View
316
Download
4
Category
Preview:
DESCRIPTION
Trabajo colaborativo No. 2 Métodos numéricos Unad 2015
Citation preview
TRABAJO COLABORATIVO 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE LOS NO LINEALES
METODOS NUMERICOS
Presentado por:
CARLOS ORLANDO INFANTES
VICTOR JULIO JAIMES GELVES
JOAQUIN ALBERTO CUJAR
Presentado a:
JOSE ADEL RIVERA
TUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y DISTANCIA (UNAD)
ESCUELA CIENCIAS BSICAS INGENIERAS
MTODOS NUMRICOS
2015
INTRODUCCIN
Se conoce el anlisis numrico o clculo numrico como una rama de las matemticas que
se encarga de disear algoritmos para, a travs de nmeros y reglas matemticas simples,
simular procesos matemticos ms complejos aplicados a procesos del mundo real.
Los mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es posible formular problemas de
tal forma que puedan resolverse usando operaciones. Aunque hay muchos tipos de mtodos
numricos, todos comparten una caracterstica comn: llevan a cabo un buen nmero de
tediosos clculos aritmticos. Es por ello que la informtica es una herramienta que nos
facilita el uso y desarrollo de ellos. (Ingenieria, 2013)
Los mtodos numricos son un medio para reforzar la comprensin de las matemticas,
aumentando su capacidad de comprensin y entendimiento en la materia.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Desarrollar un trabajo colaborativo sobre sistemas de ecuaciones lineales de los no lineales,
en el curso metodos numericos, comprendiendo y aplicando los conceptos de la unidad II.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Presentacin de un cuadro comparativo entre los sistemas lineales y los sistemas no lineales.
Presentar el sistemas de ecuaciones de la tabla de tiempo y nivel del agua.
Presentar la solucin a los sistemas de ecuaciones de la tabla de tiempo y nivel del agua por cada mtodo: Eliminacin de gauss, Gauss-Jordan y Gauss-Seidel.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
Fase 1. Leer y revisar los conceptos sistemas de ecuaciones lineales de los no lineales.
En matemticas y lgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, tambin conocido como
sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones
lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuacin es de primer grado),
definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de
ecuaciones sera el siguiente:
{
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los ms antiguos de la
matemtica y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de
seales, anlisis estructural, estimacin, prediccin y ms generalmente en programacin
lineal as como en la aproximacin de problemas no lineales de anlisis numrico.
SISTEMAS LINEALES SISTEMAS NO LINEALES
Un sistema es lineal si la salida sigue fielmente
los cambios producidos en la entrada. En la
mayora de los sistemas de control lineales, la
salida debe seguir la misma forma de la entrada,
pero en los casos que la salida no verifique la
misma forma de la entrada, para ser considerado
un sistema lineal la salida deber reflejar los
mismos cambios generados en la entrada.
Un sistema de ecuaciones es no
lineal, cuando al menos una de sus
ecuaciones no es de primer grado.
{
La resolucin de estos sistemas se
suele hacer por el mtodo de
sustitucin.
En matemticas una funcin lineal es aquella que
satisface las siguientes propiedades. Ya que en un
sistema tiene que poner en conjunto de dos o ms
ecuaciones.
1. Aditividad: ( ) ( ) ( ) 2. Homogeneidad: ( ) ( ) Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen
En matemticas, los sistemas no
lineales representan sistemas cuyo
comportamiento no es expresable
como la suma de los
comportamientos de sus descriptores.
Ms formalmente, un sistema es no
lineal cuando las ecuaciones de
como Principio de Superposicin. movimiento, evolucin o
comportamiento que regulan su
comportamiento son no lineales. En
particular, el comportamiento de
sistemas no lineales no est sujeto al
principio de superposicin.
En forma de matriz un sistema de ecuaciones
lineales se puede ver y representar as
1 111 12 1
2 2 221 22
1 2
n
n
n mm m mn
x ba a a
a x ba a
x ba a a
Ax=b
Donde A es una matriz m por n, x es un vector
columna de longitud n y b es otro vector columna
de longitud m.
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar
segn el nmero de soluciones que pueden
presentar. De acuerdo con ese caso se pueden
presentar los siguientes casos:
Sistema compatible: si tiene solucin, en este
caso adems puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado: cuando tiene
una nica solucin.
Sistema compatible indeterminado: cuando
admite un conjunto infinito de soluciones.
Sistema incompatible si no tiene solucin.
Algunos sistemas no lineales tienen
soluciones exactas o integrables,
mientras que otros tienen
comportamiento catico, por lo tanto
no se pueden reducir a una forma
simple ni se pueden resolver. Un
ejemplo de comportamiento catico
son las olas gigantes. Aunque
algunos sistemas no lineales y
ecuaciones de inters general han
sido extensamente estudiados, la
vasta mayora son pobremente
comprendidos.
