tema 6 TC1 2018-2019 POWERPOINT [Modo de compatibilidad]jhermoso/TC1/DIAPOSITIVAS/tema 6 TC1...

27/11/2019

1

6.- Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad.

6.1 Concepto de variable aleatoria. Distribución de probabilidad

6.2 Función de distribución

6.3 Variables aleatorias discretas y continuas

6.4 Valor esperado de una variable aleatoria. Momentos

6.5 Otras medidas de posición, dispersión y forma

6.6 Variables aleatorias bidimensionales

6.7 Independencia de variables aleatorias

6.8 Principales momentos en variables aleatorias bidimensionales

ix in if

Colectiva Unifamiliar

56 14

0,80 0,20

total 70 1

ix in iN if iF

1 2 3 4 5

7 14 21 21 7

7 21 42 63 70

0,10 0,20 0,30 0,30 0,10

0,10 0,30 0,60 0,90

1 total 70 1

1i iL L ix in if iN iF

0-10 10-20 20-40 40-50

5 15 30 45

25 40 20 15

0,25 0,40 0,20 0,15

25 65 85 100

0,25 0,65 0,85

1 total 100 1

VARIABLES ESTADISTICAS. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.

27/11/2019

2

ix ip

1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

ix in if

1 2 3 4 5 6

45 57 51 48 54 45

0,15 0,19 0,17 0,16 0,18 0,15

total n=300 1

7.1 Concepto de variable aleatoria y distribución de probabilidad.

Se define una variable aleatoria X como

X

( )i i iX x

Se denomina distribución de probabilidad

i ip X x P

0ip i

1ii

p

6.1

27/11/2019

3

7.1 Concepto de variable aleatoria y distribución de probabilidad.

►EJEMPLO 7.1

X=número de cruces en tres lanzamientos de una moneda y obtenga.

X

CCC +CC

C+C CC+ ++C +C+ C++ +++

( ) 0X CCC ( ) 1X CC

1 1 2 2 2 3

6.1

6.1

7.1 Concepto de variable aleatoria y distribución de probabilidad.

0

10

8p X CCC P P

1

1 1 1 31

8 8 8 8p X CC C C CC P P

2

1 1 1 32

8 8 8 8p X C C C P P

3

13

8p X P P

ix ip

0 1 2 3

1/8 3/8 3/8 1/8

3

0

1ii

p

6.1

27/11/2019

4

7.2 Función de distribución.

Variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

Se define la función de distribución de una variable aleatoria X como:

( )F x X x X x x P P

Propiedades:

Si i j i jx x F x F x

0 1F F

1 ( )X x F x P

1 2 2 1( ) ( )x X x F x F x P

6.2

7.2 Función de distribución.

Variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

►EJEMPLO 7.2

Calcule la función de distribución asociada a la variable aleatoria X del ejemplo 7.1.

Represente su gráfica.

ix ip

0 1 2 3

1/8 3/8 3/8 1/8

6.2

6.1.

6.2

27/11/2019

5

7.2 Función de distribución.

Variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

≤

6.2

6.36.3 Variables aleatorias discretas y continuas.

7.2 Función de distribución.

Variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas. Variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

La función de distribución de una variable aleatoria discreta es una función escalonada

( ) i

ix xF x X x p

P

La función de distribución de una variable aleatoria continua es una función continua. La derivada

de la función de distribución de una variable aleatoria continua se denomina función de densidad

'( ) ( )F x f x

6.2

6.36.3 Variables aleatorias discretas y continuas.

27/11/2019

6

Propiedades de la función de densidad:

( ) 0f x x

( ) 1f x dx

( ) 0a

a

X a f x dx P

( )b

a

a X b f x dx P

( )a

a X f x dx

P

( )a

X a f x dx

P

( ) ( )x

F x X x f t dt

P

6.3 Variables aleatorias discretas y continuas.

►EJEMPLO 7.3

Sea la función de distribución de la variable aleatoria X:

3

0 , 0

3, 0 1

21 ,1

x

x xF x x

x

6.3 Variables aleatorias discretas y continuas.

6.3

27/11/2019

7

6.3 Variables aleatorias discretas y continuas.

( ) 0f x x

( ) 1f x dx

21 0 1x x .

