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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
Elaborado por: José David Zaldívar Rojas
Asesor: M.C. Eddie de Jesús Aparicio Landa
Examen profesional para obtener el título de:
Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas
Modalidad: Tesis individual
Mérida, Yucatán, México Diciembre 2006
Un estudio sobre elementos para el diseño de actividades didácticas
en Cálculo
AGRADECIMIENTOS
Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por la beca que me
otorgaron durante el desarrollo de este trabajo, a través del financiamiento del proyecto de
investigación titulado: “Un estudio sobre factores que obstaculizan la permanencia, logro
educativo y eficiencia terminal en las áreas de matemáticas del nivel superior: el caso de la
Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán”.
Agradezco a mi asesor, el M.C. Eddie de Jesús Aparicio Landa, por su comprensión,
paciencia, tiempo y sabias palabras en aquellos momentos de tribulación; por valorar cada
ocurrencia y por su apoyo incondicional.
Agradezco a todos mis profesores, que a lo largo de estos cuatro años, han influido en mi
formación académica, profesional y humana. En especial a: Eddie, Landy, Lupita, Martha y
Pilar.
Agradezco de una manera especial a mis compañeros de grupo: Lucero, Isabel, Glendy,
Andrés, Heyler, Manuel y Luis; por estar, por ser y por lo que vendrá. A todos los que no
pudieron estar con nosotros al final, Andrés, Carlos, Sarai, Eunice, Nery, Rocío, Víctor,
Alonso, Miguel, Geysler, Cristy, Luis, Efraín y Efrén; por su amistad y hacer de la facultad
un segundo hogar.
Por último a Eddie y a Luis, por estar siempre al pie del cañón y sus apreciables
comentarios durante el desarrollo de este trabajo de tesis.
AGRADECIMIENTOS
Primeramente a Dios, por concederme el
regalo de la vida…
A Raúl y a Silvia; Excelentes seres humanos y
fenomenales padres; ¡Gracias por existir!
A mis hermanos: Roger y Raúl; por su paciencia y grandes muestras de apoyo
A toda mi familia; por sus apreciables muestras de afecto
CAPÍTULO 1 MARCO DE REFERENCIA Y PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1 Un marco de referencia sobre el Cálculo Escolar 1 1.2 Filiaciones entre Investigación en Didáctica del Cálculo y la Docencia 4 1.3 La importancia de la Innovación 7 1.4 Problema de Investigación 11 1.5 Objetivos del trabajo de investigación 12
CAPÍTULO 2 ANTECEDENTES
2.1 Investigación y Docencia 15 2.2 La docencia en el Cálculo Universitario 16 2.3 Sobre la Investigación en Didáctica del Cálculo 21 CAPÍTULO 3 ELEMENTOS PARA EL DISEÑO DE PROPUESTAS DIDÁCTICAS
3.1 Sobre los elementos para el diseño de propuestas didácticas en cálculo diferencial 24
3.1.1 La noción de visualización matemática 27 3.1.2 La noción de Obstáculo Epistemológico 30 3.1.3 Cambio y coordinación entre Registros de Representación Semiótica 31 3.1.4 Desarrollo del Pensamiento y Lenguaje Variacional 33 3.1.5 La cualidad dual de los conceptos. Objeto-Proceso. Operacional-
Estructural 36
3.1.6 Concepto-Imagen y Concepto-Definición 38 3.1.7 La noción de Infinito. Infinito Potencial e Infinito Actual 40 3.1.8 Procesos y situaciones límite 42 3.1.9 Aspecto Puntual y Global de los conceptos 44
3.2 Recomendaciones para el diseño de propuestas didácticas
46
CAPÍTULO 4 PROPUESTA DIDÁCTICA
4.1 La propuesta didáctica 4.1.1 Actividad 1 49
4.1.1.1 Actividad de institucionalización No. 1 50 4.1.2 Actividad 2 51
4.1.2.1 Actividad 2.1 52 4.1.2.2 Actividad de institucionalización No. 2 53
4.1.3 Actividad 3 54 4.1.3.1 Actividad de institucionalización No. 3 55
4.1.4 Actividad 4 56 4.2 Características de la Propuesta Didáctica
4.2.1 Sobre la propuesta didáctica 59 4.2.2 Justificación de la propuesta didáctica 60
4.3 Características y recomendaciones al lector-profesor sobre las actividades 4.3.1 Sobre la actividad 1 62
4.3.1.1 Objetivo y características de la actividad 1 62 4.3.1.2 Metodología de trabajo para la actividad 1 63 4.3.1.3 Actividades del lector-profesor 64 4.3.1.4 Sobre la actividad de institucionalización No. 1 65
4.3.2 Sobre la actividad 2 4.3.2.1 Características de la actividad 2
67
4.3.2.2 Metodología de trabajo para la actividad 2 69 4.3.2.3 Sobre la actividad 2.1 69 4.3.2.4 Actividades del lector-profesor para la actividad 2 70 4.3.2.5 Sobre la actividad de institucionalización No. 2 71
4.3.3 Sobre la actividad 3 4.3.3.1 Objetivos y características de la actividad 3 72 4.3.3.2 Actividades del profesor-lector 75 4.3.3.3 Sobre la actividad de institucionalización No. 3 79
4.3.4 Sobre la actividad 4 80 4.3.4.1 Objetivos y características de la actividad 4 80 4.3.4.2 Actividades para el lector-profesor 82
4.4 Modelo Teórico Experimental 4.4.1 Sobre la Teoría de las Situaciones Didácticas 86 4.4.2 Fase experimental de la propuesta didáctica (puesta en escena) 93
4.5 Metodología de trabajo de la propuesta didáctica. Fase de experimentación de la propuesta didáctica 94
CAPÍTULO 5 REFERENCIAS TEÓRICAS DE LA INVESTIGACIÓN
99
CAPÍTULO 6 ASPECTOS METODOLÓGICOS
6.1 La Investigación Documental 1076.2 Metodología de trabajo 108 CAPÍTULO 7 CONCLUSIONES Y COMENTARIOS FINALES
112
ANEXOS 115
Introducción
INTRODUCCIÓN
Uno de los principales objetivos de la escuela es la de proporcionar herramientas y
procurar la preparación necesaria para que las personas puedan desempeñarse
satisfactoriamente de acuerdo a objetivos de carácter social. Particularmente, el
estudio de la matemática en las instituciones de educación pretende que las
personas sean capaces de desenvolverse en una sociedad tecnológicamente
avanzada, lo cual incluye, entre otras cosas, la capacidad para razonar lógicamente,
resolver problemas no rutinarios y comunicarse por medio de ideas
fundamentadas en las matemáticas (Sánchez, 2005). Tales objetivos serían los
fundamentos para la elaboración de los currículos y los planes de estudio, tratando
de adaptar las ciencias a las demandas de la sociedad. No obstante, los currículos
aun no logran desarrollar el tan ansiado espíritu científico en las personas. Una de
las razones es la poca relación que guarda el estudio de las ciencias con la realidad
de los estudiantes; aunado con el empleo de una metodología de enseñanza
tradicional, basada principalmente en la impartición de “cátedra”, por parte de los
profesores, y que incluye, generalmente, la presentación de definiciones y la
resolución de ejercicios sin aparente aplicación en la vida cotidiana. Tales
problemáticas se ven potenciadas cuando se habla del currículo y la enseñanza del
Cálculo en las instituciones de educación superior. Hoy día, seguimos contando
i
Introducción
con las prácticas docentes de antaño; los avances científicos, tecnológicos parecen
tener poco eco en las prácticas de los profesores.
Por ello, en las últimas décadas, la innovación en didáctica del cálculo y el estudio
de su complejidad en relación a los problemas que de ella derivan, especialmente
en el nivel superior, es quizá uno de los temas con mayor documentación en la
literatura especializada; incluso se sabe que un buen número de dificultades en la
vida escolar preuniversitaria o universitaria de los estudiantes, están asociados al
entendimiento y manejo de los conceptos básicos y no tan básicos del cálculo. Se ha
documentado que aun aquellos estudiantes de carreras en ciencias exactas e
ingenierías y que ya han llevado uno o dos cursos de cálculo, muestran serias
deficiencias a la hora de trabajar con los conceptos inmersos en esta materia
(Aparicio, Ávila, 2006). Tales dificultades, aunados a la utilización de los métodos
convencionales en la enseñanza de las matemáticas, llevan a los profesores a teñir
de algoritmos y demostraciones formales los cursos de cálculo con poca ganancia
cognitiva (Cantoral, 1993; Moreno, 2005) ocasionando la casi nula generación de las
ideas matemáticas que permitan encarar los problemas que plantea el campo de las
ciencias experimentales (Marcolini, 2005).
Sin embargo, el arduo trabajo desarrollado en didáctica del cálculo, así como los
proyectos de innovación1 en su enseñanza, puede decirse que poco han logrado
1 Entenderemos por innovación en la enseñanza a todas aquellas propuestas que tratan de mermar las deficiencias del método “tradicional” de enseñanza.
ii
Introducción
incidir al seno de las prácticas institucionales y prácticas de aula. Preexiste una
gran brecha entre la innovación (realidad de aula) y las investigaciones científicas
(Moreno, 2005).
Por ejemplo, al interior de la Facultad de Matemáticas (FMAT) de la Universidad
Autónoma de Yucatán (UADY), se llevó a cabo un trabajo de investigación donde
se evidencia que las acciones y esfuerzos2 para reducir los índices de reprobación
y rezago escolar3 al interior de dicha dependencia educativa, no tienen como
sustento un estudio formal en donde se analice de manera sistemática y científica
los factores que inciden en el problema, sino más bien son basadas en creencias y
en los buenos deseos de profesores y directivos (García, 2006).
En nuestra opinión, los resultados de la investigación deben, en primera instancia,
ser un referente para los innovadores y diseñadores de currículo y por otra, una
línea de trabajo de los Matemáticos Educativos para realizar trabajos sobre el
currículo, de suerte que se pongan los resultados al alcance de los verdaderos
usuarios: los profesores; para que éstos conozcan y reconozcan la integración de
una componente didáctica “diferente” a la que emplean en las aulas de cálculo.
2 Los esfuerzos que se comentan se refieren, principalmente, a la creación de talleres de cálculo, tutorías, empleo de exámenes colegiados, entre otros. 3 Cabe hacer notar que estos esfuerzos, solamente tratan de mermar la reprobación y el rezago escolar observado principalmente en los primeros años, sin embargo no se hacen reflexiones sobre el aprendizaje de los estudiantes. Notamos claramente que aprobar un curso es razón suficiente para considerar que un alumno ha aprendido.
iii
Introducción
Ahora bien, a lo largo de nuestro trabajo de investigación se discute sobre los
beneficios que tendría el poner al alcance del profesorado universitario, ciertos
elementos de corte didáctico, epistemológico y cognitivo que se encuentran
presentes en las investigaciones relacionadas con la didáctica del cálculo superior.
Particularmente, nuestro trabajo sugiere una forma de aproximar el conocimiento
científico producido en torno a la didáctica del cálculo con el ejercicio docente. La
investigación realizada es de tipo documental y establece un posible eje rector para
el empleo de las investigaciones como potenciales herramientas para el
profesorado en la generación de alternativas de enseñanza y aprendizaje al interior
y exterior de sus aulas.
Además de dicha caracterización de elementos, en nuestro trabajo desarrollamos
una propuesta didáctica que basa su lógica operacional en tales elementos y utiliza
como modelo teórico experimental a la Teoría de las Situaciones.
A continuación presentamos un breve panorama del contenido de los capítulos
incluidos en este trabajo de investigación:
El capítulo 1 proporciona un panorama general sobre el estado actual que guarda
la enseñanza del cálculo. De igual forma se describe el problema de investigación y
se plantean las hipótesis de trabajo así como los objetivos que se persiguen con este
trabajo.
iv
Introducción
El capítulo 2 plantea los antecedentes entre los aspectos principales de nuestro
estudio: la investigación y la docencia.
El capítulo 3 describe la manera en que se utilizó la información contenida en las
propuestas didácticas; también se presenta el listado y la caracterización de cada
uno de los elementos que se pudieron rescatar del análisis de las propuestas. Se
hacen por último una serie de recomendaciones al profesor.
En el capítulo 4 se presenta la propuesta didáctica para el tema de derivadas, la
cual se diseñó tomando en consideración los elementos, las recomendaciones, así
como algunas de las ideas contenidas en las actividades que los artículos de
investigación reportan. En este mismo capítulo se presentan características y
comentarios sobre cada una de las actividades; se presenta también el modelo
teórico experimental de la propuesta didáctica y la metodología de trabajo de la
misma.
El capítulo 5 se refiere a las referencias teóricas de la investigación. En este capítulo
se reflexiona sobre la práctica actual de los profesores y de la importancia de un
rediseño de los cursos de cálculo.
El capítulo 6 presenta los aspectos metodológicos del trabajo, siendo esta
principalmente la investigación documental y mixta.
v
Introducción
Por último, en el capítulo 7 se hacen una serie de reflexiones sobre el trabajo, la
importancia de éste y se exteriorizan comentarios sobre la importancia de la
investigación en la práctica docente de los profesores de matemáticas.
vi
Marco de referencia y problema de investigación
CAPÍTULO 1
MARCO DE REFERENCIA Y PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1. Un marco de referencia sobre el cálculo escolar
Bien es sabido que un buen número de dificultades en la vida escolar preuniversitaria o
universitaria de los estudiantes están asociadas al entendimiento y manejo de los conceptos
básicos y no tan básicos del Cálculo. Se ha probado inclusive que aun aquellos estudiantes
de ciencias e ingenierías que ya han llevado uno o dos cursos de Cálculo muestran serias
deficiencias a la hora de trabajar con los conceptos inmersos en esta materia (Aparicio,
Ávila, 2006); investigaciones en matemática educativa revelan y sustentan lo antes dicho
(Tall, 1991; Artigue, Ervynck, 1992; Farfán, 1993) en Artigue (2000). Cabe mencionar que
las dificultades en la materia no son sólo debidas a las características del profesor y de los
estudiantes, sino también de la propia asignatura, la cual es cada vez más abstracta y formal
conforme los temas se avanza en su estudio, además, se tienen que considerar las
características de las instituciones, la cual condiciona y determina los límites de actuación
en ella (Moreno, 2005). Tenemos pues, que los problemas que se presentan en la enseñanza
y por ende, en el aprendizaje de Cálculo, no son solo por la complejidad teórica de los
conceptos, sino por el cúmulo de conocimientos previos (conocimientos de álgebra
elemental, geometría, geometría analítica, entre otras) que los estudiantes requieren conocer
y manejar para llevar a cabo satisfactoriamente las competencias que esta asignatura
demanda (Cantoral, Farfán, 2000). El desarrollo de tales competencias ha originado que en
1
Marco de referencia y problema de investigación
los currículos actuales, donde se aborda el estudio del cálculo, éste ocupe un lugar
privilegiado por sobre el resto de las asignaturas (García, 2006).
El Cálculo, así como el estudio del mismo, constituye un “parteaguas” en el sentido de que
antes de él se encuentra la matemática elemental y después inicia la matemática llamada
avanzada; pues, a diferencia de la matemática escolar previa al Cálculo, es decir, la
matemática preuniversitaria, el Cálculo incorpora ideas y concepciones nuevas, tales como
la noción de cambio, la de variación, la variación instantánea, los procesos infinitos y las
situaciones límite. Se extiende desde luego, la matemática a la realidad, convirtiéndose el
Cálculo una poderosa herramienta de modelado (Cantoral, 1993). Al mismo tiempo, estos
nuevos conceptos necesitan la introducción de nueva simbología y de modificaciones
conceptuales en muchos de los símbolos que se manejaban, modificándose así, el campo
semántico primario de los conocimientos previos; tómese como ejemplo, el caso de la
igualdad.
Por tanto, nótese que el estudiante se encuentra ante una materia que requiere la
introducción de nuevas ideas que, a su vez, requieren de símbolos, estrategias y modos de
razonamiento distintos a los comúnmente acostumbrados y de técnicas de trabajo delicadas;
por ejemplo, el pasar de razonamientos por equivalencias sucesivas a razonamientos por
condiciones suficientes (Cantoral, 1993; Artigue, 1995). Si a estas dificultades inherentes a
la materia le incorporamos serias deficiencias en la manera en la que actualmente se
encuentra la enseñanza del Cálculo, obtendremos, sin duda, serias dificultades en el
aprendizaje de los estudiantes desde el inicio de sus estudios en esta asignatura.
2
Marco de referencia y problema de investigación
La enseñanza del Cálculo y su aprendizaje parece ubicarse ante un claro dilema: numerosas
investigaciones muestran con gran similitud, que si bien se puede enseñar a los estudiantes
a realizar de forma más o menos mecánica algunos cálculos de derivadas y primitivas,
además de resolver problemas tipo, existen dificultades para hacer que los estudiantes
realmente formen parte del campo del Cálculo y hacerlos alcanzar una comprensión
satisfactoria de los conceptos y formas de pensamiento que son el eje central de tal campo
(Artigue, 1995). Lo cómodo de los métodos convencionales empleados en la enseñanza de
las matemáticas y las dificultades ya referidas, dispone a los profesores a teñir de
algoritmos los cursos de Cálculo con poca ganancia cognitiva (Cantoral, 1993). Por
ejemplo, en una investigación sobre la didáctica de la derivada, Dolores (2000) indica que
muchos estudiantes sólo pueden obtener derivadas de funciones algebraicas mediante
fórmulas, pero difícilmente comprenden el para qué de esos algoritmos que realizan y el
significado de los conceptos. Para este autor, el estudio del cálculo diferencial en las aulas
de matemáticas sacrifica el desarrollo de ideas y significados de los conceptos básicos de
éste, imponiendo el predominio del trabajo algorítmico. Como ejemplo de lo anterior, se
exhibe la idea de que el tratamiento dado a la derivada como la ecuación de la pendiente de
la recta tangente a la curva de una función en cualquier punto, ha desplazado el sentido de
variación, eje principal de la derivada. Se discute también sobre el papel que le es conferido
a la interpretación geométrica de la derivada, la cual es abordada como complemento, y
muchas veces como una aplicación del tema. Este tipo de tratamiento, poco revela acerca
de la naturaleza ligada a los fenómenos de cuantificación de la rapidez de la variación,
aspecto pocas veces tomado en consideración por el currículo de cálculo en las
instituciones.
3
Marco de referencia y problema de investigación
A nivel universitario, contrario a lo que se podría pensar, la enseñanza del Cálculo se
continúa centrando en una práctica algorítmica; basándose ésta en una formalidad excesiva,
principalmente, en la aplicación de los tradicionales métodos rigurosos de demostración
matemática (Yusof, Tall, 1999 en Moreno, 2005).
Para ir cerrando esta sección, citaremos que desde el punto de vista del currículo
matemático, tradicionalmente los cursos de Cálculo se conforman por un repertorio de
procedimientos y algoritmos provenientes esencialmente del álgebra elemental y de la
geometría analítica, descuidando en mayor o menor medida, el estudio del concepto per se;
es decir, la práctica escolar matemática y su principal adepto, el currículo, le confieren más
importancia a las prácticas algorítmicas que a la comprensión de los conceptos y al estudio
de sus relaciones (Cantoral, Farfán, 2000). Luego entonces, resulta plausible pensar, que lo
que los alumnos aprenden en su aula de Cálculo, con mucha frecuencia se quede allí
mismo. En otras palabras, se corre el riesgo de estar formando profesionales de aula; de
suerte que el conocimiento allí generado no traspase los límites de la temática escolar. Lo
enseñado en las aulas no logra la generación de las ideas matemáticas que permitan encarar
los problemas que plantea el campo de las ciencias experimentales (Marcolini, 2005).
1.2. Filiaciones entre Investigación en Didáctica del Cálculo y Docencia
Numerosas investigaciones destacan que no es tarea fácil lograr que los estudiantes entren
en el campo conceptual del Cálculo. No obstante, es en éstas mismas investigaciones, que
se puede comprender mejor la naturaleza de las dificultades y el tipo de obstáculos que se
presentan, así como las razones de fracaso en las estrategias usuales de enseñanza, tanto las
que reducen el Cálculo a prácticas algorítmicas, como las aproximaciones teóricas y
4
Marco de referencia y problema de investigación
formales desarrolladas en el contexto de la reforma de las matemáticas modernas (Artigue,
2000).
Ciertamente, los problemas reportados en la enseñanza del Cálculo y la insatisfacción
existente, tanto de profesores como de estudiantes, ha traído consigo dos consecuencias:
• Un potente desarrollo de las investigaciones didácticas de la enseñanza superior
centradas principalmente en el área de Cálculo.
• Surgimiento de numerosos proyectos de innovación para la enseñanza. Como
ejemplos de esto, se encuentra la renovación global del currículo en Francia y
Australia, así como las innovaciones y experimentaciones en Estados Unidos y
España (Ver Artigue, 1995).
No obstante, y ante lo que se podría suponer, la enseñanza del Cálculo en las aulas sigue
inamovible. Preexiste una gran brecha entre la innovación4 (realidad de aula) y lo que las
investigaciones científicas proponen. Los resultados que se obtienen en los proyectos de
investigación aunque valiosos experimentalmente, muy poco aportan a lo que se realiza
dentro de las aulas de matemáticas. Por ejemplo, en Estados Unidos de Norteamérica la
mayoría de los proyectos en el área de innovación de Cálculo se han aplicado de manera
independiente de los trabajos de investigación existentes (Moreno, 2005). Aun cuando las
investigaciones reportan que la enseñanza actual del Cálculo es problemática y proponen
ciertas medidas para remediar tal problema; las reformas, los currículos e inclusive los
propios profesores no se preocupan por averiguar tales resultados.
