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Elagualabasedenuestraexistencia:Geometría

ESPADNivelI

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Elagualabasedenuestraexistencia:Geometría

Enlastelevisionessehablaavecesdeinundaciones,delacantidaddeaguaquecaepormetrocuadrado.Sienalgúnmomentohascompradoaguaembotellada,seguramentehaselegidountipodeenvaseuotroenfuncióndesucapacidad(volumenquealberga)odesuforma.Sipiensasenestosdoshechos,lageometríaestáligadaanuestrarelaciónconelagua.

ImagendejarmolukenPixabay.LicenciaCC

1.Figurasplanas

Sipiensasenelcuerpohumanopartimosdeestructurassencillas,paraformarestructurasmáscomplejas.Algoparecidopasaconlageometría.

ImagendeskeezeenPixabay.LicenciaCC

Digamosque la "célula"de lageometríaeselpunto,yapartirdeellapodemosconstruirestructurasmáscomplejas, comosegmentos, líneaspoligonales,ypolígonos.

1.1.Polígonos

PolígonosAlunirdospuntosutilizandounaregla,obtenemosunsegmento.Alirencadenandosegmentosvamosobteniendounalíneapoligonal.Silalíneapoligonallacerramosuniendoelúltimopuntoconelprimero,hemosencerradounaregióndelplano,llamadapolígono.EnlasiguienteescenadeGeogebrapuedespracticarconestaidea:

Escenadeuser10235enGeogebra.org.LicenciaCC

Lasuperficiecontenidaporunalíneapoligonalcerradasellamapolígono.

Enlasiguientepresentación,descubriráscuálessonloselementosdeunpolígonoyenfuncióndeelloslostiposdepolígonosquetenemos:

Diapositiva1 Presentaciones

Observalasiguientefigura:

Actividad

PreguntadeSelecciónMúltiple

Solución

1.Incorrecto2.Correcto3.Correcto4.Incorrecto

Deentrelassiguientesopcionesseñalalascorrectas:

Polígonocóncavo

Cuadrilátero.

Paralelogramo

Rectángulo

Repasalapresentaciónanterioryobservaloselementosdelpolígonoyreflexionasobrecuálesdeellossonexclusivosdelospolígonosregulares.

El centro solo lo encontramos en polígonos regulares, y los otros elementos relacionados con él (radio y apotema)también.

CírculoycircunferenciaExisten figuras planas que no están de limitadas por una línea poligonal, pero sí por una línea curva. Como es el caso del círculo, que estádelimitadoporunalíneacurvacerradallamadacircunferencia,yquecumpleunacondiciónmuyespecial.Sitomamosunpuntodelplano,O,yunnúmeropositivor,ybuscamostodoslospuntosdelplanoqueestánadistanciardelpuntoO,obtendrásunacurvaplanaycerradallamadacircunferencia.

Elcírculoeslapartedelplanolimitadaporlacircunferencia.

Enlacircunferenciasepuedendistinguirlossiguienteselementos:

Centro:eselpuntosituadoensuinteriorqueseencuentraalamismadistanciadecualquierpuntodelacircunferencia.Radio:eselsegmentoqueunecualquierpuntodelacircunferenciaconelcentro.Cuerda:eselsegmentoqueunedospuntoscualesquieradelacircunferencia.Diámetro:eslacuerdaquepasaporelcentrodelacircunferencia.Arco:eslaporcióndecircunferenciacomprendidaentredosdesuspuntos.Semicircunferencia:eselarcoqueabarcalamitaddelacircunferencia.

Reflexión

Actividad

Imagendeelaboraciónpropia

Enunacircunferenciacuyoradiomide5cm,¿cuálesladistanciaentrecualquieradesuspuntosyelcentro?¿ysudiámetro?

