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problemas parcial uno de dinamica civil ug gto
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Universidad de Guanajuato División de Ingenierías
Facultad de Ingeniería Civil
Tarea No.1
Dinámica
Grupo: 401C
Equipo: Civiles
Profesor: Dr. Israel Quirós Rodríguez
Fecha de entrega: 17 de Febrero del 2015
1. Un ciclista parte del reposo y después de viajar a lo largo de una trayectoria recta una distancia de 20m alcanza una rapidez de 30km/h. Determine su aceleración si esta es constante. Calcule, además, cuánto le toma alcanzar la rapidez de 30km/h. Datos:
𝑑0 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜
𝑑𝑓 = 20 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 �̇� =30 km/h o 8.33m/s �̈� = 𝑐𝑡𝑒 Partiendo de nuestro modelo matemático
�̈� =∆�̇�
∆𝑡 = lim∆𝑡→0
∆�̇�
∆𝑡=
𝑑�̇�
𝑑𝑡
�̇�−𝑥0̇
𝑡−𝑡0= �̈� 1
Despejando ecuación 1 obtenemos
𝑥�̇� = �̇�0 + 𝑥�̈� 2
De la ecuación 𝑑 = (�̇�+�̇�𝑓
2)𝑡
Obtenemos el tiempo en que recorrió la distancia.
20𝑚 = (8.33
2) 𝑡
𝑡 = 4.80𝑠 Ahora de la ecuación 2 obtenemos la aceleración
8.33 = �̈�(4.80)
�̈� = 1.73𝑚
𝑠2
2. Una pelota de béisbol es lanzada hacia abajo desde una torre de 50 metros de altura con una rapidez inicial de 10km/h. Determine con qué rapidez la pelota toca el suelo y que tiempo demora en hacerlo. Datos:
𝑑0 = 50 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑓 = 0 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 �̇� =10 km/h o 2.77m/s �̈� = 9.81 𝑚/𝑠2
Partiendo de nuestro modelo matemático
�̈� =∆�̇�
∆𝑡 = lim∆𝑡→0
∆�̇�
∆𝑡=
𝑑�̇�
𝑑𝑡
�̇�−𝑥0̇
𝑡−𝑡0= �̈� 1
�̇� = 30𝑘𝑚/ℎ
d=20m
Despejando ecuación 1 obtenemos
𝑥�̇� = �̇�0 + 𝑥�̈� 2 Integramos la ecuación 2, obtenemos:
�̇�2 = �̇�02 + 2𝑥�̈�
Sustituimos los datos dados para encontrar la velocidad con que llega al suelo.
�̇�2 = (2.77)2 + 2(9.81)(50)
�̇� = 31.44 𝑚/𝑠
De la ecuación 𝑑 = (�̇�+�̇�𝑓
�̈�)𝑡
Obtenemos el tiempo en que tocara el suelo.
𝑡 = (31.44 − 2.77
9.81)
𝑡 = 2.92𝑠 3. La posición de una partícula a lo largo de una línea recta está dada por: x(t) = t3- 9t2 + 15t; Donde la posición se da en metros y t en segundos. Determine la máxima aceleración y máxima velocidad de la partícula durante el intervalo de tiempo 0 <_ t <_ 10s.
Partiendo del vector de posición de la partícula: x(t) = t
3- 9t
2 + 15t;
Derivamos la ecuación del vector posición para obtener el vector de velocidad.
�̇� =𝑑𝑥
𝑑𝑡= 3𝑡2 𝒊 − 18𝑡 𝒋 + 15 𝒌
Derivamos la ecuación del vector velocidad para obtener el vector de aceleración.
�̈� =𝑑�̇�
𝑑𝑡= 6𝑡 𝒊 − 18 𝒋
Ahora cuanto t=10s, sustituimos para hallar la máxima velocidad y máxima aceleración
�̇�(10) = 3(10)2 𝒊 − 18(10)𝒋 + 15 𝒌 �̇�(10) = 350.17𝑚/𝑠
�̈�(10) = 6(10) 𝒊 − 18 𝒋 �̈�(10) = 62.64 𝑚/𝑠2
4. En las etapas finales de alunizaje, modulo lunar desciende bajo el impulso de su propio motor a una altura h = 5m de la superficie lunar, donde tiene una velocidad de descenso de 2m/s. Si el motor de descenso es apagado bruscamente en este punto, calcular la velocidad del impacto del tren de aterrizaje contra la Luna. La gravedad lunar es 1=6 de la gravedad terrestre.
Datos:
ℎ = 5 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 �̇� = 2 m/s �̈� = 1.635 𝑚/𝑠2
Partiendo de nuestro modelo matemático
�̈� =∆�̇�
∆𝑡 = lim∆𝑡→0
∆�̇�
∆𝑡=
𝑑�̇�
𝑑𝑡
�̇�−𝑥0̇
𝑡−𝑡0= �̈� 1
�̈� = 1.635
�̇� = �̈�𝑡 + 𝑥�̇�
ℎ =�̈�𝑡2
2+ �̇�𝑡
De la ecuación de nuestro modelo matemático tenemos que:
ℎ =�̈�𝑡2
2+ �̇�𝑡
Sustituyendo datos
5 =1.635𝑡2
2+ 2𝑡
Nos obtenemos una cuadrática
0.8175𝑡2 + 2𝑡 − 5 = 0 Nos da dos valores t=1.53s y t=-3.98s De estos valores tomaremos el positivo que es de t=1.53s De la ecuación de nuestro modelo matemático.
