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Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 1
La Transformada de Laplace
La Transformada Bilateral de Laplace
La Transformada Unilateral de Laplace
Región de Convergencia (ROC)
Cálculo de La Transformada de Laplace
Propiedades de La Transformada de Laplace
Teorema del Valor Inicial
Teorema del Valor Final
Indice:
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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La transformada de Laplace puede interpretarse como una generalización de la
transformada de Fourier, que permite manejar problemas no tratables con esta
última como son funciones que no cumplen la condición de convergencia.
Para solventar el problema, en vez de utilizar una frecuencia puramente
imaginaria jw, se utiliza una frecuencia compleja s = σ + jw, con σ = Re {s} y w
= Im {s}. Así, se garantiza la convergencia de la integral.
Se distinguen dos versiones de la transformada de Laplace: La Transformada de
Laplace Bilateral y la Unilateral.
1. La Transformada de Laplace
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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La bilateral está directamente relacionada con la transformada de Fourier.
La unilateral es la herramienta ampliamente utilizada en ingeniería, que se
deriva de la transformada bilateral para señales causales.
En ingeniería, la mayoría de las veces en que se habla de “Transformada de
Laplace” se hace implícitamente referencia a su versión unilateral.
1. La Transformada de Laplace
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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2. La Transformada Bilateral de Laplace
Transformada de Laplace
Notese que:
Por otro lado
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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2. La Transformada Bilateral de Laplace
Lo que quiere decir que la transformada de Laplace puede interpretarse como la
transformada de Fourier de la función f(t) multiplicada por una señal exponencial
real e-σt que será creciente o decreciente dependiendo del signo de σ, el factor e-
σt es un factor de convergencia.
Región de Convergencia (ROC)
Región de convergencia puede interpretarse como el conjunto de puntos del
plano s = σ + jw para los cuales la transformada de Fourier de f(t)e−σt existe, lo
que implica que f(t)e−σt debe ser absolutamente integrable:
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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Si f(t) es finita y absolutamente integrable entonces todo el plano s constituye su
ROC.
Una señal acotada por su izquierda (señal derecha) es aquella que cumple f(t) = 0
para t < t1 , su ROC contendrá siempre el semiplano derecho de s a partir de un
cierto valor σ0.
Una señal acotada por su derecha, (señal izquierda) es aquella que cumple f(t) = 0
para t > t2 su ROC contendrá siempre el semiplano izquierdo de s a partir de un
cierto valor σ1.
Una señal bilateral es aquella de extensión infinita tanto a la izquierda, como a la
derecha y su ROC corresponderá a una banda vertical.
Esto depende únicamente de la componente real de la frecuencia compleja s. Por
esta razón, la ROC de F(s) consiste en bandas paralelas al eje jw en el plano s.
2. La Transformada Bilateral de Laplace
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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Regiones de Convergencia (ROC)
f(t) f(t) f(t) f(t)
Señal Finita Señal Derecha Señal Izquierda Señal Bilateral
Plano s Plano s Plano s Plano s
2. La Transformada Bilateral de Laplace
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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a. Calcule la transformada de Laplace Bilateral de la función f(t) = e-at u(t)
Ejemplo
Esta expresión converge para
b) Calcule la transformada de Laplace Bilateral de la función f(t) = -e-at u(-t)
2. La Transformada Bilateral de Laplace
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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Esta expresión converge para
Converge Converge
Ejemplo
2. La Transformada Bilateral de Laplace
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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Sea f(t) una señal continua 0 ≤ t ≤ ∞. Se define la Transformada de Laplace Unilateral
de f(t) como:
3. La Transformada Unilateral de Laplace
Para todos los valores s ε R para los cuales la integral anterior sea convergente.
