View
221
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 4 1/13
• Definición y cálculo del centro de masas
• Movimiento del centro de masas
• Fuerzas internas y fuerzas externas
• Energía cinética de un sistema de partículas
• Teoremas de conservación para un sistema de partículas
CONTENIDO
SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 4 2/13
BIBLIOGRAFÍA
SUSAN M. LEA, J.R. BURKE. La naturaleza de las cosas
Cap. 9.3: Centro de masas
Cap. 9.4: Conservación del momento angular
Cap. 10.1, 10.2.1, 10.2.3: Colisiones
WOLFGANG BAUER Y GARY D. WESTFALL, FÍSICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS, Volumen I,
McGraw-Hill, 2011
Cap. 5: Energía cinética, trabajo y potencia
Cap. 6: Energía potencial y conservación de la energía
SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN. FÍSICA UNIVERSITARIA Pearson-Addison Wesley, 1998
Cap. 8: Impulso y choques
TIPLER, PA. FÍSICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA Ed Reverté 2005
Cap. 8.1, 8.3-8.6: Sistema de Partículas y conservación del momento lineal
SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 4 3/13
DEFINICIÓN. CENTRO DE MASAS
Un sistema de partículas es un conjunto de partículas que interaccionan. El problema puede plantearse
tratando cada partícula por separado y solucionando la segunda ley de Newton para cada una de ellas, pero
suele ser complicado. Al hacer un tratamiento conjunto, veremos como el problema se simplifica.
SISTEMA
r1
v1
Cuerpo externo A
ri
r2
v2
Sea un sistema formado por N partículas
Se define el CENTRO DE MASAS (CM) como una
partícula que tiene toda la masa del sistema
1
N
i
i
M m
Su vector de posición viene dado por la media ponderada
de los vectores de posición de las N partículas
1 1 2 2 n nCM
m x m x m xx
M
1 1 2 2 n nCM
m y m y m yy
M
1 1 2 2 n nCM
m z m z m zz
M
1
1 N
CM i i
i
r m rM
SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 4 4/13
Su velocidad y aceleración se obtienen derivando respecto del tiempo
CENTRO DE MASAS
NCM
CM i i
i 1
dr 1m v
dt M
1 1 2 2 N Nm v +m v +.....+m vv =
M
NCM
CM i i
i 1
dv 1m a
dt M
1 1 2 2 N Nm a +m a +....+m aa =
M
El momento lineal total:
N N
i i CM i CM
i=1 i=1
p(total)= mv = v m = v M
Es decir, el momento lineal total del sistema = al momento lineal del centro de masas
CMp)total(p
SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 4 5/13
Ejemplo: En un instante dado, tres partículas de masas m1 = 1 kg, m2 = 2.2 kg, y m3 = 3.4 kg están
situadas formando un triángulo equilátero, y sus posiciones son: r1=(0,0), r2=(140,0)cm y r3=(70,121)
cm. ¿Dónde está el centro de masas del sistema? Si v1=2i m/s, v2=3j m/s y m3 está en reposo. Calcular
la velocidad del centro de masas y el momento lineal total
31 1 2 2 3 3
CM i i
i 1
m x m x m x1x m x
M M
(1.0) (0) (2.2 kg)(1.4m) (3.4 kg)(0.7m)0.83 m
6.6 kg
31 1 2 2 3 3
CM i i
i=1
m y +m y +m y1y = m y =
M M (1.0 kg)(0)+(2.2 kg)(0)+(3.4 kg)(1.21m)
= =0.623 m6.6 kg
CM
1 2i 2.2 3 j 3 00.303i j
6.6
1 1 2 2 3 3m v +m v +m vv =
M
6.6 (0.303i j) 2i 6.6 jCMp(total)=M v
CENTRO DE MASAS
SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 4 6/13
1
N
i i
i i
F ma
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
SISTEMA
jiF
ijFAiF
AjF
rj
vj
Cuerpo externo A
jAFiAF
ri
Las fuerzas que se ejercen sobre las partículas del sistema son:
int ernas externasF F F
ejercidas entre las
partículas que
forman el sistema
ejercidas por
partículas externas
del sistema a
partículas del sistema
Next
ij i
i,j i
F F F
Si sumamos a todas las partículas
Las fuerzas internas se cancelan: son pares de
acción y reacción
SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 4 7/13
N Next CMi ii i i i
i i i i
CMCM
dpdv dpF= F = ma = m =
dt dt dt
dvM M a
dt
ext
CMF M a
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
El centro de masas (CM) se mueve como una partícula que tiene toda la masa del sistema y sobre la
que se aplica la resultante de las fuerzas externas
Ejemplo: en una bala que
explota, la única fuerza
externa es el peso. Por tanto
El CM sigue la misma
trayectoria parabólica que
llevaba antes de la explosión,
porque el peso del CM no
cambia debido a la explosión.
