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Tema 17: El TAD de los conjuntosInformática (2019–20)

José A. Alonso Jiménez

Grupo de Lógica ComputacionalDepartamento de Ciencias de la Computación e I.A.

Universidad de Sevilla

IM Tema 17: El TAD de los conjuntos

Tema 17: El TAD de los conjuntos1. Especificación del TAD de los conjuntos

Signatura del TAD de los conjuntosPropiedades del TAD de los conjuntos

2. Implementaciones del TAD de los conjuntosLos conjuntos como listas no ordenadas con duplicadosLos conjuntos como listas no ordenadas sin duplicadosLos conjuntos como listas ordenadas sin duplicadosLos conjuntos de números enteros mediante números binarios

3. Comprobación de las implementaciones con QuickCheckLibrerías auxiliaresGenerador de conjuntosEspecificación de las propiedades de los conjuntosComprobación de las propiedades

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IM Tema 17: El TAD de los conjuntosEspecificación del TAD de los conjuntos

Signatura del TAD de los conjuntos

Tema 17: El TAD de los conjuntos

1. Especificación del TAD de los conjuntosSignatura del TAD de los conjuntosPropiedades del TAD de los conjuntos

2. Implementaciones del TAD de los conjuntos

3. Comprobación de las implementaciones con QuickCheck

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Signatura del TAD de los conjuntos

I Signatura:vacio, :: Conj ainserta :: Eq a => a -> Conj a -> Conj aelimina :: Eq a => a -> Conj a -> Conj apertenece :: Eq a => a -> Conj a -> BoolesVacio :: Conj a -> Bool

I Descripción de las operaciones:I vacio es el conjunto vacío.I (inserta x c) es el conjunto obtenido añadiendo el elemento x

al conjunto c.I (elimina x c) es el conjunto obtenido eliminando el elemento x

del conjunto c.I (pertenece x c) se verifica si x pertenece al conjunto c.I (esVacio c) se verifica si c es el conjunto vacío.

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Propiedades del TAD de los conjuntos

1. Especificación del TAD de los conjuntosSignatura del TAD de los conjuntosPropiedades del TAD de los conjuntos

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Propiedades del TAD de los conjuntos

1. inserta x (inserta x c) == inserta x c

2. inserta x (inserta y c) == inserta y (inserta x c)

3. not (pertenece x vacio)

4. pertenece y (inserta x c) == (x==y) || pertenece y c

5. elimina x vacio == vacio

6. Si x == y, entonceselimina x (inserta y c) == elimina x c

7. Si x /= y, entonceselimina x (inserta y c) == inserta y (elimina x c)

8. esVacio vacio

9. not (esVacio (inserta x c))

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IM Tema 17: El TAD de los conjuntosImplementaciones del TAD de los conjuntos

Los conjuntos como listas no ordenadas con duplicados

1. Especificación del TAD de los conjuntos

7 / 51

I Cabecera del módulo:

module ConjuntoConListasNoOrdenadasConDuplicados(Conj,vacio, -- Conj ainserta, -- Eq a => a -> Conj a -> Conj aelimina, -- Eq a => a -> Conj a -> Conj apertenece, -- Eq a => a -> Conj a -> BoolesVacio, -- Conj a -> Bool

) where

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Los conjuntos como listas no ordenadas con duplicadosI El tipo de los conjuntos.

newtype Conj a = Cj [a]

I Procedimiento de escritura de los conjuntos.

instance Show a => Show (Conj a) whereshowsPrec _ (Cj s) cad = showConj s cad

showConj [] cad = showString "{}" cadshowConj (x:xs) cad =

showChar ’{’ (shows x (showl xs cad))whereshowl [] cad = showChar ’}’ cadshowl (x:xs) cad = showChar ’,’ (shows x (showl xs cad))

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Los conjuntos como listas no ordenadas con duplicadosI Ejemplo de conjunto: c1 es el conjunto obtenido añadiéndole al

conjunto vacío los elementos 2, 5, 1, 3, 7, 5, 3, 2, 1, 9 y 0.ghci > c1{2,5,1,3,7,5,3,2,1,9,0}

c1 :: Conj Intc1 = foldr inserta vacio [2,5,1,3,7,5,3,2,1,9,0]

