View
230
Download
6
Category
Preview:
DESCRIPTION
Tema 7 trigonometira mates 4 ESO
Citation preview
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 1/30
Les Boques del Cel
De segur que tenia poders màgics. Aquell cofre d’eben amb guarnimentsde plata l’atreia d’una manera tal que donaria qualsevol cosa per esbrinar
el contingut que el seu mestre, en Claudi Ptolemeu, hi guardava zelosament.El moment havia arribat i el cor l’amenaçava d’escapar-se-li per la boca.En Ptolemeu, per fi, havia acabat la seva feina i es disposava a revelar el misteri.El jove Nemes l’apressava parlant sense parar.
–Sabeu, mestre? Sempre he volgut veure el tresor del cofre.De vegades somniava que em podia fer tan petit que hi podiaentrar pel pany i, aleshores, el món sencer era dins,i corria mil aventures, i... Si us plau, digueu-mequè hi ha dins!
En Ptolemeu no es va poder aguantar el riure i,mentre obria el cofre, amb gran solemnitat, li va dir:
–Aquí tens tot el món: els mars i les terres, els riusi els deserts, les muntanyes i les valls.
En Nemes no podia donar crèdit al que veia:un mapa que representava tot el món. Va resseguirel Nil amb el dit i, de sobte, va exclamar:
–El naixement de la divinitat és tal com diuenels sacerdots: «Trobaràs les Boques del Cel mésenllà de les Muntanyes de la Lluna.» Però,com heu estat capaç de saber-ne l’indret exactesi no heu viatjat mai a aquests llocs?
–Parlo amb els viatgers, n’hi ha que mesurenels angles amb els quals es veuen alguns estels,cosa que me’n dóna la posició exacta: a anglesiguals hi corresponen distàncies semblants.
L’altura sobre el costat desigual, que fa 5 cm,d’un triangle isòsceles és de 4 cm. Quina midatindria un triangle semblant si l’altura fos de 7 cm?
4
5
7 5 7
4 8,75 cm = = =
xx→
⋅
4 c m
5 cm 7 c m
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 2/30
214
EXERCICIS
Calcula les raons trigonomètriques dels angles α i β.
a) b)
Troba les raons trigonomètriques dels angles:
Raona per què les raons trigonomètriques d’un angle no depenen del triangle
que escollim.
Si les raons no depenen del triangle és perquè són triangles semblants,
i el quocient dels seus costats és constant.
003
h = + =
= = = =
56 33 65
56
650 86
33
650 51
2 2 cm
sin , sin ,
c
α β
oos , cos ,
tg , tg
α β
α β
= = = =
= =
33
65 0 51
56
65 0 86
56
331 7 == =
33
560 59,
3 3 c
m
56 cm
h
α
β
002
b) sin , sin ,
cos ,
α β
α
= = = =
= =
20
290 69
21
290 72
2129
0 722 2029
0 69
20
210 95
21
201 05
cos ,
tg , tg ,
β
α β
= =
= = = =
a) sin , sin ,
cos , co
α β
α
= = = =
= =
15
25 0 620
25 0 8
20
250 8 ss ,
, tg ,
β
α β
= =
= = = =
15
250 6
15
200 75
20
151 33tg
29 cm
20 cm
β
α
2 1 c m
15 cm
2 0 cm
25 cmβ
α
001
Trigonometria
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 3/30
215
7SOLUCIONARI
Calcula la resta de raons trigonomètriques mitjançant les relacions que hi ha
entre elles:a) sin α= 0,3 b) sin β = 0 c) cos γ = 0,4 d) tg δ = 2
Hi ha cap angle amb sin α= 0,4 i cos α= 0,6? Justifica la resposta.
sin2 α + cos2 α = 1
(0,4)2 + (0,6)2 = 0,16 + 0,36 = 0,52 1 → No n’hi ha cap.
Hi ha cap angle amb tg α= 2 i amb el sinus que sigui el doble que el cosinus?
Calcula el valor de les expressions següents:
a) cos 30° − sin 60° + tg 45° c) tg 60° + sin 45° − cos2 30°
b) cos2 60° − sin2 45° d) tg 30° + tg 60° − sin 30° ⋅ cos 30°
d) 30° 60° 30° 30°tg tg sin · cos ·+ − = + −3
33
1
2
3
2
13 3
12=
c) 60° 45° 30°tg sin cos+ − = + − = + −2 3
2
2
3
4
4 3 2 2 3
4
b 60° 45°) cos sin2 2 1
4
1
2
1
4− = − = −
a) ° 60°cos sin tg º30 45 3
2
3
21 1− + = − + =
007
tg sin
cossin · cos Sí que n’α
α
αα α= = =2 2→ → hhi ha.
006
005
d) sin cossin
cos
sin2 2 1
2
δ δδ
δ
+ =
=
δδ δδ δ
= + =
22 1
5
2 2·cos
( · cos ) cos
·
→
→ cos cos
sin · cos sin
2 1 1
5
5
5
2
= = =
=
δ δ
δ δ δ
→
→ == =2 5
5
2 5
5·
c) sin
sin
sin cos ( , )2 2 2 21 0 4 1
1
γ γ γ
γ
+ = + =
=
→
→ −− = =
= =
0,16 0,84 0,92
tg 0,92
0,
sin
costgγ
γ
γγ→
442,3=
b) sin cos cos cos cos2 2 21 0 1 1β β β β+ = + = =→ → →
ββ
β
β ββ
=
=
= =
1
1
0
cos –
tg sincos
a) sin cos ( , ) cos
cos – (
2 2 2 21 0 3 1
1
α α α
α
+ = + =
=
→
→ 00 3 0 91 0 95
0
2, ) , ,
tg sin
costg
= =
= =α α
αα→
,,
,,
3
0 950 32=
004
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 4/30
216
Trigonometria
Determina l’altura d’un triangle equilàter de 5 cm de costat sense aplicar-hi
el teorema de Pitàgores.
