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Larissa Driemeier
TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO (DTFT) E TRANSFORMADA DISCRETA
DE FOURIER (DFT)
LIVRO TEXTO
Essa aula รฉ baseada nos livros:
2nd ed โ 2007
INTRODUCTION TO
Signal
Processing
Sophocles J. Orfanidis
Rutgers University
http://www.ece.rutgers.edu/~orfanidi/intro2sp
Download gratuito da internet
[1] [2]
TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO
DISCRETO
DTFT
4
FS FT
๐ฅ ๐ก =
๐=โโ
โ
๐ ๐ ๐๐๐๐0๐ก
Harmรดnicos ๐ ๐ distanciados
๐ = ๐0 = 2๐/๐
Sรญntese
๐ ๐ =1
๐
๐
๐ฅ ๐ก ๐โ๐๐๐0๐ก๐๐ก
Anรกlise
Um sinal aperiรณdico pode ser visto como
um sinal periรณdico com um perรญodo infinito.
๐ โ โ e 1
๐โถ
๐๐
2๐
๐ ๐ =
โโ
+โ
๐ฅ ๐ก ๐โ๐๐๐ก๐๐ก
๐ฅ ๐ก =1
2๐
โโ
+โ
๐ ๐ ๐๐๐๐ก๐๐
Anรกlise
Sรญntese
Valores contรญnuos ๐ ๐
๐ฅ ๐ก
๐ก
๐ก๐ =
1
๐๐
2๐ต
๐๐
๐
๐
1
๐ ๐ฅ ๐ก
๐ ๐
๐ ๐
๐ ๐ =1
๐๐ ๐ โ ๐๐๐
๐ฅ ๐ก =
๐
๐ฅ ๐ก ๐ฟ ๐ก โ ๐๐
TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO
๐ฅ ๐ก = ๐ฅ ๐๐ = ๐ฅ(๐ก)๐ฟ๐ ๐ก =
๐=โโ
โ
๐ฅ(๐ก)๐ฟ ๐ก โ ๐๐
๐ ๐ =
โโ
+โ
๐ฅ ๐ก ๐โ๐๐๐ก๐๐ก ฮฉ = ๐๐ =2๐๐
๐๐ +
โ๐ ฮฉ =
๐=โโ
โ
๐ฅ[๐]๐โ๐ฮฉ๐ ๐ฅ ๐ =1
2๐ โ๐
๐
๐ ฮฉ ๐๐ฮฉ๐๐ฮฉ
7
FT
๐ ๐ =
โโ
+โ
๐ฅ ๐ก ๐โ๐๐๐ก๐๐ก
๐ฅ ๐ก =1
2๐
โโ
+โ
๐ ๐ ๐๐๐๐ก๐๐
Anรกlise
Sรญntese
Valores contรญnuos ๐ ๐ do sinal
contรญnuo ๐ฅ(๐ก)
๐ฅ ๐ =1
2๐ โ๐
๐
๐ ฮฉ ๐๐ฮฉ๐๐ฮฉ
๐ ฮฉ =
๐=โโ
โ
๐ฅ ๐ ๐โ๐ฮฉ๐
DTFTSรญntese
Anรกlise
Valores contรญnuos ๐ ฮฉ do sinal
discreto ๐ฅ ๐
EXEMPLO...
๐ฅ ๐ = 1 para ๐ = โ๐,โฆ , 0, โฆ ,๐0 ๐๐
1
๐ฅ[๐]
0M
8
-M
DTFT๐ ฮฉ =
sin ฮฉ 2๐ + 1 2
sin ฮฉ 2
9
DTFT
DTFT nรฃo pode ser computada...
๐ ฮฉ =
๐=โโ
โ
๐ฅ ๐ ๐โ๐ฮฉ๐
๐โ
๐โ๐๐
2
๐๐
Um sinal nรฃo pode ser limitado no
domรญnio do tempo e da frequรชncia ao
mesmo tempo!!!
