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Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos
Miguel Angel Olalla Acostamiguelolalla@us.es
Departamento de AlgebraUniversidad de Sevilla
Febrero de 2018
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 1 / 64
Contenido
1 Polinomios y espacio afın
2 Variedades afines
3 Ideales
4 Parametrizacion de variedades afines
5 Polinomios en una variable
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 2 / 64
Polinomios y espacio afın
Monomio
Definicion (Definicion 1.1)
Un monomio en x1, . . . , xn es un producto de la forma
xα11 · x
α22 · · · x
αnn ,
donde todos los exponentes α1, . . . , αn son enteros no negativos. El gradototal de este monomio es la suma α1 + · · ·+ αn.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 3 / 64
Polinomios y espacio afın
Monomio
Simplificaremos la notacion para los monomios de la siguiente forma: seaα = (α1, . . . , αn) una n-upla de enteros no negativos. Entoncesescribiremos
xα = xα11 · x
α22 · · · x
αnn .
Cuando α = (0, . . . , 0) pondremos xα = 1. Por ultimo |α| = α1 + · · ·+ αn
denotara el grado total del monomio xα.
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Polinomios y espacio afın
Polinomio
Definicion (Definicion 1.2)
Un polinomio f en x1, . . . , xn con coeficientes en un cuerpo k es unacombinacion lineal (con coeficientes en k) de monomios. Escribiremos unpolinomio f en la forma
f =∑α
aαxα, aα ∈ k ,
donde la suma es sobre un numero finito de n-uplas α = (α1, . . . , αn). Elconjunto de todos los polinomios en x1, . . . , xn con coeficientes en k sedenota k[x1, . . . , xn].
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Polinomios y espacio afın
Polinomio
Cuando trabajemos con polinomios en un pequeno numero de variablesnormalmente prescindiremos de los subındices. Ası, los polinomios en una,dos y tres variables estan en k[x ], k[x , y ] y k[x , y , z ] respectivamente.
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Polinomios y espacio afın
Polinomio
Usaremos la siguiente terminologıa:
Definicion (Definicion 1.3)
Sea f =∑
α aαxα un polinomio de k[x1, . . . , xn].
(i) Llamamos a cada aα el coeficiente del monomio xα.
(ii) Si aα 6= 0, diremos que aαxα es un termino de f .
(iii) El grado total de f 6= 0, denotado deg(f ), es el maximo |α| tal que elcoeficiente aα es no nulo. El grado total del polinomio nulo esindefinido.
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Polinomios y espacio afın
Anillo de polinomios
El conjunto k[x1, . . . , xn] es un anillo con la suma y el producto depolinomios.Diremos que un polinomio f divide a un polinomio g si existe otropolinomio h tal que g = fh.
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Polinomios y espacio afın
Espacio afın
Definicion (Definicion 1.4)
Dados un cuerpo k y un entero positivo n, definimos el espacio afınn-dimensional sobre k al conjunto
kn = {(a1, . . . , an) | a1, . . . , an ∈ k}.
En general, llamaremos recta afın a k1 = k y plano afın a k2.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 9 / 64
Polinomios y espacio afın
Polinomios y funciones
La forma de relacionar los polinomios con los espacios afines es lasiguiente: considerar un polinomio f =
∑α aαx
α ∈ k[x1, . . . , xn] como unafuncion f : kn → k que a cada (a1, . . . , an) ∈ kn le asocia el elementof (a1, . . . , an) ∈ k que se obtiene al sustituir cada xi por ai en el polinomio.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 10 / 64
Polinomios y espacio afın
¿Es f = 0?
Esta naturaleza dual de los polinomios tiene inesperadas consecuencias.Por ejemplo, la pregunta “¿Es f = 0?” tiene dos posibles interpretacionessegun consideremos f como un polinomio o como una funcion.Podemos interpretar la pregunta como “¿es f el polinomio nulo?”, en cuyocaso nos preguntamos si cada coeficiente aα de f es nulo. O bien podemosinterpretarla como “¿¿es f la funcion cero?”, es decir, si f (a1, . . . , an) = 0para todo (a1, . . . , an) ∈ kn.
