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8/17/2019 Tema 2 Estimacion puntual.pdf
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Tema 2: Estimación puntual
(basado en el material de A. Jach (http://www.est.uc3m.es/ajach/)y A. Alonso (http://www.est.uc3m.es/amalonso/))
• Planteamiento del problema: estimador y estimación
• Propiedades de un estimador
• Insesgadez
• Eficiencia
• Error cuadrático medio
• Propiedades de un estimador en muestras grandes
• Consistencia
• Insesgadez asintótica
Estad́ıstica I A. Arribas Gil
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Planteamiento del problema
Objetivo: estimar un parámetro desconocido de una población dada.
Definición 1.Sea X 1, X 2, . . . , X n una m.a.s. de una poblaci´ on. Sea θ un parámetro de interés de esa poblaci´ on. Un estimador puntual (estimador) de θ es cualquier funci´ on de la m.a.s. (y s´ olo de muestra):
T (X 1, X 2, . . . , X n)
Observaciones:
• Un estimador puntual no es más que un estad́ıstico cuya función va a serla de estimar (aproximar) el valor de un parámetro. Un estimador es por
tanto una v. a.
• Una realización particular del estimador, es decir, el valor del estimador enuna muestra particular, T (x 1, x 2, . . . , x n), se llama estimación.
• T (X 1, X 2, . . . , X n) = T (x 1, x 2, . . . , x n)
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Planteamiento del problema
Ejemplos de estimadores:
Parámetro Estimador Estimación
Media µ X x
Varianza σ2 S 2 (s 2) s 2
Desviación t́ıpica σ S (s ) s
Proporción p p̂ p̂
NOTACIÓN: En general denotaremos por θ el parámetro poblacional y por θ̂(o θ̂n) su estimador y cualquier estimación particular.
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Propiedades de un estimador
Ejemplo 1.
Una cámara de refrigeraci´ on tiene una temperatura uniformemente distribuidaentre 0 grados y b grados sobre cero, regulada mediante un termostato. Paraestimar la temperatura máxima que se puede alcanzar ( b), se eligen diez momentos distintos durante el d́ıa obteniéndose temperaturas X 1, X 2, . . . , X 10.Definimos los estimadores:
T 1(X 1, X 2, . . . , X 10) = 2 · X
T 2(X 1, X 2, . . . , X 10) = max{X 1, X 2, . . . , X 10}
¿Cuál de los dos es preferible? (P. Gil y S. Montes. Univ. de Oviedo.)
¿Cuáles son las propiedades deseables para un estimador?
Ser INSESGADO, CONSISTENTE Y EFICIENTE
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Propiedades de un estimador
Parámetro Estimador ¿Es Insesgado?
Media µ X Śı
Varianza σ2 S 2 (s 2) Śı
Desviación t́ıpica σ S (s ) No
Proporción p p̂ Śı
Observación: La varianza muestral, V 2 = 1n
ni =1
X i − X
2, no es un
estimador insesgado de σ2
E [V 2] = n−1n σ2
, pero śı es un estimador
asintóticamente insesgado σ2.
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Propiedades de un estimadorEjemplo 1 (cont.) ¿Son T 1 y T 2 estimadores insesgados de b?
X = temperatura en la cámara ∼ U (0, b ):
f X (x ) = 1
b , F X (x ) =
x
b 0 ≤ x ≤ b
E [X ] = b 2, Var [X ] = b
2
12
X 1, X 2, . . . , X 10 m.a.s. de X ⇔ X 1, X 2, . . . , X 10 ∼ F X i.i.d.
Recordemos la definición de los dos estimadores:
T 1(X 1, X 2, . . . , X 10) = 2 · X T 2(X 1, X 2, . . . , X 10) = max{X 1, X 2, . . . , X 10}
• ¿T 1(X 1, X 2, . . . , X 10) es insesgado?
E [T 1(X 1, X 2, . . . , X 10)] = E [2 · X ] = 2E [X ] = 2E [X ] = 2b
2 = b −→ SÍ
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Propiedades de un estimadorEjemplo 1 (cont.)
• ¿T 2(X 1, X 2, . . . , X 10) es insesgado?Para calcular la esperanza de T 2 vamos a obtener primero su distribución:
F T 2 (x ) = P (T 2 ≤ x ) = P (max{X 1, . . . , X 10} ≤ x ) = P (X 1 ≤ x , . . . , X 10 ≤ x )ind .= P (X 1 ≤ x ) · . . . · P (X 10 ≤ x ) = F X 1 (x ) · . . . · F X 10 (x )i .d .
= F X (x )10
f T 2 (x ) = F
T 2(x ) =
F X (x )
10
= 10 · F X (x )9 · F
X (x ) = 10 · F X (x )
9 · f X (x )
Por tanto:
f T 2 (x ) = 10x
b 9 1
b = 10
x 9
b 10 si 0 ≤ x ≤ b
Ahora podemos calcular la esperanza de T 2:
E [T 2] = b
0 x f T 2 (x ) dx =
b 0
x 10 x 9
b 10 dx = 10
b 10
b 0
x 10dx = 10b 10
x
11
11
b 0
= 10b 10
b 11
11
= 1011
b −→ NO ES INSESGADO
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Propiedades de un estimador
Ejemplo 1 (cont.)