Las ecuaciones no lineales son
mucho ms complejas, y mucho ms
difciles de entender por la falta de
soluciones simples superpuestas.
Para las ecuaciones no lineales las
soluciones generalmente no forman
un espacio vectorial y, en general, no
pueden ser superpuestas para
producir nuevas soluciones. Esto
hace el resolver las ecuaciones
mucho ms difcil que en sistemas
lineales.
Una ecuacin no lineal es una
ecuacin de la forma: ( ) Se denomina ecuacin lineal a aquella que tiene
la forma de un polinomio de primer grado, es
decir, las incgnitas no estn elevadas a
potencias, ni multiplicadas entre s, ni en el
denominador.
Por ejemplo, es una ecuacin lineal con tres incgnitas. Como es bien
sabido, las ecuaciones lineales con 2 incgnitas
representan una recta en el plano.
Un sistema de ecuaciones es un
conjunto de dos o ms ecuaciones
que comparten dos o ms incgnitas.
Las soluciones de un sistema de
ecuaciones son todos los valores que
son vlidos para todas las
ecuaciones, o los puntos donde las
grficas de las ecuaciones se
intersectan.
Si la ecuacin lineal tiene 3 incgnitas, su
representacin grfica es un plano en el espacio.
Un ejemplo de ambas representaciones puede
observarse en la figura:
Figura Representacin Grafica de la Recta
en el plano y la del plano en el espacio. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto
de ecuaciones lineales de la forma:
En este caso tenemos m ecuaciones y n
incgnitas.
Los nmeros reales se denominan coeficientes
y los se denominan incgnitas (o nmeros a determinar) y se denominan trminos independientes.
En el caso de que las incgnitas sean 2 se suelen
designar simplemente por e en vez de y , y en el caso de tres, en lugar de pero esto es indiferente a la hora de resolver el
sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las
incgnitas para que se cumplan TODAS las
ecuaciones del sistema simultneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentes
cuando tienen las mismas soluciones.
Podemos resolver un sistema de
ecuaciones lineales graficando, por
sustitucin y por combinacin lineal.
Los sistemas de funciones no
lineales, como ecuaciones
cuadrticas o exponenciales, pueden
ser manejados con las mismas
tcnicas.
Ejemplo:
Sistemas de Ecuaciones Lineales y
Cuadrticas
La solucin de este tipo de sistema es
el punto de interseccin entre las dos
rectas, o el lugar donde las dos
ecuaciones tienen los mismos valores
de x y de y. Puede haber ms de una
solucin, no solucin, o un nmero
infinito de soluciones de un sistema
de dos ecuaciones lineales:
Si las grficas de las ecuaciones se
intersectan, entonces existe una
solucin para ambas ecuaciones,
como se indica en al anterior figura.
Si las grficas de dos ecuaciones no
se intersectan (por ejemplo, si son
paralelas), entonces no existen
soluciones para ambas ecuaciones,
como se indica en al anterior figura.
Si las grficas de las ecuaciones son
la misma, entonces hay un nmero
infinito de soluciones para ambas
ecuaciones, como se indica en al
anterior figura.
Sistema Compatible: Tiene solucin.
Compatible Determinado: Tiene una nica solucin
Compatible Indeterminado: Admite un conjunto infinito de soluciones
Sistema Incompatible: No tiene solucin.
Se puede manejar la incertidumbre,
normalmente se genera esta situacin
al existir parmetros que varan en el
tiempo y afectan el sistema de forma
desconocida.
En presencia de una entrada ( ) se cumple: (a) el principio de superposicin, (b) la estabilidad
asinttica implica que para entradas acotadas se
tienen respuestas acotadas, y (c) una entrada
sinusoidal genera una salida sinusoidal de la
misma frecuencia.
Tiempo de escape finito. Una
variable de estado de un sistema no
estable lineal se va a infinito a
medida que el tiempo va a infinito;
en cambio, un sistema no-lineal
inestable puede hacerlo en un tiempo
finito.
Tienen un nico punto de equilibrio
Mltiples puntos de operacin. Un
sistema no-lineal puede tener
mltiples puntos de operacin, los
que pueden ser estables o inestables.
Los estados del sistema convergen a
uno u otro dependiendo del estado
inicial.
El punto de equilibrio es estable si todos los
valores propios tienen parte real negativa
Ciclos lmites. Un sistema lineal
invariante debe tener dos polos en el
eje imaginario para oscilar
permanentemente, lo que no se
puede sostener en la realidad.
Sistemas no-lineales pueden oscilar
con amplitud y frecuencia constante
independiente del punto inicial.