Si embargo, ambas cuestiones no son equivalentes, como veremos en elsiguiente ejemplo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 11 / 64
Polinomios y espacio afın
¿Es f = 0?
Consideremos el cuerpo de dos elementos F2 = {0, 1}, tal que 1 + 1 = 0.Consideremos el polinomio f = x2 + x ∈ F2, que evidentemente no es elpolinomio nulo.Sin embargo, f : F2 → F2 es la funcion cero, pues f (0) = 0 yf (1) = 1 + 1 = 0.
Esto no ocurre si el cuerpo k es infinito.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 12 / 64
Polinomios y espacio afın
¿Es f = 0?
Proposicion (Proposicion 1.5)
Sea k un cuerpo infinito y sea f ∈ k[x1, . . . , xn]. Entonces f = 0 si y solosi f : kn → k es la funcion cero.
Corolario (Corolario 1.6)
Sea k un cuerpo infinito y sean f , g ∈ k[x1, . . . , xn]. Entonces f = g enk[x1, . . . xn] si y solo si f : kn → k y g : kn → k son la misma funcion.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 13 / 64
Polinomios y espacio afın
El teorema fundamental de Algebra
Recordemos una propiedad especial de los polinomios sobre C.
Teorema (Teorema 1.7)
Todo polinomio no constante f ∈ C[x ] tiene una raız en C.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 14 / 64
Variedades afines
Variead afın
Definicion (Definicion 2.1)
Sea k un cuerpo y sean f1, . . . , fs polinomios de k[x1, . . . , xn]. Entoncespongamos
V(f1, . . . , fs) = {(a1, . . . , an) ∈ kn | fi (a1, . . . , an) = 0 ∀1 ≤ i ≤ s}.
Diremos que V(f1, . . . , fs) es la variedad afın definida por f1, . . . , fs .
Es decir, una variedad afın V(f1, . . . , fs) ⊂ kn es el conjunto de todas lassoluciones del sistema de ecuacionesf1(x1, . . . , xn) = · · · = fs(x1, . . . , xn) = 0.Usaremos las letras V ,W , . . . para denotar variedades afines.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 15 / 64
Variedades afines
V(x2 + y 2 − 1)
Veremos a continuacion varios ejemplos de variedades afines en R2 y R3.La variedad V(x2 + y2 − 1) es el cırculo de radio 1 centrado en el origen:
Las secciones conicas estudiadas en otros cursos son variedades afines.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 16 / 64
Variedades afines
Grafos de funciones
El grafo de una funcion polinomica y = f (x) es V(y − f (x)). Aunque noes obvio, los grafos de las funciones racionales son variedades afines. Porejemplo, el grafo de y = x3−1
x :
es la variedad afın V(xy − x3 + 1).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 17 / 64
Variedades afines
Paraboloide de revolucion
V(z − x2 − y2)
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 18 / 64
Variedades afines
Cono
V(z2 − x2 − y2)
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 19 / 64
Variedades afines
V(x2 − y 2z2 + z3)
V(x2 − y2z2 + z3)
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Variedades afines
Cubica alabeada
V(y − x2, z − x3)
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 21 / 64
Variedades afines
Cubica alabeada
V(y − x2, z − x3)
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 22 / 64
Variedades afines
V(xz , yz)
V(xz , yz)
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 23 / 64
Variedades afines
Union e intersecccion de variedades
Lema (Lema 2.2)
Si V ,W ⊂ kn son variedades afines, entonces tambien lo son V ∪W yV ∩W .
El lema anterior implica que las interesecciones y uniones de un numerofinito de variedades afines son tambien variedades afines.
En el ejemplo anterior V(xz , yz) = V(z) ∪ V(x , y).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 24 / 64
Variedades afines
Algunas cuestiones
Los ejemplos vistos en est seccion nos inducen algunas cuestionesinteresantes sobre variedades afines. Sean f1, . . . , fs ∈ k[x1, . . . , xn],entonces:
(Consistencia) ¿Podemos determinar si V(f1, . . . , fs) 6= ∅?(Finitud) ¿Podemos determinar si V(f1, . . . , fs) es finito? En casoafirmativo ¿podemos encontrar las soluciones explıcitamente?
