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7/21/2019 Trabajo de Analisis (5)
1/19
PROBLEMAS
1. Descrbase el dominio de los siguientes campos
escalares:
a f(x , y ) ! 4x2y2
Df = 4x2y2 0
Df = x2+y2 4
Df = { (x , y )R2
/ x2+y2 4 }
b f(x , y )= =x+yxy
Df = R2
-{ (x , y )R2
/ xy 0 }
Df = R2 -{ (x , y )R2 / y x }
c f(x , y ) = arccosy
x
z = arccos y
x
cos z =yx
-1 cos z 1 -1 y
x 1 -1
y
x
y
x 1
x+y
x 0 yx
x 0
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Df = { (x , y )R2
/x+y
x 0
yxx
0 }
d f(x , y ) = ln(4x24 y 2)
Df = 4x24y2 > 0
Df = { (x , y )R2
/ x2+4y2
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i ln(4xy)
Df = 4xy > 0
Df = { (x , y )R2
/ xy
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e g ) ()* , +)*,
g ( (x) , (x), 0 ) =
cosx
g ( (x) , (x), 0 ) = cos2x
" f(x , y , z )+g (x , y , z )
2
f(x , y , z)+g(x , y , z)
2 = 2x
2
2 = x
2. Descrbase la gr-ca de las siguientes "unciones:
a f(x , y ) ! 3
b g (x , y ) ! ax+by+c
c h (x , y ) ! x2+y2
d i (x , y ) ! r2x2y2
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e m (x , y ) ! r2a x2b y 2
" n (x , y ) ! y2x2
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0. Describir las cur4as f(x , y ) ! 3 o las supercies
de ni4el f(x , y , z )= 3 , para los siguientes campos
" / los 4alores de 3 5ue se indican:
a f(x , y ) ! 25x2y2 3!,1,$,2,0,6
b f(x , y )= y2+x2 3!,$,0,7,8
c f(x , y )= xy
3!91, 9$, ... , 97
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Para los positi4os
Para los negati4os
niendo graca de positi4os / negati4os:
d f(x , y )= 62x3y
3!,$,0,7,8,1
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e f(x , y , z )= 4x+y+2z 3!0
" f(x , y , z )= x2+y2+z2 3!;
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g f(x , y , z )= x2+y2z2 3!1
# f(x , y , z )= 4x2+4y2z2 3!
6. Determinar 5ue las deri4adas parciales cru'adas
de la siguiente "unci
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f(x , y )={
x3+yx y 3
x2+y2
si (x , y ) (0,0 )
0 si (x , y )=(0,0 )
7. Estudiar la continuidad / la di"erenciabilidad de
la siguiente "unci
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dlim
(x, y ) (0, 2 )sec x tany
lim
(x, y ) (0, 2 )sec 0tan
2
e lim(x, y ) (0,0 )
cos x
2+y2
x+y+1lim
(x, y ) (0,0 )cos0
1
"lim
(x , y ) (2, 2)xy+y2x2
x+1
lim(x , y ) (2, 2)
4+2+42
2+1
lim(x, y ) (2,2 )
0
0
glim
(x , y ) (1,0 )x sen y
x2
+1
lim(x , y ) (1,0 )
sen0
2
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# lim(x, y ) (0,2)(cosx1
x2 )( y2y24 )
lim(x, y ) (0,2)(
cosx1
x2 )( 1y+2 )
x+1cos
cos2x1
x2()(
1
y+2 )
lim(x , y ) ( 0,2)
x+1cos
cos
2x1
x2()(
1
y+2 )
lim(x , y ) ( 0,2)
x+1cos
sin2x
x2() (
1
y+2 )
lim(x , y ) (0,2 )
x+1cos
1
() ( 1
y+2 )
lim(x, y ) (0,2)
1
8
ilim
(x , y ) (1,1 )x
3y
31
x+1
lim(x , y ) (1,1 )
0
2
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@lim
(x , y ) (0,0 )xy
x+y
lim(y ) ( 0)
x0
x+0
=limx 0
x
xlim
(x ) (0 )
! 1
lim(x ) ( 0)
0y
0+y
= limy 0y
y =1lim
(y ) (0 )
3
lim(x , y ) (0,0 )
x
x2+y2
lim
(y ) (0 )
x
x2+0
=limx 0
x
x
lim(x ) ( 0)
! 1
lim(x ) (0)
0
0+y2
= limy 0
0
y
=0
lim(y ) (0)
y=x
lim(x , x ) (0,0)
x
2x2=
lim(x , x ) (0,0 )
x
x 2=2
2
EL LME CO ESE
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llim
(x , y ) (0,0 )xy
|xy|
m
lim(x , y ) (0,0 )
xy
x2
+y2
(
lim(y ) ( 0)
x 0
x2+02
)=limx 0
0=0
limx 0
(lim
(x ) (0 )0y
02+y2
)=limy 0
0=0
limy 0
!*
lim
(x , x ) (0,0)x
2
2x2 =
1
2
EL LME CO ESE
nlim
(x , y ) (0,0 )x y
3
x2+y6
(
lim(y ) (0)
x 03
x2+06
)=limx 0
0=0
limx 0
(lim
(x ) (0 )0y
3
02+y6
)=limy 0
0=0
limy 0
!*
lim(x , x ) (0,0)
x4
x2+x6 =
lim(x , x ) (0,0 )
0
1+0 =0
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olim
(x , y ) (0,0 )x
3
x2+y2
(
lim(y ) ( 0)
x3
x2+02)=lim
x 0
x2=0
limx 0
(lim
(x ) (0)0
3
02+y2)=lim
y 0
0=0
limy 0
!*
lim
(x , x ) (0,0)x
3
2x2 =
lim(x , x ) (0,0 )
x2
2=0
plim
(x , y ) (0,0 )x
2+y2
x2+y2+11
r2=x2+y2
lim(x , y ) (0,0 )
r2
r2+11
lim(x , y ) (0,0 )
r2(r2+1+1)
r2
lim(x, y ) (0,0 )
r2+1+1
1F1!$
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alim
(x , y ) (0,0 )x
3sen (y24 )
(y+2 ) sen x
blim
(x , y ) (0,0 )e
xy1
sen x ln (1+y )
c
lim(x , y ) (0,0 )
y sen (xy )
1ex2+y2
dlim
(x, y ) (0,0)ln (1+y x2 )
tany .1cos (x2+y2 )
8. EstGdiese la continuidad de las siguientes
"unciones:
a{x2+y2 si (x , y ) (1,3)10 si (x , y )=(1,3)
b {xyx+y
si (x , y ) (0,0 )
0 si (x , y )=(0,0 )
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c { x
3
x2+y2si (x , y ) (0,0)
28si (x , y )= (0,0)
d {x
34y3
x24y2
si (x , y ) (0,0 )
0 si (x , y )=(0,0 )
e { xy
4x25y 2
si (x , y ) (0,0 )
0 si (x , y )=(0,0 )
" {x3
sen (y24 )(y+2 ) sinx
si (x , y ) (0 ,2)
0si (x , y )=(0 ,2 )
;. sar la di"erencial dz , para apro*imar la
4ariaci
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resultados de las medidas )en centmetros
apareen en la gura ad@unta. Estimar mediante
de dV el error propagado / el error relati4o al
calcular el 4olumen de la ca@a.12. La altura de un cono circular mide 16cm.
aumenta en ra'
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Apro*imar el m-*imo porcenta@e de error posible
al calcular en las medidas de E / R son $H / 2H,
respecti4amente.
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