View
13
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Sucesiones de números reales: problemas diversos (1)febrero 4, 2014 Cálculo/Análisis
1 Sea la sucesión Usando la definición de límite, demostrar que y hallar a
partir de qué término la diferencia es menor que
Tenemos las equivalencias:
Es decir, para cualquier si elegimos número natural tal que , entonces si por tanto es límite de la sucesión Eligiendo
luego a partir del término ocurre
2 Calcular
Sugerencia: usar la identidad
Para se verifica:
Llamando y queda:
= .an
2n + 17n + 5
{ } →an
27
| − 2/7|an 0.002.
SOLUCIÓN
| − 2/7| < ϵ ⇔ − < ϵ ⇔ < ϵan∣∣∣2n + 17n + 5
27
∣∣∣
∣∣∣14n + 7 − 49n − 10
49n + 35∣∣∣
⇔ < ϵ ⇔ < ϵ ⇔ < 49n + 35 ⇔ < n.∣∣∣
−349n + 35
∣∣∣
349n + 35
3ϵ
3 − 35ϵ
49ϵ
ϵ > 0, n0 > (3 − 35ϵ)/49ϵn0
| − 2/| < ϵan n ≥ ,n0 2/7 { }.an ϵ = 0.002 :
n > ⇔ n > = 29.89 … ,3 − 35ϵ
49ϵ
3 − 35 ⋅ 0.00249 ⋅ 0.002
a30 | − 2/7| < 0.002.an
( − n) .limn→+∞
+ 2n3 n2− −−−−−−√3
− = (A − B)( + AB + ).A3 B3 A2 B2
SOLUCIÓN
A ≠ B
A − B = .−A3 B3
+ AB +A2 B2
A = + 2n3 n2− −−−−−−√3B = n
− n = .+ 2n3 n2− −−−−−−√3 2n2
+ n +( + 2n3 n2)2− −−−−−−−−√3 + 2n3 n2− −−−−−−√3n2
Dividiendo numerador y denominador entre
Por tanto,
3 Demostrar que
Se verifica por tanto si
Dado que se concluye del teorema del Sandwhich que
4 Demostrar que la sucesión no es convergente, en donde representa la parte en-
tera de
Tenemos: y lo cual implica y La sucesión no es convergente por tener dos subsucesiones con distintos límites.
5 Sin usar el criterio de Stolz, calcular
Habíamos demostrado que
Por tanto,
:
n2− n = .+ 2n3 n2− −−−−−−√3 2
+ + 1( + 2n3 n2)2
n6
− −−−−−−−−−√3 + 2n3 n2
n3
− −−−−−−−√3
L = = .2
1 + 1 + 123
= 0.limn→+∞
2n
n!
SOLUCIÓN
≤ ⇔ 4 ≤ n,2n
12
n ≥ 4 :
0 ≤ = ⋅ ≤ = .2n
n!23
1 ⋅ 2 ⋅ 32 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ 24 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ n
43
( )12
n−3 323
( )12
n
0 = = 0,limn→+∞
limn→+∞
323
( )12
n
= 0.limn→+∞
2n
n!
= ⌊ ⌋an
(−1)n
n⌊x⌋
x.
SOLUCIÓN
= ⌊1/2n⌋ = 0a2n = ⌊−1/(2n + 1)⌋ = −1a2n+1 { } → 0a2n
{ } → −1.a2n+1
.limn→+∞
∑k=1
nk2
n3
SOLUCIÓN
= + + + … + = .∑k=1
n
k2 12 23 32 n2 n(n + 1)(2n + 1)6
6 Demostrar que
Descompongamos la fracción en suma de fracciones simples:
Igualando e identificando coeficientes, obtenemos y por tanto
Es decir,
7 Usando el criterio de Stolz, calcular
La sucesión es estrictamente creciente y tiene límite Sea Entonces,
Por el criterio de Stolz,
8 Demostrar que para todo se verifica
Llamemos Claramente la sucesión satisface las hipótesis del criterio de Stolz. Usando la fórmula del binomio de Newton:
= = = .limn→+∞
∑k=1
nk2
n3lim
n→+∞
n(n + 1)(2n + 1)
6n3
26
13
= 1.limn→+∞
∑k=1
n 1k(k + 1)
SOLUCIÓN
= + = .1
k(k + 1)A
k
B
k + 1A(k + 1) + Bk
k(k + 1)
1 = A(k + 1) + Bk A = 1 B = −1,
= ( − ) = (1 − ) + ( − )∑k=1
n 1k(k + 1)
∑k=1
n 1k
1k + 1
12
12
13
+ ( − ) + ( − ) + ⋯ + ( − ) = 1 − .13
14
14
15
1n
1n + 1
1n + 1
= (1 − ) = 1 − 0 = 1.limn→+∞
∑k=1
n 1k(k + 1)
limn→+∞
1n + 1
L = .limn→+∞
n
2n
SOLUCIÓN
=yn 2n +∞. = n.xn
= = = 0.limn→+∞
−xn+1 xn
−yn+1 yn
limn→+∞
n + 1 − n
−2n+1 2nlim
n→+∞
12n
L = 0.
p ∈ N = .limn→+∞
1np+1
∑k=1
n
kp 1p + 1
SOLUCIÓN
= ,xn ∑nk=1 kp = .yn np+1 { }yn
Tenemos el cociente de dos polinomios en con el mismo grado, por tanto:
Como consecuencia del criterio de Stolz,
9 Calcular
Podemos escribir:
Ahora bien, como deducimos del criterio de la media aritmética que
10 Demostrar que la implicación que aparece en el criterio de la media aritmética no es reversible.
Consideremos como contraejemplo la sucesión no convergente y sea la sucesión de sus medias aritméticas. Las subsucesiones de las medias
aritméticas para términos pares e impares son:
Se verifica y de lo cual se deduce que Es decir, la sucesión no es convergente, pero si lo es la de sus medias aritméticas.
= =−xn+1 xn
−yn+1 yn
(n + 1)p
(n + 1 −)p+1 np+1
+ p + … + 1np np−1
(p + 1) + ⋯ + 1np
n
= .limn→+∞
−xn+1 xn
−yn+1 yn
1p + 1
= .limn→+∞
1np+1
∑k=1
n
kp 1p + 1
L = ( + + + ⋯ + ) .limn→+∞
35n
510n
715n
2n + 15n2
SOLUCIÓN
+ + + ⋯ + = .3
5n
510n
715n
2n + 15n2
+ + + ⋯ +35
510
715
2n + 15n
n
=limn→+∞
2n + 15n
25
L = .25
SOLUCIÓN
= (−1 ,an )n
= ( + + ⋯ + )/nbn a1 a2 an
= = 0,b2n
−1 + 1 − 1 + ⋯ + 12n
= = .b2n−1−1 + 1 − 1 + ⋯ − 1
2n − 1−1
2n − 1
{ } → 0b2n → 0b2n−1 { } → 0.bn { }an
Recommended