Troba la diagonal d’un quadrat de 3 cm de costat mitjançant les raons
trigonomètriques.
Calcula la mida dels elements que falten al triangle següent.
Posem noms als angles i als segments.
Apliquem les fórmules i obtenim:
C = 90° − 30° = 60°
Determina l’altura d’un arbre si des d’una distància del peu de 5 m en veiem
la capçada amb un angle de 54°.
Fem un esquema del problema,
i apliquem la fórmula de la tangent:
Podries trobar els costats d’un triangle rectangle si saps que els seus angles
aguts són de 23° i 67°? Per què?
No, perquè l’única cosa que podem saber és la relació entre els costats
i hi ha infinites solucions, tot i que tots els possibles triangles són semblants.
012
tg tg ,° ° m545
5 54 6 88= = ⋅ =h h →
011
tg tg ,30 30 5 21
3
3° ° cm= = ⋅ = ⋅ =
b
c
b c →
coscos
,,30
30
5 26 01°
° 3
2
cm= = = =
c
a a
c →
010
d sin
= = = = =
3
45
3
2
2
6
2
6 2
23 2
°cmd
3 cm
009
h = = =5 53
2
5 3
2· sin ·60° cm
60°
5 cm
h
008
c = 5,2 cm
30°B A
C
a b
5 m
54°
h
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 5/30
217
7
Quina és l’àrea del triangle si A$ = 30°?
Troba l’àrea d’un hexàgon regular de 4 cm de costat.
Calcula l’àrea d’un triangle isòsceles amb els costats iguals de 8 cm i l’angle
desigual de 45°.
En Fèlix vol mesurar un dels arbres que hi ha al costat de casa seva.
Per fer-ho, ha demanat un teodolit i ha mesurat alguns angles i distàncies.
Quant fa l’arbre?
x h
x h x x
·
· ) ·
tg 60°
( ) tg ° (
=
+ =
= +
10 30 3 10→
33
32 3 10 3 5
5 3
→ →x x
h
· ·
·
= =
= =
m
8,66 m
60° 30°
10 mx
h
G G
016
A = = =
8 82
2
216 2
· ·
· 22,63 cm2
015
α =
= = =
60°
sin °A 4 4 602
6
16 3
22
6 24· · ·
·
· · 3 2= 41,57 cm
014
h
A
= = =
= =
75 75 12
150
22
· ·
·
sin 30° 37,5 m
37,5..812,5 m2
1 5 0 m
75 m
B
C A
013
SOLUCIONARI
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 6/30
218
Calcula l’àrea d’una parcel·la triangular si saps que dos dels costats fan 20 m
i 30 m, i que els angles diferents dels que estan compresos entre aquestscostats fan 80° i 70°.
El tercer angle fa: 180° − 80° − 70° = 30°.
Troba el valor de x .
ACTIVITATS
Calcula les raons trigonomètriques dels angles marcats en cada cas:
a) c)
b)
a) sin = 1
8
0 cos =
1
6
0 tg =
8
6
b) sin = 1
1
2
3 cos =
1
5
3 tg =
1
5
2
c) sin = 1
3
6
4 cos =
3
3
0
4 tg =
1
3
6
0
sin = 3
3
0
4 cos =
1
3
6
4 tg =
3
1
0
6
019
●
cos 30° =+
=+
⋅ = +
=⋅ −
12
61
3
2
12
6161 3 24 2
61 3
x x x
x
→ →
→ 2242
= 40,8 m
30°
20°
x 12 m
6 1 m
F
018
A = =30 20
2150 2· · sin 30°
m
017
Trigonometria
6 cm
8 cm
5 cm12 cm
13 cm
34 cm
16 cm30 cm
10 cm
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 7/30
219
7SOLUCIONARI
Les longituds dels catets d’un triangle
rectangle són 5 cm i 12 cm.Calcula les raons trigonomètriques
dels dos angles aguts del triangle.
Troba les raons trigonomètriques dels dos angles d’un triangle rectangle
que té la hipotenusa de 3 cm i un dels catets d’1 cm.
Amb l’ajut d’un regle graduat,
troba el valor aproximat
de les raons trigonomètriques
dels angles que hi ha marcats:
sin α =2
4
,
,
1
7
= 0,45 cos α =4
4
,
,
1
7
= 0,87 tg α =2
4
,
,
1
1
= 0,51
sin β =4
4
,
,
1
7 = 0,87 cos β =
2
4
,
,
1
7 = 0,45 tg β =
4
2
,
,
1
1 = 1,96
Donat el triangle rectangle següent,
calcula les raons trigonomètriques
de l’angle marcat per mitjà
del triangle més gran i del més petit.
Aconsegueixes el mateix resultat?
Raona la resposta.