10 1 3

2

0 1 0

3 3 3 1 3 2( ) 0 1 0 0 0 1 1

2 2 3 2 3 2 3

xf x dx dx x dx dx x

6.3 Variables aleatorias discretas y continuas.

27/11/2019

8

Si x<0 ( ) ( ) 0 0x x

F x X x f t dt dt

P

Si 0 1x

0 3 3 3

2

0 0

3 3 3 3( ) ( ) 0 1 0

2 2 3 2 3 2

xx x t x x xF x X x f t dt dt t dt t x

P

Si 1<x

10 1 3

2

0 1 0

3 3 3 1( ) ( ) 0 1 0 0 0 1 1

2 2 3 2 3

x x tF x X x f t dt dt t dt dt t

P

6.3 Variables aleatorias discretas y continuas.

1 1

32 22

1133

1 1 3 3 3 1 1 1 1 3 11 261 0,206

3 2 2 2 3 2 2 24 3 81 2 24 81

tX t dt t

P

11 3

2

1122

1 3 3 3 1 1 1 51 1 0,3125

2 2 2 3 2 3 2 24 16

tX t dt t

P

3 1 111 1 1 1 11 262 8 27 0, 206

3 2 2 3 2 2 16 54X F F

P

3 11 1 1 11 52 81 1 1 1 0,31252 2 2 2 16 16

X X F

P P

6.3 Variables aleatorias discretas y continuas.

27/11/2019

9

valor esperado, esperanza matemática o media

1

i ii

E X x p

momentos no centrados o respecto al origen:

1

r rr i i

i

E X x p

momentos centrados, respecto a la esperanza o respecto a la media como:

1

r r

r i ii

E X E X x E X p

La varianza, 2 , 2

desviación típica

6.4 Valor esperado de una variable aleatoria. Momentos.

r rr E X x f x dx

r r

r E X E X x E X f x dx

6.4 Valor esperado de una variable aleatoria. Momentos.

2 22 2 1

33 3 1 2 13 2

2 44 4 1 3 1 2 14 6 3

27/11/2019

10

Propiedades de la media y de la varianza.

E aX b aE X b

2 2 2aX b a X

Desigualdad de Tchebycheff:

2

11X E X k E X k X E X k

k P P

6.4 Valor esperado de una variable aleatoria. Momentos.

►EJEMPLO 7.4

Calcule la media y la varianza de las distribuciones de probabilidad de los ejemplos 7.2 y 7.3

Solución:

Distribución de probabilidad del ejemplo 7.2:

ix ip i ix p 2i ix p

0 1 2 3

1/8 3/8 3/8 1/8

0 0,375 0,750 0,375

0 0,375 1,500 1,125

total 1,500 3

3

0

1,5i ii

E X x p

23 32 2 2 2

2 10 0

3 1,5 0,75i i i ii i

x p x p

6.4 Valor esperado de una variable aleatoria. Momentos.

6.2 y 6.3

6.2

6.4

27/11/2019

11

Distribución de probabilidad del ejemplo 7.3:

2

2

0 , 0

3 3 3(1 ) , 0 1

2 20 ,1

x

xf x x x

x

11 1 2 4

2 31

0 0 0

3 3 3 3 1 1 31 0,375

2 2 2 2 4 2 2 4 8

x xE X x f x dx x x dx x x dx

22 2

2 1

1 30,059375

5 8

Donde 11 3 5

2 2 2 42

0 0

3 3 3 1 1 1( ) 0, 2

2 2 3 5 2 3 5 5

x xE X x f x dx x x dx

6.4 Valor esperado de una variable aleatoria. Momentos.

6.3

Moda.

( ) ( )f Mo f x x

iX Mo p i P

Mediana, cuartiles y percentiles.

1( )

2F Me X Me P

( )4i i

iF Q X Q P

( )100i i

iF P X P P

Coeficiente de variación.

CV

E X

Coeficiente de asimetría.

31 3

Coeficiente de apuntamiento o curtosis.