4 A lo largo de este trabajo estaremos entendiendo por innovación a aquellas propuestas que tratan de mermar las deficiencias del método “tradicional” de enseñanza.
5
Marco de referencia y problema de investigación
Empero, ¿cuáles son algunas de las razones por las cuales ésta relación no ha podido
llevarse satisfactoriamente? Al respecto, tomamos las siguientes consideraciones: por un
lado, los enfoques asumidos por las investigaciones que se desarrollan en el terreno de lo
didáctico, difieren, no sólo por el peso asignado a cada una de las tres dimensiones
esenciales: la epistemológica, la cognitiva y la didáctica, sino también, por los marcos
teóricos que las sustentan; se observa que no existe un paradigma dominante que haga
viable la comunicación entre los propios investigadores, de modo que cada quien toma para
si, su propia corriente de investigación. Por otro lado, la innovación, además de problemas
de diversidad y de difícil comparación, muestra problemas respecto a la poca seguridad en
la obtención de hechos confiables aplicables directamente en el sistema educativo,
principalmente, al ser resultados obtenidos bajo variables controladas y realidades bastante
diferentes a las que un profesor encuentra en su práctica de aula. Al fin y al cabo,
innovación sólo es innovación. Además, la necesidad de convencer hace que se deje a un
lado la importancia de un análisis riguroso del funcionamiento de la innovación y de sus
efectos, sobrestimando las potencialidades y virtudes (Artigue, 1995; Moreno, 2005). En
esta dirección, Artigue (1995) citada en Moreno (2005), advierte de la peligrosidad de caer
en un discurso ingenuo, donde se toma como análisis cognitivo y didáctico el hecho de que
las herramientas (tecnologías informáticas y calculadoras) se constituyan como un buen
catalizador para forzar la evolución de las prácticas pedagógicas de los profesores y para
comprometerlas en un enfoque más constructivista de aprendizaje.
Nos situamos entonces, en la posibilidad de mencionar que la investigación en didáctica del
Cálculo es rica, empero, si miramos y analizamos la enseñanza del Cálculo en las aulas,
podremos distinguir que las investigaciones que se hacen al respecto, poco efecto tienen en
6
Marco de referencia y problema de investigación
el sistema educativo; es decir, las investigaciones y propuestas didácticas que se hacen
sobre algunos de los conceptos de Cálculo no son consideradas y adaptadas para ser puestas
en práctica por los profesores responsables de tal o tales asignaturas, más aun, es ignorado
por los diseñadores de currículo. Parece ser entonces que, aun cuando hay evidencia acerca
de las problemáticas que la enseñanza tradicional del Cálculo presenta, poco pudiera
hacerse en pro de un sistema didáctico que sea funcional, y aun cuando las distintas
reformas a los programas y currículos de Cálculo parecieran ser interesantes, no han
acabado con los problemas y las dificultades de los estudiantes (Moreno, 2005).
1.3. La importancia de la Innovación
Sin duda, uno de los problemas que se ha detectado que acarrea, la mayoría de las veces, la
enseñanza “tradicional” de los conceptos básicos del Cálculo es el hecho de que, si bien el
conocimiento adquirido por los estudiantes les puede ser útil para resolver ejercicios y
problemas rutinarios (enmarcados en el dominio de la matemática misma), al momento en
el que se les enfrenta a contextos y situaciones que requieren mayor conocimiento
conceptual y operacional de los temas, la mayoría de los estudiantes falla y no saben cómo
abordar la situación (Selden, Mason, 1994 en Moreno, 2005). Refiriéndose a la situación
anterior, Skemp (1980) citado en Moreno (2005) menciona: los estudiantes aprenden el
“producto del pensamiento matemático” en vez de su “proceso”. En pocas palabras, el
tratamiento tradicional-formal (axiomático) que le ha sido conferido a la enseñanza de
ciertos temas del Cálculo, incide en los problemas que presentan los alumnos en su
aprendizaje y en el dominio de lo que supuestamente conocen. Sin embargo y al parecer, en
7
Marco de referencia y problema de investigación
más de un profesor persiste la idea que ésta es la mejor manera para que los estudiantes
obtengan aprendizajes significativos y duraderos.
El empleo de una metodología tradicional-formal en los profesores es, en la gran mayoría
de las veces, resultado de su propia experiencia como estudiante y, en el mejor de los casos,
de su juicio sobre cómo las personas aprenden y se apropian de los conocimientos; y en el
peor de los casos, cómo él aprendió. Ejemplificaremos estos últimos aspectos: en el trabajo
desarrollado por García (2006), se muestra cómo el tratamiento que dan profesores
universitarios, al interior de una facultad de matemáticas, a ciertos contenidos de Cálculo a
lo largo de sus clases, está asociado a una limitada visión del sentido dado a la enseñanza y
aprendizaje de los mismos. En efecto, se hace notar cómo las concepciones personales del
profesorado, sus creencias, el tipo de formación profesional y sus experiencias, resultan ser
la base del proyecto educativo a desarrollar en las aulas (García, 2006; Moreno, 2005). Las
creencias juegan un papel crucial en todo lo relacionado con las prácticas del profesor y la
toma de decisiones en su ámbito profesional, impidiéndole, de alguna manera, una crítica
reflexiva sobre su práctica profesional.
Continuando en esta línea de reflexiones, pensemos en la siguiente situación: en la
enseñanza “tradicional” del Cálculo, el profesor informa a los estudiantes sobre los saberes
de que dispone, intentando que aquél los haga suyos mediante la imitación. En este marco
didáctico, como se menciona en Cantoral (1993), el profesor enuncia las verdades en el aula
esperando que el estudiante se apropie de ellas, las tome como suyas; se cree que el alumno
“graba” lo que se le comunica por medio de la instrucción, tal vez con algunas pérdidas de
información. La investigación contemporánea ha demostrado lo inexacto de este punto de
8
Marco de referencia y problema de investigación
vista, haciendo evidente que los alumnos construyen regularmente conocimientos que no
forman parte del discurso de la enseñanza y resultan con frecuencia inadecuados e incluso
erróneos desde un punto de vista matemático (Cantoral, 2000). El estudiante para conocer
necesita primero construir sus propios instrumentos de conocimiento; es decir, uno no solo
observa y aprende, sino más bien, observa a través de esquemas teóricos; “no porque toque
estudiar Cálculo habrá que aprender Cálculo”.
En nuestros días, la enseñanza clásica de la matemática superior que va de la definición al
teorema, del teorema a la demostración y de ésta a la aplicación (Esquema instruccional-
secuencial), sólo atiende a la matemática como un producto del pensamiento, pero no
respeta a la matemática como una forma especial de pensar, como una actividad humana,
en otras palabras, la estructura lógica con la que se presenta la matemática escolar en
nuestros días, no resulta ser la manera más propicia para permitir el desarrollo y la
aparición del pensamiento matemático5.
Los resultados anteriores no deben conducirnos a la reducción de los contenidos a enseñar,
sino más bien, al diseño de situaciones, escenarios, ambientes o propuestas didácticas que
den sentido a su tratamiento (Cantoral, 1993). Los resultados obtenidos deben conducirnos
a preguntarnos más a fondo ¿qué es lo que está pasando en la enseñanza del Cálculo? Pues
en efecto, aunque las propuestas parecen ser buenas y nuestros métodos de enseñanza poco
eficaces y además, no demasiado propios para enseñar a una población estudiantil que en su
mayoría no serán matemáticos y, sin embargo, tendrán que utilizar las matemáticas en sus
profesiones; tenemos que reconocer el hecho de que aprender matemáticas es construir 5 Pensamiento matemático: se refiere a las formas en que piensan las personas que se dedican profesionalmente a las matemáticas (Cantoral, 2000).
9
Marco de referencia y problema de investigación
matemáticas, siendo su objetivo garantizar el éxito de nuestra actuación ante una cierta
situación (Cantoral, 2000), reconociendo que una presentación lógica de contenidos no se
corresponde con una presentación cognitiva del contenido (Cantoral, 1993). Bajo este
último aspecto, en el trabajo desarrollado por Aparicio y Cantoral (2004), sobre la noción
matemática de continuidad puntual, se ofrece una explicación de cómo las formas
discursivas, y en especial el aspecto gesticulativo de las acciones puestas en
funcionamiento por algunos estudiantes universitarios al momento de discutir sobre la
noción de continuidad puntual de una función real de variable real, permite acceder a la
construcción del concepto matemático «continuidad puntual» en contraposición de lo que
se desarrolla con el tratamiento clásico de enseñanza dado a dicho concepto. Tal trabajo
como es de entenderse, no sigue la lógica o la estructura típicamente presentada en el
discurso matemático escolar6.
Todas estas reflexiones en cuanto al estado actual de la enseñanza del Cálculo y de la
necesidad de un cambio, nos ha hecho volver la mirada hacia los resultados de la
investigación, esto con el fin de analizar las propuestas que realmente nos podrían ser útiles
como docentes de matemáticas. Sostenemos que en la investigación existen propuestas y
resultados realmente valiosos, sin embargo, no existen las condiciones para lograr acercar
dichos resultados a las manos de los profesores.
6 Entendemos por discurso matemático escolar al discurso que marca el inicio de una enseñanza. No se reduce naturalmente a la organización temática de los contenidos ni a la profundidad expositiva, sino que se preocupa de la formación de consensos entre aquellos que forman parte de la noosfera: editores, autores, profesores, científicos, estudiantes, etc. (Marcolini, Perales, 2005)
10
Marco de referencia y problema de investigación
1.4. Problema de Investigación
De acuerdo a lo que se ha venido comentando desde el inicio de este capítulo, tenemos que
el tipo de enseñanza tradicional-formal que utilizan los profesores de ciencias matemáticas
y computacionales (particularmente los de la Facultad de Matemáticas de la Universidad
Autónoma de Yucatán) en sus clases de Cálculo, parece seguir arrojando los mismos
resultados que siempre; el tipo de aprendizaje que vive en los estudiantes resulta poco
funcional y operativo.
La poca o nula vinculación entre las investigaciones en Didáctica del Cálculo y la Práctica
Docente en Cálculo, así como el desconocimiento muchas veces inconciente (otras tantas
no) de los profesores sobre la existencia de resultados empíricos relacionados con los
conceptos básicos del Cálculo; resultados que comprenden explicaciones y análisis
epistemológicos, cognitivos y didácticos que encierra el problema de la enseñanza-
aprendizaje del cálculo, hasta propuestas didácticas relacionadas con la enseñanza del
mismo fue factor de motivación para el desarrollo del presente trabajo, en donde hemos
considerado la posibilidad de tender un puente entre estos dos aspectos de la educación del
Cálculo, la investigación didáctica y su implementación en la docencia.
Precisamos entonces como nuestro tema de estudio, la investigación didáctica como base
científica de planeación y orientación de la práctica docente en Cálculo. En este
sentido, tomamos como principal problema de investigación, la búsqueda de una manera
de engranar estos dos aspectos. Para lograr tal fin, nos propusimos indagar y delimitar el
tipo de elementos inmersos en las investigaciones, que aunque obedecen a paradigmas
teóricos y metodológicos distintos, comparten perspectivas específicas, por ejemplo, la
11
Marco de referencia y problema de investigación
crítica hacia lo deficiente de la enseñanza tradicional y la necesidad de enfatizar aspectos
más centrados en los procesos de aprendizaje de los estudiantes.
1.5. Objetivos del trabajo de investigación
Es claro que la práctica docente tradicional no ha arrojado los resultados que se esperarían,
pensamos que una de las razones de lo anterior es que en la actualidad no existe una buena
relación o conexión entre lo que se ha venido realizando en el campo de la investigación y
las prácticas educativas institucionales (v.g., diseños de currículo, elección de materiales y
práctica de aula); las propuestas que se plantean aún no logran incidir lo suficiente en las
prácticas de los profesores o en el desarrollo y renovación del currículo.
Nuestro trabajo entonces, parte de la premisa de que la práctica docente en las clases de
cálculo universitario es problemática; que el modelo de enseñanza tradicional-formal que se
utiliza poco favorece la promoción de aprendizajes significativos y duraderos. Para tratar de
subsanar tales dificultades, suponemos que el ofrecer y poner al alcance de los profesores
universitarios un modelo teórico-experimental, sustentado en evidencia empírica sobre el
funcionamiento del sistema didáctico y sobre el cual pueda sustentar su quehacer dentro y
fuera del aula de Cálculo, estarán en posibilidades de lograr cambios, sin duda paulatinos,
pero concretos y eficaces.
Fijamos nuestra atención a las dificultades que se presentan específicamente dentro de
nuestra institución: la Facultad de Matemáticas (FMAT) de la Universidad Autónoma de
Yucatán. Sus altos índices de reprobación y rezago en la materia de Cálculo, especialmente
en los primeros semestres de las licenciaturas se traducen en factores de deserción, bajo
12
Marco de referencia y problema de investigación
logro educativo y poca eficiencia terminal. También, se ha identificado que los profesores
de la materia de Cálculo utilizan un “formalismo” excesivo, un abuso del método
expositivo, además de un escaso o nulo empleo de recursos didácticos y tecnológicos
(calculadoras, programas de cómputo) para desarrollar los temas dentro del aula. Cabe
mencionar que la mayoría de estos profesores se caracterizan además, por contar con una
sólida formación matemática y, algunos de ellos, con un basto tiempo de ejercicio docente.
Sin embargo, y para los retos que la educación matemática moderna plantea, tales
profesores carecen de una capacitación didáctica en matemáticas, hecho ampliamente
reportado en García (2006).
Así, nos fijamos como objetivo principal caracterizar una serie de elementos de corte
didáctico que puedan ser considerados, a la luz de las investigaciones e innovaciones, la
base de una enseñanza centrada en los aprendizajes y en los procesos de construcción. Para
lograr este cometido, nos dimos a la tarea de realizar una revisión de artículos de
investigación que la literatura especializada reporta, mirando con especial interés, la
manera en cómo las propuestas experimentales abordan los temas de cálculo, así como
también el tipo de estrategias y actividades planteadas. Específicamente, nos centramos en
propuestas referentes a temas de funciones, límites, continuidad y derivadas; temas
considerados básicos en el estudio del cálculo y el análisis.
En síntesis, buscamos conformar a manera de catálogo, una serie de elementos que,
derivados de la evidencia empírica, se constituyan como un “hilo conductor” del quehacer
docente en la materia de cálculo. Como hemos insistido, este esfuerzo responde a la nula
articulación que existe entre lo que se hace en las aulas y lo que las investigaciones
13
Marco de referencia y problema de investigación
reportan, sin dejar de lado el tratar de mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje del
cálculo.
Por tanto, los objetivos específicos que se persiguieron son:
• Análisis de propuestas didácticas (experimentales) en los temas antes mencionados,
reportadas en la literatura especializada.
• Establecer el tipo de elementos inmersos en las propuestas experimentales a través
de un meticuloso análisis de sus actividades.
• Diseñar, siguiendo la orientación marcada por esos elementos y las actividades que
se recuperen de los reportes de investigación, una propuesta didáctica para un tema
particular de cálculo diferencial. Tal propuesta debería reflejar los elementos
sugeridos, así como ideas contenidas en los diseños de las actividades planteadas.
Sostenemos que la importancia de este estudio radica en la incidencia que pueda llegar a
tener en la práctica docente. Cabe decir, que muchas de las propuestas estudiadas han sido
llevadas a las aulas y a la práctica con estudiantes, obteniendo resultados alentadores en
cuanto a los aprendizajes de los mismos. De igual manera, hemos elegido propuestas que
consideran aspectos didácticos, cognitivos y epistemológicos de los conceptos matemáticos
del Cálculo.
14
Antecedentes
CAPITULO 2
ANTECEDENTES
2.1. Investigación y Docencia
En el capítulo anterior se trató de presentar un panorama general de la enseñanza del
Cálculo en nuestros días; así como resaltar el hecho de que pese a la cantidad de
información generada en las últimas décadas sobre la didáctica y educación matemática,
preexiste una baja incidencia e implementación de tal información en el diseño de
programas institucionales, de currículos, en los programas de formación y capacitación del
profesorado de matemáticas en el nivel medio superior (Aparicio, 2006).
Consideramos necesario proponer alternativas al profesor universitario en lo que a su
práctica docente se refiere. Cabe decir que no se trata de coartar su libertad de pensamiento
y mucho menos su derecho a libertad de cátedra, más bien intentamos generar discusión
crítica sobre el tipo de práctica que preside actualmente en muchas dependencias de
educación superior, particularmente en la nuestra; pues la enseñanza tradicional parece no
cambiar el estatus problemático del aprendizaje del Cálculo en los estudiantes.
Entre las comunidades académicas, sobre todo en la educación superior, prevalece un
debate al momento de hablar sobre formación y práctica de los profesores de matemáticas,
dicho debate se arraiga en el dominio disciplinar. Por ejemplo, existe la convicción
generalizada de que si el profesorado de matemáticas cuenta con un dominio amplio de
ésta, entonces se está en condiciones suficientes para enseñar matemáticas. Convicción a la
15
Antecedentes
que nos sumamos en tanto condición necesaria empero no suficiente, pues desde esta
visión, pareciera que lo más importante es la matemática misma y no su enseñanza, o como
se dice actualmente, su aprendizaje.
Cabe aclarar que no estamos poniendo en tela de juicio que los profesores que van a
impartir cursos de matemáticas tienen que saber matemáticas, sino más bien, tratamos de
resaltar lo que las Investigaciones en Matemática Educativa han manifestado; que junto con
un conocimiento de las mismas, que incluye conceptos y procedimientos matemáticos,
múltiples representaciones de esos conceptos, etc., se añade un conocimiento de y sobre la
actividad matemática, de la historia y epistemología de la disciplina y del currículum
matemático escolar (Sánchez, 2005). Existe una creencia generalizada de que el
conocimiento y el desarrollo de ciertas componentes didácticas, son elementos que la
práctica y la experiencia de aula proporciona de manera directa. Pensamos que en cierta
medida lo anterior es verdadero, pero entonces ¿tendremos que esperar hasta que un
profesor tenga práctica docente para poder impartir sus clases de una manera apropiada?;
durante la formación matemática de las personas, ¿es correcto pensar que ¡Echando a
perder se aprende!? Creemos que no podemos darnos el lujo de tener tales concepciones en
cuanto a la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
2.2. La Docencia en el Cálculo Universitario
Generalmente, se concibe a la enseñanza de las matemáticas como una suerte de arte que
libremente queda bajo el virtuosismo y capacidad solamente del profesor; bajo esta
concepción, el efecto de esa enseñanza sobre el aprendizaje del alumno suele ser
16
Antecedentes
“evaluada” en relación con la aprobación o reprobación del curso7, quedando el aprendizaje
del estudiante como algo que se da de manera natural, siendo responsabilidad directa de
éste. El aprendizaje de los estudiantes estará ligado, por tanto, al grado de atención que
presten y del seguimiento que hagan de la exposición del profesor; quedando condicionado
por el dominio y conocimientos que el profesor tenga de su asignatura, así como en su
capacidad de buen orador.
Ahora bien, la enseñanza de las matemáticas, y en particular la enseñanza del cálculo, ha
reducido el aprendizaje de un concepto o tema, a la ejercitación del procedimiento
subyacente del algoritmo (Artigue, 1995; Moreno, 2005). Se cree que poniendo al
estudiante a interactuar con un procedimiento preestablecido en tanto objeto de
conocimiento, por simple condicionamiento y a través de la experiencia de realizar
ejercicios repetitivos de los procedimientos, el estudiante hará una copia pasiva de la
realidad externa; logrando, de esta forma, que el estudiante vincule, de manera “natural”, lo
algorítmico con lo conceptual (Muñoz, 2003). Sin embargo, se ha comprobado que enseñar
a los estudiantes a resolver problemas estándar de forma más o menos mecánica, o realizar
algunas derivadas o integrales, no supone una verdadera comprensión de los conceptos y
métodos de pensamiento del cálculo (Moreno, 2005); siendo muy común toparnos con
estudiantes que en el mejor de los casos, conocen matemáticas pero que difícilmente
pueden hacer matemáticas (Bonacina et al, 2004).
La situación anterior se repite constantemente al interior de las instituciones donde se
imparte la asignatura de cálculo. Al interior de nuestra dependencia y en algunas 4 Se observa que para algunos profesores acreditar es sinónimo de aprendizaje; y aprobar un curso es muestra de que se aprendió durante el mismo.
17
Antecedentes
instituciones de educación superior, es común que los cursos de cálculo se desarrollen,
principalmente, a base de abstracciones, pareciendo los primeros cursos de cálculo una
introducción al Análisis Matemático, debido a la formalidad exigida. El desarrollo de las
clases de cálculo sigue una estructura común: se comienza proporcionando al estudiante
definiciones o teoremas relacionados con un cierto tópico; como paso siguiente, el profesor
realiza las demostraciones que considera pertinentes, para luego pasar a la presentación de
ejercicios donde tengan cabida las definiciones o las propiedades de los teoremas. Por
último, se favorece la ejercitación de los resultados y definiciones en la resolución de
“problemas”, que consisten básicamente en la demostración de otros resultados utilizando
como base los teoremas que hayan sido abordados en sesiones previas. Durante el
desarrollo de las clases no se pone en juego la comprensión y el análisis de las conjeturas
que los estudiantes podrían aportar, de las ideas y de las concepciones previas, tampoco
existe un consenso de las mismas y en general, se enfrenta a los estudiantes a situaciones
problemáticas ficticias y sin relación con otras ciencias (Cantoral, 2000; García, 2006). Tal
metodología produce en los estudiantes un profundo desinterés por los temas escolares, y
una insatisfacción de los profesores en cuanto al aprendizaje de los primeros.