Per mitjà del triangle més gran:
Per mitjà del triangle més petit:
El resultat és el mateix, ja que els dos triangles són semblants.
sin , cos ( , ) , tg,
,α α α= = = − = =
48
800 6 1 0 6 0 8
0 6
0 8
2 == 0 75,
sin , cos , tg ,α α α= = = = = =60
1000 6
80
1000 8
60
800 755
60 cm48 cm
80 cm
100 cm
023
●●
022
●
c = − =
= = =
=
3 1 8
8
3
1
38
1
3
2 2
sin cos tg
sin c
cm
α α α
β oos tgβ β= =8
3
2
4
021
●
a = + =
= = = =
5 12 13
12
13
5
13
2 2 cm
sin 0,923 cos 0,3α α 885 tg 2,4
sin 0,385 cos 0,
α
β β
= =
= = = =
12
55
13
12
13
9923 tg 0,417β = =5
12
αβ
5 cm12 cm
13 cm
020
●
βα
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 8/30
220
Transforma en radians aquests angles:
a) 45° b) 180° c) 30° d) 60°
Passa a graus els angles següents:
a) rad b) 0,33 rad c) rad d) 2 rad
a) 270° b) 18,91° c) 45° d) 114,64°
Calcula les raons trigonomètriques d’aquests angles si saps que:
a) sin α= 0,6 b) cos α= 0,45 c) tg α= 0,577 d) sin α=
b) d)sin , sin
cos , cos
tg
α α
α α
= =
= =
0 891
3
0 452 2
3
, tgα α= =1 982
4
a) c)sin , sin ,
cos , cos ,
t
α α
α α
= =
= =
0 6 0 5
0 8 0 866
gg tg ,α α= =3
40 577
1
3
027●
π
4
3
2
π
026●●
d) 60° rad= π
3b) 180° rad= π
c) 30° rad= π
6a) 45° rad=
π
4
025●●
FES-HO AIXÍ
COM TRANSFORMEM GRAUS EN RADIANS, I VICEVERSA?
Quants radians són n graus? I quants graus són α radians?
PRIMER. Plantegem una regla de tres per calcular les quantitats desconegudes.
360° 2π rad 360° 2π rad
n x rad y α rad
SEGON. Quan resolem les regles de tres, obtenim les fórmules per passar de graus
a radians, i viceversa.
Així doncs, per exemple:
360 2 2360 180
° radrad
rad
→π π πn x
x n n
= ⋅ = ⋅ rrad
° rad
rad
360 2 360
2
→π
α
α
πα
y y
=
⋅= ⋅
1180
πgraus
30° rad 1 rad 1180
57,296° 57° 1= ⋅ = = ⋅ = =30180 6
π π
π77 45' ''
024
Trigonometria
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 9/30
221
7
Troba el valor de les raons trigonomètriques d’aquests angles si:
a) b)
Comprova si aquestes afirmacions són certes:
a) Si sin α = 0,45; aleshores cos α = 0,55.
b) Si tg α = 1; aleshores cos α = sin α.
c) Si sin α = ; aleshores tg α = 2.
d) Si cos α = 0,8; aleshores tg α és més petit que 1.
a) Fals
b) Cert
c) Fals
d) Fals
030
cos α
2
029●●
a) b)sin sin
cos cos
tg
α α
α α
α
= =
= =
=
2 2
3
1
6
1
3
35
6
22 235
35
tg α =
sin α =1
6cos α =
1
3
028●
SOLUCIONARI
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM LES RAONS TRIGONOMÈTRIQUES AMB LA CALCULADORA?
Calcula sin α, cos α i tg α si α = 70° 42' 50''.
PRIMER. Ajustem el Mode , segons si mesurem els angles en graus o en
radians.
Graus →
Radians →
SEGON. Introduïm el càlcul a la calculadora especificat en graus, minuts i segons.
70 42 50
TERCER. Premem la tecla corresponent a la raó trigonomètrica.
Sinus → 70 42 50 = 0,94388...
Cosinus → 70 42 50 = 0,33028...
Tangent → 70 42 50 = 2,85777...
En alguns tipus de calculadores, la seqüència de tecles és diferent: primer hem
d’introduir la funció ( ) i, després, l’angle. tancossin
tan°' ' ' °' ' '
cos°' ' ' °' ''
sin°' ' ' °' ' '
°' ' ' °' ' ' °' ' '
RADMODE
DEGMODE
MODE
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 10/30
222
Amb l’ajut de la calculadora, determina les raons trigonomètriques
dels angles següents:
a) 53° 36' 5'' c) 17° 42' 57''
b) 50° 12' 41'' d) 85° 50' 12
Troba amb la calculadora les raons trigonomètriques de 48° i comprova
que es verifiquen les igualtats:
a) sin2 48° + cos2 48° = 1
b) tg 48° =
Raona si existeix un angle α que compleixi aquestes igualtats:
No hi ha cap angle que les compleixi, ja que:
Determina si existeix cap angle que pugui tenir aquestes raons trigonomètriques:
a) c)
b) sin α = π d) tg α = 0,5
a) No és possible (sin α > 1).
b) No és possible (sin α > 1).
c) És possible (sin α < 1).
d) És possible.
sin α =2
5sin α =
3
2
034
●●
1
3
1
5
1
9
1
25
34
225
2 2
+
= + = ≠ 11
sin cosα α= =1
5
1
3i
033
●●
b)0,743
0,6691,11=
a) (0,743) (0,669) 0,552 0,4482 2 1+ = + =
sin ,cos ,tg ,
αα
α
==
=
0 7430 669
1 11
sin
cos
48
48
°
°
032
●
d) sin ,cos ,
tg ,
αα
α
==
=
0 9970 073
13 738
b) sin ,cos ,
tg ,
αα
α
==
=
0 7680 64
1 2
c) sin ,cos ,tg ,
αα
α
==
=
0 3040 953
0 319
a) sin ,cos ,tg ,
αα
α
==
=
0 8050 593
1 356
031
●
Trigonometria
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 11/30
223
7
Raona si hi ha cap angle α que compleixi aquestes igualtats:
Troba les raons trigonomètriques de l’angle α si saps que tg α= sin α.
Sí que hi ha un angle amb aquestes raons trigonomètriques.
Calcula les raons trigonomètriques de l’angle agut α, si sin α= 2 ⋅ cos α.
Si cos α= sin α, en què α és un angle agut, calcula quant valen les raons
trigonomètriques.
