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7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 1/31
, ,
3 Areas volumenes de cuerpos
geométricos
ACTIVIDADES INICIALES
13.1.
La Gran Plrémlde
tiene
una base cuadrada
de unos
230 metros
de
largo, y una altura
aproximada
de 147 metro..
Imagina
que se
quiere cubrir con una sébana blanca. ¿Cu6ntos metros cuadrados
de
tela
se
necesltañan?
La apotema de cada triángulo mide unos
187
metros,
por
lo que las caras laterales tienen una
superficie de unos 86
000
metros cuadrados.
13.11. as plr6mldes son uno de los sfmbolos
mis
representativos
de
Egipto, pero
otras
culturas
también construyeron monumentos
con
esta forma. Investiga otras reglones
del mundo en
las
que se
conserven pirAmides.
El ejemplo más sencillo son las pirámides de los incas y los mayas, en América.
13 111 Podemos encontrar reproducciones de pirámides construidas con distintos materialea, con
supueatos efectos beneficiosos para la salud, o para atraer la buena suerte. ¿Cntea que este
tipo
de
amuletos
tiene
alguna base científica? Debate con tus compañeros.
Actividad de debate en el aula.
ACTIVIDADES
PROPUESTAS
13.1. Halla las Areas lateral y total
de un ortoedro de
dimensiones 4,
5 y
centfmetros.
t
=
· 4 · 5 + 2 · 4 · 7
=
6 cm
2
Ar
=
· 4 · 5 + 2 · 4 · 7 + 2 · 5 · 7
=
66
cm
2
13.2.
calcula el ánta total
de
un prisma regular hexagonal
de
6 centímetros
de
altura, sabiendo
que
el
lado de la
base
mide 4
centímetros,
y su
apotema,
3 5.
Ar
=
· h + ap
=
6 · 4 · 6 + 3,5) = 28 cm
2
13.3.
Halla el éraa total
y
lateral
de un
cubo
de
arista
a
centfmetros.
At=2
· ·
a
2 · ·
a=4a
2
Ar
2 · ·
a
2 · ·
a
2 · · a= 6a2
Unidad 13 1
Áreas
y volúmenes
de
cuerpos
geométricos
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 2/31
13A. TIC) Calcula el área total de loa siguientes prismas regulares cuyas longitudes vienen dadas
en milímetros.
a)
b
50
80
a) Ar
p
· h+ ap =6
·
20· 80+17,3)
= 11676
cm
2
b) Ar =p· h+ap)=5·50· 10+34,4)=11100cm
2
13.S. calcula las áreas lateral y total de la pirámide regular de la figura.
p = 5 +5
2
Al
5,22 cm
A i · · p = 31,32 cm
2
Ar= At
As
= 0,32
cm
2
13.6. calcula las áreas lateral y total del siguiente tronco de pirámide regular de bases dos
tri6ngulos.
i
,• 5cm
, \
8crn
La medida de la altura
H
en este tronco de pirámide es
H
= 5
-
= ./21Al4,58 cm.
A P
Pa =
24
+
12
../21=18../21,.
82,49
cm
2
2 2
8 · ~ 8 4
2
4 · ~ 4
2
Ar
=A
+ ABASEMAYOR + ABASE
MENOR =
s /21 +
2
+
2
=18../21+4../48 +
2J12 ,.
lld 117,1 cm
2
reaa
y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 19
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 3/31
13.7. Actividad resuelta.
13.8.
Calcula el área lateral de loa cilindros que se generan al
girar el
rectángulo alrededor del lado
AB y alrededor del lado
AD
¿Son igual
2 B
4
D C
Alrededor del lado
AB A =
rrth
=
·
n
· 2 · 4
=
1Sn cm
2
Alrededor del ladoAD A= 2rrth
=
·
n
· 4 · 2 =1Sn cm
2
sr.
ambas áreas son iguales.
13.9. TIC) Calcula el érea
de
la siguiente pieza.
El
área
de la arandela
es
igual al
área total del cilindro exterior, más
el
área
lateral del cilindro interior
y
menos
las dos
bases
del cilindro interior.
Así
A=
2 · 3 14 · 5 · 5 + 2 · 3,14 · 5
2
+ 2 · 3 14 · 2 · 5 2 · 3 14 · 2
2
=351,68
cm
2
13.10.
TIC) Halla las aireas lateral
y
total del cono
que se
genera al girar el trléngulo recténgulo
alrededor del catetoAS
A 5cm C
La generatriz del cono es g=
3 5
2
= ,83 cm.
A =
·
r·g = 14 · 5 · 5,83 = 1 53
cm
2
AT=A
+ n
·
r
2
= 1 53 + 3,14·5
2
=170,03 cm
2
Unidad 13 1
Áreas
y volúmenes
de
cuerpos
geométricos
7/23/2019 Soluciones Tema 13
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13.11. TIC) Calcula las áreas lateral
y
total del tronco
de
cono
que se
obtiene al cortar el cono
de
la
figura
por
un plano paralelo a la base que pasa
por
el punto medio
de
la altura.
Los dos triángulos rectángulos que aparecen en la figura son semejantes.
Por
tanto:
5 10 5·5
~ r =
- = 2 5 c m
2
10
Aplicando el teorema de Pitágoras: g = ~ 5
+
2,5
2
=:i
5,59 cm.
A =
I · r1
+
r2) · g
= 3,14
><
7,5><5,59=131,64 cm
2
AT AL
+
n ·
r
1
2
+
i;
•
rl
= 131,64+3,14
><
25 + 3,14
><
6,25 =
22.9,77 cm
2
13.12. Actividad resuelta.
13.13. TIC) Calcula el área de las esferas cuyo radio es el que se indica.
a) 2
cm
b) 4,75
dm
e 0,5 m
a)
=4
·
n ·
r
2
= 4 · 3,14 ·
: f
=50,24 cm
2
b)
=4
·
n ·
r
2
= 4 · 3,14 · 4,75
2
= 283,4 dm
2
e =4 · n · r
2
= 4 · 3,14 · 0,5
2
=3,14 m
2
13.14. Halla el área de las siguientes superficies esféricas.
a)
b
a)
=4 ·
n · I
=4 · 3,14 · 2,5
2
=
78,5cm
2
b)
=4
·
n
·
I =4
· 3,14 · 4
2
=200,96 cm
2
A
Areaa
y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 21
7/23/2019 Soluciones Tema 13
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13.15. (TIC) El diimetro del planeta
Mane mide
6795 kilómetl 09. ¿Cuinto
mide
au superficie?
A
4 · 1t • = 4 · 3,14·3397,5
2
=144
980 158,5
km
2
13.18. La superficie de • Tleml
se
divide en 24 husos
horarios
Imaginarlos. Halla el érea de un huso
horario
terrestre.
El
radio medio
de la
Tlel Tll
es
de
8370
kll6metros.
La superficie de la Tierra es An.,..
=
·
n · r
2
=
· 3,14 · 637<>2 51 O 000 000 km
2
•
. 510000000 2
Por tanto, la superficie de cada huso será de
24
= 1 250 000 km .
13.17.
Actividad
resuelta.
13.18. (TIC) Expresa las siguientes
medidas de volumen en
lu
unidad que
ae indican.