Las respuestas a tales problemáticas no se han hecho esperar. Se ha tenido, en las últimas
décadas, un incremento en las reformas que tratan de incidir directamente en el currículum
de los programas de cálculo, y de hecho, algunos profesores intentan acomodar dichos
programas a las realidades de los estudiantes, tómese como ejemplo el paradigma de las
matemáticas en contexto o el de resolución de problemas desarrollado en Norteamérica en
las últimas décadas. En este tipo de paradigmas, la figura del profesor pasa a ser la de un
guía; tratando de mostrar a los estudiantes que la matemática es un mundo de exploración y
18
Antecedentes
de resolución de problemas. Las ideas que manejan los autores de estás orientaciones
teóricas, se basan en la tesis de que los objetos mentales preceden a los objetos formales, y
que éstos pueden servir al momento de organizar campos de experiencia. Otro ejemplo de
reforma curricular la podemos encontrar en países como Australia y Francia, donde se han
avocado hacia una reforma que use a la tecnología como motor del conocimiento
matemático (Moreno, 2005).
Sin duda, voluntad por parte de los investigadores, de los profesores y de las instituciones
no falta, sin embargo, estos esfuerzos poco han logrado desligar el aspecto problemático de
la enseñanza-aprendizaje de los conceptos del cálculo, y nos encontramos profesores que
prefieren mantenerse en una postura tradicional de potenciar la enseñanza de los métodos
de resolución algebraica por sobre los procesos de construcción matemática y cognitivos.
Esto nos refiere de una resistencia por tomar en cuenta una componente didáctica diferente
a la tradicionalmente empleada en el aula.
Los profesores en ejercicio no reconocen fácilmente el interés que pueda tener una
formación en Didáctica de las Matemáticas (Artigue, 1995). Inclusive, dentro de las
instituciones de enseñanza, existe una falta de interés y credibilidad en la teoría didáctica
como una forma de explicar, interpretar e incidir en las problemáticas que se desarrollan en
la práctica docente (Espinoza, 2000). Lo anterior podría deberse a que los problemas que
los profesores de matemáticas enfrentan, no pertenecen, en su gran mayoría, al campo de la
didáctica, y si así fuera, la didáctica no ofrece un aporte inmediato de solución. Artigue
(1995) menciona que existen debates en cuanto a la integración de la componente didáctica
en la formación inicial de los profesores. La didáctica es percibida como una falsa ciencia
19
Antecedentes
que desea imponer su dogma en la enseñanza; o el temor de que la formación didáctica se
haga en detrimento de la formación matemática de los profesores. Sin embargo, aun con la
presencia de estos argumentos detractores de la importancia de una formación en didáctica,
pensamos que es preciso generar vínculos entre ésta y la práctica docente (Sánchez, 2005;
Aparicio, 2006). El rechazo a la didáctica de las matemáticas, ocasiona en los profesores,
como ya se mencionó, el empleo excesivo de la técnica expositiva para abordar los
conceptos, clases sin una utilización racional y efectiva de recursos didácticos8, diferentes
a la pizarra y mecanismos poco eficaces de evaluación.
Por otra parte, a los profesores de matemáticas, en términos pragmáticos, les resulta más
económico (en cuestión de tiempos), abordar los temas mediante una metodología
expositiva, distinguible por el seguimiento de un patrón: definición del concepto a estudiar,
ejemplos rutinarios donde se aplique el concepto específico, y por último ejercicios de
reforzamiento. Ver el siguiente esquema:
Definición del concepto
Aprendizaje
Ejemplos tipo
Reforzamiento
5Para el caso de matemáticas, un recurso didáctico lo consideramos desde una perspectiva amplia, como
cualquier hecho, lugar, objeto, persona, proceso o instrumento del que se vale el profesor para ver alcanzado
los objetivos de aprendizaje.
20
Antecedentes
En este tipo de tratamiento de contenidos, los tiempos de exposición suelen acortarse, lo
cual favorece abordar más temas en menor tiempo. Motivados por los tiempos
institucionales, los profesores se ocupan por desarrollar por completo una programación
temática muy extensa, reduciendo de alguna manera, los tiempos de exploración y de
debate en la clase de cálculo (Cantoral, 2000). De esta manera, se piensa que los estudiantes
podrán “construir” aprendizajes, los cuales podrán ser utilizados en situaciones no
rutinarias; hecho que, generalmente no ocurre.
2.3. Sobre la Investigación en Didáctica del Cálculo
Luego de una revisión de las investigaciones en didáctica del cálculo, Harel y Trgalová
(1996) citados por Moreno (2005), señalan que las investigaciones en tal rubro están
enmarcándose en tres enfoques para la enseñanza del cálculo:
• “Proyecto de Cálculo en Contexto”, donde la idea principal es que el Cálculo es un
lenguaje (el lenguaje de la ciencia), una red de conceptos y técnicas útiles. El
objetivo principal es que los estudiantes construyan las matemáticas a través de sus
aplicaciones y comprendan las relaciones entre los elementos que forman al
Cálculo.
• “Proyecto de Debate Científico”, donde el objetivo principal es conseguir que los
estudiantes trabajen como si fueran matemáticos mediante la introducción de
diferentes conceptos del Cálculo en el contexto de problemas científicos. Los
estudiantes formulan, conjeturan, proponen, dibujan sus conclusiones, validan,
discuten y argumentan con sus demás compañeros de clase.
21
Antecedentes
• El tercer enfoque es el que proponen Artigue y colaboradores, que desarrollan un
modelo teórico y de enseñanza denominado Ingeniería Didáctica. Se propone un
enfoque de enseñanza que intente desde el principio, coordinar los enfoques
algebraico, numérico y gráfico. Se plantea una investigación en tres fases: análisis e
interpretación de la enseñanza; análisis de las restricciones en la enseñanza; diseño
de una Ingeniería didáctica.
En la actualidad existen varias investigaciones en didáctica de las matemáticas que ponen a
la tecnología como motor de conocimiento, teniendo interesantes repercusiones en la
enseñanza del Cálculo. En ellas se sugiere que el uso de la tecnología en el aula de
matemáticas no debe quedar excluido porque “evitan que el alumno piense”, sino más bien,
mirar a la tecnología como la herramienta que brinda la posibilidad a los estudiantes de
involucrarse en la construcción de su conocimiento matemático. Se propone entonces la
creación de propuestas en las que se desarrolle un uso inteligente de los medios
tecnológicos (Buendía et al, 2006). Los investigadores que tienen a su cargo la ejecución de
este tipo de proyectos, comparten una visión sobre los instrumentos tecnológicos:
facilitadores de cálculos y operaciones en general, cuyo uso inteligente no puede quedar
relegado al pragmatismo de ahorrador de tiempo. De ahí que, en el aula de matemáticas de
este siglo, tiene que darse necesariamente una reorganización del discurso matemático
escolar que favorezca un estudio, representación y exploración del saber matemático
matizado por el uso de instrumentos tecnológicos (Buendía et al, 2006).
Sin embargo, ante tales resultados y propuestas, poco se ha podido hacer a favor de una
mejoría en los aprendizajes del cálculo, pues se continúa igual y padeciendo dificultades
22
Antecedentes
conocidas. Las principales críticas por parte de los profesores hacia los resultados de las
investigaciones, son sin duda, los tiempos empleados en desarrollar un tema y el número de
estudiantes a manejar en las aulas. En cuanto a la primera, si bien es cierto que las
investigaciones invierten más tiempo para desarrollar y trabajar con los conceptos que
cuando se abordan en las clases convencionales, las ventajas en cuanto a la comprensión y
aprendizaje de los estudiantes, en muchos casos, son evidentes. Creemos que si se pretende
que los estudiantes logren comprender y manejar las ideas y los tipos de razonamientos que
el cálculo desarrolla; es decir, si queremos que nuestros estudiantes al estudiar la derivada
piensen y se comuniquen en códigos variacionales, habilidad necesaria para el estudio y
entendimiento del cálculo diferencial, sería conveniente rediseñar nuestra práctica docente
y orientarla hacia propiciar la aparición de las ideas que la matemática involucra y
desarrolla.
Por otro lado, en esta época de crecimiento y de globalización de la enseñanza, es preciso
que las instituciones acerquen los recursos educativos a más estudiantes, así como
proporcionar la infraestructura requerida. Sin duda, tal situación repercute directamente en
el número y tamaño de los grupos que deben ser manejados por los profesores; pues al
incrementarse, el profesor tiene más problemas cuando pretende abordar los temas de una
manera diferente a la tradicional. De nueva cuenta, pretextando por el tiempo que se debe
emplear para abordar los temas.
23
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
CAPÍTULO 3
ELEMENTOS PARA EL DISEÑO DE PROPUESTAS DIDÁCTICAS
3.1. Sobre los Elementos para el diseño de propuestas didácticas en cálculo
diferencial
En esta sección se presentarán los elementos que consideramos importantes para el diseño
de propuestas didácticas en Cálculo Diferencial. Tales elementos derivaron del análisis de
artículos de investigación relacionados con el diseño de propuestas didácticas en la
enseñanza de algunos conceptos del cálculo diferencial. Los temas de búsqueda fueron:
funciones reales, límites de funciones reales, continuidad de funciones y derivadas. Se
examinaron artículos de investigación que desarrollaran, mediante actividades y propuestas,
alguno de estos temas.
Nos interesamos en analizar la manifestación de partes esenciales en las actividades o
secuencias de éstas, utilizadas por investigadores en sus proyectos de investigación e
innovación en didáctica del cálculo, a tales características hemos convenido en referirlas
como elementos para el diseño de secuencias didácticas en cálculo. Estos elementos que
presentaremos en lo sucesivo, son producto de un meticuloso análisis de propuestas y
actividades presentes en el conjunto de investigaciones abordadas. El análisis que se llevó a
cabo fue buscando las diferencias y semejanzas entre las propuestas así como también el
tratamiento dado a los conceptos. Es importante recalcar el alcance de nuestra
investigación, pues los elementos que se proponen y caracterizan no son, de ninguna
24
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
manera, únicos; así como tampoco son impositivos para el diseño de actividades en las
propuestas didácticas. Más bien se trata de patrones que a juzgar por los resultados se deben
considerar, pues luego del análisis de las propuestas que los reportes de investigación
presentaban, se pudo observar su presencia e importancia de manera universal, no
importando el tipo de población, lugar, ideología o paradigma teórico.
Los elementos que se presentan pueden ser agrupados como inherentes al objeto
matemático, o propios de la persona; de igual manera pueden ser categorizados como
elementos del tipo: epistemológicos, cognitivos y didácticos. La primera distinción atiende
a que los conceptos matemáticos muchas veces son complicados en sí mismos, las
problemáticas relacionadas a su aprendizaje son debidas a su propia naturaleza y a su
epistemología de desarrollo (propios del objeto); otras veces, las dificultades de los
conceptos matemáticos están relacionadas a consecuencias del lenguaje, motivaciones
personales o a las concepciones previas de los estudiantes (propios de la persona). La
segunda distinción se realiza atendiendo a las tres dimensiones centrales en el análisis y
funcionamiento del sistema didáctico9. Básicamente estas tres dimensiones atienden a
diferentes preguntas que las rigen; la dimensión epistemológica es guiada por la pregunta:
¿cómo se constituye el objeto de conocimiento?; la dimensión cognitiva responde a la
pregunta: ¿cómo el estudiante aprende el objeto?, por último, la dimensión didáctica
responde a la pregunta: ¿cómo se enseña el objeto? (Arrieta, 2003).
La dimensión epistemológica se refiere a las distintas evoluciones de los conceptos que en
la historia se han presentado a través de su ubicación en la enseñanza. Las evoluciones 6Entenderemos por Sistema Didáctico al conjunto de relaciones que en general se establecen entre profesor y los alumnos con la intencionalidad explícita de desarrollar enseñanza para producir aprendizajes específicos.
25
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
forman parte de la aproximación del saber hacia un estadio científico propio de la época en
estudio. En esta dimensión es importante reconocer aquellos obstáculos para el aprendizaje
a través de un desarrollo histórico de las ideas y su devenir en la enseñanza actual.
La dimensión cognitiva tiene que ver con los diferentes puntos de vista, las concepciones,
representaciones y modos en que los involucrados abordan e interpretan el concepto,
objeto, noción, etc., que profesores, estudiantes y en general, la comunidad académica
tienen o se forman al respecto.
La dimensión didáctica se relaciona con las características de la labor docente dentro del
sistema educativo en el estudio de las nociones de la enseñanza a través de los libros de
texto, en la manera en que se enseña el concepto por parte de los profesores, así como de
las exigencias que estos hacen.
Presentamos a continuación los elementos que se obtuvieron de las investigaciones en
didáctica del cálculo:
Elementos para el diseño de propuestas didácticas:
1. La noción de visualización matemática (de la persona; cognitivo, didáctico)
2. La noción de obstáculo epistemológico (de la persona; epistemológico, didáctico)
3. Cambio y coordinación entre registros de representación semiótica (de la persona;
didáctico)
4. Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional (de la persona; cognitivo)
5. La cualidad dual de los conceptos. Objeto-Proceso. Operacional-Estructural (del
objeto; epistemológico)
26
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
6. Concepto-Imagen y Concepto-Definición (de la persona; didáctico)
7. La noción de infinito. Infinito Potencial e Infinito Actual (del objeto; cognitivo,
epistemológico)
8. Procesos y situaciones límites (del objeto, de la persona; epistemológico, cognitivo,
didáctico)
9. Aspectos Puntual y Global de los conceptos (del objeto; didáctico)
3.1.1. La noción de visualización matemática
Consideramos, en primera instancia, al concepto de Visualización en el sentido de
Zimmerman y Cunningham (1991) citados en Peralta (2004) como:
“… el término visualización se utiliza para describir los procesos de producción o uso de
representaciones geométricas o gráficas de conceptos matemáticos, principios o
problemas, ya sea dibujados a mano o generados por computadora”.
Adicionalmente, Hitt (1995) en Peralta (2004), menciona que: “La visualización de los
conceptos matemáticos no es una actividad cognitiva trivial: visualizar no es lo mismo que
ver. Visualizar es la habilidad para crear ricas imágenes mentales que el individuo pueda
manipular en su mente, ensayando diferentes representaciones del concepto y, si es
necesario, usar el papel o la computadora para expresar la idea matemática en cuestión”.
En el mismo orden de ideas, también menciona que “La visualización matemática requiere
de la habilidad para convertir un problema de un sistema semiótico de representación a
otro” y que “investigaciones recientes sobre los sistemas semióticos de representación han
27
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
puesto de manifiesto la importancia de la articulación entre diferentes representaciones de
conceptos matemáticos para el aprendizaje de la matemática”.
Tenemos entonces que Visualizar requiere de habilidades propias del pensamiento
matemático, por ejemplo: representar, transformar, generar, comunicar, documentar y
reflejar información visual en el pensamiento y en el lenguaje del que aprende cierto
concepto matemático (Montiel, 2003). La visualización requiere el empleo de nociones
matemáticas asociadas a los ámbitos numéricos, gráficos, algebraicos y verbales, lo cual
implica que los estudiantes sean capaces de explicar fenómenos y describir sus
experiencias. Trata pues, del funcionamiento de las estructuras cognitivas que son
empleadas para resolver problemas o con las relaciones abstractas que se formulan con las
diversas representaciones de un concepto matemático, todo ello con la finalidad de poder
operar con ellas y obtener resultados.
Como se mencionó, la visualización es una actividad cognitiva mucho más compleja que el
simple acto de ver u observar una representación de algún concepto matemático. Por
ejemplo, visualizar una función no significa solamente verla, mirar o contemplar su gráfica,
de hecho como menciona Montiel (2003) es posible visualizar la función sin siquiera verla
con el sentido de la vista. Con lo anterior podríamos decir que lo realmente importa, es la
transformación que podemos hacer de esa representación a otra, lo cual implica llevar a
cabo un acto de visualización.
Ahora bien, la visualización en nuestros días es un aspecto que está ganando terreno en el
ámbito de la educación matemática a nivel internacional. Las investigaciones que se
refieren a la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas cada vez son más proclives a
28
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
utilizar la visualización como parte medular del trabajo de los estudiantes. En estas
investigaciones se resalta la importancia de la visualización matemática como herramienta
de construcción de ideas matemáticas, pero no como una herramienta de la matemática
formal. Esto último es debido, principalmente, a que las imágenes, los diagramas y dibujos
han sido desestimados como herramientas, debido a lo subjetivo que pueden resultar y su
falibilidad a la hora de asegurar la verdad (Carrasco, 2005).
Nuestra postura con respecto a la visualización es que debe tomar parte cuando se estén
diseñando actividades para temas de Cálculo, pues como ya se ha dicho, la visualización
implica más que solo poder observar alguna representación, interesa el uso que se le pueda
dar a esa representación; la información que se pueda obtener de esa representación o la
explicación que pueda dar alguien sobre ella. En este sentido, no basta que el profesor en el
aula represente un objeto, idea o concepto matemático, en donde el significado que se le
otorgue a la representación sea la de una forma alternativa de mostrar una información, sino
que, se utilice a la representación como una forma de estimular los procesos mentales.
Sin embargo, la visualización no es un acto directo o que todas las personas puedan realizar
sin alguna dificultad; no es una visión inmediata de las relaciones, sino una interpretación
de lo que se presenta a nuestra contemplación que solamente podemos realizar eficazmente
si hemos aprendido a leer adecuadamente el tipo de comunicación que la sustenta (Montiel,
2003).
29
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
3.1.2. La noción de Obstáculo Epistemológico
Para comenzar con el desarrollo de esta sección mencionaremos que el concepto de
Obstáculo Epistemológico no se refiere a las dificultades desorganizadas o derivadas de la
ausencia de conocimiento, sino a las dificultades directamente vinculadas con las formas de
considerar el conocimiento o los conocimientos mismos. Lo anterior implica por ejemplo, a
los nuevos conocimientos que “chocan” con las concepciones previas de los estudiantes,
decimos entonces que estamos ante un obstáculo epistemológico.
En Malisani (1999) se presenta una serie de condiciones que debe satisfacer un obstáculo
para que sea considerado de tipo epistemológico:
• Un obstáculo es un conocimiento, una concepción, no una dificultad o falta de
conocimiento.
• Este conocimiento produce respuestas correctas en un determinado contexto que el
alumno encuentra a menudo; pero genera respuestas falsas fuera del contexto; es
decir, un conocimiento es válido en cierto dominio y para ciertas actividades y
tareas.
• Este conocimiento se manifiesta resistente a las contradicciones (a las cuales se
confronta) y a la sistematización de un conocimiento mejor.
• Después de la toma de conciencia de la falta de precisión del conocimiento “viejo”,
éste continúa manifestándose de manera tenaz y frecuente.
30
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
Bachelard en Malisani (1999) se refiere a los obstáculos epistemológicos:
“Un obstáculo epistemológico se incrusta en el conocimiento no formulado. Costumbres
intelectuales que fueron útiles y sanas, pueden después de un tiempo obstaculizar la
investigación".
Por otra parte, si se logra ayudar a los estudiantes a superar los obstáculos epistemológicos
que se presentan, habrá posibilidades reales de que el nuevo conocimiento será
significativo. Según Brousseau (1986) en Malisani (1999), la noción de obstáculo está
relacionada con la idea de aprendizaje por adaptación. Ciertos conocimientos del alumno
están ligados a otros conocimientos anteriores que a menudo son provisorios, imprecisos y
poco correctos. Es importante mencionar que los obstáculos epistemológicos toman en
cuenta el hecho de que el conocimiento científico no es el resultado de un proceso
continuo, sino que necesita de algunos momentos de ruptura con los conocimientos
anteriores (Artigue, 1995). Ahora bien, estas rupturas no deben considerarse como “malas”,
más bien nos indican la manera en que el “saber” evoluciona, por ejemplo, a lo largo de la
historia.
3.1.3. Cambio y coordinación entre Registros de Representación Semiótica
Actualmente, muchas investigaciones en didáctica de las matemáticas (o Matemática
Educativa) han reportado el creciente interés por el estudio de las representaciones como
generadoras de pensamiento matemático, el uso de varios registros de representación así
como en la articulación y transferencia entre los mismos; para que de esta forma los
estudiantes sean capaces de acceder a los conceptos matemáticos, es decir, se tenga una
31
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
comprensión más rica y amplia de algún concepto matemático. Los resultados de
investigaciones relativas al uso de los registros de representación semiótica han fortalecido
la postura de que el aprendizaje se ve favorecido cuando se incorporan en su enseñanza
actividades didácticas que utilicen y articulen registros de representación (Ibarra et al,
2000).
Para efectos de la presente investigación vamos a entender como Registro a aquello
constituido por signos, en el más amplio sentido de la palabra: trazos, símbolos, íconos,
figuras, etc. Estos signos están asociados de manera interna de acuerdo a los lazos de
pertenencia a una misma red semántica y, de manera externa, según las reglas de
combinación de signos en expresiones o configuraciones; estas reglas son propias de la red
semántica considerada. Un registro se caracteriza por un sistema semiótico, es decir, por
sus signos propios y la manera en que estos se organizan (Duval, 1988 en García et al,
2004).
