Transformada de laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

CABUDARE, 28 de Marzo de 2012.

UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICE RECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE MANTENIMIENTO MECÁNICO

ESCUELA DE TELECOMUNICACIONESESCUELA DE COMPUTACIÓN

ESCUELA DE ELÉCTRICA

Alumno: Fremy Daniel Salazar Guedez C.I. 16.950.699Materia: Matemática IV Carrera: Ing. Mantenimiento Mecánico

1).Utilizar la definición de transformada de laplace y resolver la siguiente función.

Solución al No 1

F (t) = 53

t2 - √7 + 5 cos √3 t

Definición:

f ( s )=L {f ( t ) }=∫o

x

e❑−st f (t )dt

∫o

x

e−s .t( 53t2−√7+5 cos√3t )dt

53∫o

x

e−s . t t2dt−√7∫0

x

e−s .t dt+5∫0

x

e−s . t cos√3 . t . dt

Resolvemos cada una de las integrales:

Primera integral:

53∫o

x

e−s . t. t 2 dt

U= t2

du= 2t dt

ʃ dv = ʃ e-st dt = - Se – s.t

Utilizamos la integración por parte.

u . v - ʃ v. du

t2 . (- s.e –s. t ) – ∫o

x

−s . e−s . t .2t . dt

-s.t2.e-s.t + 2 ʃ t . s.e-s.t dt

Integramos de Nuevo por partes:

U= t du= dt

1

ʃdv = ʃs.e-s.t = - s2 e-s.t

2( - s2t + s2 ʃe-st dt

-2 s2 t + 2 s3 e-st

Luego:

-s.t2.e-s.t – 2.s2 t – 2.s3 e-s.t

Luego evaluamos la primera integral.

(- sx2 e-5 x – 2 s 2 x – 2 s3 e-5x) – (-2 s3 e –s (0))

Resultado de la primera integral.

Segunda integral.

−√7∫0

x

e−s .t dt=+s √7 e−s .t X

O

Evaluamos:

s√7e-sx + s√7e-s (0)

Resultado de la segunda integral.

Tercera integral.

s∫o

x

e−st cos√3 t . dt

U= cos√3 t

du= -√3 sen √3 t. dt

∫ dv=∫e−st=−S e−st

-sx2 e-s x -2 s2 x – 2 s3 e-s x + 2 s3

s√7e-sx + s√7

x

0

u . v−∫V .du

−Se−st.cos√3 t−s √3∫e−st . sen √3 t . dt

Integramos de Nuevo.

U= sen √3 t

Du= √3 . cos√3 t

∫ dv=∫e−st . dt=−Se−st

−Se−st . sen √3 . t−∫ Se−st .√3 cos√3 t. dt

Luego.

s∫o

x

e−st cos√3 . t . dt=−S e−st cos√3 t

−Se−st . sen √3 . t−s∫o

x

e−st √3 cos √3 t. dt

s∫o

x

e−st cos√3 . t . dt+s∫o

x

e− st .√3cos√3 t dt=−Se−st cos √3 t−Se−st Sen √3 t

s√3+s∫o

x

e−st cos√3 t . dt=−S e−st .cos√3t−Se− st sen√3 t

∫o

x

e−st cos√3t dt=−s e−s t cos√3 t−S e−st sen√3 tS√3+S

Evaluando.

Resultado de la tercera integral:

Luego unimos los tres resultados de las tres integrales

∫o

x

e−st cos√3t . dt=−se− sxcos√3x−S e−sx . sen√3 xS √3+S

53 [−Sx

2 e−Sx−2S2 X−2S3 e−Sx+2S3+S √7e−Sx+S √7

(−Se−sx .cos √3 X−S e−sx . Sen√3 X2 ) ]

2).- Utilizar propiedades y tabla para determinar la transformada de Laplace enuncie las

propiedades antes de resolver. Simplifique los resultados.

A) F (t)= 72 e4 t (

23 cos2√5 t +2 cosh 2√3 t - at 7).

F (t)= 73

e4 t. cos2√5 t +7 e4 t2 cosh 2√3 t – 14 e4 t.t 7).

C (1s

). 1s−a

.s

s2+a2 + + c (1s

).1s−a

. s

s2+a2 - C (1s

). 1s−a

. n¡

sn+1

Ver tabla las propiedades que se aplicaron:

Fueron la 1), 2), 3), 4), 5), y 7).