I vacio es el conjunto vacío. Por ejemplo,ghci> vacio{}

vacio :: Conj avacio = Cj []

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Los conjuntos como listas no ordenadas con duplicadosI Ejemplo de conjunto: c1 es el conjunto obtenido añadiéndole al

conjunto vacío los elementos 2, 5, 1, 3, 7, 5, 3, 2, 1, 9 y 0.ghci > c1{2,5,1,3,7,5,3,2,1,9,0}

10 / 51

Los conjuntos como listas no ordenadas con duplicadosI (inserta x c) es el conjunto obtenido añadiendo el elemento x

al conjunto c. Por ejemplo,c1 == {2,5,1,3,7,5,3,2,1,9,0}inserta 5 c1 == {5,2,5,1,3,7,5,3,2,1,9,0}

inserta :: Eq a => a -> Conj a -> Conj ainserta x (Cj ys) = Cj (x:ys)

I (elimina x c) es el conjunto obtenido eliminando el elementox del conjunto c. Por ejemplo,c1 == {2,5,1,3,7,5,3,2,1,9,0}elimina 3 c1 == {2,5,1,7,5,2,1,9,0}

elimina :: Eq a => a -> Conj a -> Conj aelimina x (Cj ys) = Cj (filter (/= x) ys)

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Los conjuntos como listas no ordenadas con duplicadosI (pertenece x c) se verifica si x pertenece al conjunto c. Por

ejemplo,c1 == {2,5,1,3,7,5,3,2,1,9,0}pertenece 3 c1 == Truepertenece 4 c1 == False

pertenece :: Eq a => a -> Conj a -> Boolpertenece x (Cj xs) = elem x xs

I (esVacio c) se verifica si c es el conjunto vacío. Por ejemplo,esVacio c1 FalseesVacio vacio True

esVacio :: Conj a -> BoolesVacio (Cj xs) = null xs

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I (subconjunto c1 c2) se verifica si c1 es un subconjunto dec2. Por ejemplo,subconjunto (Cj [1,3,2,1]) (Cj [3,1,3,2]) Truesubconjunto (Cj [1,3,4,1]) (Cj [3,1,3,2]) False

subconjunto :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Boolsubconjunto (Cj xs) (Cj ys) = sublista xs ys

where sublista [] _ = Truesublista (x:xs) ys = elem x ys &&

sublista xs ys

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I (subconjunto c1 c2) se verifica si c1 es un subconjunto dec2. Por ejemplo,subconjunto (Cj [1,3,2,1]) (Cj [3,1,3,2]) Truesubconjunto (Cj [1,3,4,1]) (Cj [3,1,3,2]) False

sublista xs ys

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I (igualConjunto c1 c2) se verifica si los conjuntos c1 y c2 soniguales. Por ejemplo,igualConjunto (Cj [1,3,2,1]) (Cj [3,1,3,2]) TrueigualConjunto (Cj [1,3,4,1]) (Cj [3,1,3,2]) False

igualConjunto :: Eq a => Conj a -> Conj a -> BooligualConjunto c1 c2 =

subconjunto c1 c2 && subconjunto c2 c1

I Los conjuntos son comparables por igualdad.

instance Eq a => Eq (Conj a) where(==) = igualConjunto

14 / 51

I (igualConjunto c1 c2) se verifica si los conjuntos c1 y c2 soniguales. Por ejemplo,igualConjunto (Cj [1,3,2,1]) (Cj [3,1,3,2]) TrueigualConjunto (Cj [1,3,4,1]) (Cj [3,1,3,2]) False

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Los conjuntos como listas no ordenadas sin duplicados

15 / 51

I Cabecera del módulo.

module ConjuntoConListasNoOrdenadasSinDuplicados(Conj,vacio, -- Conj aesVacio, -- Conj a -> Boolpertenece, -- Eq a => a -> Conj a -> Boolinserta, -- Eq a => a -> Conj a -> Conj aelimina -- Eq a => a -> Conj a -> Conj a