Calcula el valor d’aquestes expressions:
a) sin 60° + sin 30° − tg 30° c) tg 60° − tg 30°
b) sin2 45° + cos2 60° − sin2 30° d) cos 60° ⋅ cos 30° + sin 60° ⋅ sin 30°
d) 0° 0° 0° 0°cos · cos sin · sin ·6 3 6 3 1
2+ =
33
2
3
2
1
2
3
2+ =·
c) 0° °tg tg6 30 3 3
3
2 3
3− = − =
b) 45° 60° 30°sin cos sin2 2 2 1
2
1
4
1
4
1
2+ − = + − =
a) ° ° °sin sin tg60 30 30
3
2
1
2
3
3
3 3
6+ − = + − = +
038
●
sin cos
sin cos cos cos
α α
α α α α
=
= + = + =1 22 2 2 2
· cos cos
sin tg sin
cos
2 2
22
2
α α
α α α
α
→ =
= = = 11
037
●●
sin · cos
sin cos · cos
α α
α α α
=
= + = +
2
1 42 2 2 cos · cos cos ,
sin · ,
2 25 0 447
2 0
α α α
α
= =
=
→
4447 0 894
22
=
= =
,
tg · cos
cosα
α
α
036
●●
sin tg cos sin tgα α α α α= = = =→ → →1 0 0
cos sin
tg
sin cos
α α
α
α α
= = =
+ =
3
5
3
4
4
5
35
2 2
+
= =
2 2
45
2525
1
sin tgα α= =
3
5
3
4i
035
●●
SOLUCIONARI
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 12/30
224
Raona si aquestes igualtats són certes:
a) sin2 30° + cos2 60° =
b) 3 ⋅ tg 30° = tg 60°
c) sin 45° + cos 45° = 4
d) cos 30° + sin 60° = tg 30°
Comprova que es verifica la relació sin2
α+ cos2
α= 1, quan α fa:a) 30°
b) 60°
c) 45°
Troba el valor del costat x sense aplicar el teorema de Pitàgores.
a) b)
a) Es tracta d’un triangle isòsceles amb els angles iguals de 60°,
i el tercer angle també de 60°, per la qual cosa és equilàter, i els tres
costats fan 20 cm.
b) cos 30° cm3
2
2 4 3
3= = =
x
x →
α
2 cm30°
x x
2
60°
x x
20 cm
041
●●
c) sin 45° cos 45°2 2+ = + =
1
2
1
21
b) sin 60° cos 60°2 2+ = + =
3
4
1
4
1
a) 30° 30°sin cos2 2 1
4
3
41+ = + =
040●
d) Falsa: cos 30° sin 60° tg 30°+ = + =3
2
3
23
c) Falsa: 5° 5°sin cos4 42
2
2
22 4 2+ = + =
b) Certa: 30° 0°3 3 3
33 6· tg · tg= = =
a) Certa: ° °sin cos2 230 601
4
1
4
1
2+ = + =
2
1
2
039
●
Trigonometria
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 13/30
225
7SOLUCIONARI
Resol el triangle
de la figura següent:
Resol el triangle
següent:
Resol els triangles següents:
a) b)
a)
C = 90° − B = 14°
b)
C = 90° − B = 69°
tg , ,
tg,21
2 2 2 2
215 73°
°cm= = =
c c →
sin , ,
sin,21
2 2 2 2
216 14°
°cm= = =
a a →
cos,
, cos ,766 1
6 1 76 1 48° cm= = ⋅ =c c →
sin,
, sin ,766 1
6 1 76 5 92° cm= = ⋅ =b
b →
C B
21°
2,2 cm
A
C B
76°
6,1 cm
A
044
cos arccos ,C C = = = =5
110 4545 62 57 520,4545 °→ ' "
sin , arcsin ,B B = = = =5
110 4545 0 4545 27 02 08→ ° ' "
c = − =11 5 9 82 2 , cm
C B
5 cm
11 cm
A043
tg ,
,,C C = = = =
3 5
7 20 4861 25 55 300,4861 arctg °→ ' "
tg ,
,, ,B B = = = =
7 2
3 52 0571 2 0571 64 4 30→ arctg ° ' "
a = + =7 2 3 5 82 2, , cm
C B
7,2 cm3,5 cm
A042
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 14/30
226
Resol els triangles rectangles següents:
a) b)
a)
b)
B = 90° − B = 49° 36'
Una tenda de campanya té forma cònica. El pal central té una altura de 3 m
i se subjecta a terra mitjançant dos vents de 8 m de longitud. Calcula l’angle
que formen els vents amb el terra i la distància entre les dues piques
de subjecció.
Representem les dades:
Hem de calcular B i 2x :
x x = − = =8 3 2 14 842 2 7,42 m m→ ,
sin , arcsin ,B B = = = =3
80 375 0 375 22 01 28→ ° ' "
x B
3 m8 m
046
●●
tg , ,
tg,40 24
3 92 3 92
40 244 61°
°cm'
'= = =
b b →
sin
, ,
sin40 24
3 92 3 92
40 24° ° 6,05 cm'
'= = =a a →
tg ,
,C C = = = =
7 62
3 5964 42,1226,4711 arctg 2,1226 °→ 66 25' "
tg ,
,B B = = = =
3 59
7 6225 13 350,4711 arctg 0,4711 °→ ' "
a = + = =7 62 3 592 2, , 70,9525 8,42 cm
C
B A
40° 24'
3, 92 cm
C
B
7, 6 2 c m
3,59 cm
A
045
●
Trigonometria
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 15/30
227
7
Calcula l’altura del campanar d’una església
si saps que, si ens separem 40 m de la seva base,veiem la punta del campanar sota un angle
de 51°.
Un globus està subjectat a terra amb un cable tensat
de 100 m de longitud que forma un angle de 72°.Calcula l’altura a què està el globus.