Para el caso de las matemáticas, un registro de representación será un sistema de signos
utilizados para representar una idea u objeto matemático. Ahora bien, la importancia de los
registros de representación en matemáticas radica en que los objetos matemáticos no son
directamente accesibles por medio de la percepción o por una experiencia intuitiva
inmediata como son los objetos comúnmente llamados físicos; de ahí la importancia en los
procesos de Enseñanza-Aprendizaje de las matemáticas (Duval, 1998 citado por García et
al, 2004).
Por otro lado, los registros de representación deben contar con ciertas características, por
ejemplo: deben ser identificables, deben permitir su tratamiento, esto es, la manipulación y
32
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
transformación dentro del mismo registro y; por último, debe permitir la conversión,
consistente en la transformación total o parcial a otro registro de representación. La
coordinación o conversión entre registros se refiere a la confrontación de dos
representaciones de un mismo objeto; a la conversión congruente entre registros de
representación. El último aspecto es uno de los más importantes, pues como menciona
Duval (1993) citado por (Ibarra et al, 2000):
“La comprensión (integradora) de un contenido conceptual reposa en la coordinación de
al menos dos registros de representación, y esta coordinación se manifiesta por la rapidez
y la espontaneidad de la actividad cognitiva de conversión”.
3.1.4. Desarrollo del Pensamiento y Lenguaje Variacional
El cálculo es la matemática del cambio, de la variación; fue así como se piensa que fue
concebido por Newton en sus principios; el movimiento y el cambio eran el motor de todas
sus preguntas y lo que daba sentido a sus estudios. Actualmente el cálculo es una poderosa
herramienta que estudia el movimiento o mejor dicho modela el movimiento y que se
emplea como herramienta fundamental en todas las ciencias, por ejemplo, en la medicina y
biología. Sin embargo, el cálculo en los sistemas educativos ha perdido este enfoque y se
han priorizado sus aspectos algorítmicos y procesos de construcción y validación formales
sobre la parte vivida y funcional de tan importante rama.
Cuando se aborda el estudio del Cálculo Diferencial o Integral en el bachillerato,
aparentemente éste es percibido como un tedioso y engorroso conjunto de reglas y fórmulas
sin aparente uso y aplicación en situaciones de la vida cotidiana. En el nivel universitario se
33
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
le percibe como un conjunto de teoremas, definiciones, demostraciones y problemas
abstractos, que solamente adquieren sentido dentro de las aulas de matemáticas. Las
competencias en las clases de Cálculo se reducen entonces a resolver límites, obtener
algunas derivadas de funciones, si acaso resolver algunos problemas de optimización y en
un nivel más avanzado, demostrar una gran cantidad de teoremas. Las prácticas algebraicas
son las que predominan en los cursos de Cálculo, pues es en este aspecto en el cual se
enfocan las clases y las “evaluaciones” de los aprendizajes.
Ahora bien, si se parte del hecho de mirar y considerar el Cálculo como la rama de la
matemática que permite modelar, explicar, predecir y cuantificar fenómenos de variación y
cambio, tiene cabida entonces hacerse preguntas tales como: ¿por qué en las clases de
matemáticas se ha perdido ese status o se ignora en gran medida? Las clases de Cálculo,
desde nuestro punto de vista, deben ser dirigidas primordialmente a que los estudiantes
trabajen con ideas variacionales, se estudien y modelen fenómenos de cambio, para lo cual
debemos desarrollar en nuestros estudiantes el pensamiento y lenguaje variacional; pues no
es suficiente que los estudiantes piensen en términos variacionales, sino también es
importante que los estudiantes puedan comunicar esas ideas. Pues como se menciona en
Cantoral (1993), no porque es momento de estudiar Cálculo tendremos la predisposición
hacia las ideas variacionales.
Sostenemos que la comprensión de los conceptos involucrados en el Cálculo es más
importante que desarrollar en los estudiantes prácticas algorítmicas.
Actualmente, el Pensamiento y Lenguaje Variacional es una línea de investigación
desarrollada por un grupo de Matemáticos Educativos, sistemáticamente desarrollada desde
34
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
hace poco más de una década por el grupo de investigación del Área de Educación Superior
del Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación y Estudios
Avanzados del IPN-México (Cantoral, Reséndiz, 2003).
El Pensamiento y Lenguaje Variacional en tanto espacio de conocimiento, estudia los
fenómenos de enseñanza-aprendizaje y comunicación de saberes matemáticos propios de la
variación y el cambio en el sistema educativo y medio social. Además, se interesa en la
manera con que las personas asignan y comparten sentidos y significados utilizando
estructuras y lenguajes variacionales (Dolores et al, 2002). En él se ha sostenido, que el
actual discurso matemático escolar, parece inhibir el desarrollo de ideas variacionales entre
los estudiantes. Lo anterior debido a que la enseñanza del Cálculo ha sido entendida como
el desarrollo de habilidades algorítmicas, de naturaleza algebraica, para derivar, integrar y
optimizar variables, de ahí que su enseñanza entonces, no requiera diseñar escenarios para
la significación de la variación, ya sea a un nivel global o local.
Cabe mencionar, sin embargo, que el desarrollo del pensamiento y el lenguaje variacional
entre los estudiantes precisa de procesos temporalmente prolongados a juzgar por los
tiempos escolares. Supone, por ejemplo, del dominio de la matemática básica y de los
procesos del pensamiento asociados, pero exige simultáneamente de diversas rupturas con
estilos del pensamiento prevariacional, como el caso del pensamiento algebraico. Además,
el conocimiento de la recta y de la parábola no son suficientes para acceder al lenguaje y
pensamiento variacional o para desarrollarse en los estudiantes, es necesario el manejo de
un universo de formas gráficas rico y profundo en significados por parte del estudiante
(Cantoral, Farfán; 2000).
35
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
3.1.5. La cualidad dual de los conceptos. Objeto-Proceso. Operacional-
Estructural
La dualidad objeto-proceso de los conceptos matemáticos se ha destinado para explicar lo
que ocurre con los conceptos matemáticos en la mente del estudiante como una extensión
del principio de abstracción reflexiva construida por Piaget (García, 1982 en Cantoral,
1993).
Una de las razones de la complejidad del conocimiento matemático superior es que, en su
mayoría, los conceptos del pensamiento matemático avanzado pueden jugar el papel de
procesos y de objetos, según la situación planteada o el nivel de conceptualización del
estudiante (Azcárate, Camacho, 2003), debido a las abstracciones con las que tiene que
trabajar la matemática.
Para ejemplificar este aspecto dual de los conceptos en matemáticas tomemos el siguiente
ejemplo: 2 + 7 se puede mirar como la acción de sumar el número 2 con el número 7, lo
cual se refiere a un proceso; mientras que si los miramos como la suma estaríamos
refiriéndonos a su aspecto de objeto (Cantoral, 1993). La expresión
representa simultáneamente el proceso de cómo calcular el valor de la función para
un valor particular de
9)( 2 −= xxf
)(xf
x y el objeto, es decir el concepto de función para un valor general
de x (Azcárate, Camacho, 2003); o bien la entidad se puede interpretar como la
acción de derivar (proceso) o bien como la derivada (objeto), inclusive sobre la cual se
podría efectuar otro proceso, por ejemplo integrar (Cantoral, 1993).
)(xDf
36
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
Como podemos observar, los objetos se conectan, interactúan mediante relaciones y los
procesos se componen de operaciones sobre dichos objetos. Sfard (1991) en Azcárate et al
(2003) menciona dos tipos de concepciones de un mismo concepto matemático: las
concepciones operacionales, cuando se tratan las nociones matemáticas como procesos
dinámicos, algoritmos y acciones, y las concepciones estructurales, cuando se consideran
los conceptos matemáticos como objetos abstractos estáticos. Este autor afirma que estas
concepciones son complementarias pues: “la habilidad para ver una función o un número, a
la vez como un proceso y como un objeto es indispensable para una comprensión profunda
de las matemáticas”. Considera que en la comprensión de un concepto matemático,
primeramente se da la concepción como proceso y después como objeto. Por nuestra parte,
indicaremos que si bien es muy posible que la concepción de proceso preceda a la de
objeto, su interconexión no es espontánea e incluso, la concepción de proceso que habita en
un estudiante llega a convertirse en obstáculo. Ilustramos lo dicho de la manera siguiente:
Es posible que al plantearle la pregunta, ¿qué es el límite de una función? a un estudiante
pre o universitario, nos encontremos respuestas del tipo: “…es el proceso de aproximarse
tanto como se quiera a un determinado valor pero sin llegar a tomar ese valor…”, Dicho
de otro modo, recurren a la idea “intuitiva” que bien el profesor ha mencionado o bien, han
leído en un libro; empero, en nuestra opinión, esta concepción procesal se convierte en un
obstáculo que induce errores de entendimiento, pues tal proceso no representa el objeto
como tal, sino el medio por el cual se ha de llegar a éste. Es decir, es un medio de
búsqueda.
37
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
La complejidad de los conceptos matemáticos radica importantemente en esta dualidad
proceso-objeto, pues muchas veces los estudiantes solo pueden reconocer uno de los
aspectos de esta dualidad. Un estudiante puede aprender a derivar y sin embargo, ser
incapaz de poder realizar la gráfica de la derivada e incluso no reconocerla como una nueva
función (Cantoral, 1993).
3.1.6. Concepto-Imagen y Concepto-Definición
Tall y Vinner (1981) con el propósito de clarificar las ideas y el lenguaje, establecen una
importante distinción entre los conceptos matemáticos definidos formalmente y los
procesos cognitivos que sirven para concebirlos, es decir, entre los resultados del proceso
de adquisición y representación de un concepto matemático en la mente de cada individuo y
la definición formal del mismo.
Ellos llamaron concepto-imagen a todas las imágenes mentales (incluye cualquier
representación del concepto: gráfica, numérica, simbólica, etc.) propiedades y procesos
asociados al concepto; lo anterior se va construyendo en los aprendices a lo largo de los
años a través de las experiencias y va cambiando según el aprendiz madura y se encuentra
ante nuevos estímulos. Sin embargo, muchas veces, estas imágenes, propiedades y procesos
no son globalmente consistentes en la comunidad científica de los matemáticos
profesionales y podría incluso, ser bastante diferente con el concepto-definición, secuencia
de palabras o símbolos que son usados por la comunidad científica de los matemáticos para
especificar o definir a ese concepto, lo cual podría ser fruto de su evolución histórica (estas
definiciones suelen aparecer escritas en los libros).
38
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
El concepto-imagen es algo no siempre verbal que asociamos mentalmente al nombre del
concepto; puede ser una representación visual del concepto, pero incluye también las
experiencias y las sensaciones vividas en relación al mismo (Azcárate et al, 2003).
Cabe mencionar que, para cada aprendiz, un mismo concepto o el concepto-definición
genera su propio concepto-imagen. Tomemos como ejemplo, el concepto de función. En
los libros de texto aparece comúnmente como: “una regla de correspondencia, en la cual a
un elemento de un conjunto A se le asigna un único elemento de otro conjunto B”; sin
embargo, los estudiantes que se han enfrentado al tema de funciones, podrían no recordar
la definición tal y cual aparece en los libros de texto y su concepto-imagen podría incluir
aspectos tales como: la idea de que una función es una ecuación analítica (fórmula,
representación algebraica), una gráfica o simplemente una tabla de valores (representación
numérica); y podría suceder incluso que ninguna de estas representaciones forme parte del
concepto-imagen del estudiante (traducción propia de Aspinwall, Millar; 2001).
Ahora bien, si un profesor presenta o proporciona la definición formal, por ejemplo, la del
concepto de función, y trabaja con ella un corto periodo de tiempo antes de pasar periodos
prolongados en los cuales todos los ejemplos son proporcionados como fórmulas, entonces,
cada concepto-imagen de los estudiantes podría desarrollarse más en la concepción de una
función como fórmula, mientras que la definición formal se vuelve inactiva en la estructura
cognitiva de los estudiantes. Los estudiantes podrían desenvolverse en un contexto limitado
con su noción restringida de función, incluso podría ser que respondan con la definición
formal correctamente, mientras operan con un inapropiado concepto-imagen de la noción
enseñada (Aspinwall, Millar, 2001).
39
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
3.1.7. La noción de Infinito. Infinito Potencial e Infinito Actual
Actualmente es indudable el papel esencial y primordial que guarda el concepto del Infinito
en las matemáticas de nivel superior. Para los matemáticos profesionales de nuestros
tiempos, el infinito es un objeto más de la matemática, pues, actualmente goza de
definiciones bien estructuradas, además, es un elemento contenido en la estructura
axiomática-deductiva, cuyas operaciones se encuentran bien estructuradas así como sus
relaciones con otros objetos matemáticos. Sin embargo, el matemático puede trabajar con el
infinito de manera tan natural, gracias a que al “matematizarlo” se ha renunciado a debates
milenarios sobre sus múltiples interpretaciones, contradicciones y paradojas que le son
asociados. Los procesos de reconstrucción conceptual durante un proceso de aprendizaje no
han quedado exentos de los problemas que el concepto de infinito acarrea, además es uno
de los obstáculos más difíciles de superar en la enseñanza de las matemáticas avanzadas, lo
cual hace crítico el aprendizaje del Cálculo (Waldegg, 1996). El infinito está asociado a las
concepciones más importantes del Cálculo, por ejemplo: límites, derivas e integrales.
Hoy día, la visión del infinito en las matemáticas distingue dos acepciones: el Infinito
Potencial y el Infinito Actual.
Bajo la primera perspectiva (infinito potencial), el concepto de infinito está asociado a la
ausencia de límites o de fronteras, a la falta de conclusión o de término de un proceso que
se repite o que progresa indefinidamente. Bajo este aspecto, el infinito es, literalmente lo
que no tiene fin, lo que siempre se puede continuar. Un ejemplo de infinito en su aspecto de
infinito potencial, sería la serie de los números naturales (Ν), en donde siempre es posible
hallar el sucesor de un número dado, no importa que tan grande sea este, aunque siempre el
40
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
número y su sucesor son finitos; también dividir siempre a la mitad una línea que se
prolonga en ambos sentidos pertenecería al aspecto de infinito potencial. El infinito
potencial bajo manifestaciones diversas aparece muy temprano, tanto en la evolución
histórica, como en el desarrollo intelectual del individuo. Por ejemplo, los niños desde edad
temprana, son capaces de advertir eventos cíclicos, como la sucesión del día y la noche, que
se repiten indefinidamente sin que parezcan tener fin. Cabe mencionar que este infinito no
parece crear problemas en el desarrollo conceptual, pues no crea conflictos graves con la
intuición y permanece largo tiempo sin evolucionar (Waldegg, 1996).
La segunda acepción del infinito, el Infinito Actual, está asociado a la idea de totalidad, de
completez y de unidad. Un proceso infinito, bajo este aspecto, se considera ahora acabado y
los límites alcanzados. Esta es la manera en que un matemático piensa actualmente y
trabaja con el concepto. La idea de infinito actual ha jugado un papel esencial e
incuestionable en el desarrollo y construcción de la matemática moderna. Sin embargo, el
desarrollo conceptual del infinito actual es diferente al desarrollo del infinito potencial,
pues a diferencia de este último, se desarrolla tardíamente y aparece siempre inmerso en
situaciones conflictivas. No obstante, se podría pensar en una anterioridad lógica del
infinito actual sobre el potencial, lo que tiene como consecuencia que su aparición sea
inevitable en los procesos de creación y re-creación de las matemáticas en donde está
presente el infinito potencial (Waldegg, 1996).
Desde la realidad psicológica, el infinito es un concepto difícil de aceptar y, muchas veces,
contradictorio. Si hacemos un breve recorrido histórico del concepto de infinito nos
daremos cuenta que las intuiciones que actualmente se presentan son similares a aquellas
41
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
experimentadas por los matemáticos durantes el desarrollo del concepto. Por ejemplo, en
(Garbin, 2005), se menciona que los estudiantes entre 16 y 20 años, a los cuales no se les ha
formalizado el concepto de infinito cantoriano (infinito actual) y aun teniendo
conocimientos de Cálculo diferencial e integral, no necesariamente perciben al infinito en
algunas situaciones como acabado y los límites alcanzados, sin embargo en otras
situaciones si es aceptada la completes del proceso.
Creemos que todos los aspectos que involucren el trabajar con el infinito, primero deberían
ser antecedidas por el estudio de las consecuencias de los dos aspectos del infinito:
potencial y actual. Es importante como menciona Garbin (2005) no favorecer a lo largo de
la escolaridad posturas cerradas y erradicadas en situaciones que no permiten dar paso a lo
infinito a partir de la finito, extrema insistencia de lo concreto y finito, y trabajar con
frecuencia con una matemática o demostraciones que “ocultan” o no muestran con claridad
los procesos infinitos involucrados y el papel que éste juega.
Circunstancias escolares mediocres e intuiciones equívocas, favorecen a que los aspectos
relacionados con el infinito sea uno de los obstáculos conceptuales más difíciles de superar.
3.1.8. Procesos y situaciones límite
El límite es un concepto muy importante para el desarrollo de las matemáticas modernas,
en especial del cálculo. Lo anterior responde a que varios de los conceptos más importantes
del cálculo basan sus definiciones en tal concepto, por ejemplo, la derivación e integración.
En las investigaciones sobre la didáctica del cálculo, el concepto tiene un lugar esencial, lo
cual era de esperarse debido a la importancia del concepto en el campo de las matemáticas
42
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
(Artigue, 1995). La historia de la matemática nos muestra que este concepto es muy
complejo y que muchas veces los obstáculos que tuvieron algunos matemáticos se
presentan de nueva cuenta en el aula de matemáticas. Cabe mencionar que existieron varios
pensadores que no lograron sobrepasar el obstáculo generado por las concepciones del
infinito potencial y el infinito actual; por lo que es de suponerse que algunos profesores de
matemáticas de nivel medio superior e incluso superior, pudieran tener problemas en el
aprendizaje del mismo.
En (Hitt, Páez, 2004) se menciona que existe una gran cantidad de dificultades de
aprendizaje entorno al concepto de límite; por ejemplo: responder la pregunta ¿qué es el
límite?, el significado de las diferentes notaciones, los significados del signo “=” en las
diferentes representaciones, conflictos que causa la creencia de que los límites son una
simple “sustitución”, conflictos con las creencias de que las funciones no continuas no
poseen límites, entre otras. Además, puesto que el Cálculo tiene que ver directamente con
los procesos infinitos, y es uno de los primeros conceptos en los que aparece, los conflictos
de aprendizaje se hacen presentes de inmediato.
Otro problema que se presenta cuando se aborda el tema de límites, es que el sentido
común del término de límite favorece una concepción del límite como una barrera
intraspasable y no alcanzable, como una barrera o como el último término de un proceso
(Artigue, 1995).
43
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
3.1.9. Aspectos Puntual y Global de los conceptos
Los conceptos matemáticos son complejos en sí mismos; muchas nociones matemáticas
guardan una doble naturaleza: una puntual y otra global, por lo que referirse a tales
nociones es necesario hacerse a dos niveles.
Las nociones matemáticas tienen en un principio, un significado puntual, y por lo tanto
local y estático. Para ejemplificar esta idea tomemos el caso de la noción de derivada.
La definición clásica de derivada de una función de variable real )(xf x en un punto de
abcisa está dada por: 0x
x
xfxxfxf
xdxfd
xxx Δ
−Δ+=′=
→Δ=
)()(lim)()( 00
00
0
, donde fDx ∈0
La definición anterior se puede interpretar como la razón de cambio instantánea de la
función en el punto de abcisa . También como la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de la función en dicho punto. Tales consideraciones tienen un significado físico y
geométrico local, lo cual se refiere a un algoritmo local.
)(xf 0x
Sin embargo, podemos referirnos a la siguiente definición para la derivada:
x
xfxxfxfxdxfd
x Δ−Δ+
=′=→Δ
)()(lim)()(0
, donde fDx ∈
En este caso, el algoritmo es global, lo cual implica que su significado ya no depende del
punto elegido. Tal definición se referiría a una razón de cambio para cualquier valor
44
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
permitido de la variable independiente, o es la pendiente de la recta tangente a cualquier
punto que pertenece a la gráfica de la función. Se trata por lo tanto de un significado global
y dinámico.
Estas dos definiciones son, en esencia, equivalentes, ya que la segunda se podría considerar
como la generalización de la primera; es decir, podemos “leer” la primera definición de la
misma manera como leemos la segunda: como la derivada en cualquier punto. Sin
embargo, cognitivamente hablando, existe una cuestión que los profesores, generalmente,
pasan por alto: para los estudiantes, estas dos definiciones podrían ser “totalmente”
diferentes y podrían, incluso, referirse a dos conceptos no relacionados; ya que la notación
involucrada en ellas así lo hacen ver.
