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Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”6
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
PÁGINA 125
48 ¿Qué valores deben tomar a y b para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones?
°¢£
3x + 2y = 5 ax + by = 15
Escribe tres soluciones del sistema.
Para que tenga infinitas soluciones, la segunda ecuación debe ser proporcional a la pri-mera.
Así: °¢£
3x + 2y = 5 ax + by = 15
8 a = 9 y b = 6
Soluciones: Damos valores a x para obtener puntos de la recta 3x + 2y = 5:
x = 1, y = 1; x = 0, y = 52
; x = –1, y = 4
49 ¿Qué condición deben cumplir c y d para que este sistema no tenga solu-ción?
°¢£
3x + 2y = c 6x + 4y = d
El sistema no tendrá solución cuando las dos rectas sean paralelas, es decir, cuando d ? 2c.
50 Resuelve este sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas y comprueba gráfica-mente su solución:
°§¢§£
2x + y = 1 x – y = 5 x + y = –1
☞ Halla la solución de las dos primeras ecuaciones y comprueba si verifica la tercera.
°§¢§£
2x + y = 1 x – y = 5 x + y = –1
°¢£
2x + y = 1x – y = 5
8 3x = 6 8 x = 2 8 y = 1 – 4 = –3
Comprobamos si se verifica la tercera ecuación: 2 + (–3) = –1
La solución del sistema es x = 2, y = –3.
■ Profundiza
51 Resolver por sustitución: °¢£
2x – y = 2 x 2 + y 2 = 52
Pág. 1
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
Despejamos y en la 1.ª ecuación y sustituimos en la 2.ª:
y = 2x – 2 8 x 2 + (2x – 2)2 = 52 8 5x 2 – 8x – 48 = 0 8
8 x = 8 ± √82 + 4 · 5 · 4810
= 8 ± 3210
x = 4x = –12/5
Si x = 4, y = 2 · 4 – 2 = 6.
Si x = – 125
, y = 2(– 125 ) – 2 = – 34
5.
52 Resuelve por sustitución.
a) °¢£
x – y = 2 x 2 – y 2 = 16
b) °¢£
x + y = 1 2x 2 – y 2 = 2
a) °¢£
x – y = 2 x 2 – y 2 = 16
8 °¢£
y = x – 2x 2 – (x – 2)2 = 16 8
8 x2 – x 2 + 4x – 4 = 16 8 4x = 20 8 x = 5 8 y = 3
Solución: x = 5, y = 3
b) °¢£
x + y = 1 2x 2 – y 2 = 2
8 °¢£
y = 1 – x 2x 2 – (1 – x)2 = 2 8
8 2x 2 – 1 + 2x – x 2 = 2 8 x 2 + 2x – 3 = 0 8
8 x = –2 ± √4 + 122
= –2 ± 42
x = 1x = –3
Si x = 1, y = 0.
Si x = –3, y = 1 – (–3) = 4.
53 La diferencia de dos números es 2, y la de sus cuadrados, 20. Halla esos núme-ros.
Los números son x e y.
°¢£
x – y = 2x2 – y2 = 20
8 °¢£
x = 2 + y(2 + y)2 – y2 = 20 8
8 4 + 4y + y2 – y2 = 20 8 4y = 16 8 y = 4 8 x = 6
Los números son 6 y 4.
54 La diagonal de un rectángulo mide 15 cm, y su perí-metro, 42 cm. Calcula sus lados.
°¢£
2x + 2y = 42x2 + y 2 = 152 8 °¢
£x + y = 21x 2 + y 2 = 225
8 x
y15
8 °¢£
y = 21 – xx 2 + (21 – x)2 = 225 8 x 2 + 441 – 42x + x 2 = 225 8
Pág. 2
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8 2x 2 – 42x + 216 = 0 8 x 2 – 21x + 108 = 0 8
8 x = 21 ± √441 – 4322
= 21 ± 32
x = 12x = 9
Si x = 12, y = 21 – 12 = 9.
Si x = 9, y = 21 – 9 = 12.
Los lados del rectángulo miden 9 cm y 12 cm, respectivamente.
55 El perímetro de un rectángulo es 68 m, y su área, 240 m2. Halla sus lados.
x
y
°¢£
2x + 2y = 68xy = 240
8 °¢£
x + y = 34xy = 240
8 °¢£
y = 34 – xx(34 – x) = 240 8
8 34x – x 2 = 240 8 x 2 – 34x + 240 = 0 8
8 x = 34 ± √342 – 240 · 42
= 34 ± 142
x = 24x = 10
Si x = 10, y = 34 – 10 = 24.
Si x = 24, y = 34 – 24 = 10.
Los lados del rectángulo miden 10 cm y 24 cm, respectivamente.