Elradiodelacircunferenciaprecisamentesedefinecomoladistanciaexistenteentrecualquieradesuspuntosyelcentro.Luegoes5cm.Eldiámetroeseldobledelradio,luegoes10cm

MandalasypolígonosestrelladosUnpolígonoregularestrelladoseconstruyeuniendolosvérticesnoconsecutivos,deunpolígonoregularconvexo,deformacontinua.Formapartedenuestroartedesdehacemilesdeaños,ysonespecialmentefrecuentesenelarteislámico.UnaaplicacióndeestetipodeformaspoligonalessonLOSMANDALAS.

Casopráctico

Objetivos

1.2.Perímetroyárea

¿Quéeselperímetrodeunafiguraplana?La palabra perímetro, al igual que otras palabras relacionadas con las matemáticas se utilizan en un lenguaje cotidiano. Observa, la siguientenoticia:

Capturadepantalladelelpais.com

Yahemosvistoqueunpolígonoestáencerradoporunalíneapoligonalcerrada.Lomismoocurríaconelcírculoylacircunferencia.Simedimosestalíneapoligonal,ylalongituddelacircunferenciaestamoscalculandoelperímetrodelafiguraplana.

ImagendeintographicsenPixabay.LicenciaCC

Elperímetrodeunafiguraplana,enelcasodelospolígonoseslasumadelaslongitudesdesuslados.Elperímetrodeuncírculoseríalalongituddelacircunferencia(L),quesecalculaconlafórmula:L=2∏r,dondereselradio.

Sitomamosunacuerdade0,5metrosyqueremoshacerconellauncírculoderadio5cmyunpentágonoregulardelado3cm,¿tendremossuficiente?

Vamosacalcularporunladolalongituddelacircunferencia(L):L=2·∏·5=10·∏=31,4cmAhoracalculemoselperímetrodelpentágonoregular.Paracalcularelperímetro (P), tenemosquesumar la longituddetodossuslados:P=5·3=15cm.Alsumarambascantidades,obtenemos46,4cmqueesmenorque0,5m(50cm).

¿Quéeseláreadeunafiguraplana?Elperímetrodeunafiguraencierraunaporcióndelplano,cuyasuperficiepodemoscalcular.

Eláreadeunafiguracorrespondealamedidadelasuperficiequedichafiguraocupa.

Actividad

Casopráctico

Actividad

Parasabereláreadeunafiguraplana,recurrimosadistintosmétodossegúneltipodefiguraconlaquenosencontremos.CálculoporfórmulasPorejemplo,paralostriángulos,trapecios,paralelogramosypolígonosregularestenemosfórmulasquenosayudanacalculareláreadelafigura,conociendosuselementoscaracterísticos.Enlasiguienteimagenpuedesverlasprincipales:

ImagendeRodrigoenGeogebra.org.LicenciaCC

CálculodeáreaspordescomposiciónCuandonosencontramosconunpolígonoirregular,paracalcularelárearecurrimosaladescomposiciónenfigurasmássimplesyconocidas.Miraelsiguienteejemplo:

EscenadeJosepMariaNavarroCanutProyectoDescartes.LicenciaCC

PreguntaVerdadero-Falso

Verdadero Falso

VerdaderoElperímetrodelhexágonoregularsería6·2=12

Suáreaes

Verdadero Falso

Falso

Eláreadelrectánguloesbaseporaltura.Luegositiene5mdebasey2,3dealturaeláreatendríaqueser5·2,3=11,5m2

Verdadero Falso

VerdaderoLafigurapuededescomponerseendosrectángulosyuntriángulo:

Eláreadelrectánguloamarilloseria8cm2,ladelrectángulonaranja4cm2yladeltriángulo2cm2.Entrelastreshacenuntotalde14cm2.

Indicasilassiguientesafirmacionessonverdaderasofalsas:

Eláreadeunhexágonoregularde2dmdelado1,73dmdeapotemayes10,38dm2.

Eláreadeunrectángulode5mdebasey2,3mdealturaes9,12cm2

Eláreadelasiguientefiguraes14cm2,suponiendoquelacuadrículatiene1cmdelado

TriangulaciónCualquierpolígonopuedesdescomponerseentriángulos,seacualseasuformayportanto,independientementedeltipodepolígono.