(Dimension) ¿Podemos determinar la “dimension” de V(f1, . . . , fs)?
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 25 / 64
Ideales
Ideales
Definicion (Definicion 4.1)
Un subconjunto I ⊂ k[x1, . . . , xn] es un ideal de si satisface:
(i) 0 ∈ I .
(ii) Si f , g ∈ I entonces f + g ∈ I .
(iii) Si f ∈ I y h ∈ k[x1, . . . , xn] entonces hf ∈ I .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 26 / 64
Ideales
Ideal generado
Definicion (Definicion 4.2)
Sean f1, . . . , fs polinomios de k[x1, . . . , xn]. Consideremos
〈f1, . . . , fs〉 =
{s∑
i=1
hi fi
∣∣∣∣∣ h1, . . . , hs ∈ k[x1, . . . , xn]
}.
Lema (Lema 4.3)
Si f1, . . . , fs ∈ k[x1, . . . , xn] entonces 〈f1, . . . , fs〉 es un ideal dek[x1, . . . , xn]. Diremos que 〈f1, . . . , fs〉 es el ideal generado por f1, . . . , fs .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 27 / 64
Ideales
Ideales finitamente generados
Decimos que un ideal I es finitamente generado si existenf1, . . . , fs ∈ k[x1, . . . , xn] tales que I = 〈f1, . . . , fs〉. Decimos entonces quef1, . . . , fs es una base de I .Veremos mas adelante que todo ideal de k[x1, . . . , xn] es finitamentegenerado (Teorema de la base de Hilbert).
Proposicion (Proposicion 4.4)
Si f1, . . . , fs y g1, . . . , gt son bases del mismo ideal en k[x1, . . . , xn], esdecir, 〈f1, . . . , fs〉 = 〈g1, . . . , gt〉, entonces se tieneV(f1, . . . , fs) = V(g1, . . . , gt).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 28 / 64
Ideales
Ideal de una variedad
Definicion (Definicion 4.5)
Sea V ⊂ kn una variedad afın. Consideremos
I(V ) = {f ∈ k[x1, . . . , xn] | f (a1, . . . , an) = 0 ∀(a1, . . . , an) ∈ V }.
Lema (Lema 4.6)
Si V ⊂ kn es una variedad afın, entonces I(V ) ⊂ k[x1, . . . xn] es un ideal.Diremos que I(V ) es el ideal de V .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 29 / 64
Ideales
Ideal de una variedad. Ejemplos
Ejemplo
- I({(0, 0)}) = 〈x , y〉.- Si k es infinito I(kn) = {0}.- Si V = V(y − x2, z − x3) es la cubica alabeada entonces
I(V ) = 〈y − x2, z − x3〉.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 30 / 64
Ideales
Algunas propiedades
Observacion
Se verifican las siguientes propiedades elementales:
- Sean S y S ′ subconjuntos de k[x1, . . . xn]. Entonces S ⊂ S ′ implicaV(S ′) ⊂ V(S).
- Sean f1, . . . , fs ∈ k[x1, . . . xn]. Entonces
V(f1, . . . , fs) = V(〈f1, . . . , fs〉).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 31 / 64
Ideales
Teorema de la base de Hilbert
Definicion (Anillo noetheriano)
Un anillo se dice noeheriano si todo ideal del anillo es finitamentegenerado.
Nota
En adelante supondremos que k es un cuerpo algebraicamente cerrado.
Teorema (Teorema de la base de Hilbert)
Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. El anillo k[x1, . . . xn] esnoetheriano.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 32 / 64
Ideales
Ideal producto e ideal suma
Definicion (Ideal producto)
Sean I , J ⊂ k[x1, . . . xn] ideales. Llamamos ideal producto a
IJ = 〈fg | f ∈ I , g ∈ J〉.
Proposicion
Sea {Ij} una familia de ideales de k[x1, . . . xn]. El conjunto∑
Ij de lassumas finitas de elementos de los ideales Ij es un ideal llamado ideal suma.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 33 / 64
Ideales
Topologıa de Zariski
Proposicion
En las condiciones anteriores se tiene:
(i) I ⊂ J ⇒ V(I ) ⊃ V(J).
