Este último cálculo es el más indicado, dado que el artículo C pasa de $600 a $3.600 y se detecta esta variación; en cambio, en el primer cálculo no se determina. c) Índices de Fischer de precios y cantidad
Agudeza Visual Nº %o
Normales 3.209 943,82
Con diferencia leve 161 47,35
Con diferencia moderada 22 6,47
Con diferencia severa 8 2,36
Σ 3.400 1.000,00
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ARTÍCULOS 0404qp 0606 qp 0406qp 0604qp
A 13.000 25.600 16.000 20.800
B 36.400 40.000 28.000 52.000
C 4.800 21.600 28.800 3.600
D 57.600 67.200 57.600 67.200
Σ 111.800 154.400 130.400 143.600 Índices de precios
%)64,16(64,116100800.111400.130100
0404
04060604 +==
ΣΣ
=qpqp
LI
%)52,7(52,107100600.143
400.154100
0604
06060604 +==
ΣΣ=
qp
qpPI
( ) %)70,11(70,11152,10764,1160604
0604
0604 +==×= III PLF
Índices de cantidad
%)28,44( 44,128100800.111600.143100
0404
06040604 +==
ΣΣ
=qpqp
LJ
%)40,18(40,118100400.130
400.154100
0406
06060604 +==
ΣΣ=
qp
qpPJ
32.123,40)128,44(1180604 ==JF %)32,23(+
24. Solución:
=tOIP Conocido =V"" Conocido
oo
tt
ot
tt
oo
otJI
qp
qp
qp
qp
qp
qpPLV
tO
tO
Σ=
ΣΣ
×ΣΣ
=×=t0
oo
tt
to
tt
oo
toIJt
qp
qp
qp
qp
qp
qpPLV
tO
tO
ΣΣ
=ΣΣ
×ΣΣ
=×=0 0
0 qpqp
Vo
ttt
ΣΣ
=
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1000
0 0t
t
J
tI
p
IVL = 100
0
0 0t
t
I
tJ
p
IVL =
Prácticamente son relativos de valores, si estos se multiplican por 100 se convierten en índices de valores. 25. Solución:
Se cambia la base para el índice de valor. La nueva base es 2002.
08,11910000,210
06,25003 =×=IV etc.,48,133100
00,210
31,28004 =×=IV
Los índices de cantidad, se obtienen dividiendo al índice de valor por el índice de precios.
100×=IPIVI q 13,99100
12,12008,119
03=×=qI 49,102100
24,13048,133
04=×=qI etc.
26. Solución:
a) Índice de empleo 00,125100120150 ==
La cantidad relativa es igual a 1,2500
b) Número índice del costo de mano de obra: 00,125100000.000.90
000.500.112 =×=I
El Valor relativo será igual a 1,25
c) PR= Precio relativo
QR= Cantidad relativa %100,001,0000 125,00
125,00
QR
VRPR ====
Años I. Precios 2002= 100
I. Valor 2002=100
I. Cantidad 2002=100
2002 100,00 100,00 100,00
2003 120,12 119,08 99,13
2004 130,24 133,48 102,49
2005 160,86 152,51 94,81
2006 180,08 166,83 92,64
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VR = Valor relativo
Puede interpretarse como el índice del costo medio por empleado, es decir, que en julio de 2006 fue de 100,00% del costo medio por empleado en relación al mes de enero. No hubo ni aumento ni disminución durante ese período. 27. Solución:
1600603 =I I de Producción = 60
Precio × Producción = Valor I Precio × I Produc. =160×0,60=96 96 – 100 = – 4 Disminuyó el índice de valor en un 4% en dicho período. 28. Solución:
Ingreso total = Cantidad vendida × Precios
250 = 150 × I.Precios
67,166100150250I.Precios =×=
Deberá incrementar los precios en un 66,67 %
29. Solución:
tO
tO
tO
tO
tO JJJJJ PPPLF 23,11532,12523,11532,125 2 ==⇒×=
( ) 06,1783629,165,13029,13623,115
32,125 2
==⇒== to
J IVPtO
30. Solución: Ingreso Total = Precio × Cantidad Vendida
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300,00 = IP × 134,00
%88,12310088,223;88,22310000,13400,300 =−==IP
Se deberá incrementar el precio en un 23,88 % 31. Solución:
Lo Compró 07,035.32$100118,62
38.000 ==
Comprobación: ( ) 00000.381,186232.035,07 = 32. Solución:
Años Meses Índice 1984=100
Índice Mayo 05=100
1996 Diciembre 2.382,68 44,64
1998 Mayo 2.763,21 51,77
2003 Junio 4.326,42 81,06
2005 Enero 5.128,23 96,08
2006
Abril 5.312,61 99,54 Septiembre 5.824,25 109,12 Diciembre 6.010,34 112,61 Enero 6.112,28 114,52 Febrero 6.331,65 118,63 Marzo 6.410,64 120,11
a)x52,114
34,010.661,11206Enero/ =
( )28,112.6
61,112
34,010.652,114 ==X
También se puede calcular, obteniendo una constante (k)
373057,53112,61
6.010,34K == ;
( )( )
Marzo
Febrero
Enero
64,410.6)11,120( 373057,53
65,331.663,118372057,53
28,112.652,114373057,53
===
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b) x2.382,68112,616.010,3496Diciembre/ =
( )
64,4434,010.6
68,382.2112,61X ==
018736,06.010,34
61,112 ==K ( ) 96/64,4468,382.2018736,0 Dic=
33. Solución:
Cálculo:
X→→
61,105
63,37000,100
( )42,391
100
61,10563,370 ==X (2004)
X→→
89,108
63,37000,100
( ),58,403
100
89,10863,370 ==X etc. (2005)
X352,46100,00370,63
→→
( )
etc.,10,95370,63
352,46100X == (2002)
Años Índice
1994 = 100 Índice
2003 = 100
Índice 1994= 100
Índice 2003 = 100
2001 328,32 328,32 88,58 2002 352,46 352,46 95,10
2003 370,63 100,00 370,63 100,00
2004 105,61 391,42 105,61 2005 108,89 403,58 108,89
2006 111,23 412,25 111,23
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.12 Índices simples, ponderados Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones encadenamiento y aplicaciones Actualizado en diciembre de 2007
17
34. Solución:
Años Índice
A Índice
B
Índice A
Índice B
1 100,00 100,00 73,87
2 98,36 98,36 72,67
3 110,14 110,14 81,37
4 135,36 100,00 135,36 100,00
5 108,12 146,35 108,12
6 96,84 131,08 96,84 Empalme hacia abajo
X→→
12,108
36,13500,100
( )35,146
100
12,10836,135 ==X (5)
X→→
84,96
36,13500,100
( )08,131
100
84,9636,135 ==X (6)
Empalme hacia arriba
X14,101
10036,351
→→
( )
37,81135,36
110,14100X == (3)
X→→
36,98
10036,135
( ),67,72
36,13536,98100 ==X etc. (2)
35. Solución:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.12 Índices simples, ponderados Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones encadenamiento y aplicaciones Actualizado en diciembre de 2007
18
;10010012,64312,643
02/ ==IPC
78,11010012,64345,712
03/ ==IPC
etc.
Precios constantes del 511.318100100
318.51102 =⇒ (2002)
...77,942.47210078,110
926.52303 etc=⇒ (2003)
36. Solución:
a) ciertoesno⇒≠=
−= %63,9%28,7
2.8712.6621100ndevaluació %
b) 5,320.2
10982,05,320.2
1100%83,9 oo TT−=⇒
−=
( ) ⇒==⇒=−⇒ 39,092.2$5,320.29017,05,320.2
0983,01 oO T
T 39,092.2$defue
c) %26,70726,09274,019274,083,107
100100107,83
1PA ==−⇒=== %23,5%26,7 ≠
37. Solución:
Años Costos (mill. $)
Índice 1996 = 100
Índice
2001= 100
Costos a Precios del
2002
2001 124,6 142,28 100,00 124,60
2002 136,2 186,16 130,84 104,10
2003 148,5 195,34 137,29 108,17
Años
Siniestros (Miles Mill.$)
I. PC 2002=100
Siniestros (Miles Mill. $)
2002 318.511 100,00 318.511,00
2003 523.926 110,78 472.942,77
2004 670.718 125,60 534.011,15
2005 905.661 134,76 672.054,76
2006 1.036.129 136,36 759.848,20
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.12 Índices simples, ponderados Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones encadenamiento y aplicaciones Actualizado en diciembre de 2007
19
2004 210,6 234,15 164,57 127,97
2005 217,4 260,16 182,85 118,89
2006 252,6 275,28 193,48 130,56 Cambiamos la base del índice base 1996 a la base 2001
00,100100142,28142,28
2001 =→ ,84,13010028,14216,186
2002 =→ etc…
Luego deflactamos, transformando precios corrientes de mercado a precios constantes de 2001
6,124100100
124,62001 =→ ,10,104100
84,1302,136
2002 =→ etc…
38. Solución:
Años IPP
2003=100 IPC
2003=100 IP
2003=100
2003 100,00 100,00 100,00
2004 120,82 124,16 113,28
2005 140,56 162,40 122,41
2006 170,15 186,69 126,93
Segundo, deflactamos cada sector, por su respectivo índice deflactor. a) Producto Bruto Real
Años Agricultura Serv. y Otros Industria
2003 2.000,00 4.000,00 2.600,00
2004 2.565,80 4.671,39 3.354,52
2005 4.268,64 5.541,87 4.493,10
2006 4.760,51 5.624,30 5.751,20 b) Índices del Producto Bruto Real
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20
Índices
Agricultura Serv. Otros Industria
100,00 100,00 100,00
128,29 116,78 129,02
213,43 138,55 172,81
238,03 140,61 221,20
39. Solución: (a) (b) (c)
Años Índice
2002=100 Salarios Reales
Índice P.
Adquisitivo Poder
Adq. =1996
2002 100,00 232.000,00 100,00 0,3117
2003 101,34 232.386,03 98,68 0,3077
2004 102,37 279.378,72 97,69 0,3045
2005 109,29 309.268,92 91,50 0,2852
2006 112,38 391.528,74 88,99 0,2774
Primero: Cambiamos la base del índice al 2002
Segundo: deflactamos, dividiendo los salarios por el índice con la nueva base 40. Solución:
Años IPC 2000=100
Salario Real
(miles mill $)
Obreros (miles)
2000 100,00 1.800,0 120
2001 105,62 1.950,4 180
2002 108,84 2.113,2 200
2003 114,25 3.326,0 300
2004 118,43 4.306,3 420
2005 119,99 4.833,7 450
2006 121,46 4.939,9 510
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Salario Nominal por
obrero (mill $)
Índice Salario
Real
Índice Salario
Nominal
Salario Real
por obrero (mill $)
Índice Sal. Real
por obrero
15,0 100,00 100,00 15,0 100,00
11,4 108,36 76,00 10,8 72,00
11,5 117,40 76,67 10,6 70,67 12,7 184,78 84,67 11,1 74,00
12,1 239,24 80,67 10,3 68,67
12,9 268,54 86,00 10,7 71,33
11,8 273,44 78,67 9,7 64,67
Primero: cambiamos la base al 2002.
Segundo: dividimos los salarios nominales por el respectivo IPC, con base en el 2002.
Tercero: dividimos los salarios nominales por el número de obreros obteniendo el salario nominal por obrero.
Cuarto: seleccionamos la columna del salario real y cada uno se divide por el primero, es decir, por 1.800.
Quinto: seleccionamos la columna del salario nominal por obrero, y cada uno de ellos lo dividimos por el primero, en este caso por 15,0.
Sexto: dividimos cada uno de los salarios reales por el número de obreros.
Séptimo: cada uno de los salarios real por obrero lo dividimos por el primero.
41. Solución:
Años IPC
1996=100 IPC
2001=100
Salario Real
(miles de $)
Índice Salario Real
2001 142,39 100,00 400,0 100,00
2002 160,51 112,73 443,5 110,88
2003 280,32 196,87 558,7 139,68 2004 420,16 295,08 440,6 110,15 2005 458,98 322,34 465,4 116,35
2006 536,01 376,44 504,7 126,18
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22
Primero: Realizamos el empalme hacia abajo.
X→→
36,120
16,42018,110
( )98,458
18,110
36,12016,420 ==X (2005)
X⇒
⇒
56,140
16,42018,110
( )01,536
18,110
56,14016,420 ==X (2006)
y completamos la primera columna con base al año 1996.
Segundo: Pasamos o cambiamos la base al año 2001, dividiendo cada índice por el primero, en este caso 142,39.
Tercero: Dividimos los salarios nominales por IPC/2001.
Cuarto: Con la columna del salario Real, cada uno de ellos es dividido por el primero
(2001), para obtener el I. salario Real con base al año 2001.
Quinto: El salario Real para el 2006 aumentó en un 26,18 % con respecto al año 2002, por lo tanto mejoró su situación económica.
42. Solución: Primero Segundo Tercero
Años
IPC Base
variable
IPC 2002=100
IPC 1996=100
IPC 1999=100
Salario Real a Precios 1999
1999
130,86 100,00 $ 400.000 2000 146,32 111,81 2001 150,14 114,73 2002 100,00 100,00 170,7 8 130,51 2003 110,18 110,18 188,17 143,79 2004 90,36 99,56 170,03 129,93 2005 115,14 114,63 195,76 149,59 2006 112,26 128,69 219,78 167,95 $ 1.488.538,25
Primero: Encadenamos el índice de base variable.
Segundo: Empalmamos la serie.
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23
X→→
18,110
78,1700,100
( )17,188
0,100
18,11078,170 ==X (2003)
X→→
56,99
78,1700,100
( )03,170
0,100
56,9978,170 ==X etc… (2004)
Tercero: El salario nominal para el 2006 es $2.500.000 y su salario real es de $1.488.538,25; pero su salario real mejoró con respecto al año 1999 en un 272,13%, por lo tanto se encuentra en mejores condiciones. Su salario nominal creció, en los dos períodos, en un 525%; 43. Solución:
1100100
1 =
8715,010074,114
1 =
7649,010074,130
1 =
etc.
Primero: Se cambia la base a 1996.
Segundo: Dividimos a 100 por cada IPC con base 1996, para obtener el poder adquisitivo con base en el año 1996. Se puede decir, que $1.000 en el 2006, equivale a $184,6 , con respecto a 1996.
44. Solución:
80125
100100100 =
=
=
t
o
I
IIPA
% de variación = 80 – 100 = -20 %; Cierto, bajó en un 20 %
Años IPC 1986=100
IPC 1996=100
Poder Adquisitivo
1996 464,53 100,00 1,0000 1997 532,98 114,74 0,8715 1998 607,31 130,74 0,7649 1999 759,42 163,48 0,6117 2000 963,53 207,42 0,4821 2001 1.136,04 244,56 0,4089 2002 1.430,41 307,93 0,3247 2003 1.849,32 398,11 0,2512 2004 2.179,28 469,14 0,2132 2005 2.376,42 511,58 0,1955 2006 2.516,82 541,80 0,1846
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45. Solución: Primero cambiamos la base de cada índice al año 2002.
Años IPC
2002=100 IPP
2002=100 IPV
2002=100
2002 100,00 100,00 100,00
2003 155,28 176,33 167,87
2004 258,18 289,10 200,64
2005 332,19 411,71 231,98
2006 407,99 516,42 241,69
Segundo: Dividimos cada rubro por su deflactor: ...,07,21010028,1552,326
etc=
Años Salarios Arriendos Int. y Utili. TOTAL
2002 298,1 50,6 87,7 436,4
2003 210,1 44,9 103,1 358,1
2004 211,6 39,4 110,9 361,9
2005 204,8 33,9 107,9 346,6
2006 201,0 34,9 117,0 352,9
Tercero: Dividimos cada total por la población en millones. (YNR per cápita)
Cuarto: Los resultados obtenidos, los dividimos por 55,95.
IYNR per cápita = 00,8010095,5576,44 = para el 2003
Tercer paso Cuarto paso
Años Ingreso Nal. Real per cápita
IYNR per cápita 2002 = 100
YNR 2002=100
2002 55,95 100,00 100,00
2003 44,76 80,00 82,05
2004 44,13 78,87 82,93
2005 44,26 73,74 79,42
2006 40,56 72,49 80,87
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Quinto: Dividimos (una columna TOTAL) por 436,4 y obtenemos IYNR con base 2002 46. Solución:
100×=IPC
SNSR 00,137100
82,323.17382,323.173100
80,560000.972
0406
=×⇒=×=SR
SR
13710004
06 =SR
SR =×= 100
000.63274,513.126
04IPC
74,513.1261000,137
82,323.17304
=×=RS 55,49910074,513.126
000.63204 =×=IPC
47. Solución:
=2.829,8
T-110037 :n devaluació % o ;
8,829.263,0
8,829.2137,0 oo TT
=⇒−=
( ) 77,782.1$8,829.263,0 ==oT 77,782.1$=oT
48. Solución:
Valores Corregidos
82,181.8100110
000.9 =
,36,917.9100121
000.12 = etc…
* Se desvaloriza en un 10 % constante, cada año, a partir de 2002. Es decir el índice se incrementa anualmente en un 10 %.
Años Valores (Miles $)
Índice *
Valores Corregidos
2000 3.000 100,00 3.000,00 2001 9.000 110,00 8.181,82
2002 12.000 121,00 9.917,36 2003 20.000 133,10 15.026,30 2004 25.000 146,41 17.075,34
2005 26.000 161,05 16.144,05 2006 30.000 177,15 16.934,80
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49. Solución: Primer paso Segundo Paso Tercer paso
Años IRPI
Variable IRPI
2001 = 100
IQX 2004 = 100
IQX 2001 = 100
Índice Capacidad
para Importar 2001 100,00 100,00 90,36 100,00 100,00 2002 110,18 110,18 120,12 132,93 146,46 2003 80,36 88,54 90,34 99,98 88,52 2004 120,14 106,37 100,00 110,67 117,72 2005 115,20 122,54 110,21 121,97 149,46 2006 116,18 142,37 80,36 88,93 126,61
Primero: Transformamos el índice base variable, en base fija: 2001 = 100.
1000101 =I ( ) 18,1101018,110002
01 ==I ( )( ) ,54,888036,01018,110003
02 ==I etc…
Segundo: Se cambia la base del índice QX al 2001 = 100.
Tercero: Se multiplica el IRPI de cada año, por el relativo QX
110,18 (1,3293) = 146,46; 88,54 (0,9998) = 88,52, etc. 50. Solución: Primer paso Segundo paso
Años IQX Variable
IQX 2001 = 100
IVUX 1997 = 100
IVUX 2001 = 100
2001 100,00 100,00 124,35 100,00
2002 110,12 110,12 112,16 90,20
2003 80,36 88,49 118,14 95,01
2004 120,14 106,31 129,63 104,25
2005 115,16 122,43 132,35 106,43
2006 126,84 155,29 124,28 99,94
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Tercer paso Cuarto paso
IVUM 2001 = 100
IRPI 2001 = 100
ICM 2001 = 100
100,00 100,00 100,00
104,36 86,43 95,17
103,16 92,10 81,50
106,81 97,60 101,75
105,32 101,05 107,55
108,14 92,42 92,36
Primero: Se encadena el IQX a base fija 2001 = 100,00.
Segundo: Cambiamos la base del IVUX del 1997 al 2001 = 100,00.
Tercero: Calculamos el IRPI dividiendo el IVUX por el IVUM y el resultado se debe multiplicar por 100.
Cuarto: El ICM se obtiene multiplicando el IVUX por el relativo de RPI en cada uno de los períodos. 51. Solución: Primer paso Segundo paso Tercero paso
Años
IVUX 2000 = 100
IVUM 2000 = 100
IQX 2000 = 100
IRPI 2000=100
ICM 2000=100
2000 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
2001 78,22 105,43 103,92 74,19 77,10
2002 69,11 107,16 102,05 64,49 65,81
2003 80,90 103,15 118,62 78,43 93,03
2004 75,08 96,26 106,51 78,04 83,12
2005 75,99 105,45 114,48 72,06 82,49
2006 87,66 109,28 117,03 80,22 93,88
Primero: Se cambia la base a los tres índices, siendo 2000 = 100.