Les semidiagonals d’un rombe fan 6 cm i 20 cm.
Calcula els angles del rombe.
A una hora determinada del dia, un pal vertical de 15 m projecta una ombra
de 12 m. Quina serà la longitud de l’ombra d’una persona d’1,84 m d’alçada
a aquesta mateixa hora?
tg , tg , ,
tg
,
,a a
x x
a = = = = = =
15
121 25
1 84 1 84 1 82
1 25→ → 11,472 m
1 5 m
1 , 8
4 m
12 m x
050
tg β β
β2
6
20 216 51 57 33 23 54
= = =→ →° °' " ' ""
tg
α α
α2
20
6 2 73 18 03 146 36 0
= = =→ →
° °' " '
66"
2 0 c m 6 cm
α β
β F
049
sin º sin ,72100
100 72 95 11= = ⋅ =h
h → ° m
048
tg tg ,5140
40 51 49 4° ° m= = ⋅ =h
h →
047
SOLUCIONARI
51°
40 m
72°
100 m
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 16/30
228
Determina l’àrea d’un triangle si saps que dos dels costats fan 10 cm i 15 cm,
i que els angles diferents del que hi ha comprès entre aquests costats fan80° i 70°.
El tercer angle fa: 180° − 80° − 70° = 30°.
Troba l’àrea d’aquests triangles isòsceles:
a) b)
a) Si diem b a la base i h a l’altura del triangle:
h = 8 sin 50° = 6,13 cm; = 8 cos 50° = 5,14 cm
L’àrea del triangle és: A = = 5,14 6,13 = 31,5 cm2.b h ·
2
b
2
7 cm
45° 45°
50° 50°
8 cm
053●●
052
A = =30 20
2150 2· · sin 30°
cm
051●
Trigonometria
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRIANGLE ISÒSCELES SI EN CONEIXEM ELS DOS COSTATSIGUALS I L’ANGLE DESIGUAL?
Troba l’àrea d’un triangle isòsceles de costats iguals 5 cm i l’angle desigualde 30°.
PRIMER. Trobem la mida dels angles iguals.
3 + α + α = 180°
SEGON. Calculem l’altura.
TERCER. Determinem la longitud de la base.
Per tant, la base fa: 1,29 ⋅ 2 = 2,58 cm
QUART. Calculem l’àrea.
A b h
=⋅
=⋅
=
2 2
22,58 4,836,23 cm
cos cos755
5 75° ° 1,29= = ⋅ =x
x → cm
sin ° sin °755
5 75 4 83= = ⋅ =h
h → , cm
α =−
=180 30
275
° °°
30°
αα
h
x
5 cm 5 cm
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 17/30
229
7
b) h = 7 sin 45° = 7 = 4,95 cm
= 7 cos 45° = 7 = 4,95 cm
L’àrea del triangle és: A = = 4,95 4,95 = 24,5 cm2.
Quant fan els catets d’un triangle rectangle isòsceles si la hipotenusa
és de 10 cm?
Denominem x cada catet, i sabent que els angles aguts fan 45°:
cos 45° = → x = 10 cos 45° = 10 = 5 cm
Calcula el valor de l’apotema d’un decàgon regular de 20 cm de costat.
Quina àrea té?
L’angle central del decàgon fa: 360° : 10 = 36°.
Troba l’àrea d’un decàgon regular i d’un octàgon regular, tots dos de 6 cm
de costat. Quin és més gran?
Decàgon:
L’angle central del decàgon fa: 360° : 10 = 36°.
Octàgon:
L’angle central de l’octàgon fa: 360° : 8 = 45°.
Té una àrea més gran el decàgon.
Determina l’àrea ombrejada d’aquest octàgon regular:
α
α
= =
=
45°22° 30
tg
2
14 141
'
A
· ·
22
2= 236,59 cm
14 cm
α
057
●●●
tg°
tg 22,5° 7,31 cm45
2
3
= = =a
a A o → == =6
28 2·
·a
175,44 cm
tg°
tg 18° 9,37 cm36
2
3 6
= = = =a
a A d →·
·a
210 2= 281,1 cm
056
●●
A = ⋅ ⋅
=,
.20 10 31 25
23 125 cm2
tg°
tg 18° 31,25 cm36
2
10
= = =
a
a →
055
●●
22
2
x
10
054
●●
b h ·
2
2
2
b
2
2
2
SOLUCIONARI
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 18/30
230
Trigonometria
Calcula l’àrea i el perímetre del trapezi rectangle següent:
B
b
= =
= =
60
60 55
·
·
tg 75° 223,92 cm
tg ° 85,69 ccm
223,92 85,69) 150,69 cm
L’àrea és
c = + − =602 2(
::
223,92 85,699.288,3 cm
El períme
A =+
=
260 2·
ttre fa:
223,92 85,69 150,69 520,3 cmP = + + + =60
55° 6 0 c m
75°
b
B
c
059●●●
058 FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM L’ÀREA I EL PERÍMETRE D’UN TRAPEZI RECTANGLE?
Calcula l’àrea del trapezi rectangle següent:
PRIMER. Trobem la mida de les bases.
SEGON. Calculem l’àrea.
A B b
h =+
⋅ =+
⋅ =
2 275
206,25 129,912.605,625 cm2
tg °
tg ° 129,9 cm
tg 7 °
6075
75 60
075
7
=
= ⋅ =
=
=
b
b
B
B 55 70⋅ =tg ° 206,25 cm
60°
70°
7 5 c m
b
B
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 19/30
231
7
Troba l’àrea d’un pentàgon regular de costat 3 cm.
