Topologia General Especifiacion

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PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

TOPOLOGIA GENERAL

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICOFACULTAD DE CIENCIAS BASICASPROGRAMA DE MATEMATICA

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PROGRAMA DE MATEMATICA

TOPOLOGIA GENERAL

Karina Garca Arguelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indice

1. Generalidades. 3

2. Descripcion General 3

3. Justificacion 3

4. Objetivos 44.1. Ob jetivos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2. Objetivos Especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5. Creditos Academicos 4

6. Intensidad Semanal(en horas presenciales) 4

7. Competencias a Desarrollar 57.1. Tipo Cognoscitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57.2. Tipo Socio-Afectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57.3. Tipo Profesional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

8. Competencias Generales 5

9. Metodologa 6

10.Estrategias de Aprendizaje 6

11.Evaluacion 7

12.Programa Resumido 7

13.Programa Detallado 713.1. Espacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

13.1.1. Objetivos Especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3 . 1 . 2 . C o n t e n i d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

13.2. Continuidad y homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2.1. Objetivos Especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 3 . 2 . 2 . C o n t e n i d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3. Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.3.1. Objetivos Especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3 . 3 . 2 . C o n t e n i d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

13.4. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4.1. Objetivos Especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3 . 4 . 2 . C o n t e n i d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

13.5. Axiomas de separacion y contabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.5.1. Objetivos Especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3 . 5 . 2 . C o n t e n i d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

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14.Espacios metricos completos y espacios de funciones 1014.0.3. Objetivos Especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 4 . 0 . 4 . C o n t e n i d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

15.El teorema de Tychonoff 1015.0.5. Objetivos Especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5 . 0 . 6 . C o n t e n i d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Bibliografa 10

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1. Generalidades.

1. Asignatura : Topologa general.2. Codigo: 22235

3. Requisitos: Teora de conjuntos.

4. Duracion Semanas : 16

5. Creditos : 4

6. Programa: Matematicas.

7. Facultad: Ciencias Basicas.

8. Profesor : Karina Garca Arguelles.

2. Descripcion General

Esta asignatura es obligatoria, se imparte en el quinto semestre de Matematicas y su docen-cia esta asignada al Departamento de Matematica. Tiene una asignacion lectiva de 4 creditosque se impartiran a lo largo del curso con una distribucion de 5 horas de clase semanales.

Esta es una asignatura de la componente profesional que estudia en terminos generales los

aspectos principales relacionados con los espacios topologicos, incluyendo, en particular, los es-pacios metricos. Se consideran especialmente los homeoformismos y aquellas propiedades deconjuntos invariantes ante estos, tales como la compacidad, la conexidad, etc.Se hace un estudiode la convergencia especialmente en espacios separados. Para culminar con el estudio de losespacios productos, espacios metricos completos y espacios de funciones.

El estudiante debe incrementar su capacidad de abstraccion, generalizacion e interpretacionde los conceptos propios de esta asignatura, se espera de el una suficiente madurez matematicaque le permita aplicar estos conceptos en teoras mas avanzadas.

3. Justificacion

La topologa es la base de las principales estructuras geometricas sobre las cuales se desar-rollan algunas de las teoras mas avanzadas, tales como analisis funcional, geometra diferencial,ecuaciones en derivadas parciales, topologa algebraica y otras. Por si sola ella constituye uncampo de estudio necesario para el matematico puesto que propicia el desarrollo de nuevas ideasy se constituye en un campo de investigacion activo como lo testimonian la gran cantidad depublicaciones cientficas en esta area.

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4. Objetivos

4.1. Objetivos Generales Conocer y manejar las nociones fundamentales referentes a espacios topologicos, as como

las construcciones basicas y algunas de las principales propiedades topologicas, incidiendoen el caso particular de los espacios metricos..

Estudiar modelos matematicos y aplicar los principios basicos en ellos establecidos a lasolucion de problemas de aplicacion en diferentes areas del conocimiento.

4.2. Objetivos Especficos

interpretar y asignarle significado a los conceptos topologicos..

Estudiar propiedades topologicas tales como: conexidad, separabilidad, normalidad, com-pacidad, espacios To, T1, T2 (Hausdorff), regulares, seudometrizables, metrizables.

Identificar funciones continuas y homeomorfismos.

Dada una estructura topologica sobre un conjunto, estudiar la estructura topologica rela-tiva sobre un subconjunto..

Comunicar oralmente y por escrito en un lenguaje preciso informes acerca de procesos real-izados para la demostracion de proposiciones, la solucion de problemas y/o las aplicacionesa otras disciplinas..

5. Creditos Academicos

Tiempo presencial (en horas al semestre) : 80

Tiempo independiente (en horas al semestre) : 160

Total de creditos academicos : 4

6. Intensidad Semanal(en horas presenciales)

Exposicion Magistral : 4,

0

Monitoria : 0,0

Laboratorio : 2,0

Total de horas/semana : 6,0

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7. Competencias a Desarrollar

7.1. Tipo Cognoscitivo Comprension de los espacios topologicos y sus propiedades.

Estudio de teoremas basicos de la topologa y sus aplicaciones.