Conocimientoprevio

ImagendeMagistermathematicae

enWikimediaCommons.LicenciaCC

ImagendeEricDétrez

enWikimediaCommons.LicenciaCC

Paraellosolotenemosqueunirvérticesnoconsecutivos.Unpolígonoden-vértices,sepuededescomponerenntriángulos,yhaydistintasmanerasdehacerlo.

2.Cuerposgeométricos

Nosotrospercibimoselmundoen tresdimensiones,aunqueenocasionesnonos interesehacer referenciaaunadeellas.Porejemplo,cuandohablamosdeunterrenodelcampodefútbol,encondicionesnormalesnonosinteresalacantidaddetierraquehayparaquecrezcaelcésped,solonosinteresalasuperficieolasdimensionesquetiene.Perositomamosunacajadezapatosyqueremosqueenellaquepaunabotadelnúmero41,sínosinteresasaberlastresdimensionesquetienelacaja(ancho,altoylargo).

Imagenderebel1965enPixabay.LicenciaCC

2.1.Poliedrosycuerposredondos

CuerposgeométricosLosobservamosdiariamenteenlosedificios,cajas,balonesdefutbol...hastaenunadelamásgrandesconstruccionescreadasporelserhumano:laspirámidesdeGizah(Egipto)

ImagendePexelsenPixabay.LicenciaCC

Sedenominancuerposgeométricososólidosaaquelloscuerposqueocupanunvolumenenelespaciodesarrollándoseporlotantoenlastresdimensionesdealto,anchoylargo;yestáncompuestosporfigurasgeométricas

Enlasiguientepresentaciónpuedesverlosdistintoscuerposgeométricosysusprincipalescaracterísticas:

Diapositiva1 Presentaciones

Utilizalasiguienteactividadpararepasaralgunosdelosconceptosvistosenlapresentación.

Unpoliedroesun queestálimitadoporcuatroomás .Acadaunode ellos se les conoce como . A los lados de estas caras se les conoce como

.Los sonlospuntoscomúnesdelasaristas.

Un es un cuerpo geométrico obtenido a partir de una figura plana que gira alrededor de un.Haytrescuerposderevoluciónqueaparecenconfrecuencia:el ,

elconoyla .

Comprobar

Completaelsiguientetexto:

Actividad

Actividaddesplegable

Lossiguientesobjetossondeusocotidiano.Indicaquétiposdecuerposgeométricosson,yaquésubtipospertenecen:

Imagen1 Imagen2

ImagendeMeditationsenPixabay.LicenciaCC ImagendePexelsenPixabay.LicenciaCC

Enlaimagen1aparecencuerposderevolución.Soncilindros.Enla imagen2apareceunacaja,queesunpoliedro,unprismaycomotodossusladossonparalelosdosados,esunortoedro.

Lospoliedrostienenunapropiedadmuycaracterísticaquerelacionaelnúmerodecarasconeldevérticesyeldearistas,seconoceconelnombredeTeoremaoFórmuladeEuler

ElteoremaEulernosindicalarelaciónexistenteentreelnúmerodecaras,aristasyvérticesdeunpoliedroconvexo:C+V-A=2

dondeCeselnúmerodecaras,VelnúmerodevérticesyAelnúmerodearistas.

EnlasiguienteescenapuedespracticarconelTeoremadeEuleryconalgunosconceptosdelospistosenlapresentación.

2.TiposdepoliedrosRelacióndeEuler

000

EscenadeJoséR.GaloSánchezalojadaenProyectoDescartes.LicenciaCC

Reflexión

Actividad

DesarrolloplanodeuncuerpogeométricoEldesarrollodeunpoliedroeslafiguraplanaqueseobtienealextenderlosobreunplano.Enlasiguienteimagenestáenlazadounpdfenelquepuedesverlosdesarrollosplanosdedistintospoliedros.Estosdesarrollosincluyenunaspestañasporsiteanimasaimprimirlosymontarlos.Telorecomendamosporqueesunejerciciomuyvisualyentretenido,ytenerlospoliedrosenlamanotepuedeayudaraentendersuspropiedades:

Paramontarlosolotienesquehacerdoblecesenlasaristasyenlaspestañas,yunirlos.

