TRANSITORIOS EN SISTEMAS ELECTRICOS - mty.itesm.mxf3n_9.pdf · 14 Problema 1.- De acuerdo con el...

TRANSITORIOS EN SISTEMAS ELECTRICOS

Dr. Armando Llamas

Dr. Federico Viramontes

Octubre 10 de 2011

Agenda.

• Solución del problema 1.

• Solución del problema 2.

• Solución del problema 3.

• Ondas viajeras.

2

3

Problema 1.- La curva de magnetización de un transformador se describe

con los siguientes puntos:

Corriente (A) 0 0.5 1.0 3.0 5.0 10.0 14.0 19.0

Densidad de flujo

(T)

0 0.56 0.8 1.34 1.52 1.64 1.68 1.70

La densidad de flujo máxima normal es de 1.0 T. Antes de energizar el

transformador, la densidad de flujo es de + 0.45 T. El voltaje de

energización hace que el flujo aumente positivamente y está 10

antes

del pico. Determine el pico transitorio de la corriente de energización.

Nota: Este es el problema 5.7 del libro de texto.

4

Problema 1.-

i

v

Ф

t)sen(ω2I

)90- tcos(ω2X

Vi

09X

V

JX

0V

0V

t)cos(ω2Vv

:estable estadoEn

l

ll

I

V

5

Problema 1.-

f

0

λ

λ

t

0

2

t)dtcos(ω2V dλ

t)cos(ω2Vdt

dλe

R

iN λ Nφ

R

i N φ

6

Problema 1.-

t)sen(ωω

2V λ

0.0 λ si

t)sen(ωω

2V λ λ

t)sen(ωω

2V t)sen(ω

ω

2V λ λ

f

0

0f

t

0

0f

7

Problema 1.-

8

Problema 1.-

i=0.75

9

Problema 1.-

0=1.0

10

Problema 1.-

11

Problema 1.-

3.5 λ 2.5i

2 λ si

λ 0.75i

2 λ si

1.0λ0

12

Problema 1.-

3.5 λ 2.5i

2 λ si

λ 0.75i

2 λ si

13

Problema 1.-

1 NAω

2V

t)sen(ω NAω

2Vβ

t)cos(ωNA

2V dβ

dt

dβNA

dt

dλ t)cos(ω2Vv

NAβ Nφλ

t

0

β

0

t

0

14

Problema 1.-

De acuerdo con el problema, t=0 cuando faltan 10

para alcanzar el

punto máximo.

15

Problema 1.-

A 9.3167i

T 1.6236β

)sen(-10)10- tsen(ω0.45 β

)10- tsen(ω NAω

2V0.45 β

)dt10- tcos(ωNA

2V dβ

m

max

t

0

B

0.45

t

0

16

Problema 1.-

17

Problema 5_7 Problema 5_7

(100°, 9.32 A)

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

0 90 180 270 360

grados eléctricos, °

v, V

; B

, T

-10.00

-8.00

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

i, A

v

B

i

Bfi

tttB

tttv

10sin10sin0.145.080cos80cos0.145.0)(

10cos0.180sin0.1)(

18

Microtran – Inductancia no lineal i, A -19 -14 -10 -5 -3 -1 -0.5 0 0.5 1 3 5 10 14 19

Vs/rad -1.7 -1.68 -1.64 -1.52 -1.34 -0.8 -0.56 0 0.56 0.8 1.34 1.52 1.64 1.68 1.7

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

19

MicroTran- Condiciones iniiciales

20

Archivo MicroTran * * . . . . . . . Case identification card Prob 5-7 del libro Greenwood * * . . . . . . . Time card 4.6296E-5 .05 * * . . . . . . . Nonlinear inductance (card 1) 93 A 1 * * . . . . . . . Nonlinear inductance (card 2) -19 -1.7 -14 -1.68 -10 -1.64 -5 -1.52 -3 -1.34 -1 -.8 -.5 -.56 0 0 .5 .56 1 .8 3 1.34 5 1.52 10 1.64 14 1.68 19 1.7 9999999. $ = = End of level 1: Linear and nonlinear elements = = = = = = = = = = = = $ = = = End of level 2: Switches and piecewise linear elements = = = = = = = = * * . . . . . . . Voltage or current sources 14 A 376.99 60 -10 $ = = = End of level 3: Sources = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = * * . . . . . . . Initial conditions (currents) 4 A 0 0.45 1 **** All voltages will be printed **** $ = = = Level 5: End of data case = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Vpk = 376.99 V

f = 60 Hz

= -10°

i, A -19 -14 -10 -5 -3 -1 -0.5 0 0.5 1 3 5 10 14 19

Vs/rad -1.7 -1.68 -1.64 -1.52 -1.34 -0.8 -0.56 0 0.56 0.8 1.34 1.52 1.64 1.68 1.7

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

I0 = 0 A, 0 = 0.45 Wb t (V s /rad)

A

t = 1/60/360 = 4.6296E-5

tf = 3/60 = 0.05

21

Gráfica MicroTran

Problema 2.

