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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Resumen Teórico sobre Criterios de Convergencia para Series Página 1 de 12
SUCESIONES Y SERIES
SUCESIONES
La convergencia en una sucesión tiene como fundamento la tendencia de la misma y básicamente se refiere a la existencia de un valor al cual se acercan los términos de la sucesión;
divergenteessucesiónlaqueestablecerpodemosentonces,existenooLsi
econvergentessucesiónlaqueestablecerpodemosentonces,negativoopositivoseayanuméricovalorunesmdonde,mLsi
alim nn
Para comprender mejor el concepto de sucesión, analizaremos un ejercicio sencillo, pero altamente didáctico;
1devalorunaacercanseosmintérsusyeconvergentessucesiónla,totanlopor
1n
11
1lim
n1n
1
1nn
lim
1nn
lim1n
nlimalim
1nn
,...,98
,87
,76
,65
,43
,32
,21
1nn
nn
nnn
n
1n
Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
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Lalim nn
Ejemplo de Repaso Determine si la sucesión planteada converge o diverge:
0nlnn
1n3
1limH'L
nnlnlnn3ln
lim
nnlnn3
lnlim
nlnn3
lnn1
lim
1eeelimnlnn3
lim
nlnn3
limnlnn3
limalim
nlnn3
nn
nn
0nlnn3
lnn1
limnlnn3
lnn1
n
n1
n
0n1
n
n1
nn
n
2n
n1
n
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SERIES
n1n
n a...54321a
La convergencia en una serie tiene como fundamento la existencia del acercamiento a una sumatoria definida por parte de todos los términos que la conforman. Los criterios de convergencia que se estudiaran a continuación, únicamente cumplen la función de indicarnos si la serie posee una sumatoria específica (convergente) o no posee dicha sumatoria específica (divergente), pero el material no incluye determinar el valor de la sumatoria, excepto en los casos donde la serie estudiada se encuentre dentro de las series típicas (geométricas, telescópicas, entre otras.)
Procedimiento Recomendado sobre la aplicación de Criterios de Convergencia para Series de Términos Positivos
1.-) Criterio del n-ésimo Término para la Divergencia
0alim nn
NO
SERIE DIVERGENTE
SI 2.-) Utilizar Criterios de Series Conocidas
2.1.-) Serie geométrica 2.2.-) Serie armónica
2.3.-) Serie telescópica 2.4.-) Serie – p
o 3.-) Utilizar Criterio de la Integral
o 4.-) Criterio de la Comparación
Ordinaria o
5.-) Criterio de la Comparación Límite o
6.-) Utilizar Criterio de la Raíz o
7.-) Utilizar Criterio del Cociente
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1.-) Criterio del n-ésimo Término para la Divergencia
Teoremas Importantes
1.1.-) si
1nna converge, entonces 0alim n
n
1.2.-) si 0alim nn
ó nn
alim
no existe, entonces
1nna diverge.
Ejemplo:
adivergencideomintérésimondelcriteriopordivergenteesn2n3
n
totanlopor;031
n23
1lim
n1n
1
n2n3
nlim
n2n3
nlim
n2n3
nlim
n2n3
n
1n23
3
n3
3
23
3
n23
3
n
23
3
n
1n23
3
2.-) Criterios de Series Conocidas
2.1.-) Serie Geométrica
Una serie del tipo
1n
1nar converge si y solo si, 1r donde “r” se denomina razón y por lo tanto
dicha serie tiene una suma S = r1
a
2.2.-) Serie Armónica
Una serie del tipo
1n n1
...31
21
1n1
se denomina armónica y por definición o demostración
matemática, esta serie es divergente. Cabe mencionar que ésta serie es especial, ya que representa una excepción al criterio del n-ésimo
término para la divergencia, tal como se muestra a continuación:
1n n0
n1
limn1
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Bajo este resultado y de acuerdo a la estructura de trabajo predeterminado para las series de términos positivos, como el límite del n-ésimo termino nos brinda una respuesta de cero, entonces deberíamos continuar con el proceso matemático destinado para probar su convergencia o divergencia, esto a través de los criterios, pero en este caso no es necesario ya que la serie armónica ha sido definida como divergente. 2.3.-) Serie Telescópica
Una serie del tipo
1n1nn bb se denomina telescópica o colapsante y su estructura básicamente
consiste en el término n-ésimo menos el término siguiente.
2.3.1.-)
1n1nn bb converge si LSlim n
n
,
2.3.2.-)
1n1nn bb diverge sí n
nSlim
, no existe o brinda como resultado infinito.