) where

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I Los conjuntos como listas no ordenadas sin repeticiones.

newtype Conj a = Cj [a]

I Procedimiento de escritura de los conjuntos.

instance (Show a) => Show (Conj a) whereshowsPrec _ (Cj s) cad = showConj s cad

showConj [] cad = showString "{}" cadshowConj (x:xs) cad = showChar ’{’ (shows x (showl xs cad))

whereshowl [] cad = showChar ’}’ cadshowl (x:xs) cad = showChar ’,’ (shows x (showl xs cad))

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Los conjuntos como listas no ordenadas sin duplicadosI Ejemplo de conjunto: c1 es el conjunto obtenido añadiéndole al

conjunto vacío los elementos 2, 5, 1, 3, 7, 5, 3, 2, 1, 9 y 0.ghci> c1{7,5,3,2,1,9,0}

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Los conjuntos como listas no ordenadas sin duplicadosI Ejemplo de conjunto: c1 es el conjunto obtenido añadiéndole al

18 / 51

Los conjuntos como listas no ordenadas sin duplicadosI (esVacio c) se verifica si c es el conjunto vacío. Por ejemplo,

esVacio c1 FalseesVacio vacio True

I (pertenece x c) se verifica si x pertenece al conjunto c. Porejemplo,c1 == {2,5,1,3,7,5,3,2,1,9,0}pertenece 3 c1 == Truepertenece 4 c1 == False

19 / 51

Los conjuntos como listas no ordenadas sin duplicadosI (inserta x c) es el conjunto obtenido añadiendo el elemento x

al conjunto c. Por ejemplo,inserta 4 c1 == {4,7,5,3,2,1,9,0}inserta 5 c1 == {7,5,3,2,1,9,0}

inserta :: Eq a => a -> Conj a -> Conj ainserta x s@(Cj xs) | pertenece x s = s

| otherwise = Cj (x:xs)

I (elimina x c) es el conjunto obtenido eliminando el elementox del conjunto c. Por ejemplo,elimina 3 c1 == {7,5,2,1,9,0}

elimina :: Eq a => a -> Conj a -> Conj aelimina x (Cj ys) = Cj [y | y <- ys, y /= x]

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I (subconjunto c1 c2) se verifica si c1 es un subconjunto dec2. Por ejemplo,subconjunto (Cj [1,3,2]) (Cj [3,1,2]) Truesubconjunto (Cj [1,3,4,1]) (Cj [1,3,2]) False

sublista xs ys

21 / 51

I (subconjunto c1 c2) se verifica si c1 es un subconjunto dec2. Por ejemplo,subconjunto (Cj [1,3,2]) (Cj [3,1,2]) Truesubconjunto (Cj [1,3,4,1]) (Cj [1,3,2]) False

sublista xs ys

21 / 51

I (igualConjunto c1 c2) se verifica si los conjuntos c1 y c2 soniguales. Por ejemplo,igualConjunto (Cj [3,2,1]) (Cj [1,3,2]) TrueigualConjunto (Cj [1,3,4]) (Cj [1,3,2]) False

22 / 51

I (igualConjunto c1 c2) se verifica si los conjuntos c1 y c2 soniguales. Por ejemplo,igualConjunto (Cj [3,2,1]) (Cj [1,3,2]) TrueigualConjunto (Cj [1,3,4]) (Cj [1,3,2]) False

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Los conjuntos como listas ordenadas sin duplicados

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Los conjuntos como listas ordenadas sin duplicadosI Cabecera del módulo

module ConjuntoConListasOrdenadasSinDuplicados(Conj,vacio, -- Conj aesVacio, -- Conj a -> Boolpertenece, -- Ord a => a -> Conj a -> Boolinserta, -- Ord a => a -> Conj a -> Conj aelimina -- Ord a => a -> Conj a -> Conj a

) where

I Los conjuntos como listas ordenadas sin repeticiones.