Segundo: Se calcula la relación precios de intercambio, dividiendo IVUX por el IVUM y el resultado se multiplica por 100.
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Tercero: Se multiplica el IQX por el relativo de la relación de precios de intercambio de cada período y se obtiene ICM con base en 2000.
52. Solución:
X→
→00,100
30036,105
( )
73,28436,105
100300 ==X
8473804,236,105
300 ==K
K es una constante, que debemos multiplicar por cada uno de los índices, de los diferentes períodos. 53. Solución:
Primero Primero Segundo
Años
Producción Miles Tons.
Índice Producción 2000 = 100
Índice
Obreros 2000 = 100
Índice Productividad
2000 = 100
% Variación
2000 1.420 100,00 100,00 100,00 0
2001 1.630 114,79 110,02 104,34 4,34
2002 1.580 111,27 100,16 111,09 11,09
2003 1.710 120,42 109,05 110,43 10,43
2004 1.812 127,61 98,55 129,49 29,49
2005 1.750 123,24 97,74 123,09 26,09
2006 1.800 126,76 96,93 130,77 30,77
Primero: Calculamos el índice de producción y el índice de obreros.
Segundo: Dividimos el índice de producción por el índice de obreros, multiplicando por 100 el valor resultante y obtenemos el índice de productividad.
Años Índice
Cantidades Producidas
2000 100,00 284,73
2001 112,83 321,27
2002 115,24 328,13 2003 110,12 313,55 2004 105,36 300,00
2005 110,92 315,83
2006 120,55 343,25
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54. Solución:
Primero Segundo
X→→
72,164
000.504,83
( )
11,918.904,83
72,164000.5 ==X
....,0,100000.504,83
etcX→→
*IPI: Índice Producción Industrial
Primero: Cambiamos la base del índice de Producción Industrial al 2004.
Segundo: Hacemos una relación de “si 83,04 es a 5.000, los índices siguientes serán igual a…
55. Solución: Años iy (a)
Índice (b)
Índice Índice Activos Reales
Índice A.Reales
% Variación
2001 850.000 100,00 575,1 100,00 850.000,00 100,00 0 2002 1.000.700 117,73 732,6 127,39 785.540,47 92,42 -7,58 2003 1.370.000 161,18 954,3 165,94 825.599,61 97,13 -2,87 2004 1.720.600 202,42 1.250,3 217,41 791.407,94 93,11 -6,89 2005 2.120.300 249,45 1.380,4 240,02 883.384.72 103,93 +3,93 2006 2.850.320 335,33 1.706,2 296,68 960.738,84 113,03 +13,03 Muy poco han crecido los activos reales, sólo se produjo un ligero crecimiento en los dos últimos años, ya que los anteriores decrecieron. 56. Solución: Y = P.Q. IP = 125 IY = 220 220 = 125(IQ) IY = IP (IQ)
176100125220VENTASIQ ===
Se deberá aumentar las ventas en un 76%.
Años IPI
2000 = 100 IPI
2004 = 100 Producción Industrial
2002 100,00 83,04 5.000
2003 198,36 164,72 9.918
2004 120,42 100,00 6,021
2005 135,86 112,82 6.793
2006 150,14 128,68 7.748
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57. Solución:
Años Índice
1993=100
Índice 2003=100
Índice Empalmado 2003=100
Índice 2001=100
Salario Nominal
Salarios Reales
A precios/01 2001 428,6 63,74 100,00 746.400 746.400,00 2002 594,2 88,37 138,64 2003 672,4 100,0 100,00 156,89 2004 135,6 135,60 212,74 2005 162,8 162,80 255,41 2006 201,4 201,40 315,97 1.110.100 351.330,82
(a) La situación en términos reales empeoró, ya que se redujo su salario real en un 47,07% (b) El salario en el 2006 = 3,1592 (746.400) = $2.358.400,08, éste debe ser su salario nominal
en vez de los $1.110.100,oo que le están pagando en 2006. 58. Solución: Se le deja al lector o usuario del libro su consulta. 59. Solución:
Cuarto Quinto Quinto b Primero Segundo
Años IPC
1983=100 IPC
1994=100
Inversión (Miles mill
$)
(a) Serie Deflactada (Miles Mill
$)
IPC 2003=100
IPC 2001=100
IPC 1996=100
IPC 2003=100
IPC
1988 285,36 39,60 25 63,13 185,36 1990 336,40 46,68 37 79,26 336,40 1992 520,60 72,25 42 58,13 520,60 1994 720,60 100,00 58 58,00 720,60 1996 810,40 112,46 65 57,80 100,00 810,40 1998 960,32 133,27 80 60,03 118,50 960,32 2000 1.030,42 142,99 105 73,43 127,15 1.030,42 2001 880,01 122,12 115 94,17 100,00 108,59 1.005,79 2003 1.005,78 139,58 130 93,14 100,00 124,11 1.186,41 2004 1.186,41 164,64 142 86,25 1.342,81 2005 1.342,81 186,35 160 85,86 1.527,73 2006 1.527,73 212,01 180 84,90 151,89 173,61
(a) Primero: se convierte el IPC, base variable en base fija, así:
1996 = 100,00 1998 = 100(1,185) = 118,5 2000 = 118,5 (1,073) = 127,15 2001 = 127,15(0,854) = 108,59 2003 = 108,59(1,143) = 124,11 (acumulados en la calculadora)
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Segundo: se hace el empalme hacia abajo, con los índices ya encadenados Constante = 810,4÷100 = 8,104 y lo multiplicamos por cada uno de ellos así: 8,104(118,5) = 960,32 8,104(127,15) = 1.030,42, etc. Tercero: se hace el empalme con el IPC de 2002 = 100, así:
641,8116,4
1.005,78K == y se tiene que: 2004 = 8,641(137,3) = 1.186,41;
2005 = 8,641(155,40) = 1.342,81, etc. Cuarto: se cambia la base a 1994 ⇒ (285,36÷720,60)(100) = 39,60 Quinto: se deflacta la serie, dividiendo a cada uno de los valores de inversión por el IPC con base 1994.
(b) Se cambia la base a 2003 siendo 100,00 para ese año y (212,01 – 139,58)100 = 151,89
luego mediante una regla de tres simple (procedimiento más fácil) calculamos la inversión real para el 2006, así:
100,00 93,14 151,89 X
47,141100
89)93,14(151,X == (miles de mill de $) en vez de los $84,90 (miles millones de $)
(c) Cambiamos la base del IPC a 2001 = 100,0 por lo tanto el IPC para el 2006 es igual a
(212,01÷122,12)100 = 173,61, la inversión nominal para el 2006, que sea igual a la de 2001, se obtiene nuevamente mediante una regla de tres, así:
100,00 880,01 79,527.1100
,61)880,01(173X == (miles mill de $)
173,61 X 60. Solución: Se deja al lector o usuario su consulta. 61. Solución: 2004 ⇒ $450.000 Actual $1.068.000 y el IPC = 350,62
?IPC/04 =
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27,603.30410062,350000.068.1100
IPCSN
SRactual
actualActual ===
87,315.227SR10000,134
27,603.30400,134100
SRSR
04/04
actual ==⇒=
96,19710087,315.227
000.450IPCIPCSN
100SR 0404
0404 ==⇒=
62. Solución:
(a) diferente) (es 4,25%3,81%)
2.871,82.762,5
-(1 100 n devaluació % ≠==
(b) diferente) (es %66,237634,0134,76100131100 IPA =−⇒=×= 24,6%23,6% ≠
(c) 1008,876.2
?5,362.876,8
?-1 100136,5 =⇒
=
También: 8,876.2
?365,118,876.2
?1365,1 =−⇒−=⇒
0,365(2.876,8) = $1.050,03 = To 03,050.1=oT fue el tipo de cambio 63. Solución: YT = P.Q ⇒ 300 = IP x 134,0 ⇒ IP = (300÷134)100 = 223,88 223,88 – 100 = 123,88% deberá ser el incremento en los precios 64. Solución:
(a) IPC = (386,82 ÷ 307,13) 100 = 125,95 Presupuesto mensual, sería: 95.000(1,2595) = $119.652,50 (b) Períodos Salario nominal Salario real IPC Comienzo 720.000,00 720.000,00 100,00 Final 800.000,00 635.172,69 125,95
69,172.63510099,125
800.000 SR ==
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65, 66 y 67 Solución: Se deja al lector su solución (Leer una nota que aparece al final de este capítulo en el CD) 68. Solución:
(a) %7575,025,01n disminució 5%225,060
15 ==−===
(b) aumento el fue este %3001004004001001560 =−⇒=
69. Solución:
aumento el fue %33,2110033,121100000.15200.18 =−=
70. Solución:
rebaja de Porcentaje %50100000.8000.4 =
71. Solución:
compra de precio el fue 800.2$100125500.3 =
72. Solución: 1.200 (1,30) = 1.560 deberá vender 73, 74, 75 y 76 Solución: Se deja al lector su solución. 77. Solución: a. Razón b. Proporción c. Proporción d. Razón e. Proporción f. Proporción g. Razón h. Proporción i. Proporción j. Proporción
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
13
En este capítulo del CD, el estudiante encontrará además de algunos ejercicios resueltos, tablas que contienen datos (supuestamente) poblacionales,
no incluidos en el libro, con la finalidad de reducir su tamaño.
TABLAS CON INFORMACIÓN DE UNA
POBLACIÓN TEÓRICA UTILIZADAS EN EL LIBRO PARA EL DESARROLLO Y
EXPLICACIÓN DE LA TEORÍA DEL MUESTREO (págs. 1 hasta la 19)
Tabla 13.1 CD Algunos datos correspondientes a 355 familias que residen en el barrio El Futuro
(Datos poblacionales)
Número Familias
Ingresos (miles $)
Vivienda Propia
Número de personas Consumo Diario de
carne (grs)
Total Masculino Femenino Trabajando
001 1.860 si 5 3 2 2 789
002 3.840 no 6 2 4 3 807
003 920 no 3 1 2 1 802
004 1.060 si 3 1 2 1 765
005 1.080 no 3 2 1 1 735
006 1.700 no 2 1 1 2 895
007 1.650 no 3 1 2 1 799
008 1.930 si 5 2 3 2 749
009 2.820 no 4 2 2 3 742
010 800 no 3 1 2 1 892
011 1.790 no 2 1 1 2 864
012 780 si 5 3 2 1 772
013 3.060 si 5 4 1 3 804
014 2.350 si 3 2 1 2 732
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
2
015 3.420 no 4 1 3 3 743
016 2.060 si 3 1 2 1 824
017 2.000 si 3 1 2 1 804
018 1.790 no 4 2 2 1 767
019 2.060 no 5 1 4 2 760
020 2.250 no 3 1 2 2 842
021 830 no 2 1 1 1 813
022 1.630 si 1 1 0 1 753
023 1.790 no 2 1 1 2 723
024 790 si 2 0 2 1 680
025 790 si 3 1 2 1 620
026 1.820 no 6 3 3 2 816
027 3.130 no 5 2 3 3 868
028 1.140 si 4 1 3 1 832
029 2.600 si 4 2 2 2 757
030 2.100 no 4 2 2 3 714
031 2.250 si 3 1 2 2 852
032 960 si 2 1 1 1 782
033 790 no 7 3 4 2 620
034 1.260 no 2 0 2 1 630
035 1.040 no 1 1 0 1 580
036 1.450 no 2 1 1 2 580
037 830 si 3 1 2 1 520
038 1.620 si 2 1 1 2 570
039 860 no 1 0 1 1 510
040 950 si 3 1 2 1 520
041 950 no 3 1 2 1 620
042 1.060 no 3 1 2 1 730
043 1.840 no 5 2 3 2 780
044 760 no 4 2 2 1 520
045 1.920 si 2 1 1 2 630
046 2.130 si 2 1 1 2 850
047 840 si 3 1 2 1 610
048 840 si 4 2 2 1 610
049 1.350 no 1 1 0 1 590
050 1.760 si 3 1 2 2 630
051 1.250 si 2 1 1 1 750
052 3.860 no 5 2 8 3 750
053 1.880 no 3 1 2 2 880
054 1.050 si 3 2 1 1 780
055 1.730 si 4 1 3 2 560
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
3
056 2.620 si 5 2 3 2 620
057 950 si 3 1 2 1 870
058 1.870 no 2 2 0 2 520
059 840 si 3 1 2 1 630
060 860 no 1 0 1 1 520
061 1.020 si 3 1 2 2 540
062 1.340 no 2 1 1 1 600
063 3.950 no 5 2 3 3 680
064 1.860 no 6 1 5 2 720
065 790 si 3 2 1 1 600
066 2.140 si 5 2 3 3 540
067 1.830 si 4 1 3 2 810
068 1.350 no 3 2 1 1 770
069 760 no 2 1 1 1 530
070 790 no 1 0 1 1 550
071 1.260 no 3 1 2 1 580
072 950 si 2 1 1 1 520
073 980 no 3 2 1 1 560
074 2.360 si 4 2 2 2 716
075 1.350 si 6 2 4 1 600
076 1.840 no 5 1 4 2 620
077 780 no 3 2 1 1 570
078 820 no 2 2 0 1 520
079 2.860 si 3 1 2 3 510
080 2.890 no 4 2 2 2 770
081 2.870 no 4 1 3 2 810
082 960 no 2 1 1 1 834
083 2.050 si 3 2 1 2 630
084 2.130 si 5 2 3 2 610
085 1.620 si 3 1 2 1 716
086 2.420 si 3 1 2 1 760
087 2.060 si 5 1 4 2 780
088 2.850 no 4 3 1 3 801
089 1.560 si 3 2 1 1 812
090 1.320 no 6 2 4 2 714
091 3.140 no 3 1 2 3 612
092 960 no 4 1 3 1 775
093 1.860 si 5 2 3 2 757
094 890 si 2 1 1 1 720
095 1.010 no 2 1 1 1 630
096 1.000 no 2 0 2 2 650
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
4
097 1.120 si 3 1 2 1 610
098 2.140 si 4 2 2 2 660
099 1.560 no 4 3 1 1 720
100 2.020 si 3 1 2 2 680
101 960 no 2 1 1 1 520
102 840 no 3 1 2 1 560
103 1.930 si 4 2 2 2 520
104 1.020 no 1 1 0 1 530
105 1.960 si 2 1 1 2 650
106 2.140 si 6 2 4 2 520
107 1.860 no 3 1 2 2 570
108 950 si 2 1 1 1 578
109 1.720 si 4 2 2 2 580
110 2.310 no 5 2 3 2 590
111 1.110 si 3 1 2 1 620
112 2.620 si 2 1 1 2 616
113 860 no 3 2 1 1 518
114 840 si 4 2 2 2 514
115 3.960 no 6 2 4 3 520
116 980 si 2 1 1 1 516
117 2.020 no 3 2 1 2 570
118 1.130 si 4 1 3 1 620
119 2.450 si 5 2 3 2 636
120 3.630 no 3 3 0 3 636
121 3.230 si 7 2 5 3 744
122 4.960 si 6 2 4 4 700
123 1.870 si 3 1 2 2 786
124 840 no 2 1 1 1 785
125 2.020 no 4 1 3 2 516
126 2.260 no 4 2 2 2 634
127 1.350 no 2 2 0 1 638
128 2.320 no 3 1 2 2 520
129 1.300 si 2 1 1 1 527
130 1.860 no 3 1 2 2 586
131 780 no 2 1 1 1 516
132 1.260 si 3 2 1 1 520
133 1.940 si 4 3 1 1 536
134 2.060 si 5 2 3 2 636
135 3.870 no 4 1 3 2 735
136 1.020 si 2 1 1 1 816
137 1.340 si 3 1 2 1 515
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
5
138 1.160 si 2 1 1 1 516
139 1.840 no 3 2 1 2 520
140 870 no 3 1 2 2 532
141 1.880 si 4 1 3 2 630
142 1.040 si 2 1 1 1 635
143 1.060 no 2 0 2 1 520
144 1.880 no 3 1 2 2 560
145 1.650 si 4 2 2 2 580
146 3.420 si 5 2 3 3 626
147 3.320 si 3 1 2 3 635
148 1.860 si 4 1 3 2 640
149 890 si 3 2 1 1 520
150 1.950 no 4 2 2 2 636
151 1.060 no 2 1 1 1 522
152 2.080 no 3 1 2 2 636
153 860 si 2 1 1 1 516
154 1.840 no 3 1 2 2 732
155 2.060 si 1 1 0 1 806
156 2.730 si 3 1 2 2 816
157 1.860 no 4 2 2 2 735
158 1.896 si 2 1 1 2 738
159 1.260 no 3 1 2 1 516
160 880 si 2 1 1 1 508
161 1.860 no 4 1 3 2 630
162 1.140 si 2 1 1 1 600
163 960 no 3 2 1 1 520
164 1.870 no 5 2 3 2 580
165 1.860 no 2 1 1 2 586
166 2.880 si 3 2 1 3 635
167 2.060 si 4 1 3 2 712
168 1.640 no 5 2 3 2 720
169 2.680 si 2 1 1 2 760
170 2.700 si 3 1 2 2 812
171 1.130 no 4 2 2 1 716
172 1.950 si 2 0 2 2 718
173 860 no 2 1 1 1 510
174 880 no 3 1 2 2 512
175 1.860 si 3 1 2 2 512
176 880 no 4 0 4 1 520
177 1.010 no 2 1 1 1 606
178 2.060 no 3 2 1 2 803
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
6
179 1.630 si 3 2 1 1 605
180 1.840 no 2 1 1 1 596
181 3.960 si 4 1 3 2 520
182 1.030 si 2 1 1 1 563
183 2.960 no 5 2 3 3 548
184 2.870 si 3 1 2 2 555
185 2.840 no 2 1 1 2 730
186 880 no 3 1 2 1 510
187 1.160 si 2 1 1 1 580
188 1.150 si 1 0 1 1 584
189 1.980 no 3 0 3 2 636
190 2.360 no 4 2 2 2 814
191 1.340 si 2 1 1 1 620
192 2.450 si 3 1 2 2 712
193 3.210 no 4 2 2 2 806
194 3.240 si 2 1 1 2 794
195 3.860 no 5 2 3 3 812
196 950 no 3 2 1 1 515
197 970 no 2 1 1 1 508
198 990 si 3 1 2 1 506
199 2.260 si 4 1 3 2 514
200 1.830 no 2 1 1 1 630
201 1.850 si 3 1 2 2 650
202 1.960 si 2 1 1 1 642
203 3.620 si 3 2 1 3 684
204 2.140 si 4 2 2 2 716
205 3.320 si 6 3 3 3 750
206 2.140 no 5 3 2 2 752
207 1.750 si 2 0 2 1 684
208 3.890 no 3 1 2 3 802
209 2.970 no 3 1 2 2 794
210 2.990 no 4 2 2 2 755
211 2.060 no 5 1 4 2 744
212 1.626 no 2 2 0 1 536
213 1.860 no 3 2 1 1 716
214 2.620 si 4 3 1 2 777
215 1.130 si 6 2 4 1 700
216 1.140 si 2 1 1 1 520
217 860 si 5 2 3 1 506
218 930 no 2 1 1 1 516
219 2.150 no 3 1 2 2 613
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
7
220 2.620 no 3 2 1 2 624
221 1.860 si 4 2 2 2 636
222 2.120 si 2 1 1 2 680
223 1.630 no 5 4 1 2 650
224 1.520 no 6 2 4 2 666
225 1.410 si 3 1 2 1 672
226 1.360 si 1 1 0 1 712
227 990 si 2 2 0 1 520
228 1.040 no 3 1 2 1 542
229 950 si 4 1 3 1 548
230 980 si 2 1 1 1 560
231 960 no 3 1 2 1 558
232 1.020 si 4 2 2 1 562
233 2.130 no 2 1 1 2 616
234 2.150 no 3 1 2 2 630
235 3.790 si 6 2 4 3 642
236 1.720 no 5 3 2 2 584
237 1.830 no 2 1 1 2 586
238 1.960 no 3 1 2 2 584
239 850 no 4 1 3 1 520
240 2.140 si 2 1 1 2 601
241 2.460 no 3 1 2 2 608
242 1.450 si 2 1 1 1 632
243 1.830 si 3 0 3 2 636
244 2.260 si 4 2 2 2 650
245 1.620 no 4 1 3 2 600
246 1.130 no 4 3 1 1 586
247 1.050 si 2 1 1 1 584
248 1.980 si 3 1 2 2 586
249 1.990 no 4 2 2 2 532
250 1.060 no 2 1 1 2 616
251 1.120 si 3 2 1 1 512
252 1.080 si 4 1 3 2 716
253 1.930 si 2 0 2 2 650
254 860 no 3 1 2 1 520
255 1.950 no 2 0 2 2 616
256 2.960 no 3 1 2 2 684
257 1.950 no 5 2 3 2 705
258 2.140 no 2 0 2 2 624
259 980 si 3 1 2 1 601
260 2.260 si 2 1 1 2 712
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
8
261 3.280 no 5 2 3 2 802
262 1.140 no 2 1 1 1 613
263 1.930 no 3 0 3 2 626
264 1.850 si 5 2 3 2 650
265 3.860 si 3 1 2 3 830
266 1.820 no 3 1 2 1 760
267 1.880 si 3 2 1 2 731
268 1.050 no 2 1 1 1 516
269 1.130 no 3 2 1 1 510
270 1.260 no 4 2 2 1 520
271 2.500 si 5 1 4 2 636
272 2.610 si 2 1 1 2 651
273 2.930 si 3 1 2 2 686
274 2.960 si 4 2 2 2 680
275 1.050 no 4 1 3 1 512
276 1.010 no 4 1 3 1 520
277 1.010 si 3 0 3 1 506
278 2.080 no 2 2 0 2 603
279 3.260 si 3 1 2 2 799
280 1.280 no 1 1 0 1 516
281 960 si 3 1 2 1 508
282 1.840 no 5 2 3 2 700
283 1.880 no 4 2 2 2 705
284 1.620 no 5 2 3 2 684
285 2.120 si 6 1 5 2 703
286 1.950 si 5 1 4 2 710
287 1.630 si 5 2 3 2 656
288 1.420 si 4 1 3 2 678
289 2.860 no 3 1 2 2 592
290 2.980 no 3 2 1 2 600
291 2.050 si 4 2 2 2 734
292 790 no 3 2 1 1 509
293 1.860 si 3 1 2 2 638
294 2.880 si 2 1 1 2 724
295 1.360 no 3 0 3 1 805
296 1.850 no 3 2 1 2 781
297 1.760 si 4 2 2 2 629
298 1.920 si 5 3 2 2 732
299 3.350 si 4 1 3 3 814
300 990 si 3 1 2 1 512
301 1.080 no 4 2 2 1 523
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
9
302 1.730 no 3 1 2 2 612
303 3.460 si 4 1 3 3 718
304 2.790 si 6 4 2 2 687
305 2.960 no 2 1 1 2 555
306 1.110 si 3 2 1 1 564
307 1.460 si 3 2 1 1 508
308 1.900 no 2 0 2 2 666
309 1.660 si 2 1 1 2 578
310 2.390 si 6 2 4 3 598
311 1.290 no 3 2 1 1 543
312 1.890 no 4 3 1 2 576
313 1.280 no 5 2 3 3 687
314 3.290 si 6 3 3 3 768
315 2.860 si 5 2 3 3 756
316 1.110 no 2 2 0 1 500
317 1.690 no 2 0 2 2 515
318 1.760 si 2 1 1 1 543
319 1.090 no 3 1 2 1 576
320 1.260 no 3 1 2 1 580
321 950 si 2 1 1 1 520
322 980 no 3 2 1 1 560
323 2.360 si 4 2 2 2 716
324 1.350 si 6 2 4 1 600
325 1.840 no 5 1 4 2 620
326 780 no 3 2 1 1 570
327 820 no 2 2 0 1 520
328 2.860 si 3 1 2 3 510
329 2.890 no 4 2 2 2 770
330 2.870 no 4 1 3 2 810
331 960 no 2 1 1 1 834
332 2.050 si 3 2 1 2 630
333 2.130 si 5 2 3 2 610
334 1.620 si 3 1 2 1 716
335 2.420 si 3 1 2 1 760
336 2.060 si 5 1 4 2 780
337 2.850 no 4 2 2 1 801
338 980 si 2 1 1 1 516
339 1.550 si 3 2 1 1 812
340 1.320 no 6 2 4 1 714
341 1.230 no 3 2 1 1 605
342 1.150 si 4 1 3 1 580
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
10
343 980 no 2 1 1 1 520
344 1.650 no 2 0 2 1 530
345 1.320 no 3 1 2 1 510
346 1.840 si 3 2 1 2 520
347 960 no 2 1 1 1 516
348 1.020 si 3 2 1 1 605
349 1.110 no 2 0 2 1 520
350 850 no 4 2 2 1 532
351 960 no 2 1 1 1 526
352 1.240 no 2 2 0 1 580
353 1.750 si 3 2 1 2 515
354 930 no 1 1 0 1 524
355 1.450 si 2 1 1 1 530
Tabla 13.2 CD
Población (Familias del Barrio El Futuro), estratificadas por niveles de ingreso
Estrato I. Familias con ingresos menores a $1.650 (miles de $)
No. Orden
Número Familias
Ingresos miles $
Vivienda propia
Número de personas
Trabajando
Consumo diario de
carne (grs.)