Triangle OAB :
Àrea del triangle OAB :
Àrea del pentàgon: AP = 10 ⋅ At = 15,5 cm2
Dos costats adjacents d’un camp en forma de paral·lelogram tenen
unes mides de 50 m i 100 m. Calcula l’angle que formen si l’àrea del camp
és de 432 m2.
Com que A = B ⋅ H→ 432 = 100H→ H = 43,2 m
A quina altura vola l’avió si les visuals de dos observadors separats 700 m
entre ells formen els angles que es veuen a la figura?
I substituint: 700 − 0,7071h = 0,5h→ 700 = 1,2071h→ h = 579,9 m
sin , ,30 0 5700
700 0 5° = = −
− = ⋅a
h a h →
sin , ,45 0 7071 0 7071° = = = ⋅a
h a h →
700 m
30° 45°
h
062
●●
sin,
,α α= = =43 2
50
0 864 59 46 07→ ° ' "
100 m
H
α
50 m
061
●●
At = ⋅ ⋅ =1
2 1 5 2 065( , , ) 1,55 cm2
tg, ,
tg,°
°cm36
1 5 1 5
362 065= = =
h h →
a = ⋅
=1
2
360
536
°°
060
●
3 cm
b
O
A
B
a
1,5 cm
SOLUCIONARI
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 20/30
60°
20 m
50 cm
232
Si des d’un punt de terra es veu una torre amb un angle de 48°, amb quin angle
es veurà si la distància és el doble?
Des del punt més alt d’un penya-segat es veu un vaixell sota un angle de 30°.
Quan s’apropa 500 m al penya-segat, l’angle passa a ser de 40°. Calcula
la distància que el separa en aquest moment de terra i l’altura del penya-segat.
I igualant:
Quina altura té aquest arbre?
h = 0,5 + 20 ⋅ tg 60° = 0,5 + 34,64 = 35,14 m
L’arbre té 35,14 m d’altura.
065
●●
h = ⋅ =0 893 1 103 2 985 13, . , , m
0 893 288 7 0 5774 0 2617 288 7 1 103, , , , , . ,x x x x = + = =→ → 22 m
tg , ( ) , ,30500
0 5774 500 288 7 0 5774° =
+
= ⋅ + = +h
x h x x →
tg tg ,40 40 0 893° °= = ⋅ =h
x h x x →
500 m
30° 40°
064
●●
sin,
, arcsin ,α α= =
⋅
= = =h
x
h
h 2 2 0 74310 6728 0 6728 4→ 22 17 05° ' "
sin ,48 0 7431° = =x
h x h →
48° α
x x
h
063
●●●
Trigonometria
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 21/30
233
7
Calcula l’altura de la torre.
Si anomenem h l’altura de la torre, obtenim:
La torre té 25 m d’altura.
A quina distància em trobo d’un edifici de 50 m d’altura si en veig la part més
elevada amb un angle de 60°?
Si anomenem d la distància que em separa de l’edifici:
Un estel està fixat al terra amb un fil de 100 m, que forma un angle de 60°
amb l’horitzontal del terreny. Si suposem que el fil està completament estirat,
determina a quina altura es troba l’estel.
Una llanxa està amarrada al moll per mitjà d’un cap de 25 m, que forma
amb l’horitzontal de la riba un angle de 30°. Si suposem que el cap està estirat
del tot, calcula a quina distància es troba de la riba.
Fem un esquema:
sin ,3025
1
212 5° m= = =
h h →
069
●●●
h = = =100 100 32
50 3· ·sin 60° m
068
●●
tg 60°50°
tg 60°28,87 m= = = =
50 50
3d d →
067
●●●
tg 45° 25 · tg 45° 25 · 1 25 m= = = =
h h
25→
G F
h
45°
25 m
066
●●
25 m
30°
h
SOLUCIONARI
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 22/30
234
Calcula la profunditat d’un pou de 2 m d’amplada si veiem el costat oposat
del fons amb un angle de 30°.
Si anomenem d la profunditat del pou:
El pou té 3,46 m de profunditat.
Determina la superfície d’un logotip amb forma de pentàgon regular inscriten una circumferència de 5 cm de radi.
Calculem la mida de l’angle central:
I l’àrea serà 5 vegades l’àrea del triangle indicat a la figura:
Des d’un vaixell veiem la llum d’un far amb una inclinació de 20°
i, quan avança 18 km en aquella direcció, el veiem amb un angle de 30°.
A quina distància ens trobem del far?
La distància és: 18 + 29,45 = 47,45 km.
→ x ⋅ 0,58 = (x + 18) ⋅ 0,36
→ 0,22x = 6,48→ x = 29,45 km
x h
x h
·
( ) ·
tg 30°
tg 20°
=
+ =
18
072
●●
A A r r
pentàgon triangle
base altura= ⋅ = ⋅
⋅= ⋅
⋅5 5
25
( ⋅⋅=
= ⋅ ⋅ ⋅
=
sin )
sin °59,44 cm2
α
2
55 5 72
2
α = =360
572
°°
071●●●
tg 30°tg 30°
3,46 m= = = = =2 2 2
3
3
6
3d d →
2 m
3 0 °
070
●●●
αr r
h
Trigonometria
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 23/30
235
7
Calcula la quantitat de xapa que cal per fabricar un senyal de stop de forma
octagonal si saps que la diagonal marcada fa 1,25 m.
La quantitat de xapa que cal per fabricar aquesta senyal és equivalent a l’àrea
d’un octàgon regular inscrit en una circumferència de 1,25 : 2 = 0,625 m
de radi.
Dividim l’octàgon en 8 triangles isòsceles iguals. L’angle desigual de cada
triangle isòsceles és un angle central de 360° : 8 = 45°.
