View
267
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
TEMA 1: LOS NÚMEROS REALES
LOS NÚMEROS REALES. CLASIFICACIÓN.
Dentro del conjunto de los números reales distinguimos:
NATURALES. Se designan con la letra N y son los números sin decimales y positivos 0, 1, 2, 3, ….
ENTEROS. Se designan con la letra Z y son los naturales positivos y negativos
…..3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….
RACIONALES. Se designan con la letra Q y son todos los números que se pueden poner como
fracción. En este conjunto están los enteros, decimales exactos y decimales periódicos.
Por ejemplo:
FRACCIONARIOS. Son todos aquellos racionales que no son enteros, es decir, decimales exactos y
decimales periódicos.
Por ejemplo:
IRRACIONALES. Se designan con la letra I y son todos aquellos que no se pueden poner como
fracción, es decir, son los decimales no exactos y no periódicos.
Por ejemplo: π,
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales,
se designa por .
Ejercicios:
1. Coloca donde corresponda los siguientes números: 437 1012,2,4/8,102,3,6/7,3,5,3,7,12
N
Z
Q
FRACCIONARIOS
I
2. Rellena la tabla poniendo SI o NO donde corresponda.
NÚMERO N Z Q FRAC I R
43,2
12
123
7
5/1
RADICALES
Antes de empezar con los radicales repasemos las propiedades de las potencias
m
m
m
mmm
nn
n
n
nmnm
nm
n
mnm
nmnm
b
a
b
a
baba
a
b
b
a
aa
aa
aa
aaa
aaa
aa
a
.9
.8
.7
1.6
.5
.4
.3
.2
1.1
1
0
Un radical es una expresión del tipo n a donde n es el índice y a es el radicando.
Un radical es una potencia de exponente fraccionario
nn aa
1
en general podemos afirmar n
m
n m aa
Ejercicios:
3. Pasa a forma de potencia los siguientes radicales:
3) xa
3) xb
5 2) bc
5 15) xd
4. Pasa a radical las siguientes potencias:
5
3
) aa
5,0) xb
5
2
3) aac
RADICALES EQUIVALENTES
Dos o más radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias
asociadas son equivalentes.
Por ejemplo 7 221 6 aa porque 7
2
21
6
aa y 7
2
21
6
Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales equivalentes, multiplicando o dividiendo el
exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número.
Por ejemplo:
15 1053 523 2 xxx 6 2212 2412 4 xxx
INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN UN RADICAL
Para introducir un factor en un radical se multiplica el exponente del factor por el índice del radical
Por ejemplo:
5 1535 33 abba
4 114 834 32 xxxxx
Ejercicios
5. Introduce factores:
4 223
7 34
35
)
)
3)
)
babad
xxc
xb
baa
EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL
Si algún factor del radicando tiene por exponente un número mayor o igual que el índice, se puede
extraer fuera del radical dividiendo el exponente del radicando entre el índice. El cociente es el
exponente del factor que sale fuera y el resto es el exponente del factor que queda dentro.
Por ejemplo:
3 283 26 xxx ya que la división …..
Otra forma de hacerlo es:
3 2243 26 xxx …..
Ejercicios
6. Extrae todos los factores que puedas.
3 210
3
4 16314
6 24
5 18
27)
45)
81)
)
)
)
baf
e
d
zyxc
ab
xa
RADICAL DE UN RADICAL
Para calcular la raíz de otra raíz se multiplican los índices.
mnn m aa
Demostración:
mnm
nnmn m aaaa
111
Por ejemplo: 353 7 55
POTENCIA DE UN RADICAL
Si un radical está elevado a un exponente, para calcular su valor se eleva el radicando a ese exponente.
m qq
m aa
Demostración:
m qq
m aa
Por ejemplo:
5
3 a
2
3 7
REDUCCIÓN A ÍNDICE COMÚN
Reducir a índice común dos o más radicales es encontrar radicales equivalentes a los dados que
tengan el mismo índice.
El índice común es cualquier múltiplo del m.c.m. de los índices. El mínimo índice común es el m.c.m.
de los índices.
Por ejemplo si que remos reducir estos tres radicales 53 , ba y 3 2c a índice común buscamos el
m.c.m. de todos los índices, que en este caso es 30
30 2030 1023 2
30 630 615
30 4530 1533
ccc
bbb
aaa
LO QUE HAGAS AL ÍNDICE HÁZSELO AL EXPONENTE
Ejercicios
7. Pasa a índice común.
5 43 ,) axa
12 53 24 3 ,,) xxxb
RADICALES SEMEJANTE
Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir
únicamente en el coeficiente que los multiplica.