•
450
cm
3
a
mm
3
d)
2 m
3
a
cm
3
b 20,5
m
1
a
hm
3
e)
3,01
dam
1
a km
1
e)
1250
dm
3
a
m
3
f 0,03
hm
1
a
cm
3
a)
450 cm
3
= 450
000
mm
3
d) 2 m
3
= 2
000 000 cm
3
b) 20,5 m
3
=0,0000205 hm
3
e) 3,01 dam
3
= 0,00000301 km
3
e) 1250
dm
3
= 1,25 m
3
f) 0,03 hm
3
=
30 000 000 000 cm
3
13.19. (TIC) Pua a la unidad que
se lnclca
las siguientes medida de volumen.
a) 3
m
3
200
dm
3
900
cm
1
a
cm
1
b)
40 hm
1
500
dam
1
45
000 m
1
a
hm
1
e) 3
dam
25,1
m
2000 mm a
dm
3
a)
3 m
3
200 dm
3
900 cm
3
= 3
000 000
cm
3
+
200 000 cm
3
+
900
cm
3
= 3
200 900 cm
3
b) 40
hm
3
500
dam
3
45 000 m
3
=
40
hm
3
+ 0,5
hm
3
+ 0,045
hm
3
• 40,545
hm
3
e) 3
dam
3
25,6 m
3
2000
mm
3
= 3
000 000
dm
3
+
25
600
dm
3
+
0,002 dm
3
= 3
025
600,002 dm
3
22 Unidad 13 1Área• y volúmenes de cuerpos geométricos
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 6/31
13.20. Actividad resuelta.
13.21. Expresa en lltros:
a) 860
cL
a) 860 l
=
,6 l
b) 1255dL
b 1255
dl
=
25,5 l
13.22. Indica el
nllmero
de centllltros de:
a
18 L b 21,2 daL
a)
18
l
= 800 l
b}
21,2 dal = 1 200
l
13.23.
TIC) Expresa en decili troe:
a) 1,2
hL
0,3 L 5
l
b) 3
daL42dL10
mL
a
1,2
hl
0,3 l 5
el=
1200
dl +
3
dl +
0,5
dl
= 1203,5
dl
b
3 dal 42
dl
10 ml = 00 dl + 42 dl + O 1 dl = 42, 1 dl
13.24. TIC) Pasa a llt ros :
a) 5 dm
3
b) 2500 cmª
a
5dm
3
=
l
b
2500 cm
3
= 2,5
dm
3
=
2,5 l
e 0,02 hm
3
= 0 000 000 dm
3
= 0 000 000 l
13.25. TIC) ¿Cuántos decímetros cúbicos son?
e)
8150 mL
e 8150 ml
=
,15 l
e)
123dL
e 123
dl
= 230
l
e)
0,02
hm
3
a) 48 L b) 0,25 daL c) 2,25
hL
d) 0,04 kL
a 48 l = 8 dm
3
e 2,25
hl
= 25 l = 25 dm
3
b
0,25
dal =
,5 l
=
,5 dm
3
d 0,04
kl =
0 l
=
0 dm
3
13.2 .
Un pozo contiene 1,5 metros
cllblcos da
agua. Cada
dla se
sacan 1,5 hectolltroa para al riego
de una plantaclón. ¿Para cuántos dfas hay agua si se supone la situación de ausencia tota l de
lluvla?
Cada día se sacan 1 5hl=150l=150 dm
3
= 0,15 m
3
•
Queda agua
para
1
,5 =
1Odías.
0,15
Areaa y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 23
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 7/31
13.27. Actividad interactiva.
13.28. Actividad resuelta.
13.29.
Calcula loa
volllmanu
da loa slgulantas prismas, cuyas medidas est6n dadas an cm.
a) b
{ Q
8
a)
V
8 · 3 · 2
=
8
cm
3
b
V P· p
·
= 6·2·1,7.7=714cm3
2 2
1
13.30. Halla al volumen del prisma de la figura.
10cm
6 · ~ 1
2
6·.J64 3
V ABASE·h ·4= ·4=96cm
2 2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
J
4cm
7
13.31. (TIC) Halla el volumen de un prisma hexagonal regular cuyo lado de la base y altura miden 5 y
8 centlmetros, respectivamente.
a apotema de la base mide
p
= 5
- 2,5
2
=
4,33
cm.
5.5.4
33
2
El área de la base es ABASE
=
2
=
4,95
cm
El volumen del
prisma es
V ABASE • = 4,95 · 8 = 19,6 cm
3
•
13.32. (TIC) Es inviamo
y
hace mucho frío. Una piscina da 10 metros da larga por 6 de ancha se ha
cubierto
con
una capa de hielo de 3 cm deupuor ¿Cuántos litros de hielo habrá?
V 10·6·0 03=1 8m
3
=1800dm
3
=1800 L
Unidad 13
1Áreas
y volúmenes
de
cuerpos
geométricos
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 8/31
13.33.
Queremoa hacer un tetra
brik de bue
cuadrada y con capacidad de medio litro. ¿Cuánto
cartón necasitamoa?
0,5 L = ,5 dm
3
= 00 cm
3
Si llamamos a al lado de la base y h a la altura, medidos en centímetros, sabemos que el volumen
es:
V
a ·h
500cm
3
La cantidad de cartón necesaria viene dada
por:
AT = a
2
+
2ah
+
2ah
=
a
2
+ 4ah cm
2
De este
modo,
la solución dependeré del valor de a y h; por ejemplo, si
h =
0 cm, tendremos:
s2·h=5 > a
2
= 5 > a=5cm
y
por tanto, necesitarramos 2 · 25 + 4 · 5 · 20 = 50 cm
2
= ,5 m
2
de cartón.
Otra posibilidad es asumir que el tetra brik tiene forma de cubo, es decir, a
=
de donde a
3
=
00
y
por tanto,
a
=
5 0 0
l IJ 7,94 cm, con lo que necesitaríamos 6·a2
:is
378 cm
2
de cartón. De hecho, este
es el caso en el que menos cantidad de cartón se necesitarla.
13.34.
Actividad Interactiva.
13.35. Actividad resuelta.
13.38. calcula el volumen de las siguientes pirámides regulares.
a) b
6cm
6crn
a)
ABASE=
6
2
=
36 cm
2
V
~
•h _ 36·1 _1
20
3
- -
cm
3 3
b Altura de la base:
h
= 3
= ,2 cm
6·5,2
2
ABASe
= -
2
-
=
5,6
cm
V ~ ·h =
1
5,S·S = 1 6 cm
3
3 3 •
Areaa
y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 25
7/23/2019 Soluciones Tema 13
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13.37.
TIC) Calcula el volumen del
tronco
de pirámide sabiendo que
las
medidas vienen dadas en
metros
y
que las alturas de las pirámides completa
y
sobrante
son
de 6
y
3, reapectivamente.
6·8
·6
Volumen
de
la pirámide completa: V
1
=
•
= \ =
8 m
3
3.4.3
Volumen
de
la pirámide sobrante:
V
2
= · = _ _ = 6
m
3
3 3
Volumen del tronco de pirámide:
V
- V
= 8 - 6 =
2 m
3
13.38.
Actividad resuelta.
13.39. TIC) Calcula al volumen de estos cuerpos.
a) b
15cm
[]
a)
V
~
·h =n·402 . J1002
4a2
= 53485,74 cms
3 3
b
V ~ · h = t·6
2
·15 =1695,6cm
3
13.40. TIC) Calcula el volumen del tronco de cono.
2 cm
El volumen será la diferencia entre el volumen del cono completo
y
el del cono
sobrante.
Observemos
la
figura. Aplicando la semejanza de triángulos:
__ ___ =
x +
25
=> 20x = 15x+ 375 => 5x = 375 =>
x
= 75 cm
15 2
El volumen del tronco de cono es, por tanto:
V
3,14·20
2
·100 3,14·15
2
•75 s.