LIMITAรรO NO DOMรNIO DO TEMPO
DUAL DA AMOSTRAGEM NO TEMPO: AMOSTRAGEM ESPECTRAL
Teorema da amostragem espectral afirma que o espectro ๐ ๐ de um sinal ๐ฅ(๐ก) limitado no tempo pode ser reconstruรญdo das amostras de ๐ ๐ tomadas a uma taxa ๐ ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐ป๐ง se ๐ > ๐ (largura ou duraรงรฃo do sinal, em segundos)
REPLICAรรO PERIรDICA NO TEMPO PRODUZ AMOSTRAGEM ESPECTRAL
14
Ou seja, o espectro periรณdico ๐ฅ๐0 ๐ก resulta no espectro de ๐ ๐ amostrado. Desde
que ๐0 > ๐, os ciclos sucessivos nรฃo se sobrepรตem e ๐ฅ(๐ก) pode ser recuperado de
๐ฅ๐0 ๐ก . Tal recuperaรงรฃo implica indiretamente que ๐(๐) pode ser reconstruรญdo de
suas amostras.
๐ฅ๐0 ๐ก =
๐=โโ
โ
๐ ๐ ๐๐๐๐0๐ก , ๐0 =2๐
๐0
๐ ๐ =1
๐0๐ ๐๐0
CONDIรรO PARA RECUPERAรรO DO SINAL
๐
๐0 > ๐
๐0 =1
๐0<
1
๐๐ป๐ง
๐ =1
๐0> ๐ ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ /๐ป๐ง
๐0
๐
๐
๐กโ
๐กโ
๐กโ
๐๐ =1
๐
๐0 =1
๐0
๐โ
๐โ
๐โ
๐๐ 2
๐๐
Periodicidade implรญcita ร DFT
๐ฅ ๐ =1
2๐ โ๐
๐
๐ ฮฉ ๐๐ฮฉ๐๐ฮฉ
๐ ฮฉ =
๐=โโ
โ
๐ฅ ๐ ๐โ๐๐๐
18
DTFT DFTSรญntese
Anรกlise
๐ฅ ๐ =1
๐
๐=0
๐โ1
๐ ๐ ๐๐2๐๐
๐๐
๐ ๐ =
๐=0
๐โ1
๐ฅ ๐ ๐โ๐2๐๐
๐๐
Sรญntese
Anรกlise
EXEMPL0
๐ฅ ๐ก = 5 + cos 2๐๐ก โ ๐ 2 + 3 cos 4๐๐ก
O sinal serรก amostrado ร ๐๐ = 4 ๐ป๐ง, de ๐ก = 0 atรฉ ๐ก =3
4.
Nyquist
DTFT VS DFT
A DTFT รฉ a transformada de Fourier (FT convencional) de um sinal de tempo discreto. Sua saรญda รฉ periรณdica e contรญnua em frequรชncia.
A DFT pode ser visto como a versรฃo de amostragem (no domรญnio da frequรชncia) da saรญda DTFT. Ela รฉ usada para calcular o espectro frequรชncia de um sinal discreto no tempo usando o computador, jรก que os computadores sรณ podem lidar com um nรบmero finito de valores. A DFT e a sua inversa estรฃo implementadas no Matlab como fftand ifft
21
DFT
Na verdade o que se deseja รฉ: FT (Transformada de Fourier)
No entanto o que รฉ realmente realizado รฉ a : DFT(Transformada Discreta de Fourier)
DFT รฉ uma amostragem da TDFT, que รฉ a FT em tempo discreto, no domรญnio da frequรชncia
22
DENTRO DO COMPUTADOR
ERROS ACUMULADOS...
x(t)Conversor
ADx[n]
x[0]
x[1]
.
.
.
x[n]
DFT via FFT X[0]
X[1]
.
.
.
X[n]
FT
DTFT do sinal completo
aliasing
sinal truncado
DFT do sinal truncado
23
DTFT VS DFT EM DOIS CASOS...