Cálculo de La Transformada de Laplace
Calcular la TL de la función Escalón Unitario
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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3. La Transformada Unilateral de Laplace
Calcular la TL de la función y
Cálculo de La Transformada de Laplace
Calcular la TL de la función Rampa: f(t) = t para t ≥ 0
con
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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Calcular la TL de las funciones seno y coseno
3. La Transformada Unilateral de Laplace
Cálculo de La Transformada de Laplace
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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Calcular la TL de las funciones seno y coseno
3. La Transformada Unilateral de Laplace
Cálculo de La Transformada de Laplace
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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3. La Transformada Unilateral de Laplace
Tabla de Transformadas de Laplace Básica
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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3. La Transformada Unilateral de Laplace
Ejercicio Propuesto
a) Calcular la TL de la función:
Solución:
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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Las propiedades de Laplace unilateral permiten resolver algunos problemas por
simple inspección. Por su estrecha relación con la transformada de Fourier,
muchas de las propiedades de esta última se mantienen. Sin embargo, en la
transformada de Laplace debe tenerse cuidado con las implicaciones para la
región de convergencia.
4. Propiedades de La Transformada de Laplace
Linealidad
Sean las funciones en el dominio del tiempo f1(t), f2(t)
y = F2(s) sean a y b constantes ε R. Entonces:
y = F1(s)
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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4. Propiedades de La Transformada de Laplace
Ejemplo: Hallar TL para la función siguiente:
Utilizando Propiedad y Tabla de TL
Desplazamiento en el Dominio del Tiempo
Si f(t) = F(s) entonces:
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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4. Propiedades de La Transformada de Laplace
Desplazamiento en el Dominio s.
Si f(t) = F(s) entonces:
Ejemplo: Hallar TL para la función siguiente:
Si
Utilizando Propiedad y Tabla de TL
3
Entonces
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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4. Propiedades de La Transformada de Laplace
Desplazamiento en el Dominio s.
Si f(t) = F(s) entonces:
Ejemplo: Hallar TL para la función siguiente:
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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4. Propiedades de La Transformada de Laplace
Escalamiento en el Dominio del Tiempo
Si f(t) = F(s) entonces:
Ejemplo: Hallar TL para la función siguiente:
f(t) = u(at)
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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4. Propiedades de La Transformada de Laplace
Diferenciación en el Dominio del Tiempo
Si f(t) = F(s) entonces:
En general Condiciones iniciales 0
Ejemplo: Hallar TL para la función siguiente:
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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4. Propiedades de La Transformada de Laplace
Diferenciación en el Dominio s.
Si f(t) = F(s) entonces:
Ejemplo: Hallar TL para la función siguiente:
Ejemplo: Hallar TL para la función siguiente:
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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4. Propiedades de La Transformada de Laplace
Integración en el Dominio del Tiempo.
Convolución
Si f(t) = F(s) entonces:
Si f1(t) = F1(s) y f2(t) = F2(s) entonces:
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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4. Propiedades de La Transformada de Laplace
Modulación
f(t) cosw0t = 1 [ F(s+jw0) + F(s-jw0) ] 2
f(t) senw0t = 1 [ F(s+jw0) - F(s-jw0) ] 2
Si f(t) = F(s) entonces:
Teorema del Valor Inicial.
Permite relacionar el valor de f(t) en t = 0 con la transformada F(s).
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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4. Propiedades de La Transformada de Laplace
Teorema del Valor Inicial.
Permite relacionar el valor de f(t) cuando t → con la transformada F(s).
El comportamiento de f(t) para valores de t pequeños esta determinado por el
comportamiento de F(s) cuando s es grande, esto muestra la relación inversa
entre los dominios del tiempo y la frecuencia.
Teorema del Valor Final.
Este teorema es de utilidad en diversas aplicaciones en donde se requiere
conocer el valor final de la salida de un sistema sin conocer la función en el
dominio del tiempo
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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4. Propiedades de La Transformada de Laplace
Tabla de Algunas Propiedades
Tema 5. La Transformada de Laplace.
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