TEMA ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR•En el último subtema del tema anterior resolvimos...

TEMA 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIORObjetivo: El alumno aplicará los conceptos fundamentales delas ecuaciones diferenciales lineales ordinarias al analizar einterpretar problemas físicos y geométricos.

Introducción…• En el último subtema del tema anteriorresolvimos EDL de primer orden, concoeficientes variables, en este temaestudiaremos las EDL de orden mayor oigual a 2 y con coeficientes constantes.

• Las ecuaciones lineales constituyen unaclase especial de ecuaciones cuyo estudioestá relacionado con el álgebra lineal.

• En el caso especial de EDL con coeficientesconstates, las soluciones se puedenexpresar por completo en términos defunciones elementales.

…Introducción• Además, sirven de modelo para aquellosprocesos físicos que tengan característicaslineales o aproximadamente lineales,como los que se relacionan en la teoría depequeñas oscilaciones, la teoría decircuitos eléctricos, entre otras.

• En los procesos de linealización, lasecuaciones lineales también resultanútiles en la etapa inicial del estudio deproblemas no lineales.

2.1 La ecuación diferencial de orden n

• La ED de orden n es de la forma

• Donde si q(x) es diferente de cero la EDL de orden n es nohomogénea.

• Si q(x) es igual a cero, la EDL de orden n es homogénea.

1

1 1 01 ...n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y q xdxdx dx

• Igualmente para este caso, para resolver una EDL no homogénea de orden n, primero se debe poder resolver la ecuación homogénea asociada.

1

1 1 01 ...

0

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y q xdxdx dx

q x

G h py y y

• Primera propiedad del operador derivada.• Sea x la variable independiente, aunque en otros casos puede ser t, o cualquier otra letra previamente establecida.

• Se define a:

é

…2.1 Operador diferencial

• Definición • Un operador diferencial de n‐esimo orden u operador polinomialse define como

donde                                             son coeficientes que pueden ser funciones de “x” o constantes.

11 1 0

n nn nA a x D a x D a x D a x

0,1,2,...,ia x i n

• El operador A se define , por lo tanto, como el operador que aplicado a cualquier función “y(x)” produce el resultado…  

1

1 1 01 ...n n

n nn n

d y d y dyA y a x a x a x a x ydxdx dx

nn

n

d yEsto implica que D ydx

11 1 0

n nn nA a x D a x D a x D a x

…2.1 Igualdad entre operadores o polinomios diferenciales. • Definición • Dos Operadores A y B son iguales, sí y solo si, se obtiene el mismo resultado cuando se aplica cada operador a la función y. 

• Esto es A = B si, y sólo si, Ay = By para todas las funciones “y” que tengan las derivadas necesarias para las operaciones implicadas.

2

2

:2 4

12 22

EjemploA D D

B D D

…2.1 Operaciones de operadores o polinomios diferenciales• La suma de dos operadores diferenciales se obtiene expresando cada uno en la forma:

. .

• Y sumando los coeficientes correspondientes. 

Por ejemplo, dados A y B:

3 2y   4 7

Entonces,3 2 3 5

…2.1 Operaciones de operadores o polinomios diferenciales• Los operadores diferenciales son operadores lineales; esto es, si A es cualquier operador diferencial, C1 y C2 son constantes y f1 y f2son cualesquiera dos funciones de x con el número requerido de derivadas cada una, entonces:

A (C1f1 + C2f2) = C1Af1 + C2Af2

…2.1 Operaciones de operadores o polinomios diferencialesEl producto AB de los operadores A y B se define como el operador que produce el mismo resultado obtenido al usar el operador B seguido por el operador A. Así 

ABy = A (By). • El producto de dos operadores diferenciales siempre existe y es un operador diferencial. 

• Para operadores con coeficientes constantes, se cumple que AB =BA pero por lo regular, no para aquellos con coeficientes variables.