Total M F
001 003 920 no 3 1 2 1 802
002 004 1.060 si 3 1 2 1 765
003 005 1.080 no 3 2 1 1 735
004 010 800 no 3 1 2 1 892
005 012 780 si 5 3 2 1 772
006 021 830 no 2 1 1 1 813
007 022 1.630 si 1 1 0 1 753
008 024 790 si 2 0 2 1 680
009 025 790 si 3 1 2 1 620
010 028 1.140 si 4 1 3 1 832
011 032 960 si 2 1 1 1 782
012 033 790 no 7 3 4 2 620
013 034 1.260 no 2 0 2 1 630
014 035 1.040 no 1 1 0 1 580
015 036 1.450 no 2 1 1 2 580
016 037 830 si 3 1 2 1 520
017 038 1.620 si 2 1 1 2 570
018 039 860 no 1 0 1 1 510
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
11
019 040 950 si 3 1 2 1 520
020 041 950 no 3 1 2 1 620
021 042 1.060 no 3 1 2 1 730
022 044 760 no 4 2 2 1 520
023 047 840 si 3 1 2 1 610
024 048 840 si 4 2 2 1 610
025 049 1.350 no 1 1 0 1 590
026 051 1.250 si 2 1 1 1 750
027 054 1.050 si 3 2 1 1 780
028 057 950 si 3 1 2 1 870
029 059 840 si 3 1 2 1 630
030 060 860 no 1 0 1 1 520
031 061 1.020 si 3 1 2 2 540
032 062 1.340 no 2 1 1 1 600
033 065 790 si 3 2 1 1 600
034 068 1.350 no 3 2 1 1 770
035 069 760 no 2 1 1 1 530
036 070 790 no 1 0 1 1 550
037 071 1.260 no 3 1 2 1 580
038 072 950 si 2 1 1 1 520
039 073 980 no 3 2 1 1 560
040 075 1.350 si 6 2 4 1 600
041 077 780 no 3 2 1 1 570
042 078 820 no 2 2 0 1 520
043 082 960 no 2 1 1 1 834
044 085 1.120 si 3 1 2 1 716
045 089 1.560 si 3 2 1 1 812
046 090 1.320 no 6 2 4 2 714
047 092 960 no 4 1 3 1 775
048 094 890 si 2 1 1 1 720
049 095 1.010 no 2 1 1 1 630
050 096 1.000 no 2 0 2 2 650
051 097 1.120 si 3 1 2 1 610
052 099 1.560 no 4 3 1 1 720
053 101 960 no 2 1 1 1 520
054 102 840 no 3 1 2 1 560
055 104 1.020 no 1 1 0 1 530
056 108 950 si 2 1 1 1 578
057 111 1.110 si 3 1 2 1 620
058 113 860 no 3 2 1 1 518
059 114 840 si 4 2 2 2 514
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
12
060 116 980 si 2 1 1 1 516
061 118 1.130 si 4 1 3 1 620
062 124 840 no 2 1 1 1 785
063 127 1.350 no 2 2 0 1 638
064 129 1.300 si 2 1 1 1 527
065 131 780 no 2 1 1 1 516
066 132 1.260 si 3 2 1 1 520
067 136 1.020 si 2 1 1 1 816
068 137 1.340 si 3 1 2 1 515
069 138 1.160 si 2 1 1 1 516
070 140 870 no 3 1 2 2 532
071 142 1.040 si 2 1 1 1 635
072 143 1.060 no 2 0 2 1 520
073 149 890 si 3 2 1 1 520
074 151 1.060 no 2 1 1 1 522
075 153 860 si 2 1 1 1 516
076 159 1.260 no 3 1 2 1 516
077 160 880 si 2 1 1 1 508
078 162 1.140 si 2 1 1 1 600
079 163 960 no 3 2 1 1 520
080 168 1.640 no 5 2 3 2 720
081 171 1.130 no 4 2 2 1 716
082 173 860 no 2 1 1 1 510
083 174 880 no 3 1 2 2 512
084 176 880 no 4 0 4 1 520
085 177 1.010 no 2 1 1 1 606
086 179 1.630 si 3 2 1 1 605
087 182 1.030 si 2 1 1 1 563
088 186 880 no 3 1 2 1 510
089 187 1.160 si 2 1 1 1 580
090 188 1.150 si 1 0 1 1 584
091 191 1.340 si 2 1 1 1 620
092 196 950 no 3 1 2 1 515
093 197 970 no 2 1 1 1 508
094 198 990 si 3 1 2 1 506
095 212 1.620 no 2 2 0 1 536
096 215 1.130 si 6 2 4 1 700
097 216 1.140 si 2 1 1 1 520
098 217 960 si 5 2 3 1 506
099 218 930 no 2 1 1 1 516
100 223 1.630 no 5 4 1 2 650
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
13
101 224 1.520 no 6 2 4 2 666
102 225 1.410 si 3 1 2 1 672
103 226 1.360 si 1 1 0 1 712
104 227 990 si 2 2 0 1 520
105 228 1.040 no 3 1 2 1 542
106 229 950 si 4 1 3 1 548
107 230 980 si 2 1 1 1 560
108 231 960 no 3 1 2 1 558
109 232 1.020 si 4 2 2 1 562
110 239 850 no 4 1 3 1 520
111 242 1.450 si 2 1 1 1 632
112 245 1.620 no 4 1 3 2 600
113 246 1.130 no 4 3 1 1 586
114 247 1.050 si 2 1 1 1 584
115 251 1.120 si 3 2 1 1 521
116 252 1.080 si 4 1 3 2 716
117 254 860 no 3 1 2 1 520
118 259 980 si 3 1 2 1 601
119 262 1.140 no 2 1 1 1 613
120 268 1.050 no 2 1 1 1 516
121 269 1.130 no 3 2 1 1 510
122 270 1.260 no 4 2 2 1 520
123 275 1.050 no 4 1 3 1 512
124 276 1.010 no 4 1 3 1 520
125 277 1.010 si 3 0 3 1 506
126 280 1.280 no 1 1 0 1 516
127 281 960 si 3 1 2 1 508
128 284 1.620 no 5 2 3 2 684
129 287 1.630 si 5 2 3 2 656
130 288 1.420 si 4 1 3 2 678
131 292 790 no 3 2 1 1 509
132 295 1.360 no 3 0 3 1 805
133 300 990 si 3 1 2 1 512
134 301 1.080 no 4 2 2 1 523
135 306 1.110 si 3 2 1 1 564
136 307 1.460 si 3 2 1 1 508
137 311 1.290 no 3 2 1 1 543
138 316 1.110 no 2 2 0 1 500
139 319 1.090 no 3 1 2 1 576
140 320 1.260 no 3 1 2 1 580
141 321 950 si 2 1 1 1 520
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
14
142 322 980 no 3 2 1 1 560
143 324 1.350 si 6 2 4 1 600
144 326 780 no 3 2 1 1 570
145 327 820 no 2 2 0 1 520
146 331 960 no 2 1 1 1 834
147 334 1.620 si 3 1 2 1 716
148 338 980 si 2 1 1 1 516
149 339 1.550 si 3 2 1 1 582
150 340 1.320 no 6 2 4 1 714
151 341 1.230 no 3 2 1 1 605
152 342 1.150 si 4 1 3 1 580
153 343 980 no 2 1 1 1 520
154 345 1.320 no 3 1 2 1 510
155 347 960 no 2 1 1 1 516
156 348 1.020 si 3 2 1 1 605
157 349 1.110 no 2 0 2 1 520
158 350 850 no 4 2 2 1 532
159 351 960 no 2 1 1 1 526
160 352 1.240 no 2 2 0 1 580
161 354 930 no 1 1 0 1 524
162 355 1.450 si 2 1 1 1 530
Estrato II. Ingresos entre 1.650 y 2.500 (miles de $)
001 001 1.860 si 5 3 2 2 789
002 006 1.700 no 2 1 1 2 895
003 007 1.650 no 3 1 2 1 799
004 008 1.930 si 5 2 3 2 749
005 011 1.790 no 2 1 1 2 864
006 014 2.350 si 3 2 1 2 732
007 016 2.060 si 3 1 2 1 824
008 017 2.000 si 3 1 2 1 804
009 018 1.790 no 4 2 2 1 767
010 019 2.060 no 5 1 4 2 760
011 020 2.250 no 3 1 2 2 842
012 023 1.790 no 2 1 1 2 723
013 026 1.820 no 6 3 3 2 816
014 030 2.100 no 4 2 2 3 714
015 031 2.250 si 3 1 2 2 852
016 043 1.840 no 5 2 3 2 780
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
15
017 045 1.920 si 2 1 1 2 630
018 046 2.130 si 2 1 1 2 850
019 050 1.760 si 3 1 2 2 630
020 053 1.880 no 3 1 2 2 880
021 055 1.730 si 4 1 3 2 560
022 058 1.870 no 2 2 0 2 520
023 064 1.860 no 6 1 5 2 720
024 066 2.140 si 5 2 3 3 540
025 067 1.830 si 4 1 3 2 810
026 074 2.360 si 4 2 2 2 716
027 076 1.840 no 5 1 4 2 620
028 083 2.050 si 3 2 1 2 630
029 084 2.130 si 5 2 3 2 610
030 086 2.420 si 3 1 2 1 760
031 087 2.060 si 5 1 4 2 780
032 093 1.860 si 5 2 3 2 757
033 098 2.140 si 4 2 2 2 660
034 100 2.020 si 3 1 2 2 680
035 103 1.930 si 4 2 2 2 520
036 105 1.960 si 2 1 1 2 650
037 106 2.140 si 6 2 4 2 520
038 107 1.860 no 3 1 2 2 570
039 109 1.720 si 4 2 2 2 580
040 110 2.310 no 5 2 3 2 590
041 117 2.020 no 3 2 1 2 570
042 119 2.450 si 5 2 3 2 636
043 123 1.870 si 3 1 2 2 786
044 125 2.020 no 4 1 3 2 516
045 126 2.260 no 4 2 2 2 634
046 128 2.320 no 3 1 2 2 520
047 130 1.860 no 3 1 2 2 586
048 133 1.940 si 4 3 1 1 536
049 134 2.060 si 5 2 3 2 636
050 139 1.840 no 3 2 1 2 520
051 141 1.880 si 4 1 3 2 630
052 144 1.880 no 3 1 2 2 560
053 145 1.650 si 4 2 2 2 580
054 148 1.860 si 4 1 3 2 640
055 150 1.950 no 4 2 2 2 636
056 152 2.080 no 3 1 2 2 636
057 154 1.840 no 3 1 2 2 732
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
16
058 155 2.060 si 1 1 0 1 806
059 157 1.860 no 4 2 2 2 735
060 158 1.890 si 2 1 1 2 738
061 161 1.860 no 4 1 3 2 630
062 164 1.870 no 5 2 3 2 580
063 165 1.860 no 2 1 1 2 586
064 167 2.060 si 4 1 3 2 712
065 172 1.950 si 2 0 2 2 718
066 175 1.860 si 3 1 2 2 512
067 178 2060 no 3 2 1 2 803
068 180 1.840 no 2 1 1 1 596
069 189 1.980 no 3 0 3 2 636
070 190 2.360 no 4 2 2 2 814
071 192 2.450 si 3 1 2 2 712
072 199 2.260 si 4 1 3 2 514
073 200 1.830 no 2 1 1 1 630
074 201 1.850 si 3 1 2 2 650
075 202 1.960 si 2 1 1 1 642
076 204 2.140 si 4 2 2 2 716
077 206 2.140 no 5 3 2 2 752
078 207 1.750 si 2 0 2 1 684
079 211 2.060 no 5 1 4 2 744
080 213 1.860 no 3 2 1 1 716
081 219 2.150 no 3 1 2 2 613
082 221 1.860 si 4 2 2 2 636
083 222 2.120 si 2 1 1 2 680
084 233 2.130 no 2 1 1 2 616
085 234 2.150 no 3 1 2 2 630
086 236 1.720 no 5 3 2 2 684
087 237 1.830 no 2 1 1 2 586
088 238 1.960 no 3 1 2 3 584
089 240 2.140 si 2 1 1 2 601
090 241 2.460 no 3 1 2 2 608
091 243 1.830 si 3 0 3 2 636
092 244 2.260 si 4 2 2 2 650
093 248 1.980 si 3 1 2 2 586
094 249 1.990 no 4 2 2 2 532
095 250 2.060 no 2 1 1 2 616
096 253 1.930 si 2 0 2 2 650
097 255 1.950 no 2 0 2 2 616
098 256 2.140 no 2 0 2 2 684
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
17
099 258 1.950 no 5 2 3 2 624
100 260 2.260 si 5 2 3 2 712
101 263 1.930 no 3 0 3 2 626
102 264 1.850 si 5 2 3 2 650
103 266 1.820 no 3 1 2 1 760
104 267 1.880 si 3 2 1 2 731
105 271 2.500 si 5 1 4 2 636
106 278 2.080 no 2 2 0 2 603
107 282 1.840 no 5 2 3 2 700
108 283 1.880 no 4 2 2 2 705
109 285 2.120 si 6 1 5 2 703
110 286 1.950 si 5 1 4 2 710
111 291 2.050 si 4 2 2 2 734
112 293 1.860 si 3 1 2 2 638
113 296 1.850 no 3 2 1 2 781
114 297 1.760 si 4 2 2 2 629
115 298 1.920 si 5 3 2 2 732
116 302 1.730 no 3 1 2 2 612
117 308 1.900 no 2 0 2 2 666
118 309 1.660 si 2 1 1 2 578
119 310 2.390 si 6 2 4 3 598
120 312 1.890 no 4 3 1 2 576
121 313 2.180 no 5 2 3 3 687
122 317 1.690 no 2 0 2 2 515
123 318 1.760 si 2 1 1 1 543
124 323 2.360 si 4 2 2 2 716
125 325 1.840 no 5 1 4 2 620
126 332 2.050 si 3 2 1 2 630
127 333 2.130 si 5 2 3 2 610
128 335 2.420 si 3 1 2 2 760
129 336 2.060 si 5 1 4 2 780
130 344 1.650 no 2 0 2 1 530
131 346 1.840 si 3 2 1 2 520
132 353 1.750 si 3 2 1 2 515
Estrato III. Ingresos superiores a $2500 (miles de $)
01 002 3.840 no 6 2 4 3 807
02 009 2.820 no 4 2 2 3 742
03 013 3.060 si 5 4 1 3 804
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
18
04 015 3.420 no 4 1 3 3 743
05 027 3.130 no 5 2 3 3 868
06 029 2.600 si 4 2 2 2 752
07 052 3.860 no 5 2 3 3 750
08 056 2.620 si 5 2 3 2 620
09 063 3.950 no 5 2 3 3 680
10 079 2.860 si 3 1 2 3 510
11 080 2.890 no 4 2 2 2 770
12 081 2.870 no 4 1 3 2 810
13 088 2.850 no 4 3 1 3 801
14 091 3.140 no 3 1 2 3 612
15 112 2.620 si 2 1 1 2 616
16 115 3.960 no 6 2 4 3 520
17 120 3.630 no 3 3 0 3 636
18 121 3.230 si 7 2 0 3 744
19 122 4.960 si 6 2 4 4 700
20 135 3.870 no 4 1 3 2 735
21 146 3.420 si 5 2 3 3 626
22 147 3.320 si 3 1 2 3 635
23 156 2.730 si 3 1 2 2 816
24 166 2.880 si 3 2 1 3 635
25 169 2.680 si 2 1 1 2 760
26 170 2.700 si 3 1 2 2 812
27 181 3.960 si 4 1 3 2 520
28 183 2.960 no 5 2 3 3 548
29 184 2.870 si 3 1 2 2 555
30 185 2.840 no 2 1 1 2 730
31 193 3.210 no 4 2 2 2 806
32 194 3.240 si 2 1 1 2 794
33 195 3.860 no 5 2 3 3 812
34 203 3.620 si 3 2 1 3 684
35 205 3.320 si 6 3 3 3 750
36 208 3.890 no 3 1 2 3 802
37 209 2.970 no 3 1 2 2 794
38 210 2.990 no 4 2 2 2 755
39 214 2.620 si 4 3 1 2 777
40 220 2.620 no 3 2 1 2 624
41 235 3.790 si 6 2 4 3 642
42 257 2.960 no 3 1 2 2 684
43 261 3.280 no 5 2 3 2 802
44 265 3.860 si 3 1 2 3 830
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19
45 272 2.610 si 2 1 1 2 651
46 273 2.930 si 3 1 2 2 686
47 274 2.960 si 4 2 2 2 680
48 279 3.260 si 3 1 2 2 799
49 289 2.860 no 3 1 2 2 592
50 290 2.980 no 3 2 1 2 600
51 294 2.880 si 2 1 1 2 724
52 299 3.350 si 4 1 3 3 814
53 303 3.460 si 4 1 3 3 718
54 304 2.790 si 6 4 2 2 687
55 305 2.960 no 2 1 1 2 555
56 314 3.290 si 6 3 3 3 768
57 315 2.860 si 5 2 3 3 756
58 328 2.860 si 3 1 2 3 510
59 329 2.890 no 4 2 2 2 770
60 330 2.870 no 4 1 3 2 810
61 337 2.850 no 4 2 2 1 801
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Solución: a) Cierto b) Cierto c) Falso d) Falso e) Cierto f) Cierto g) Falso 2. Solución: a) Cierto b) Cierto c) Falso d) Falso e) Cierto f) Cierto g) Falso 3. Solución: a) Cierto b) Cierto c) Cierto d) Cierto e) Falso f) Cierto g) Cierto 4. Solución:
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a) Sistemático b) Sistemático c) No aleatorio (intencional) d) Aleatorio simple e) Estratificado (asignación igual) 5. Solución: a) Sistemático b) Estratificado c) Voluntaria 6. Solución: a) No aleatorio b) No aleatorio c) No aleatorio d) No aleatorio e) Aleatorio 7. Solución: Si ordenamos las compras almacenadas por días o semanas de menor a mayor, haríamos una selección sistemática. De esta manera, en la muestra quedarían representados cada uno de las variaciones en la cantidad almacenada, por día o semana, al no ser así, es decir, cuando la variabilidad es muy poca deberíamos usar el muestreo aleatorio simple. 8. Solución: a) En el M.A.S. tendríamos la totalidad de los alumnos matriculados sin ordenarlos por
cursos o por jornadas, conformando una población; luego hacemos un listado de los estudiantes siendo enumerados desde 001 hasta N. De esta población seleccionamos un determinado número de alumnos, de acuerdo con el tamaño muestral establecido. La selección es al azar.