Por ejemplo los siguientes radicales son semejantes: 555 73
2,75,7
Ejercicios
8. Agrupa los radicales semejantes: 28,35
3,32,26,3
9. Demuestra que los siguientes radicales son semejantes: 3 35 , 6 94 y 3 24
PRODUCTO Y COCIENTE DE RADICALES
Para multiplicar o dividir radicales, éstos tienen que tener el mismo índice y se hace de la siguiente
forma:
Producto: nnn baba Cociente: nn
n
b
a
b
a
Si no tienen el mismo índice, pasamos todos los radicales a índice común y aplicamos lo anterior
Por ejemplo:
15 75 33 xxx
7 4
5 3
a
a
4
35
53
759
Ejercicios
10. Opera y simplifica:
a)
5 3
3 2
x
xx
b)
5 3
3
x
xx
c) 5 3 22 xxxx
RACIONALIZACIÓN
La racionalización consiste en “quitar” las raíces del denominador. Hay dos procedimientos según el tipo
de expresión.
Procedimiento 1
7 45
7 45
7 327 32
55
yx
yx
yxyx
35
2
7 2
23
ba
ab
Procedimiento 2
53
53
53
5
53
5
53
53
APROXIMACIÓN DE NÚMEROS
Se llaman cifras significativas a las que se usan para expresar un número aproximado. Solo se deben
utilizar aquellas cuya exactitud nos conste y de modo que sean relevantes para lo que queremos
transmitir. Ejemplos:
34 m tiene 2 cifras significativas
0,0863 hm3 tiene 3 cifras significativas
53 000 g tiene 2 cifras significativas, pues los ceros al final solo sirven para designar el número. Mejor
seria que pusiese 53 miles de gramos o 53 kg
Ejercicios:
11. Expresa con un número razonable de cifras significativas las siguientes cantidades:
1. Visitantes en un año a una pinacoteca: 183 594
2. Asistentes a una manifestación: 234 590
3. Número de bacterias en 1 dm3 de cierto preparado: 302 593 847
4. Número de gotas de agua en una piscina: 147 253 892 000
5. Número de granos en un saco de arroz: 11 892 583
Cada vez que hacemos una aproximación cometemos un error. Hay dos tipos de errores:
- Error absoluto: Es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado.
imadovaloraproxrealValorabsolutoError
Si el valor real es desconocido lo que calculamos es una cota de error, que se calcula a partir de la
última cifra significativa. Por ejemplo si tomamos el número π como 3,14 la cota de error se calcula
viendo el orden que ocupa la última cifra significativa ( es el 4 y ocupa el lugar de las centésimas)
y dividiendo la unidad de ese orden entre dos, en nuestro caso dividir una centésima entre dos lo
que da 0,005.
- El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real. Es tanto menor cuantas más cifras
significativas se usen.
Por ejemplo, calcular la cota de error absoluto y el relativo de las siguientes aproximaciones:
a) 34 000 kg 5002
1000ae Kg 0147,0
34000
500re
b) 0,5 m 2
1,0ae
c) 12 km
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Un número está en notación científica si:
- Está descrito mediante dos factores, un número decimal y una potencia de 10.
- El número decimal es mayor o igual que 1 y menor o igual que 10.
- La potencia de 10 es de exponente entero.
Ejercicios.
1. Expresa en notación científica los siguientes números:
a) 340 000
b) 0,00000034
c) 25 . 106
d) 0,04 . 109
e) 480 . 10-8
f) 0,05 . 10-8
2. Nos dicen que la población de China es de 1 300 millones de habitantes.
a) Expresa esa cantidad en notación científica
b) ¿Es una cantidad exacta o aproximada?
c) Da una cota de error absoluto
d) Da una cota de error relativo
EJERCICIOS
1. a) Indica cuáles de estos números no se pueden expresar como una fracción: 52;3;57,3;2,4;3;7,1;2
b) Expresa como fracción aquellos que sea posible.
c) Indica cuáles son racionales.
2. ¿Cuántos números racionales hay entre 7,0
y 8,0
? ¿Y cuántos irracionales? Pon ejemplos.
3. Escribe, en cada caso, un número racional y otro irracional comprendidos entre los dos que se dan:
4. Escribe dos números racionales uno mayor y otro menor que 2 que se diferencien de él en menos de una milésima.
5. Haz una tabla y clasifica los siguientes números: .....00010100100010,1;60,0;5/2;4;7;5;3/6;3 2
6. Sitúa estos números en el diagrama:
7. Indica a cuáles de los conjuntos N, Z, Q, A pertenece cada uno de los siguientes números:
8. Explica si estas frases son verdaderas o falsas:
a) Todo número entero es racional.
b) Hay números irracionales que son enteros.
c) Todo número irracional es real.
d) Algunos números enteros son naturales.
e) Hay números decimales que no pueden ser expresados como una fracción.
f) Todos los números decimales son racionales.
g) Entre dos números enteros hay siempre otro número entero.
h) Entre dos números racionales siempre hay infinitos números racionales.
i) Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales.
j) Los números racionales llenan la recta.
