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Trigonometría en triangulo no rectángulos.
FórmulasUso de los radiantes
Identidades trigonométricas
Fórmulas Funciones Trigonométricas Inversas
Relaciones Fundamentales
•cosec(x)x= 1
Sen(x)•tg(x)x=
Sen(x)
Cos(x)
•sec(x)x= 1
Cos(x)•tg(x)= 1
Cotg(x)
•cotg(x)= 1
tg(x)
•cotg(x)=Cos(x)
Sec(x)
•sen²(x)+cos²(x)=1 •1+tg²(x)=1
cos²(x)•tg(x).cotg(x)=1
•1+cotg²(x)=1
sen²(x)Estas 4 relaciones son muy
importantes. Nos van a servir después para resolver las
identidades Trigonométricas
Funciones de suma y diferencia de ángulos: •sen(2.x)=2.sen(x).cos(x) El Seno del doble de un ángulo.
•sen = x
2 El Seno de la mitad de un ángulo.
•sen(x z)= sen(x).cos(z) cos(x).sen(z) + - + - El Seno de una suma o resta
•cos(2.x)=cos²(x)-sen²(x)=2.cos²(x)-1 El Coseno del doble de un ángulo.
El Coseno de la mitad de un ángulo.
•cos(x z)= cos(x).cos(z) sen(x).sen(z) + - + - El Coseno de una suma o resta.
•tg(x z)= + - tg(x) tg(z)+-
+ -
1 tg(x).tg(z)La Tangente de una suma o resta.
•cotg(x z)=+ - La Cotangente de una suma o resta.cotg(x).cotg(z) 1+ -
cotg(x) cotg(z).x+-
Suma y diferencia de funciones
•sen(x)+sen(z)=2sen .cosx+z
2
x-z
2
•sen(x)-sen(z)=2sen .cosx+z
2x-z2
•cos(x)+cos(z)=2cos .cosx+z
2x-z2
•cos(x)-cos(z)=2sen .senx+z
2x-z2
•tg(x) tg(z)=+ -sen((x) (z))+ -
cos(x).cos(z)
•cotg(x) cotg(z)=+ -sen((x) (z))+ -
sen(x). sen(z)
Producto de funciones
•sen(x).cos(z)= .sen(x+z)+ .cos(x-z) 1 2
1 2
•sen(x).sen(z)= .cos(x+z)+ .cos(x-z) 1 2
1 2
•cos(x).cos(z)= .cos(x-z)+ .cos(x+z) 1 2
1 2
•tg(x).tg(z)=tg(x)+tg(z)
cotg(x)+cotg(z)
•cotg(x).cotg(z)=cotg(x)+cotg(z)
tg(x)+tg(z)
Uso de los radiantes
Para pasar cualquier valor de un ángulo de grados a Radianes o viceversa puedo usar regla de 3 simple.
Equivalencias de ángulos:
2 360°equivalen
a
180°
1/2 90°
1/3 60°
1/4 45°
Calculo de Funciones Trigonométricas en función de Valores de tablas:
0° 30° 45° 60° 90°
Sen 012 2 2 1
Cos 1 2 212 0
Tg 01
1
Acá tenemos una tabla de Senos,
Cosenos y Tangentes.
En función de esta tabla podemos
calcular los Senos, Cosenos y
Tangentes sin calculadora.
Un ejemplo claro de esto es:
Calcular Sen 15° Reemplazo 15° por 45°-30° (que es lo mismo ).
Aplico la fórmula del Seno de una resta.
Sen (x z)=sen(x).cos(z) + - + - Cos(x).sen(z)Sen(15°)=Sen(45°-30°)
Sen(15°)=Sen(45°).Cos(30°)-Cos(45°)Sen(30°)
Sen(15°)= . - . Sen(15°)= -4 42
1 2
22 4Sen(15°)=-
Reemplazo los Senos y Cosenos que tengo en la tabla dicha anteriormente.
Hago las cuentas.
Nota: Es mejor dejar expresado el resultado así, con raíces, que hacer las cuentas, ya que si hacemos cuentas, estaríamos truncando la parte decimal.
Otro ejemplo
Cos(105°)=Cos(45°+60°)
Cos(105°)=cos(45°).cos(60°)+sen(45°).sen(60°)
Calcular: Cos105°
Aplico la fórmula del Coseno de una suma.
Cos (x z)=cos(x).cos(z) + - + - sen(x).sen(z)
Cos(105°)= . + . 2
1 2
2 2Cos(105°)= +
4 4 4Cos(105°)=+
Identidades Trigonométricas ¿Cómo se resuelven?: Lo que hay que
hacer es ir reemplazando las funciones, usando todas las fórmulas que vimos, hasta que quede una igualdad obvia.
Ejemplo: Verificar la siguiente identidad:
Reemplazo usando fórmulas
Sen(180°-x)
Cos(x)+Co tg(x)=
1
Sen(x).Sen(90°-x)
Sen(x)=Seno(180°-x)Co tg(x)=
Cos(x)
Sen(x)Cos(x)=Sen(90°-x)
Reemplazando me queda:
=
=Sen(x) Cos(x)
+ Cos(x)
Sen(x)
1Sen(x).Cos(x)
Sen²(x)+Cos²(x)
Sen(x).Cos(x)1
Sen(x).Cos(x)
Hago la cuenta con común denominador
del 1° miembro de la igualdad:
Sen(x)
Cos(x)+
Cos(x)
Sen(x)
…
Sen(x).Cos(x)=
=Sen(x)
Cos(x)+
Cos(x)
Sen(x) Sen(x).Cos(x)Sen²(x)+Cos²(x)
Reemplazo esta expresión
Sen²(x)+Cos²(x)=1
1
Sen(x).Cos(x)
1
Sen(x).Cos(x)=
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