La solucin general puede obtenerse
analticamente
Subarmnico, armnico u
oscilaciones casi-peridicas. Un
sistema lineal bajo excitacin
sinusoidal, genera una salida
sinusoidal de la misma frecuencia.
Un sistema no-lineal ante excitacin
sinusoidal puede generar frecuencias
que son submltiplos o mltiplos de
la frecuencia de entrada. Tambin
puede generar una oscilacin casi-
peridica (suma de componentes con
frecuencias que no son mltiples
entre s).
Mtodos de Solucin:
Sustitucin Igualacin Reduccin Mtodo grfico Mtodo de Gauss Eliminacin de Gauss-Jordan Regla de Cramer
Caos. Se produce en sistemas en que
la salida es extremadamente sensible
a las condiciones iniciales. La salida
no est en equilibrio y no es
oscilacin peridica o casi peridica.
Mltiples modos de comportamiento.
Ms de un ciclo lmite. Dependiendo
de la entrada
(amplitud y frecuencia) la salida
puede exhibir armnicos,
subarmnicos, etc.
SISTEMAS DE ECUCIONES LINEALES
Las ecuaciones 2x + 3y 4z = 5 (1) 3x y + 2z = 2 (2)
representan dos planos en el espacio de tres dimensiones la recta de interseccin contiene
todos los puntos (x,y,z) cuyas coordenadas satisfacen a ambas ecuaciones.
Solucin: para eliminar multiplicamos las ecuaciones (2) por 3 y sumamos el resultado a
las ecuaciones (1).
(3x y + 2z =2) x (3) = 9x 3y + 6z = 6 sumamos: 2x+3y-4z=5
9x-3y+6z=6
11x + 2z=11
despejamos x en este resultado
x= 11-2z = x = 1
11
sustituimos este despeje en ecuaciones (2)
y = 3x+2z-2
(
)+2z-2
y = 33-6z+2z-2
11
y= 33-6z+22z-2
11
y= 33+16z -2
11
y= 3+16z-2z
11
y= 11+16z
11
y= 1+16 z
11
la ecuacin de la recta en formas parametricas es: (x,y,z) = (Xo,Yo,Zo)+(a,b,c).
Por tanto siel vector (x,y,z) es una solucin del sistemas debe ser de la forma
(x,y,z) = (
)
(x,y,z) = (1,1,0)+z (
)
es decir que Xo =1, Yo =1, Zo =0
t = z, a = -2/11, b = 16/11, C = 1
sustituyendo directamente cualquier vector (x,y,z) en la forma parametrica; representa una
sutitucin del sistema por sustitucin tenemos.
2x + 3y 4z =2 (
) (
)
2- 4z + 3 + 48z 44z 11 11 11
5- 4z + 48z 44z 11 11 11
5- 48z + 48z = 5
11 11
y 3x - y + 2z = 3 (
) (
)
3- 6z - 1 - 16z + 22z
11 11 11
2- 6 z - 16 z + 22 z
11 11 11
2- 22 z - 22 z = 2
11 11
el sistema puede escribirse en forma matricial.
[
] [ ] = [
]
SISTEMA DE ECUACIN NO LINEAL
un sistema de ecuacin no lineal es cuando una de sus ecuaciones no es de primer grado.
X + Y = 7
X1 Y = 12
1. se despeja las variables. X + y = 7 = x = 7 y
2. se sustituye y se despeja x. y = 12
(7 y). Y =12 = 7y y2 = 12 resulta una ecuacin de segundo grado y
2 7y + 12 = 0
3. se resuelve esta ecuacin para hallar los valores de y. Factorizamos (y 4) (y 3) = 0 Y - 4 = 0 = y
1 =4
Y - 3 = 0 = y2 = 3
4. despeje X ( x = 7 y) calculamos su valor
X = 7- 4 = X1 = 3
X = 7 -3 = X2 = 4
Solucin:
X1 =3, X2 = 4
Y1 = 4, Y2 =3
FASE 2
2. Realizar aportes que permitan construir un sistema de ecuaciones, de acuerdo a los datos de la siguiente tabla y resolver por los siguientes tres mtodos, Eliminacin de
Gauss-Jordn Gauss-Seidel
Tiempo 4 9 14 x
Nivel de agua 14 50 79 Px
Px=
Px=
14= ( ) ( )2
50= ( ( )2
79= ( ) ( )2
Ecuacin para ser resuelta en los tres mtodos.