24204
cms
3 3
Unidad 13 1
Áreas
y volúmenes
de
cuerpos
geométricos
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 10/31
13A1. ctividad resuelta.
13A2. TIC) Calcula el volumen de
una
esfera de dlémetro 8 centlmetros.
V _ _·n_·_r_s
=
4·n·4s
= 68 cm3
3 3
13A3. TIC) Halla el volumen da
una
semiesfera de radio 3 metros.
V __·n;_._ _
3
=
4
· 7t • = 6,52 cm
3
3·2 6
13.44.
TIC)
Un
semlcfrculo
de
radio 3 centfmetros
gira
alrededor de
su
dl6metro. ¿Qué
cuerpo
geométrico genera? Calcula su volumen.
Se
genera una esfera de radio 3 cm.
V
__·n;_._ _
3
=
4
·
n; · =
13,04
cm
3
3 3
EJERCICIOS
Area
de los cuerpos
geométricos
13.45. TIC) Calcula el Araa total da
los
cuerpos geométricos qua admiten
los
siguientes desarrollos
planos.
a) b
1
1 1 1
1
a)
10 · 2
2
=
0
cm
2
b
Área
del pentágono
=
P p
= =
,9
cm
2
Área total = · 6,9 + 1o i2 = 3,8
cm
2
Areaa
y
volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 27
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 11/31
13.48. TIC) Halla el área
total
de loa
aiguientn
cuerpos geométricoa.
~ ~ ~ ·
1
8crn
6cm
b) a)
••
5 m
2cm
e)
f
4cm
a)
Ar=6·3
2
=54cm
2
b) Ar= 2 · n · r·
h
+ 2 · 7t • r= 2 · 3,14 · 25 · 75 + 2 ·
3,14·25
2
=15
700 mm
2
e) Ar= 4 · n ·r=4 · 3,14 · O a2 = 8,04 cm
2
d) AL
P1+ 2·H=
30+20·8=200an2 AT=200+ 30·4,1+20·2,8 =2895an2
2 2 2 2 •
e) Ar= p · h +
ap
= 12· 7+1,7) = 104,4 cm
2
f} Observemos que el área total
se
puede calcular como el área del ortoedro de dimensiones 4, 2 y
5 an, y restándole el área de dos rectángulos iguales de dimensiones 2 y 3 an. Por tanto:
Ar=
2 · 4 · 2
+4
· 5
+
2 ·
5 -2
· 2 · 3 =
76-12
= 64 an
2
13A7. Calcula al jrea lateral y total da un
clllndro
da radio da
la
basa 45
dam
y da altura 50 dam.
A = 2 ·
n · r ·
h = 2 · 3, 14 · 45 · 50 = 14 130 dam
2
AT=A +2 ·
·r
14130+2 · 3,14 ·45
2
=26847dam
2
13.48.
Un cono tiene por radio
de
la base 33 m y por generatriz 65
m.
Calcula sus ireas lateral y total.
A = n
·
r
·g
= 3, 14 · 33 · 65 = 6735,3 m
2
AT=A + n · r
2
= 6735,3 + 3,14 · 33
2
= 10 154,76 m
2
Unidad 13 1
Áreas
y volúmenes
de
cuerpos
geométricos
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 12/31
13.48.
(TIC) Halla el área
total
de loa
aiguientn
cuerpos.
a) e)
3cm
b)
t
E
=v>•
,) 1 1
1 1
N ' '
f 5cm
2cni'
d)
a)
AT= 2 ·
3
·
3
+ 4,5 ·
J3
2
3
2
+ 2 · 3 · 4,5
=
+
4,5.Jii
+ 27
:ti
55,09 cm
2
2
b)
ap=2,5cm
Ar
_ ·p·(A +a = _ ·4·5·(8
38+2
5)
=
108 8 cm
2
2
p
p
2 , , '
e) El área total de la pieza se puede calcular sumando el érea total del cilindro de debajo més el
área lateral del clllndro de encima, es decir,
Ar
2 · 3,14 · 9 · 6
+
2 ·
3,
14 ·
g +
2 ·
3,14
· 3 · 6
= 60,84 cm
2
d) El área total de la pieza se puede calcular sumando el érea total del cono más el área lateral del
clllndro.
La generabiz del cono es g = J
2
+
1?
= /5
::
2,24 cm.
Por tanto:
Ar
3,14·1·2,24+3,14·1
2
+2·3,14·1·5
=
1,57cm
2
13.50. Calcula el érea total de
un
cubo sabiendo que el perlmetro de la base
es de
24 decfmetros.
El lado del cubo
mide/=
= dm; por tanto,
Ar
6 · 6
2
= 216 dm
3
•
13.51. (TIC) Calcula las éreaa lateral
y
total de un prisma heptagonal regular sabiendo que el lado
de
la
base
mide
25
mllfmetros,
que
la
apotema
de
la
base es
de
28 mllfmetros
y
que
la
altura
del
prisma
es de 5
centfmetroa.
L =
·
=
· 25 · 50
=
750 mm
2
Ar p · (h + Bp = · 25 · (50 + 26) = 3 300 mm
2
13.52. La base
de
un
ortoedro es
un
rectjngulo con medidas una doble de la otra
y
con peñmetro
de
18 declmetros.
La
tercera medida del ortoedro
es
el trlple de la menor de la base. Calcula el
érea
total
de este cuerpo geométrico.
Las medidas del ortoedro son
3,
6
y9
cm. Por tanto, Ar 2 · (3 · 6 + 3 · 9 + 6 · 9) = 98 cm
2
•
Areaa
y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 29
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 13/31
13.53.
{TIC) Calcula el área
total
de un tetraedro
• i
cada una de •u• ar i• tu mide
25
centímetroa.
Todas las caras del tetraedro son triángul
os
equiláteros de la
do
25 cm.
La altura
de
estas
caras será
=J25
2
-12.5
2
= ,J468.
75 21,65 cm
.
25 ·21,65
2
El área
de
una cara seré =
2
= 270,63
an
.
El área total del tetraedro es
Ar
270,63 · 4
=
1082,52
an
2
•
13.54.
Halla
el
int11 lateral
del siguiente tronco de
cono.
La generatriz del tronco de cono es
g = .J15
2
+
5
2
= v 281•16,76
dm.
El área lateral es
A1
=
t • (r
1
+
r
2
•g =
3, 14 · (10 + 15) ·
16
,76 • 1315,66 dm
2
.
