TRANSFORMACIONES LINEALES (Clase 01)...2011/06/28  · TRANSFORMACIONES LINEALES (Clase 01) 28 de...

TRANSFORMACIONES

LINEALES

(Clase 01)(Clase 01)

28 de Junio de 2011

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 1

(Clase 01)(Clase 01)

Departamento de Matemática Aplicada

Facultad de Ingeniería

Universidad Central de Venezuela

1. Transformación lineal

2. Propiedades

3. Representación matricial

Puntos a tratar

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 2

4. Núcleo e imagen

5. Nulidad y rango

6. Inyectividad y sobreyectividad

Sea T una aplicación de Rn en Rm ;

T: Rn Rm

Transformación lineal

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

T se llama Transformación LinealTransformación Lineal si se cumple:

2.

T ( V1 + V2 ) = T( V1 ) + T ( V2 )1.

Transformación lineal

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

T ( c V ) = c T( V ) , c: escalar2.

(x,y)(-x,y)

Ejemplos de transformaciones lineales

ReflexiónReflexión respectorespecto alalejeeje YY. En R2

consideremos laaplicación f tal que

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

aplicación f tal quef(f(x,yx,y)=()=(--x,yx,y)). Es fácilprobar que es unatransformación lineal.

z

Operadores de proyección.Operadores de proyección.La aplicación definida por: T(T(x,y,zx,y,z)=(x,y,0))=(x,y,0)proyecta un vector de R3 a un vector que está en el plano XY

Ejemplos de transformaciones lineales

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

(x,y,z)

(x,y,0)x

y

Ejemplos de transformaciones lineales

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

Probar si las siguientes aplicaciones sonTransformaciones Lineales:

1. T: R2 R2 , T(x,y) = (3x ; x-y )

Ejercicios

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

2. T: R2 R2 , T(x,y) = (x+y ; y2)

Ejercicios

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

1. Transformación lineal

2. Propiedades

3. Representación matricial

Puntos a tratar

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 10

4. Núcleo e imagen

5. Nulidad y rango

6. Inyectividad y sobreyectividad

T(0 ) = 0R mR n

1)

T(a V + b V ) = a T ( V ) + b T( V )21 1 22)

T(a V + a V +... + a V ) = a T ( V ) + a T( V ) +21 k 1k 22 1 21

3)

Propiedades de las transformaciones lineales

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T(a V + a V +... + a V ) = a T ( V ) + a T( V ) +21 k 1k 22 1 21

k k+ ... + a T ( V )

3)

La aplicación T(x;y)=(x-y ; y+x+2)

NO es una Transformación Lineal , ya que: T(0;0)=(0;2)

1. Transformación lineal

2. Propiedades

3. Representación matricial

Puntos a tratar

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 12

4. Núcleo e imagen

5. Nulidad y rango

6. Inyectividad y sobreyectividad

TEOREMA:TEOREMA:

Toda T.L. de R a R se puederepresentar matricialmente como

T( X ) = A X

mn

Representación matricial de una transformación lineal

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

T( X ) = A m x n X

de forma única.

T(x;y)=(2x+y ; 3x+4y) puede escribirse comoT(x;y)=(2x+y ; 3x+4y) puede escribirse como

=

++

=

y

x

yx

yx

y

xT

43

12

43

2

Representación matricial de una transformación lineal

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

+ yyxy 4343

Observar que

=

=

4

1)(

3

2)( jTiT

1. Transformación lineal

2. Propiedades

3. Representación matricial

Puntos a tratar

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 15

4. Núcleo e imagen

5. Nulidad y rango

6. Inyectividad y sobreyectividad

Núcleo e imagen de una transformación lineal

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

Núcleo e imagen de una transformación lineal

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

1. Transformación lineal

2. Propiedades

3. Representación matricial

Puntos a tratar

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4. Núcleo e imagen

5. Nulidad y rango

6. Inyectividad y sobreyectividad

Nulidad y rango de una transformación lineal

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

Nulidad y rango de una transformación lineal

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

1. Transformación lineal

2. Propiedades

3. Representación matricial

Puntos a tratar

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4. Núcleo e imagen

5. Nulidad y rango

6. Inyectividad y sobreyectividad

Inyectividad y sobreyectividad de una transformación lineal

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Pensamiento de hoy

“La gente no se resiste al

cambio. Se resiste a ser

cambiada”.

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cambiada”.

Peter Senge