Ejercicio 1.- La figura muestra un transformador trifásico de:

230 kV Δ / 34.5 kV Y, 100 MVA, con X=0.1 pu, conectado a

un bus infinito. El sistema opera con una frecuencia de 60 Hz.

Cerca de sus terminales de baja tensión, en el punto P,

ocurre una falla trifásica de línea a tierra. Para éste caso

calcule:

22

Problema 2.

a) La corriente de falla.

b) El tiempo que tarda en aparecer el pico del

voltaje de recuperación transitoria, después de

que el interruptor elimina la falla. Asuma que

en el lado de baja tensión hay una

capacitancia por fase, del sistema, de 12.7 nF.

Este es el problema 3.5, que se encuentra en

la página 58 del libro de texto.

23

Problema 2.

V )os(376.99t28,169.13c

t)*60* cos(2π23

10*34.5v

Ω 1.1903 11.9025*0.1X

Ω 11.9025100

34.5Z

MVA 100 S kV, 34.5 V

a. Inciso

3

t

2

base

basebase

24

Problema 2.

I 010

3

34.5 3

gV

A )90os(376.99t23,666.57ci

90416,734.087J1.1903

0319,918.584

I

25

Problema 2.

clear;

dtp=1/(60*500);

tp=1/60;

j=1;

t(j)=0.0;

while t(j) <= tp

v(j)=28169.13*cos(2*pi*60*t(j));

i(j)=23666.57*cos(2*pi*60*t(j)-pi/2);

j=j+1;

t(j)=t(j-1)+dtp;

end;

while t(j) <= 2*tp;

v(j)=28169.13*cos(2*pi*60*t(j));

i(j)=0.0;

j=j+1;

t(j)=t(j-1)+dtp;

end;

v(j)=28169.13*cos(2*pi*60*t(j));

i(j)=0.0;

plot(t,v, t,i);

grid

xlabel ('Tiempo, s.')

ylabel ('Voltaje, V, y Corriente, A.')

title ('CORTO CIRCUITO EN ESTADO ESTABLE')

axis ([ 0 0.035 -3.5e04 3.5e004])

Inciso b.-

26

Problema 2.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

-3

-2

-1

0

1

2

3

x 104

Tiempo, s.

Voltaje

, V

, y C

orr

iente

, A

.

CORTO CIRCUITO EN ESTADO ESTABLE

i

v

Inicia el voltaje de

recuperación transitoria

27

Problema 2.

vrt

Suposición: vg=28,169.13 V

i0=0.0, vc0=0.0

i

28

Problema 2.

u(t) tLC

1sen

L/C

Vu(t) t

LC

1senLC

L

Vi(t)

1/LCs

1

L

VI(s)

s

V

LCs

1sI(s)L

Cs

1LsI(s)I(s)

Cs

1LsI(s)V(s)

0.0y v 0.0i :doConcideran

)dλ i(λC

1

dt

diLv

2

c00

t

29

Problema 2.

sμ 19.893/2tpico alllegar para Tiempo

V u(t)3.62t)cos(157,92128,169.132v

sμ 39.786ω

2π tr/s , 157,923.62

LC

1 ω

u(t) tLC

1cos1V λ

LC

1cosV

dλ λ LC

1sen

L/C

V

C

1v

:Finalmente

p

p

t

0

t

0rt

30

Problema 2.

clear;

l=3.1572e-03;

c=12.7e-09;

w=sqrt(1.0/(l*c));

dtp=1/(60*500);

tp=2*pi/w;

dtp=tp/500;

j=1;

t(j)=0.0;

while t(j) <= tp*4

v(j)=28169.13;

vrt(j)=v(j)*(1.0-cos(w*t(j)));

j=j+1;

t(j)=t(j-1)+dtp;

end;

v(j)=28169.13;

vrt(j)=v(j)*(1.0-cos(w*t(j)));

plot(t,v, t,vrt);

grid

xlabel ('Tiempo, s.')

ylabel ('Voltaje, V')

title ('VOLTAJE DE RECUPERACION TRANSITORIA')

axis ([ 0 1.6e-4 0 7.0e004])

Gráfica con Matlab.

31

Problema 2.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

x 10-4

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

4

Tiempo, s.

Voltaje

, V

VOLTAJE DE RECUPERACION TRANSITORIA

Voltaje de

la fuente

Voltaje de recuperación

transitoria.

