Teoría homotópica de grupos -...

Teoría homotópica de grupos

José María Cantarero LópezCONACYT / CIMAT Mérida

2o Encuentro Nacional de Jóvenes Investigadores en MatemáticasInstituto de Matemáticas, UNAM

19 Febrero 2018

José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos

Acciones de grupos

DefiniciónUna acción de un grupo G sobre un espacio topológico X esuna función continua

G × X → X

(g, x) 7→ g · x

tal que1 1 · x = x2 (gh) · x = g · (h · x)

EjemploEl grupo Z actúa sobre R mediante

n · x = x + n

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EjemplosEjemplo

El grupo Z/2 = 1, σ actúa sobre Sn mediante

σ · x = −x

Ejemplo

El grupo Z/5 actúa sobre R mediante

g · x = x

para todo g ∈ Z/5 y todo x ∈ R.

Ejemplo

El grupo Z/2 actúa sobre S1 mediante

σ · z = z

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Acciones libres

DefiniciónSe dice que una acción es libre si g · x = x solamente puedeocurrir cuando g = 1.

Una razón por la que esta condición es útil es que si X es unavariedad con una acción libre de un grupo finito G, entoncesX/G también es una variedad.

Ejemplo

La acción de Z sobre R era libre y R/Z ∼= S1.

Ejemplo

La acción de Z/2 sobre Sn era libre y Sn/Z/2 = RPn.

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Espacios clasificantes

Sea EG un espacio contráctil sobre el que G actúa libremente.El espacio clasificante de G es BG = EG/G.

Ejemplo

Podemos escoger EZ = R con la acción que vimos y BZ = S1.

Ejemplo

Podemos escoger EZ/2 = S∞ con la acción antipodal yBZ/2 = RP∞.

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EjemploRecordemos que F2 es el grupo libre de palabras reducidas endos letras a y b. Podemos escoger EF2 el árbol dibujado abajodonde a mueve "una unidad" a la derecha y b mueve "unaunidad" arriba. Por lo tanto BF2 = S1 ∨ S1.

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Relaciones con acciones

G actúa libremente sobre algún árbol si y sólo si BG eshomotópicamente equivalente a un grafo.

Un grupo finito G actúa libremente sobre algún complejofinito X ' Sn si y sólo si BG tiene cohomología periódica.

Si G actúa linealmente y fielmente sobre algún Cn,entonces H∗(BG) es finitamente generado como anillo.

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Relaciones con álgebra

G es un grupo libre si y sólo si BG es homotópicamenteequivalente a un grafo.

H2(BG; A) está en biyección con el conjunto de clases deequivalencia de extensiones centrales de G por A.

Hn(BG; A) ∼= TorZGn (Z,A) Hn(BG; A) ∼= Extn

ZG(Z,A).

cd(BG) = projdimZG Z.

K (BG) ∼= R(G)∧IG .

Si BG es un CW-complejo de dimensión finita, entonces Gno tiene elementos de orden finito.

G ∼= H si y sólo si BG ' BH.

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Posibles accionessalvo homotopía de G

oo //

OO

Propiedades algebraicasde GOO

Propiedades homotópicas

de BGoo // Propiedades de ZG-módulos

o D(ZG)

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Propiedades p-locales de grupos

Denotamos cg(x) = gxg−1.

DefiniciónSe dice que G y H son p-localmente equivalentes si existe unisomorfismo φ : S → R entre sus p-Sylows tal que para cadaG-conjugación cg : P → Q entre subgrupos de S se tiene queφcgφ

−1 = ch para algún h ∈ H, y para cada H-conjugaciónck : A→ B entre subgrupos de R existe z ∈ G tal queφ−1ckφ = cz .

Lo denotamos por G ∼p H. Sea Q una propiedad de gruposfinitos tal que si G cumple Q y G ∼p H, entonces H cumple Q.Se dice que Q es una propiedad p-local. Igualmente si F esuna asignación que a cada grupo finito le asigna un objeto talque si G ∼p H entonces F (G) ∼= F (H), se dice que F es uninvariante p-local.