Existen en la literatura diferentes posturas con respecto a cual de los dos niveles de esta
dialéctica entre los puntual y lo global, debería dársele prioridad en la enseñanza de los
conceptos10; sin embargo nosotros no estamos interesados en definir una postura ante tal
situación, más bien, queremos recalcar la complejidad que revisten los conceptos en cálculo
en sí mismos a la hora que se pretenden realizar propuestas didácticas. Coincidimos, junto
con Jiménez (2004), en que el diseño de las actividades de enseñanza de los conceptos
matemáticos debe incorporar, desde su misma concepción, esta doble relación dialéctica
que se manifiesta en el proceso de gestación y evolución de dichos conceptos, por un lado,
como tensión entre lo puntual y lo global, y por el otro, entre las interpretaciones estática y
dinámica de tales conceptos. Esta doble relación dialéctica queda naturalmente anclada en
7 Cabe mencionar que no hay evidencia empírica suficientemente sólida de que el hecho de asimilar una concepción puntual sea el prerrequisito o la condición necesaria para construir sobre ella una concepción global (Heugl, 1999) en Jiménez (2004).
45
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
la expresión analítica (o algoritmo) que refleja la naturaleza de tal concepto, y que en la
ciencia matemática se presenta como la definición formal del concepto.
Por otra parte, no se encontró en la literatura especializada más información referente a esta
dualidad, por lo que pensamos conveniente estudiar a fondo tales consideraciones.
3.2. Recomendaciones para el diseño de propuestas didácticas
Además de los elementos presentados hasta el momento, a continuación realizamos algunas
recomendaciones que consideramos pertinentes tener en cuenta cuando se realicen
propuestas didácticas. Estas recomendaciones son más bien del tipo estructural y no son
aplicables a todas las secuencias, más bien, el profesor será el encargado de decidir si son
aplicables a las propuestas que plantea.
• Para el diseño y desarrollo de propuestas de aprendizaje es conveniente que primero
se decidan las competencias matemáticas que queremos desarrollar en los
estudiantes.
• Tomar en consideración el uso del Aprendizaje Cooperativo como técnicas de
trabajo de los estudiantes dentro del aula.
• Es conveniente que los profesores tengan en consideración los diferentes Estilos de
Aprendizaje y Estilos Cognitivos que sus estudiantes manejan y prefieren (Cantoral,
1993).
• Atender, en todo lo que sea posible a los aspectos funcionales de los conceptos. Se
podría interpretar también como el surgimiento del concepto o del tema a partir de
necesidades, o como herramientas para resolver situaciones problemáticas.
46
Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo
• Tratar de emplear situaciones concretas y cotidianas a los estudiantes, cuanto sea
posible. Los conceptos básicos deben procurarse de esta manera.
• Es muy importante considerar cual será la actividad de los estudiantes a lo largo de
las actividades de las propuestas. Es conveniente definir si la actividad del
estudiante será activa o pasiva.
47
La propuesta didáctica
CAPÍTULO 4
“UN TRATAMIENTO HACIA LA
DERIVADA EN TÉRMINOS DE LA
VARIACIÓN”
4.1 PROPUESTA DIDÁCTICA
48
La propuesta didáctica
4.1.1 ACTIVIDAD 1
A continuación se presentan tres tablas numéricas
a) Determina cuál de estas tablas corresponde a una función lineal, cuál a una función
cuadrática y cuál a una función cúbica. Explica ampliamente tu solución.
X y x y X y −3 −78 −3 624 −3 −29.25 −2 −57.75 −2 404.25 −2 96 −1 −40.5 −1 243 −1 221.25 0 −26.25 0 131.25 0 346.5 1 −15 1 60 1 471.75 2 −6.75 2 20.25 2 597 3 −1.5 3 3 3 722.25
b) La siguiente gráfica muestra el comportamiento de la función f que depende de x.
Con base a la gráfica, plantea una situación que se pueda modelar con ella, es decir,
describe un fenómeno cuya gráfica sea igual o bastante parecida a la que se te presenta.
Explica ampliamente.
49
La propuesta didáctica
4.1.1.1 ACTIVIDAD DE INSTITUCIONALIZACIÓN No. 1
1. La posición s en la que se encuentra un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba en el
tiempo t está descrita por la fórmula , donde s está dada en metros y t en
segundos.
2520)( ttts −=
a) Obtén una fórmula general que permita cuantificar la variación en la posición del
cuerpo para cualquier tiempo t y para cualquier incremento tΔ ,
b) Con base a lo hallado, completa:
it ft tΔ ¿Cuánto cambia? 0 0.25 =Δs
0.25 .05 0.5 0.75 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5
50
La propuesta didáctica
4.1.2 ACTIVIDAD 2
1. Completa las siguientes tablas:
a)
Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 Valor 5 9 13
b)
Posición 1 6 11 16 21 26 31 36 Valor 9 19 29
c)
Posición 5 7 17 20 21 35 51 60 Valor 9 33 69
d)
Posición 1 5 16 28 35 39 53 56 Valor 3 78
e)
Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 Valor 1 9 64
2. Halla las ecuaciones que correspondan a los valores presentados en las tablas anteriores.
Explica ampliamente el comportamiento de las gráficas y por qué las ecuaciones resultantes
necesariamente tienen que ser así.
51
La propuesta didáctica
4.1.2.1 ACTIVIDAD 2. 1. La Razón de Cambio como Pendiente de Rectas
En las tiendas departamentales ¡Surfing with the Alien! se obtuvieron los siguientes datos
para los precios de los pantalones marca Patito Jeans de temporada.
Mes Precio en
pesos
Enero $500
Febrero $550
Marzo $600
Abril $600
Mayo $600
Junio $800
Julio $840
Agosto $900
Septiembre $600
Octubre $580
Noviembre $430
Diciembre $430
1. Grafica los puntos en un sistema de coordenadas y explica el comportamiento de los
precios por cada mes que transcurre con ayuda de esta gráfica. Elabora una tabla donde
expliques el comportamiento de los precios por cada mes transcurrido. ¿A qué se refiere
esta tabla?
52
La propuesta didáctica
2. ¿Durante el transcurso de qué mes (es) te convendría acudir a comprar la tienda ¡Surfing
with the Alien!? ¿Por qué?
3. Halla las pendientes de cada una de las parejas de puntos.
4. Con base en la tabla de las razones de cambio, ¿cómo definirías a las pendientes de las
Rectas?
4.1.2.2 ACTIVIDAD DE INSTITUCIONALIZACIÓN No. 2
1. Cae agua dentro de un tanque cúbico de 2.5 metros de arista, a razón de 1 litro por
segundo;
a) Obtén una fórmula para el volumen V en función de la altura h.
b) Deduce la fórmula para la altura h en función del tiempo t.
c) Encuentra la fórmula que mida los cambios de Volumen si cmh 1=Δ
2. Dibuja las familias de rectas cuyas pendientes 12
12
xxyym
−−
= cumplan con las siguientes
condiciones:
• Δy > Δx
• Δy < Δx
• Δy = Δx
• Δy = 2Δx
53
La propuesta didáctica
4.1.3 ACTIVIDAD 3
I. Al lanzar un pequeño cohete para observaciones meteorológicas se observa la siguiente
trayectoria. Se tomaron las siguientes mediciones de la posición del cohete con respecto al
tiempo, desde que se lanzó hasta ocho segundos después. Los datos recabados se presentan
en la siguiente tabla:
Tiempo (t) (segundos) Posición (s) (Metros)
0 0 1 5.3125 2 6 3 4.1875 4 2 5 1.5625 6 5 7 14.4375 8 32
1. Obtén la ecuación que representa la posición del cuete con respecto al tiempo y
grafícala.
2. Realiza la tabla correspondiente a las razones de cambio del fenómeno descrito, con
=1. Una de ellas tomando los valores absolutos y otra sin tomar los valores
absolutos de los resultados. ¿Qué concepto físico representaría la tabla anterior, con
respecto al fenómeno?
tΔ
3. Dibuja, sobre la gráfica que realizaste, la gráfica de las razones de cambio.
54
La propuesta didáctica
4. Explica ampliamente, con base en las gráficas, el comportamiento del proyectil
(cuete).
5. ¿Qué ocurriría si halláramos la tabla de las razones de cambio pero con = 5?, ¿y
si fuera con =0.25? explica ampliamente tus respuestas.
tΔ
tΔ
4.1.3.1 ACTIVIDAD DE INSTITUCIONALIZACIÓN No. 3
I. Supongamos que cada una de las tablas que se presentaron en la actividad 1 representan
la posición de un móvil durante el tiempo, realiza lo siguiente:
a) Halla las ecuaciones para cada una de las tablas.
b) Obténgase la rapidez y la velocidad medias a intervalos de 0.5 y de 0.25 y analiza
cómo cambia la rapidez y la velocidad.
c) ¿Cuál es la velocidad media del móvil entre los tiempos t y tt Δ+ ?
d) Grafica la tabla de las razones de cambio como se hizo en el inciso 3 de la actividad
anterior.
e) ¿Qué pasaría si hiciéramos cada vez más pequeños los intervalos de referencia, es
decir, si hacemos que sea cada vez más pequeño? Explica ampliamente. tΔ
55
La propuesta didáctica
4.1.4 ACTIVIDAD 4
1. Con base en la ecuación que encontraste en la actividad 3 para la posición del cohete con
respecto al tiempo, a saber: tttxs325
827
4817)( 23 +−=
a) Halla la velocidad del cohete en el tiempo t = 2.
2. Completa las siguientes tablas, en la cual nos acercamos a 2=t . En una de ellas realiza
un acercamiento por la derecha y en la otra un acercamiento por la izquierda. Emplea los
valores y la cantidad de ellos que consideres pertinentes.
Intervalos tΔ →0 t
tststsmediavelocidad
Δ−Δ+
=ΔΔ
=)()2(
≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ …
Intervalos tΔ →0 t
tststsmediavelocidad
Δ−Δ+
=ΔΔ
=)()2(
≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ …
56
La propuesta didáctica
a) De acuerdo a este acercamiento, ¿qué puedes concluir sobre la velocidad del móvil
en t = 2?; ¿y si es infinitamente pequeño, se continuará cumpliendo tu
conjetura?
tΔ
3. Halla la velocidad instantánea en el tiempo at = con sDa ∈ . ¿Qué ocurre con la
velocidad media cuando ? 0→Δt
4. Grafica la función derivada junto con la función original en un mismo sistema de
coordenadas. Explica el comportamiento de la función original. Puedes usar un programa
computacional o la calculadora con capacidad gráfica.
5. La siguiente gráfica muestra las velocidades al lanzar un pequeño cohete para
observaciones meteorológicas.
57
La propuesta didáctica
a) ¿Por qué se encuentra la gráfica de las velocidades, después de 24 segundos por
debajo del eje t?
b) Con base en la gráfica de la función velocidad (función razón de cambio
instantánea) del fenómeno en cuestión, explica ampliamente el comportamiento de
tal móvil.
c) Dibuja la gráfica de la función posición, a partir de la gráfica anterior.
58
La propuesta didáctica
4.2 Características de la Propuesta Didáctica
4.2.1 Sobre la Propuesta Didáctica
La propuesta que se presenta trata sobre una introducción al estudio de la derivada de una
función en un punto. Para ello, se estudiará este concepto como la función razón de cambio
instantánea. Ahora bien, el eje central de nuestra propuesta se encuentra en la
cuantificación de la Variación; éste concepto será el motor de conocimiento que dará
sentido al desarrollo y estudio de la Derivada; además, a partir de él se desprenderán las
ideas, conceptos, propiedades y procedimientos esenciales de esta parte de la matemática.
El diseño de nuestra propuesta didáctica estuvo fuertemente influenciado por las
actividades que conforman nuestra base de datos, principalmente las que se refieren de
alguna manera al concepto de derivada; así como también de algunos de los elementos
referidos en los capítulos pasados. Como mencionamos en la sección que hace referencia de
los elementos, la presencia de éstos no es explícita.
Las actividades que se diseñaron no son necesariamente para ser desarrolladas por medio
de hojas de trabajo (a manera de secuencia), más bien se podría diversificar la manera de
trabajar con los estudiantes, es decir, se podrían hacer algunas actividades por hojas de
trabajo, por medio de trabajo cooperativo, de manera individual o incluso ser el mismo
profesor que presente la situación y por medio de interrogatorios y con ayuda de los
estudiantes se resuelvan las mismas. Es importante hacer notar que las actividades no son
de ninguna manera impositivas, más bien son guías de las que el profesor puede echar
mano para desarrollar otras actividades incluso. Al inicio de cada una de las actividades es
importante tener momentos de motivación hacia la tarea que se pretende ejecutar.
59
La propuesta didáctica
4.2.2 Justificación de la propuesta
El concepto de derivada, generalmente, se estudia en los últimos años del bachillerato y
continúa en los primeros años de estudios en las carreras, principalmente, de Ciencias.
Tanto en las clases como en los textos, el concepto de derivada es introducido mediante la
versión de D’Alembert, donde la derivada tiene el status de ecuación de la recta tangente en
cualquier punto para una curva dada; lo anterior implica reconocer a la derivada como el
límite de las pendientes de las rectas secantes. El contexto anterior pretende lograr una
interpretación geométrica del concepto. El discurso del profesor durante la introducción del
concepto se basa, principalmente, en la siguiente estrategia: imaginar una curva y dos
puntos sobre ella; uno de los cuales permanece fijo y el otro, tenderá hacia el primero. Es
entonces cuando se dibuja la recta secante que pasa por los dos puntos; a partir de aquí se
abstrae enseguida el proceso de construcción de una infinidad de rectas secantes, siguiendo
el discurso con que la recta límite se llama tangente a la curva en el punto fijo. La
presentación anterior acarrea “serios” problemas en las concepciones de los estudiantes,
principalmente debido al concepto de límite, pues los estudiantes no consideran, por
ejemplo, que al final del proceso ¡sólo existirá un punto y no dos como se mencionó al
principio del discurso!; otra dificultad que se refleja con esta presentación es que la
derivada, en ese momento escolar, es un número, y no una magnitud geométrica, luego
entonces no se ve en el dibujo que se está usando (Dolores, 1989; Sierpinska, 1985;
Ocampo, 1989; en Cantoral, 1993). Con este tipo de acercamiento al concepto no se revela
claramente la naturaleza variacional que posee la derivada, ni tampoco es notorio el aspecto
de la matemática del cambio.
60
La propuesta didáctica
Aunado a lo anterior, en el ambiente escolar, el concepto de derivada es considerado como
un conjunto de reglas sin aparente aplicación a situaciones reales. Por ejemplo, los
estudiantes de bachillerato perciben a la derivada como un algoritmo (la regla de los cuatro
pasos), como una fórmula o en el mejor de los casos, como relacionado con las pendientes
de las rectas tangentes a gráficas de ecuaciones. Sin embargo, la derivada es mucho más
que lo anterior; la derivada fue concebida para medir los cambios relativos en un instante,
en un punto (Dolores, 1999).
Ahora bien, continuando con las características de nuestra propuesta, es necesario que
caractericemos al motor de nuestra propuesta: la Variación, entendiéndola como una
cuantificación del cambio. El concepto de variación tiene una importancia fundamental, ya
que el estudio de la variación de diferentes situaciones, en particular aquellas ligadas a
cuerpos en movimiento, generó las ideas fundamentales que dieron origen al Cálculo. Cabe
mencionar que el concepto que sirvió como herramienta para cuantificar la variación entre
dos estados consecutivos y de un sistema dado, es el de diferencia (Sánchez,
Molina, 2006); es por ello que desde el inicio de las actividades de nuestra propuesta se
busca provocar la emergencia de este concepto (diferencia), tratando de recuperar el
aspecto variacional descuidado en la enseñanza media superior e incluso en la superior.
1E 2E
4.3 Características y recomendaciones al lector-profesor sobre las actividades
Nuestra propuesta consta de 4 actividades con varios incisos en cada una. Las primeras tres
actividades cuentan con una actividad llamada “de institucionalización”, donde el profesor
explicará y formalizará todo lo que se haya obtenido del trabajo de los estudiantes.
61
La propuesta didáctica
4.3.1 Sobre la actividad 1
La actividad 1 consiste en el estudio de las diferencias o de los incrementos que una
variable experimenta. El concepto clave de la actividad es el de variación, al cual
consideramos, en el sentido de Cantoral (2005), como una cuantificación del cambio, es
decir, estudiar la variación de un sistema o cuerpo, significa ejercer nuestro entendimiento
para conocer cómo y cuánto cambia el sistema o cuerpo dado. La actividad 1 está dividida
en dos incisos y en dos momentos de resolución, un momento para cada uno de los
respectivos incisos.
4.3.1.1 Objetivo y características de la actividad 1
El objetivo de la actividad 1 es que los estudiantes encuentren una herramienta que les
permita cuantificar los cambios; por lo que la pregunta central de la actividad sería: ¿Cómo
se puede medir la variación?, ella se encuentra estrechamente ligada al proceso de
medición. Los incisos que conforman la actividad pretenden que los estudiantes reconozcan
a la diferencia como la operación principal para medir los cambios en fenómenos o
situaciones que varían.
Desde el inicio de la actividad tratamos de resaltar el aspecto variacional del concepto de
derivada, lo cual se observa en el inciso a; el inciso b, por su parte, busca que los
estudiantes empiecen a comunicarse por medio de un lenguaje variacional. De acuerdo a lo
anterior, con esta actividad tratamos de incluir el elemento relacionado con el desarrollo del
pensamiento y lenguaje variacional. Cebe mencionar que el uso de la visualización forma
parte de este diseño, al hacer que el estudiante obtenga información relevante y explique
62
La propuesta didáctica
sus conjeturas por medio de las gráficas que se obtienen de los incisos. Durante la actividad
de institucionalización, se relaciona al estudiante con los aspectos algebraicos y numéricos
que el concepto requiere para su desarrollo ulterior.
El inciso a) de la actividad se tomó de una actividad propuesta en Cantoral (2005), la cual
está diseñada para obstaculizar la estrategia de solución gráfica; lo anterior para que se
favorezca la emergencia de los argumentos de tipo numérico que involucren la idea de
diferencia. La actividad propuesta en Cantoral (2005) está compuesta por dos incisos, sin
embargo nosotros sólo tomamos el primero de ellos, debido al objetivo perseguido. Es
importante mencionar la relación de las diferencias con los grados de los polinomios, lo
cual será de utilidad para posteriores actividades.
El inciso b) de la actividad pretende asentar las ideas que el inciso a) maneja y desarrolla.
Para el diseño de este inciso se tomó únicamente la gráfica que aparece en Dolores (1999,
p. 38), siendo la situación planteada totalmente diferente y de autoría propia. Es importante
que antes de comenzar con este inciso el profesor explique los correspondientes
incrementos tanto en la variable dependiente como en la independiente, así como sus
respectivas notaciones ( ). xy ΔΔ ,
4.3.1.2 Metodología de trabajo para la actividad 1
Para la resolución de la actividad 1 por parte de los estudiantes, se propone una
metodología de trabajo por medio de equipos de tres personas. De esta forma, los
estudiantes tendrán más oportunidad de comentar sus resultados y conjeturas que sobre la
actividad vayan surgiendo. Es muy importante que el profesor resalte a lo largo de la
63
La propuesta didáctica
resolución de la actividad, la importancia de cuantificar cambios, así como los términos de
variación y cambio.
Primeramente se pedirá que los estudiantes contesten el inciso a) de la actividad, para ello,
el profesor dejará que los estudiantes trabajen con sus respectivos equipos por un lapso
razonable de tiempo. Una vez concluido este periodo se pedirá a los equipos las estrategias
de solución que emplearon. En esta parte se establecerá la solución al inciso de acuerdo a
las estrategias que los estudiantes realizaron. En caso de que no surjan las estrategias
esperadas, el profesor deberá indicar la estrategia.
Luego se pedirá el inciso b) de la actividad 1. El tiempo que se empleará para la resolución
de este inciso será entre 5 y 10 minutos para luego escuchar y corregir las respuestas de los
equipos.
Cabe mencionar que los tiempos que se manejen dependerán del profesor y de sus
observaciones del trabajo en los equipos. Pensamos que el tiempo de resolución de la
actividad 1 no debe rebasar los 40 minutos.
4.3.1.3 Actividades del lector-profesor
En esta actividad el profesor propondrá la notación para las diferencias que se manejará a lo
largo de toda la propuesta: el operador Δ ( yx ΔΔ , ), que representará la cuantificación de
aquello que está cambiando. La introducción de las notaciones para los incrementos en x o
en y se realizarán una vez completado el inciso a), para que de esta forma no se tengan
problemas en el inciso b). El profesor debe procurar resaltar a lo largo de la resolución de
64
La propuesta didáctica
los incisos los siguientes aspectos: la variación, la operación básica para medir los cambios
y los incrementos.
Durante el periodo de la presentación de las estrategias y conjeturas de los equipos sobre la
solución de este inciso (a), el profesor debe obtener una conclusión sobre la resolución del
mismo (institucionalización). Si por alguna razón la estrategia que se quería desarrollar
(incrementos, diferencias) desde el principio para la resolución de este inciso no surge por
parte de los estudiantes, el profesor debe proponerla y explicarla. Se debe poner especial
atención a los significados de las diferencias, sobre qué ocurre con la función cuando su
primera diferencia es constante, y así para cada uno de las tablas en términos variacionales.
Los aspectos variacionales deben estar presentes en el discurso del profesor, pues es la base
de la actividad. Se espera que los estudiantes grafiquen los puntos de las tablas, sin
embargo esta estrategia no funciona debido a la gran similitud que se encontrará en las
tablas que corresponden a los polinomios de 2º y 3er grado.
Las actividades del profesor durante el inciso b) de la actividad, serán muy similares a las
manejadas en el inciso a), poniendo atención al surgimiento de problemas con la notación
que se emplea en este inciso.