Sea T 3 = 11
10T 2 = 1.1max{X 1, . . . , X 10}:
E [T 3] = E
11
10T 2
=
11
10 E [T 2] =
11
10
10
11 b = b −→ ES INSESGADO
Tenemos dos estimadores insesgados de b :
T 1(X 1, X 2, . . . , X 10) = 2 · X
T 3(X 1, X 2, . . . , X 10) = 1.1 max{X 1, X 2, . . . , X 10}
¿Cuál de los dos es preferible?
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Propiedades de un estimador
Definición 5.
Sean T 1(X 1, . . . , X n) y T 2(X 1, . . . , X n) dos estimadores insesgados de θ. Se dice que T 1 es más eficiente que T 2 si se verifica que
Var [T 1(X 1, . . . , X n)] < Var [T 2(X 1, . . . , X n)]
Es decir, un estimador más eficiente que otro tiene menor dispersi´ on.
Definición 6.
Sean T 1(X 1, . . . , X n) y T 2(X 1, . . . , X n) dos estimadores insesgados de θ. Se define la eficiencia relativa de T 1 respecto a T 2 como
E .R .[T 1, T 2] = Var [T 2]
Var [T 1]
Algunos autores la definen al revés, es decir E .R .[T 1, T 2] = Var [T 1]
Var [T 2]. Da igual
que definici´ on se use, lo importante es interpretar c o rr ec tame nte el re sul tado.Estad́ıstica I A. Arribas Gil
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Propiedades de un estimadorEjemplo 1 (cont.)
Vamos a ver cuál de los dos estimadores insesgados de b es más eficiente:
T 1(X 1, X 2, . . . , X 10) = 2 · X
T 3(X 1, X 2, . . . , X 10) = 1.1 max{X 1, X 2, . . . , X 10}
• Cálculo de la varianza de T 1:
Var [T 1] = Var [2 · X ] = 22 Var [X ] = 4
Var [X ]
n = 4
b 2/12
10 =
b 2
30
• Cálculo de la varianza de T 3:
E [T 22 ] = b 0
x 2 f T 2 (x ) dx = b 0
x 2 10 x 9b 10
dx = 10b 10
b 0
x 11dx = 10b 10
x 12
12
b 0
= 1012
b 2
E [T 23 ] = E [(1.1 T 2)2] = E [1.12 T 22 ] = 1.1
2E [T 22 ] = 1.12 10
12 b 2= 121
100
10
12 b 2= 121
120 b 2
Var [T 3]= E [T 2
3 ] − E [T 3]2 = 121
120 b 2 − b 2 = b
2
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Propiedades de un estimador
Ejemplo 2.
En un centro de ingenieŕıa se dispone de un aparato de medici´ on de longitudes que produce mediciones centradas con una varianza σ2. Se quieren medir las longitudes de dos barras de metal, pero debido al coste que supone el uso del aparato, s´ olo se pueden hacer dos mediciones.
Se proponen los siguientes métodos:
i) medir cada una de las dos barras por separado.
ii) poner una barra a continuaci´ on de la otra y medir la distancia total, y luego poner una barra al lado de la otra y medir la diferencia de
longitudes. Usar estas dos medidas para estimar las longitudes de las barras.
¿Cuál de los dos procedimientos es preferible?
(F. Tusell y A. Gaŕın, 1991, p. 213)
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Propiedades de un estimador
¿Cómo comparamos un estimador insesgado con un estimador sesgado?
Definición 7.
Sea T (X 1, . . . , X n) un estimador de θ. Se define el error cuadrático medio de T como
ECM (T ) = E
(T − θ)2
El error cuadrático medio de un estimador mide la “cercańıa” de ese estimadoral parámetro que queremos estimar.
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Propiedades de un estimador
Ejemplo 3.
Sea X 1, . . . , X n una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria X conE [X ] = µ y Var [X ] = σ2. Calcular el error cuadrático medio para los siguientes estimadores del parámetro µ:
T 1 = X 1
T 2 = (3X 1 − 2X 2 + X 3)
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Examen Enero 2002
Error cuadrático medio de T 1:
E [T 1] = E [X 1] = µ ⇒ b T 1 (θ) = 0
Var [T 1] = Var [X 1] = σ2
ECM (T 1) = Var [T 1] + b T 1 (θ)2 = σ2
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Propiedades de un estimador
Ejemplo 3 (cont.)
Error cuadrático medio de T 2:
E [T 2] = E
(3X 1 − 2X 2 + X 3)
6
=
1
2E [X 1] −
1
3E [X 2] +
1
6E [X 3] =
1
3µ
⇒ b T 2 (θ) =
1
3µ − µ =
−2
3 µ
Var [T 2] = Var
(3X 1 − 2X 2 + X 3)
6
ind .
= 1
4Var [X 1] +
1
9Var [X 2] +
1
36Var [X 3]
= 7
18
σ2
ECM (T 2) = Var [T 2] + b T 2 (θ)2 =
7
18σ2 +
−2
3 µ
2=
7
18σ2 +
4
9µ2
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Propiedades de un estimador
Ejemplo 4.
Sea X 1, . . . , X n una m.a.s. de X ∼ N (µ, σ) ⇒ X ∼ N (µ, σ
n ).Cuando n tiende a infinito la varianza de X tiende a 0.Por tanto X es un estimador consistente de µ.
Funciones de densidad Funcione s de distr ib uci ́ on
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