• Igualdad• Suma•Multiplicación

• POR SER UN OPERADOR LINEAL• Distributividad de la multiplicación sobre la suma

• Las constantes pueden “salir” del operador

…2.1 Operaciones con los polinomios u operadores diferenciales

…2.1 Propiedades de operadores o polinomios diferenciales

• Sean A, B y C operadores diferenciales cualesquiera como se definió anteriormente. A partir de las definiciones anteriores de suma y multiplicación, se deduce que los operadores diferenciales satisfacen lo siguiente:

• Ley Conmutativa de la suma: A + B = B + A• Ley Asociativa de la suma: (A + B) + C = A + (B + C)• Ley Asociativa de la multiplicación: (AB)C = A(BC)• Ley distributiva de la multiplicación respecto a la suma: A (B + C) = AB +AC.• Si A y B son operadores con coeficientes constantes, entonces también satisface la ley conmutativa de la multiplicación  AB = BA

…2.1 Propiedades de operadores o polinomios diferenciales

• Por lo tanto, podemos afirmar que los operadores diferenciales con coeficientes constantes satisfacen todas las leyes del álgebra de polinomios con respecto de las operaciones de suma y multiplicación.

Si m y n son enteros positivos cualesquiera, tenemos que

2.2 Funciones linealmente independientes y wronskiano

Fuente: Apuntes de Álgebra Lineal. Speziale San Vicente, Leda

2.2 Funciones linealmente independientes y wronskiano

Fuente: Apuntes de Álgebra Lineal. Speziale San Vicente, Leda

2.2 Principio de superposición (ecuaciones homogéneas)

2.2 Principio de superposición (ecuaciones homogéneas)

Corolario: Razonamiento, juicio o hecho que es consecuencia lógica de lo demostrado o sucedido anteriormente.

2.2 Principio de superposición (ecuaciones homogéneas)

2.2 Principio de superposición (ecuaciones homogéneas)

2.2 Principio de superposición (ecuaciones homogéneas)

2.2 Principio de superposición (ecuaciones homogéneas)

Solución general para una ED de 2do orden

• La solución general se obtiene directamente a partir de las raíces de la ecuación característica.

• Los siguientes son tres casos a considerar:

Caso 1. Raíces reales distintas

• Dos soluciones linealmente independientes son:   

y la solución general es:

1 2x xe y e

1 21 2x xy C e C e

Caso 2. Raíces reales iguales

• Dos soluciones linealmente independientes son:   

y la solución general es:

1 1x xe y xe

1 21 1x xy C e C xe

Donde x le garantiza la independencia lineal entre las funciones

Caso 3. Raíces complejas

• Recordemos que las raíces complejas deben aparecer en pares conjugados• Dos soluciones linealmente independientes son:   

y la solución general es:

a bi a bix xe y e

1 2cosbx senbxax axy C e C e

Fórmula de Euler o relación de Euler

Advertencia

•Las soluciones anteriores no son válidas si la ecuación diferencial no es lineal o no tiene 

coeficientes constantes.

2.3 La ecuación diferencial lineal de orden n homogénea con coeficientes constantes y su solución. Ecuación auxiliar. Raíces reales diferentes, reales iguales y complejas

• Raíces reales distintas

1 121 2 1... n nx x xx

n ny C e C e C e C e

1 2 ... n

2.3 La ecuación diferencial lineal de orden n homogénea con coeficientes constantes y su solución. Ecuación auxiliar. Raíces reales diferentes, reales iguales y complejas

• Raíces reales iguales

12 11 2 1... n nx x xx n n

n ny C e C xe C x e C x e

1 2 ... n

Donde x le garantiza la independencia lineal entre las funciones

2.3 La ecuación diferencial lineal de orden n homogénea con coeficientes constantes y su solución. Ecuación auxiliar. Raíces reales diferentes, reales iguales y complejas

• Raíces complejas conjugadas

11 1 2 1 1 2cos ... cosnx x

n ny e C x C sen x e C x C sen x

1 1 1 2 2 2, , ..., n n ni i i

Donde λ es la raíz compleja  y “n” es la multiplicidad de la raíz.  

2.4 Solución de la ecuación diferencial lineal de orden n no homogéneas. Método de coeficientes indeterminados. 

El Método de coeficientes indeterminados o método del aniquilador u operador anulador, es un método para resolver EDLNH con coeficientes constantes y para su manejo se requiere conocer la forma de anular la función Q(x) de manera que la ecuación se transforme en una ED homogénea de orden mayor a la original.