newtype Conj a = Cj [a]deriving Eq

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Los conjuntos como listas ordenadas sin duplicadosI Procedimiento de escritura de los conjuntos.

instance (Show a) => Show (Conj a) whereshowsPrec _ (Cj s) cad = showConj s cad

showConj [] cad = showString "{}" cadshowConj (x:xs) cad = showChar ’{’ (shows x (showl xs cad))

where showl [] cad = showChar ’}’ cadshowl (x:xs) cad = showChar ’,’ (shows x (showl xs cad))

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Los conjuntos como listas ordenadas sin duplicadosI Ejemplo de conjunto: c1 es el conjunto obtenido añadiéndole al

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Los conjuntos como listas ordenadas sin duplicadosI Ejemplo de conjunto: c1 es el conjunto obtenido añadiéndole al

26 / 51

Los conjuntos como listas ordenadas sin duplicadosI (esVacio c) se verifica si c es el conjunto vacío. Por ejemplo,

I (pertenece x c) se verifica si x pertenece al conjunto c. Porejemplo,c1 == {0,1,2,3,5,7,9}pertenece 3 c1 == Truepertenece 4 c1 == False

pertenece :: Ord a => a -> Conj a -> Boolpertenece x (Cj ys) = elem x (takeWhile (<= x) ys)

27 / 51

I (inserta x c) es el conjunto obtenido añadiendo el elemento xal conjunto c. Por ejemplo,c1 == {0,1,2,3,5,7,9}inserta 5 c1 == {0,1,2,3,5,7,9}inserta 4 c1 == {0,1,2,3,4,5,7,9}

inserta :: Ord a => a -> Conj a -> Conj ainserta x (Cj s) = Cj (agrega x s) where

agrega x [] = [x]agrega x s@(y:ys) | x > y = y : (agrega x ys)

| x < y = x : s| otherwise = s

28 / 51

inserta :: Ord a => a -> Conj a -> Conj ainserta x (Cj s) = Cj (agrega x s) where

agrega x [] = [x]agrega x s@(y:ys) | x > y = y : (agrega x ys)

| x < y = x : s| otherwise = s

28 / 51

I (elimina x c) es el conjunto obtenido eliminando el elementox del conjunto c. Por ejemplo,c1 == {0,1,2,3,5,7,9}elimina 3 c1 == {0,1,2,5,7,9}

elimina :: Ord a => a -> Conj a -> Conj aelimina x (Cj s) = Cj (elimina x s) where

elimina x [] = []elimina x s@(y:ys) | x > y = y : elimina x ys

| x < y = s| otherwise = ys

29 / 51

elimina :: Ord a => a -> Conj a -> Conj aelimina x (Cj s) = Cj (elimina x s) where

elimina x [] = []elimina x s@(y:ys) | x > y = y : elimina x ys

| x < y = s| otherwise = ys

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Los conjuntos de números enteros mediante números binarios

30 / 51

Los conjuntos de enteros mediante números binarios

I Los conjuntos que sólo contienen números (de tipo Int) entre 0y n − 1, se pueden representar como números binarios con n bitsdonde el bit i (0 ≤ i < n) es 1 syss el número i pertenece alconjunto. Por ejemplo,

43210{3,4} en binario es 11000 en decimal es 24{1,2,3,4} en binario es 11110 en decimal es 30{1,2,4} en binario es 10110 en decimal es 22

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I Cabecera del módulo

module ConjuntoConNumerosBinarios(Conj,vacio, -- ConjesVacio, -- Conj -> Boolpertenece, -- Int -> Conj -> Boolinserta, -- Int -> Conj -> Conjelimina -- Int -> Conj -> Conj

) where

I Los conjuntos de números enteros como números binarios.

newtype Conj = Cj Int deriving Eq

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I (conj2Lista c) es la lista de los elementos del conjunto c. Porejemplo,conj2Lista (Cj 24) [3,4]conj2Lista (Cj 30) [1,2,3,4]conj2Lista (Cj 22) [1,2,4]

conj2Lista (Cj s) = c2l s 0where

c2l 0 _ = []c2l n i | odd n = i : c2l (n ‘div‘ 2) (i+1)

| otherwise = c2l (n ‘div‘ 2) (i+1)

