Trabajo y Energía INTRODUCCIÓN MECÁNICO TRABAJO Y … · 2020. 8. 2. · Trabajo y Energía. Se...

Trabajo y Energía

Se llama Kingda Ka y está en el parque Six Flags Great Adventure, en Jackson, Nueva Jersey, EE.UU. Tiene una altura de 139 m y alcanza una velocidad de 57,2 m/s (206 km/h) en 3,5 seg. La energía potencial debida a su altura se transforma en energía cinética de movimiento.

Trabajo y EnergíaT

x0 x1Δx

1. Fuerza F actuando sobre un objeto,

2. que se desplaza una distancia Δx

Trabajo

W = F • x

• Definición: W = F • r

kFjFiFF zyxˆˆˆ ++=

kzjyixr ˆˆˆ ++=

),,( zyx FFFF =

),,( zyxr =

F• r = Fx.x + Fy.y

o bien

F• r = F . r . cos

TrabajoT

Trabajo

Si F = cte,

…. reiteramos

Si F= cte,

W = F • x cos

Trabajo

W = F • rF = 12 N

x = 7 m𝜃 = 0 ➔ cos 𝜃 = 1

𝜃 = 180 ➔ cos 𝜃 = -1

𝜃 = 90 ➔ cos 𝜃 = 0

Si F = cte,

(seguimos con F= cte)

• W es un escalar (número)

• F y r son vectores

Trabajo

[W] = 1 Joule = 1 J = 1 N. 1 m = 1 kg m /s2 . m

[W] = Joule = kg m2 /s2 = N.m

W = F• r

Ahora F = f(x)

Trabajo

Por ejemplo? 𝐹 𝑥 = −𝑘𝑥

𝐹 𝑥 = −𝑏v=−b𝑑𝑥

𝑑𝑡𝐹 𝑥

𝐹 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 ln(𝑥/2)

W = F• r ???

Ahora F = f(x)

Trabajo

Δxx0 x Δxx0 x

𝑑𝑥W 𝑑W

𝑑𝑊 = Ԧ𝐹 𝑥 . 𝑑𝑥

W = F(x) x

xxi xf

Wtot = S Wj

Fj,méd

Wj = Fj,méd Dx

= lim0

xidxxFW )(

Trabajo de una Fuerza del tipo F(x)

• Fuerza y desplazamiento unidimensionales• Fuerza NO constante, depende de x

==== cosFrcosFrcosFFW

Trabajo Fx0

Δxx0x1

Si F = cte

W = F • r

xaf += 2vv 2

=x= F.W

Trabajo y EnergíaF

𝑐𝑎𝑠𝑜 𝜃 = 0

W = 𝐾𝑓 - 𝐾0

1 Joule = 1 J = 1 kg m2 /s2

E = Kf - Ki = W

variación de laenergía cinética de una partícula =

Trabajo resultante realizado sobre dicha partícula

0W KK −=

Nueva magnitud Física: La Energía Cinética

Teorema de Trabajo-Energía

W = ΔK

El Trabajo TOTAL efectuado sobre una partícula

es igual a la variación de la energía cinética de la

partícula.

F160 ºF2

𝑊 = 𝐹1. 𝑟 + 𝐹2. 𝑟 = 𝐹1 + 𝐹2 . 𝑟

𝑊 = 𝑊1 +𝑊2 = ∆𝐾

∆𝐾 = 𝑊𝑇𝑜𝑡 =

𝐹𝑖 . 𝑟 = 𝐹𝑟𝑒𝑠 . 𝑟

Si sobre un cuerpo actúan simultáneamente varias fuerzas concurrentes, entonces lasuma de los trabajos producidos por cada una de las fuerzas concurrentes es igual altrabajo realizado por la fuerza resultante .

UW −=

𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣 = −𝑚. 𝑔. 𝑦2 − 𝑦1= 𝑚𝑔 𝑦1 − 𝑦2

𝑊 = − 𝑈2 − 𝑈1 = −∆𝑈

ymgU =

KKK =−= 0WUK −=

Trabajo de la fuerza Peso sobre un objeto que cae:T

1mvmgyEM +=

KUEM += if EE =

UK −= 0=+ UK

iiff KUKU +=+

( ) 0=+ UK

Energía Mecánica de una partícula en el campo gravitatorio

Si sólo la gravedad efectúa trabajo,

entonces la Energía mecánica

EM = K+U

se conserva. En este caso, la energía cinética del

cuerpo se transforma en energía potencial, y viceversa.

Fuerzas ConservativasUna fuerza se dice conservativa cuando es nulo el trabajo que ella efectúa

sobre una partícula que describe una trayectoria cerrada y retorna a la

posición inicial.

WAB+WBA= 0

WAB= -WBA

En ese caso

𝑊𝐹𝐶 = −∆𝑈

Fuerzas Conservativas(def. alternativa)

El trabajo realizado por una fuerza conservativa entre los puntos A y B es

independiente del camino seguido por la partícula entre dichos puntos.

WAB+WBA= 0

𝑑𝑊𝐹𝐶 = −𝑑𝑈

Entonces, cuando hay fuerzas conservativas,

WFNC+WFC = ΔK WFNC-ΔU = ΔK

WFNC = ΔK+ ΔU = ΔE

Cuando no haya….