Unidades de volumen y capacidad
13.55. Copla y completa
en tu cuademo:
a)
45hL•
L
e)
4500
dm
3
•
mll
b)
700
cL =
L
f
25dam
3
•
hm
3
e) 72 daL • hL
d) 4572,SdL
= daL
a) 45 h l =4500 L
b) 700cl= 7L
e) 72 dal = 7,2
h l
d) 4572,5 d l = 45,725 dal
13.56
. ExprMa
en
lltroa u capacidades de:
a) 40 daL + SL + 2 cL
b)
35
L + 45
dL
+ 370
cL +
4000
mL
e) 4
hL
+ 54
daL +
600
dL
d) 3,5 kL + 0,6 hL +
23daL+150
cL
g) o,oosmª •
h)
0,03
hm
3
•
e)
4500 dm
3
= 4 5 m
3
1
f)
25 dam
3
•
0,025 hm
3
g) O 005 m
3
= 5000 cm
3
h) O 03
hm
3
= 30 000 m
3
,
a) 40
dal
+
5 L
+
2
d l
= 400 L
+
5 L
+
0,2 L
=
405,2 L
b) 35 L
+
45
d l +
370 e l 4000
ml = 5
L + 4,5 L + 3,7 L + 4 L • 47,2 L
e 4 h l + 54 dal
+
600 d l
=
400 L + 540 L + 60 L = 1000 L
cm
1
m
d) 3,5 k l + 0,6 h l
+
23del+150 e l= 3500 L + 60 L + 230 L + 1,5 L = 3791,5 L
30 Unidad 13 1Área• y volúmenes de cuerpos geométricos
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 14/31
13.57. Exprwa en metl 09 cúbic:oa loa
volúmen•
de:
a)
3
m
3
+
1250
dm
3
+
250 000 cm
3
b) 0,02 hm
1
+
0,2 dam
1
+
2 m
1
e) 2 dam
3
+50
m + 2000
dm
3
+ 3000
cm
d
8
km
1
+ 4,5
tvn
+
51 dam
1
+
1 O
cm
1
a)
3 m
3
+ 1250 dm
3
+
250 000
an
3
= 3 m
3
+
1,25 m
3
+
0,25 m
3
= 4,5 m
3
b) 0,02 hm
3
+
0,2 dam
3
+ 2 m
3
=
20
000 m
3
+
200 m
3
+
2 m
3
=20 202 m
3
e) 2 dam
3
+ 50 m
3
+
2000 dm
3
+
3000 cm
3
= 2000 m
3
+ 50
m
3
+ 2 m
3
+ 0,003 cm
3
= 2052,003 m
3
d)
8
km
3
+
4,5 hm
3
+ 51dam
3
+10
cm
3
= 8 000 000 000 m
3
+
4 500 000 m
3
+
51
000 m
3
+
+
0,00001 m
3
=
8
004
551
000,00001 m
3
13.58. (TIC)
Pua
a la unidad de capacidad que se Indica los siguientes vol6menes.
a)
450
dm
1
a
L
•
0,25 dam
1
a
hL
b) 10
m a
L
f)
0,0045
dm
1
a l
e 2000 cmª
a
L
d) 3,5 dm
1
a kL
g) 45mm
1
a
cL
h)
45 000 cm
1
a kL
a) 450 dm
3
= 50 l
b) 10m
3
=10000dm
3
=10 000 l
e) 2000 cm
3
= 2 dm
3
= 2 l
d) 3,5 dm
3
= 3,5 l = 0,0035
k l
e) 0,25 dam
3
= 250 000 dm
3
= 250 000 l = 2500
h l
f}
0,0045
dm
3
= 0,0045 l = 0,45
l
g) 45 mm
3
=
0,000045 dm
3
=
0,000045 l
=
0,0045 l
h)
45
000 cm
3
=
45
dm
3
=
45
l = 0,045
kL
13.59. (TIC) Pua a la unidad de volumen que se Indica las siguientes medid• de capacidad.
a) 2500
dm
3
a L a) 0,85 dam
3
a L
b 3800 m
1
a
mL
f) 7,3 dm
1
a
dL
e)
420
cm
a
cL
g)
0,00045
hm
3
a kL
d) 23
dm
1
a daL h) 0,00022 dam
1
a L
a 2500
dm
3
=
500 l
b) 3600 m
3
= 3 600 000 dm
3
= 3 600 000 l = 3 600 000 000
m l
e) 420 cm
3
=
,42 dm
3
=
0,42 L
= 2
l
d) 23 dm
3
=
23 l = 2,3 dal
e) 0,85 dem
3
= 850 000 dm
3
=850 000 L
f}
7,3dm
3
=7,3 l=73dL
g) 0,00045 hm
3
= 50 000 dm
3
= 50 000 L = 50
k l
h} 0,00022 dam
3
= 220 dm
3
= 220 l
lwaa y volQmenee de cuerpos geométr icos
1
Unlcllld 13
31
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 15/31
Volumen de los cuerpos geométricos
13.60. Los
siguientes cuerpos gaom6trlcos
asUn
fonnados
por
ladrlllos
todos
Igualas. Calcula al
volumen de cada uno de ellos tomando como unidad el volumen de un ladrillo.
r
..
. . . .
Primer cuerpo: 8
unidades
cúbicas
Segundo cuerpo:
21+24
= 5 unidades cllbicas
Tercer cuerpo: 8 + 12 = 0 unidades cúbicas
13.61.
Calcula al volumen da los siguientes cuerpos geométricos.
a) d
b)
e)
a)
b
e)
d)
•
f}
25cm
V 2a
·a· a=
2a
3
V 4 11:·rª
= 4·3, 14·5ª = 23
33 dm3
3 3 •
V Aiw.E ·h =
25·10·21=
1750
cms
3 3
V
~
· =
12
·
15
·
30
· 70
= 16 cm
3
2
e) V t
·
· = ,14 · 0,2
2
•
0,5 = ,0628 dam
3
Ocm
-
-
70cm
12cm
22cm
f OJO:
La figura no es
un
tronco de pirámide
ya
que tiene aristas laterales paralelas. La figura es
un
prisma cuadrangular, como muestra el siguiente dibujo:
12cm
22+12 ·10
3
Por tanto: V ~
·h
= ·12 =2040 cm
2
12cm
Unidad 13
1Áreas
y volúmenes
de
cuerpos
geométricos
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 16/31
13.62. Dibuja
un
ortoedro
de dimensionn
2, 3
y
4
centímetro
y calcula la medida
de su
volumen.
V
2 · 3 · 4 = 4
cm
3
4cm
---2
cm
3cm
13.63. TIC) Calcula cuéntos lltros caben en una esfera
de
radio 125 mllrmetros.
V
4
·n-r
3
=
4
·
3
,
14
º
1253
l l l l
8 177 083
mm
3
llll
8 18
dm
3
= 8 18 L
3 3
1
,
13.64. Calcula el volumen de una pirámide de 3 centfmetros
de
altura cuya base es
un
cuadrado
de
lado
4 centfmetros.
A
·
4
2
·3 3
V ~ = = 1 6 c m
3 3
13.65. Calcula al volumen
de
un clllndro sabiendo que el radio da la base mida 3 centímetros y que la
altura
mide
dos vacas al diAmatro da la base.
V C
• r
2
•
h
3 14·3
2
·12 = 39,12
cm
3
13.68. Dibuja
un cubo de
27 centímetros cllblcos
de
volumen e Indica
la
medida
de su
lado.
La medida del
lado
es = = cm.
1
1
: 3cm
1
1
.----
- -
,,,, 3cm
3crn
13.67. Dibuja un ortoedro con la única condición de que
su
volumen valga 40 cm
3
• Indica las
dimensiones que has escogido.
Por ejemplo se
pueden
tomar
las
dimensiones 2
4
y
5
cm.
1
1
1
1
1
1
1
1
¡
/
4cm
Areaa
y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 33
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 17/31
13.88. Calcula el
volumen
de loa
cuerpos
geométricoa que admiten como desarrollo plano
estas
19preaentaciones (unidades en metros).
a) b)
a) Se trata de un cono de generatriz 5 m y de radio de la
base
1,025 m. La altura vale, por tanto,
= ~ 5 -1,025
2
ll 4,89 m
V= n· r
2
·h = 3 14·1,025
2
·4,89 =
5 38
m
3 3 •
b) Se trata de un tronco de pirámide. El volumen sera la diferencia entre el volumen de la pirámide
completa
y el
de la pirámide sobrante. Observando el dibujo tenemos:
Y x y : :>y=x=566m
2 4 •
4
4
8
2
·1t32
4
2
x5
66
Por tanto: V=
3 3
= 11,31 m
3
13.69. (TIC) Calcula
el volumen
de un
cono
de altura 4,5 decfmatros y da generatriz 5,3 cantfmetros.
