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ANÁLISIS Y MÉTODOS NUMÉRICOS
Nestor Abel Sánchez Goycochea
13 de julio de 2015
8/18/2019 Tarea2-MetNum
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UNIVERSIDAD DEL BÍO-BÍO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Profesora: Verónica Anaya Domı́nguez.
D e p a r t a m e n t o d e M a t e m ´ a t i c a -
U n i v e r s i d a d d e l B ´ ı o - B ´ ı o - 2 0 1 5
Análisis y Métoddos Númericos(390026-392056)
TAREA 2:
1. Sea f función continua en [a, b] y f (a)f (b) < 0. El método de bisección genera unasucesión {ck}
∞
k=1 que aproxima a x, raı́z de f , con
|ck − x∗| ≤ b − a
2k
cuando k ≥ 1.
Demostraci´ on. Recordemos que en el método de bisección se considera
ck = bk + ak
2 , ∀ k ≥ 1
donde a1 = a, b1 = b y x∗ ∈ (ak, ck) ó x∗ ∈ (ck, bk), de aquı́ se sigue que:
|ak − x∗| ≤ bk − ak
2 , |bk − x∗| ≤
bk − ak2
∀ k ≥ 1 (1.1)
Luego,
|ck − x∗| = bk + ak2 − x∗=
1
2 |(bk − x∗) + (ak − x∗)|
≤ 1
2 (|bk − x∗| + |ak − x∗|)
Aplicando (1.1) se tiene que
|ck − x∗| ≤ 1
2
bk − ak
2 +
bk − ak2
=
1
2(bk − ak)
Entonces:
|ck − x∗| ≤ 1
2(bk − ak), ∀ k ≥ 1 (1.2)
Por otra parte, la longitud del intervalo se reduce a la mitad en cada fase del método, es
decir:
bk − ak = bk−1 − ak−1
2 , ∀ k ≥ 2 (1.3)
Luego, probaremos por inducción que
bk − ak = b − a
2k−1 , ∀ k ≥ 1 (1.4)
1 Nestor Abel S ́ anchez Goycochea
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Profesora: Verónica Anaya Domı́nguez.
Entonces, si k = 1 se tiene que b1 − a1 = b−a21−1
y asumamos que (1.4) se cumple para
k = n − 1 (hipótesis inductiva), probaremos que también se cumple para k = n ≥ 2.En efecto,
bn − an = bn−1 − an−1
2 =
1
2
b − a
2(n−1)−1
=
b − a
2n−1
Por lo tanto, de (1.2) y (1.4) se concluye que:
|ck − x∗| ≤ 1
2
b − a
2k−1
=
b − a
2k
2. Determine el número de iteraciones necesarias en el método de bisección, para aproxi-
mar la raı́z de f (x) = x3 + 4x2 − 10 en el intervalo [1, 2] con una precisión de 10−3.
Demostraci´ on. Como f es continua en [1, 2] y f (1)f (2) < 0, (pues f (1) = −5 yf (2) = 14) entonces por el ejercicio 1 se sigue que:
|ck − x∗| ≤ 2 − 1
2k =
1
2k
Para aproximar la raı́z de f (x) = x3 + 4x2 − 10 en el intervalo [1, 2] con una precisiónde 10−3 se debe tener que:
1
2k ≤ 10−3 ⇐⇒ 2k ≥ 103
⇐⇒ k ln(2) ≥ ln (1000)
⇐⇒ k ≥ ln(1000)
ln(2)
⇐⇒ k ≥ 9.965784 ≈ 10
Por lo tanto el número de iteraciones necesarias es 10.