|
|
a) Mtodo Gauss Jordn
Respuesta:
X1 =-19.84
X2=
X3= -0.14
1 4 16 14
1 9 81 50
1 14 196 79
1 4 16 14
0 5 65 36
0 10 180 65
1 0 -36 -14.8
0 1 13 7.2
0 0 50 -7
1 4 16 14
0 1 13 7.2
0 10 180 65
1 0 -36 -14.8
0 1 13 7.2
0 0 1 -0.14
1 0 0 -19.84
0 1 0 9.02
0 0 1 -0.14
F2 /5 F2 Y f3 - f1 x (-1)
F3 /50
F1 f2 x (4) y F3 f2 x (10 )
F1 -f3 x (-36) y F3 f2 x (13 )
b. Eliminacin Gaussiana
1 4 16 14
1 9 81 50
1 14 196 79
1 4 16 14
0 5 65 36
0 14 196 79
1 4 16 14
0 5 65 36
0 10 180 65
1 4 16 14
0 5 65 36
0 0 50 -7
+1
=14
+ =36
= -7
La variable X3 sale de la ecuacin (3)
F1 - f2 X (-1)
F1 - f3 X (-1)
F2 - f3 X (-2)
=-4x (
) ( ) (
)
= -19.84
Respuesta:
X1 =-19.84
X2=
X3= -0.14
b) Eliminacin Gauss-Seidel
1. Primero se ordena las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal estn los coeficientes mayores para asegurar la convergencia
16x 4y 1z =14
1x 81y 9z =50
1x 14y 196z =79
50X3=-7, x3 =
= -0.14
La variable X2 sale de la ecuacin (2)
X2=65x3+35 . 5 x = 65 * (
) +36 =
= 9.02
La variable X1 sale de la ecuacin (1)
1 4 16 14
1 9 81 50
1 14 196 79
2. Despejamos cada una de las variables sobre la diagonal
a.
b.
c.
3. Suponemos los valores iniciales son : X=0 Y = 0 y Z=0 reemplazando las variables
y a si calculamos X1
a.
=
= 0,875
b. ( )
= 0, 6064814814
c. ( ) ( )
= 0,3552768329
4. Tenido los valores de X=0 y = 0 y z=0 se realizan las iteranaciones se procede a
sustituir los valores ( se realiz usando formula de Excel)
x y z
0 0,875 0,6064814815 0,3552768329
1 0,7011748276 0,5691522676 0,3588300685
2 0,7102850538 0,5686449917 0,3588198217
3 0,7104125132 0,5686445567 0,3588192025
5 0,7104126607 0,5686446237 0,3588191970
6 0,7104126443 0,5686446245 0,3588191970
7 0,7104126441 0,5686446245 0,3588191970
8 0,7104126441 0,5686446245 0,3588191970
9 0,7104126441 0,5686446245 0,3588191970
d. Comparando los valores calculados entre la sexta y sptima iteracin
0,7104126441=0,0000000002
Dado que se cumple la condicin, el resultado es:
X= 0,71
Y= 0,56
Z= 0,35
FASE 3
Realizar aportes que permitan en las condiciones ideales calcular el polinomio de diferencias
divididas de newton
Tiempo 4 9 14 x
Nivel de agua 14 50 79 Px
Adems identifique los coeficientes de x1 y x2
( ) ( ) ( )
=7, 2
( ) ( ) ( )
f ( )=
= 0,14
x f(x) f(x1) f(x2)
0 14 7,2 0,14
1 50 5,8
2 79
Remplazando valores a la tabla de Diferencias Divididas:
La Ecuacin da:
f (x)= ( ) ( )( )
f(x)= 14 + 7,2x+0,14 (x (x-1))
= 14 + 7,2x + 0, 14( x2-x)
= 14 + 6,2 x + 0,14x
2
= (6,2)
2 4.(0.14) .14=30,6
CONCLUSIN
Por medio de la realizacin de este trabajo adquirimos nuevos conocimientos y se logro
identificar sus propsitos y temticas de cada unidad de estudio, Permitiendo que se
evidencie el contenido del mdulo, orientando a estudiar la aplicacin de los conceptos y
normatividad de los diferentes tipos de ecuaciones como lo son las lineales, no lineales, y
considero que la finalidad de este curso es que se puedan identificar las diferentes
herramientas que se usan en los mtodos numricos para fortalecer nuestros conocimientos
y aplicarlos a nuestra vida cotidiana, es de gran valor esta materia ya que complementa
conocimientos bsicos que tenamos como estudiantes y poder aprovechar los recursos que
el tutor puso a disposicin para la realizacin de este consolidado.
BIBLIOGRAFIA
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/GUIA_2.pdf
http://www.ana.iusiani.ulpgc.es/metodos_numericos/index01.htm
http://campus13.unad.edu.co/campus13_20151/mod/forum/view.php?id=2816
Aporte de los integrantes:
CARLOS ORLANDO INFANTES VICTOR JULIO JAIMES GELVES JOAQUIN ALBERTO CUJAR