9. Expresa en forma exponencial:
m n kafxeaadacxbxa ))/)))) 361315 65
3 25
10. Calcula el resultado:
2
3
6
5
3
2
4
1
3
1
2
1
36)64)8)625)125)4) fedcba Sol: a) 2 b) 5 c) 5 d) 4 e) 32 f) 216
11. Expresa en forma de radical:
2,17,05,03/29/7 3))3))) exdcabxa
12. Expresa en forma exponencial:
15 53
5 245 34 23 65 2 )))3)20)10)2)) ahxgafedcbxa
13. Expresa como potencia única:
2
148))))525)93)42) 53
2
3 255 2333 gmmmfaeaadcba
Sol: a) 27/6 b) 35/3 c) 51/6 d) a9/19 e) a1/10 f) m-5/6 g) 219/10
14. Expresa en forma de raíz.
53
13
1
2
1
4
13
3
1
3
22
1
)))3
4)3)5)
afaeadcba
0;104;4/;6;4/1;9/11;5,3;21;32,7;1
15. Simplifica:
8965 1012 812 9 81)64)8)))) fedycxbxa
16. Simplifica:
3 963 4 88 425 1512 84 2 )))))3) bafaebadacaba
17. Extrae del radical los factores que sea posible.
18. Introduce dentro de la raíz y simplifica.
Sol: a) 15 b) 2 c) 3 14 d) 4
3
20 e) 3 f) 3
3
2
19. Divide y simplifica.
Sol: a) 3
5 b)
5
3 c)
3
1
20. Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales:
643 81,40,30,7 Sol: 346 3074081
21. Reduce a índice común y efectúa.
Sol: a) 10 7232 b) 6 2 c) 12
5
2d) 6
3
2
22. Simplifica los siguientes radicales:
Sol: a) 332 b) 3 c) 3 23 d) 42 y e)
4
23 f) 1
23. Realiza la operación y simplifica si es posible:
Sol: a) 2180 b) 2
16 c)
2
1 d) 3 182 f) 2
24. Simplifica:
Sol: a) 2x b) 6 ab c)
6 1a d) 41
bc
a
c
25. Efectúa y simplifica, si es posible:
Sol: a) 6 108 b) a c) 4
1 d) 6 3
26. Expresa con solo una raíz:
Sol: a) 12 4 b) 12128 c) 20 aa
27. Opera y simplifica:
4 2
32
3 5 12 1aa
aa Sol:
30 11a
28. Efectúa.
Sol: a) 33 b) 3 3 c) 74 d) 3 24 e) 72
332
29. Suma y simplifica:
5
332817)
45
8
3
1
125
184
5
2)245452502163)
1850)8125027)825018)
33 43
3333
aaaf
ed
aacba
Sol: a) 25 b) 2335 c) a22 d) 3 27 e) 5
2
45
53 f) 3 32
5
106aa
30. Efectúa.
Sol: a) 1 b) 21222 c) -7 d) 15423
31. Efectúa y simplifica:
1632)31212)2352)
6565)2256)2323)
2
22
fed
cba
Sol: a) 64 b) 10234 c) 1 d) 101238 e) 3 f) 223
32. Racionaliza y simplifica.
Sol: a) 3 b) 6 c) 5
15 d)
3
32e)
4
6f)
5
252 3
33. Racionaliza y simplifica:
3 2
52
12 753
3
7 3
53
135
3)))
ba
bac
zyx
xyb
ba
baa
Sol: a)7 6442 baba b)
z
zyxy 12 5792
c) 5
53 224 baba
34. Racionaliza y simplifica si es posible.
Sol: a) 6
233 b)
2
333 c) 226 d) 223 e) 352
f) 234 g) 232 h) 36 i) 154
35. Justifica que 4 4;32
8;
3
18y 2
1
2 representan el mismo número irracional.
36. Racionaliza y simplifica: 2233
2263
Sol: 2
37. Efectúa y simplifica:
57
57
57
57)
23
2
23
3) ba Sol: a) 253 b) 352
38. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:
Sol: a) 2 b) 5 c) 3
62
2
2
39. Halla el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble de la base cuya longitud es 3 cm.
Expresa el resultado con radicales. Sol: 4
153
40. Calcula el perímetro de los triángulos ABC, DEF y GHI. Expresa el resultado con radicales.
Sol: Perímetro de ABC = 535 Perímetro de DFE = 246 Perímetro de GHI = 2254
41. Calcula la altura de un tetraedro regular de 8 cm de arista. Da su valor exacto.
Sol: 3
28cm
42. Calcula el volumen de un octaedro regular cuya arista mide 6 cm. Da su valor exacto. Sol: 34 cm3
43. Halla el valor exacto de las siguientes expresiones en el caso en que 2
3m
Sol: a) 32 b) 2
1 c) 347
44. Simplifica las expresiones siguientes:
Sol: a) 36 b) 1 c) 54
45. Da una cota del error absoluto y una cota del error relativo de cada una de las aproximaciones siguientes sobre los
presupuestos de algunos equipos deportivos:
a) 128 mil euros b) 25 millones de euros c) 648 500 € d)3 200 €
Sol: a) Error absoluto < 500 € y Error relativo < 0,0039 b) Error absoluto < 500 000 € y Error relativo < 0,02
c) Error absoluto < 50 € y Error relativo < 0,000077 d) Error absoluto < 50 € y Error relativo < 0,0156.