Si anomenem A$ i B $ els altres dos angles, obtenim:
→ A$ = = 67,5°
Si h és l’altura del triangle i b , la base:h = 0,625 sin 67,5° = 0,58 m
= 0,625 cos 67,5° = 0,24 m
A = = 0,24 ⋅ 0,58 = 0,14 m2→ ATotal = 0,14 ⋅ 8 = 1,1 m2
Des d’un penya-segat situat a 32 m sobre el nivell del mar s’observen
dues embarcacions. Troba la distància de les embarcacions si els anglessón de 30° i 60°.
Si anomenem x i y les distàncies indicades al gràfic:
tg 30° = → x = 32 tg 30° = 18,48 m
tg 60° = → y = 32 tg 60° = 55,43 m
La distància entre les embarcacions és: 55,43 − 18,48 = 36,95 m.
y
32
x
32
30°60°
32 m
074
●●●
b h ·
2
b
2
180° 45°–
2
A$ = B $
A$ + B $ + 45° = 180°
073
●●
SOLUCIONARI
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 24/30
236
Des d’un punt del terra veiem la part superior d’una torre, que forma un angle
de 30° amb l’horitzontal. Si ens acostem 75 m cap al peu de la torre, l’angleés de 60°. Determina l’altura de la torre.
Si anomenem h l’altura de la torre i x la distància fins al peu de la torre:
→ x tg 30° = (x 75) tg 60°
→ x tg 30° x tg 60° = 75 tg 60°
→ x (tg 30° tg 60°) = 75 1,73 → x = = 112,53 m
h = x tg 30° = 112,53 0,57 = 64,14 m. La torre fa 64,14 m d’altura.
Des de la platja s’observen
dos vaixells. Calcula la distància
que hi ha entre tots dos
amb els angles indicats.
Anomenem d la distància
que hi ha entre els dos vaixells.
Trobem la mida de b i B .
tg 50° = → b = 20 tg 50° = 23,84 m
tg 60° = → B = 20 tg 60° = 20 = 34,64 m
Apliquem el teorema de Pitàgores:
d 2
= 202+ (34,64 − 23,84)2
= 516,64 → d = = 22,73 m
Per tant, la distància que hi ha entre els dos vaixells és de 22,73 m.
Des del cim d’una muntanya, a una altura d’1,114 m, veiem un poble i una
granja situats a la vall, que es troba a una altura de 537 m sobre el nivell
del mar. Si observem el poble amb un angle de 68° i la granja amb un de 83°:
a) Quin dels dos llocs està més a prop de la muntanya?
b) Si la muntanya, el poble i la granja estan alineats, troba la distància
que hi ha entre el poble i la granja.
Fem un esquema:68°
83°
5 7 7 m
x P d G
077
●●●
516,64
3B
20
b
20
076
●●●
–
–
129,75
0,57 1,73
x ⋅ tg 30° = h
(x − 75) ⋅ tg 60° = h
075
●●●
b B
60°
20 m
50°
Trigonometria
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 25/30
237
7
a) Com es veu en l’esquema, el poble està més a prop de la muntanya.
b) Calculem l’altura que hi ha entre el cim de la muntanya i la vall:1.114 − 537 = 577 m
I apliquem la definició de tangent a cadascun dels triangles:
Per tant, d = 4.699,29 − 1.428,13 = 3.271,16 m
El pilot d’un avió observa un punt del terreny amb un angle de depressió de 30°.
Divuit segons més tard, l’angle de depressió que obté sobre el mateix punt
és de 55°. Si vola horitzontalment i a una velocitat de 400 milles/hora,
calcula l’altitud de vol.
Dos pobles, A i B , estan situats
en una carretera que va del nord al sud.
Un altre poble, C , a 10 quilòmetres
en línia recta de la carretera anterior,
està situat a 20° al sud-est de A i a 30°
al sud-est de B . Quina distància
separa A de B ?
AP tg
BP tg
AB A
= =
= =
=
10
10
301
º
20°27,47 km
7,32 km
P P BP − = 10,15 km
079
●●●
La distància recorreguda per l’avió és: 400
·
( ) ·
·18
3.600milles.
tg 55°
=
=
+
20
20
x h
x ttg1,43 0,58
0,8
º· ( ) ·
3020
=
= +
h x x →
→ 55 11,6 13,65 milles
13,65 1,43 19,52
x x
h
= =
= =
→
· milles. L’altitud de vol és de 19,52 millees.
078
●●
tg tg . ,83577
577 83 4 699 29° ° m= +
+ = ⋅ =x d
x d →
tg tg . ,68577
577 68 1 428 13° ° m= = ⋅ =x
x →
SOLUCIONARI
30° 55°
20 milles
A C
h
x
3 0 °
20°
10 km
A
B
C
P
G
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 26/30
238
La superfície d’un terreny en forma de trapezi és de 1.200 m2.
Si sabem que té dos angles de 45° i que la base petita fa 65 m,calcula la base gran i la distància entre les bases.
La base més gran fa 95 m i la distància entre les bases és de 15 m.
Quant aconseguirà el propietari per vendre aquesta parcel·la
si li paguen 300 € /m2?
Calcula la superfície d’aquest terreny:
BAC = 33° 45' DAE = 42° 15'
CAD = 24° 13' EAF = 33° 41'
082
●●●
A = =
=
120 50 40
2
· ( · )sin °1.928,36 m
Preu 1.9
2
228,36 300 578.508· = x€
1 2 0 m
40°
50 m
h
081
●●●
tg °
( )· .
45
65 65 2
21 200 2
= =
+ +=
=
h
x x h
x h h
x h
→
→ ++ − =
=
= −
65 1 200 0h
h
h
.
