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Tensiones en el haz de planos de eje sostén una dirección principal
y
yx
x
xy
yx
y
pz
x
z
y
dx
dy
pz
dz
x
xy
x x x x
xy
x
n
n
y
yx
x
xy
yx
y
pz
x
z
y
dx
dy
pz
dz
x
xy
x x x x
xy
x
kjsenin nn
0cos
kjisent nn
0cos
0
cos
00
0
0
n
n
z
yxy
yxx
nz
ny
nx
sen
nyxnxnx sen cos
nynyxny sen cos0nz
nnn
tnn
HAZ DE PLANOS 0zn
xyx
y
y
xyxy
x
n
t
n
n n
+Nueva convención de
0yx
0xy
kjsenin nn
0cos kjisent nn
0cos
nyxnxnx sen cos
nynyxny sen cos0nz
nynnyxnnyxnxn sensensen 22 coscoscos
tnn
y
x
n
t
n
n n
+
nnn
nnyxnynxn sensen cos2cos 22
nnynyxnyxnnxn sensensen coscoscos 22
nnyxnnyxn sensen 22coscos
0yx
0xyyx
y
xyxy
x
Expresiones en función del ángulo doble
nnyxnynxn sensen cos2cos 22
2cos2 sensen
nnyxnnyxn sensen 22coscos
1cos 22 sen
2coscos 22 sen
mamsum ...2
2cos1cos2
mamrest ...2
2cos12 sen
nyxnyxyx
n sen
22cos22
nyxnyx
n sen
2cos22
Planos y Tensiones principales en este haz de planos
nyxnyxyx
n sen
22cos22
nyxnyx
n sen
2cos22
pyxpyx
p sen
2cos22
0
yx
yxptg
2
2 12 22
12
212
Tensiones normales máxima y mínima
myxmyxn sen
2cos220
yx
yxmtg
2
2
Los planos con valores máximo y mínimo de la tensión normal coinciden con los planos principales
Circunferencia de Mohr
nyxnyxyx
n sen
22cos22
nyxnyx
n sen
2cos22
nyxnyxyx
n sen
22cos22
Elevando ambas al cuadrado y sumando m.a.m
2
22
2
22 yxyxyx
nn
CyCy
Cx
y
x
R
222 Rxxyy CC
C
n
n
R
0;
2yxC
2
2
2 yxyxR
0yx
y
xyx
y
x
xy
x x x x
xy
x
n
t
n
n n
+
0xyyx
xy
yxn
nx
X
Y
y
2yx
2yx
O C
2
2
2 yxyxRCYCX
1P2P
0;
2yxC
2
2
2,1 22 yxyxyx
Haz de planos 0zn
0yx
0xy
0yxy
xyx
y
x
xy
x x x x
xy
x
n
t
n
n n
+0xy
yx
xy
yxn
n
x
X
Y
y
OC
TP
NP
POLOS DE LA CIRCUNFERENCIA
N
n
n n2xy
X
x
xy
X
Figura de análisis
0yx
0xyyx
xy
yxn
n
x
X
Y
y
OC
TP
NP
Figura de análisis
N
n
n n2xy
X
x
xy
X
y
x
yx
y
x
xy
xx
x
x
xy
x
n
t
n
n
n
+
y
x
yx
y
yx
y
x
xy
xx
x
x
xy
xx
xy
xx
x
x
xy
x
n
t
n
n
n
+
n
OC 1
NP
Figura de análisis
n
n
2
2
1
1
n
n
2N
1
2
2
2
2
2
n
OC
NP
Figura de análisis
n
n
2
1
1N
n
1
2
1
1
n
n
2
n
n
O1
3
03 n
2
13
02 n
2C
01 n
1C
cten 3
cten 2cten 1
2
11 n
3C
13 n
12 n
n
n
O
1
1
23 3C2C1C
cten 3cten 2
cten 1
1A3A 2A 2A
23n
O
n
O
n
O
n
A
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