46. Expresa con un número razonable de cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo de la
aproximación que des.
a) Oyentes de un programa de radio: 843 754 b)Precio de un coche: 28 782 €
c) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: 0,0375 segundos. d) Gastos de un ayuntamiento: 48 759
450 €
47. Escribe en notación científica. a) 752 000 000 b) 0,0000512 c) 0,000007 d) 15 000 000 000
48. Expresa en notación científica.
a) 32 · 105 b) 75 · 10–4 c) 843 · 107 d)458 · 10–7 e) 0,03 · 106 f ) 0,0025 · 10–5
49. Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa a notación científica los que no lo estén:
a) 3,27 · 1013; 85,7 · 1012; 453 · 1011 b) 1,19 · 10–9; 0,05 · 10–7; 2 000 · 10–12
50. Expresa en notación científica y calcula:
Sol: 150
51. En 18 g de agua hay 6,02 · 1023 moléculas de este compuesto. ¿Cuál es la masa, en gramos, de una molécula de agua?
Sol: 2,99 · 10–23 gramos
52. Da una cota del error absoluto de cada una de las siguientes aproximaciones y compara sus errores relativos.
a) 8 · 105 b) 5,23 · 106 c) 1,372 · 107 d) 2,5 · 10–4 e) 1,7 · 10–6 f ) 4 · 10–5
Sol: El menor error relativo se da en c) y el mayor, en f ).
53. Calcula con lápiz y papel, expresa el resultado en notación científica y compruébalo con la calculadora.
a) (3,5 · 107) · (4 · 108) b) (5 · 10–8) · (2,5 · 105) c) (1,2 · 107) : (5 · 10–6) d) (6 · 10–7)2
54. Efectúa a mano utilizando la notación científica y comprueba después con la calculadora.
a) 5,3 · 1012 – 3 · 1011 b) 3 · 10–5 + 8,2 · 10–6 c) 6 · 10–9 – 5 · 10–8 d) 7,2 · 108 + 1,5 · 1010
55. Expresa el resultado de las siguientes operaciones en notación científica con 3 cifras significativas como máximo:
a) (2,8 · 10–5) : (6,2 · 10–12) b) (7,2 · 10–6)3 : (5,3 · 10–9)
c) 7,86 · 105 – 1,4 · 106 + 5,2 · 104 d) (3 · 10–10 + 7 · 10–9) : (7 · 106 – 5 · 105)
AUTOEVALUACIÓN
1. Completa la siguiente tabla poniendo SI o NO donde corresponda:
N Z Q I R
22/3
63
6,1
4
7
1,23 .10-3
2. Aproxima estas cantidades dando dos cifras significativas:
- Hay 1527 estudiantes en un instituto.
- Victoria pesa 58,23 Kg.
3. Escribe en notación científica: a) 123 000 b) 0,0012 c) 32,5 . 10-3 d) 127 . 104
4. Calcula en notación científica sin usar la calculadora:
a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012 b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7
5. Calcula la cota de error absoluto y la cota de error relativo cometido al tomar el valor del número como 3,14
6. Si x R , explica si es verdadera o falsa cada una de estas afirmaciones:
a) x2 es siempre positivo o nulo.
b) x3 es siempre positivo o nulo.
c) solo existe si x ≥ 0.
d) x–1 es negativo si lo es x.
e) –x2 es siempre negativo.
7. Simplifica:
8. Calcula el resultado simplificado.
3 2
5 3
a
aa
9. Extrae todos los factores posibles.
7
527
1714
tz
yx
10. Racionaliza y simplifica:
a) 3
56 b)
37
8
11. a) Efectúa: 2
532 b) Opera y simplifica: 600547243
12. a) Opera y simplifica: 6 273 b) Racionaliza y simplifica:
8 63
723
yx
yx
13. Introduce los factores en el radical: 73
2
4
3
y
x
y
x
14. Demuestra si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:
4 38 65,13 ))) aaIIIxxIIxxIpqq p
15. Calcula el resultado de:
7
6 52
4 33
1
xx
xx
16. Calcula el resultado de: 3 2
3
baba
baba
17. Opera y simplifica:
12
12
54
3
Recommended