b) Primero seleccionamos una muestra de facultades, pues nuestra población esta
constituida por el total de ellas que tenga la universidad. La segunda etapa, es una selección de cursos por cada facultad seleccionada; la tercera etapa, consiste en una selección de un determinado número de alumnos por curso.
c) Fijamos carteles en lugares donde el alumno se entere y deposite el formulario que
ha sido previamente diligenciado. En este caso el alumno en forma voluntaria colabora en la investigación.
d) Cada facultad se constituye en población de la cual, se extrae una muestra cuyo
tamaño será proporcional al tamaño poblacional. También podremos tener la
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21
población de alumnos por facultad distribuidos por cursos y haríamos una selección al azar, proporcional al número de alumnos por cursos.
Nota: lo hubiéramos podido hacer como lo pide el ejercicio partiendo de 240 semestres, nos faltaría suponer el número de alumnos por cursos, por ejemplo, un promedio de 30 alumnos por curso, dando como resultado un total de 7.200 alumnos matriculados en la universidad. 9. Solución: Muestreo aleatorio estratificado – debemos clasificar las cuentas según su valor, en dos, tres o más grupos sub-poblaciones y luego seleccionamos muestras aleatorias de cada grupo de cuentas según su valor. Muestreo por conglomerados. Distribuimos las cuentas en varios grupos o conglomerados, de tal manera que cada uno de ellos tenga un número de cuentas con diferentes valores, de tal manera que cada grupo sea una réplica de la población. Enumeramos los conglomerados constituidos y seleccionamos uno de ellos al azar como la muestra que será estudiada. Muestreo sistemático. Ordenamos las cuentas según valor, de menor a mayor y luego seleccionamos, el número de cuentas que conformarán la muestra, a intervalos regulares por ejemplo: de cuatro en cuatro cuentas. Muestreo por conglomerados en dos etapas. Nuestra primera población son los departamentos en que está dividida la empresa comercial, seleccionando como muestra algunos de los departamentos, constituyéndose en la primera etapa; luego, en cada departamento hacemos un listado de cuentas; luego se procede a una segunda selección o segunda etapa. 10. Solución:
• Primero: Es posible que los nombres de los que habitan (jefe de hogar o propietarios) se encuentren desactualizados. Segundo: puede ser que el directorio esté incompleto, es decir, no incluye todas las viviendas o direcciones.
• La actualización y correcciones deben hacerse en la etapa de preparación de la
investigación y no cuando se está realizando la encuesta.
• Es preferible considerar la lista de direcciones como marco, ya que la actualización es mucho más rápida. La selección de uno de ellos, se dará de acuerdo al tipo de investigación que se va a realizar, dependiendo del objetivo establecido.
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22
11. Solución: a) En algunos casos se utiliza el teléfono, hoy en día hay sistemas más sofisticados,
mejorando el procedimiento de recolección de información. b) El Fax, Internet o celular, hoy en día, sustituyen el método de correo, sistema que
frecuentemente era utilizado. c) El más indicado es la entrevista, donde se puede utilizar un cuestionario y de esta
forma, recoger más opiniones o reacciones sobre el programa. d) Se puede hacer la investigación puerta a puerta o diseñar una muestra que nos
permita comprobar la información. 12. Solución: Hay varios procedimientos, uno de ellos sería la selección de hogares y realizar la recolección mediante entrevistas. Para ello iniciamos con selección de zonas, luego barrios, manzanas y finalmente hogares. Sin embargo la aplicación del método de observación directa, entrevistando a los compradores en los supermercados y administradores o dueños de los negocios que venden el nuevo producto. 13. Solución: Sería un ejemplo de muestreo aleatorio simple (M.A.S.) en el caso que se tenga un listado de establecimientos donde se vende el producto, sin estar organizado por ciudades o volumen de ventas. En nuestro caso no lo es. Un muestreo aleatorio estaría dado, si clasificamos los establecimientos por volumen de ventas; por número de empleados; por área etc. En este caso no se cumple. Nos quedamos con el método de muestreo por conglomerados en dos etapas, ya que tenemos dos poblaciones y por lo tanto dos selecciones. Primero ciudades y luego establecimientos. 14. Solución: Es difícil realizar un marco de unidades, pues en este caso es casi imposible la elaboración de un listado de vehículos. Se debe establecer si son automóviles particulares y/o de servicio público. Luego debería seleccionar los puntos de observación en la ciudad, para aplicar un muestreo sistemático, es decir, parar de cada 5 vehículos, que transiten uno de ellos, para examinar el estado de sus llantas.
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15. Solución:
a)
( )
==
=±=
±=
%5656,0
%7474,0
100
35,065,096,165,0ˆ
ˆ
P
n
pqZpP
b) Mujeres que llegan a un puesto de ventas en un centro comercial, durante un cierto
período de tiempo. c) No. Es una muestra con selección sistemática. d) Es el método de muestreo más conveniente en este caso. 16. Solución: Se está relacionando dos variables: el volumen de venta y el costo de publicidad del cual se espera genere más ventas. Se puede estimar el volumen de ventas en relación a un determinado costo de publicidad, por lo tanto necesitamos información tanto de ventas como los costos en publicidad. 17. Solución: a1) La diferencia principal consiste, en que, primero la variable a investigar debe estar
ordenada de menor a mayor en el caso de ventas por ejemplo, y segundo deben estar totalmente desordenados y con poca variabilidad.
a2) El muestreo de criterio. El investigador fija cuales son los elementos que deben ser
considerados en la muestra, es un muestreo intencional u opinático. El de cuotas, a cada encuestador se le da un determinado número de unidades o elementos, que pueden estar divididas, por ejemplo, la mitad ser hombres y la otra mitad mujeres. El de conveniencia es el mismo voluntario, la persona suministra los datos sin hacerle seguimiento.
b) Cuando la población es infinita o muy grande; cuando la característica tiende a ser
homogénea; costo; tiempo; recursos de personal; destrucción del elemento y la finalidad de la investigación.
c) El objetivo principal del muestreo es el de obtener la mayor cantidad de información
con el menor costo posible.
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d) Aumentar el tamaño de la muestra; sustituir el elemento que no se entrevistó por el siguiente que informó, y que debería encontrarse seleccionado; seleccionar dentro de los que informaron un número igual a aquellos que no lo hicieron y se duplican los datos; seleccionar un número igual a aquellos que no informaron, dentro de la población que no quedó incluida en la muestra.
18. Solución: a) Las poblaciones son: barrios; manzanas; viviendas y personas que las habitan. b) Se tendrán varios marcos, primero elabora un listado de barrios, luego de manzanas
que fueron seleccionadas y finalmente de las viviendas seleccionadas y se entrevista a las personas de esa vivienda.
c) Barrios, manzanas, viviendas, personas dentro de la vivienda d) Muestreo por etapas; (c) afiliación al servicio médico; edades; sexo; enfermedades
comunes en el grupo, etc. f) Total de afiliados; promedio de edad; proporción de hombres y mujeres; proporción
de las enfermedades más comunes al grupo. 19. Solución: a) Mi población a seleccionar en la primera etapa son manzanas, de éstas se
seleccionaron 10; luego en la segunda etapa se tendrá una población de 100 casas, de las cuales se seleccionarán 20.
b) En el muestreo aleatorio simple, la población estará constituida por 400 casas y la
muestra será de 20 casas. 20. Solución: Siendo la clasificación del menor hasta el de mayor ingreso se debe utilizar el muestreo sistemático. Si formamos grupos cada uno con diferentes niveles de ingresos, se aplicará el método estratificado. En el irrestricto o muestreo aleatorio simple, se debe tener la población de ingresos en forma desordenada y por otra parte existir poca variabilidad en los niveles de ingresos. 21. Solución: a) Utilizaríamos el muestreo sistemático
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b) En este caso, lo más indicado es el muestreo aleatorio simple c) Debe haber un sistemático y la idea que nos da, es ser de un muestreo de dos etapas (bietápico).
TAMAÑO DE LA MUESTRA (Muestreo aleatorio simple)
22. Solución: a) ( ) 68,34608,0 ==E 600.12 =s %95=p 2=Z 40=s 200.2=N
+=
12
22 21
nE
sZno
( )22,496
40
21
68,3
600.122
2
=
+
=on
N
nn
no
o
+=
1 hatosnn 405
200.2
22,4961
22,496 ≅=+
=
b) ( ) 6,2734508,0 ==E 700.92 =s 2=Z 200.2=N
( )
48,5340
21
6,27
700.922
2
=
+
=on hatosn 53
200.2
48,531
48,53 ≅+
=
c) %808,0 ==E 2=Z ( )4,06,02 == PQsp 200.2=N %606,0 ==P
+=
12
2 21
nE
PQZno
( ) ( )5,157
402
108,0
4,06,022
2
=
+
=on
hatosn 147
200.2
5,1571
5,157 ≅+
=
d) El tamaño de la muestra óptima deberá ser el resultado del aparte (a), donde n = 405
hatos, puesto que es el mayor valor calculado. 23. Solución 096.8=E 2=Z 200.2=N 600.12 =s
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26
+
=
12
222 21
nE
sNZno
( ) ( ) [ ] 22,49605,1096.8
600.1200.222
22
=
=on
hatosn 405
200.2
22,4961
22,496 ≅+
=
Nota: el resultado es exactamente igual al obtenido en el problema No. 22 aparte a. 24. Solución: a) 250=s 500.622 =s 24=E 96,1=Z
+
=
12
22 21
nE
SZn
( )familiasn 428
80
21
24
500.6296,12
2
≅
+
=
b) 200.1=N
N
nn
no
o
+=
1
26,427=on familiasn 315
200.1
26,4271
26,427 ≅+
=
25. Solución:
a) 7,0903 =6=p 30,0=q 96,1=Z 02,0=E
+=
12
2 21
nE
PQZno
( )( )21,061.2
90
21
02,0
3,07,096,12
2
=
+
=⇒ on
N
nn
no
o
+=
1 tarjetasoafiliadosn 711.1
050.10
21,061.21
21,061.2 ≅+
=⇒
b) 55,555.2690
000.390.2 ==x gasto promedio mensual
000.000.16000.4 2 =⇒= ss ( ) 11,53155,555.2602,0 ==E
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27
( ) [ ] 69,222022,111,531
000.496,12
22
=
=on
218
050.10
69,2221
69,222 ≅+
=n tarjetas o afiliados
c) [ ] ( ) [ ] 64,222022,15,655.537.5
000.4050.1096,1022,1
222
2
222
=
×=
=
E
SNZno
tarjetasn 218
050.10
64,2221
64,222 =+
= ( ) 5,655.537.511,531050.10 ==E
Este es el procedimiento cuando trabajamos con totales d) El tamaño óptimo debería ser 1.711 tarjetas, por ser el mayor de todos 26. Solución: a) Falso b) Cierto c) Falso d) Falso e) Falso 27. Solución:
8,8ˆ =R 8=n 2,387=∑ iy 36,973.182 =∑ iy
∑ = 44ix ∑ = 2542
ix
6,164.2=∑ ii yx 5,5=x
8,844
2,387ˆ ==R
( )( ) ( ) ( )
+−
±=
72548,86,164.28,8236,973.18
5,58
1365,28,8ˆ
2
lSR
Nº Nº personas Ventas 1 4 37,8 2 5 49,6 3 8 51,4 4 6 51,4 5 6 48,6 6 4 41,4 7 6 53,6 8 5 53,4
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28
( )
=±=45.7
15,1057,0365,28,8ˆ
lSR
( ) 992720.330
8 =
=N Establecimientos considerados como almacenes
( ) 456.55,59921 ==N Personas que trabajan en los establecimientos considerados como
almacenes
( ) ( ) ( )
=±=03,693.40
57,332.5512,3992365,28,8456.5ˆ
iSRY (miles de $)
5,5844 === ∑
n
yy i
[ ]
−+−
= ∑ ∑ ∑1
ˆˆ21ˆ222
n
xRxyRy
nV iiii
yR
[ ] [ ] 7529,90236,788
1ˆ =
=RyV
error de estimación
28. Solución:
20,0306 ==p
( ) ( )
=−−
±=%5
%35
720.330
11308,02,0
04,22,0ˆISP
( ) ( ) ( )
=±=182
305.1074,0720.304,22,0720.3ˆ
ISA establecimientos
Otro método que se podría aplicar es:
50,012
6 ==p
[ ] 12,3ˆ =RyV
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29
( ) ( )
==
=−±=%1717,0
%8383,0
720.330
111
5,05,0201,250,0ˆ
ISP
29. Solución:
Estimación
a) 37,059
22 ===∑∑
i
i
m
ap
53,030
161 ==p
69,3=m TotalmN = ( ) ( ) 6,971.153,0720.3 = (Establecimientos)
( ) 2,275.769,36,971.1 = (Total trabajadores) 22=∑ ia 402 =∑ ia
59=∑ im 2492 =∑ im
93=∑ ii ma
( )( ) ( )
=
−+−
±=
284,0
456,0
116
24937,09337,0240
)69.3(16
11315,237,0ˆ
2
ISP
%4,28
%6,45
==
I
S
P
P (Proporción de hombres que trabajan)
( ) ( )
=±=066.2
318.3086,0275.7275.737,0ˆ
ISA (Total de hombres que trabajan)
Totales (otro método)
( )
=±=−
−
±
=472.1
984.3256.1728.2720.3
720.330
13029
30
223040
045,23022
720.3ˆ
2
ISX
No. Total Hombres Mujeres 1 4 2 2 2 3 1 2 3 3 0 3 4 6 2 4 5 5 3 2 6 4 2 2 7 6 2 4 8 2 1 1 9 3 1 2
10 4 1 3 11 6 2 4 12 2 1 1 13 3 2 1 14 2 0 2 15 4 1 3 16 2 1 1
Total hombres que trabajan
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30
30. Solución: Estime el promedio y total de ventas por empleado.
==∑ 039.1ia ∑ iy ==∑ 770.392ia ∑ 2
iy
==∑ 108im ∑ ix ==∑ 4662im ∑ 2
ix
==∑ 198.4ii ma ii yx∑ 6,3=m 8,3=X 6,3=x
empleadopersonal
ventas
x
yR
i
i $ˆ ==∑∑ 62,9
108
8,039.1ˆ ≅=R (Mill.$ de pesos por empleado)
( )( ) ( ) ( )
=±=
+−
−
±
=73,8
66,1089,062,9
2946662.9198.462,92770.39
6,330720.330
1045,2
3022
62,9ˆ2
ISR
(Millones de pesos por empleado)
Nota: se trabajó con la calculadora en el programa de estadística
( ) ( ) ( ) ( )
=±=78,120.124
86,855.147045,256,1720.38,3720.362,9ˆ
ISRY (Total)
Nota: los cuadros con líneas punteadas, índica el equivalente en la calculadora. 31. Solución:
55,010859 ≅==
∑∑
i
i
m
ap 6,3
30
108 === ∑n
mm i 6,3=m
59=∑ ia 108=∑ im 2072 =∑ ia 4662 =∑ im 282=∑ ii ma
1
21ˆ222
−+−−
±= ∑ ∑∑n
mpmapa
mn
ftpP iiii
IS
( ) ( ) ( )
=±=
−+−±=
%43
%6712,055,0
13046655,028255,02207
6,330
1045,255,0ˆ
2
ISP
[ ]pIS VtNpNA ˆˆ
11 ±= ( ) 392.1360,3720.31 === mNN
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31
( ) ( )( )
≅≅=±=
722.54,722.5009.98,008.9
392.1306,0045,255,0392.13ˆISA Personas afiliadas
32. Solución:
empleadopersonalNo
mujeresNop
..= 6,0
10865 ≅==
∑∑
i
i
m
ap 6,3
30108 ==m
65=∑ ia 1932 =∑ ia 108=∑ im 4662 =∑ im 289=∑ ii ma
( ) ( ) ( )%53%67
53,067,007,06,0
294666,02896,02193
6,3301045,26,0ˆ
2
==
=±=
+−±=ISP
empleadasmujeres
( ) ( )( )
≅≅
=±=077.762,076.7
994.873,993.8392.13035,0045,26,0392.13ˆ
ISA Mujeres empleadas
33. Solución: Mediante la regresión lineal, estimar el promedio y total de ventas semanales por empleado, sabiendo que el promedio de empleados por establecimiento es de 3.8.