24
DFT E DTFT: CASO DE DURAรรO FINITA
Se ๐ฅ[๐] = 0 para ๐ < 0 e ๐ ๐, entรฃo a DTFT รฉ:
Se, com N amostras computa-se a DFT, entรฃo...
Comparando-se os dois casos:
๐ ฮฉ =
๐=โโ
โ
๐ฅ ๐ ๐โ๐ฮฉ๐ =
๐=0
๐โ1
๐ฅ ๐ ๐โ๐ฮฉ๐
๐ ๐ =
๐=0
๐โ1
๐ฅ ๐ ๐โ๐2๐๐
๐๐ ๐ = 0,1,2, โฆ , ๐ โ 1
๐ ๐ = ๐ ๐2๐/๐
25
Os pontos da DFT caem sobre a curva definida
pela DTFT. Isto รฉ, ๐ ๐ sรฃo amostras de ๐ ๐em ฯ = ๐2๐/๐.
๐ ๐ ๐ ๐
26
TRUQUE ZERO-PADDING
Depois de coletados os N pontos de amostragem, colocamos alguns zeros adicionais ao final da lista para enganar o processo DFT (como sรฃo zeros nรฃo alteram os valores na soma DFT).
Supondo que tenhamos Nz pontos, incluindo os zeros que adicionamos...
O espaรงamento entre os pontos da DFT serรก de 2ฯ/Nz, que รฉ menor que 2ฯ/N.
No MatLab,
๐ = ๐๐๐ก ๐ฅ, ๐โฒ ; % ๐น๐น๐ ๐ ๐๐ง๐ ๐โฒ = ๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐ ๐ง๐๐๐๐ > ๐๐๐๐๐กโ(๐ฅ)
27
EXEMPLOIMPORTรNCIA DO ZERO-PADDING
1. Fazer a DFT da sequรชncia ๐ฅ[๐] com 9 pontos.
2. Utilizar o truque do zero-padding para 16, 32, e 64 pontos.
DTFT do sinal ๐ฅ[๐] foi jรก mostrado
๐ ฮฉ =1 โ ๐โ๐9ฮฉ
1 โ ๐โ๐ฮฉ1
๐ฅ[๐]
04-4
28
29
๐ = ๐ฮ๐ก = 1 ๐
๐ฅ ๐ก = cos๐
4๐ก + 3 cos
๐
2๐ก + sin
3๐
4๐ก
k = 0:7;
f16 = [cos(2*pi.*k/8) + 3*cos(4*pi.*k/8)+ sin(6*pi.*k/8) zeros(1,8)];
f256 = [f16 zeros(1,240)];
plot(0:255,abs(fft(f256)),'o');
hold;
stem(0:16:255, abs(fft(f16)),'filled');
๐
๐ ๐
DFT E DTFT: CASO DE DURAรรO INFINITA
Nossa amostragem tem uma dimensรฃo finita... E o sinal real รฉ maior que essa amostragem.
๐ฅ ๐ ๐ = โฏ ,โ3,โ2,โ1,0,1,2,3, โฆ
Obviamente, perdemos informaรงรฃo...
32
Imagina-se que o sinal tenha
duraรงรฃo finita...
E aรญ pode-se calcular a DFT de N
amostras:
๐๐ ๐ =
๐=0
๐โ1
๐ฅ๐ ๐ ๐โ๐2๐๐๐/๐
A questรฃo รฉ: qual a relaรงรฃo entre a DFT obtida do sinal
truncado ๐๐ต ๐ em relaรงรฃo ร quela obtida com ๐ ๐ ?