2.4 Solución de la ecuación diferencial lineal de orden n no homogéneas. Método de coeficientes indeterminados. 

• A los polinomios los aniquila un operador diferencial de la forma

11, ,..., n nx x D

2.4 Solución de la ecuación diferencial lineal de orden n no homogéneas. Método de coeficientes indeterminados. 

• A las funciones exponenciales las aniquila un operador de la forma

1, ,..., nnx xx ne x e x e D

Donde n es la multiplicidad de raíz.

Multiplicidad: Existencia de un gran número de cosas de la misma especie.

2.4 Solución de la ecuación diferencial lineal de orden n no homogéneas. Método de coeficientes indeterminados. 

• A las funciones senos y cosenos las aniquila un operador de la forma

1 11 11 1

2 2 2

cos , ,..., cos ,

2

n nx x x xn nn n

n

e x e sen x x e x x e sen x

D D

Donde n es la multiplicidad de raíz.

Tener en cuenta que los operadores anuladores…

*¿En qué ocasiones se multiplican los operadores anuladores?

*¿En qué ocasiones se considera el operador anulador de mayor orden? 

• Cuando el tipo de operador en la función Q(x) se repite

• Cuando el tipo de operador en la función Q(x) no se repite

6 2

2 3

:4cos 2 8

cos 3 2

x

x

EjemplosQ x x e sen x x

Q x x x e x

2 2 5 2

3 2 3

:cos 2 2 3 2

3 8 9

x x

x x

EjemplosQ x xe x e sen x x x

Q x e x e x

Introducción

• El método de coeficientes indeterminados queacabamos de ver es un procedimiento sencillo parahallar una solución particular cuando la ED tienecoeficientes constantes y el término Q(x) es de un tipoespecial.

, , , cos sen , ... , etc.n nx x xC x e e x e x

• Ahora veremos otro método ideado en 1774 porJoseph‐Louis de Lagrange para hallar una soluciónparticular de una EDNH, el cual complementa al métodode coeficientes indeterminados.

Introducción

• Es un método más general y es conocido como el método devariación de parámetros o variación de constantes, por ser general esposible aplicarlo a cualquier ecuación ya que no requieresuposiciones detalladas respecto a la forma de solución.

• Por ejemplo es aplicable para resolver una ED para la cualno existe aniquilador del término Q(x).• Así mismo permite resolver EDNH con coeficientesvariables siempre y cuando se conozca un conjuntofundamental de soluciones de la EDH.

• Teorema (caso 2do orden)• Si se tiene y1 y y2 que son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial homogénea asociada a la ecuación diferencial no homogénea normalizada

sabemos que la solución general de la ecuación diferencial homogénea es

donde C1 y C2 son constantes.

1 0y a x y a x y Q x

1 1 2 2hy C y C y

2.4 Solución de la ecuación diferencial lineal de orden n no homogéneas. Método de variación de parámetros o método de variación de constantes.

• La estrategia de la variación de parámetros consiste en reemplazar lasconstantes por funciones de “x”, es decir, ahora tenemos una soluciónde la forma

Como hemos introducido dos funciones incógnitas u1(x), u2(x), esnecesario introducir dos ecuaciones requisito que cumplen éstasfunciones

1 1 2 2

1 1 2 2

0y u x y u x

y u x y u x Q x

1 1 2 2 1 1 2 2h Py C y C y y u x y u x y

En forma matricial se tiene:

• En donde al tener el sistema de ecuaciones 2 ecuaciones , 2 incógnitas, parau'1 , u'2 se puede resolver el sistema, por el Método de Cramer (wronskianos)

1 2 1

1 2 2

0y y uQ xy y u

1 21 2

2 11 21 2 1 2 1 2 2 1

2 11 2

;

:0 0

; ;

T T

T

w wu uw w

dondey yy y

w y y y y w Q x y w y Q xQ x y y Q xy y

1 1 2 2

1 1 2 2

0y u x y u x

y u x y u x Q x

• Sin embargo nuestras incógnitas para yP son u1 y u2

• Por lo tanto, para obtenerlas se pueden integrar con respecto de x

• De esa forma podemos conformar la solución general de la ED

Nota: Este método puede extenderse a ED de orden superior

1 1 2 2Py u x y u x y

1 1 2 2 1 1 2 2G h Py y y C y C y u x y u x y

1 21 1 2 2;

T T

W Wu dx u x u dx u xW W