DadosderolUn juegode rolesun juegoenelque, talcomo indicasunombre,unoomás jugadoresdesempeñanundeterminadorol,papelopersonalidad.Enestosjuegosseusandadosconformasdepoliedros(lamayoríaregulares)queleaportanaljuegolapartedeazar.Sesuelenusardadosconestasformasyaqueporsuformaseofreceequidadenlastiradas.

ImagendeDiacriticaenWikimediaCommons.LicenciaCC

Conocimientoprevio

2.2.Áreasyvolúmenesdecuerposgeométricos

ÁreayvolumendeuncuerpogeométricoCuandocogemosunalatadetomate,podemoshablardecontinenteydecontenido.Porcontinente,entendemosalobjetoyporcontenidoaloquecontienedichoobjeto.De igual forma podemos hablar del área de un cuerpo geométrico, que sería la cantidad de metal que necesitamos para hacer la lata y delvolumen,queseríalacantidaddetomatequealbergalalata.

ImagendemarkusspiskeenPixabay.LicenciaCC

¿Cómosecalculaeláreadeuncuerpogeométrico?Secalculaapartirdeldesarrolloplano.Tomemosporejemploeldesarrolloplanodeuncilindro:

Sinosfijamosestácompuestoporelárealateralydosveceseláreadelabase.

Llamamosárealateralalasumadelasáreasdetodaslascaraslateralesdeuncuerpogeométrico.Llamamosáreatotalalasumadeláreadelasbasesydelárealateraldeuncuerpogeométrico.Loexpresamosasí:

ATOTAL=AB+AL

Sugerencia

Opcióncorrecta

Solución

1.Incorrecto(Retroalimentación)

Fijándoteeneldesarrollodelcilindro,¿cuálcreesqueseríaeláreadelcilindro?

Fíjatequetendríamoslabasesuperiorylabaseinferior

Noeseláreatotal,soloellateral

Actividad

PreguntadeElecciónMúltiple

2.Opcióncorrecta(Retroalimentación)3.Incorrecto(Retroalimentación)

¿Cómosecalculaelvolumendeuncuerpogeométrico?Encuerposgeométricoscomoelprismayelcilindro,calculamoseláreadelabaseymultiplicamosporlaalturadelafigura.Paralaesfera,elconoylaspirámideslasfórmulassonmáscomplejas.

Enlasiguientetablaserecogenlasprincipalesfórmulasparaelcálculodelasáreasylosvolúmenesdealgunoscuerposgeométricos:

Cuerposgeométricos Áreatotal Volumen

CUBO(aristaa)

PRISMARECTO(alturah) PBeselperímetrodelabase

PIRÁMIDERECTA(alturah,apotemalaterala)

CILINDRO(radioryalturah)

CONO(radior,generatrizgyalturah)

ESFERA(radior)

Sequiereconstruirundepósitoparaaguadelluviaenformacilíndrica,de12mdealturayderadiodelabase37m.Calculalasuperficiedeldepósito(notendríacubierta)yelvolumendeaguamáximoquepuedaalbergar.

Eláreatotal,seríalasumadelárealateralydeunadelasbasesdelcilindro,yaquenoestátapado:

AT=2∏·37·12+∏·372=7090,57m2

Paracalcularelvolumen,multiplicamoseláreadelabaseporlaaltura:

V=∏·372·12=51610m3

Unapiscinaconformadeortoedrotiene8mdelargoy4mdeancho.Sisabemosquecomomáximopuedecontener51,2m3deagua.Averigualaprofundidaddelapiscina.