108=∑ x 4662 =∑ x 8,039.1=∑ y 770.392 =∑ y
6,3=x 66,34=y ∑ = 198.4xy 30=n
57,22 =xs 66,22 =xs (Corregida)
35,1242 =ys 63,1282 =ys (Corregida)
6,1=xs 63,1=xs (Corregida)
15,11=ys 34,11=ys (Corregida)
y = ventas (miles de $ semanales) ; x = personal empleado Nota: se trabajó en la calculadora con el programa de estadística
( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) 89,5
10846630
8,039.1108198.430222
=−
−=
−−
=∑∑
∑ ∑∑
xxn
yxxynb
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32
( )( )
( )89,5
6,330466
66,346,330198.4222
=−
−=−−=
∑∑
xnx
yxnxyb
( )
456,1330
10889,58,039.1 =−=−= ∑ ∑n
xbyc
cXbYRL +=ˆ ( ) 838,35456,138,389,5ˆ =+=RLY
( ) yxXbYRL +−=ˆ ( ) 838,3566,346,38,389,5ˆ =+−=RLY (promedio)
cbXYRL +=ˆ ( ) 136.148,3720.3ˆ === XNX (total) ( ) 392.136,3720.3ˆ === xNX Total de empleados ( ) 32,056.50456,13720.3 ==c ( ) 36,317.13332,056.50136.1489,5ˆ =+=RLY
( ) yxXbYRL +−=ˆ ( ) 2,935.12866,34720.3ˆ === yNY (miles de $) (total) ( ) 36,317.1332,935.128392.13136.1489,5ˆ =+−=RLY (mill de $)
[ ]222
ˆ 21ˆ
xxyyy sbbmsn
fV
RL+−
−=
( ) 16,1566,346,330
198.4 =−=−= ∑ yxn
xymxy
[ ] ( ) ( ) ( ) 08,157,289,516,1589,5235,12430
720.3
301
ˆ 2 =+−−
=RLyV Error estándar de
estimación. Si trabajamos con las varianzas sin corregir.
( ) ( ) 67,063,12866,2
16,15 2
22
22 ===
yx
xy
ss
mr (Calculado con varianzas corregidas)
( ) ( ) 72,035,12457,2
16,15 2
22
2
2 ===yx
xy
ss
mr (Con varianzas sin corregir)
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33
[ ] ( )[ ] 20,172,0163,128301ˆ =−
=
RLyV
[ ] 09,120,1ˆ ==RLyV (Error estándar de estimación)
34. Solución: Estimar el total de ventas semanales (miles $) para los establecimientos que aparecen con actividad comercial “tienda”.
No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Σ
Ventas semanales
28,4 19,6 27,4 23,6 42,5 30,6 31,4 38,4 19,3 42,5 32,8 32,5 369,0
∑ =369ix ∑ = 4,012.122ix
( ) 008,0130
13030369304,012.12
720.3045,230369720.3ˆ
2
−−
−
±
=
ISX
( )
=±=±=50,550.23
15,961.675,205.22756.459959,0296.22756.45ˆ
ISX (Mill de $)
35. Solución: a) Proporción de mujeres:
∑
∑∑∑ ==
personasdeNo
mujeres
m
ap
i
i
. 34,3
35117 ==m 52,0
11761 ===
∑∑
i
i
m
ap
1
21
ˆ222
−+−−
±= ∑∑ ∑n
mpmapa
mnN
n
ZpP iiii
( )( ) ( ) ( )
135
44305228,252,02137
34,335000.15
351
96,152,0ˆ2
−+−−
±=P
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
34
==
±=%2525,0
%7979,027,052,0P Mujeres
b) Promedio de personas: 34,335
117 === ∑n
xx i
( )
55,1135
34,335443
1
2222 =
−−
=−−
= ∑n
xnxs i 24,155,1 ==s
( )
±=
±=−±=
93,2
75,341,034,31
35
24,196,134,31ˆ
N
n
n
sZxX Personas por familia
c) Total de propietarios de vivienda: 46,03516 === ∑
n
ap i
N
n
n
pqZNNp −±= 1A
( ) ( ) ( ) ( )
±=±=423.4
377.9477.2900.61
35
54,046,0000.1596,146,0000.15A
Total propietarios de vivienda
d) Número de personas que visitan al odontólogo: 29,011734 ===
∑∑
i
i
m
ap
1
21
A222
−+−−
±= ∑∑ ∑n
mpmapa
n
N
n
ZNMp iiii
( ) 100.5034,3000.15 === mNM
( ) ( ) ( ) ( ) ( )135
44329,012629,0262
35
1000.1596,129,0100.50A
2
−+−
±=
±=169.10
889.18360.4529.14A Personas que visitaron al odontólogo
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35
36. Solución:
dentistaalvisitaronquepersonas
médicoalvisitaronquepersonasRazón=
x
y
x
yR
i
i ==∑∑ˆ 44,1
3449ˆ ===
∑∑
i
i
x
yR
1
ˆˆ21
ˆ222
−+−−
±
= ∑∑ ∑n
xRxyRy
xnN
n
Zx
yR iiii
( )( ) ( ) ( )
135
6244,15944,12147
97,035
196,144,1ˆ
2
−+−±=R
±=84,0
04,26,044,1R Relación de personas
b) 42,04188,0117
49 ≅===∑∑
i
i
m
ap ; El 42% visitaron al médico
1
21
ˆ222
−+−−
±= ∑∑ ∑n
mpmapa
mnN
n
ZpP iiii 34,335
117 ==m
== m34,3 promedio de personas por familia (vivienda)
( )( )( ) ( )
135
44342,019542,02147
34,335
196,142,0ˆ
2
−+−±=P
==
±=%2929,0
%5555,013,042,0P Porcentaje de personas que visitaron al médico durante el período
c) Se deja al estudiante la solución de este punto 37. Solución:
10=n 202=∑ ix ∑ = 190.42ix 2,20=x
18,122 =s 49,3=s
a) El estimador puntual es 2,20=x punto medio de ruptura.
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36
b) n
stxX ±=ˆ
±=
±=
7,17
7,225,22,20
10
49,3262,22,20X punto medio de ruptura
%95=P 91 =−= nυ 05,0=α
c) 1) 22
220
<===
µµ
aH
H
n
sx
tµ−=
2) 01,0=α 3) 49,3=s
63,1
10
49,3222,20 −=−=t
Como 63,1−=t cae en la zona de aceptación, se puede afirmar al nivel del 1% que estos resultados no son inferiores a los señalados por la empresa. d) Hay error de tipo II, ya que estamos aceptando que 22=µ , cuando en realidad 22≠µ amperios, por lo tanto estamos aceptando algo falso. 38. Solución:
a) 5,340
140 ===∑n
xx i Número de personas por familia
(datos sin agrupar)
5,340
140 === ∑n
nyy ii (Estimador puntual)
(datos agrupados)
Falta por resolver b) y c), se deja al estudiante hacerlos.
iy in ii ny ii ny2
1 2 2 2 2 6 12 24 3 14 42 126 4 11 44 176 5 3 15 75 6 3 18 108 7 1 7 49 Σ 40 140 560
iX if ii fX ii fX 2
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37
39. Solución:
36=N 53,1342 =σ 96,1=Z 2±=E
( ) ( )( ) ( ) 1229
81,66018,605.18
53,13496,1236
53,13496,13622
2
≠==+
=n estantes
Se necesitan 29 estantes y no 12 como sostiene el asesor. 40. Solución:
000.7=N 700=n 480=∑ ia 6857,0700
480 ==p ⇒ 69,0=p
N
n
n
pqtpP −±= 1ˆ
( )
±=−±=65,0
73,004,069,0
000.7
7001
700
31,069,057,269,0P
El estimador puntual es: %57,68ˆ == pP 41. Solución:
2
2
222 89,7
20
20
13520069.1
σ=≅
−=
−= ∑
N
YNYS i
a) ( ) ( )
( ) ( ) valoresn 631,11020,606
89,796,1220
89,796,12022
2
≅=+
=
b)
6=n 52=∑ ix 4722 =∑ ix
07,2=s 67,8=x
±=
±=50,6
84,1017,267,8
6
07,2571,267,8X
( ) ( )
±=
±=0,130
8,216434,173
6
07,220571,267,820X
No. aleatorio ix 13 8 02 8 08 8 16 12 05 10 12 6
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38
42. Solución: a) Colegios públicos:
253468100
5448,37
54
024.246,15
024.2
281.31ˆ =
===≅==∑∑ Nx
x
yR
i
i Colegios públicos
( ) ( )( ) ( ) ( )
±=−
+−−±=
97,13
95,1649,146,15
154
090.11146.15349.729.146,152219.881.29
48,3754253
541
96,146,15ˆ2
R
Entre 14 y 17 alumnos por profesor, es la relación en los colegios públicos. b) Colegios privados:
215468100
4637,23
46
075.175,12
075.1
707.13ˆ =
===≅==∑∑ Nx
x
yR
i
i Colegios privados
( ) ( )( ) ( ) ( )
±=−
+−−±=
33,11
17,1442,175,12
154
119.3375,12041.43175,122785.366.6
37,2346215
461
96,175,12ˆ2
R
Entre 11 y 14 alumnos por profesor, es la relación en los colegios privados. 43. Solución:
6,0300180
180120300300000.10 ====−=== ∑∑n
apanN i
i
a) N
n
n
pqZpP −±= 1ˆ
( ) ( )000.10
3001
300
4,06,064,16,0ˆ −±=P
==
±=%5555,0
%6565,005,06,0P % empleados que tienen aptitudes
b) ( ) ( )
±=±=500.5
500.6500000.605,0000.106,0000.10A Empleados que tienen aptitudes
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39
44. Solución:
65,240
106 === ∑n
nyy ii ( )
67,7140
65,240580 22 ≅−
−=s 77,267,7 ==s
Aproximadamente 3 caries por alumno
a) ( ) ( )300
401
40
77,230096,165,23001ˆ −±=−±=
N
n
n
sZNyNY
±=555
035.1240795Y Total caries de los 300 estudiantes
b) ( )
300
401
40
9,010,096,110,0ˆ −±=P
±=01,0
19,009,010,0P Proporción de mujeres sin caries
c) 10,040
4 === ∑n
ap i
38,040
15 === ∑n
ap i
iy in ii ny ii ny2
0 12 0 0 1 6 6 6 2 8 16 32 3 2 6 18 4 2 8 32 5 3 15 45 6 2 12 72 7 1 7 49 8 1 8 64 9 2 18 162
10 1 10 100 Σ 40 106 580
iX if ii fX ii fX 2
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40
c) ( ) ( ) ( )
±=−±=72
15642114
300
401
40
62,038,030096,138,0300A Total de varones con caries
Nota: podríamos considerar en la pregunta del punto (b), se hace referencia a la proporción de niñas (dentro del total de 17 niñas) que no tienen caries; algo similar sucede con el punto (c), sobre el total de niños (dentro del total de 23 varones con caries). En ambos casos, el tratamiento sería de “dominio de estudio”.
24,0174 === ∑
n
ap i
N
n
n
qptpP −
−±= 1
1ˆ
( ) ( )
±=−−
±=03,0
45,021,024,0
30040
111776,024,0
120,224,0P
65,02315 === ∑
n
ap i
N
n
n
qptNNpA −
−±= 1
1ˆ
( ) 11430038,038,04015 ==⇒== Np varones en la población
45. Solución: a) Número de varones sin caries:
( ) ( ) ( )( )
±=−−
±=52
962274
11423
112335,065,0
114074,265,0114A
b) 222
22
sZNE
sNZn
+=
( ) ( )( ) ( )
niñosn 746,229.1
52,839.8
67,796,12300
67,796,130022
2
==+
=
PQZNE
PQNZn
22
2
+=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
niñosn 8973,2
02,242
7,003,096,108,0300
7,03,096,130022
2
==+
=
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
41
46. Solución:
55,050096924020 22 ====== ∑∑∑∑ Covyyxxn iiii
96,16,097,292,08,42203 22 =======∑ yxii sscbyxyx
Las varianzas no fueron corregidas, ya que los cálculos se hicieron con calculadora. a) ( ) ( ) 58,48,42292,0 ≅=+−=+−= yxXbyRL familias por vehículo. 2222 2 xyyx sbCovbss +−= ( ) ( ) ( ) 46,16,092,055,092,0296,1 22 =+−=yxs
21,146,1 ==yxs
Familias por auto o vehículo:
( ) ( ) ( )
≅≅
±=+−−
±=423,4
537,557,08,46,092,055,092,0296,1
20
200
201
093,28,4ˆ 2Y
b) Si establecemos que 2=X , es decir, que será el promedio de personas por familia, se tendrá que el total de personas en las 2.000 familias, es de 4.000 personas, diferente a 3.500. c) El promedio estimado de personas por familia es de 2. Nota: se trabajó con calculadora, utilizando el programa de regresión lineal (LR) 47. Solución:
1
ˆˆ21
ˆ222
−+−−
±
= ∑∑ ∑n
xRxyRy
XnN
n
tx
yR iiii 45,0
405183ˆ ===
∑∑
i
i
x
yR (Aprox.)
( )( ) ( ) ( )
±=−
+−−
±=38,0
52,07,045,0
125
687.2245,0612.945,02157.4
2,1625
300
251
797,245,0ˆ2
R
48. Solución:
8,458,24275.829512 2 ===== ∑∑ yxxxn ii
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
42
99,92112
12
29512275.8
2
2 =−
−=s 64,9=s
a)n
stxX ±=ˆ
±=±=
±=
45,18
71,3013,658,2413,658,24
12
64,9201,258,24X
b) 1) 30:0 =µH 30: ≠µaH 2) 05,0=α
3) Como 30=µ cae dentro de los límites de confianza, se acepta0H , al nivel del
5%, por lo tanto la media es de 330cm c) Si la verdadera media de llenado es de 328cm , al aceptar 0H , se estará cometiendo un error de tipo II. 49. Solución:
576=x miligramos ; →== 75,836
3152s 96,275,8 ==s 36=n cigarrillos
Contenido medio de nicotina en miligramos:
n
sZxX ±=ˆ
±=
±=
73,574
27,57727,1576
36
96.257,2576X (miligramos)
50. Solución: a) 000.396,155,045,002,0%2 ====== NZQPE
PQZNE
PQNZn
22
2
+=
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 327.1
150.239,852.2
55,045,096,102,0000.3
55,045,096,1000.322
2
==+
=n Viviendas
Se toma P = 0,45 , por ser el valor más cercano a 0,50; también se hubiese podido
calcular el promedio: 55,02
65,045,0 =+=P
b) 000.396,190,010,001,0%1 ====== NZQPE
PQZNE
PQNZn
22
2
+=
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
43
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )Viviendasn 596.1
65,0
23,037.1
9,010,096,101,0000.3
9,010,096,1000.322
2
==+
=
Se toma el mayor valor de n, es decir, se requieren 1.596 viviendas en la muestra. 51. Solución: a)
9671,0983,01569,1575,461,3 22 ====== ∑∑ ssnxxx ii
N
n
n
stxX −±= 1ˆ
±=−±= $58,2
62,352,01,3
150
151
15
983,0145,21,3ˆ
millX
El ingreso promedio mensual es de $3.100.000 y el valor verdadero debe estar entre $3.620.000 y $2.580.000 con una seguridad o confianza del 95%.
b) N
n
n
stNxNX −±= 1ˆ
( ) ( )
±=−±= $387
54378465
150
151
15
983,0150145,21,3150ˆ millX
El ingreso total de las 150 familias es estimado en $465.000.000 mensual. c)
531,010,1128,277 2 ==== ∑∑ sxxn ii
97,37
8,27 === ∑n
xx i
1
222
−−
= ∑n
xnxs i 28,0
17
7
8,27710,112
2
2 =−
−=s
N
n
n
stxX −±= 1ˆ
±=−±= 51,3
43,446,097,3150151
753,0447,297,3X mill $
53,028,0 28,02 ==⇒= ss
No. de orden Ingreso 1 5,0 2 3,5 3 4,0 4 3,5 5 4,0 6 4,2 7 3,6
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
44
Ingreso promedio mensual de $3.971.428,57 de las familias propietarias de vivienda. 52. Solución:
a) N
n
n
StNxNX −±= 1ˆ
( ) ( )
±=−±= $962.1
5,221235,198
50
71
7
53,050447,297,350ˆ demilesX
El ingreso total mensual para las 50 familias propietarias de vivienda es de $198.500.000 (aprox.)
b) N
n
n
n
n
xnx
tNn
xNX
ii
i −−
−
±
=
∑∑
∑ 11ˆ
22
( )
±=−−
−
±
= $24,104
76,45176,173278
150
151
15
115
15
8,271510,112
150145,215
8,27150ˆ
2
millX
También, una manera mucho más fácil sería trabajar con el porcentaje de propietarios en la muestra, para realizar los cálculos.
%4747,015
7% ===
( ) 7015047,0 ==N Propietarios en la población:
( ) ( )
±=−±= $35,245
45,31055,329,277
707
17
53,070447,297,370ˆ millX (aprox.)
Corresponde al ingreso total, de las familias no propietarias, cuando no se conoce el número de propietarios en la población. d) Porcentaje de arrendatarios
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
45
53,0158 === ∑
n
ap i El 53% son arrendatarios
N
n
n
pqtpP −
−±= 1
1ˆ
( ) ( )
==
±=−−
±=%2222,0
%8484,031,053,0
15015
111547,053,0
447,253,0P
53. Solución: a) Número de arrendatarios
N
n
n
pqtNNp −
−±= 1
1A
( )
±=−−
±
=34
1264680
150
151
115
15
7
15
8
150447,215
8150A Total de arrendatarios
De las 150 familias, se estima que 80 de ellos son arrendatarios.
ix : 2,5 2,0 2,5 1,5 2,8 1,8 2,6 3.0 (millones de $) b) Hay dentro de los arrendatarios tres (3) que tiene ingresos semanales superiores a $2.500.000 siendo: 2,8 2,6 3,0 (millones de $)
%38375,08
3 ==== ∑n
ap i
( )
±=−−
±=0
79,041,038,0
150
151
18
62,038,0365,238,0P
El resultado anterior aparentemente extraño, se debe a que la muestra (8) es demasiado pequeña, por lo tanto el error de estimación (0,41 = 41%), es relativamente grande.
c) N
n
n
pqtNNpA −
−±= 1
1ˆ
( )
±=−−
±
=0
633330
150
151
11515
12
15
3
150145,215
3150A
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
46
El número de arrendatarios con ingresos superiores a $2.500.000, se estima en 30 familias.
d) %2727,015
4 ===p
( )
==
±=−−
±=%303,0
%5151,024,027,0
150
151
115
73,027,0145,227,0P
(Porcentaje de familias con ingresos superiores a $3,7 mill $) 54. Solución:
a) ∑∑=
i
i
x
yR 7=n 700.4=∑ ix ∑ = 000.310.32
ix 500.16=∑ iy
∑ = 000.030.402
iy 000.070.11=∑ ii yx 43,671=x 14,357.2=y
;51,3700.4500.16ˆ ==R
−+−
−±
= ∑∑ ∑∑∑
1
ˆˆ21ˆ
222
2 n
xRxyRy
XnN
n
tx
yR iiii
i
i
( )( ) ( ) ( )
±=
−+−
−
±=26,2
76,425,151,3
17
000.310.351,3000.070.1151,32000.030.40
5257
400
71
447,251,3ˆ2
R
b) 525400
000.210 ==X 1
ˆˆ21
ˆ222
−+−−
±
= ∑∑ ∑∑∑
n
xRxyRy
nN
n
tXx
yY iiii
i
iR
( ) ( ) ( )
±=−
+−−±
=95,183.1
55,501.28,65875,842.1
17
000.310.351,3000.070.1151,32000.030.40
7400
71
447,2525700.4
500.16ˆ2
RY
miles de $
c) 1
ˆˆ21
ˆ222
−+−−
±
= ∑∑ ∑
∑
∑n
xRxyRy
n
N
n
tNNXx
yY iiii
i
iR
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
47
( ) ( )
±=±=568.473
608.000.1520.263088.7378,65840075,842.1400ˆ
RY miles de $
55. Solución: a) 48,127676,36417 2 ===== ∑∑ sxxxn ii
N
n
n
stxX −±= 1ˆ
200.117
117
48,112,276,3ˆ −
±=X
±=00,3
52,476,076,3X En promedio 4 personas por familia
b) 36,16541,969400.413.16480.1617 2 ===== ∑∑ sxxxn ii
N
n
n
stxX −±= 1ˆ
200.117
117
36,16512,241,969ˆ −
±=X
±=99,884
83,053.142,8441,969X El gasto promedio en el mes es de $969.410
c) %3535,0176 ==== ∑
n
ap i Con suscripción al periódico
N
n
n
qppP −±= 1ˆ
( ) ( )
==
±=−−
±=%1010,0
%6060,025,035,01
117
65,035,012,235,0ˆ
N
nP Familias con
suscripción 56. Solución: a) 10=n 188=∑ ix ∑ = 768.32
ix 319=∑ iy
∑ = 353.102
iy 181.6=∑ ii yx 8,18=x 9,31=y
79,0=b 11,17=c 90,0=r 81,02 =R Nota: las operaciones se hicieron en la calculadora con el programa LR.