42 4

3

6.5 Otras medidas de posición, dispersión y forma.

27/11/2019

12

►EJEMPLO 7.5

Calcule la moda, mediana, percentil 75 y coeficiente de variación de las distribuciones de probabilidad

de los ejemplos 7.2 y 7.3

Solución:

Distribución de probabilidad del ejemplo 7.2:

ix ip ip acumulados

0 1 2 3

1/8 3/8 3/8 1/8

0,125 0,500 0,875

1 Mo=1 y Mo=2

1+2Me= 1,5

2

75 2P

0,75

0,5771,5

CVE X

6.5 Otras medidas de posición, dispersión y forma.

6.2 y 6.3

6.5

6.2

6.5 Otras medidas de posición, dispersión y forma.

6.3

27/11/2019

13

6.5 Otras medidas de posición, dispersión y forma.

Para calcular el coeficiente de variación utilizamos los valores de la media y varianza calculados en

el ejemplo 7.4

0,059375 0,24367

0,64980,375 0,375

CVE X

6.5 Otras medidas de posición, dispersión y forma.

27/11/2019

14

,X Y

( ), ( )i i iX Y

distribución de probabilidad bidimensional

, , ,ij i j i jp X Y x y X x Y y P P .

0 ,ijp i j

1iji j

p

6.6 Variables aleatorias bidimensionales.

►EJEMPLO 7.6

X=número de cruces en tres lanzamientos de una moneda.

Y=número de caras en los dos primeros lanzamientos de la moneda.

,X Y

CCC

+CC

C+C CC+ ++C +C+ C++ +++

( ), ( ) 0,2X CCC Y CCC

( ), ( ) 1,1X CC Y CC

(1,1) (1,2) (2,0) (2,1) (2,1) (3,0)

6.6

6.6 Variables aleatorias bidimensionales.

27/11/2019

15

1 1 1 1

2 2 2 8CCC C C C C C C P P P P P …

31 1

2 8

P P P P

02

10, 2

8p X Y CCC P P

11

1 1 2 11, 1

8 8 8 4p X Y CC C C P P

12

11, 2

8p X Y CC P P

20

12, 0

8p X Y C P P

21

1 1 2 12, 1

8 8 8 4p X Y C C P P

30

13, 0

8p X Y P P

6.6 Variables aleatorias bidimensionales.

X Y 0 1 2

0

1

2

3

0

0

18

18

0

28

28

0

18

18

0

0

3 2

0 0

1iji j

p

.

6.6 Variables aleatorias bidimensionales.

27/11/2019

16

Función de distribución bidimensional. Función de densidad bidimensional.

función de distribución (conjunta) de ,X Y :

2, , , ,F x y X x Y y X x Y y x y P P

Si las variables aleatorias son discretas la función de distribución es escalonada (discontinua).

Si las variables aleatorias son continuas la siguiente derivada de la función de distribución conjunta es

la función de densidad (conjunta) de ,X Y :

2 ,( , )

F x yf x y

x y

2( , ) 0 ,f x y x y

( , ) 1f x y dx dy

En particular:

, , ( , )yx

F x y X x Y y f u v du dv

P

6.6 Variables aleatorias bidimensionales.

►EJEMPLO 7.7

Sea la variable aleatoria bidimensional de tipo continuo con función de distribución conjunta

2 3 23, 0 1 0 1

( , ) 20 ,

xy x yx y

F x y

en otro caso

Calcule la función de densidad conjunta y compruebe que cumple las dos propiedades que

caracterizan a toda función de densidad.

6.7

Función de distribución bidimensional. Función de densidad bidimensional.

6.6 Variables aleatorias bidimensionales.

27/11/2019

17

2 3 23, 0 1 0 1

( , ) 20 ,

xy x yx y

F x y

en otro caso

2 2 23 3( , ) , 0 1 0 1

20 ,

y x yF x y x y

xen otro caso

22 26 6

( , ) 3(1 ) , 0 1 0 1( , ) 2

0 ,

y x yF x y x y x y

f x yx y

en otro caso

2( , ) 0 ,f x y x y

( , ) 1f x y dx dy

1 11 1 1 1 13 2

2

0 0 0 0 00 0

1 13 1 3 3 1 2 2 2 1

3 3 2 2

x yy x dx dy y x dy y dy y dy

Función de distribución bidimensional. Función de densidad bidimensional.

6.6 Variables aleatorias bidimensionales.

Distribuciones de probabilidad marginales.