Aplicacion de los conceptos estudiados en campos relacionados.

7.2. Tipo Socio-Afectivo

Aumento de la capacidad personal para plantear hipotesis y realizar inferencias retomandoelementos de su conocimiento matematico.

Incremento de la capacidad personal para trabajar en grupo, realizando aportes pertinentesy valorando otras opiniones.

Cultivar el auto-aprendizaje como una forma de crecimiento personal en busca de la au-tonoma.

7.3. Tipo Profesional

Aplicar los conceptos y metodos elementos estudiados a la solucion de problemas de apli-cacion.

Plantea hipotesis, realiza inferencias y demuestra el manejo de conceptos propios de la

topologa general.

Analiza algunas situaciones de contenido matematico, presenta argumentos y relata suscomprensiones personales.

8. Competencias Generales

Interpretar y asignarle significado a los conceptos topologicos.

Identificar funciones continuas y homeomorfismos.

Involucrar a los estudiantes en experiencias continuas de planteamiento y resoluci on de

problemas, incluyendo aspectos de los tres enfoques: cualitativo, numerico y analtico.

Identificar y clasificar conjuntos en cuanto a sus propiedades topologicas.

Formular hipotesis y conjeturas fundamentadas en la teora y probarlas o refutarlas.

Decidir acerca de la validez de una argumentacion basada en la teora estudiada.

Comunicar oralmente y por escrito en un lenguaje preciso informes acerca de procesos real-izados para la demostracion de proposiciones, la solucion de problemas y/o las aplicacionesa otras disciplinas.

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Posibilitar que el estudiante aprenda a usar eficientemente las herramientas tecnologicasa su alcance, en la solucion de los problemas propios de la asignatura.

Involucrar al estudiante de manera activa en su proceso de aprendizaje mediante lecturasprevias de los diferentes temas a tratar y mediante la asignacion de problemas que debenser sustentados en el aula.

Propiciar que el estudiante aprenda a trabajar adecuadamente tanto de manera individualcomo en grupo.

9. Metodologa

Un estudiante del Programa de Matematica debe estar en permanente busqueda del per-feccionamiento en su formacion academica, debe ser un apasionado por el conocimiento, debebuscar constantemente la excelencia y su independencia intelectual. El estudiante entonces debeser responsable de su propio aprendizaje.

De acuerdo con estas caractersticas, la metodologa de los cursos del Programa de Matematicasbusca involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante lecturasprevias a los diferentes temas a tratar y mediante la asignacion de problemas que deben serdiscutidos en el aula.

Se privilegia una metodologa que permita propiciar el logro de un dominio conceptual ade-cuado de la matematica y potenciar el desarrollo de habilidades de pensamiento y competenciaspara la resolucion de problemas. As mismo, una metodologa que permita incorporar el uso de latecnologa computacional al currculo del Programa de Matematicas para facilitar los procesosde comprension y representacion de los temas matematicos y para potenciar el desarrollo dealgunas habilidades cognitivas.

10. Estrategias de Aprendizaje

Clases magistrales.

Talleres asistidos para la resolucion de problemas

Presentacion y analisis del tema.

Discusiones grupales sobre el tema.

Exposiciones sobre temas asignados.

Ejercicios de fijacion y aplicacion.

Asignacion de tareas.

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11. Evaluacion

La gestion de la Coordinacion de Matematica esta enmarcada por la evaluacion continua desus actividades y de los resultados.

La evaluacion del desempeno de los estudiantes es un proceso permanente que valora el cumplim-iento de los objetivos propuestos y los compromisos adquiridos en cada asignatura.

Las calificaciones son la expresion cuantitativa de los resultados de las pruebas academicas.En el Programa de Matematica la calificacion definitiva se obtiene a partir de tres notas par-ciales. Los porcentajes de la calificacion definitiva correspondiente a estas notas parciales son:30 % para la primera nota parcial, 40 % para la segunda nota parcial y 30 % para la tercera notaparcial.

La tercera nota parcial corresponde a la obtenida en un examen unico denominado examenfinal,que evalua los temas desarrollados durante todo el semestre.

Se debe dar a conocer a los estudiantes los resultados de las distintas pruebas en un plazono mayor a cinco das habiles siguientes a la realizacion de las mismas, escuchar los reclamos delos estudiantes y hacer las correcciones requeridas, si las hay.

12. Programa Resumido

Capitulo 1 Espacios topologicos

Capitulo 2 Continuidad y homeomorfismos

Capitulo 3 Conexidad.

Capitulo 4 Espacios compactos

Capitulo 5 Axiomas de separacion y de contabilidad

Capitulo 6 El teorema de Tychonoff

Capitulo 7 Espacios metricos completos y espacios de funciones

13. Programa Detallado13.1. Espacios topologicos

Comprender los conceptos de espacio topologico, sub-espacio,bases y sub-bases de una topologa.