El radio de la base del cono
es r=
= i:a =2,8 dm.
n·r
2
·h 314·2,8
2
·45
3
El volumen es V=
3
=
3
= 6,93 dm
13.70. (TIC) Halla el volumen de
los
siguientes
cuerpos
geométrlcoa.
b)
,
...
·
- · - ~
f
rn
2dm
4dm
a) El volumen solicitado es la suma de los volúmenes de un cilindro y un cono:
V=314·7
2
·5
14
·
3
z.Jsz-
3
z =807cm
3
• 3
b) El volumen solicitado es la suma de los volúmenes de un ortoedro y una pirámide:
4
2
·3
V= 4 · 4 · 2
+ =
8
dm
3
3
Unidad 13 1
Áreas
y volúmenes
de
cuerpos
geométricos
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 18/31
13.71. TIC) Calcula el
volumen
del
tronco
de pirámide
y
el
tronco
de cono.
a) b)
90
30m
a) El volumen será la diferencia entre el volumen
de
la pirámide completa
y
el de la pirámide
sobrante.
Observemos la figura. Aplicando la semejanza de triángulos:
X 18
715
= ¡ s => 15x = 7,5x + 135 => 7,5x = 135 =>
x
= 18 m
El volumen del tronco de pirámide es, por tanto:
V
30
2
·36 15
2
·18 =
9450
ms
3 3
5cm
b) El volumen será la diferencia entre el volumen del cono completo
y
el del cono sobrante.
2
Observemos la figura. Aplicando la semejanza de triángulos:
x S
::::>21x= 15x 75::::>6x= 75::::>x= 12,5 m
15 21
El volumen del tronco de cono es, por tanto:
V
3,14·21
2
·17,5 3,14·15
2
·12,5 =
5133
g
ms
3 3 •
13.72.
TIC) Halla el volumen de los siguientes cuerpos.
a) b)
4cm
a) El volumen solicitado es la suma de los volúmenes de tres ortoedros de medidas 2 1
y
4 cm; 2, 1
y 8 cm, y 4, 1 y 6 cm, respectivamente.
Por tanto:
V
2 · 1 · 4 + 2 · 1 · 8 + 4 · 1 · 6 = 48 cm
3
b) El volumen solicitado es la suma de los volllmenes de un prisma triangular, un ortoedro
y
medio
clllndro.
3 14· .J52 _ 42 ]2 ·6
4·
52
42 2
Portanto·V= J - ·6 10·6·.J5
2
2
+
=2372cm
3
. 2 2 •
reaa
y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 35
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 19/31
PROBLEMAS
13.73. Calcula cu6ntoa metros cuadrados da madera sa necesitan para construir
el podio representado en la figura si no tiene base inferior, es decir, se
apoya directamente sobre el suelo.
Área lateral· A
=
P
1
+
P
2
·H
4
·S
25
+
4
·3,
75
·4 5
=
1 m
2
•
L 2 2 °
Área
de
la base superior: ABASE suP.
=
,75 · 3,75
=
4,06 m
2
Área total de la figura: Ar 81+14,06 = 5,06 m
2
5 25m
13.74. (TIC)
Las
dimensionas de una papelera cllfndrlca son 20 centfmatros de dlimatro y 31 da
altura. Calcula la superficie de material que se ha necasitado para fabricarla.
Área lateral: AL 2 · n
·
r· h = 2 · 3,14 · 10·31=1946 8 cm
2
Área de la base inferior:
AeA.sE
1NF. = ·
r
2
=
3,
14 · 1
a
= 314 cm
2
Área total
de
la figura:
Ar
1946,8
+
314
=
260,8
an
2
l IJ
22,61
dm
2
13.75.
Las
figuras representan Jardineras. ¿En
cuil
da ellas hay qua echar mú tierra para qua se
llenen?
Queremos determinar qué figura de las dadas, el tronco de pirámide o el tronco de cono, tiene mayor
volumen.
En ambos casos el volumen
es
la diferencia entre el volumen
de
la figura (pirámide o cono) completa
y
el de la figura sobrante.
En ambos casos
la altura
de
la figura completa
es de
60 cm.
Lo mismo sucede con la altura de la figura sobrante, que es de 40 cm.
Ademés, el lado de la base de la pirámide completa coincide con el diámetro de la base del cono
completo, ambos miden 3 cm. Lo mismo sucede con el lado de la base de la pirámide sobrante y el
diámetro de la base del cono sobrante, ambos miden
2 an.
302 ·6
2023·40
- 12666,67 cm3.
El volumen del tronco de pirámide es, por tanto, Vp rmn c e
=
3
-
El I d I tro d nto V
7t· 3012}2
·6
n;· 20 /
2 2 ·4
9943
33
3
vo umen e neo e cono es, por ta • cono =
3 3
lt , cm .
De este
modo, obtenemos que el tronco de pirámide, es decir, la primera jardinera, es el de mayor
volumen.
Unidad 13 1Áreas
y volúmenes
de
cuerpos
geométricos
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 20/31
13.76. Calcula el área
y
el volumen de las siguientes cajas
de
cartón
de
las que
se
conocen
sus
tres
dimensiones sabiendo que tienen tapa inferior.
pero
no superior.
a)
Largo=
20
cm
ancho= 15
cm,
alto = 25 cm
b
Largo=
2
m, ancho=
150
cm, alto=
8
dm
e)
Largo=
0 2 dm, ancho= 1 5
cm.
alto = 0
mm
a
A
20 · 15
+
2 · 15 · 25
+
2 · 20 · 25
=
050
cm
2
V
20
· 15 ·
25
= 500 cm
3
b = · 1 5 + 2 · 1 5 · 0 8 + 2 · 2 · 0 8 = 6 m
2
V 2 · 1 5 · 0 8 = ,4
m
3
c
= · 1 5 + 2 · 1 5 · 4 + 2 · 2 · 4 = 1 cm
2
V
2 · 1 5 · 4 =12
cm
3
13.77. Un depósito con
fonna de
ortoedro
y totalmente lleno de agua
contiene
25 lltros
de
este
Hquldo.
Dos
de
sus
dimensiones
son
40
y
50
centímetros, respectivamente. Calcula
la
medida
de la tercera dimensión.
5
L
= 5 dm
3
= 5
000 cm
3
La medida
de
la tercera dimensión seré ~ ~ ~ ~ = 2 5cm.
13.78. (TIC) Para almacenar
cierto
medicamento contra las Inflamaciones óseas de caballos,
se
quiere
construir
cépsulaa
con fonna de clllndro y
semiesferas
en
sus
extremos tal y como
muestra
la ftgura. Calcula la
cantidad de
superftcle que
se precisa
para
construir
cada cépsula,
así como su
volumen
en cmª.
( )
cm
El área total será la suma del área lateral del cilindro
y
el área
de
la esfera.
Por tanto: AT 2 · 3 14 · 1 · 6 + 4 · 3 14 · 1
2
= 0 24 cm
2
El volumen será la suma
de
los volC menes del cilindro y de la esfera.
Por
tanto:
V
3,14 · 1
2 •
6
+
. ·
3,14 · 1
3 ,_
23
cm
3
3
13.79.