Para variables aleatorias discretas, se define la distribución de probabilidad marginal de X como

,i i i ijj

p X x X x Y cualquier valor p

P P

Análogamente para la variable aleatoria Y

,j j j iji

p Y y X cualquier valor Y y p

P P

Para variables aleatorias continuas, se define la función de densidad marginal de X como

( ) ( , )Xf x f x y dy

Análogamente para la variable aleatoria Y

( ) ( , )Yf y f x y dx

Distribuciones de probabilidad marginales.

6.6 Variables aleatorias bidimensionales.

27/11/2019

18

Distribución de probabilidad bidimensional del ejemplo 7.6:

X Y 0 1 2 ip

0

1

2

3

0

0

18

18

0

28

28

0

18

18

0

0

18

38

38

18

jp 28 4

8 2

8

1

Distribuciones de probabilidad marginales.

6.6

6.6 Variables aleatorias bidimensionales.

Distribución de probabilidad bidimensional del ejemplo 7.7:

226 6

3(1 ) , 0 1 0 1( , ) 2

0 ,

y x yx y x y

f x y

en otro caso

11 2

2 2 21

0 0

1

3( ) ( , ) 3 1 3 1 1 0 1

2 2

( ) 0

yf x f x y dy x y dy x x si x

f x en otro caso

11 3

22

0 0

2

1( ) ( , ) 3 1 3 3 1 2 0 1

3 3

( ) 0

xf y f x y dx x y dx y x y y si y

f y en otro caso

Distribuciones de probabilidad marginales.

6.7

6.6 Variables aleatorias bidimensionales.

27/11/2019

19

Independencia de variables aleatorias.

Recordemos que dos sucesos A y B son independientes si

A B A BP P P

En el caso discreto, diremos que las variables X e Y son independientes si

, ,i j i j i jX x Y y X x Y y x y P P P

o lo que es lo mismo

,ij i jp p p i j

En el caso continuo, diremos que las variables X e Y son independientes si

, ,X Yf x y f x f y x y

6.7 Independencia de variables aleatorias.

Distribución de probabilidad bidimensional del ejemplo 7.6:

X Y 0 1 2 ip

0

1

2

3

0

0

18

18

0

28

28

0

18

18

0

0

18

38

38

18

jp 28 4

8 2

8

1

6.7 Independencia de variables aleatorias.

6.6

27/11/2019

20

Distribución de probabilidad bidimensional del ejemplo 7.7:

226 6

3(1 ) , 0 1 0 1( , ) 2

0 ,

y x yx y x y

f x y

en otro caso

2

1

3(1 ) , 0 1

( ) 20 ,

x xf x

en otro caso

2

2 , 0 1( )

0 ,

y yf y

en otro caso

6.7 Independencia de variables aleatorias.

6.7

6.8 Principales momentos en variables aleatorias bidimensionales.

Media (marginal) de X.

Variables discretas:

Variables continuas: 1E X x f x dx

Media (marginal) de Y.

Variables discretas:

Variables continuas: 2E Y y f y dy

Propiedades:

E X Y E X E Y

E X Y E X E Y

1

i ii

E X x p

1

j jj

E Y y p

27/11/2019

21

6.8 Principales momentos en variables aleatorias bidimensionales.

Varianza (marginal) de X.

Variables discretas:

2 22 2 2 2 2

1x i i

i

Var X X x E X p E X E X E X E X

Variables continuas:

2 22 2 2 2 21xVar X X x E X f x dx E X E X E X E X

Varianza (marginal) de Y.

Variables discretas:

2 22 2 2 2 2

1y j j

j

Var Y Y y E Y p E Y E Y E Y E Y

Variables continuas:

2 22 2 2 2 22yVar Y Y y E Y f y dy E Y E Y E Y E Y

Propiedades:

2 ,Var X Y Var X Var Y Cov X Y

2 ,Var X Y Var X Var Y Cov X Y

6.8 Principales momentos en variables aleatorias bidimensionales.

Covarianza (momento centrado de ordenes 1,1):

Variables discretas:

1 1

, , xy i j iji j

Cov X Y X Y E X E X Y E Y x E X y E Y p

Variables continuas:

, ,

( , )

xyCov X Y X Y E X E X Y E Y

x E X y E Y f x y dx dy

Propiedades:

,Cov X Y E XY E X E Y .

En caso de independencia:

, 0Cov X Y

Var X Y Var X Var Y .

Var X Y Var X Var Y