(ii) V(0) = kn, V(k[x1, . . . xn]) = ∅.(iii) V(I ) ∪ V(J) = V(IJ) = V(I ∩ J).
(iv) ∩V(Ij) = V(∑
Ij).
Observacion (Topologıa de Zariski)
De las propiedades (ii), (iii) y (iv) se deduce que las variedades afines V(I )forman la familia de cerrados de una topologıa llamada la topologıa deZariski de kn.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 34 / 64
Ideales
Teorema de los ceros de Hilbert. Version debil
Recordemos que k es un cuerpo algebraicamente cerrado.
Teorema (Teorema de los ceros. Version debil)
Todo ideal I ⊂ k[x1, . . . xn] distinto del total tiene un cero en kn.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 35 / 64
Ideales
Algunas propiedades
Observacion
Se verifican las siguientes propiedades:
- Sean V ,W subconjuntos de kn. Entonces V ⊂W implicaI(V ) ⊃ I(W ).
- I(∅) = k[x1, . . . xn], I(kn) = {0}.- Sea {Wi} una familia de subconjuntos de kn. I(∪Wi ) = ∩I(Wi ).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 36 / 64
Ideales
Radical de un ideal
Definicion (Radical de un ideal)
Sea I ⊂ k[x1, . . . xn] un ideal. Llamamos radical de I al conjunto
√I = {f ∈ k[x1, . . . xn] | f n ∈ I para algun n}.
Proposicion
El radical de un ideal es un ideal.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 37 / 64
Ideales
Ideal radical
Definicion (Ideal radical)
Un ideal I ⊂ k[x1, . . . xn] se dice radical si√I = I .
Observacion
Sea V ⊂ kn, el ideal I(V ) es radical. En particular, si I ⊂ k[x1, . . . xn] esun ideal, se tiene que
I(V(I )) ⊃√I .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 38 / 64
Ideales
Teorema de los ceros de Hilbert. Version fuerte
Teorema (Teorema de los ceros. Version fuerte)
(i) I(V(I )) =√I . En particular, si I es radical, I(V(I )) = I .
(ii) V(I(W )) = W , en la topologıa de Zariski. En particular, si V es unavariedad afın, V(I(V )) = V .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 39 / 64
Parametrizacion de variedades afines
Algunos ejemplos
- Un ejemplo de algebra lineal:
{x + y + z = 1,
x + 2y − z = 3.
x = −1− 3t,y = 2 + 2t,z = t.
- La circunferencia unidad x2 + y2 = 1.
{x = cos(t),y = sin(t).
O bien
x =
1− t2
1 + t2,
y =2t
1 + t2.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 40 / 64
Parametrizacion de variedades afines
Funciones racionales
Definicion (Definicion 3.1)
Sea k un cuerpo. Una funcion racional en t1, . . . , tm con coeficientes en kes un cociente f /g de dos polinomios f , g ∈ k[t1, . . . , tm], donde g es nonulo. Ademas, dos funciones racionales f /g y f ′/g ′ son iguales sig ′f = gf ′ en k[t1, . . . , tm]. Notaremos al conjunto de todas las funcionesracionales en t1, . . . , tm con coeficientes en k como k(t1, . . . , tm).
Observacion
El conjunto k(t1, . . . , tm) es un cuerpo.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 41 / 64
Parametrizacion de variedades afines
Representacion parametrica racional
Sea la variedad V = V(f1, . . . , fs) ⊂ kn. Una representacion parametricaracional de V consiste en unas funciones racionalesr1, . . . , rn ∈ k(t1, . . . , tm) tales que los puntos dados por
x1 = r1(t1, . . . , tm),x2 = r2(t1, . . . , tm),
...xn = rn(t1, . . . , tm)
esten en V . Tambien requeriremos que V sea la variedad “mas pequena”conteniendo a estos puntos.Si las funciones r1, . . . , rn son polinomios diremos que es unarepresentacion parametrica polinomica.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 42 / 64
Parametrizacion de variedades afines
Representacion implıcita
En contraste, las ecuaciones originales que definen V ,
f1 = · · · = fs = 0,
se llaman representacion implıcita de V .