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Algunas propiedades p-locales de grupos

Ser p-nilpotente. Los elementos de orden primo a pforman un subgrupo.

Tener un p-subgrupo normal no trivial.

El p-rango. El máximo natural n tal que G contiene unsubgrupo isomorfo a (Z/p)n.

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Propiedades p-locales de espaciosDefiniciónSe dice que dos espacios X y Y son p-localmenteequivalentes si existe f : X → Y que induce un isomorfismo entodos los grupos de homología con coeficientes en Fp.

Igualmente lo denotamos X ∼p Y y tenemos igualmentepropiedades e invariantes p-locales.

Para cada espacio X , existe un espacio X∧p que se llama sup-completación. Si los espacios son p-buenos, una funciónf : X → Y induce un isomorfismo en Fp-homología si y sólo sila función inducida f∧p : X∧p → Y∧p es una equivalenciahomotópica.

Así que las propiedades (invariantes) p-locales de espacioscorresponden a propiedades (invariantes) homotópicas de susp-completaciones.

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Relaciones entre ambas

G es p-nilpotente si y sólo si BG∧p ' BS.

El p-rango de G coincide con la longitud de Krull deHeven(BG∧p ;Fp).

Hn(Ω(BG∧p );Fp) ∼= ExtneFpGe(FpGe,FpGe) para cierto

idempotente e en FpG y para todo n > 1.

Si G contiene p-subgrupos elementales abelianosmaximales de dimensiones diferentes, entoncesH∗(BG∧p ;Fp) no es Cohen-Macaulay.

G ∼p H si y sólo si BG ∼p BH.

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Posibles accionessalvo p-equivalencia de G

oo //

OO

Propiedades p-localesde GOO

Propiedades p-locales

de BGoo // Propiedades de FpG-módulos

o D(FpG)

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El sistema de fusión de un grupo finito

Teorema (Cartan-Eilenberg)

H∗(BG;Fp) ∼= lim←−FS(G)

H∗(BQ;Fp)

Dado un grupo finito G y un p-Sylow S, su sistema de fusiónFS(G) es la categoría con

Objetos: Subgrupos de S.

HomG(P,Q) = cg : P → Q | g ∈ G

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El sistema de fusión de un grupo finito II

Es más, este resultado se puede mejorar a

BG∧p '

(hocolim−−−−−→FS(G)

BQ

)∧p

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Sistemas de fusión abstractos

Definición (L. Puig ; C. Broto, R. Levi y B. Oliver ’03)

Un sistema de fusión F sobre un p-grupo finito S es unasubcategoría de la categoría de grupos cuyos objetos son lossubgrupos de S y cuyos morfismos HomF (P,Q) satisfacen:(a) HomS(P,Q) ⊆ HomF (P,Q) ⊆ Inj(P,Q) para todo

P,Q ≤ S.(b) Todo morfismo en F factoriza como un isomorfismo en F

seguido de una inclusión.

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Definición (L. Puig ; C. Broto, R. Levi y B. Oliver ’03)

Sea F un sistema de fusión sobre un p-grupo finito S.Un subgrupo P ≤ S está completamente centralizado enF si |CS(P)| ≥ |CS(P ′)| para todo P ′ ≤ S que seaF-isomorfo a P.Un subgrupo P ≤ S está completamente normalizado enF si |NS(P)| ≥ |NS(P ′)| para todo P ′ ≤ S que seaF-isomorfo a P.F es un sistema de fusión saturado si se cumplen:

(I) Para cada P ≤ S que está completamente normalizado enF , P está completamente centralizado en F y AutS(P) esun p-Sylow de AutF (P).

(II) Si P ≤ S y φ ∈ HomF (P,S) son tales que φP estácompletamente centralizado, considerando

Nφ = g ∈ NS(P) | φcgφ−1 ∈ AutS(φP)

existe φ ∈ HomF (Nφ,S) tal que φ|P = φ.