๐ฅ๐ ๐ = ๐ฅ ๐ para ๐ = 0,1,2, โฆ ,๐ โ 10 ๐๐
para ๐ = 0,1,โฆ ,๐ โ 1
33
O que QUEREMOS ver
Verdadeira DTFT:
๐ ฮฉ =
๐=โโ
โ
๐ฅ ๐ ๐โ๐๐๐
A visรฃo DISTORCIDA do que
queremos ver
DTFT do sinal truncado:
๐๐ ฮฉ =
๐=โโ
โ
๐ฅ๐ ๐ ๐โ๐๐๐
=
๐=0
๐โ1
๐ฅ ๐ ๐โ๐๐๐
๐๐ ฮฉ =
๐=0
๐โ1
๐ฅ ๐ ๐โ๐๐2๐๐
๐
DFT do sinal coletado:
O que PODEMOS ver
DFT รฉ uma amostra
da DTFT do sinal
truncado
DFT nรฃo mostra a
DTFT do sinal
completo
Vamos entender qual o erro que estรก na DTFT truncada e, consequentemente, na DFT.
Depois disso, entender como minimizar o erro! 34
๐๐ ฮฉ =1
2๐ โโ
โ
๐ ๐ ๐๐ ฮฉ โ ๐ ๐๐
Vamos entender como ๐๐(ฮฉ) se
relaciona com ๐(ฮฉ) !!!!
Convoluรงรฃo no domรญnio da frequรชncia...
๐ฅ๐ ๐ = ๐ฅ ๐ ๐ข๐ ๐
DTFT
๐๐ ฮฉ =sin ๐ฮฉ 2
sin ฮฉ 2๐โ๐ ๐โ1 ฮฉ/2 ๐ = 2๐ + 1
Causa distorรงรฃo de ๐ ๐
Quanto mais dados coletar, menor รฉ a distorรงรฃo, dado que
๐๐ ฮฉ โ ๐ฟ ฮฉ35
๐ข๐ ๐ = ๐ข[๐]๐ข ๐ โ ๐
EXEMPLO...
36
PONTOS SOBRE SINAL DE DURAรรO INFINITA...
DTFT de um sinal coletado รฉ uma versรฃo distorcida da DTFT do sinal de duraรงรฃo infinita ;
A DFT do sinal representa pontos da curva DTFT โuma visรฃo nรฃo exata da verdadeira DTFT!
Nosso truque Zero-padding aumenta a densidade de pontos da DFT, gerando uma visรฃo melhor da DTFT distorcida!
37
DENTRO DO COMPUTADOR
ERROS ACUMULADOS...
X(t)Conversor
ADx[n]
x[0]
x[1]
.
.
.
x[n]
DFT via FFT X[0]
X[1]
.
.
.
X[n]
FT
DTFT do sinal completo
aliasing
sinal truncado DFT do sinal truncado
38
LEAKAGE... OUTRO PROBLEMA DO SINAL TRUNCADO
39
JANELAMENTO
Diferentes tipos de janelas podem ser utilizados.
A mais simples รฉ a retangular, que รฉ igual a 1 durante o intervalo de tempo que se pretende analisar, e igual a zero fora desse intervalo.
Componentes
importantes a altas
frequรชncias sรฃo
atenuadas pelos
lรณbulos secundรกrios
Lรณbulo principal define
a resoluรงรฃo: largura
de โ4๐
๐
๐ ๐
๐
40
41
N=25
N=50
JANELAMENTO
42
Quanto mais estreito for o lรณbulo principal, melhor a resoluรงรฃo frequencial. No entanto, quanto mais estreito o lรณbulo principal, mais altos se tornam os lรณbulos laterais, que aparecem como ruรญdo de fundo no espectrograma. A janela retangular fornece boa resoluรงรฃo frequencial, mas os lรณbulos laterais sรฃo muito altos, resultando em muito ruรญdo de fundo.
OUTRAS JANELAS...
As janelas de Hamming e Hanningsรฃo criadas com base em funรงรตes trigonomรฉtricas.