4.3.1.4 Sobre la actividad de institucionalización No. 1
Lo importante a resaltar durante este periodo de institucionalización se resume en la
siguiente frase: “el cambio se produce cuando se pasa de un estado a otro; es pasar de un
estado inicial a un estado final”. Para calcular los cambios es suficiente con hallar la
diferencia entre el estado final de la variable y el estado inicial de la misma. A lo anterior
65
La propuesta didáctica
se le conoce como diferencia o incremento que se dio en el estado inicial de la variable. La
notación con la que se estará trabajando a lo largo de las actividades será:
inicialfinal EEE −=Δ
Consideramos conveniente hacer un gráfico que represente las situaciones anteriormente
estudiadas y desarrolladas. Proponemos un ejemplo general como el siguiente:
Estado inicial Estado final Cambio Diferencia
Variable Independiente ix ⇒ xxi Δ+ xΔ Variable Dependiente )( ixf ⇒ )( xxf i Δ+ )( xxf i Δ+ − )( ixf
De igual manera es importante representar en el plano los objetos con los que se trabajó a lo
largo de la actividad, para que de esta forma se favorezca la visualización sobre el cómo
cambian las variables relacionadas por medio de la fórmula f(x).
x
)( ixf
)()( ii xfxxff −Δ+=Δ
)( xxf i Δ+
ix
xxi Δ+
xΔ
)(xf
66
La propuesta didáctica
4.3.2 Sobre la actividad 2
Esta actividad tiene como propósito que el estudiante se relacione con el concepto de razón
de cambio, así como que reconozca a la pendiente de una recta como la razón de cambio
entre la variable dependiente y la variable independiente de un fenómeno. Para tal propósito
se consideró un diseño presentado en Cortés et al (2004). En tal diseño se realiza un
acercamiento al concepto de razón de cambio empleando el concepto de progresión
aritmética. Para trabajar con las relaciones entre las pendientes de rectas con la razón de
cambio, se hace un acercamiento numérico, sin descuidar los aspectos variacionales.
4.3.2.1 Características de la actividad 2
Para el diseño de esta actividad se puso especial interés en que el alumno comprenda el
concepto de razón de cambio, debido a la poca importancia que se le da al concepto en
algunas propuestas. Tratamos de que la idea que los estudiantes se hagan sobre el concepto
sea lo más cercano a la definición, sin causar ideas confusas del concepto razón de cambio.
De esta forma estamos atendiendo de manera importante el concepto-imagen que los
estudiantes se pueden crear luego de la actividad, pues la razón de cambio es una de las
herramientas más importantes para comprender la derivada. Por otro lado, nuestro interés es
hacer que el alumno utilice dos registros para el desarrollo de las actividades.
En los primeros 4 incisos del ejercicio 1, se trabajará con dos progresiones aritméticas que
se relacionan; llamaremos a la primera progresión POSICIÓN, ya que corresponde a la
posición del elemento y a la segunda le denominaremos VALOR que corresponderá
justamente al valor del elemento.
67
La propuesta didáctica
Es importante hacer notar que la simplicidad de los primeros incisos permite a los
estudiantes entender de una manera clara, la tarea a resolver, así como también, obtener
confianza. Los primeros incisos permiten al estudiante construir la definición de lo que es
una progresión aritmética. Se pretende también que reconozcan la utilidad de una tabla de
valores y la importancia de nueva cuenta de la diferencia como herramienta para cuantificar
cambios.
En el inciso (a), el incremento en las posiciones varia de unidad en unidad, lo cual no
influye en los incremento de los valores, pues es suficiente con encontrar la diferencia en
dos valores consecutivos para obtener el patrón de la progresión. Para el inciso (b) la
estrategia anterior continua funcionando debido a que no influyen los incrementos en las
posiciones, pues son constantes. Los incisos a y b, en la práctica son iguales.
Ahora bien, la dificultad aumenta cuando se pasa a los siguientes incisos. Para los incisos c
y d es necesario hacer explícita la estrategia de los primeros casos de las progresiones; para
resolver estos incisos (c y d) se hace conveniente el empleo de razones de cambio, es decir,
obtener cómo se incrementa el valor cuando se incrementa de manera constante la posición.
Como se menciona en Cortés et al (2004), estos incisos no son triviales y presentan a los
estudiantes un verdadero reto. La principal dificultad según los autores, radica en que en
estos incisos aparentemente falta información, pero lo que en realidad sucede es que ésta no
se presenta explícitamente.
En el último inciso de la actividad se presenta una tabla correspondiente a valores que no
pertenecen a una función lineal como en los casos anteriores, sino a la función cuadrática
68
La propuesta didáctica
2xy = . Lo anterior responde a que se pretende reforzar el aspecto que se persigue con el
inciso a) de la actividad 1, a saber, en las ecuaciones lineales; la razón de cambio es
constante, mientras que en las ecuaciones no lineales, las razones de cambio varían según
los intervalos que se manejen.
El ejercicio 2 pretende que los alumnos recuerden cómo obtener las pendientes de rectas así
como también que evidencien que la inclinación de en una recta no es otra cosa que la
misma razón de cambio.
4.3.2.2 Metodología de trabajo para la actividad 2
Esta actividad podría ser abordada por medio de equipos de trabajo o de manera individual
según considere el profesor. El tiempo de resolución de esta actividad dependerá del
profesor y de las condiciones del grupo durante la resolución de la misma.
4.3.2.3 Sobre la actividad 2.1
Esta actividad está relacionada con el ejercicio 2 de la actividad 2, pues en esta actividad se
pedían las ecuaciones de las tablas, por lo que era necesario obtener la pendiente de las
rectas. En esta actividad 2.1 se pretende continuar trabajando con la idea de pendiente de
una recta como la razón de cambio entre la variable dependiente y la variable
independiente. Esta actividad podría considerarse como opcional, y la metodología de
trabajo en el aula depende del profesor, así como también la asignación de los tiempos.
En esta actividad empezamos a relacionar al estudiante con las tablas de la función razón de
cambio, esto responde a que en las actividades posteriores se empezará con la graficación
69
La propuesta didáctica
de la función razón de cambio, que darán las pautas para explicar comportamientos de
fenómenos que cambian.
4.3.2.4 Actividades del lector-profesor para la actividad 2
A manera de institucionalización para la actividad 2, se debe comentar las características de
los primeros cuatro incisos, en cuanto a que los números de las tablas están dispuestos
como progresiones aritméticas, pues cada valor se obtiene al sumar una cantidad constante
al correspondiente número anterior. Sería conveniente comentar que para “descubrir” éste
valor constante basta con encontrar el incremento entre dos valores consecutivos, lo cual
implica obtener la diferencia entre ellos.
La ayuda para estos incisos, principalmente los últimos, sería mostrando cómo se dan los
incrementos, por medio de la estrategia del inciso a). Al final también se podrían mostrar
algunas gráficas que involucren los incrementos en la posición y en los valores, para cada
uno de los incisos.
Conviene recalcar a los estudiantes sobre la importancia del empleo de las razones de
cambio para explicar comportamientos. Una forma sería mencionando que: las razones de
cambio son útiles cuando necesitamos explicar comportamientos de cierta variable
dependiente con respecto a los cambios de la variable independiente. Los aspectos más
importantes de las tablas podrían representarse utilizando la siguiente notación:
)()(
)()(
VIVD
posiciónvalorrazón
ΔΔ
=Δ
Δ=
70
La propuesta didáctica
También, proponemos algunas preguntas que podrían ser claves durante el momento de
dirigir el curso de la revisión de las respuestas de los estudiantes cuando se compartan las
soluciones a los incisos:
• ¿Qué observaste en cuanto a los incrementos en la posición y en los valores?, es
decir ¿cómo se comportan los Δ(posición) y los Δ(valor)?
• ¿Existe alguna diferencia en la estrategia de los primeros incisos y los últimos? ¿Por
qué?
• ¿Qué estrategia utilizaste para completar la tabla de los últimos incisos? ¿Por qué?
Para cerrar con esta parte sería conveniente hacerles preguntas a los estudiantes referentes a
situaciones donde podrían aplicar el concepto de razón de cambio.
Tal vez ocurra que para el último inciso, la solución sea muy obvia y los estudiantes no
ejecuten las estrategias de los incisos anteriores, sin embargo, el profesor debe recalcar el
objetivo de este inciso, que no solo las funciones lineales cuentan con razones de cambio,
mencionando incluso que para las funciones no lineales, la razón de cambio no es
constante.
4.3.2.5 Sobre la actividad de institucionalización No. 2
En esta actividad lo que se pretende es que los estudiantes recapitulen el concepto de razón
de cambio, pues los ejercicios propuestos trabajan con el concepto en sí, además se observa
su importancia en la resolución de problemas. De nueva cuenta la visualización tuvo una
importancia relevante para este diseño, principalmente en el inciso 2; pues se necesita que
71
La propuesta didáctica
los estudiantes utilicen las relaciones entre los incrementos, las razones y las pendientes de
rectas.
4.3.3 Sobre la actividad 3
Para el diseño de esta actividad se tomo la situación que un problema que se planteaba en
Wenselburger (1993), sin embargo, la tabla y las actividades son completamente de diseño
propio.
4.3.3.1 Objetivo y características de la actividad 3
El objetivo de esta actividad es que los alumnos trabajen con el concepto de rapidez media
así como el de velocidad media, a partir de la obtención de las diferencias (incrementos) y
del uso de razones de cambio; las cuales se proporcionaran por medio de tablas. Se
pretende que los estudiantes representen de una manera geométrica el concepto de rapidez
y velocidad medias, utilizando gráficas.
Para inducir el tema de velocidad y rapidez media se propone hacer uso de situaciones
cotidianas donde sea posible e importante calcular la rapidez o la velocidad media.
72
La propuesta didáctica
Proponemos la siguiente situación para llamar la atención de los estudiantes hacia el
estudio del tema:
La Velocidad Media
¿Cómo funcionan los radares de pistola que utiliza la policía para medir las velocidades de
los conductores que están viajando en alguna carretera? o ¿Cómo funcionan los
velocímetros de los automóviles?
Con las siguientes actividades que se proponen, podremos dar una explicación plausible y
bastante cercana a la realidad sobre el funcionamiento de los artefactos anteriormente
mencionados; por lo que es necesario que hagamos un estudio de fenómenos significativos,
que involucren los conceptos que podrían explicar las situaciones anteriormente
mencionadas.
Los incisos que se proponen para el desarrollo de esta actividad persiguen que los
estudiantes trabajen con el concepto de razón de cambio como la velocidad media o
rapidez media, de hecho, un inciso se refiere a los resultados de una tabla, construida por
los estudiantes, en la cual se pide calcular las razones de cambio del fenómeno descrito.
Lo que se ha querido resaltar con el diseño de esta actividad es la importancia de las
razones de cambio y de los incrementos, ya que la velocidad media entre dos instantes del
recorrido de un móvil es la razón entre la distancia de éstos y el tiempo que le llevó al
móvil recorrer esa distancia. Tenemos entonces que:
73
La propuesta didáctica
ttstts
tttsts
ts
tiempociaDismediavelocidad ii
if
if
Δ−Δ+
=−
−=
ΔΔ
==)()()()(tan
Además, es importante resaltar el aspecto gráfico de la función razón de cambio. Hacer
notar que la velocidad y rapidez no son los únicos fenómenos que se estudian como razones
de cambio.
Otro aspecto a señalar es el de la longitud de los subintervalos; destacar el hecho de que
mientras más pequeño sea la longitud de estos, más información sobre el móvil se puede
obtener.
Para el diseño de esta actividad se consideró importante el trabajo que los estudiantes
realicen dentro de un registro, así como el cambio a otro. Para esta actividad se trabaja en
primera instancia con el registro numérico y a partir de allí se lleva al registro algebraico,
para luego relacionar los conceptos que se desarrollan bajo un registro gráfico. Por otro
lado, la actividad continúa rescatando los aspectos variacionales durante los incisos que
requieran explicación de comportamientos por parte de los estudiantes. Además se espera
que los estudiantes reconozcan a la función razón de cambio como tal, una nueva función
que se obtiene luego de un proceso. Se atendió, por tanto, el carácter dual que se presenta
en el concepto de razón de cambio como rapidez media o velocidad media. Tratamos
también de hacer que el estudiante comience a trabajar y a mirar “localmente”, lo cual es
crucial cuando se enfrenten al concepto de derivada.
Para la resolución de esta actividad se emplearán algunos de los resultados de las
actividades anteriores, por ejemplo, para responder el inciso 1, el cual se refiere a la
74
La propuesta didáctica
obtención de la ecuación del fenómeno. Se necesita, primero que nada, el grado del
polinomio, lo cual se obtiene con las ideas generadas gracias a la actividad 1. Se espera que
los estudiantes empleen la estrategia de la actividad 1 así como el uso de sistemas de
ecuaciones para hallar los coeficientes del polinomio que se espera que propongan.
El inciso 2, pretende que los alumnos relacionen la tabla de las razones de cambio del
fenómeno con el concepto de velocidad media y de rapidez media. El inciso 3 muestra
gráficamente, indicios de que la razón de cambio es una nueva función, además de que con
ayuda de ella se puede explicar de una manera más precisa el comportamiento del
fenómeno. Por su parte, el inciso 4 trata de de conjuntar los incisos anteriores, al pedir una
explicación amplia de lo que se ha venido realizando. El inciso 5 busca que los estudiantes
reflexionen sobre la longitud de los intervalos (sobre la longitud de los incrementos), de
modo que se espera que conjeturen cosas como: que el fenómeno en cuestión se puede
explicar de una manera más exacta cuando la longitud de los intervalos que se toman son
pequeños, es decir, se procura comenzar a generar la idea de intervalos “infinitamente
pequeños”, además de la notación de tΔ →0.
4.3.3.2 Actividades del lector-profesor
Los primeros dos incisos de la actividad pueden ser resueltos por los estudiantes de manera
individual o por equipos de trabajo. Se recomienda poner especial interés y cuidado con el
inciso 2, pues puede acarrear confusiones con los términos así como en la manera de
construir la tabla de las razones de cambio. Después de un tiempo razonable de solución, el
profesor pedirá las respuestas y conjeturas de cada uno de los estudiantes o de los equipos
de los primeros dos incisos.
75
La propuesta didáctica
Presentamos a continuación una manera en que se podrían abordar los primeros dos incisos,
así como la tabla de las razones de cambio que se espera que los estudiantes obtengan.
∆t 1 1 1 1 1 1 1 1 Tiempo (t) en
segundos 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Posición (s) en metros
0 5.3125 6 4.1875 2 1.5625 5 14.4375 32
∆s 5.3125 0.6875 -1.8125 -2.187 - 0.4375 3.4375 9.4375 17.5625
Tabla de las Razones de Cambio (Velocidad Media):
T 0 1 3 4 5 6 7 8 Razón
de Cambio
5.3125 0.6825 -1.8125 -2.1875 -0.4375 3.4375 9.4375 17.5625
Inclusive la estrategia que se puede emplear sería la de utilizar la ecuación que se obtenga
en el inciso 1 de la siguiente manera, siempre resaltando un trabajo numérico:
tΔ Distancia )()( tsttss + Δ −=Δ Razón de cambio ts
ΔΔ
0 < t < 1 1 < t < 2 2 < t < 3 3 < t < 4
…
Las tablas construidas en los incisos anteriores se refieren a las tablas de la velocidad y
rapidez medias con intervalos de tiempo de una unidad. En caso de que los estudiantes no
se percaten en esta tabla de los valores de la velocidad y rapidez medias, se puede recordar
la fórmula de velocidad de los temas de física, a saber: tiempo
ciadisvelocidad tan= , lo cual las
76
La propuesta didáctica
razones de cambio calculan, pues al realizar la diferencia entre dos posiciones, lo que en
realidad se está hallando es la distancia que recorrió el móvil en el intervalo de tiempo
tomado y se divide entre el tiempo entre estas dos posiciones. Resumiendo:
ttstts
tttsts
ts
tiempociaDismediavelocidad ii
if
if
Δ−Δ+
=−
−=
ΔΔ
==)()()()(tan
Ahora bien, es conveniente que se grafiquen las dos tablas de las razones de cambio, las
correspondientes a la rapidez media y a la velocidad media; es decir, una de las tablas será
tomando los valores absolutos (rapidez media) y la otra sin tomarlos (velocidad media). La
velocidad es muy semejante a la rapidez, solamente que no se toma el valor absoluto de la
razón. La velocidad entonces es una magnitud vectorial, pues involucra signos, lo cual
implica tomar en cuenta el sentido de la trayectoria. Tal diferencia debe hacerse evidente
durante la revisión de los incisos por parte del profesor a fin de evitar confusiones de
conceptualización. Se puede comentar también que estás tablas nos darán información
sobre el comportamiento del cohete a lo largo de su recorrido.
Una vez revisado los incisos 1 y 2, se pasaría a la resolución del inciso 3 y 4,
respectivamente. Para el tercer inciso de la actividad 3, se pide a los estudiantes que
grafiquen la tabla de las razones de cambio; la manera de obtener las gráficas se les
expondrá a los estudiantes antes de que inicien la resolución de los incisos, los aspectos a
considerar para esta exposición serían los siguientes:
El intervalo de tiempo correspondiente al tiempo de vuelo del cohete será dividido en
intervalos iguales de longitud = 1 (así están dispuestos en la tabla). En cada uno de estos tΔ
77
La propuesta didáctica
subintervalos ya se ha calculado la rapidez y la velocidad media de la función dada (tablas
de las razones de cambio), enseguida se procederá a graficar este valor constante
promedio en el intervalo de referencia. Es conveniente que éstas gráficas de las razones
de cambio sean graficadas sobre la gráfica de la trayectoria del cohete o por parejas para
evitar confusiones y visualizar de una manera más fácil el comportamiento del fenómeno
en cuestión.
A manera de ejemplo, mostraremos el tipo de gráficas que se espera elaborar.
Original y Rapidez media Original y Velocidad media
78
La propuesta didáctica
Velocidad Media y Rapidez Media
4.3.3.3 Sobre la actividad de institucionalización No. 3
En esta actividad se continúa trabajando con los conceptos de velocidad y de rapidez
media; de nueva cuenta se procura fijar la idea de contar con intervalos cada vez más
pequeños, o de realizar mediciones cada vez más “finas”. Una vez más se pide que se
trabaje con las gráficas de la velocidad y rapidez media (razones de cambio), dejando ver el
tipo de razones de cambio que generan polinomios de diferentes grados. Este último
aspecto se debe hacer notar a los estudiantes en caso de que éstos no se percaten, además es
importante hacerles notar que las tablas sobre la rapidez y la velocidad media se refieren a
nuevas funciones, estrictamente hablando, a la función razón de cambio. Cabe mencionar
79
La propuesta didáctica
que la actividad podría considerarse como “larga”, lo cual podría compensarse dejando
como tarea aquello que el profesor considere pertinente.
4.3.4 Sobre la actividad 4
Esta actividad es de tipo integradora, pues recupera todas las intuiciones, conjeturas y
hallazgos que las actividades anteriores pretendieron desarrollar en los estudiantes, pues
incluye los aspectos más relevantes de todo nuestro estudio sobre la derivada con un
enfoque variacional y como la función razón de cambio instantánea.
4.3.4.1 Objetivos y características de la actividad 4
La actividad pretende que los estudiantes trabajen con la razón de cambio instantánea
involucrada en los fenómenos que involucran variación; además, que reconozcan la
necesidad de emplear intervalos cada vez más pequeños para hallar las razones de cambio
instantáneas. Esta actividad bien podría considerarse como una introducción al tema de
Límites, pues la idea intuitiva de este concepto es la que dominará en nuestro diseño,
debido a que ¡el concepto de límite ni siquiera será mencionado como tal! De igual manera,
la actividad refiere de manera intuitiva, los procesos infinitos, estando estos presentes
durante el discurso y desarrollo de los incisos de la actividad. La estrategia central que se
manejará consiste en explorar qué ocurre con la sucesión de velocidades medias muy cerca
del punto en cuestión, acercándose a éste tanto por la derecha como por la izquierda. Con
base a lo anterior, tendremos que la velocidad instantánea se obtiene cuando el cambio de
tiempo es infinitamente pequeño. Tendremos entonces que si la sucesión de cocientes
80
La propuesta didáctica
cada vez más pequeños de distancia y de tiempo tiende a un número, éste será su Límite.
Tal número será la velocidad instantánea buscada.
El trabajo del estudiante, durante la resolución de las actividades, está enmarcado en la
utilización de varios registros de representación, pues al principio se trabaja de manera
algebraica, luego se pasa a un tratamiento numérico del concepto y por último se atiende la
parte gráfica de la función razón de cambio instantánea. Los procesos infinitos y los
procesos límites fueron importantes guante el diseño, y su compresión se vuelve crucial
durante el trabajo de los estudiantes. De nueva cuenta, se procura que el estudiante
incorpore en su trabajo, hacia el concepto de derivada, los aspectos de la dualidad objeto-
proceso de este concepto. El aspecto puntual es el que sale a relucir durante el desarrollo
de las actividades, considerando, en la última actividad, el aspecto global de la función
razón de cambio instantánea (derivada).
El primer inciso que se propone se refiere a la “imposibilidad” de usar las estrategias que
se han venido desarrollando en las actividades pasadas; principalmente la estrategia para
hallar la velocidad media como la razón de cambio entre dos instantes, pues en el inciso
propuesto no se dan dos instantes. La fórmula que se ha manejado desde un principio en la
actividad 3 es:
ttstts
tttsts
ts
tiempociaDismediavelocidad ii
if
if
Δ−Δ+
=−
−=
ΔΔ
==)()()()(tan
Ahora la situación es diferente: no contamos con dos instantes, sino más bien con uno;
¡Necesitamos encontrar la velocidad en un instante, en un punto; en un momento!