56 Las diagonales de un rombo se diferencian en 6 cm y su área es 56 cm2. Calcula la medida de las diagonales.
°§¢§£
x – y = 6x · y
2 = 56
8 °¢£
x = 6 + y(6 + y)y = 112 8
x
y
8 6y + y 2 = 112 8 y 2 + 6y – 112 = 0 8
8 y = – 6 ± √36 + 4 · 1122
= – 6 ± 222
y = 8y = –14 (No vale).
Si y = 8, x = 6 + 8 = 14.
Las diagonales miden 8 cm y 14 cm, respectivamente.
57 El perímetro de un triángulo isósceles es 36 m. La altura relativa al lado desigual mide 12 m. Calcula la medida de los la-dos iguales.
☞ Si llamas x a la mitad de la base, se simplifican los cálculos.
yy
2x
12
x
Pág. 3
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°¢£
2x + 2y = 36y 2 – x 2 = 122 8 °¢
£x + y = 18y 2 – x 2 = 144
8 °¢£
y = 18 – x(18 – x)2 – x 2 = 144 8
8 324 – 36x + x 2 – x 2 = 144 8 36x = 180 8
8 x = 5 8 y = 18 – 5 = 13
Los lados iguales miden 13 cm.
58 En una parcela rectangular de 60 m de períme-tro se hace un jardín rectangular bordeado por un ca-mino de 2 m de ancho. Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo que el área del jardín es 112 m2.
x
22
y
°¢£
2x + 2y = 60(x – 4)(y – 4) = 112
8 °¢£
x + y = 30xy – 4x – 4y + 16 = 112
8
8 °¢£
y = 30 – xx (30 – x) – 4x – 4(30 – x) + 16 = 112 8
8 30x – x 2 – 4x – 120 + 4x + 16 = 112 8
8 –x 2 + 30x – 216 = 0 8 x 2 – 30x + 216 = 0 8
8 x = 30 ± √302 – 4 · 2162
=
= 30 ± 62
x = 18 8 y = 12x = 12 8 y = 18
Las dimensiones de la parcela son 12 m y 18 m, respectivamente.
59 Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes:
a) °§¢§£
x – 3 = 0 2x – 3y = 9 x + y – z = 1
b) °§¢§£
3x – 2y + z = 4 x + y = 5 z – 3 = 1
c) °§¢§£
x + y = z x – y = z x + z = – 4
d) °§¢§£
x + y = 5 x + y + z = 3 y + z = 2
a) °§¢§£
x – 3 = 0 2x – 3y = 9 x + y – z = 1
8 °§¢§£
x = 32 · 3 – 3y = 9 8 –3y = 3 8 y = –13 + (–1) – z = 1 8 –z = –1 8 z = 1
Solución: x = 3, y = –1, z = 1
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b) °§¢§£
3x – 2y + z = 4 x + y = 5 z – 3 = 1
8 °§¢§£
3x – 2y + 4 = 4x + y = 5z = 4
8
8 °¢£
3x – 2y = 0 x + y = 5
8 °¢£
3x – 2y = 02x + 2y = 10
8
8 5x = 10 8 x = 2 8 2 + y = 5 8 y = 3
Solución: x = 2, y = 3, z = 4
c) °§¢§£
x + y = z x – y = z x + z = – 4
8 °¢£
x + y = zx – y = z 8 2x = 2z 8 x = z 8 z + z = – 4 8
8 2z = – 4 8 z = –2 8 –2 + y = –2 8 y = 0
Solución: x = –2, y = 0, z = –2
d) °§¢§£
x + y = 5 x + y + z = 3 y + z = 2
8 °§¢§£
x = 5 – y 8 x = 5 – 4 = 15 – y + y + z = 3 8 z = –2y + z = 2 8 y + (–2) = 2 8 y = 4
Solución: x = 1, y = 4, z = –2
60 Una pieza mecánica está formada por tres cilindros, cuyas secciones se ven en esta figura.
Las distancias entre los centros de las bases de los cilindros son: AB = 14 cm; AC = 17 cm; BC = 13 cm.
¿Cuál es el radio de cada cilindro?
xx
yy
z
z
A
BC
Según el enunciado:
AB = 14 = x + yAC = 17 = x + zBC = 13 = y + z
°§¢§£
Resolvemos el sistema:
x + y = 14x + z = 17 y + z = 13
°§¢§£
8 x + y = 14x + z = 17 –y – z = –13
°§¢§£
8 x + y = 14x – y = 4
°¢£ 8
8 2x = 18 8 x = 9 cm 8 y = 5 cm 8 z = 8 cm
Por tanto, el radio de A es 9 cm; el de B, 5 cm; y el de C, 8 cm.
Pág. 5
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