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48
( ) 85,329,318,182079,0 =+−=RLy Promedio de productividad
( )22 11ˆ Rs
n
ftyY YRL −
−±=
( )
±=−±=5,31
2,3435,185,3281,0166,19
10
1262,285,32Y
b) ( )22 11ˆ Rs
n
ftNyNY YRLRL −
−±=
±=765.15
085.17660425.16ˆ
RLY Total de productividad
c) ( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]∑ ∑∑ ∑
∑ ∑∑
−−
−==
2222iiii
iiii
yynxxn
yxyxnrR = 0,90
81,0
90,02 ==
R
r
57. Solución:
( )56,253,6
120
1720904.5177,8
22 ==
−−
=== yy ssyx
( ) ( ) ( ) 2,5177,8
20062.3
43,291,5120
7,820626.1 22 =−===
−−= Covss xx
a) 88,091,5
2,5 ==yxb
( ) 90,19177,81288,0ˆ =+−=RLY
95,191,5
2,553,6
22 =−=yxs
( )
±=±=25,19
55,2065,090,1995,1
20
1093,290,19Y
b) ( ) ( )
±=±=774.5
166.6196970.5
20
95,1300093,290,19300ˆ
RLY
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49
58. Solución:
ix iy in ii nx ii ny iii nyx ii nx2 ii ny2
2 1 2 4 2 4 8 2 2 2 8 16 16 32 32 32 4 3 5 20 15 60 80 45 6 1 4 24 4 24 144 4 6 2 3 18 6 36 108 12 6 3 2 12 6 36 72 18 7 2 4 28 8 56 196 16 7 4 2 14 8 56 98 32 - - 30 136 65 304 738 161
53,430
136 ==x 17,23065 ==y
( )
68,029
17,230161 22 =
−=ys 82,0=→ ys
( )
22,4130
53,430738 22 =
−−
=xs 05,2=→ xs
( ) ( ) 30,053,417,230304 =−=Cov 071,0
22,4
30,0 ==b
a) ( ) ;26,217,253,48,5071,0 =+−=RLY →=−= 66,022,4
30,068,0
22yxs 82,0=yxs
±=
±=
95,1
57,231,026,2
30
82,0045,226,2ˆ
RLY
b) ( ) ( )
±=±=975
285.1155130.150031,050026,2ˆ
RLY
59. Solución:
a) 70,1188319ˆ ==R
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50
( )( ) ( ) ( )
±=−
+−−
±=51,1
89,119,070,1
110
768.370,1181.670,12353.10
8,1810
500
101
262,270,1ˆ2
R
b) ( ) ( )
±=±=2,30
8,378,33419,020207,1ˆ
RY
c) ( ) ( )
±=±=100.15
900.18900.1000.175002019,0500207,1ˆ
RY
60. Solución:
Con los datos del ejercicio 57 se hacen los cálculos de: R , RLY , RY
a) 95,1174340ˆ ==R
( )( ) ( ) ( )
±=−
+−−±=
85,105,210,095,1
120626.195,1062.395,12904.5
1220300201
093,295,1ˆ2
R
b) ( ) ( )±=±=
2,226,242,14,231210,01295,1ˆ
RY
c) ( ) ( )
±=±=660.6
380.7360020.72,13003001295,1ˆ
RY
Con los datos del ejercicio 58 se hacen los cálculos de: R , RY , RY
a) 48,013665ˆ ==R
( )
( ) ( ) ( )
±=−
+−−
±=45,0
51,003,048,0
130
73848,030448,02161
8,530
500
301
045,248,0ˆ2
R
b) ( ) ( )
±=±=±=61,2
95,217,078,28,503,08,548,003,048,0ˆ XXYR
c) ( ) ( )
±=±=±=308.1
475.185390.150017,050078,217,078,2ˆ NNYR
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51
61. Solución:
67,423.230710.72 ==x 45,262.2=s
( ) ( )30
45,262.2000.2045,267,423.2000.2ˆ ±=X
=±=
62,897.157.304,768.536.671,435.689.133,333.847.4X
El error generado es alto, dado la gran dispersión que se observa en los datos, con costos de $260 miles y de $7.200 miles. 62. Solución:
∑ = 710.72ix ∑ = 500.786.3292ix ∑ = 140.54iy ∑ = 200.374.1862
iy
30=n 200.171.224=∑ ii yx
cxbYRL +=ˆ 57,3376053,0ˆ += xY
( ) )(19,989.1$57,3376,728.26053,0ˆ promediomilesYRL =+=
=±=⇒±= 59,600.1
79,377.260,38819,989.1ˆ30
27,039.1048,219,989.1ˆRLRL YY
( ) ( )
30
200.171.2246053,0140.5457,337200.374.1862 −−=yxs
27,039.1;43,244.080.12 == yxyx ss
El coeficiente de correlación: 80,07965,0 ≅=r
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52
63. Solución:
a) 30,3420
686 ==x aproximadamente 34 visitantes por hora y por almacén
El total de visitantes por hora en los 20 almacenes será: ( ) 68630,3420ˆ === xnX visitantes por hora. Para los 2.000 almacenes, se estima en: ( ) 000.6830,34000.2ˆ ==X visitantes por hora.
b) ( ) 5234,520448,06,373934,1ˆˆ ≅=−=⇒+= YcxbY Visitantes por hora, es el promedio para cada almacén. ( ) 680.10434,522000ˆ ==Y Visitantes, es el total de visitantes por hora para los 2.000 almacenes. 64. Solución: a) Los almacenes con un número de visitantes, superior a las 50 personas son los
almacenes: 4; 6; 9; 12; 15; 16; 17; 18; 19 y 20 ⇒ Total 10 almacenes
%5050,02010 ⇒=== ∑
na
p i de los almacenes investigados, tienen más de 50
personas que los visitan cada hora.
b) Podríamos estimar en los 2.000 almacenes, que 1.000 de ellos son visitados por más de 50 personas en una hora.
almacenesNpA 000.1)50,0(000.2ˆ === NOTA: Se deja al alumno terminar el desarrollo de estos ejercicios. 65. Solución: a) La población está conformada por un número indeterminado de establecimientos
que funcionan arrendados. Se forman dos subgrupos: C = establecimientos que funcionan en locales arrendados con baño y C` los que no tienen baño.
C C` C C`
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53
jjj NAA =+ jn=+ 111409
7865,0520409ˆ ====
J
JJj n
apP El error del muestreo para el estimado:
J
J
JJ fn
qpS
JP −= 1ˆ
Como la fracción de muestreo (jf ) no se puede determinar por desconocer el valor de
jN , se aplica como fracción de muestreo.
087,0200.9
800 ===Nnf (Siendo mayor a 0,05 para su aplicación)
%72,10172,0087,01520
520
111
520
409
ˆ oSJP =−
=
Los límites de confianza del 95% serán: jis f
n
qpzpP
J
JJ −±= 1ˆ
( )
===±=±=
%28,757528,0%02,828202,0
0337,07865,00172,096,17865,0ˆisP
b) Para estimar el total de establecimientos en local y sin baño propio, cuando no se
conoce el número de ellos en local arrendado, se procede de la siguiente manera:
ientosestablecimn
aN i
IS 277.15,276.1
800
111200.9A ≅=
=
= ∑
Nn
nn
anna
ZNna
NA
JJ
J
IS −
−
±
=
∑∑∑ 1ˆ
La confianza será del 95%
( )
=±=−
±
=066.1
487.158,2105,276.1
200.9
8001
800
800
689
800
111
200.996,1800
111200.9ˆ
ISA
Establecimientos c) Se sabe que el total de establecimientos en locales arrendados es de 6.400 y con
local propio, de 2.800.
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
54
410.2280241800.2ˆ =
=
= ∑na
NA i
IS
Los límites de confianza del 95%
Nn
nn
anna
ZNna
NA
ii
i
IS −
−
±
=
∑∑∑ 1ˆ
( )
≅≅
=±=−
±
=302.227,302.2
518.273,517.273,107410.2
800.2
2801
280
280
39
280
241
800.296,1280
241800.2ˆ
ISA
Establecimientos Los ejercicios 66 y 67, no se desarrollaron, por lo tanto tendrá que resolverlos el interesado. 68. Solución: Artículos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Cantidad exagerada
350 100 230 80 120 90 220 80 230 280 120 200 200 200
57,17814
500.2 ==x 45,82=s
( ) ( )1000.1
14000.1
14
45,79000.1160,257,178000.1ˆ
−−
±=X
=±=62,283.131
38,856.23435,286.47570.178
69. Solución:
( ) 18,673.1363,164500.10058,1ˆ =+=Y (Se trabajo con calculadora) Total : ( ) 6,177.673.118,673.1000.1ˆ ==Y
( )=±=±= 4,795.624.1
8,559.721.12,382.486,177.673.11481,83000.1160.26,177.673.1Y
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55
70. Solución:
a) →===∑∑ 21,1
7,031.16,250.1ˆ
i
i
xy
R Promedio ( ) 28,12721,1105ˆˆ === RXYR
Total: ( ) 640.6328,127500ˆˆ
ˆ === RXNYR
b) Directo: 12510250.1 ==y (Promedio)
Total: ( ) 500.62125500ˆ ==Y Se deja a usted el cálculo de los límites de confianza. 71. Solución: Desarrollaremos este ejercicio para demostrar cómo se aplican estas fórmulas, en la obtención de estimativos para promedios y totales. En primer lugar suponemos que se tiene información para las 28 familias sobre sus niveles de ingreso quincenal obtenidos a través de un censo realizado con anterioridad a la encuesta por muestreo.
500.639.60100.506.42210.32 2 === ∑∑∑ iiii yxxx
muestralmediaxyy ii ∑∑ === 36,150.1300.416.87250.46 2 Se conoce la media poblacional 238.1=X
∑
∑=i
i
x
yR 44,14359,1
210.32
250.46ˆ ≡==⇒ R
1
ˆˆ21ˆˆ222
−+−
−±= ∑ ∑∑n
xRyxRyn
ftXRY iiii
RIS
( ) ( ) ( ) ( )
−+−
−±=
128
100.506.4244,1500.639.6044,12300.416.87
28355
281
045,2238.144,1ˆ2
ISRY
=±= 43,714.1
01,851.129,6872,782.1ˆISRY
El estimativo del total de ingresos en miles de $ en las 355 familias sería:
105=X
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56
RIS YR StNXRNY ˆˆˆ ±=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−+−
−±=
128
100.506.4244,1500.639.6044,12300.416.87
28355
281
355045,2238.144,1355ˆ2
ISRY
( ) ( )
=±=±=65,622.608
55,108.65795,242.246,865.63229,6835572,782.1355ˆ
ISRY |
NOTA: no fueron resueltos los ejercicios desde el 72 hasta el 86. 87. Solución:
( )92,25
11
2822
22
21
21
21
01===
E
sZn 24
285
92,251
92,25
11
0
0
1
1
1 ≅+
=+
=
N
n
nn
( )76,8
5,12371
2
22
22
22
22
02===
E
sZn ; 9
415
76,81
76,82 ≅
+=n
Elementosnnn 3392421 =+=+=
88. Solución: Tamaño de la muestra
Asignación igual: 172
33
2==n
Elementosnnn 341717 21 ===
Asignación proporcional:
41,04071,0700
28511 ≅===
N
NW 59,05929,0
700
41522 ≅===
N
NW
( ) ( ) 1453,133341,011 ≅=== nWn ( ) ( ) 2047,193359,022 ≅=== nWn ; 34=n Elementos
Asignación óptima:
=∑ hh
hhh SW
SWnn ( )
( ) ( ) 123759,02841,0
2841,033
2211
111 ≅
+=
+=
SWSWSW
nn
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
57
( )
( ) ( ) 223759,02841,0
3759,033
2211
222 ≅
+=
+=
SWSW
SWnn
Elementosnnn 342212 21 === 89. Solución: a) Asignación proporcional e igual
( )2
2
0/ ZE
sWn hh∑= ( ) ( ) ( )
( ) 21,11596,1/87,0
362,0253,0165,020 =++=n
( ) ( ) ( ) 4,17322,0203,0105,0 =++=stx ; ( ) ( ) 87,04,1705,005,0 === stxE
90
400
21,1151
21,115 =+
=n elementos o unidades
Asignación óptima: ( )
∑
∑∑
+
=2
21
hh
n
hhnhh
SWNZ
E
C
SWCSW
n
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )
10705675,01970,015,36,8
362,0253,0165,04001
96,187,0
9
62,0
4
53,0
1
45,0962,0453,0145,0
2 =+=+++
++++=n
b) Elementos
Asignación óptima:
( )
∑
∑
−
=nhh
n
hho
CSN
C
SNCC
n
[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )
Elementosn 184440.3
260.1500
96804512014200
9
680
4
5120
1
4200500.9000.10
==++
++−
=
NOTA: sobre la información de n = 148 90. Solución: Asignación proporcional (Promedio)
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.13 Tablas Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007
58
( ) ( ) ( ) 4,17322,0203,0105,0 =++=stx [ ] ( )h
hhhhx n
snNN
NV
st
2
21ˆ −= ∑
Consideramos las varianzas como las obtenidas a través de una muestra, para luego calcular el error de estimación.
[ ] ( ) ( ) ( ) 12,03036308080
452545120
741674200200
3551ˆ
2 =
−+−+−=
stxV
Siendo n = 148 se tiene que
( ) 741485,01 ==n ( ) 451483,02 ==n ( ) 301482,03 ==n
[ ]stis xst VZxX ˆˆ +=
=±= )(72,16
08,1812,095,14,17ˆ promedioX
isst
( ) ( )
=±= )(42,688.6
58,231.712,040096,14,17400ˆ totalX
Isst
NOTA: en el libro aparece n = 177 en vez de n = 148.
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.14 Algunos elementos básicos de las Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones matemáticas aplicados en la Actualizado en diciembre de 2007 estadística
14 Algunos elementos básicos de las
matemáticas aplicados en la estadística
El hombre instruido lleva en si mismo sus riquezas
Fedro CONTENIDO � Sumatoria, productoria, propiedades � Símbolos y operaciones aritméticas, razones y porcentajes � Sistemas de ecuaciones, con dos y tres incógnitas � 75 ejercicios resueltos COMPETENCIAS � Desarrollar o resolver cualquier ejercicio que aplique la sumatoria o la productoria � Manejar correctamente las propiedades de las sumatorias � Comprender y manejar símbolos y operaciones aritméticas � Resolver ecuaciones con dos y tres incógnitas, aplicadas a algunos temas estadísticos. � Capacidad para distinguir y utilizar relativos, proporciones, porcentajes, etc. ASPECTOS GENERALES Se ha considerado de gran importancia la inclusión de algunos temas, no importa lo resumido de su presentación, ya que el alumno de acuerdo al interés que muestre lo podrá emplear o consultar en libros de matemáticas donde el tema es desarrollado con mayor profundidad.
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.14 Algunos elementos básicos de las Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones matemáticas aplicados en la Actualizado en diciembre de 2007 estadística
2
SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS SUMATORIA SIMPLE Si el alumno desarrolla los ejercicios que se presentan en este tema, será una valiosa ayuda en el aprendizaje de la estadística, en especial para la aplicación y desarrollo de las fórmulas, así como en el uso de las propiedades, que luego serán utilizadas en muchas de las unidades que contiene el libro. Nos encontramos frecuentemente en estadística con la suma de un gran número de términos. Con el fin de simplificar, es indispensable indicar mediante un símbolo dicha suma. Supongamos que se tienen seis números y deseamos sumarlos. S = 7 + 10 + 12 + 18 + 13 + 5 = 65 Lo anterior lo podemos generalizar y anotar, empleando para ello un simbolismo algebráico. S = a + b + c + d + e + f Donde a, b, c,…., toman los respectivos valores de: 7, 10, 12…., hasta completar los sumandos, que en este caso corresponde a seis. Cuando el número de sumandos se hace bastante grande, nos encontramos en dificultad al usar las letras del alfabeto, de ahí que se prefiera la notación n para reunir en una sola cantidad la totalidad de los sumandos.
Así, esta suma: 654321 XXXXXX +++++ La podríamos escribir ∑=
6
1iiX
Por convención se ha adoptado la letra S del alfabeto griego, es decir, sigma (ΣΣΣΣ), que se lee sumatoria, para indicar la suma de n términos.
Entonces: 654321
6
1XXXXXXX
ii +++++=∑
=
En algunos casos se podrá utilizar la letra i en vez de iX . Si generalizamos, tenemos la
siguiente expresión: ∑=
n
ii
1 donde:
n: límite superior de la sumatoria i: elemento genérico de la sumatoria
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3
Σ: sumatoria i = 1: límite inferior de la sumatoria Lo anterior, en conjunto, se lee “sumatoria de i = 1 hasta n de i”. En el caso de utilizar a iX observamos que i es la que toma valores desde el límite inferior hasta el límite superior. Como en este caso el límite superior es 6, resultará:
654321 ,,,,, XXXXXX y la sumatoria sería:
654321
6
1XYXXXXX
ii +++++=∑
=
Esta es la solución que le daríamos a esa sumatoria de iX . Sin embargo, cada iX , toma un valor, de acuerdo con las observaciones hechas, (en nuestro caso, los numerales 7, 10, 12, 18, 13, 5, respectivamente). Entonces, reemplazando cada iX por su valor correspondiente, la solución a dicha sumatoria sería:
6551318121076
1=+++++=∑
=iiX
Cuando la sumatoria tiene el término i como elementos genérico, se está indicando que i toma todos los valores, en forma continua, desde el límite inferior hasta el superior.
nin
i+++++=∑
=......4321
1
Así, por ejemplo, siendo el límite superior 6 y el inferior 1, se tendrá:
216543216
1=+++++=∑
=i
i
Sin embargo, se puede operar con un límite inferior diferente a uno:
25765437
3=++++=∑
=ii 3598765
9
5=++++=∑
=ii
También se pueden cambiar los símbolos empleados como elementos genéricos de la suma:
4321
4
1AAAAA
ii +++=∑
= 4321
4
1YYYYY
ii +++=∑
=
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4
En vez de i se podrá emplear otro símbolo, por ejemplo j:
1043214
1=+++=∑
=jj 5432
5
2AAAAA
jj +++=∑
= 8765
8
5YYYYY
jj +++=∑
=
Veamos otras operaciones sobre sumatorias simples:
a. 28825627414321 43214
1=+++=+++=∑
=i
ii
b. 301684222222 43214
1=+++=+++=∑
=i
i
c. 30169414321 22224
1
2 =+++=+++=∑=i
i
d. [ ] ( ) 100104321 222
4
1==+++=
∑=i
i
Es necesario observar que 2
3
1
3
1
2
≠ ∑∑== ii
ii ; si desarrollamos la primera expresión el
resultado será: ( ) 14321 222 =++ y en el segundo caso será ( ) 366321 22 ==++ ; el alumno fácilmente puede confundir las dos expresiones. Propiedades de la sumatoria Además de que el signo de la sumatoria sea el más utilizado en las operaciones de estadística, las propiedades de la sumatoria tienen su importancia al ser casi las mismas propiedades que presenta la media aritmética y, como tal, se volverá a ver en las medidas de posición. La sumatoria de una constante k, desde uno hasta n, es igual a n veces la constante:
nKKKKKKn
i=++++=∑
=.....
1 Ejemplo: 8)2(422222
4
1==+++=∑
=i
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5
Se debe tener en cuidado al generalizar que nKKn
i=∑
=1 ya que sólo se cumple cuando el
límite inferior es uno. Si es diferente a uno se procederá en la siguiente forma:
6543
6
3AAAAA
ii +++=∑
= Si KA =3 ; KA =4 ; KA =5 ; KA =6
Entonces, al reemplazar iA por K , será igual a: KKKKKKi
46
3=+++=∑
=
Ahora siendo 2=K , se tendrá: ( ) 824222226
3==+++=∑
=i
Que equivale a: ( )[ ] 8)2(4)2(13626
3==+−=∑
=i
Otro ejemplo: ( )[ ] 48)8(6)8(1510810
1==+−=∑
=i
La sumatoria del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable.