3. Sea g función continua en [a, b] y g(x) ∈ [a, b], ∀ x ∈ [a, b], entonces g tiene al menosun punto fijo en [a, b].
Si, además g ′(x) está definida en (a, b) y existe K
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Demostraci´ on. Considerando xk = g(xk−1) y g(x∗) = x∗ se sigue que:
|xk − x∗| = |g(xk−1) − g(x∗)|
Por el Teorema del valor medio, ∃ c ∈ [a, b] tal que
|xk − x∗| ≤ |g′(c)| |xk−1 − x∗|
|xk − x∗| ≤ K |xk−1 − x∗| , ∀ k ≥ 1 (4.1)
Aplicando recursivamente (4.1) se sigue que:
|xk − x∗| ≤ K |xk−1 − x∗|
≤ K (K (|xk−2 − x∗|))= K 2 |xk−2 − x∗|
≤ K 2(K (|xk−3 − x∗|))
= K 3 |xk−3 − x∗|
≤ ...
|xk − x∗| ≤ K k |x0 − x∗| , ∀ k ≥ 1 (4.2)
En particular, tomando k = 1 en (4.2) se tiene:
|x1 − x∗| ≤ K |x0 − x∗|
|x1 − x∗| ≤ K (|x0 − x1| + |x1 − x∗|)
|x1 − x∗| ≤ K |x0 − x1| + K |x1 − x∗|
(1 − K ) |x1 − x∗| ≤ K |x0 − x1|
y como 1 − K ̸= 0 (pues K
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Por lo tanto,
|xk − x∗| ≤
K k
1 − K |x0 − x1| (4.4)Finalmente, para cualquier ϵ > 0 y aplicando lı́mite en (4.4) se tiene:
ĺımK →∞
|xk − x∗| ≤ ĺımK →∞
K k
1 − K |x0 − x1|
|xk − x∗| ≤ 0 < ϵ
Esto muestra que {xk}∞
k=0 converge a x∗.
5. Si Q0(f ) =n
∑ j=0A jf (t j) es una f ́ormula de cuadratura para aproximar la integral
1
∫ −1f dx,
entonces para x j = b − a
2 t j+
a + b
2 , ∀ j = 0, · · · , n; se tiene una f ́ormula de cuadratura
para el intervalo [a, b]:
b∫ a
f dx ∼ Q(f ) =n∑
j=0
b − a
2 A jf (x j)
Demostraci´ on. Considere
x j = b − a
2 t j +
a + b
2 , ∀ j = 0, · · · , n
y observe que
Si t0 = −1 ⇒ x0 = b − a
2 (−1) +
a + b
2 = a
Si tn = 1 ⇒ xn = b − a
2 (1) +
a + b
2 = b
Entonces, podemos pasar de una integral en el intervalo [a, b] al intervalo [−1, 1]., estoes
b∫ a
f (x j)dx j =
b − a
2
1∫ −1
f (x j(t j))dt j
∼
b − a
2
Q0(f )
=
b − a
2
n∑ j=0
A jf (x(t j))
=n
∑ j=0
b − a
2
A jf (x j)
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6. Determine la regla de cuadratura de Newton-Cotes para aproximar
b
∫ a
f dx. Consideran-
do n = 1, x0 = a + h, x1 = a + 2h, donde h = b−a
3 .
Demostraci´ on. Considerando n = 1 y siguiendo la regla de Newton-Cotes se tiene
b
∫ a
f (x)dx ≈
b
∫ a
p1(x)dx =
b
∫ a
[L0(x)f (x
0) + L
1(x)f (x
1)] dx
= f (x0)
b∫ a
x − x1x0 − x1
dx + f (x1)
b∫ a
x − x0x1 − x0
dx
= f (a + h)
−h
b∫ a
(x − x1)dx + f (a + 2h)
b∫ a
(x − x0)dx
= −f (a + h)
h
(x − x1)
2
2
ba
+ f (a + 2h)
h
(x − x0)
2
2
ba
= −3f
2a+b3
b − a
−
(b − a)2
6
+
3f a+2b3
b − a
(b − a)2
6
=
b − a
2
f
2a + b
3
+ f
a + 2b
3
Por lo tanto la regla de cuadratura es:
b
∫ a
f (x)dx ≈ b − a2 f 2a + b3 + f a + 2b3
7. Determine la regla de cuadratura de Newton-Cotes para aproximar
b
∫ a
f dx. Consideran-
do n = 2, x0 = a + h, x1 = a + 2h, x2 = a + 3h, donde h = b−a
4 .