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Grupos p-locales finitos

Definición (Broto, Levi, Oliver ’03)Un grupo p-local finito es un espacio de la forma

BF =

(hocolim−−−−−→F

BQ

)∧p

donde F es un sistema de fusión saturado.

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Los grupos 2-locales de Solomon

Sea P un 2-Sylow de Spin7(F3).

Teorema (Solomon ’74)No existe ningún grupo finito G con 2-Sylow P tal queFP(Spin7(F3)) ⊆ FP(G) y tal que todos los elementos de ordendos en P son G-conjugados.

De haber existido, habría sido un nuevo grupo finito simple.

Sin embargo, R. Levi y B. Oliver construyeron en 2002 unsistema de fusión saturado sobre P con esas característicasañadiéndole a FP(Spin7(F3)) más automorfismos de ciertosubgrupo y sus restricciones.

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Otros sistemas de fusión

En teoría de representaciones modulares, dado un grupo finitoG y un campo K algebraicamente cerrado de característica p,un bloque de G es un ideal indescomponible de KG.

La teoría de Brauer asocia a cada bloque un grupo de defecto,que es un p-grupo S. Las G-conjugaciones entre los subgruposde S que son compatibles en cierto sentido con los bloquesrespectivos dan lugar a un sistema de fusión saturado sobre S.

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Propiedades homotópicas de grupos p-locales finitos

H∗(BF ;Fp) ∼= lim←−F

H∗(BQ;Fp). (Broto, Levi, Oliver ’03)

[BQ,BF ] ∼= Rep(Q,F) para cualquier p-grupo finito Q.(Broto, Levi, Oliver ’03)

BCF (ρ(Q)) ' Map(BQ,BF)ρ si ρ(Q) es completamentecentralizado. (Broto, Levi, Oliver ’03)

Aut(BF) ' |Auttyp(L)|, donde L es una cierta categoríadeterminada por F . (Broto, Levi, Oliver ’03)

H2(BF ; A) está en biyección con el conjunto de clases deequivalencia de extensiones centrales de F por A. (Broto,Castellana, Grodal, Levi, Oliver ’07)

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Propiedades homotópicas de grupos p-locales finitos

BF ' BS si y sólo si F = FS(S). También generalizamosmuchos de los criterios de p-nilpotencia. (C., Scherer,Viruel ’14)

K(BF) ∼= R(F) (C., Castellana, Morales ’17)

K (BF) ∼= R(F)∧IF (Bárcenas, C. ’18)

αK (BF) ∼= αR(F)∧IF (Bárcenas, C. ’18)

h∗(BF) ∼= lim←−F

h∗(BQ) (C., Castellana, Morales ’17)

Si H∗(BF ;Fp) es Cohen-Macaulay, entonces esGorenstein. (C., Castellana, Morales ’17)

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Conjetura de Quillen

Un grupo finito G tiene un p-subgrupo normal no trivial si y sólosi la realización geométrica del poset de p-subgrupos notriviales de G es contráctil.

Esta conjetura sigue abierta desde 1978!

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La cohomología de los 2-grupos locales de Solomon

Sea FSol el grupo 2-local finito construido por Levi y Oliversobre un 2-Sylow de Spin7(F3)

H∗(BFSol;F2) ∼= F2[u8,u12,u14,u15, y7, y11, y13]/I

donde I es el ideal generado por los polinomios

y211 + u8y2

7 + u15y7

y213 + u12y2

7 + u15y11

y47 + u14y2

7 + u15y13

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La cohomología de los 2-grupos locales de Solomon

H∗(BFSol;F2) es un F2[u8,u12,u14,u15]-módulo libre yfinitamente generado. Así que es Cohen–Macaulay.

El cociente H∗(BFSol;F2) por el ideal generado por el subanillopolinomial F2[u8,u12,u14,u15] es el anillo graduado

F2[y7, y11, y13]/(y47 , y

211, y

213)

que es un álgebra con dualidad de Poincaré en dimensión 45,así que H∗(BFSol;F2) is Gorenstein.

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