Nota: la explosión es una
fuerza interna Distancia (m)
Altu
ra (
m)
Movimiento del centro de masas
Movimiento del
fragmento 1
Movimiento del
fragmento 2
La línea roja representa la trayectoria del CM
SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 4 8/13
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL
ext CMCM
dpF M a
dt
0
0
ext
CM
Si F
dp
dt
CMp cte
0
0
0
ext
x x
ext
y y
ext
z z
(CM)
(CM)
(CM)
Si F p cte
Si F p cte
Si F p cte
Si la resultante de Fuerzas es cero, el centro de masas o está quieto, o se mueve con movimiento
rectilíneo y uniforme
SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 4 9/13
N
ji,
jii
N
1i
exter
ii
N
1i
ii
N
1i
i0 FrFrFrL
dt
d
dt
Ld
MOMENTO ANGULAR
El momento angular total del sistema respecto el punto O es:
Si tenemos en cuenta que
Las fuerzas internas no modifican el momento angular de un sistema de partículas
Si todas las fuerzas son internas, o la suma del momento de las fuerzas externas es cero, el momento
angular total se conserva
N
1i
iiii
N
1i
i
N
1i
i0 )v(mrprLL
0i0 MFr
dt
Ld
N
1i
0
N
1i
exter
ii0 Fr
dt
LdM
SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 4 10/13
TRABAJO Y ENERGÍA
ENERGÍA CINÉTICA
La energía cinética de un sistema de partículas es la suma de la energía cinética de cada una de las
partículas
ENERGÍA POTENCIAL
Cada fuerza conservativa, sea interna o externa, tiene asociada una energía potencial
TRABAJO
El trabajo total es la suma de los trabajos de todas las fuerzas que se ejercen a las partículas, tanto
internas como externas. El trabajo realizado por las fuerzas internas no tiene porqué ser cero.
externas ernas CIN
TOTALW W Eint
Ejemplo: energía potencial gravitatoria de un sistema de partículas
N N
i i i i CM
i 1 i 1
(gravitatorio)U mgh g mh gMh
2N NCIN CIN CIN
TOTAL i i i CM
i 1 i 1
1E E m v E
2
SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 4 11/13
TEOREMAS DE CONSERVACIÓN
• CONSERVACIÓN DE P TOTAL
• CONSERVACIÓN DE L TOTAL
• CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Al igual que para una partícula, para un sistema de partículas es siempre interesante evaluar si, bajo las
condiciones del problema se cumple:
SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 4 12/13
COLISIONES
Una colisión es una interacción entre dos o más objetos en la que se intercambian momento lineal y energía, de manera que se modifica su estado de movimiento.
Las fuerzas que se ejercen las partículas (fuerzas internas), son relativamente intensas y de corta duración. Su valor no tiene que ser constante durante el tiempo que dura el choque. Es muy difícil cuantificarlas.
IMPULSO f
i
t
tI= Fdt=Δp
I F Δt media
Cambio del momento lineal de una partícula
Se puede definir una fuerza media tal que:
F internas >>>F externas
F externas ≈ 0
SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 4 13/13
COLISIONES
Si durante la colisión Fext =0, de los teoremas de conservación se obtiene:
0TOTALTOTAL
dpp cte
dt
0TOTALTOTAL
dLL cte
dt
1 2 3TOTALp p p p .... 1 2 3 1 2 3
ANTES DESPUÉSp p p ... p p p ...
1 2 3TOTALL L L L .... 1 2 3 1 2 3
ANTES DESPUÉS
L L L ... L L L ...
ANTES DESPUESernas CIN CIN CIN
TOTAL TOTAL TOTALSi W 0 E 0 E Eint
Choque elástico:
Choque inelástico: ANTES DESPUES
ernas CIN CIN CIN
TOTAL TOTAL TOTALSi W 0 E 0 E Eint
Choque completamente inelástico:
Las partículas quedan pegadas después del choque. No se conserva la CIN
TOTALE
CIN ernas
TOTALE Wint
Recommended