(Vmax = 56,338.26 V)

Inicio del voltaje de

recuperación transitoria.

dt=19.893e-6 s

32

Problema 2.

*

* . . . . . . . Case identification card

PROBLEMA 3.5 (GREENWOOD)

*

* . . . . . . . Time card

0.1E-06 12.0E-03 10

*

* . . . . . . . Lumped RLC branch

G A 3.1572 3

A 0.0127 3

A S 1.0E-8 3

$ = = End of level 1: Linear and nonlinear elements = = = = = = = = = = = =

*

* . . . . . . . Time-controlled switch

S -0.1 8.3E-03 3

$ = = = End of level 2: Switches and piecewise linear elements = = = = = = = =

*

* . . . . . . . Voltage or current sources

14 G 0 28169.132 60.0 180.0

$ = = = End of level 3: Sources = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

1 **** All voltages will be printed ****

$ = = = Level 5: End of data case = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Simulación con Microtran.

33

Problema 2.

34

Problema 2.

19.89 μs

35

Problema 3.

Calcule el valor pico de la corriente de falla de corto

circuito, en el sistema de potencia del problema 3.5,

considerando que el transformador tiene una relación

de X/R de 12, y la falla ocurre cuando el voltaje tiene

70˚ después del pico. La frecuencia es de 60 Hz.

Este es el problema 3.11 que se encuentra en la

página 61 del libro de texto.

36

Problema 3.

A eφ- θsenφ- θ tωsenL ωR

Vi

V θ) tsen(ω 28,169.132v

V 28,169.13223

10*34.5Vm

s 31.4171R/L α

r/s 376.91160* π2ω Ω, 0.099212

1.1903R

H 10*3.157260* π*2

1.1903L Ω, 1.190311.9025*0.1X

11.9025100

34.5Z

tα

222

m

3

1-

3

2

b

37

Problema 3.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

4

Tiempo, s.

Voltaje

, V

.

VOLTAJE DEL GENERADOR

70+90

r 1.3048φ-θ

2.7925r

1607090 θ

r 1.4877

85.23640.0992

1.1903tan

R

L ωtan φ

1

1

38

Problema 3.

e 1.3048sen 1.3048 376.9911t sen 23,584.337i 31.4171t

39

Problema 3.

% Este programa grafica la corriente que circula cuando se

% tiene una falla de corto circuito en un sistema de potencia.

%

t=linspace(0, 0.08333, 500)

i=23584.3369*(sin(376.9911*t+1.3048)-sin(1.3048)*exp(-31.4171*t))

plot (t,i)

grid

xlabel('Tiempo, s.')

ylabel ('Corriente, A.')

title ('CORRIENTE DE CORTO CIRCUITO')

Gráfica con Matlab.

40

Problema 3.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

4

Tiempo, s.

Corr

iente

, A

.

CORRIENTE DE CORTO CIRCUITO

- 40,756.0 A

41

Problema 3.

*

* . . . . . . . Case identification card

PROBLEMA 3.11 DEL LIBRO DE GREENWOOD

*

* . . . . . . . Time card

1.0E-4 0.1

*

* . . . . . . . Lumped RLC branch

G A 3.1572 3

A B 0.0992 3

$ = = End of level 1: Linear and nonlinear elements = = = = = = = = = = = =

*

* . . . . . . . Time-controlled switch

B -0.1 1.0 3

$ = = = End of level 2: Switches and piecewise linear elements = = = = = = = =

*

* . . . . . . . Voltage or current sources

14 G 0 28169.132 60 70

$ = = = End of level 3: Sources = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

1 **** All voltages will be printed ****

$ = = = Level 5: End of data case = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Simulación con Microtran.

42

Problema 3.

43

Problema adicional.

Problema 3.- Para el interruptor del problema

anterior, seleccione una resistencia que se

conecta en paralelo con los contactos del

interruptor, con el objeto de reducir un 40 % la

magnitud del voltaje de recuperación

transitoria.

Este es el problema 4.12 que se encuentra en la

página 91 del libro de texto.

44

Problema adicional.

019,918.5803

10*34.5

tωcos23

10*34.5v

.R desprecia se caso ésteEn

3

g

3

g

l

V

45

Problema adicional.

A tωen23,665.57s

90- tωcos216,734.09i

9016,734.09901.1903

19,918.58

Ω 1.1903 11.9025*0.1X

Ω 11.9025100

34.5Z

MVA 100 S kV, 34.5 V

f

f

l

2

base

basebase

I

46

Problema adicional.

Vrt(t)

i

2

0t0t

f

s

998,921,710.sI99t8,921,710.i

998,921,710.

tωcos 23,665.57 ωdt

(t)diI'

tI'i

47

Problema adicional.