81
La propuesta didáctica
El problema principal que se plantea consiste en la imposibilidad de calcular la velocidad
en un instante o en un punto de acuerdo a las estrategias que se desarrollaron en las
actividades pasadas.
4.3.4.2 Actividades para el lector-profesor
La actividad empezará con la pregunta que se refiere a la imposibilidad de hallar, por las
estrategias que se han desarrollado, la velocidad instantánea en un punto del recorrido del
móvil en cuestión. Es importante tomar en cuenta las conjeturas que los estudiantes
formulen, así como también mostrar algebraicamente la situación anterior utilizando la
fórmula que se empleaba. La nueva situación entonces quedaría de la siguiente manera:
ttstts
tttsts
ts
tiempociaDismediavelocidad ii
if
if
Δ−Δ+
=−
−=
ΔΔ
==)()()()(tan
?00)()(
==−−
=ti
ii
tttsts
El profesor en este momento debe preguntar sobre el por qué esta ocurriendo esta situación,
así como otras posibles soluciones a la situación planteada. Una vez escuchadas las
respuestas de los estudiantes el profesor podría hacer un consenso y con base en el obtener
alguna estrategia de resolución.
El discurso del profesor en estos momentos podría estar encaminado a situaciones y
comentarios como las siguientes: mostrar la evidencia de las actividades pasadas cuando se
empezó a trabajar con la rapidez y velocidad media, pues uno de los incisos buscaba
reflexionar sobre la longitud de los intervalos, es en esta sección entonces cuando se
82
La propuesta didáctica
requiere que el profesor retome las ideas a las que llegaron en esa actividad, a saber, para
intervalos de tiempo relativamente grandes se obtuvo una información muy burda; mayor
precisión para explicar el comportamiento se logra cuando se utilizan variaciones de tiempo
más pequeñas.
Otro comentario pertinente para explicar el comportamiento en un punto, sería averiguar
qué pasa antes o después del momento en cuestión, en cuanto a las velocidades medias muy
cercanas al tiempo en el que se requiere hallar la velocidad instantánea. Cabe mencionar,
que tratamos de que el profesor cuente con un diseño sólido, lo cual acarrea tener varias
recomendaciones sobre el desarrollo de las actividades, sin embargo, no es conveniente que
el profesor vislumbre todo lo importante, pues en gran medida tendrá que abstenerse de
hacerlo y sólo recurrir a ello cuando los estudiantes no logren el cometido.
Una vez concluida esta sección se pasa al inciso 2. En este inciso se realizarán las
aproximaciones hacia las velocidades instantáneas por la derecha y por la izquierda (por
valores muy cercanos al punto en cuestión). El trabajo será de tipo numérico, utilizando
para ello la razón de cambio, la cual en este caso sería la siguiente:
t
ttttttttt
ts
Δ
Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+Δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−Δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+Δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+Δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+Δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=ΔΔ
)(325)(
427)(
1617)(
827)(
1617)(
4817 2223
Para este inciso se presentan un tipo de tablas, sin embargo podrían ser modificadas.
Presentamos otro modelo de tabla para hacer las aproximaciones a la velocidad instantánea,
ya sea por la derecha o por la izquierda.
83
La propuesta didáctica
tΔ t
tsttsmediavelocidad ii
Δ−Δ+
=)()(
1 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001
it = 2
0.0000…0001
Para resumir los resultados obtenidos de las tablas se puede presentar una tabla como la
siguiente:
Acercamiento por la izquierda Velocidad instantánea Acercamiento por la derecha
→ ? ←
El inciso 3 de la actividad pretende que los estudiantes hallen la velocidad instantánea para
cualquier punto del dominio de la función; el trabajo de los estudiantes será numérico y
algebraico. Es importante hacer notorio esta restricción a los estudiantes o también es
posible agregar un apartado donde se discuta con ejemplos y contraejemplos esta última
condición.
84
La propuesta didáctica
Una vez terminada la discusión sobre la resolución del inciso por parte de los estudiantes, el
profesor debe obtener las siguientes conclusiones de la actividad en general:
1. Para cualquier valor se tendrá que: tΔ
→mediavelocidad )(827
1617)(
4817
325
427
1617 2 tttaa Δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++Δ++−
2. Y si , es decir si es un cambio infinitamente pequeño, entonces: 0→Δt tΔ
→mediavelocidad325
427
1617 2 +− aa
En esta sección el profesor debe mencionar que ésta última ecuación que se obtuvo cuando
, será una “nueva” función, la cual tendrá por nombre función razón de cambio
instantánea, o dado que ésta función razón de cambio con respecto a la variable
independiente original se derivó de los valores de la función que se estudia, se conocerá
como la función derivada o la derivada.
0→Δt
Una vez concluido el inciso 3 se pasará a la resolución del inciso 4, el cual contempla un
acercamiento gráfico a las funciones original y la derivada. Estas dos funciones se
graficarán en un mismo plano para poder visualizar de una manera directa el
comportamiento de la función original a través de la función derivada. Como ultima
actividad, se pedirá que, con base a la gráfica de las razones de cambio de una función, se
explique el comportamiento del fenómeno que produjo tal gráfica.
85
La propuesta didáctica
Luego de la conclusión de la actividad podría dejarse como tarea complementaria que los
estudiantes expliquen la situación que se planteó desde el inicio de la actividad 3, la cual se
refería a explicar el funcionamiento de los radares de la policía. La solución de esta
situación se plantearía en términos de los métodos que se desarrollaron durante las
actividades. Se podría incluso, una vez resuelta la situación, investigar la manera en que
realmente funcionan los radares y corroborar las conjeturas e hipótesis que los estudiantes
plantearon para explicar el fenómeno.
4.4 Modelo Teórico Experimental
4.4.1 Sobre la Teoría de las Situaciones Didácticas
En esta sección describiremos brevemente la Teoría de las Situaciones Didácticas, la cual
fue desarrollada por la escuela francesa de Didáctica de las Matemáticas y toma en cuenta
los fenómenos didácticos asociados a la actividad matemática, así como en los dispositivos
didácticos que tienen como finalidad que el alumno se apropie de cierto conocimiento
matemático. La tesis fundamental de la Teoría de Situaciones se apoya en que el sujeto
necesita construir por sí mismo sus conocimientos mediante un proceso adaptativo similar
al que realizaron los productores originales de los conocimientos que se quiere enseñar. Se
pretende que los alumnos aprendan haciendo funcionar el saber; de que el saber aparezca
para el alumno como un medio de seleccionar, anticipar, ejecutar y controlar las estrategias
que aplica a la resolución del problema planteado por la situación didáctica (Montiel,
2002).
El diseño de las actividades de nuestra propuesta didáctica se basó en los elementos y
etapas fundamentales que postula la teoría de las situaciones. Uno de los objetivos durante
86
La propuesta didáctica
el diseño de nuestra ingeniería era que el trabajo a realizar durante el desarrollo de la
propuesta, sea básicamente por parte de los estudiantes, logrando así que éste tome la
responsabilidad de su aprendizaje; dejando de ser central la figura del profesor. Este a su
vez debe diseñar secuencias donde la intencionalidad sea implícita y sus intervenciones
mínimas, dejando la responsabilidad11 al estudiante.
En la concepción más general de la enseñanza, el saber es una asociación entre buenas
preguntas y buenas respuestas. El enseñante plantea un problema que el alumno debe
resolver, si el alumno responde, muestra así, que sabe; si no, se manifiesta una necesidad de
saber, y pide una información, una enseñanza. Ahora bien, se considera que el alumno
aprende mirando al mundo (hipótesis empírico-sensualista) o haciendo hipótesis entre las
que su experiencia le permite elegir (hipótesis a-priorista) o también, en una interacción
más compleja hecha de asimilaciones y de acomodaciones tales como las que Piaget
describió (Teoría de la Equilibración); bajo estas circunstancias podemos decir que el
alumno aprende, adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades,
de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este saber, fruto de la
adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del
aprendizaje (Brousseau, 1986).
Los trabajos de Piaget en la teoría de la Equilibración tienen influencia en la teoría de las
situaciones debido a que éste presentó una teoría coherente de la evolución del
conocimiento: "el conocimiento pasaría de un estado a otro de equilibrio a través de un
desequilibrio de transición, en el curso del cual las relaciones consideradas por el sujeto
8 Cabe mencionar que nos referimos a responsabilidad de su aprendizaje y no culpabilidad de éste.
87
La propuesta didáctica
en el estado anterior estarían en contradicción, ya sea por la consideración de relaciones
nuevas o por la tentativa, nueva también, de coordinarlas. Esta fase de conflicto sería
superada durante una fase de reorganización y de coordinación que llevaría a un nuevo
estado de equilibrio” (ver García, 2006). Sin embargo, la teoría de Piaget corre el riesgo de
descargar al maestro de toda responsabilidad didáctica; pues como menciona Brousseau
(1986): un medio sin intenciones didácticas es claramente insuficiente para inducir al
alumno en todos los conocimientos culturales que se desea que él adquiera. Por lo anterior,
la concepción de Brousseau sobre la enseñanza se basa en que ésta reclama al maestro que
provoque en el alumno las adaptaciones deseadas, lo cual se llevará a cabo por medio de
una adecuada elección de “problemas”. Estos problemas deben hacerle actuar, hablar,
conjeturar, reflexionar, evolucionar por motivación propia. La idea básica de Brousseau es
que el proceso para adquirir un conocimiento matemático consiste de diversas facetas y se
basa en “juegos” específicos, donde el actor interactúa con un ambiente a distintos niveles,
evolucionando sus nociones y su lenguaje. Se pretende que las situaciones en que son
puestos los estudiantes, con objetos de enseñanza específicos, provoquen en éste una
génesis artificial de los conceptos. Para provocar tal efecto es necesario conocer la génesis
real, a fin de que los saberes adquieran nuevos significados o recuperen sus significantes
iniciales, desde la visión en la cual se les adopta como entes culturalmente aceptados. Esto
es, estudiar la naturaleza epistemológica de los saberes en juego (Brousseau, 2000 en
Montiel, 2002).
Ahora bien, entre el momento en que el alumno acepta el problema como suyo y aquél en el
que produce su respuesta, el maestro rehúsa intervenir proponiendo los conocimientos que
quiere ver aparecer. El alumno habrá adquirido el conocimiento realmente cuando él mismo
88
La propuesta didáctica
sea capaz de ponerlo en acción o en situaciones que encontrará fuera del contexto escolar y
sin alguna intención. Tal situación es llamada a-didáctica. Durante la resolución del
problema, el maestro busca devolver al alumno una situación a-didáctica que provoque en
él una interacción lo más independiente y lo más fecunda posible. Para ello, comunica o se
abstiene de comunicar, según el caso, informaciones, preguntas, métodos de aprendizaje,
heurísticas, etc. Como resultado, el maestro está implicado en un juego con el sistema de
interacciones del alumno con los problemas que él le ha planteado. Este juego o esta
situación más amplia es la situación Didáctica (Brousseau, 1986).
Tendremos por tanto que una Situación Didáctica es un conjunto de relaciones establecidas
explícita o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio y un
sistema educativo con la finalidad de que estos alumnos se apropien de un saber
constituido. El medio estaría comprendido eventualmente por instrumentos y objetos
mientras que el sistema educativo se apoya en la figura del profesor (Brousseau, 1982 en
García, 2006). Así pues, la situación didáctica está constituida por una situación-problema
(que vincula al alumno con el saber en tanto sujeto epistémico) y un contrato didáctico
(que lo vincula con la intención de enseñanza en tanto sujeto didáctico). El contrato
didáctico se puede entender como las reglas del juego y la estrategia de la situación
didáctica. Es el medio que tiene el maestro de ponerla en escena (Brousseau, 1986), en
otras palabras, la noción de contrato didáctico se entiende como el conjunto de
comportamientos (específicos de los conocimientos enseñados) del profesor que son
esperados por el alumno y el conjunto de comportamientos del alumno que son esperados
por el profesor. El contrato generalmente es implícito entre el estudiante y el profesor
(García, 2006).
89
La propuesta didáctica
En García (2006) se ejemplifica una situación didáctica como sigue:
En un primer momento (M1) el profesor (P1) prepara una clase considerando al alumno
(A1). En este momento, (P1) piensa en el aprendizaje con el que va a poner en contacto a
(A1) en el aula e imagina un segundo momento, (M2), que representa el momento de la
clase. El momento de la clase (M2) es una situación de enseñanza. El profesor es el mismo
aunque en un momento diferente, además, existe una interacción entre él y el alumno (A2)
y se establecen las relaciones y condiciones de la interacción, por lo que media en ello el
contrato didáctico. (P2) cede a (A2) la responsabilidad de su aprendizaje ubicándolo en un
tercer momento (M3), en el que (A2) está en una situación de aprendizaje (situación a-
didáctica). Para que (A2) se sitúe en este momento debe aceptar la responsabilidad del
aprendizaje: la devolución. La situación didáctica entonces vendría siendo la articulación de
los momentos M1, M2 y M3.
M1 P1 A1
A2
A3
P2 Situación de Enseñanza M2
M3 Situación de Aprendizaje
Situación Didáctica
90
La propuesta didáctica
Hay tres tipos de interacciones de los alumnos con su medio, las cuales serán las
situaciones del tipo a-didácticas (Montiel, 2002; García, 2006):
Situación a-didáctica de Acción: El alumno actúa sobre un problema y su medio físico,
juzga el resultado de sus acciones y las ajusta sin la intervención del profesor, solamente se
vale de la retroalimentación que obtiene del medio. En esta parte el alumno es capaz de
tener modelos implícitos, no racionalizados, construidos de nociones cuyas propiedades son
utilizadas en la misma práctica para resolver ciertos problemas, pero de forma que la
noción misma no es reconocida ni como objeto de estudio ni siquiera como instrumento útil
para el estudio de otros objetos.
Situación a-didáctica de Formulación: El alumno comunica las formulaciones resultado
de las acciones realizadas sobre el medio. Al intercambiar mensajes con uno o más alumnos
se crea un modelo explícito formulado con la ayuda de símbolos y reglas conocidas en
lenguaje matemático, según las posibilidades de los alumnos en comunicación.
Situación a-didáctica de Validación: El alumno expone su modelo explícito con el
objetivo de probar su exactitud y pertinencia. En esta parte se trata de convencer a uno o
varios interlocutores de la validez de las afirmaciones que se hacen, en este caso, los
alumnos deben elaborar pruebas para demostrar sus afirmaciones. No basta la
comprobación empírica de que lo que los estudiantes dicen es correcto; tienen que explicar
que necesariamente debe ser así.
Hasta este momento se puede decir que el alumno ha jugado el papel de aquel que descubre
un nuevo conocimiento a través de intervenciones, pruebas, formulaciones, construcción de
91
La propuesta didáctica
modelos, lenguajes, conceptos, teorías, su interacción con otros, reconocimiento de la
veracidad de sus conjeturas y razonamientos, etc., esto es a través de una actividad
matemática en un amplio sentido de la palabra. Sin embargo, a este nivel el alumno no
reconoce el conocimiento que ha adquirido, por lo que debe identificar el nuevo
conocimiento como un objeto matemático cuya funcionalidad es independiente del contexto
que le dio origen. Es este momento en que la actividad del profesor se vuelve crucial, pues
es éste el que interviene en una situación cuyo fin es que el conjunto de alumnos asuma la
significación socialmente establecida de un saber que ha sido construido por ellos en
situaciones de acción, de formulación y de validación. Esta situación destinada a establecer
convenciones sociales recibe el nombre de Situación Didáctica de Institucionalización.
En Cantoral (2000) se discute el desarrollo del pensamiento matemático y se propone para
ello, diseñar situaciones didácticas en las que:
• Los alumnos se responsabilicen de la organización de su actividad al tratar de
resolver el problema planteado; lo más importante es que formulen sus propios
proyectos.
• La actividad de los alumnos esté orientada hacia la obtención de un resultado
preciso, previamente hecho explícito por el profesor y que pueda ser identificado
por los alumnos. Los alumnos deben anticipar y luego verificar los resultados de su
actividad.
• La resolución del problema planteado implica la toma de múltiples decisiones por
parte de los alumnos, y la posibilidad de conocer directamente las consecuencias de
sus decisiones a fin de modificarlas para adecuarlas al logro del objetivo
92
La propuesta didáctica
perseguido. Lo anterior implica dejar a los alumnos trabajar a su ritmo y que
intenten resolver el problema varias veces.
• Los alumnos pueden recurrir a diferentes estrategias para resolver el problema
planteado, estrategias que corresponden a diversos puntos de vista sobre el
problema. Es indispensable que, en el momento de plantear el problema, los
alumnos dispongan de al menos de una estrategia (conocimientos previos
necesarios) para que puedan comprender la consigna y comenzar su actividad de
búsqueda de solución.
4.4.2 Fase experimental de la propuesta didáctica (puesta en escena)
Nuestro diseño de la propuesta didáctica espera rescatar el aspecto variacional de la
derivada que las prácticas tradicionales-formales en los niveles superiores han relegado a
segundo plano. Queremos en primera instancia hacer “vivir” al estudiante el cálculo;
ponerlo en situaciones donde éste sea quien descubra y conjeture sobre sus propias
acciones, que tome la responsabilidad de su aprendizaje; para ello debemos poner nuestra
atención en nociones variacionales tales como: predecir, estimar, aproximar, etc., es decir,
mostrar y trabajar con los aspectos variacionales del cálculo.
Justamente la teoría de las situaciones nos permite hacer diseños como los que se
comentaban anteriormente; pues el profesor al diseñar situaciones donde el estudiante
pueda actuar sobre el objeto matemático y pueda conjeturar ciertas propiedades del objeto y
además, con bases formales de matemáticas, sea capaz de sostener sus hipótesis, dejará al
estudiante la responsabilidad de la devolución de aprendizajes. Queremos, sin embargo,
93
La propuesta didáctica
hacer notar que el diseño de verdaderas situaciones didácticas en cálculo es difícil de
lograr, no obstante estamos convencidos que un diseño basado en las ideas fundamentales
de la teoría de las situaciones hará que el estudiante comprenda las ideas matemáticas que
les queremos transmitir. Es importante hacer notar que cuando hacemos pasar al estudiante
por las situaciones a-didácticas de acción, formulación y validación, es re-crear la manera
en que las comunidades científicas generan conocimientos, lo cual es lo que en las aulas de
matemáticas está ganando cada vez más aceptación. Las ideas anteriores son las que
consideramos importantes y fue por ello que se decidió encaminar nuestra propuesta bajo el
enfoque de la teoría de las situaciones, sin pretender realizar una situación didáctica en el
amplio sentido que manejaba Brousseau.
Nuestra propuesta está basada en un diseño donde la variación tiene un lugar relevante
durante todas las actividades, por lo que nuestro interés estuvo fundamentalmente ligado a
desarrollar ideas variacionales en los estudiantes tratando que éste sea capaz de identificar
la variación en un fenómeno; ¿Qué es lo que varía?, ¿Cuánto varia?; ¿Con respecto a quién
varía? y por último que sea capaz de mostrar y justificar aquello que está variando.
4.5 Metodología de trabajo de la propuesta didáctica. Fase de experimentación de
la propuesta didáctica
Proponemos para las realizaciones didácticas en el aula, es decir, para llevar al aula de
matemáticas las propuestas que el profesor-lector diseñe (experimentación de la propuesta),
a la Ingeniería Didáctica, la cual fue desarrollada por la escuela francesa.
94
La propuesta didáctica
Se denomina Ingeniería Didáctica a una forma de trabajo didáctico equiparable al trabajo
de un ingeniero quien, para realizar un proyecto determinado se basa en los conocimientos
científicos de su dominio y acepta someterse a un control de tipo científico. Sin embargo, al
mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar con objetos mucho más complejos que los
depurados por la ciencia y, por lo tanto, tiene que abordar prácticamente, con todos los
medios disponibles, problemas de los que la ciencia no puede hacerse cargo (Artigue, 1989
en Priemer, 2006). La comparación que se hace de la ingeniería didáctica con el trabajo de
un ingeniero es bastante atinada a lo que se espera que un profesor realice dentro de las
aulas de matemáticas; debido a que un ingeniero cuando pretende llevar a cabo una
“construcción” primeramente debe estudiar las condiciones en las que se encuentra el
terreno donde quiere llevar a cabo la edificación (análisis preliminar); este estudio le
permitirá elegir los mejores materiales que cumplan con los requerimientos del lugar y sus
condiciones (análisis a-priori); lo siguiente entonces será llevar a cabo la construcción
(experimentación), utilizando todas las suposiciones que el ingeniero se formuló; una vez
concluida la estructura, el ingeniero tiene que corroborar todo lo que inicialmente supuso
con la funcionalidad y la resistencia de la construcción concluida (análisis a-posteriori), en
caso de que haya ciertas variables que no fueron tomadas en consideración, el ingeniero
puede hacer nuevas conjeturas para construcciones con las mismas condiciones que la que
realizó y, tal vez, no cometer los mismos errores. Ahora bien, un profesor cuando quiere
llevar a cabo una propuesta debe actuar semejante a un ingeniero; primero, evaluar y
observar las condiciones en las que se encuentra el terreno donde edificará, es decir, en qué
condiciones están sus estudiantes, cuáles son sus conocimientos previos al tema que
abordará, etc. Una vez realizado lo anterior, puede ser capaz de diseñar una propuesta que
95
La propuesta didáctica
se adapte a las condiciones de sus estudiantes, eligiendo los mejores recursos para
“llegarles” a sus estudiantes; una vez realizado esto aplica su diseño y comprueba sus
conjeturas sobre el desempeño de sus alumnos (qué funcionó y qué no, ¿por qué no
funcionó?), para que de esta forma se hagan las adecuaciones necesarias a la propuesta.