Una
persona
respira 16
veces
por
minuto. Cada vez Introduce en
sus
pulmones
4.25
decllltros
de aire. ¿Cuéntos metros cllblcos
de
aire ha Inspirado en un dla entero? ¿Y en una semana?
4
·
60 · 16 ·
4 25
= 7 920
l
=
792
L = 792 dm
3
=
792
m
3
de aire al día
9, 792 · 7 = 8,544 m
3
de
aire a la semana
Areaa y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 37
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 21/31
13.80.
TIC) Para transportar tierra se utilizan
camionn
capacea de
mover
4,5 metros cúbicos
como
máximo. ¿Cuántos camiones serán necesarios para transportar
la
tierra cavada en
una
zanja
de 5 metros de larga, 10 de ancha y 2 de profunda, suponiendo que al remover
la
tierra, esta
1
aumenta en ¡ su volumen primitivo?
El volumen de la zanja será: V 5 · 1O 2 = 00 m
3
•
El volumen de la tierra extraída después de removerta será:
V
1oox 1+j-) =
9
=112,5 m
3
•
El nllmero de camiones necesario
será:
1
~
=
25 .
13.81.
TIC) Juan
no
ha cerrado bien
el grifo
del agua. ¿Cuántos litros se han desperdiciado
si
cada
minuto
gotean 5 centímetros
cúbicos
de agua y el grifo ha permanecido abierto durante 24
horas?
24
· 60 · 5
=
200
cm
3
=
,2
dm
3
=
,2
L
13.82. Se quiere abrir
un
cortafuegos para evitar el avance de
un
Incendio forestal. SI se tarda 8,5
minutos en cavar
un
metro cllblco de tierra, ¿cu6nto se tardará en abrir una zanja de 100 m de
larga, 2 de ancha y 0,25 de profunda?
El volumen
de
la zanja es:
V
100 · 2 · 0,25
=
0 m
3
•
La zanja tardará en excavarse, por tanto, 50 · 8,5 = 25 minutos = horas 5 minutos.
13.83.
Queremos que
un
estanque con forma da ortoedro sea
c ~
da
contener
8,5 m
3
da agua.
¿Qué altura deberé
tener
si se sabe que su base posee 500 dm
2
de superficie?
B SE
=
500 dm
2
= m
2
85
La altura
será:
=
4
=- - = ,7 m.
' 'BASE
5
13.84. TIC) El decfmetro cllblco de mercurio tiene una masa de 13,6 kllogramos.
a) Calcula
al
p o
de
2
litros
de
mercurio.
b) Indica
el
volumen,
en
centfmetros cllblcos que ocuparán 450
gramos
de mercurio.
a)
2 L=
dm
3
; por tanto, pesarán
2 · 13,6 = 7,2 kg.
b)
450
g
= ,45 kg; por tanto, ocuparán O
45
111 0,033 dm
3
= 3 cm
3
•
13,6
13.85. De una lata de conservas se dnprendl6 el papel que rodeaba el envase. Se midieron las
dimensiones del papel y se
obtuvo como
resultado
14
centrmetroa de base y
4
de altura.
calcula el
volumen
de
la
lata.
Calculamos el
radio de la base:
2 ·
n · r
14
> .
2,23
cm.
El
volumen es,
por
tanto:
V
n ·
·
h
=
,14 ·
2,23
2
• 4
=
2,46 cm
3
•
Unidad 13 1
Áreas
y volúmenes
de
cuerpos
geométricos
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 22/31
13.86.
TIC) Un decímetro cúbico del material con que está conatruido el recipiente repreaentado en
la figura pesa
7.8
kilogramos.
Calcula cuénto pesa
el
recipiente.
El volumen de la figura seré la diferencia entre el volumen del ortoedro exterior y el volumen
del
ortoedro interior.
Volumen del ortoedro exterior: V
1
= · 10 • 12 = 1080 dm
3
Volumen del ortoedro interior: V
=
· 9 • 10
=
20
dm
3
Volumen
del material:
V
V
1
V
2
= 080 - 720 = 60
dm
3
El recipiente pesa 360 · 7,8 = 808
kg.
13.87. Las dimensiones de una caja son: 36. 24 y 30 centfmetros. En ella se quieren Introducir
paquetes con forma de ortoedro de aristas 5, 9 y 6 centfmetros.
¿Cuéntos paquetes caben en la caja?
A lo largo
caben: 36
: 9 =
paquetes.
A lo ancho caben: 24 : 6 = paquetes.
A lo alto caben: 30 : 5 = paquetes.
En
total caben: 4 · 4 · 6 = 6 paquetes.
Nota: Por ser el largo, ancho
y
alto de la caja
mClltiplos
del largo, ancho
y
alto de cada paquete
respectivamente cabe un
número exacto de paquetes, quedando todo
el
espacio de la caja
ocupado.
Por esta razón también se puede calcular el número de paquetes que entran en la caja dividiendo el
volumen
de
la misma por el volumen de cada paquete.
Volumen de la caja: 36 · 24 · 30 =25 920 cm
3
Volumen de cada
paquete:
9 · 6 · 5
=
70
cm
3
Caben: 25 920 : 270 = 6 paquetes.
reaa
y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 39
7/23/2019 Soluciones Tema 13
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AMPLIACIÓN
13.88.
En un v6rtlca
de un cubo
de 2 decrmetroa
de
arista damos un
corte y
queda
la figura que ves. ¿Cu61eael6rea, en decímetros cuadrados, de
lo
que queda
de cubo?
a)
29
2
b)
71
2
e) 21 d)
45
2
1 :
1
1
1
1
,, ------
/
1
/
Hay tres caras que
no
hemos tocado, siendo su superficie 3 ·
l2
=
2 dm
2
•
En las tres caras restantes
hemos quitado un triángulo rectángulo isósceles de cateto 1, es decir, nos queda un pentágono de
2
M 7
2
érea
2 -
2
=
2
dm .
7 45
Asr pues, la figura resultante tendrá área
12 +
3 · - = -
dm
2
, la respuesta d.
2 2
7
13.89. El 6rea de cada una de las tres caras adyacentes de un prisma rectangular es
2
,
6 y 21
centrmetros cuadrados. ¿Cuél es, en centlmetros cllblcos, el volumen de dicho prisma?
a) 126 b)
147
2
d) Faltan datos para contestar
e) 21
Llamando a, b y
e
a las dimensiones del prisma, tenemos que ab = ac = 6, e = 21, y nos piden
abe.
Multiplicando estas igualdades, resulta que a· · c)
2
=
2
,
de donde el volumen es a · · e= 2
cm
3
, la respuesta c.
13.90. Un
nlfio
Junta 42 cubitos de
1
centlmetro de lado para fonnar un prisma rectangular. SI el
peñmetro
de la
base es
18
centfmetros,
la
altura del prisma, en centfmetros, es:
a) 3 b) 6 e) 2 d) 7
Llamando a,
by e
a las dimensiones del prisma, resulta que son números enteros positivos que
cumplen que
a·
·e 42 = 2 · 3 · 7 y 2 · a+ b) = 18.
La única posibilidad es que a y sean 2 y 7,
por
lo que e= , la respuesta a.
13.91.
Un bote cilíndrico
de
bolas
de
tenis contiene 3 bolas perfectamente ajustadas. ¿Qu6
proporción del volumen del bote está ocupado
por
las bolas?
a)
n
3
b)
2
3
e)
1t
4
Llamando r al radio de cada bola, el cilindro tendrá radio r y altura 6r.
d)
3
4
Asr
pues, el volumen del cilindro es
V =
r
2
•
6r y
el volumen ocupado por las tres bolas seré
3 .