33 / 51

I (conj2Lista c) es la lista de los elementos del conjunto c. Porejemplo,conj2Lista (Cj 24) [3,4]conj2Lista (Cj 30) [1,2,3,4]conj2Lista (Cj 22) [1,2,4]

conj2Lista (Cj s) = c2l s 0where

c2l 0 _ = []c2l n i | odd n = i : c2l (n ‘div‘ 2) (i+1)

| otherwise = c2l (n ‘div‘ 2) (i+1)

33 / 51

Los conjuntos de enteros mediante números binariosI Procedimiento de escritura de conjuntos.

instance Show Conj whereshowsPrec _ s cad = showConj (conj2Lista s) cad

showConj [] cad = showString "{}" cadshowConj (x:xs) cad =

showChar ’{’ (shows x (showl xs cad))where

showl [] cad = showChar ’}’ cadshowl (x:xs) cad = showChar ’,’ (shows x (showl xs cad))

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Los conjuntos de enteros mediante números binariosI maxConj es el máximo número que puede pertenecer al conjunto.

Depende de la implementación de Haskell. Por ejemplo,maxConj 29

maxConj :: IntmaxConj =

truncate (logBase 2 (fromIntegral maxInt)) - 1where maxInt = maxBound::Int

I Ejemplo de conjunto: c1 es el conjunto obtenido añadiéndole alconjunto vacío los elementos 2, 5, 1, 3, 7, 5, 3, 2, 1, 9 y 0.ghci> c1{0,1,2,3,5,7,9}

c1 :: Conjc1 = foldr inserta vacio [2,5,1,3,7,5,3,2,1,9,0] 35 / 51

vacio :: Conjvacio = Cj 0

esVacio :: Conj -> BoolesVacio (Cj n) = n == 0

36 / 51

pertenece :: Int -> Conj -> Boolpertenece i (Cj s)

| (i>=0) && (i<=maxConj) = odd (s ‘div‘ (2^i))| otherwise

= error ("pertenece: elemento ilegal =" ++ show i)

37 / 51

pertenece :: Int -> Conj -> Boolpertenece i (Cj s)

| (i>=0) && (i<=maxConj) = odd (s ‘div‘ (2^i))| otherwise

= error ("pertenece: elemento ilegal =" ++ show i)

37 / 51

inserta i (Cj s)| (i>=0) && (i<=maxConj) = Cj (d’*e+m)| otherwise

= error ("inserta: elemento ilegal =" ++ show i)where (d,m) = divMod s e

e = 2^id’ = if odd d then d else d+1

38 / 51

inserta i (Cj s)| (i>=0) && (i<=maxConj) = Cj (d’*e+m)| otherwise

= error ("inserta: elemento ilegal =" ++ show i)where (d,m) = divMod s e

e = 2^id’ = if odd d then d else d+1

38 / 51

elimina i (Cj s)| (i>=0) && (i<=maxConj) = Cj (d’*e+m)| otherwise

= error ("elimina: elemento ilegal =" ++ show i)where (d,m) = divMod s e

e = 2^id’ = if odd d then d-1 else d

39 / 51

elimina i (Cj s)| (i>=0) && (i<=maxConj) = Cj (d’*e+m)| otherwise

= error ("elimina: elemento ilegal =" ++ show i)where (d,m) = divMod s e

e = 2^id’ = if odd d then d-1 else d

39 / 51

IM Tema 17: El TAD de los conjuntosComprobación de las implementaciones con QuickCheck

Librerías auxiliares

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Librerías auxiliares

Comprobación de las propiedades de los conjuntos

I Importación de la implementación de los conjuntos que se deseaverificar.

import ConjuntoConListasNoOrdenadasConDuplicados-- import ConjuntoConListasNoOrdenadasSinDuplicados-- import ConjuntoConListasOrdenadasSinDuplicados

