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TEORÍA DE CONJUNTOS.

NOCIÓN DE CONJUNTO:

Concepto no definido del cual se tiene una idea

subjetiva y se le asocian ciertos sinónimos

tales como colección, agrupación o reunión de

objetos abstractos o concretos. Pueden existir

conjuntos formados por un o ningún elemento.

Ejemplos:

•Los días de la semana

•Los países del continente americano.

•Los jugadores de un equipo de fútbol.

NOTACIÓN:

Generalmente se denota a un conjunto con

símbolos que indiquen superioridad y a

sus integrantes u elementos mediante

variables o letras minúsculas separadas

por comas y encerrados con llaves.

EJEMPLOS:

Las Vocales del Alfabeto V = {a, e, i, o, u}

V = Nombre del conjunto en mayúscula

a, e, i, o, u = Nombre de los elementos en minúscula.

Los enteros positivos impares menores a 10

I = {1, 3, 5, 7, 9}

Los elementos pueden ser también números.

Los días de la semana

A = los días de la semana Los elementos pueden ser “cosas” con

características en común.

REPRESENTACIÓN:

Diagrama de Venn

Notación:

Nombre

del

Conjunto

Elementos del

conjunto A

RELACIÓN DE PERTENENCIA ( )

Se establece esta relación sólo de “integrante” a

conjunto y expresa si el integrante indicado forma

parte o no del conjunto considerado.

“....pertenece a .....” :

“... no pertenece a ..”:

Ejemplo: C = 1, 2, 5, 16

2 C

8 C

5 C

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Un conjunto está bien determinado si se sabe exactamente cuáles son los elementos que pertenecen a él o cuáles no. Se puede determinar un conjunto:

a)Por Extensión o por enumeración. Cuando se nombre cada uno de sus elementos.

Ejemplos: A = a, e, i, o, u

C = 2, 4, 6, 8

El orden en el cual son listados los “elementos” del conjunto no afecta el hecho de que pertenecen a él.

De este modo en el conjunto

A = a, e, i, o, u = a, o, u, i, e

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

b) Por Comprensión Consiste en indicar la característica o propiedad

común a todos los elementos del conjunto.

B = n / n es una vocal

C = n / n Z ,1 n 7

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Indica la cantidad de elementos del

conjunto y se denota como n (A), siendo A

el conjunto.

Ejemplos:

A = 3, 6, 9, 12, 15 entonces n (A) = 5

P = 2,2,3,3,3,5,7 entonces n (P) = 4

CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS Según la cantidad de elementos se clasifican en:

a) CONJUNTO VACÍO:

Es aquel que no tiene elementos. Se representa por , también puede ser denotado por o { }.

Ejemplo:

M = o M = { }

N = { z / z Z, 8 < z < 9}

b) CONJUNTO UNITARIO:

Es aquel que tiene sólo un elemento.

Ejemplo:

A = { }

C = {x / x N, 7 > x > 5}

c) CONJUNTO FINITO:

Es aquel que tiene un número n de elementos

definidos, n > 0. Ejemplo: las vocales.

d) CONJUNTO INFINITO:

Es aquel que no es finito, es decir tiene elementos

no definidos.

Ejemplo:

R = {x / x N}

S = {y / y Z}

CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS

INCLUSIÓN AMPLIA

Un conjunto A está incluido ampliamente en un

conjunto B, si todo elemento de A es también

elemento de B.

A = {polígonos}

B = {polígonos}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

A B ( x, x A x B)

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

INCLUSIÓN ESTRICTA

Un conjunto A está incluido estrictamente en un

conjunto B, si todo elemento de A es también

elemento de B, pero hay elementos de B que no

pertenecen a A.

A = {polígonos regulares}

B = {polígonos}

A B ( x, x A x B) ( y, y B y A)

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

IGUALDAD

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos

elementos.

A = {polígonos}

B = {polígonos}

A = B ( A ⊆ B ∧ B ⊆ A)

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

DISJUNTOS

Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen

elementos comunes.

A = {frutas}

B = {animales}

A son disjuntos B ( x, x A x B)

( y, y B y A)

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

CONJUNTO DE CONJUNTOS

Es un conjunto cuyos elementos son conjuntos.

A = {seres vivos}

B = {plantas}

C = {animales}

D = {seres humanos}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

CONJUNTO DE CONJUNTOS

F = { {a},{b},{a, b},{a, b, c} }

Los elementos del conjunto F también son conjuntos.

{a} es un elemento del conjunto F entonces {a} F

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

CONJUNTO POTENCIA

El Conjunto Potencia de A, llamado también “Conjunto de Partes de A”, es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles que posee el conjunto A.

Notación P(A)

Ejemplos: Sea A = x, y

P(A) = , x , y , x, y

n (P(A)) = 4

Sea B = { m, n, p}

P(B) = { , {m},{n},{p},{m, n},{m, p}, {n, p}, {m, n, p}}

n (P(B)) = 8

PAR ORDENADO

Es un conjunto (LISTA) de 2 elementos para los

cuales se considera el orden en que están

ubicados.

Notación

(a, b) se lee “par ordenado a, b”

1º

componente

2º

componente

(a, b) = (c, d) a = c b = d

PRODUCTO CARTESIANO

Sean A y B dos conjuntos. Se llama producto

cartesiano de A por B y se escribe A x B, a un

nuevo conjunto formado por todos los pares

ordenados tales que el primer componente del par

pertenece al conjunto A y el segundo al conjunto

B.

Ejemplo:

Sean A = {1, 2, 3}

B = {a}

A X B = {(1,a), (2,a), (3,a)}

A X B = {(a,b), a A b B}