Donde Sn se denomina suma parcial y es un término que será creado a partir de la generación de los primeros términos de la serie y observación/análisis de su comportamiento. Ejemplo:
n
1nnn
n
1nn
1n
Sparcialsumasudelímiteelexiste
porqueeconvergentes3n2n
1totanlopor;
31
3n1
31
limSlim
3n1
2n1
2n1
1n1
...61
51
51
41
41
31
3n1
2n1
S
entonces;3n
12n
1...
3nB
2nA
3n2n1
parcialesfraccionesaplicamos,atelescópicserieunadeformatoelbuscando
3n2n1
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2.4.-) Serie – p
Una serie del tipo ppp
1np n
1...
3
1
2
11
n
1
, se denomina serie – p.
2.4.1.-) una serie
1npn
1 converge si y solo si 1p .
2.4.2.-) una serie
1npn
1 diverge si y solo si 1p . (si p=1 es una serie armónica)
3.-) Criterio de la Integral
Sea f(x) una función de
1nna donde f(x) es continua, positiva y decreciente durante todo el intervalo
donde la serie está definida ([1,+oo[ para éste caso de explicación), entonces:
3.1.-) si
1dxxf diverge, entonces
1nna diverge.
3.2.-) si
1dxxf converge, entonces
1nna converge.
Ejemplo:
divergenteestambiénnlnn
1entonces,divergenteesdx
xlnx1
como
xlnlnwlnwdw
xdxdw
xlnw
dxxlnx
1
2lnlnlimulnlnlimxlnlnlimdxxlnx
1limdx
xlnx1
egralintladecriterioelaplicarpodemostotanlopory,2ervalointelen
derivadaera1signosdetablaedecrecientypositiva,continuaesxlnx
1xf
entonces,estudiadaserieladefunciónunaxlnx
1xfsea
nlnn1
2n2
uu
u2u
u
2u2
2n
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4.-) Criterio de la Comparación Ordinaria
Éste criterio consiste en comparar la serie requerida en un ejercicio contra una serie conocida (geométrica, armónica o serie–p), que por lo general es extraída apoyándonos en los elementos que conforman el ejercicio a ser resuelto y como la serie comparativa es una serie típica que ya posee una estructura definida por los postulados matemáticos pertenecientes a éste tema, entonces conoceríamos también si la misma es convergente o divergente. 4.1.-) Si decidimos comparar el ejercicio contra una serie conocida divergente, entonces debemos verificar el cumplimiento de la siguiente desigualdad:
nn
1nn
1nn
ab
divergenteconocidaserieb
ejercicioseriea
Luego procedemos a simplificar algebraicamente esa desigualdad y si obtenemos como resultado que la misma se cumple, entonces la “serie ejercicio” será declarada “divergente” porque fue comparada con una “divergente conocida”; Caso contrario, NO podemos establecer que la “serie ejercicio” es convergente, únicamente basados en el incumplimiento de la desigualdad; motivo por el cual se facilitan dos recomendaciones de procedimiento en los casos donde la desigualdad no se cumple: Seleccionar y probar con otra serie conocida divergente ó Seleccionar y probar con otro criterio de convergencia para series positivas
Ejemplo:
ordinariancomparaciódecriteriodeltravésadivergenteconocidaserieunaconcomparadaseraldivergentees
nlnn1
serielaentonces,cumpleseddesigualdalacomo
verdadero0nlnnnnln
nnlnnnlnn
1n1
;definiciónpordivergenteyarmónicalaesquen1serielaconentarint
podemos,iónrecomendacdichadevistaenyejercicioelenpropuestaserieladeelementoslosreferenciacomotomandoconocidaacomparativserielaextraemos
nlnn1
1n
1n
1n
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4.2.-) Si decidimos comparar el ejercicio contra una serie conocida convergente, entonces debemos verificar el cumplimiento de la siguiente desigualdad:
nn
1nn
1nn
ba
econvergentconocidaserieb
ejercicioseriea
Luego procedemos a simplificar algebraicamente esa desigualdad y si obtenemos como resultado que la misma se cumple, entonces la “serie ejercicio” será declarada “convergente” porque fue comparada con una “convergente conocida”; Caso contrario, NO podemos establecer que la “serie ejercicio” es divergente, únicamente basados en el incumplimiento de la desigualdad; motivo por el cual se facilitan dos recomendaciones de procedimiento en los casos donde la desigualdad no se cumple: Seleccionar y probar con otra serie conocida convergente ó Seleccionar y probar con otro criterio de convergencia para series positivas
5.-) Criterio de la Comparación en el Límite
Éste criterio consiste en comparar la serie requerida en un ejercicio contra una serie conocida (geométrica, armónica o serie–p), que por lo general es extraída apoyándonos en los elementos que conforman el ejercicio a ser resuelto y como la serie comparativa es una serie típica que ya posee una estructura definida por los postulados matemáticos pertenecientes a éste tema, entonces conoceríamos también si la misma es convergente o divergente.