→15
80 (solució no vàlida)
= + =B x 65 2 5 m
45°
65 cm
45°
h
x x
080
●●●
Trigonometria
1 5 1 m
1 4 2 m 2
3 2
m
2 4 5 m
220 m
F
E D
C
B A
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 27/30
239
7
Sense fer servir la calculadora, ordena de més petit a més gran:
a) cos 24° sin 113° cos 292° b) tg 242° 1,70
Dos costats d’un triangle fan 15 cm i 20 cm:
a) Quina és l’àrea màxima que pot tenir aquest triangle? Per què?
b) Quin tipus de triangle és en aquest cas?
a) L’àrea del triangle és:
L’àrea màxima que pot tenir és 150 cm2, quan el sinus val 1.
b) L’àrea més gran s’aconsegueix quan el sinus és igual a 1, és a dir,
quan l’angle fa 90° i, per tant, és un triangle equilàter.
Dedueix una fórmula per a tg (α + β)
a partir de la longitud dels segments
de la figura:
tg ( )α β+ = AB
AF A B
F 1 m
D E
β
C
α + β
α
85
●●●
A a b
A a b
A
= ≤
≤
≤· · ·
·
sin sinα α
2 2
15
1 →
220
2150=
084
●●●
b) tg ° tg ° ° tg °tg ° 1,70
( )242 180 62 6260 3
= + == >
EEn els angles aguts, quant més gran és l’anngle, més gran és la tangent.
1,70 tg °< 62
a) cos °
sin ° sin ° ° cos °
cos
( )
24
113 90 23 23= + =
2292 360 68 68° cos ° ° cos °
En els angles a
= − =( )
gguts, quant més gran és l’angle, més petit és el cosinus.
cos ° sin ° cos °292 113 24< <
083
●●●
A BAC
· ·= =
220 245 33 45
2
2sin °14.972,62 m
'
AA CAD
· ·= =
232 245 24 13
2
sin °11.657,55 m
' 22
142 232 42 15
2A DAE
· ·= =
sin °11.698,17
'mm
sin °5.945,9 m
2
2151 142 33 41
2AEAF = =
· · '
AA A A A ABAC CAD DAE EAF = + + + = 44.274,24 m2
SOLUCIONARI
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 28/30
240
A LA VIDA QUOTIDIANA
Les dades dels mitjans de
comunicació sobre els incendis
que han tingut lloc al país durant
l’estiu no han estat gaire
desfavorables. Tot i això, l’últim
cap de setmana s’ha produït
un incendi en un dels parcs
naturals.
Des d’un dels helicòpters de
protecció civil, que té situatel radar a l’origen de
coordenades, el pilot observa
un foc en direcció nord;
també veu la situació del llac
més proper, a 25°, i de la piscina
municipal, a 120°.
Des de la torre de control
els donen l’avís que el vent
comença a ser més fort i que calcontrolar l’incendi abans que no
es propagui.
On aniran a recollir aigua?
Hem de calcular la distància menor: 20 + d 2, d + d 1.
Aniran a recollir aigua al llac.
d 12 210 30 10 30= ⋅ + − ⋅ =( ) ( )sin ° 36,26 cos ° 28,05
→ d d d + =1 64,31 km
a d a
= ⋅ = = = =20 2560
36 2cos ° 18,13cos °
18,13
0,5,→ 66 km
d 22 210 65 20 10 65= ⋅ + − ⋅ =( ) ( )sin ° cos ° 18,2 km
→ 220 2+ =d 38,2 km
Piscina
Llac
2 01025°
1 2 0 °
d
a a
d 1
d 2
F
086
●●●
I la distància
al llac és de 20 km.
La distància al foc
és de 10 km.
Trigonometria
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 29/30
241
7
L’ajuntament ha decidit construir habitatges de protecció oficial en un terreny.
Per dur a terme el projecte, han contractat un estudi d’arquitectes.
Els encarregats municipals no els han proporcionat
les dimensions del terreny i un dels aparelladors
hi ha fet una visita per fer els amidaments.
Després han presentat un informe
que incloïa les xarxes geodèsiques
del terreny, formades per punts
que s’han mesurat amb alta precisiói que, a més, són els vèrtexs
de triangles adossats els uns als altres.
Amb aquestes dades, determina
la superfície de terreny que serà
edificable.
h = 33 sin 50° = 25,28 m
a = 33 cos 50° = 21,21 m h ' = 43 sin 70° = 40,41 m
La superfície de terreny que serà edificable és de 1.227,09 m2.
A a b h
A
ACD
AB
=+
= =( ) · ·
2 2
237,36 25,28472,23 m
C C
A
a b h
A A
=+
= =
=
( ) · ·'
2 2
237,36 40,41754,86 m
C CD ABC A+ = + =472,23 754,86 1.227,09 m2
b = − =302 225,28 16,15 m
087
●●●
3 3 m
3 0 m
5 0 m
43 m
h h '
b
a
70°
50°
3 3 m
5 0
m
43 m
70°
50°
3 0 m
SOLUCIONARI
7/18/2019 T7 Trigonometira mates
http://slidepdf.com/reader/full/t7-trigonometira-mates 30/30
Geometria analítica8
DIRECCIÓ
RESTA
SENTITMÒDUL
VECTORS
SUMA
OPERACIONS AMB VECTORS
PUNT MITJÀ
D’UN SEGMENT
DISTÀNCIA ENTRE
DOS PUNTS
PROPIETAS ANALÍTIQUES I MÈTRIQUES
EQUACIONS DE LA RECTA
VECTORIAL PARAMÈTRIQUES CONTÍNUA PUNT-PENDENT EXPLÍCITA GENERAL
MULTIPLICACIÓ
PER UN NOMBRE
EQUACIÓ D’UNA RECTAPOSICIÓ RELATIVA
C
INCIDÈNCIA I PARAL·LELISME
Recommended