Teorema de Menelao.ppt 97

Instituto de Formación Docente Salome Ureña Recinto Emilio Prud´Home Maestría en Matemática Educativa Asignatura : Geometría

Sustentante : Jasmín De La Cruz MAT: 20093-0747 Facilitador : Leonicio Tavarez

12/04/23 JASMIN DE LA CRUZ

MENELAO DE ALENJANDRIA

Menelao de Alejandría (c. 70-140) fue un matemático y astrónomo griego, siendo el primero en reconocer a las geodésicas en una superficie curva como análogas naturales de las líneas rectas y en concebir y definir el triángulo esférico.

12/04/23JASMIN DE LA CRUZ

UN POCO DE HISTORIA

Aunque se sabe poco sobre la vida de Menelao, se supone que vivió en Roma tras haber pasado su juventud en Alejandría. Tanto Pappus de Alejandría como Proclo lo llaman Menelao de Alejandría y Plutarco recoge una conversación suya con Lucius en Roma.

Ptolomeo también menciona en su trabajo Almagesto (VII.) dos observaciones astronómicas realizadas por Menelao en Roma en enero del año 98. Dichas observaciones fueron sendas ocultaciones de las estrellas Spica y Acrab (Beta Scorpii) por la luna en el intervalo de unas pocas noches. Ptolomeo usó dichas observaciones para confirmar la precesión de los equinoccios, un fenómeno que ya había sido descubierto por Hiparco en el siglo II a. C.

ObraSphaerica es la única obra de Menelao que ha sobrevivido, en

forma de traducción árabe. Está compuesta de tres libros y trata de la geometría de la esfera y de su aplicación a mediciones y cálculo astronómicos.

DEMOSTRACION

POSTULADOS Y DEFINICIONES A USARTriángulos semejantes:

dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos homólogos son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.

la relación de semejanza cumple con las mismas propiedades de la congruencia de triángulos, de ahí que se determine la semejanza de triángulos a través de los postulados:

AAAAALLLLAL

Teorema de Menelao

En el triangulo ABC sean X,Y y Z puntos sobre los lados BC, Ac y AB(o sus prolongaciones). Los puntos X, Y y Z son colinelaes si y solo si:

. . 1BX CY AZ

XC YA ZB

Demostración Sean X, Y y Z tres puntos colineales sobre

BC, AC y AB respectivamente, con X sobre la prolongación de BC.

Sean P,Q y R los pies de las perpendiculares sobre A, B y C respectivamente a la recta XYZ.

DEMOSTRACION

Por la semejanza de triángulos∆ BQX y ∆ CRX decimos que son semejantes por el

postulado AAA:

Como los ∆ BQY y AYZ son semejantes por el postulado AAA, se puede decir que:

De la misma forma:Los ∆ APZ y CZR son semejantes

Multiplicando las igualdades tenemos que:

Lo que hace a los puntos X, Y y Z colineales

. . . . 1BX CY AZ BQ CR AP

XC YA ZB CR AP BQ

BX AZ CY BXAZCY

XC ZB YA XCZBYA

BQ CR AP BQCRAP

CR AP BQ CRAPBQ

. . 1BX CY AZ

XC YA ZB

Conceptos En geometría, la línea geodésica se define

como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie

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