Simplificando tenemos factor común.

C (1s

).1s−a

s

s2+a2 + s

s2−a2 - ( n!

sn+1¿

B) F (t)= 35t 6 senh2t−5

sen3 t

t 2

F (t)= 185t senh2t−3 t

sen3 t

t 2

Aplicando las formulas

2), 8), 6) Y 3) tenemos:

185

. (1s

). a

s2+a2 - 3 (1

s2 ) .a

s2+a2

C) F(t)= L

Aplicamos las propiedades:

5), 4) y 3).

-4.1

s2+a2 - 18 . 1s−a + 12.

n!

sn+1

f 11 (t) Si F (t)=

34

cos 2t - 2 e−3 t + 35

t 5

f , (t) = - 84

sen 2t + 6 e−3 t+3 t 4

f ¿ (t) = - 4 cos 2t - 18 e−3 t+12 t 3

f(t) =L -4 cos 2t - 18 e−3 t+12 t 3

n!

sn+1

−4

s2+a2 - 12n !

sn+1

3) Aplicar tabla, simplificación y método correspondiente para determinar L−1 F (S) = F (t)

Ver tabla de transformada inversa.

a) L−1 7 ( s - 34 ) - √5 5 (s-5) + √7 7s -4 4√5

3 ( s - 34

¿2 - 12 9 (s2 - 10 s + 25¿3 8s2−18 s2 +47

F (t)= + + c eat+ c + ebt coshat+¿¿ c

c. ebt senata

b) 4s + 7 6s - 4

s2 + 53

s + 174

s2 - 13

s + 20

Solucion:

F (t) =

c. t n−1 eat

(n−1 ) !

c eat- c

sen ata

++ +

- -L−1

c osat cebt senata

- ebt cos ¿̂

s2 + 2 s + 3

Solucion:

4) Utilizar el teorema de Convolucion y determine:

Solucion:

F *g = 1

√2 π ∫ ∞

−∞ f ( ¿ g (x-u) du

F ( u¿= 2√5=¿¿ C

g (x-u)= s3 (s3 + 2) = t n−1 ( cos at)

Luego:

F *g = 1 ∫ ∞−∞ C. ( t n−1 ) cos at dt

c)

s2 + 2 s + 3

L−12√5

s3 ( s2 + 2 )

(n-1) !

(n-1) !√2π

5) Determine el semiperiodo del seno de Fourier para F(X) =4X ; 0 ¿ X ¿ 1.

Realizar el espectro de la función.

Solución:

an= 0 bn= 2l

∫ l0

f (X) - sen nπ x . dx

2∫10

4x. sen π x dx

u . v− ʃ v . du u= 4x Du= 4. dx

Du= ∫ sen πx=−π cos π x

2 ( 4x. ( - π cos π x ) - ∫−¿¿ π cos π x. 4 dx

-8 π x π x+4 π∫ cos π x . dx

-8 π x. cos π x+4 π .π sen πx

( -8 π cos π+4 π 2 . sen π ) - (0)

L

1

0

8+0= 8

1

0

El espectro de esta función es:

6). Desarrolle la expansión y realice el espectro de fourir de la función.

F ( x) =

Solución:

1 si 0 ≤ x ≤ 1

(2 - x) si 1 ≤ x ≤ 2T=2

-1-2 1 2

F (X)

Periodo

0-1 1

F (X)

4X

F (t ) L {F (t ) }=f (s )

c

c( 1s )

t ( 1

s2 )tn ( n !sn+1 )eat 1

s−a

cos at s

s2+a2

senata

s2+a2

cosh at s

s2−a2

Tabla de transformada directa de Laplace de funciones elementales utilizadas en el trabajo realizado. (Enumeradas)

1

2

3

4

5

6

7

senata

s2−a2

L−1 { f (s ) } F (t )

C (1s ) C

( 1

s2 ) t

( 1

sn ) tn−1

(n−1 ) !

( 1s−a ) eat

1

(s−a )ntn−1eat

(n−1 ) !

s

s2+a2 cos at1

s2+a2senata

1

s2−a2

senhata

Tabla de transformada inversa de laplace.

8

s

s2−a2 cosh at

(s−b )(s−b )2+a2 ebt cosat

1

(s−b )2+a2ebt senata

( s−b )(s−b )2−a2 ebt cosh at

1

(s−b )2−a2ebt senhat

a