4
nr
de donde la proporción pedida es
4
tr:
=
. a respuesta b.
3 nr 3
Unidad 13 1Áreas
y volúmenes
de
cuerpos
geométricos
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 24/31
13.92.
La ue
circular
de
un tanque
de
agua tiene una superficie
de
1
metro
cuadrado. Introducimos
en el
tanque un
cubo
de hierro de 20
centímetros
de
arista. ¿Qué altura, en cm, sube el agua
del
tanque?
a)
1t
0,8
b)
0,8
1C
c)
0 8
d) 8
El agua subirá una altura
h cm
tal que el volumen
del
cilindro de base 1 m
2
=
0 000 cm
2
y altura
h
coincida con el volumen del cubo de hierro.
Así pues, 10 000 ·
h
= 0
3
,
es decir,
h
= = ,8 cm, la respuesta c.
13.93.
El érea lateral
de una
plrémlde cuadrangular regular es 260 centímetros cuadrados. SI
el
área
total
es
360 centlmetros cuadrados, el volumen
de la
plrémlde, en centímetros
cllblcos es:
a) 400 b 1560 e) 130 d 160
El
área de la
base es 360-
260
= 00 cm
2
,
por lo que la arista de la
base
es
de
10 cm.
Por otra parte, cada cara lateral medirá
2
º = 5
cm
2
, con lo que si es la apotema
de la
pirámide,
tenemos que
65 = ª =>
a=
13an.
Por último, la altura
h
verificaré
h +
5
2
=
3
2
,
de donde
h =
2 cm, y el
volumen
pedido
1<>2·12 3
es V
3
= 00 cm , la respuesta a.
AUTOEVALUACION
13.1. Un cubo
pequeftotlene
por lado centfmetros, y otro més grande tiene por lado el doble que el
anterior.
a) Escribe
los
vohlmenes
de
ambos cubos.
b ¿Cuántas veces
es mayor el
volumen
del cubo més
grande?
a)
V1 =
3
V
=
2a)
3
=
a
3
b El
cubo mayor tiene por volumen ocho veces
el
volumen del cubo menor.
13.2.
Dibuja el
desarrollo
y calcula el área total
y
el volumen
del
prisma
de la
figura. Las medidas
están dadas en centímetros.
1
1
1
.
a l
LU
=4 · 4 · 2
+2
· 2 · 2
=40an
2
V 4 · 2 · 2 =
6
cm
3
Areaa
y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 41
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 25/31
13.3.
Un cono tiene 4
cm
de radio de la base
y
3
cm
de altura. Calcula su ánta total
y
su volumen.
La generatriz del cono es g= 4
2
+ 3
2
= cm.
El área total es AT 1t • r· g +
n
· r
2
= ,14 · 4 • 5 +
3 14·4
2
=113 04 cm
2
•
El volumen es V · ~ ·h = ·
3
= 0,24 cm
3
•
13A. La pirámide
de
la figura tiene
por
base un cuadrado
de
lado
2
cm y los trléngulos que forman
las cuat ro caras laterales son equlléteros.
2cm
a Halla
la
altura
h de cada
una
de
las caras laterales
y
la
altura H de
la
plrAmlde.
b
Calcula el énta y el volumen de la pirámide.
a h = ~ = J c m
H ~ . / 3 ) 2
1
2
=
J2 cm
b
Area de
la
base: s =
i1
=
cm
2
Area
lateral:
A =
4
~
= .J3 cm
2
Área
total:
T
=
As
+
L
=
+
4
J
. .
10 93
cm
2
A ·H 4.J2
3
Volumen: V _1 8_
3
_ =
3
- . 1 89
cm
13.5.
¿Es poslble desarrollar en el plano
una
esfera? Calcula el érea
y
el volumen de
una
esfera de
10 cm
de dlémetro.
No es posible desarrollar una esfera en el plano.
Area:
A = ·
n · r
= · 3 14 · 5
2
= 14
cm
2
4
..
4·3,14·5
3
3
Volumen:
V
n r ~
= =
23 3 cm
3 3 •
13.8.
Transforma en lltroa los siguientes volúmenes.
a
11 dm
3
b 0,02
dam
3
a 11 dm
3
=11 L
b 0,02 dam
3
=
0 000
dm
3
=
0 000
L
e 250 000 cm
3
=
250 dm
3
=
50 L
Unidad 13 1
Áreas
y volúmenes
de
cuerpos
geométricos
e
250 000
cm
3
7/23/2019 Soluciones Tema 13
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13.7.
Transfonna en centímetros
cúbicos
laa siguientes capacidades.
a
3 L b 45 l
e 250 000 m
a 3 L = dm
3
= 000 cm
3
b
45 l =
,45 L
=
,45 dm
3
=
50
cm
3
e 250 000
m l
= 50 L = 50 dm
3
= 50 000 cm
3
13.B. Un trozo de tubeña de polluretano de 5 m de largo tiene
fonna
de
clllndro
de 3 cm de radio.
calcula
la
superficie
de
ese
trozo de
tubería.
A · r
2
•
h 3,14 · 3
2
·500=14130cm
2
i.1,41 m
2
13.9. El embudo de la figura esU fonnado por
un
tronco de cono y
un
clllndro.
Las medidas del tronco de cono son de 6 centlmetroa de radio de
la
base
superior
y 2 de radio
de
la
base inferior.
Las alturas del ironco de cono y del clllndro son de
10
centfmetros cada una.
calcula
el volumen total
del embudo.
El volumen del tronco de cono será la diferencia entre el volumen del cono completo y el del cono
sobrante:
10cm
Observemos la figura. Aplicando la semejanza de triángulos:
X+10
> 6x=2x 2 ::::>4x=20
>X=
5cm
2 6
El volumen del tronco de cono es, por tanto:
V
= 3,14·6
2
·15 3,14·2
2
·5 = 44 27 3
1
3 3
, cm
El volumen del cilindro es V
2
=3,14 · 2
2
•
1
= 125,6 cm
3
•
El volumen
de la
figura es, por tanto,
V
V
1
+
V
2
=
69,87
cm
3
•
reaa y
volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 43
7/23/2019 Soluciones Tema 13
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PON
A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
Investiga
y
crea > El arte de los poliedros
Las plrémldes de Egipto son algunos de los muchos edific ios con fonna pollédrlca. La mayor parte
de las casas pueden descomponerse con facll ldad en polledros sencl llos. Seguramente podrás ver a
tu
alrededor numerosos ejemplos.
Ademáa de para la construcción, los poliedros han sido utilizados por artistas de todas las épocas
en pinturas, esculturas, joyas
••
Incluso se conservan imágenes en piedra de los poliedros regulares
de
yacimientos neolíticos.
13 1
En la Imagen de
l
Izquierda aparece un dodecaedro de la época etrusca.
¿Quiénes fueron los etruscos? Investiga y escribe un breve
resumen.
Actividad de investigación. Al hablar de los etruscos, deberían mencionar
la época en la que vivieron, su localización geográfica y su relación con
los romanos.
13 2 No esté clara la función que podfa tener ese objeto. Viendo la foto, ¿para qué crees que se
podfa utlllzar?
Posiblemente fuera un juguete, o un elemento decorativo.