Nestor Abel S ́ anchez Goycochea 6
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Demostraci´ on. Considerando n = 2 y siguiendo la regla de Newton-Cotes se tiene
b∫ a
f (x)dx ≈
b∫ a
p2(x)dx =
b∫ a
[L0(x)f (x0) + L1(x)f (x1) + L2(x)f (x2)] dx
= f (x0)
b∫ a
x − x1x0 − x1
x − x2x0 − x2
dx
A
+f (x1)
b∫ a
x − x0x1 − x0
x − x2x1 − x2
dx
B
+ f (x2)
b
∫ a
x − x0x2 − x0 x − x1
x2 − x1 dx C
(7.1)
Luego,
A = 1
(x0 − x1
−h)(x0 − x2
−2h)
b∫ a
[x2 − (x1 + x2)x + x1x2]dx
= 1
2h2
x3
3 −
(x1 + x2)x2
2 + (x1x2)x
ba
= 1
2h2
b3 − a3
3 −
(x1 + x2)
2 (b2 − a2) + (x1x2)(b − a)
= (b − a)
2h2
b2 + ab + a2
3 −
(x1 + x2)
2 (b + a) + (x1x2)
= 4h
2h2
b2 + ab + a2
3 −
3a + 5b
8 (b + a) +
a2 + 3b2 + 4ab
8
= 2ha2 + b2 − 2ab
12
= 8
b − a
(b − a)2
12
A = 2
3(b − a)
De forma análoga
B = − 13
(b − a), C = 23
(b − a)
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Luego, reemplazando A, B y C en (7.1) obtenemos:
b∫ a
f (x)dx ≈ f (x0)2
3(b − a) − f (x1)
1
3(b − a) + f (x2)
2
3(b − a)
= 2
3(b − a)
f (x0) −
1
2f (x1) + f (x2)
= 2
3(b − a)
f
3a + b
4
−
1
2f
a + b
2
+ f
a + 3b
4
Por lo tanto la regla de cuadratura es:
b∫ a
f (x)dx ≈ 2
3(b − a)
f 3a + b
4
−
1
2f a + b
2
+ f
a + 3b4
8. Determine el número de sub-intervalos necesarios para que el error que se comete al
aproximar
1∫ 0
e−x2
dx por la regla de Trapecios Compuesta sea menor que 10−4.
Demostraci´ on. El error que se comete al aproximar una función por la regla de Trape-
cios Compuesta, para nuestro caso, es:
|E 1(f )| ≤ (1 − 0)3
12m2 máxx∈[0,1]
|f ′′(x)|
Para que dicho error sea menor a 10−4 se debe tener:
1
12m2 máxx∈[0,1]
|f ′′(x)| ≤ 10−4 (8.1)
Por otra parte
f (x) = e−x2
=⇒ f ′(x) = −2xe−x2
=⇒ f ′′(x) = e−x2
(4x2 − 2)
=⇒ |f ′′(x)| =e−x2 4x2 − 2
=⇒ |f ′′(x)| ≤4x2 − 2 (8.2)
Además como x ∈ [0, 1] se tiene:
0 ≤ x2 ≤ 1 =⇒ 0 ≤ 4x2 ≤ 4 =⇒ −2 ≤ 4x2 − 2 ≤ 2
entonces 4x2 − 2 ≤ 2 (8.3) Nestor Abel S ́ anchez Goycochea 8
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Profesora: Verónica Anaya Domı́nguez.
Ası́ de (8.2) y (8.3) se tiene|f ′′(x)| ≤ 2
y tomando max́imo
máxx∈[0,1]
|f ′′(x)| = 2 (8.4)
Luego, de (8.1) y (8.4)
1
12m2(2) ≤ 10−4
m2 ≥ 104
6
m ≥ √ 50003m ≥ 40.8248 · · · ≈ 41
Por lo tanto se necesitan 41 iteraciones para que el error sea menor a 10−4.
9 Nestor Abel S ́ anchez Goycochea
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