48

2

nn

2

2

n

22

22

22

2

ωs ω 2ζss

ωL'I

LC

1

RC

sss

LC

1

LI'

LC

1

RC

ssC

LC

LC

s

I'

LC

1

RC

ssC

s

s

I'I(s)ZsVrt(s)

LC

1

RC

ssC

s

LC

RLC

RC

RLCsRLCs

RLsZs

RLs

LsRLCsR

R

1Cs

Ls

1

Zs

1

Problema adicional.

49

iento.amortiguam bajocon escalón un a

respuesta la para dasgeneraliza curvas las de Tomado

Ω 553.99C 2ζ

1R

r/s 157,923.62LC

1 ω

0.45ζ que requiere se2V1.2v

:que desea se caso esteEn

2Vv

nC 12.7C mH, 3.1572L 98,8,921,710.I'

:problema del datos losCon

*

n

n

*

maxrt

maxrt

max

max

Problema adicional.

50

u(t))141,030.3t0.5039sen(

0.3t)cos(141,03e128,167.6v

:Finalmente

u(t)t) sen(ω ζ1

1t) cos(ωe1LI'v

ζ1 ω ω

:doConsideran

71,065.6t-

rt

d2

d

t ω ζ

rt

2

nd

n

Problema adicional.

% Este programa grafica el voltaje de recuperación transitoria

% que se obtiene cuando se incerta una resistencia de 554.0

% Ohms.

%

t=linspace (0, 80e-06, 1000)

vrt=28167.63*(1-exp(-71065.63*t).*(cos(141031.3*t)+ ...

0.5039*sin(141030.3*t)))

plot (t,vrt)

grid

xlabel ('Tiempo, s')

ylabel ('Voltaje, V.')

title ('VOLTAJE DE RECUPERACION TRANSITORIA')

axis ([0 80e-06 0 3.7e4])

Gráfica utilizando Matlab.

51

Problema adicional.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10-5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x 104

Tiempo, s

Voltaje

, V

.VOLTAJE DE RECUPERACION TRANSITORIA

Vmax = 33952.0 V

22.26 microsegundos

52

Problema adicional.

*

* . . . . . . . Case identification card

PROBLEMA 4-12 (GREENWOOD)

*

* . . . . . . . Time card

1.8E-6 0.018

*

* . . . . . . . Lumped RLC branch

G A 0.0992 3

A B 3.1572 3

B 0.0127 3

B C 553.99 3

C 1.0E-6 3

$ = = End of level 1: Linear and nonlinear elements = = = = = = = = = = = =

*

* . . . . . . . Time-controlled switch

B C -0.1 0.016 3

$ = = = End of level 2: Switches and piecewise linear elements = = = = = = = =

*

* . . . . . . . Voltage or current sources

14 G 0 28169.132 60 -4.76

$ = = = End of level 3: Sources = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

1 **** All voltages will be printed ****

$ = = = Level 5: End of data case = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Simulación con Microtran:

53

Problema adicional.

54

21 μs

55

Ondas Viajeras

x

V

I

C en F/m, L en H/m

n)propagació de (Velocidad υ

LC

1υ

V υV C LΔt

ΔxL υV C

Δt

Δφ

Δx L υV CΔx L Iφ Δ

υV CI

Δt

Δx V C

Δt

ΔQ

Δx V CQ Δ

2

56

Ondas Viajeras

d

d >> r

r

00

00

0

0

ε μ

1

m/s

r) / (dln π

r) / (dln ε μ π

1υ

F/m

r

dln

ε πC

H/m r

dln

π

μ L

57

Ondas Viajeras

ZC

L

I

V

LC

1CVI

:doSustituyen

luz. la de Velocidad

m/s 10*2.998 υ

F/m 10*8.854 ε

H/m 10 4π μ :Cuando

0

8

12

0

-7

0

58

Ondas Viajeras

x

V

I

I

V

HEP

m

2

e

00

2

m

2

e

ΔWC

L xICΔ

2

1ΔW

IZVZC

L

I

V

I x LΔ2

1ΔW

V x CΔ2

1ΔW

59

Ondas Viajeras

t

vC

x

i

t

vΔx Ci Δ

t

i L

x

v

t

i Δx L vΔ

ax

i+ i

i

i

V+ v

v

v

x

60

Ondas Viajeras

2

2

2

2

2

22

2

2

2

t

vLC

x

v

t

vC

t x

i

t

vC

x

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61

Ondas Viajeras

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21

62

Ondas Viajeras

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63

Ondas Viajeras

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64

Ondas Viajeras

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65

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66

Ondas Viajeras

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67

Ondas Viajeras

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68

Ondas Viajeras

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69

Ondas Viajeras

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70

Ondas Viajeras

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71

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