WFNC = 0 ➔ ΔK+ ΔU = ΔE=0

Ef = Ei

1mgymvmgymv +=+

½ mv2

𝐸𝑀(𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜1) = 𝐸𝑀(𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜2)

𝑚𝑔𝑦2 = 750𝐽

Supongamos m = 1 kg y v1 = 38,7 m/s

𝐸𝑀 =1

2𝑚v1

21𝑘𝑔(38,7

𝑠)2 = 750 J

𝑦2 =750𝐽

𝑚𝑔=

1 × 9,8= 76,5m

2𝑚v1

2 = 𝑚𝑔𝑦2

𝑦2 =v12

2𝑔= 76,5 𝑚

𝑦2 = v12/2g

O BIEN

𝑈 𝑦 = 𝑚𝑔𝑦 = 750𝐽 −1

2𝑚v2

𝑚𝑔𝑦 = 𝐸𝑀 −1

2𝑚v2

-20 0 20 40 60 80 100

m = 1 kg

g = 9.8 m/s2

𝐾 𝑦 =1

2𝑚v2 = 750𝐽 − 𝑚𝑔𝑦

½ mv2

𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑑𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑑ℎ

𝑃. 𝑑𝑠 = 𝑚. 𝑔. 𝑑𝑠 cos 𝜃

𝑃. 𝑑𝑠 = න1

−𝑚.𝑔. cos 𝜃 𝑑𝑠 = −𝑚. 𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝜃 න1

𝑑𝑠

= −𝑚.𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠2 − 𝑠1= −𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1)

𝑠 . 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = ℎ

𝑃 = (𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝛼,−𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝛼)

21 mgymgyW −=

12W KK −=

1mvmvmgymgy −=−

KU =−

( ) 0==+ MEKU

1. Fuerza F actuando sobre un objeto,

2. que se desplaza una distancia r

r1Δr = r1-r0

Mas general…

W = F • r

1. El trabajo es el trabajo de la Fuerza F.

2. Pero en este ejemplo debe haber otras: la fuerza F del ejemplo NO justifica (produce)

el movimiento en la trayectoria de la figura

Trabajo de Fuerzas constantes

𝐹(𝑥) = −𝑘 𝑥Caso de una fuerza F(x): el muelle

𝑊 = න

Ԧ𝐹 𝑥 . 𝑑 Ԧ𝑥

Ԧ𝐹 𝑥 . 𝑑 Ԧ𝑥 = 𝐹(𝑥)𝑑𝑥

𝑊 = න

𝐹 𝑥 . 𝑑𝑥 = න

−𝑘𝑥. 𝑑𝑥 = −12𝑘 (x2

2 – x12)

Energía potencial elástica

UW −=

𝑊𝑚𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒 = −1

2𝑘. 𝑥22 − 𝑥21 = −(𝑈2 − 𝑈1)

𝑊 = − 𝑈2 − 𝑈1 = −∆𝑈

1xkU =

KKK =−= 0WUK −=

Energía potencial elástica

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

1mvkxmvkx +=+

ctemvkxmvkxEM =+=+= 2

21 MM EE =

Trabajo y Energía

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

1)( kxEmvxK M −==

Supongamos m = 1 kg y K = 0.2 N/m

Jv 7.38

7502max =

ctekxmvxUxKEM =+=+= 22

Energía Potencial de 2 átomos

Potencial de Lennard-Jones o 6-12

Sir John Edward Lennard-Jones

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Energía Potencial de 2 átomos

Potencia

WPméd

1 watt = 1 Joule /s

dWPins

En el caso F(x) = cte :

).(Remember derivada?

Si los t se hacen mas y mas pequeños….

Potencia

La aceleración es

Ejemplo: Qué potencia requiere un coche para producir una aceleración de 0 a 100 km/h en 3.7

s si m = 1200 kg ?

𝑎 =∆v

∆𝑡=27,7 Τ𝑚 𝑠3,7 𝑠

= 7,5 ൗ𝑚 𝑠2

V = 100 km/h = 27.7 m/s

𝐹 = 𝑚. 𝑎 = 1200 𝑘𝑔. 7,5 ൗ𝑚 𝑠2= 𝟗𝟎𝟎𝟎 𝐍

𝑃 = 𝐹. v = 9000 𝑁. 27,7 Τ𝑚 𝑠 = 249300 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠

𝑃 = 249,3 𝑘𝑊 ó P = 249300𝑊

746= 334 ℎ𝑝

Comparar«…Concretamente el Nissan Juke-R hace el 0 a 100 km/h en 3.7 segundos, una cifra que sólo se pueden permitir los mejores, los elegidos, un puñado de deportivos que cuestan bastantes millones y que pueden presumir de haber entrado en el selecto club de aquellos que bajan de los 4 segundos.

este pequeño crossover alcanza los 258 km/h sin despegar o desintegrarse por el camino. Obteniendo un buen provecho de los 485 hp de su motor V6.

5050 N

Resumen

✓ Nuestra definición GENERAL del trabajo de una Fuerza F sobre un objeto que se desplaza entre los puntos r0 y r1 es =

✓ Para movimiento unidimensional, y fuerzas constantes, el trabajo realizado por una fuerza (paralela al desplazamiento) sobre un cuerpo es W = F.Δx

✓ El Teorema del Trabajo-Energía dice que el trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo es igual al cambio de energía cinética de dicho cuerpo. W = ΔK

✓ El trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre un cuerpo se transforma en energía potencial W = -ΔU

se conserva. En este caso, la energía cinética del cuerpo se transforma en energía potencial, yviceversa.

✓ Si sólo actúan fuerzas conservativas, entonces la energía mecánica definida como EM = K + U

O bien, es la velocidad de cambio de la energía cinética (o mecánica) de dicha partícula.

✓ La Potencia está relacionada con la rapidez instantánea con la que una fuerza realiza trabajo sobre una partícula.

P = F . v

Coming soon:

▪ Repaso brevísssssimo.▪ Sección ‘la pregunta tonta’.▪ Problemas numéricos

▪ Trabajo y energía en sistemas de partículas.

Sistema aislado (no actúan fuerzas externas): el trabajo de las fuerzas externas es nulo de lo que se deduce que en un sistema aislado la energía propia se conserva.

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