Unortoedroesunprismarecto.Paracalcularsuvolumenmultiplicaríamoseláreadelabaseporlaaltura.Eláreadelabaseseríaelanchoporellargo.Luegosillamoshalaprofundidadyaplicamoslafórmuladelvolumentendríamos:51,2=8·4·h->51,2=32hEstamosanteunaecuacióndeprimergrado.Despejandolahobtendríamos:h=51,2/32=1,6mdeprofundidad

Casopráctico

Casopráctico

3.Resumen

PolígonosUnpolígonoeslasuperfícieinteriordeunalíneapoligonalcerrada.Puedenser:cóncavosoconvexosyregulares(todossusladosiguales)oirregulares(algúnladodesigual).Tambiénpodemosclasificarlosenfuncióndesunúmerodelados:triángulos,cuadriláteros,pentágonos...Lostriángulospuedenclasificarseen:acutángulos,rectángulosyobtusángulos,segúnsusángulosyen:equiláteros,isóscelesyescalenos, segúnsus lados . Los cuadriláterospuedenser:paralelogramos, trapeciosy trapezoides, según tengan ladosparalelosono.Losparalelogramossedividenen:cuadrados,rectángulos,rombosyromboides.CircunferenciaycírculoUnacircunferenciaesunalíneacurvacerradacuyospuntosestántodosalamismadistanciadeunpuntofijollamadocentro.Eslafiguraplanacomprendidaenelinteriordeunacircunferencia.

CálculodeperímetrosyáreasEn el siguiente vídeo se repasan las fórmulas del cálculo de áreas de las principales figuras planas. Además, vienedemostradasvisualmenteloquepuedeayudaramemorizarlasycomprenderlas:

VídeodeMarcosAlejandroErosaalojadoenYoutube

Poliedro.Áreayvolumendeunpoliedro.Eslaregióndelespaciolimitadaporpolígonos.Enelsiguientevídeorepasanlostiposdepoliedros,suselementosyelcálculodesuáreayysuvolumen:

Actividad

Actividad

Actividad

VídeodeMatiasVidoretalojadoenYoutube

CuerposredondosUncuerpode revoluciónesaquelqueseoriginaalgiraruna figuraplanaalrededordeuneje.Lascarasdeuncuerpoderevoluciónsoncurvas.Enel siguientevídeopuedes repasar losconceptos relacionadoscon loscuerposde revoluciónquehemosestudiado:cilindro,conoyesfera.

VídeodeunprofesoralojadoenYoutube

Actividad

4.Paraaprenderhazlotú

Cálculodeáreasdepolígonosregulares

ParapracticarÁreasdepolígonos

eligeopción

EscenadeJosepMariaNavarroCanutalojadaenProyectoDescartes.LicenciaCC

Cálculodeáreasdetriángulosycuadriláteros

Casopráctico

Casopráctico

ParapracticarÁreasdetriángulosycuadriláteros

eligeopción

EscenadeJosepMariaNavarroCanutalojadaenProyectoDescartes.LicenciaCC

UnpoliedroquecumpleelTeoremadeEuler,¿podríatenerelmismonúmerodecarasydearistas?

Noesposible,puessegúnlafórmuladeEulersitieneelmismonúmerodecarasquedearistas,losvérticestendríanqueser2,ynoexisteunpoliedrocondosvértices.

Sevaarestaurarel lateralylapartesuperiordeunatorreconformadeprismaoctogonalde12mdealta.Labaseesunoctógonoregularde3mdeladoy3,62metrosdeapotema.Silaempresaderestauracióncobra226eurosporcadametrocuadrado,¿cuálseráelpreciodelarestauración?

Reflexión

Casopráctico

Casopráctico

SabiendoqueelradiodelaTierraes6370km,calculalasuperficiedenuestroplaneta.

EláreadelaesferaesA=4∏r2,luegocomoconocemoselradiopodemosaveriguarsusuperficie.

A=4·∏·6370=509904363,8km2

¿Quévolumendeaguapuedealbergarunacuarioconformadeprismarectocuadrangular(ortoedro),sitienededimensiones120x60x50?

Sielespecialistanosindicaquecomomáximodeberíamosintroducirunpezporcada4500cm3(4,5litros),¿cuántospecescomomáximoentraránennuestroacuario?

ElVolumendelapeceraesde360000cm3,comounpeznecesitaunos4500cm3,comomuchopodremosintroducir80pecesennuestroacuario.

Casopráctico

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