).....321()(.....)3()2()1(1
nKnKKKKKin
i++++=++++=∑
= ∑∑
===
n
i
n
iiKKi
11
( ) ( ) ( ) ( ) 301086425232221225
1=++++=+++=∑
=ii
Siendo igual a la expresión de: 30)15(2)54321(225
1==++++=∑
=ii
Otro ejemplo: 264)33(8)876543(8888
3
8
3==+++++== ∑∑
== iiii
La sumatoria de dos o más variables, es igual a la suma de las sumatorias de cada una de las variables (ley distributiva):
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6
( ) ( ) ( ) ....2221113
++++++=++∑=
ZYXZYXZYXn
iiii
Siendo: ( ) ∑∑∑∑====
++=++n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii ZYXZYX
1111
∑∑∑∑====
+−=+−=−4
1
4
1
24
1
24
1
2 )36(4244)36244()62(i
iiii
Ziiii
144)4321(24)4321(4 2322 ++++−+++= 24144240120144)10(24)30(4 =+−=+−= Fórmulas especiales sobre sumatorias Existen algunas fórmulas “especiales” que proporcionan el valor de la suma de n números, comprendidos entre 1 y n, inclusive.
2)1(
1
+=∑=
nni
n
i
Ejemplo 1.
551098765432110
1=+++++++++=∑
=ii
552
1102
)11(102
)110(1010
1===+=∑
=ii
6)12()1(
1
2 ++=∑
=
nnni
n
i
Ejemplo 2.
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7
38510987654321 222222222210
1
2 =+++++++++=∑=i
i
3856
)21(1106
)120()110(1010
1
2 ==++=∑=i
i
( )
+=∑= 2
1 2
1
3 nni
n
i
Ejemplo 3.
22554321 333335
1
3 =++++=∑=i
i
( ) 22515230
2)15(5 2
225
1
3 ==
=
+=∑=i
i
EJERCICIOS RESUELTOS Desarrollo de algunos ejercicios de sumatoria.
1) 1043214
1=+++=∑
=ii 2) ∑
==++=
3
1
2222 14321i
i
3) 2276547
4=+++=∑
=ii 4) ∑
==++=
4
2
2222 29432i
i
5) 12)6(2)321(2223
1
3
1==++== ∑∑
== iiii 6) 30)3(5)2(5)1(55
3
1=++=∑
=ii
7) ∑=
=++=3
1
321 32321i
ii 8) ∑=
=+++=4
1
4321 3022222i
i
9) ∑=
+++++=6
1654321
ii XXXXXXX 10) ∑
=+++=
5
25432
jj XXXXX
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8
11) ∑=
=×==+++=4
18)42(822222
i
12) ∑=
=+++++=+3
112)23()22()21()2(
ii
13) [ ] 366321 222
3
1==++=
∑=i
i ∑ ∑ ∑= = =
=+++=+=+3
1
3
1
3
1126)321(2)2(
i i iii
Escriba en forma explícita las sumas representadas por cada una de las siguientes expresiones:
14) ∑=
6
2iiX 15) 2
3
1)2( −∑
=iiX 16) ∑
=+
5
2)7(
jjY
17) ∑=
9
7
2
jjX 18) i
ii XX )3(
4
1+∑
= 19)
27
1
∑=i
iX
Solución: 14) 65432
6
2XXXXXX
ii ++++=∑
=
15) ( ) ( ) ∑∑∑∑====
+−=+−=−3
1
3
1
23
1
23
1124442
ii
ii
iii
ii XXXXX
( ) ( ) 124 321
23
22
21 +++−++= XXXXXX
16) ( ) ( ) 28287 5432
5
2
5
2++++=+=+ ∑∑
==YYYYYY
ji
jj
17) 29
28
27
9
7
2 XXXXj
j ++=∑=
18) ( ) ( ) ∑∑∑∑====
=+=+=+4
1
4
1
24
1
24
1333
ii
ii
iiii
ii XXXXXX
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9
( ) ( )432124
23
22
21 3 XXXXXXXX +++++++=
19) ( )27654321
27
1XXXXXXXX
ii ++++++=
∑=
Escriba cada una de las siguientes expresiones, utilizando un signo de sumatoria, con los límites de sumación y límites adecuados: 20) 4321 XXXX +++ 22) 2
423
22 XXX ++
21) ( ) ( ) ( )[ ]2543 444 −+−+− XXX 23) 2
132
122
112
102
9 YYYYY ++++
Solución: 20) ∑=
=+++4
14321
iiXXXXX
21) ∑=
=++4
2
224
23
22
iiXXXX
22) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2
5
3
2
543 4444
−=−+−+− ∑=i
iXXXX
23) ∑=
=++++13
9
2213
212
211
210
29
iiYYYYYY
Si 31 =X , 92 =X , 73 −=X , 34 −=X , calcule el valor numérico de las siguientes expresiones:
24) ( )24
21∑
=+
iiX 25) ( )∑
=+
3
17
iii XX
Solución: siendo 31 =X 92 =X 73 −=X 34 −=X
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10
24) ( ) ( ) 3)(2)(32121 43224
23
22
4
2
4
2
224
2
224
2++++++=++=++=+ ∑∑∑∑
====XXXXXXXXXXX
ii
ii
iii
ii
[ ] ( ) ( ) 140321393)1(29498133792)3()7(9 222 =+−=+−+++=+−−+−+−+=
25) ( ) ( ) ( ) ( )32123
22
21
3
1
23
1
3
1
23
17777 XXXXXXXXXXXX i
ii
iiii
iii ++−++=−=−=− ∑∑∑∑
====
[ ] 10435139)5(7)49819()793(7)7(93 222 =−=−++=−+−−++= Si 81 =X 42 =X 43 =X 04 =X Calcule:
26) 24
2)3(∑
=+
iiX 27) 2
4
2)(∑
=−
ii aX , donde
4
4
1i
iX
a∑==
Solución:
26) ( ) ∑ ∑∑∑= ===
++=++=+4
2
4
2
24
2
224
227696)3(
i iii
iii
ii XXXXX
27)(6)( 432
24
23
22 ++++++= XXXXXX
10727483227)044(6)01616( =++=++++++=
27) ( ) ∑ ∑∑∑= ===
+−=+−=−4
1
4
1
224
1
2224
1422)(
i iii
iii
ii aXaXaaXXaX
2
432124
23
22
21 4)(2)( aXXXXaXXXX ++++−+++=
24)0448(2)0161664( aa ++++−+++=
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11
44
164
044844
4321
4
1 ==+++=+++==∑= XXXX
X
ai
i
Reemplazamos a por su valor de 4. Igual a
321281606412896)4(4)16)(4(296 2 =−=+−=+− En los ejercicios siguientes, supóngase que se da un conjunto de números:
nXXXX .,,.........,, 321 y que
n
X
ai
n
i∑== 1 Demuestre las relaciones siguientes:
28) [ ]n
X
XaXaXi
n
in
ii
n
iii
2
1
1
2
1
2 2)3(
+=−−∑
∑∑=
==
29) ( ) ( )[ ] naXaXaXi ii −=−++− ∑∑ 22 1
30) ( )[ ] ∑∑==
=+−n
jj
n
jjj XaaXX
1
2
1
2
31) ( ) 11 222 +−=
+− ∑∑ naX
naX ii
Solución: nX
a i∑= ; ∑= iXan
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12
28) [ ]n
X
XaXaXi
n
in
ii
n
iii
2
1
1
2
1
2 2)3(
+=−−∑
∑∑=
==
( )∑=
−+−n
iiii aXaaXX
1
22 296 ( )∑=
+−=n
iii aaXX
1
22 98 ∑ ∑= =
+−=n
i
n
iii anXaX
1 1
22 98
∑=
+−=n
ii ananaX
1
22 9)(8 ∑=
+−=n
ii naaX
1
222 98 ∑=
+=n
ii naX
1
22
Reemplazando a: ∑= iXan , se tiene que: 2
2
1
1
2
n
X
Xi
n
in
ii
+∑
∑=
=
n
X
Xni
n
in
ii
2
1
1
2
+=∑
∑=
=
29) ( ) ( )[ ] naXaXaX iii −=−+−∑ 22 1 [ ]∑ −++− iiii XaXaaXX 22 2 ∑∑∑ ∑ −++−= iiii XXanaXaX 22 2 ∑ −++−= anananaanaX i )()(2 22 ∑ −++−= annananaX i
2222 2 ∑ −= anX i
2
30) ( )[ ] ∑∑==
=+−n
jj
n
jjj XaaXX
1
2
1
2
[ ] ∑ ∑ ∑∑ ∑∑= = == ==
=+−=+−=+−=+−n
j
n
j
n
jjjj
n
j
n
jjj
n
jjj XnanaXnaanaXnaXaXaaXX
1 1 1
2222222
1 1
2
1
22 )(
31) ( ) 11 222 +−=
+− ∑∑ naX
naX ii
nnnaXaX
naaXX iiii ++−=
++− ∑∑∑ 2222 212
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1)(2 22 ++−=∑ naanaX i 112 22222 +−=++−= ∑∑ naXnanaX ii EJERCICIOS MISCELÁNEOS
32) ( )∑=
+5
11
ii 33) ( )∑
=++
4
182
iii 34) ∑
=+
6
1
2)85(i
i
35) 2
3
13
+
∑=i
iX 36) ∑=
+4
18
iiX 37)
26
1
∑=i
iX
38) ∑=
+6
1
2)3(i
iX 39) ∑=
5
1ii 40) ∑
=
6
32
ii
41) ∑=
−5
1)23(
ii 42) ∑
=−
4
1
2)23(i
i 43) ∑=
−5
1)22(
i
ii
44) ∑=
−10
1)2(
ii 45) ∑
=+−
4
1)52(
iii 46) ∑
=−+
5
1)11()1(
ii
47) 2
6
1
6
1
2
− ∑∑== i
ii
i XX 48)
− ∑∑∑
===
6
1
6
1
6
1 ii
ii
iii YXYX
Nota: considere los valores de iX y iY para los ejercicios: 4, 5, 6, 7, 16 y 17.
81 =X 02 =X 53 =X 24 =X 35 =X 46 =X
21 =Y 32 =Y 63 =Y 24 =Y 75 =Y 56 =Y Solución:
32) 20515)1(5)54321(15
1
5
1=+=+++++=+∑ ∑
= =i ii
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33) 623210)10(2)8(4)4321()4321(2824
1
4
1
4
1=++=++++++++=++ ∑∑∑
=== iiiii
34) ∑∑∑∑====
++=++6
1
6
1
6
1
26
1
2 648025)648025(iiii
iiii
)64(6)654321(80)654321(25 222222 ++++++++++++= 339.4384)21(80)91(25 =++= 35) ( )[ ] [ ] 2561635083 222
321 ==+++=+++ XXX 36) ( ) ( ) 238250884321 =++++=++++ XXXX 37) ( ) ( ) 48422432508 222
654321 ==+++++=+++++ XXXXXX 38) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
62
52
42
32
22
1 333333 +++++++++++ XXXXXX ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222 343332353038 +++++++++++ 3044936256491217658311 222222 =+++++=+++++ 39) 1554321 =++++ 40) 36121086)6(2)5(2)4(2)3(2 =+++=+++
41) 35104510)15(3)2(5)54321(3235
1
5
1=−=−=−++++=−∑∑
== iii
42) ∑∑∑∑====
+−=+−4
1
4
1
4
1
24
1
2 29)4129(iiii
iiii µ
16)10(2)70(9)4(4)4321(2)4321(9 2222 +−=++++−+++= 6261620630 =+−= 43) 54321 )22()22()22()22()22( −+−+−+−+− iiiii
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )54321 2)5(22)4(22)3(22)2(22)1(2 −+−+−+−+−= 54321 )8()6()4()2()0( ++++= 132.34768.32296.16440 =++++=
44) )210()29()28()27()26()25()24()23()22()21( −+−+−+−+−+−+−+−+−+− 353618765432101 =+−=+++++++++−
45) 3020)4321()4321(2524
1
4
1
4
1=++++−+++=+− ∑∑∑
=== iiiii
(Se hubiera podido eliminar la segunda sumatoria)
46) 60555)1(5)54321()1( 222225
1
5
1
25
1
2 =+=+++++=−=− ∑∑∑=== iii
iii
47) )()( 654321
26
25
24
23
22
21 XXXXXXXXXXXX +++++−+++++
)432508()432508( 222222 +++++−+++++= 962211822)16942564( =−=−++++= 48) )()()()()()()()( 654321654321665544332211 YYYYYYXXXXXXYXYXYXYXYXYX ++++++++++−+++++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]572632432508)5(4)7(3)2(2()6(5)3(0)2(8 ++++++++++−+++++= [ ] [ ] 45955091)25(222021430016 =−=−+++++=
PRODUCTORIA Se utiliza la letra griega pi mayúscula (π ), que se lee “producto de”, para designar al elemento genérico del producto, que puede ser i, escribiéndose debajo y encima de pi los valores extremos (límites inferior y superior) que toma dicho elemento i. Así:
nin
i........4.3.2.1
1=Π
= ⇔ 1205.4.3.2.1
5
1==Π
=i
i
369.4.13.2.1 22223
1===Π
=i
i ⇔ 363.2.1 2222
3
==Π=
jji
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4321
4
1... XXXXX i
i=Π
= ⇔ ni
n
iXXXXX ............. 321
1=Π
=
La productoria es utilizada para calcular la media geométrica. PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA Como en el caso de la sumatoria, también se deben tener en cuenta algunas propiedades de la productoria.
El producto de una constante es igual a una potencia, en donde la base es la constante y el exponente es el límite del producto.
nn
iKKKKKK ==Π
=.................
1 n
n
iKK =Π
=1 Ejemplo: 822.2.22 3
3
1===Π
=i
El producto de una constante por una variable es igual a la constante elevada al límite superior por la productoria de la variable:
Π=Π== i
n
i
ni
n
iXKKX
11
i
n
i
nnni
n
iXKXXXXKKKKXKXKXKXKX
1321321
1)........(.....)..()).....()(((
==Π===Π
[ ] 48)6(83.2.18223
1
33
1===Π=Π
==ii
ii
Π
Π
Π=Π==== i
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iZYXZYX
1111
ΠΠ=
ΠΠ==== i
n
j
n
ii
n
i
n
jXX
1111
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EJERCICIOS RESUELTOS
49) 6444 33
1==Π
=i 50) 384)321(6444
3
1
33
1=××=
Π=Π==
iiii
51) [ ] [ ]43214321
4
1
4
1
4
1
4
1...... YYYYXXXXYXYXYX ii
ii
ii
iii
i=Π=
Π
Π=Π====
SÍMBOLOS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS No se puede entender la estadística sin conocer la manera en que se llevan a cabo las distintas operaciones aritméticas y los símbolos que se utilizan en su estudio. En numerosas ocasiones se presentan serias dudas en cuanto a la manera de hacer ciertas operaciones, para ello se mencionan algunas reglas que se deben tener en cuenta. Regla para las operaciones aritméticas Para evitar confusión se han adoptado ciertas reglas sobre el orden en que se han de realizar las distintas operaciones. Entre otras tenemos:
El orden en que se suman los números no afecta el resultado de la suma. Es lo mismo sumar 6 + 4 + 2 que 4 + 2 + 6, que 2 + 6 + 4, etc. El resultado será siempre 12. En símbolos será: a + b + c = a + c + b = c + b + a = c + a + b = b + a + c = b + c + a
El orden en que multiplican los números no afecta el resultado. Es lo mismo multiplicar 256 ×× ; 265 ×× que 562 ×× , etc. El resultado será siempre 60.
Si se van a realizar tanto operaciones de multiplicación como de suma o de resta, la multiplicación debe realizarse primero, a menos que se indique lo contrario por medio de paréntesis, corchetes o algún símbolo de agrupación. Aclaremos lo anterior con algunos ejemplos:
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52) 1032010173545217 =+−+=+×−×+ 53) 1528119)35()45()217( =××=+×−×+ 54) 192841212043726)815( =+−=××+×−× 55) 760.2)423()215(4)372()68(15 =××=××+×−× Si van a realizarse tanto operaciones de división como de suma o resta, la división debe realizarse primero a menos que se indique lo contrario por medio de paréntesis, corchetes u otro símbolo de agrupación. 56) 3526835221243235 =++−=+÷+÷− 57) 8,3322,33521032352)2124(3235 =+−=+÷−=+÷+÷− Cuando van a realizarse operaciones de multiplicación y división debe clasificarse la expresión por medio de paréntesis o algún otro símbolo de agrupación para evitar ambigüedad en la expresión. 58) 8648)212(48 =÷=÷÷ 2242)1248( =÷=÷÷ 59) 81296)43(96 =÷=×÷ 1284324)396( =×=×÷ Las expresiones 21248 ÷÷ y 4396 ×÷ son ambiguas. Los distintos signos de agrupación como paréntesis ( ), corchetes [ ], y llaves { }, deben usarse para indicar que lo incluido dentro de ellos debe tratarse como si fueran un solo número. Es conveniente, calcular primero el valor de la expresión que está dentro del paréntesis. 60) 625)25(25)227(25 ==−
61) 1385540
840
51
8140 =+=+=
+
Simbólicamente:
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a (b + c + d) = ab + ac + ad. Se llama a esta relación la ley distributiva y significa que la relación que a tiene con la expresión en paréntesis se distribuye entre todos los términos del paréntesis.
La barra de una fracción tiene el mismo efecto que un paréntesis: en este caso, tanto el numerador como el denominador se considera como un solo número.
62) 11515
123105 ==+
+ 63) 421
43
424
4324 =−=−
Debe tenerse en cuidado especial con las cancelaciones. Sería incorrecto calcular la expresión anterior en la siguiente forma:
364
3426
−=/−/
Un signo de radical tiene el mismo efecto de un paréntesis. Esto es, la expresión del radical se considera como un solo número. Las operaciones dentro del radical deben realizarse antes de extraer la raíz. EJERCICIOS PARA RESOLVER Y RESPUESTAS 64) Identifique los siguientes símbolos: a. ≠ b. = c. > d. < e. ≥ f. ≤ g. ≅ h. ( ) i. [ ] j. { } k. ⇔ l. ⇒ Respuesta: a. Diferente b. Igual c. Mayor que d. Menor que e. Mayor igual f. Menor igual g. Aproximado h. Paréntesis i. Corchete j. Llave k. Equivale l. Implica
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65) Operaciones con números naturales Resta: a. 856.6905.7 −
b. 292.1002.2 − c. 698.1303.7 − d. 253.6335.8 −
Producto: a. 315228.1 ×
b. 003.2672.245.3 × c. 003.1567.234.1 ×
Cocientes: a. 14824÷
b. 26245.7 ÷ c. 756.8654.987.1 ÷
Potenciación: a. 36 b. 63 c. 53 23 ÷ d. 96 39 −
e. 23 47 − f. 22 34 + g. 37 36 − ; Raíz cuadrada de: a. 841 b. 201.10 c. 016.254 Respuesta: Resta: a. 049.1 b. 710 c. 605.2 d. 082.2 Producto: a. 820.386 b. 016.081.501.6 c. 701.270.238.1 Cociente: a. 857,58 b. 65,287 c. 0,277 Potenciación: a. 216 b. 729 c. 84375,0 d. 758.511 e. 327 f. 25 g. 909.279 Raíz cuadrada: a. 29 b. 101 c. 504 66) Operaciones con racionales (fracciones)
Simplificar: a. 3628 b.
9654 c.
833539
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Amplificar: a. 4?
21 = b.
12?
32 = c.
39?
131 =
Suma: a. 6411
85 + b.
492
21
213 ++ c.
9713
6512 +
Resta: a. 101
53 − b.
401
81
21 −− c.
327
619 −
Multiplicación: a. 9
1054 × b.
107
65 × c.
922
415 ×
División: a. 32
65 ÷ b.
136
9172 ÷ c.