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 43 / 64
Parametrizacion de variedades afines
Las parametricas permiten dibujar
Para dibujar la variedad V(x2 − y2z2 + z3)
hemos usado las parametricasx = t(u2 − t2),y = u,z = u2 − t2.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 44 / 64
Parametrizacion de variedades afines
Dos cuestiones
La utilidad de tener ambos tipos de representaciones sugieren doscuestiones:
- Parametrizacion: ¿Tiene toda variedad afın una representacionparametrica racional?
- Implicitacion: ¿Dada una representacion parametrica racional de unavariedad afın, podemos encontrar sus ecuaciones implıcitas?
La respuesta a la primera pregunta es no. Se llaman uniracionales lasvariedades que tienen representacion parametrica racional. De hecho esdifıcil saber si una variedad afın es o no uniracional.La respuesta a la segunda pregunta es afirmativa.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 45 / 64
Parametrizacion de variedades afines
Teorıa de eliminacion
{x = 1 + ty = 1 + t2 t = 1− x
y = 1 + (1− x)2 V(y − x2 + 2x − 2).
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 46 / 64
Parametrizacion de variedades afines
El teorema de Bezout
Teorema (Teorema de Bezout)
Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado y sean C y D dos curvasproyectivas planas de grados m y n respetivamente. Entonces ambascurvas se cortan en m · n puntos contando multiplicidad.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 47 / 64
Parametrizacion de variedades afines
La circunferencia unidad
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 48 / 64
Parametrizacion de variedades afines
Superficie tangente
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 49 / 64
Parametrizacion de variedades afines
Superficie tangente
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 50 / 64
Parametrizacion de variedades afines
Superficie tangente
Cubica alabeda
y − x2 = z − x3 = 0
x = ty = t2
z = t3
r(t) = (t, t2, t3) r′(t) = (1, 2t, 3t2)
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 51 / 64
Parametrizacion de variedades afines
Superficie tangente
r(t) + ur′(t) = (t, t2, t3) + u(1, 2t, 3t2) = (t + u, t2 + 2tu, t3 + 3t2u).
x = t + uy = t2 + 2tuz = t3 + 3t2u
x3z − (3/4)x2y2 − (3/2)xyz + y3 + (1/4)z2 = 0.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 52 / 64
Polinomios en una variable
Termino lıder
Definicion (Definicion 5.1)
Dado un polinomio no nulo f ∈ k[x ], pongamos
f = c0xm + · · ·+ cm−1x + cm,
donde ci ∈ k y c0 6= 0 (es decir, m = deg(f )). Entonces decimos que c0xm
es el termino lıder de f , escribiremos lt(f ) = c0xm.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 53 / 64
Polinomios en una variable
Algoritmo de division
Observacion
Sean f , g ∈ k[x ] polinomios no nulos. Entonces
deg(f ) ≤ deg(g)⇐⇒ lt(f ) divide a lt(g).
Proposicion (Proposicion 5.2. El algoritmo de division)
Sean k un cuerpo y g ∈ k[x ] un polinomio no nulo. Entonces todof ∈ k[x ] se puede escribir
f = qg + r ,
donde q, r ∈ k[x ] y, o bien r = 0, o bien deg(r) < deg(g). Ademas q y rson unicos y existe un algoritmo para calcularlos.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 54 / 64
Polinomios en una variable
Algoritmo de division
Algoritmo
Input: g , fOutput: q, rq := 0; r := fWHILE r 6= 0 AND lt(g) divide a lt(r) DOq := q + lt(r)/lt(g)r := r − (lt(r)/lt(g))gRETURN q, r
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 55 / 64
Polinomios en una variable
Algunas consecuencias
Corolario (Corolario 5.3)
Si k es un cuerpo y f ∈ k[x ] es un polinomio no nulo, entonces f tiene alo mas deg(f ) raıces en k .
Corolario (Corolario 5.4)
Sea k un cuerpo. Todo ideal de k[x ] se puede escribir como 〈f 〉 para algunf ∈ k[x ]. Ademas, f es unico salvo la multiplicacion por uns constante nonula de k .