43
HANNING
44
HANNING
Por exemplo, a janela de Hanning (tambรฉm chamado de Hann), em homenagem ao vienense Julius Ferdinand von Hann (1839-1921), รฉ dada por:
๐ค ๐ =1
21 โ cos
2๐๐
๐ โ 1๐ = 0,โฆ ,๐ โ 1
No MatLab,
๐ค = โ๐๐๐๐๐๐(๐); ou ๐ค = โ๐๐๐(๐);
Que equivalem, respectivamente, a:
๐ค = .54 โ .46 โ cos(2 โ ๐๐ โ (1:๐)โฒ/(๐ + 1));
๐ค = .54 โ .46 โ cos(2 โ ๐๐ โ (0:๐ โ 1)โฒ/(๐ โ 1));>> hanning(3)
ans = 0.5 1 0.5
>> hann(3)
ans = 0 1 0
45
HAMMING
46
HAMMING
O janelamento comeรงa em 0,08, sobe para 1 no meio do perรญodo, e depois cai novamente atรฉ 0,08 no final.
๐ค ๐ = 0,54 โ 0,46 cos2๐๐
๐ โ 1, ๐ = 0,โฆ ,๐ โ 1
No MatLab,
๐ค = โ๐๐๐๐๐๐(๐);
Que รฉ equivalente a:
๐ค = .54 โ .46 โ cos(2 โ ๐๐ โ (0:๐ โ 1)โฒ/(๐ โ 1));>> hamming(3)
ans = 0.0800 1.0000 0.0800
>> hamming(3,'symmetric')
ans = 0.0800 1.0000 0.0800
>> hamming(3,'periodic')
ans = 0.0800 0.7700 0.7700
>> hamming(4)
ans = 0.0800 0.7700 0.7700 0.0800
Opรงรฃo โperiodicโ no MatLab utiliza ๐ em vez
de ๐ โ 1
47
48
FT
DFTโ
DFTN
DFT
Erro de aliasing: controlar
atravรฉs da escolha
apropriada da taxa de
amostragem
Erro de distorรงรฃo
(smearing): controlar
atravรฉs da escolha
apropriada do tamanho da
amostra e do uso de
windowing
Erro de Grid: controlar
atravรฉs da escolha
apropriada do
tamanho da amostra N
e do uso do truque de
zero padding.
Este รฉ o รบnico dado
que conseguimos
computar... Com
todos esses erros
pendurados...
49
EXEMPLO
Vamos analisar o sinal sinusoidal composto de trรชs frequรชncias,
๐ฅ = cos(2๐๐1๐๐) + cos(2๐๐2๐๐) + cos(2๐๐3๐๐)
onde ๐๐ รฉ a taxa de amostragem, e ๐๐ =1
๐๐ รฉ o perรญodo de
amostragem.
๐2๐๐1 2๐๐2 2๐๐3
50
ALIASING
๐1 = 2000 Hz
๐2 = 2500 Hz
๐3 = 3000 Hz
๐๐ = 200 Hz ; ๐๐ = 5000 Hz ; ๐๐ = 10000 Hz
51
FFT (FAST FOURIER TRANSFORM)
ร simplesmente uma forma mais rรกpida de calcular a DFT: A FFT utiliza alguns algoritmos que permitem reduzir o nรบmero de operaรงรตes para Nlog2N
Para utilizar a FFT, รฉ necessรกrio que o nรบmero de amostras seja uma potรชncia de 2 โ a FFT รฉ executada mais rapidamente com um vetor cujo comprimento รฉ uma potรชncia de 2.
Para ๐ = 1000, ๐ท๐น๐ = 1 000 000, ๐น๐น๐ = 10 000 operaรงรตes
A FFT no Matlab
Matlab permite o cรกlculo fรกcil da DFT via FFT. Se tivermos um vetor ๐ด, de ๐elementos,
>>๐น๐น๐๐๐๐ด = ๐๐๐ก(๐ด);
52
ENTENDENDO UM POUCO MAIS A FFT
Com o exemplo de uma amostra de 30 pontos de uma funรงรฃo cosseno, frequรชncia de 10 amostras por perรญodo.
Serรฃo analisadas duas situaรงรตes: 3i. diferentes valores de N na fft: fft(x,N)
ii. Diferentes valores de N na amostragem aumentando o nรบmero de perรญodos e mantendo a taxa de aquisiรงรฃo constante
53
FIM!
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