13 3
En el
llbro La divina pt0pon:l6n
Luca Pacloll utlllz6 los dibujos de Leonardo d Vlncl. El titulo
del
llbro se
refiere al ••nllmero
de
oro . ¿Sabes
qué
nllmero es? ¿Cómo
se
utlllza este nllmero
en el arte?
El •número
de
oro
es
p =
1
+
2
J5 , y se usa en arte para construir figuras cuyos lados guarden esa
proporción, que se considera especialmente annoniosa. De hecho, también se lo conoce como la
divina proporción .
13A. El pintor Alberto Durero estudió los polledros regulares y
semlrregulares,
y
los utlllz6 en
sus
obras. En el cuadro
que
aparece a la derecha puedes
ver
un polledro.
SI
te fijas bien,
veré& que en la parte superior derecha aparece un cuadrado
mágico, con los nl'.ímeros que puedes ver bajo estas lfneas.
16
3
2 3
5 1
11 8
9
6
7 2
4 15 14
Unidad 13
Áreas
y volúmenes
de
cuerpos
geométricos
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 28/31
¿Qué tiene de
npecial?
Intenta construir
un
cuadrado mágico de 3 x 3 usando los números
del 1al9
En www.e4m.net/2esoz71 encontraras numerosas actividades sobre
los
cuadrados m6glcos.
En el cuadrado
de
Durero aparecen los 16 primeros n< imeros naturales dispuestos de forma que la
suma de cada fila y de cada columna es siempre 34. El cuadrado 3 > 3 podría ser el siguiente:
2
7
6
9
5 1
4 3 8
13 5 El artista holand6s M C Eschar utlllz6 conceptos matemMlcos an muchas
da
sus obras.
Generalmente se basaba en al uso da las slmetñas
y
en Juegos vlsuales
con
la perspectiva. En su obra
Estrellas qua
aparece a la izquierda Eschar utiliza
más de 15 polledros distintos. Seguramente no
conocerés los nombres de todos pero Intenta
locallzar en el cuadro
por lo
menos
los
cinco polledros
regulares.
En el dibujo aparecen repetidos varias veces los poliedros
pedidos. Por el tamaño es posible que algunos no se
vean bien.
Se
puede buscar en intemet un dibujo
ampliado. El dodecaedro por ejemplo es fácil de localizar
en la parte inferior derecha.
13 6 Crea
tu
propia obra da arte. Puede
ser
un dibujo o pintura una escunura hecha con cualquier
material una composic ión utilizando varios objetos etc. La única condición que debe cumplir
es que aparezcan cuerpos geométricos ya sean poliedros o no.
Actividad manipulativa
de
tipo artístico.
reaa
y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 45
7/23/2019 Soluciones Tema 13
http://slidepdf.com/reader/full/soluciones-tema-13 29/31
Calcula con ingenio > Juegos matemáticos
En una de las actividades anteriores has resuelto un cuadrado méglco. Muchos Juegos o
pasatiempos matem6tlcos tienen relacl6n con los nllmeros y con las figuras geométricas. Todo el
mundo ha Jugado alguna vez con el cubo de Rublk y seguramente habr6s Intentado resolver un
sudoku.
En los Juegos de construcción o en los puzles es fundamental estudiar las piezas
que
vamos a
utlllzar para poder colocarlas en su lugar correspondiente.
13 1
Alguna vez has Intentado resolver el cubo
de
Rublk
y lo
has dejado por lmposlble? En Internet
hay varios
sitios
en los
que se
expllcan métodos para lograrlo.
En www.e-sm.net/2asoz72 se explica cada paso con unas claras animaciones. Si no tienes un
cubo da Rubik a mano puedes encontrar uno virtual en www.e-sm.net/2esoz73.
Actividad de juegos en la web.
13 2
Vamos a constru ir el puzle de
dos
piezas
mis
dlffcll del mundo:
un
tetraedro. Es poslble que
en
tu
Inst ituto tengan un materlal para formar polledros ensamblando poHgonos de
pltstlco SI
no
n
así tendrá qua construir tú las piezas. Son dos poliedros igualea.
A la izquierda tienes al desarrollo
de cada pieza
y
cómo quedarían
una vez montadas.
¿Puedes resolver el puzle y formar un tetraedro con las dos piezas? Parece
muy
senclllo pero
a la mayorfa
no
le resultará fécll
El puzle puede resultar sorprendentemente complicado a algunos alumnos pero realmente
es
muy
sencillo. Si se
unen
las piezas colocadas
de
forma simétrica por las caras cuadradas y
s
gira una
aparece el tetraedro.
13 3
Para el
último
puzle el
cubo
soma. necesitas construir las piezas. Para hacerlo
se
utilizan 27
cubos preferiblemente da madera para
que
sean más resistentes
y
se pegan formando las
siete piezas
que
aparecen en la ilustración. Con las piezas grandes qua resultan trata de
formar un cubo.
Actividad manipulativa.
Unidad 13 1
Áreas
y volúmenes
de
cuerpos
geométricos
7/23/2019 Soluciones Tema 13
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Aprende a pensar > Deme un ortoedro de leche
Los
polledros que aparecen con más frecuencia en nuestra vida cotidiana
son los
ortoedros. Las
cajas
de
zapatos o
los
envases
de
leche
son solo dos
ejemplos de los muchos que encon1ramos
cadadla.
13.1. Coge un brik
de
leche o zumo mide sus dimension• Calcula
su
volumen. ¿Es mayor o
menor que el que indica
el
envase? ¿Por qué? Haz
lo
mismo con
un
bote de refresco.
El volumen obtenido seré algo mayor que el que figura en el envase, ya que siempre queda un
pequeno
espacio
vacío.
13.2.
¿Por qué
se
emplean contenedores con fonna
de
ortoedro,
no
plr6mldes o Icosaedros, por
ejemplo?
Los
ortoedros tienen un número
pequeño
de caras, y son fácilmente apilables.
13.3.
Las capas 1, 3, 5 8 que aparecen en el dibujo
son
de
polletlleno. La capa 2
es de
cartón, representa el 75 del peso del envase, la 4.
de
aluminio, el
5 . Por eso estos envasee
no
pueden tirarse al contenedor de papel,
deben
ir
al cubo amarillo. El material reciclado
no
puede reutilizarse para
fabricar brika, a diferencia del
vidrio
de las botellas. Sin embargo, el
transporte
de
las botellas
de
vidrio
su
reciclado, para el que
se nec•itan
altas temperaturas, generan C02. ¿Qué envase prefieres
tú?
¿Por qué?
Justifica
tus
motivos a
tus
compafteros.
Debate sobre el tema en http:/lmatematlcas20.aprenderapensar.net.
Debate con los compañeros y
en
la web.
reaa
y volClmenes de cuerpos geométricos 1Unldlld 13 47
7/23/2019 Soluciones Tema 13
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Proyecto editorial:
Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM
Autoría:
Ana Maria Alvarez, Marina Dlaz, Mariano Garcla, Francisco José Valencia, Femando Alcaide
Edición:
Rafaela Arávalo, Eva Béjar, José Miguel Gómez
Revisión contenidos: Jasl .is Garcla Gual
Corrección: Ricardo Ramírez
Ilustración:
Modesto Arregui, Estudio Haciendo al león , Jurado Rivas
Fotografía CONTACTO; AGE FOTOSTOCK
Diseño:
Pablo Canelas, Alfonso Ruano
Maquetación:
SAFEKAT S.
L.
Coordinación de diseño:
José Luis Rodrlguaz
Coordinación editorial: Josefina Arávalo
Dirección del proyecto: Alda Moya
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