Nota
Un ideal generado por un elemento se dice idea principal. Por el corolarioanterior, diremos que k[x ] es un dominio de ideales principales
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 56 / 64
Polinomios en una variable
Maximo comun divisor
Definicion (Definicion 5.5)
Un maximo comun divisor de dos polinomios f , g ∈ k[x ] es un polinomio htal que:
(i) h divide a f y a g .
(ii) Si p es otro polinomio que divide a f y a g , entonces p divide a h.
Escribiremos h = 〈gcd(f , g)〉.
Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 57 / 64
Polinomios en una variable
Propiedades del maximo comun divisor
Proposicion (Proposicion 5.6)
Sean f , g ∈ k[x ]. Entonces:
(i) gcd(f , g) existe y es unico salvo producto por constantes no nulas enk .
(ii) gcd(f , g) es un generador del ideal 〈f , g〉.(iii) Existe un algoritmo para calcular gcd(f , g).
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Polinomios en una variable
Calculo del maximo comun divisor
Algoritmo
Input: f , gOutput: h = gcd(f , g)h := fs := gWHILE s ≥ 0 DOrem := remainder(h, s)h := ss := remRETURN h
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Polinomios en una variable
Un ejemplo
Ejemplo
x4 − 1 = 0 · (x6 − 1) + x4 − 1,x6 − 1 = x2 · (x4 − 1) + x2 − 1,x4 − 1 = (x2 + 1) · (x2 − 1) + 0.
Luego
gcd(x4 − 1, x6 − 1) = gcd(x6 − 1, x4 − 1)= gcd(x4 − 1, x2 − 1) = gcd(x2 − 1, 0) = x2 − 1.
Por tanto〈x4 − 1, x6 − 1〉 = 〈x2 − 1〉.
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Polinomios en una variable
Maximo comun divisor de varios polinomios
Definicion (Definicion 5.7)
Un m aximo comun divisor de los polinomios f1, . . . , fs ∈ k[x ] es unpolinomio h tal que:
(i) h divide a f1, . . . , fs .
(ii) Si p es otro polinomio que divide a f1, . . . , fs entonces p divide a h.
Cuando h verifica estas propiedades escribimos h = gcd(f1, . . . , fs).
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Polinomios en una variable
Propiedades de gcd(f1, . . . , fs)
Proposicion (Proposicion 5.8)
Sean f1, . . . , fs ∈ k[x ], donde s ≥ 2. Entonces:
(i) gcd(f1, . . . , fs) existe y es unico salvo producto por constantes nonulas de k .
(ii) gcd(f1, . . . , fs) es un generador del ideal 〈f1, . . . , fs〉.(iii) Si s ≥ 3, entonces gcd(f1, . . . , fs) = gcd(f1, gcd(f2, . . . , fs)).
(iv) Existe un algoritmo para calcular gcd(f1, . . . , fs).
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Polinomios en una variable
Otro ejemplo
Ejemplo
Sea 〈x3 − 3x + 2, x4 − 1, x6 − 1〉 ⊂ k[x ]. Como
gcd(x3 − 3x + 2, x4 − 1, x6 − 1) = gcd(x3 − 3x + 2, gcd(x4 − 1, x6 − 1))= gcd(x3 − 3x + 2, x2 − 1) = x − 1.
Luego 〈x3 − 3x + 2, x4 − 1, x6 − 1〉 = 〈x − 1〉.
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Polinomios en una variable
El problema de la pertenencia a un ideal
Ejemplo
¿x3 + 4x2 + 3x − 7 ∈ 〈x3 − 3x + 2, x4 − 1, x6 − 1〉?Como 〈x3 − 3x + 2, x4 − 1, x6 − 1〉 = 〈x − 1〉, basta comprobar si x − 1divide a x3 + 4x2 + 3x − 7. Dividiendo
x3 + 4x2 + 3x − 7 = (x2 + 5x + 8) · (x − 1) + 1.
Por tanto x3 + 4x2 + 3x − 7 /∈ 〈x3 − 3x + 2, x4 − 1, x6 − 1〉
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