I Importación de las librerías de comprobación

import Test.QuickCheckimport Test.Frameworkimport Test.Framework.Providers.QuickCheck2

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Generador de conjuntos

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Generador de conjuntos

I genConjunto es un generador de conjuntos. Por ejemplo,ghci> sample genConjunto{3,-2,-2,-3,-2,4}{-8,0,4,6,-5,-2}{}

genConjunto :: Gen (Conj Int)genConjunto = do xs <- listOf arbitrary

return (foldr inserta vacio xs)

instance Arbitrary (Conj Int) wherearbitrary = genConjunto

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Especificación de las propiedades de los conjuntos

44 / 51

Especificación de las propiedades de los conjuntosI El número de veces que se añada un elemento a un conjunto no

importa.

prop_independencia_repeticiones :: Int -> Conj Int-> Bool

prop_independencia_repeticiones x c =inserta x (inserta x c) == inserta x c

I El orden en que se añadan los elementos a un conjunto noimporta.

prop_independencia_del_orden :: Int -> Int -> Conj Int-> Bool

prop_independencia_del_orden x y c =inserta x (inserta y c) == inserta y (inserta x c)

45 / 51

importa.

45 / 51

importa.

45 / 51

I El conjunto vacío no tiene elementos.

prop_vacio_no_elementos:: Int -> Boolprop_vacio_no_elementos x =

not (pertenece x vacio)

I Un elemento pertenece al conjunto obtenido añadiendo x alconjunto c syss es igual a x o pertenece a c.

prop_pertenece_inserta :: Int -> Int -> Conj Int -> Boolprop_pertenece_inserta x y c =

pertenece y (inserta x c) == (x==y) || pertenece y c

46 / 51

Especificación de las propiedades de los conjuntosI Al eliminar cualquier elemento del conjunto vacío se obtiene el

conjunto vacío.

prop_elimina_vacio :: Int -> Boolprop_elimina_vacio x =

elimina x vacio == vacio

I El resultado de eliminar x en el conjunto obtenido añadiéndole xal conjunto c es c menos x, si x e y son iguales y es el conjuntoobtenido añadiéndole y a c menos x, en caso contrario.

prop_elimina_inserta :: Int -> Int -> Conj Int -> Boolprop_elimina_inserta x y c =

elimina x (inserta y c)== if x == y then elimina x c

else inserta y (elimina x c)47 / 51

conjunto vacío.

I vacio es vacío.

prop_vacio_es_vacio :: Boolprop_vacio_es_vacio =

esVacio (vacio :: Conj Int)

I Los conjuntos construidos con inserta no son vacío.

prop_inserta_es_no_vacio :: Int -> Conj Int -> Boolprop_inserta_es_no_vacio x c =

not (esVacio (inserta x c))

48 / 51

I vacio es vacío.

48 / 51

I vacio es vacío.

48 / 51

Comprobación de las propiedades

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Definición del procedimiento de comprobaciónI compruebaPropiedades comprueba todas las propiedades con la

plataforma de verificación.

compruebaPropiedades =defaultMain

[testGroup "Propiedades del TAD conjunto:"[testProperty "P1" prop_vacio_es_vacio,testProperty "P2" prop_inserta_es_no_vacio,testProperty "P3" prop_independencia_repeticiones,testProperty "P4" prop_independencia_del_orden,testProperty "P5" prop_vacio_no_elementos,testProperty "P6" prop_pertenece_inserta,testProperty "P7" prop_elimina_vacio,testProperty "P8" prop_elimina_inserta]]

50 / 51

Comprobación de las propiedades de los conjuntos

ghci> compruebaPropiedadesPropiedades del TAD conjunto:

P1: [OK, passed 100 tests]P2: [OK, passed 100 tests]P3: [OK, passed 100 tests]P4: [OK, passed 100 tests]P5: [OK, passed 100 tests]P6: [OK, passed 100 tests]P7: [OK, passed 100 tests]P8: [OK, passed 100 tests]

Properties TotalPassed 8 8Failed 0 0Total 8 8

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