13.1.1. Objetivos Especficos

Que el estudiante comprenda los conceptos de cerradura, interior, punto de acumulacionde un conjunto y sus propiedades fundamentales.

Entender los conceptos de espacios producto y sus propiedades.

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El alumno conocera y comprendera la definicion de espacio topologico, de bases, subbas-es y subespacios. y adquirira habilidad para demostrar las propiedades de los conceptos

anteriores.

13.1.2. Contenido

Tema 1 Conceptos basicos y definiciones.

Tema 2 Construccion de topologas.

Tema 3 Bases de una topologa.

Tema 4 Subespacios.

Tema 5 Conjuntos cerrados, conjuntos abiertos, puntos de acumulacion.

Tema 6 Topologa producto.

Tema 7 Espacios metricos.

13.2. Continuidad y homeomorfismos

Comprender el concepto de funcion continua. Identificar espacios homeomorfos.

13.2.1. Objetivos Especficos

Comprender la definicion de funcion continua y adquirir habilidad para demostrar y utilizar

sus caracterizaciones y propiedades.

Comprender los conceptos de homeomorfismo y espacios producto. Habilidad para de-mostrar y utilizar sus propiedades.

El estudiante adquirira habilidad al realizar demostraciones encaminadas a mostrar laconvergencia de una sucesion.

13.2.2. Contenido

Tema 1 Funciones continuas.

Tema 2 Homeomorfismos.

Tema 3 Topologa producto de dos espacios topologicos.

Tema 4 Filtro, sucesiones y convergencia.

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13.3. Conexidad

13.3.1. Objetivos Especficos

El estudiante comprendera las definiciones de conexidad, conexidad local, componenteconexa y arco conexa.

El estudiante adquirira destreza en el manejo de las propiedades de los espacios conexos yhabilidad para relacionar la conexidad y la continuidad para demostrar algunos teoremasimportantes.

13.3.2. Contenido

Tema 1 Espacios conexos

Tema 2 conexidad y continuidad.

Tema 3 Conexos en la recta real.

Tema 4 Componentes conexas.

Tema 5 Conexidad por caminos.

Tema 6 Conexidad local.

13.4. Espacios compactos

13.4.1. Objetivos Especficos

Comprender el concepto de espacio compacto y sus caracterizaciones as como el de espaciolocalmente compacto.

Adquirir conocimientos y entender el invariante topologico compacidad y comprenderpropiedades de la compacidad y su relacion con la continuidad.

13.4.2. Contenido

Tema 1 Conjuntos compactos en la recta real.

Tema 2 Propiedades topologicas en los espacios compactos.

Tema 3 Compacidad en los espacios metricos.

Tema 4 Compacidad local.

13.5. Axiomas de separacion y contabilidad

13.5.1. Objetivos Especficos

El alumno manejara los conceptos de axiomas de separacion, analizara las propiedadesde estos espacios. []Que el estudiante conozca y aplique adecuadamente los teoremas decaracterizacion de los espacios separados.

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Que el estudiante sea capaz de realizar demostraciones formales de los temas tratados.

Demostrar varias propiedades utiles de las espacios contables y separados, para luego usaresas propiedades.

13.5.2. Contenido

Tema 1 Axiomas de separacion.

Tema 2 Axiomas de contabilidad.

Tema 3 El lema de Uryshon y el teorema de extension de Tietze.

Tema 4 El teorema de metrizacion de Urysohn.

14. Espacios metricos completos y espacios de funciones

14.0.3. Objetivos Especficos

Que el estudiante sea capaz de entender los conceptos de espacio de funciones.

Aplicar de manera correcta teoremas que conducen a la demostracion de la completez deun espacio.

14.0.4. Contenido

Tema 1 Teorema de Tychonoff.

Tema 2 Ejemplos de aplicacion.

15. El teorema de Tychonoff

15.0.5. Objetivos Especficos

Que el estudiante sea capaz de entender la demostracion del teorema de Tychonoff.

Aplicar de manera correcta el teorema de Tychonoff en problemas referentes a compacidad.

15.0.6. Contenido

Tema 1 Espacios metricos completos.

Tema 2 Funciones uniformemente continuas.

Tema 3 la topologa abierta compacta.

Tema 4 Algunos espacios de funciones.

Tema 5 Los teoremas de Ascholli y Bei.

Tema 6 Introduccion a la teora de la dimension.

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Referencias

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[3] Munkres, J.R. Topology, A first Course, Prentice Hall, New Jersey, 1975.

[4] Rubiano, G. Topologa general, 2 ed. , U.nal. de Colombia, Bogota, 2002.

[5] Lipschutz, S. Teora y problemas de topologa general, Mc Graw-Hill, Mexico, 1980.

[6] Munoz, J. Introduccion a la topologa general, 3 ed. U.Nal. de Colombia, Bta, 1983.

[7] Horvath, J. Introduccion a la Topologa general. Serie matematica. Monografa No.9, O.E.A,

1969.

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