�̇� = �̈�𝑡 + �̇�𝑖 Sustituimos
�̇� = 2 + (1.635)(1.53)
�̇� = 4.5 𝑚/𝑠
5. Se dispara un proyectil hacia arriba con una velocidad inicial de 200m/s. Calcular la altura máxima h alcanzada por el proyectil y el tiempo de vuelo t (tiempo que tarda en retornar al suelo desde el momento del disparo). Despreciar la resistencia del aire y considerar la aceleración de la gravedad constante: g = 9; 81m/s2. Datos del problema: 𝑣𝑜 = 200
𝑚
𝑠
𝑔 = 9.81𝑚
𝑠
Calcular h máx.= ? t total= ? Ahora partiendo de nuestro modelo matemático tenemos estas ecuaciones:
�̈� = −𝑔
�̇� = −𝑔𝑡 + 𝑐1
ℎ =−𝑔𝑡2
2+ 𝑐1𝑡 + 𝑐2
Empleando las condiciones iniciales para satisfacer los valores de 𝑐1 𝑦 𝑐2 �̇�(0) = 𝑣0
ℎ(0) = 𝑥0
Sustituyendo tenemos que:
�̇�(0) = 200𝑚
𝑠= 𝑐1
ℎ(0) = 0 = 𝑐2 De nuestra ecuación de velocidad
�̇�(𝑡) = 0 = −𝑔𝑡 + 𝑐1
𝑡 =𝑐1
𝑔=
200 𝑚 𝑠⁄
9.81 𝑚 𝑠2⁄
𝑡 = 20.39 𝑠
ℎ 𝑚𝑎𝑥 = ℎ(𝑡) = −𝑔𝑡2
2+ 𝑐1𝑡
ℎ 𝑚𝑎𝑥 = −(9.81 𝑚 𝑠2⁄ )(20.39 𝑠)2
2+ (200 𝑚 𝑠⁄ )(20.39 𝑠)
ℎ 𝑚𝑎𝑥 = 2038.74 𝑚
Cuando alcanza ℎ 𝑚𝑎𝑥 :
�̇�(0) = 0 = 𝑐1 ℎ(0) = 2038.74 𝑚 = 𝑐2
Al llegar al suelo:
ℎ(𝑡1) = 0 = −𝑔𝑡2
2+ 𝑐2
𝑡1 = ±√2𝑐2
𝑔= √
2(20.38.74 𝑚)
(9.81 𝑚 𝑠2)⁄= 20.39 𝑠
Tiempo de vuelo total:
𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑡 + 𝑡1 = 20.39 𝑠 + 20.39 𝑠 = 40.78 𝑠
6. La velocidad de una partícula está dada por v = 16𝑡2i + 4𝑡3j + (5t + 2)k; medida en m/s. Si la partícula está en el origen cuando t = 0, determine la magnitud de su aceleración cuando t = 2s. ¿Cuáles son las coordenadas de posición de la partícula en ese instante? Datos:
�̇� = 16𝑡2𝒊 + 4𝑡3𝒋 + (5𝑡 + 2)𝒌
Partiendo de la ecuación del vector velocidad:
�̇� = 16𝑡2𝒊 + 4𝑡3𝒋 + (5𝑡 + 2)𝒌
Derivamos la ecuación del vector velocidad para obtener el vector de aceleración.
�̈� =𝑑�̇�
𝑑𝑡= 32𝑡 𝑖 + 12 𝑡2 𝑗 + 5 𝑘
Ahora de la ecuación del vector velocidad integramos para obtener el vector de posición:
∫ 𝑑𝑥 = ∫ �̇�𝑑𝑡 = 16
3𝑡3𝑖 + 𝑡4𝑗 + (
5
2𝑡2 + 2𝑡) 𝑘 + 𝑐1
Tomando en cuenta si 𝑡 = 0: 𝑐1 = 0
Obtenemos la siguiente ecuación de nuestro vector de posición.
𝑥(𝑡) = 16
3𝑡3𝑖 + 𝑡4𝑗 + (
5
2𝑡2 + 2𝑡) 𝑘
Al evaluar para obtener la magnitud de la aceleración y la posición del vector en
𝑡 = 2𝑠, obtenemos:
�̈�(2) = 64 𝒊 + 48 𝒋 + 5 𝒌
�̈�(2) = 80.16𝑚
𝑠2
𝑥(2) =128
3𝒊 + 16𝒋 + 14 𝒌
7. Cuando un cohete alcanza una altura de 40m comienza a viajar a lo largo de una trayectoria parabólica (y- 40)2 = 160x (las coordenadas son medidas en metros). Si la componente de la velocidad en la dirección vertical es constante vy =180m/s, determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración del cohete cuando este alcanza una altura de 80m.
Datos: �̇�𝑦 = 180 𝑚 𝑠⁄
�̈�𝑦 = 0
Deduciendo la ecuación de posición
𝑥(𝑡) = 180𝑡 + 𝑐1
Si 𝑡 = 0 y 𝑦 = 40 por lo tanto 𝑐1 = 40 Tenemos la siguiente ecuación
𝑥(𝑡) = 180𝑡 + 40
Como y= 80 80 = 180𝑡 + 40
𝑡 = 0.22 𝑠𝑒𝑔 Tardará en llegar 0.22 seg
𝑦 = 80, En la ecuación de la parábola sustituimos
(80 − 40)2 = 160𝑥 𝑥 = 10
De �̇�𝑦 = 180 𝑚 𝑠⁄
�̇�𝑥 =10 𝑚
0.22 𝑠= 45.45 𝑚 𝑠⁄
De �̈�𝑦 = 0
�̈�𝑥 =45.45 𝑚 𝑠⁄
0.22 𝑠= 206.60 𝑚 𝑠2⁄
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