Sean
1nna (serie ejercicio) y
1nnb (serie conocida convergente o divergente) series con términos
positivos, entonces:
.divergeaentonces,divergeb&Lsi).3.5
.convergeaentonces,convergeb&0Lsi).2.5
divergebsidivergea
yconvergebsiconvergeaentonces;0Lsi).1.5
Lba
lim
1nn
1nn
1nn
1nn
1nn
1nn
1nn
1nn
n
nn
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Luego de resolver el límite, debemos comprobar la respuesta contra el esquema mostrado anteriormente; Si en dado caso, no es posible establecer una coincidencia con ninguno de los parámetros predeterminados, entonces NO se puede concluir una respuesta puntual/definitiva sobre la convergencia/divergencia en relación a la serie estudiada en el ejercicio; motivo por el cual se facilitan dos recomendaciones de procedimiento en los casos donde no existe coincidencia: Seleccionar y probar con otra serie conocida convergente/divergente ó Seleccionar y probar con otro criterio de convergencia para series positivas
Ejemplo:
límiteelenncomparaciódecriterio
poreconvergentes11n2n
2n3seriela,03Lcomofinalmentey
3
n11
n21
n23
lim
n1n
1
11n2n
n2n3lim
11n2n
2n3nlim
n
111n2n
2n3
limba
lim
12pporqueeconvergentpserie
unaesquen
1serielaconentarintpodemos,anteriorlodevistaenqueasi
n
1
n
n
n11
n21n
n2nn
11n2n
2n3
initoinfallímitestrabajardemomentoalldiferenciacálculoenestudiadaebraicalgaaherramientunaaplicando,ejercicioelenpropuestaserielade
elementoslosreferenciacomotomandoconocidaacomparativserielaextraemos11n2n
2n3
1n23
3n
3
3
23
23
n23
2
n2
23
nn
nn
1n2
233
323
1n23
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6.-) Criterio de la Raíz
Sea
1nna la serie a estudiar, el criterio de la raíz consiste en aplicar el siguiente procedimiento:
.econcluyentesnoraízladepruebala;1Lsi).3.6
.divergenteesaserielaentonces;Ló1Lsi).2.6
.econvergent
nteabsolutameesaserielaentonces;1Lsi).1.6
Lalim
1nn
1nn
n nn
Cuando la prueba de raíz no es concluyente, lamentablemente éste criterio no ayuda a determinar la convergencia o divergencia de la serie estudiada, motivo por el cual debemos probar con otro criterio. Ejemplo:
.raízdecriterioporeconvergentes2n33n2
entonces,132Lcomo
32
n23n
32lim
n1n
1
2n33n2
lim
2n33n2
lim2n33n2
lim2n33n2
limalim
2n33n2
1n
n
nn
nn
nn
n
nn
n
nn n
n
1n
n
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7.-) Criterio del Cociente
Sea
1nna la serie a estudiar, el criterio del cociente consiste en aplicar el siguiente procedimiento:
.econcluyentesnococientedelpruebala;1Lsi).3.7
.divergenteesaserielaentonces;Ló1Lsi).2.7
.econvergent
nteabsolutameesaserielaentonces;1Lsi).1.7
La
alim
1nn
1nn
n
1n
n
Cuando la prueba del cociente no es concluyente, lamentablemente éste criterio no ayuda a determinar la convergencia o divergencia de la serie estudiada, motivo por el cual debemos probar con otro criterio. Ejemplo:
!n1n123...3n2n1nn1n!1n
123...3n2n1nn!n
e1n
nlim&e
n1n
limsmatemáticaesDefinicion
.cocientedecriteriopordivergentees!n
nentonces,1eLcomo
en1
1limn
1nlim
n
1nlim
n!n1n
!n1n1nlim
n!1n
!n1nlim
!nn
!1n1n
lim
!nn
!1n1n
lima
alim
!nn
1n
n
n
n
1n
n
n
n
n
nn
n
nn
1n
n
n
1n
nn
1n
nn
1n
nn
1n
n
1n
n
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Bibliografía Utilizada para la Conformación Teórico/Práctica del Contenido Propuesto 1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación. 2. Sánchez, G.; Castro, J. (2001). Cálculo Integral (Ejercicios y Problemas), 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM). México. Thomson Editores 3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores. 4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana. 5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning Editores. 6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación. 7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación. 8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de
Chile. Santiago de Chile. 11. Carrasco, P.; Torres, G. (2008). Matemáticas IV – Cálculo Integral, 1ª ed. México. Cengage Learning Editores. 12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República Bolivariana
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Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela. 14. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001. Santiago
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Superiores de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores.
JCLZ1209® D.R.2015
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