413
736 ÷
Respuesta:
Simplificar: a. 97 b.
169 c.
1711
Amplificar: a. 42 b.
128 c.
393
Suma: a. 6451 b.
058.2407.1 c.
54437.1
Resta: a. 105 b.
4014 c.
69
Multiplicación: a. 4540 b.
6035 c.
36420
División: a. 1215 b.
546936 c.
172630
67) Operaciones con números irracionales
Suma: a. 575856 ++ b. 8416
318268
81 ++++
Resta: a. 3437 − b. 552511 −−
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Multiplicación : a. 6.3 b. 7.5.2
División: a. 68 ÷ b. 560 ÷ c. 2023500
53 ÷
Respuesta:
Suma: a. 521 b. 6348
819 +
Resta: a. 33 b. 58 Multiplicación : a. 18 b. 170
División: a. 68
6
8 = b. 12 c. 25126
68) Regla de los signos: a. )()( ++ b. )()( −− c. )()( −+ d. )()( +− Respuesta: a. + b. + c. – d. – 69) Productos notables Resolver los siguientes productos: a. 2)( ba + b. 2)( ba − c. 3)( ba + d. 3)( ba − e. 3)43( +y f. )12()12( −+ xx Efectuar los siguientes productos: a. )3)(2( ++ aa b. )710)(69( −+ xy Descomponer en un producto de dos factores: a. 862 ++ xx b. 652 +− aa c. 8452 −− xx Completar los siguientes cuadrados de binomios: a. ...102 ++ xx b. 22 36... nm +− c. 4942... ++ x d. ...204 2 ++ aa
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Respuestas: Resolver los siguientes productos: a. 22 2 baba ++ b. 22 2 baba +− c. 3223 33 babbaa +++ d. 3223 33 babbaa −+− e. 6414410827 23 −+− yyy f. 14 2 −x Efectuar los siguientes productos: a. 652 ++ aa b. 42636090 +−+ yxxy Descomponer en un producto de dos factores: a. ( ) ( )24 ++ xx b. ( ) ( )23 −− aa c. )7)(12( +− xx Completar los siguientes cuadrados de binomios: a. 25102 ++ xx b. 22 3672 nmnm +− c. 49429 ++ xx d. 25204 2 ++ aa 70) Eliminar paréntesis: a. )13(4 −+ b. 11)2114( +−+ c. )2()3( xx −−+ d. )22(3)5( yxxy −−++ Respuesta: a. 6 b. 24 c. 12 +x d. 333 ++ xy 71) Redondear hasta la décima cada uno de los números siguientes: a. 76,425 b. 009,006.3 c. 67,25 d. 76,0 e. 076,0 f. 009,0 g. 43,8 h. 05,0 i. 835,374.4
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Respuesta: a. 8,425 b. 0,006.3 c. 7,25 d. 8,0 e. 1,0 f. 0,0 g. 4,8 h. 1,0 i. 8,374.4
72. Escribir el signo apropiado (>, <) a. 6,1...4 b. 6...3 − c. 23...57 + d. 32...5,1
Respuesta: a. > b. > c. > d. > RAZONES Y PORCIENTOS Para facilitar el análisis y la interpretación de datos estadísticos se utilizan con frecuencia razones y porcentajes. Una razón es una comparación de una magnitud con otra, como múltiplo o como fracción. Supongamos que la empresa A tiene 789 trabajadores, de los cuales 526 son mujeres y 263 varones. La relación existente entre los trabajadores mujeres y trabajadores varones podría expresarse por medio de la fracción 526/263. Esta fracción no aclararía gran cosa. Podría decirse también que es una razón de 526 a 263. Esto tampoco aclararía mucho. Si se dice, sin embargo, que el número de mujeres que trabajan en la empresa A llevan ventaja a los hombres en una proporción de dos a uno, tenemos realmente una cifra que nos ayuda en la interpretación de los datos. Con frecuencia se expresan las razones usando una base de 100, o múltiplo de 10. Se prefiere decir 200/100 o 200 a 100, en vez de 400/200 o 400 a 200. Los cuatro conceptos indican lo mismo, pero se hace más fácil entender las razones cuya base es 100. Una forma especial de este tipo de razón es el porciento. En el ejemplo anterior podríamos decir que el número de empleados mujeres es 200% del número de empleados varones. Cuando las razones se expresan en forma de porcentajes se facilita la comparación. En el ejemplo anterior podríamos comparar el porcentaje de varones en esta empresa con el porcentaje de varones en otras empresas. USO DE PORCENTAJES Los porcentajes pueden usarse en diferente forma al establecer comparaciones. Algunas formas son las siguientes:
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Comparación de una parte con el total. En este caso se comparan los diferentes componentes de un total. Así podría indicarse que en un almacén las ventas del departamento de ropa para mujeres representaron el 42% del total, mientras que las ventas del departamento de muebles representaron el 23% de dicho total. La suma de los porcentajes que representaron las ventas en cada departamento es de 100%. Comparación de dos partes de un total. Consiste en establecer la comparación entre dos componentes de un total, Podría así decirse que las ventas en el departamento de ropa para mujer fueron el 183% de las ventas del departamento de muebles. Podría también decirse que las ventas del departamento de ropa para mujer fueron 83% mayores que las ventas del departamento de muebles, o que las ventas del departamento de muebles representaron únicamente el 55% de las ventas del departamento de ropa para mujer. La forma en que se hace la comparación depende del análisis que quiere dársele a las distintas partidas. Comparación de un total con otro total. Pueden establecerse comparaciones entre las ventas de una empresa y las ventas de otra empresa. Podría indicarse, por ejemplo que las ventas de la empresa A son el 75% de las ventas de empresa B. CORRECTO USO DE LOS PORCENTAJES Aunque el uso de los porcentajes está muy generalizado, muchas veces se establecen comparaciones que no se justifican y que dan impresiones erróneas. Esto sucede a pesar de la corrección del cálculo aritmético. En el uso de los porcentajes deben evitarse los siguientes errores: Comparación entre dos cifras cuando la base y la magnitud a comparar son pequeñas. El ejemplo clásico de esto es el de la universidad que admitió señoritas por primera vez a sus planteles. Poco tiempo después se indicaba que el 33,3% de las estudiantes admitidas se casaban con profesores de la facultad. Al examinar la declaración con más detalle se encontró que solamente, se habían admitido tres estudiantes y que una de ellas se había casado con uno de los profesores. No hay duda de que el cálculo de porcentajes en esta forma tiende a producir una impresión completamente errónea debido al número tan pequeño de estudiantes consideradas. Generalmente no se deben calcular porcentajes cuando la base a usarse es menor de 100. Comparación de cifras usando base demasiado pequeñas. En otras palabras, no deben establecerse comparaciones cuando la base es muy pequeña, ya que el porcentaje resultará tan grande que dificultará la comparación en vez de facilitarla.
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Si una persona indica que el capital de una empresa aumentó en 1.355% durante los últimos 15 años, no está realmente simplificando y aclarando. Esto más bien sirve para oscurecer la realidad. Comparación de cifras usando bases demasiado grandes. Esta es la situación contraria de la mencionada anteriormente. Si se quiere indicar la posición de un grupo profesional u ocupacional dentro de la población total y se dice que este grupo representa una décima parte del 1% de la población en un país y que en otro país este grupo ocupacional representa 3/10 del 1% de la población total, no se está haciendo una comparación que puede captarse con facilidad. En este caso sería mejor usar las cifras absolutas de ambos países. Comparación de los cambios en porcentajes olvidando referirse a las bases de los mismos. No se pueden comparar los cambios en porcentajes sin referirse a la base sobre la cual éstos están calculados. Si las ventas en el departamento de ropa para hombres en una tienda aumenta en 40% sobre una base de $20.000.000,oo y las ventas del departamento de muebles de la misma tienda bajan un 40% sobre una base de $100.000.000,oo, no se puede suponer que estos dos porcentajes se cancelan uno a otro y que no ha habido disminución en las ventas totales. Al considerar los dos departamentos unidos, se notará que las ventas disminuyeron en $32.000.000,oo, resultado de un aumento de $8.000.000,oo en el departamento de ropa para hombres y una disminución de $40.000.000,oo en el departamento de muebles. Uso de porcentajes olvidando los cambios en las magnitudes. Deben observarse los cambios en las magnitudes, ya que en ocasiones los porcentajes pueden aclarar, mientras que en otros casos pueden confundir. Si el precio de un artículo aumenta de $360.000 a $480.000 en un mes, la declaración de que este aumento de sólo $120.000 no es sustancial, es contraria al hecho de que el aumento es de 33,33%, relativamente grande, si se considera la importancia de este artículo en la canasta familiar o artículos de primera necesidad. Por otro lado, una firma comercial que ha operado por dos años, indica que sus beneficios aumentaron en 100% entre estos dos años. Dicho porcentaje puede ocultar el hecho de que las utilidades del primer año fueron mínimas y que el aumento entre ambos años es ínfimo en términos absolutos. ALGUNAS RAZONES QUE SE USAN COMÚNMENTE Razones per-cápita. Muchas cifras adquieren mayor significación cuando se expresan en términos de per-cápita, esto es, por cabeza o persona. Por ejemplo, un país A importó de Estados Unidos mercancía
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por valor de $802,4 millones. En ese mismo año las importaciones de un país B provenientes de los Estados Unidos ascendieron a $547,6 millones. La población del país A en esa fecha era de 34,3 millones mientras que la del país B ascendía a 6,4 millones. Dividiendo las importaciones entre la población de los países, encontramos que, en términos per-cápita del país A ascendieron a US$23.39 (US$802,4 millones ÷ 34,3 millones) mientras que las del país B ascendieron a US$81,73 (US$547,6 millones ÷ 6.7 millones) Densidad de población. En ocasiones resulta más interesante comparar la densidad poblacional de dos países en lugar de su población total. El estimado de la población a mediados de año de un país A ascendió a 94.050.000 personas. La misma cifra para un país B fue de 3.500.000. La densidad poblacional de A en ese año era de 254 personas por kilómetro cuadrado, ya que su superficie es de 369.661 kilómetros cuadrados. Con una superficie de 1.096.581 kilómetros cuadrados, la densidad poblacional de B fue en ese año de 3 personas por kilómetro cuadrado. Tasas de natalidad y mortalidad. La tasa de natalidad se obtiene dividiendo el número de nacimientos en un año, por la población de mitad de año del país. A julio de 2007, la población en un país cualquiera, supongamos, ascendía a 20 millones de personas. Durante ese año considerado hubo un total de 662.884 nacimientos. La tasa de natalidad fue de 33,14 nacimientos anuales por cada 1.000 habitantes (662.884 ÷ 20.000.000 = 0,03314 × 1.000 = 33,14). En ese mismo año hubo un total de 169.000 muertes. La tasa de mortalidad se calcula en la misma forma que la tasa de nacimientos, esto es, dividiendo las muertes ocurridas en el año por la población a mediados de año. La tasa de mortalidad fue de 8,4 personas por cada 1.000 habitantes (169.000 ÷ 20.000.000 × 1.000). La diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad, representa el crecimiento natural biológico o vegetativo de la población. En se mismo año este crecimiento fue de 23,0 personas por cada 1.000 habitantes. Las tasas de desempleo representan el número de desempleados por cada 100 personas, del grupo económicamente activo. El grupo trabajador es la suma de los empleados y desempleados. Supongamos que en abril de 2007 el grupo trabajador en un país A ascendía a 6.000.000 de personas. De este total había 5.100.000 empleados y 900.000 desempleados. La tasa de desempleo fue de 15,0%.
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SISTEMAS DE ECUACIONES Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Cuando tenemos dos o más ecuaciones con el mismo número de incógnitas, lo denominamos sistema de ecuaciones. Los valores o raíces de las ecuaciones deben ser los mismos para todo el sistema. Para resolver sistemas de ecuaciones se puede emplear cualquiera de los tres métodos siguientes:
a. Igualación b. Sustitución c. Eliminación
SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS a. Método de igualación. La forma general será: (1) 0=++ cbyax (2) 0''' =++ cybxa Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones:
(1) a
bycX
−−=
(2) '
''a
ybcX
−−= “Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si”
'
''a
ybcabyc −−=−
)''()(' ybcabyca −−=−−
Quitamos denominadores, agrupamos términos semejantes, sacamos factor común, despejamos y yabacbyaca '''' −−=−− '''' accabyayab −=− '')''( accabaaby −=−
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baab
accay
''''
−−=
Para averiguar el valor de x reemplazamos el valor que hemos encontrado para y en cualquiera de las ecuaciones, (1) o (2).
(1) a
baabacca
bc
abyc
X
−−−−
=−−=''
''
( )
)''(''''''
''
baabaabcbcabcacab
abaabaccab
cX
−+−+−=−
−−−=
( )( ) baab
cbbcX
baabacbbca
X''''
''''
−−=∴
−−=
Anular valores sirve, igualmente para las dos ecuaciones, convirtiéndolas en una identidad al reemplazarlas por las incógnitas. Ejemplo numérico: (1) 12 =− YX (2) 113 =+ YX
(1) 2
1 YX += (2) YX 311−=
YY 3112
1 −=+ )311(21 YY −=+ 126 −=+ YY
→ YY 6221 −=+ 217 =Y 3=Y Reemplazando el valor del Y en la ecuación (2)
311−=X (3) 2911 =−=X
==
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XX
Raíces
b. Método de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método, se despeja una de las incógnitas en una ecuación y se reemplaza su valor en otra ecuación. (1) 0=++ cbyax
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(2) 0''' =++ cybxa
(1) a
bycX
−−= Reemplazar este valor de X en (2)
0''' =++
−−cyb
abyc
a
0''' =++
−−cyb
abyc
a Quitamos denominadores
( ) 0''' =++−− acyabbyca 0'''' =++−− acyabbyaca Agrupamos términos semejantes y sacamos factor común: '')''( accabaaby ==− Despejamos y
baab
accay
''''
−−=
Para encontrar el valor de la segunda incógnita, se sigue el mismo procedimiento que para el método de igualación, reemplazando en cualquiera de las ecuaciones el valor de Y. Ejemplo: (1) 42 =+ YX (2) 226 =− YX (1) XY 24−= Reemplazamos en (2) 2)24(26 =−− XX ; 2486 =+− XX ; 8246 +=+ XX ; 1010 =X ; 1=X Reemplazamos en 224)1(24 =−=−=Y c. Método de eliminación. Consiste este método en eliminar una de las incógnitas sumando ambas miembro a miembro. Para ello es necesario que los coeficientes de la incógnita a eliminar sean iguales y de signo contrario. (1) 0=++ cbyax
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(2) 0''' =++ cybxa Vamos a hacer los coeficientes de X en (1) y (2) iguales, multiplicando a a’ por un número tal que: a = k a’; a continuación multiplicamos por (-1) a la ecuación (2) y seguidamente sumamos miembro a miembro.
0=++ cbyax 0''' =−−− kckybkxa
0''' =−+−+− kcckybbykxaax 0)'()'()'( =−+−+− kcckbbykaax
kaa '− Sabemos que es igual a 0; quedará la ecuación:
0)'()'( =−+− kcckbby ckckbby −=− ')'( kbbckcy
''−
−=
Para averiguar el valor de la otra incógnita bastará reemplazar el valor obtenido para Y en cualquiera de las ecuaciones (1) o (2). Ejemplo: (1) 3=+ YX (2) 125 =− YX Vamos a eliminar X. (1) )3(5)(5 =+ yx En la (1) multiplicamos por 5: 1555 =+ yx Multiplicamos por (-1) 1555 −=−− yx Y la sumamos a la (2) (1) 1555 −=−− yx 125 =− yx
(2) 1470 −=− y 27
14 =−−=y
Para el valor de X reemplazamos en la (1) 32 =+x ; 123 =−=x Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Solución de ecuaciones completas, es decir, cuando constan de un término en segundo grado, otro en primer grado y el término independiente.
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Ecuación de la forma: 02 =++ cbxax
aacbb
x2
42 −±−=
NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES El frecuente uso de sistemas de ecuaciones con varias incógnitas y la dificultad en su solución recomienda emplear, hasta donde sea posible, un método uniforme para encontrar soluciones. El álgebra matricial nos permite el desarrollo de un método que tiene como característica principal, la de constituirse en un proceso que no se altera, cualquiera que sea el número de incógnitas o de ecuaciones, el mismo tiempo que proporciona información apropiada para decidir sobre la consistencia o compatibilidad del sistema y sus soluciones. En la solución de sistemas lineales (n ecuaciones con n incógnitas) existen dos métodos desarrollados por Gauss y Jordan, respectivamente, en los cuales se sistematiza el método de eliminación de incógnita, mediante continuaciones lineales de las ecuaciones del sistema final en el que cada ecuación contenga una sola incógnita, diferente en cada una de ellas. 64 321 =−+ XXX Ejemplo: 9752 321 −=−+ XXX 223 321 =+− XXX Desarrollo:
a b c
321 4 XXX −+
321 752 XXX −+
321 23 XXX +−
6 -9 2
aa =1 abb 21 −= acc 31 −=
321 4 XXX −+
32 530 XX −−
32 4140 XX −−
6 -21 -16
Primera etapa
)3/1(12 bb −=
321 4 XXX −+
32 350 XX ++
32 4140 XX −−
6 7
-16
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212 4baa −=
2b
212 14bcc +=
33230 XX −+
32 350 XX ++
338200 X++
-22 7
82
Segunda etapa
323 )3/23( caa +=
323 )3/5( cbb +=
3c
001 ++X 00 2 ++ X
300 X++
1 2 3
Tercera etapa
Las soluciones son: 11 =X 22 =X 33 =X Del anterior ejercicio podemos observar:
• El desarrollo consta de tantas etapas como incógnitas o ecuaciones se tengan. • El objetivo final de estas etapas consiste en transformar la matriz de los coeficientes
en la matriz unitaria. • Cada etapa tiene como objetivo la eliminación de una incógnita en todas las
ecuaciones salvo una, y será en esa ecuación donde se hallará el valor de esa incógnita.
El proceso de eliminación es el de reducción, simplificando. Para ellos se efectúan divisiones de modo que el coeficiente de la incógnita por eliminar sea el valor “1” en la ecuación que tiene dicha incógnita. Luego por simple multiplicación y adición o sustracción se elimina la incógnita deseada en las demás ecuaciones. EJERCICIOS PARA RESOLVER Y RESPUESTAS Resolver los sistemas de ecuaciones de primer grado 73) Por sustitución: a. 32 =− yx b. 2538 =+ yx 4534 =+ yx 135 =+ yx 74) Por igualación: a. 263611 =− yx b. 913521 =+ yx 34127 =+ yx 1773 =+ yx
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75) Por reducción: a. 117156 =+ yx b. 301213 =− yx 100135 =+ yx 7049 =+ yx Respuestas: 73) a. 6,6−=y b. 2=x 2,16=x 3=y 75) a. 1,95=x b. 1=x 9,3=y 2=y 74) a. 7=x b. 6=x 5=y 4=y SÍNTESIS DEL CAPÍTULO Tener una buena formación matemática es una gran ayuda y ventaja para entender la teoría estadística; sin embargo en el desarrollo de los diferentes capítulos que contiene este libro, su uso ha sido bastante restringido, sólo aplicado en aquellos casos en que son estrictamente necesarios, buscando que los temas sean más comprensibles para aquellas personas que tiene cierto grado de dificultad en esta disciplina. Es esa a razón por la cual se ha considerado necesario incluir un capítulo que contenga algunos aspectos, tales como: sumatorias y productorias; uso de símbolos y operaciones elementales; razones y porcientos; finalmente solución a ecuaciones de primer y segundo grado. Con ello el estudiante estará en condiciones de utilizar el presente contenido. Es recomendable al usar porcientos, tasas, proporciones, razones, ratios, un mayor conocimiento sobre sus aplicaciones y las diferencias que hay entre sí, ya que
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frecuentemente son mal utilizados, y desorientan al lector al hacer comparaciones en forma indebida. En algunos capítulos venideros, el estudiante va a tener necesidad de su uso, como por ejemplo en números índices; distribuciones de proporciones; pruebas de hipótesis con proporciones, como en el capítulo de probabilidades se dan resultados algunas veces en ralitivos y en otros porcentajes.
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