Es importante hacer notar que el término de ingeniería didáctica puede utilizarse bajo dos
aspectos: como metodología de investigación y como producción de situaciones de
enseñanza-aprendizaje. Para efectos de este trabajo de investigación, tomaremos este último
aspecto de la Ingeniería Didáctica, es decir, la concebimos de la misma manera como lo
hace Douady (1996) quien comenta en (Priemer, 2006) que concibe a la ingeniería
didáctica como el conjunto de secuencias de clases concebidas, organizadas y articuladas
en el tiempo por un profesor-ingeniero, con el fin de realizar un proceso de proyecto de
aprendizaje para una población determinada de alumnos. En el transcurso de las
interacciones entre el profesor y los alumnos, el proyecto evoluciona bajo las reacciones de
los alumnos y en función de las selecciones y decisiones del profesor. Tenemos entonces
que la Ingeniería Didáctica se caracteriza por un esquema experimental basado en
“realizaciones didácticas” en clase, esto es sobre la concepción, realización, observación y
análisis de secuencias de enseñanza. Cabe destacar que a diferencia de otras metodologías, se
basa en la experimentación en clase y está ubicada en el registro de los estudios de caso,
cuya validación es en esencia interna, basada en la confrontación entre un análisis a priori
y a posteriori.
96
La propuesta didáctica
En la metodología de la Ingeniería Didáctica (Artigue, 1995 en Aparicio, 2003; Cabañas et
al, 2004) se distinguen cuatro fases:
• La fase de Análisis Preliminar. Se considera el examen de la componente
epistemológica del contenido matemático tratado, el examen del sistema didáctico,
el examen de los procesos cognoscitivos de los participantes y el examen de las
restricciones para llevar a cabo la realización didáctica.
• La fase de Concepción y Análisis A-priori de situaciones didácticas. En esta fase
se consideran las elecciones de las variables didácticas y se realiza un análisis de
restricciones que le permiten al investigador controlar los por menores que se
presenten. Así, el investigador debe formularse una serie de supuestos al respecto,
es decir, el análisis a priori está basado en un conjunto de hipótesis
• La fase de Experimentación. En esta fase ha de llevarse a cabo la puesta en escena
y la implementación de la ingeniería elaborada.
• La fase de Análisis A-posteriori y evaluación. En esta fase se contempla la
recolección de los datos recogidos en el proceso de experimentación, de las
observaciones realizadas de las secuencias de enseñanza, así como de las
producciones de los estudiantes. Es importante, en esta fase, la confrontación entre
los respectivos análisis y resultados de la secuencia o de la situación con los del
análisis a priori, que es en esencia la validación de las hipótesis formuladas en la
investigación.
97
La propuesta didáctica
La Ingeniería Didáctica y sus fases (tomado de Anido, 2004, pp. 235, 236):
Restricciones.
Concepciones de los estudiantes.
Enseñanza tradicional en el tema.
Análisis epistemológico.
Conocimientos didácticos
previamente adquiridos.
Ubicación en el cuadro teórico.
LOS ANÁLISIS PREVIOS:
Selecciones principales.
Selecciones locales.
LA CONCEPCIÓN Y EL
ANÁLISIS A PRIORI:
Selecciones metodológicas y
conceptuales.
DESARROLLO DE UNA EXPERIENCIA ANÁLISIS A POSTERIORI
Dada que la validación de las propuestas que se realizan de acuerdo a la metodología de la
Ingeniería Didáctica es interna, pensamos que será una importante herramienta para los
profesores, pues los resultados que obtengan de la experimentación de sus propuestas, serán
la base para el rediseño de las mismas.
98
Referencias teóricas de la investigación
CAPÍTULO 5
REFERENCIAS TEÓRICAS DE LA INVESTIGACIÓN
A lo largo de este capítulo se presentará el fundamento teórico de nuestra investigación. De
igual manera se comentará la necesidad y urgencia de un rediseño de los cursos de cálculo,
poniendo especial atención a no solamente el uso de nuevas técnicas de enseñanza ni el
estudio exhaustivo de teorías de aprendizaje, sino también a las preguntas centrales del
diseño curricular: ¿qué enseñar?, ¿por qué enseñarlo?, ¿cómo enseñarlo?.
Nuestra propuesta didáctica considera las ideas fundamentales que la Teoría de las
Situaciones Didácticas propone en cuanto a la actividad de los estudiantes y la del trabajo
en el aula; así como una experimentación regida por la Ingeniería Didáctica. Reconocemos
sin embargo, que diseñar e implementar situaciones para cada uno de los temas de cálculo
sería bastante complicado y demandaría un trabajo especializado por parte del profesor,
además de una inversión de tiempos prolongados a decir por los manejados por las
instituciones actuales; además de que nuestro interés y objetivo no está dirigido hacia el
diseño de situaciones didácticas. Quisimos más bien, con el diseño de la propuesta, exponer
al profesor que, tomando como base una teoría, una metodología de trabajo y los elementos
propuestos, es posible diseñar estrategias “diferentes” a las que comúnmente son utilizadas
en el aula, y que la actual manera de presentación y el peso que se le atribuye al aspecto
conceptual del cálculo se encuentra bastante descuidado con respecto a las prácticas
actuales; pues como menciona Alanís (2000): los contenidos actuales a enseñar, así como el
discurso didáctico actual del cálculo, no son una base propicia para la comunicación de las
99
Referencias teóricas de la investigación
ideas fundamentales de esta rama. Este autor mencionaba que si se quiere que los
estudiantes se apropien de las ideas fundamentales de algún concepto, lo importante no es
cómo hacerle para que se apropie del discurso didáctico del profesor, sino lo que realmente
importa es poder cambiar o rediseñar por completo tal discurso.
Coincidimos con este último supuesto, pues la manera actual en que los cursos de cálculo
se desarrollan no parece llenar las expectativas de los profesores en cuanto al aprendizaje
de sus estudiantes, ni mucho menos de las instituciones en cuanto al aprovechamiento de
los mismos durante los cursos de cálculo. Creemos imprescindible que los profesores lleven
a cabo una reflexión intrínseca sobre su práctica, en cuanto a los recursos que utiliza dentro
del aula, su discurso, sus técnicas, los métodos de evaluación que emplea y que reconozca
la necesidad de una componente didáctica dentro de su formación profesional como
docente de las matemáticas. Un cambio real en el currículo, y primordialmente en el
currículo universitario, debería empezar desde las aulas mismas y con el profesor, pues si
realmente se quiere cambiar algo se necesitan profesores que dejen de ser meros
transmisores de conocimientos, de información, y que sean capaces de seleccionar tareas
matemáticas, establecer conexiones entre diferentes partes o conceptos de las matemáticas
y organizar adecuadamente sus clases; por otro lado, se requiere asumir que el trabajo del
profesor y del alumno no puede continuar de la misma manera en que actualmente se da, se
requiere de una nueva definición del trabajo del profesor y del estudiante en el aula
(Sánchez, 2005).
Ahora bien, la concepción de un rediseño de un curso de matemáticas y de cálculo en
particular, hace emerger dos interrogantes muy importantes: ¿qué del conocimiento
100
Referencias teóricas de la investigación
matemático es conveniente enseñar? y ¿cómo estructurar dicha selección? Los intentos de
la reforma de la enseñanza del cálculo en diferentes países han sido muchos y distintos y
tratan principalmente de responder a las preguntas anteriormente planteadas. Por ejemplo,
la mayoría de los programas de renovación creen que los cambios deben afectar a los
currículos vigentes, al desarrollo profesional de la universidad, a la utilización sistemática
de la tecnología y de otros materiales, a la formación didáctica y científica de los futuros y
actuales profesores (Moreno, 2005). En muchos países, se ha puesto especial interés en el
rediseño basados en el uso de las tecnologías informáticas como herramientas de
visualización y como organizador de la mente de los estudiantes, estos enfoques emplean al
ordenador o a las calculadoras con capacidad gráfica y manipulación simbólica, como pieza
fundamental en el trabajo de los estudiantes y para enriquecer en forma significativa el
proceso de adquisición del conocimiento matemático (Peralta, 2004); otros movimientos,
en vez de reformas al discurso como en el caso anterior, se enfocan a reformas del currículo
en cuanto a que ponen de manifiesto la necesidad de adaptar las matemáticas escolares a
demandas de la sociedad en las que están inmersas u objetivos de carácter instrumental; por
ejemplo proporcionar los recursos matemáticos necesarios para desenvolverse en una
sociedad tecnológicamente avanzada, capacidad para razonar lógicamente, resolver
problemas no rutinarios y comunicar ideas matemáticas. Como ejemplo del caso anterior en
(Marcolini, Perales, 2005) se considera que las dificultades en el proceso de aprendizaje de
las matemáticas entre los estudiantes universitarios, lejos de obedecer a causas y carencias
de orden pedagógico o técnico al momento de transmitir conocimientos, son más bien
producidas, en gran medida, a la manera en que se selecciona, articula y organiza el saber
matemático con fines didácticos. Estos autores creen que es posible reconstruir el
101
Referencias teóricas de la investigación
currículum y el discurso didáctico en torno a aquello que fue indispensable en la génesis
del conocimiento, para ello, toman como idea central a la noción de predicción en sus
vínculos con la serie de Taylor. La propuesta de estos investigadores se apoya en la
recuperación de los significados inherentes al concepto y las intuiciones primarias del
sujeto que le permitan acceder al concepto; para ello utilizan la aproximación teórica
denominada socioepistemologia.
Es muy común escuchar de profesores universitarios que si las matemáticas no son
introducidas de manera que atiendan a los aspectos tradicionalmente formales, junto con
demostraciones axiomáticas, se pondrá en tela de juicio la formación y la capacidad
matemática del profesor; además de que las matemáticas no serán vistas como “fuertes”,
perdiendo así su status dentro de la comunidad, lo anterior hace que se marginen la
intuición y los aspectos heurísticos que, en conjunto, generan la construcción del
conocimiento (Tall y Vinner, 1981 en Marcolini, Perales, 2005). Lo anterior origina en
nosotros la siguiente reflexión: ¿Por qué, no son comunes el uso de ideas intuitivas, de
analogías, de recursos visuales y computacionales; en vez de una demostración formal y
axiomática para la presentación de un concepto?; ¿realmente nuestros estudiantes serán
usuarios de una matemática “transmitida” de esta manera?; ¿por qué existe una
resistencia al cambio? Creemos que el empleo de algunas de las estrategias mencionadas
no pondrá en duda la formalidad y exigencia de las matemáticas. Además, la gran mayoría
de los estudiantes que llevan cursos de matemáticas universitarias no serán matemáticos
profesionales, sino más bien usuarios de la matemática y de las ideas que la escuela les
logre transmitir. Pensamos que lo menos que podemos hacer, como docentes de
matemáticas, es que nuestros estudiantes se conviertan en usuarios consientes y reflexivos;
102
Referencias teóricas de la investigación
por lo que creemos que el “abuso” de la formalidad en matemáticas debe ponerse en la
balanza y pensar en una reforma para la manera de presentación de los temas y conceptos.
Por ejemplo, durante la resolución de un problema, debería disminuir la importancia del
resultado frente al proceso de razonamiento que llevó al planteamiento del problema; en
otras palabras, en la actualidad, gracias a los resultados de la investigación en matemática
educativa y didáctica de las matemáticas, se cree que saber matemáticas pasa a entenderse
no como una acumulación de hechos y procedimientos, sino como la capacidad de hacer
matemáticas, recomendándose el uso de calculadoras como herramientas que se pueden
incorporar a ese quehacer matemático; se asume que los alumnos deberían crear el
conocimiento matemático a través de una actividad desarrollada con un fin, entendiendo el
aprendizaje como un proceso activo y constructivo (Sánchez, 2005). Sin embargo, esta
nueva Cultura Matemática Escolar mencionada anteriormente es más un ideal al que se
pretende aspirar, que una realidad que se esté llevando a cabo, o en vías de consolidación,
al menos en nuestro país; sin embargo no se debe de perder de vista que el principal
objetivo de la enseñanza superior es formar profesionales que sean capaces de utilizar el
conocimiento matemático en pos del avance científico de las comunidades, lo cual hace que
valga la pena los cambios persiguiendo este ideal.
Ahora bien, en pos de no solamente criticar y siendo coherentes con el marco experimental
de nuestra propuesta didáctica, presentamos lo que se podría considerase dentro de una
propuesta de reorganización de los programas o cursos de cálculo.
103
Referencias teóricas de la investigación
La reorganización de los programas de cálculo se sugiere debe buscar establecer un balance
entre lo Conceptual y Operacional de suerte que se encamine hacia lo Formal. El siguiente
diagrama ejemplifica tales consideraciones:
FORMAL TEORIA
FORMAL AXIOMATIZAR
OPERACIONAL
CÁLCULO-MANIPULACIÓN SIMBÓLICA
CONCEPTUAL
SENSORIAL-EXPERIMENTAL
En nuestra opinión, la supuesta necesidad de los estudiantes por recurrir a aspectos
memorísticos, procesos algorítmicos y empleo de recursos nemotécnicos obedece por un
lado, a que la abstracción (formas de pensamiento formal-axiomático) no es algo que se
pueda lograr en los cortos tiempos establecidos en los programas, por el otro lado, a la poca
funcionalidad (en términos personales) de los conceptos mostrados.
104
Referencias teóricas de la investigación
Esta propuesta de reorganización puede pensarse desde la esencia de origen y actual del
cálculo, por ejemplo, que los programas respondan a interrogantes legítimas del
estudiantado: ¿por qué se enseña cálculo?, ¿cuáles son las contribuciones específicas del
cálculo?, ¿cuál es la funcionalidad del cálculo?, ¿qué se resuelve con el cálculo?, ¿qué
elementos o tipo de cálculo requieren para su buen desempeño profesional?, ¿qué
habilidades personales se potencian o desarrollan en el alumno?, etc. La idea subyacente en
esta perspectiva refiere a un curso de cálculo en donde el énfasis esté en aspectos de una
vivencia del cálculo (experimentación) como punto de partida, se pase por lo conceptual y
culmine con la formalización (rigor matemático), tal como se quiso mostrar con el
diagrama anterior. Cabe mencionar que esto debe ser en una forma integral o sistémica y de
ninguna manera como secuencia o separada.
105
Aspectos Metodológicos
CAPÍTULO 6
ASPECTOS METODOLÓGICOS
Como se mencionó desde los primeros capítulos de este trabajo de investigación, nuestro
objetivo a perseguir es el de servir de puente entre los reportes (artículos) de investigación
que sobre la Didáctica del Cálculo se hayan realizado, y la práctica docente de los
profesores. Para ello concebimos prioritario encontrar qué de común guardaban los diversos
reportes de investigación, sus características individuales, el tratamiento dado al concepto,
las actividades planteadas. De esta forma podremos ser capaces de describir las
características, y a partir de ellas, proponer los elementos que consideramos pertinentes
tomar en consideración cuando los profesores en ejercicio requieran diseñar secuencias
didácticas para algunos tópicos de Cálculo. Presentaremos, de igual forma, el cómo se
podrían utilizar estos elementos, a partir de la elaboración de una propuesta didáctica para
algún tema específico de Cálculo Diferencial.
En el objetivo de nuestra investigación se plantea la necesidad de establecer un puente entre
investigación y docencia, o entre innovación y aplicación; por lo que nos dimos a la tarea
de recabar la suficiente información de manera sistemática y ordenada, de manera que
podamos percibir los elementos inmersos en los reportes; a partir de lo anterior se realizará
una caracterización y con base a ellos, diseñar una propuesta didáctica. Es por ello que
decidimos realizar una investigación de tipo Documental, pues la importancia que tienen
los reportes de investigación en nuestra investigación es crucial. Además nuestra
106
Aspectos Metodológicos
investigación, de acuerdo a la finalidad que persigue se denomina como Mixta, debido a
que involucra problemas tanto teóricos como aplicados.
6. 1. La Investigación Documental
La Investigación Documental tiene por objetivo fundamental el análisis de diferentes
fenómenos (de orden histórico, psicológico, sociológico, etc.); para lo cual utiliza técnicas
muy precisas, por ejemplo, de revisión de la documentación existente, que directa o
indirectamente aporte información. La Investigación de tipo Documental es una parte
esencial de un proceso de investigación científica, constituyéndose en una estrategia donde
se observa y reflexiona sistemáticamente sobre realidades (teóricas o no) usando para ello
diferentes tipos de documentos. Indaga, interpreta, presenta datos e informaciones sobre un
tema determinado de cualquier ciencia. Para llevar a cabo las tareas anteriormente
mencionadas utiliza una metódica de análisis; teniendo como finalidad obtener resultados
que pudiesen ser base para el desarrollo de la creación científica.
La Investigación Documental posee ciertas características, tales como:
Se caracteriza por la utilización de documentos; para ello, recolecta, selecciona,
analiza y presenta resultados coherentes con lo que en los documentos se presenta.
Utiliza los procedimientos lógicos para recabar información, tales como: análisis,
síntesis, deducción, inducción, etc.
107
Aspectos Metodológicos
Realiza una recopilación adecuada de datos que permiten redescubrir hechos, sugerir
problemas, orientar hacia otras fuentes de investigación, orientar formas para elaborar
instrumentos de investigación y elaborar hipótesis.
Se basa en la utilización de diferentes técnicas de: localización y fijación de datos,
análisis de documentos y de contenidos.
De manera particular, consideramos a la Investigación Documental como un proceso de
búsqueda que se realiza en fuentes impresas, por ejemplo en documentos escritos, etc. Para
este tipo de investigación se realiza una investigación bibliográfica especializada para
producir nuevos asientos bibliográficos sobre el particular. Todo esto permite precisar sobre
el estado o evolución del problema o tema que nos interesa, de modo que se puede hacer
supuestos y orientaciones teórico-metodológicos encaminados hacia el estudio, tratamiento
o solución de un problema.
6. 2. Metodología de Trabajo
Para este trabajo de investigación se realizó una revisión de diferentes fuentes de
información relativas a investigación en Didáctica de las Matemáticas. Para la revisión
documental nos enfocamos en artículos de investigación que se reportaban en la literatura.
Una de las principales fuentes documentales con las que contamos fueron las Actas
Latinoamericanas de Matemática Educativa de diferentes años. Fueron de gran ayuda
también los números y volúmenes de la Revista Latinoamericana de Matemática Educativa
“Relime” las cuales se hallaron en la página de Internet del Clame (http://clame.org.mx);
también se realizó una búsqueda de artículos en la red. Recordemos que no estábamos
108
Aspectos Metodológicos
interesados en hacer un “Estado del Arte” que sobre investigaciones en didáctica del
Cálculo se hayan realizado a lo largo de un periodo de tiempo, ni tampoco en una búsqueda
exhaustiva sobre reportes de investigación en didáctica del cálculo; más bien pretendíamos
mostrar con esta revisión documental, es que con el análisis de los artículos que la
investigación reporta se puede contar con un referendo importante cuando se pretenden
diseños “innovadores”. Se priorizó la búsqueda en las Actas ya que en ellas se encapsulan
los reportes que en Latinoamérica se llevan a cabo, lo cual muestra los avances en nuestra
región.
Una vez realizada la búsqueda de los posibles artículos que podrían ser útiles para nuestra
investigación se pasó a un análisis sistemático de los mismos para comprobar la pertinencia
de éstos. Es importante mencionar que nuestra investigación contempló artículos realizados
para algunas de las siguientes temáticas de Cálculo Diferencial: Funciones reales de
variable real, Límites de funciones, Continuidad de funciones y Derivadas.
Para los artículos que formarían parte de nuestra “base de datos” se pretendía que
presentarán una propuesta para abordar alguna de las anteriores temáticas mencionadas;
además, se procuró que estos utilizaran, preferentemente, a la Ingeniería Didáctica como
metodología de trabajo; lo anterior responde a que nuestro trabajo prioriza el uso de esta
metodología para el desarrollo y la posible experimentación de la propuesta que se realizó.
Sin embargo, el uso o no de la ingeniería didáctica no fue determinante para la selección de
los artículos, pues hubo trabajos que presentaban actividades con particular énfasis en
aspectos tales como: visualización, carácter dual, entre otras.
109
Aspectos Metodológicos
Una vez seleccionados los artículos que cumplían con las características anteriormente
descritas, se pasó nuevamente al análisis de cada uno de ellos. Muchas de las
investigaciones que se mencionan presentan actividades algunas veces para investigar sobre
el aprendizaje de los estudiantes más que para generar aprendizaje; no obstante se
consideran como propuestas en tanto la metodología o diseño utilizado.
El análisis sistemático de los artículos se basó principalmente en los siguientes parámetros:
Tipo de actividades que planteaban para el manejo del concepto que se estudiaba.
Tratamiento que se le daba al concepto a lo largo del desarrollo de las actividades.
Público a quien se dirigían las propuestas.
Marco teórico que utilizaron las investigaciones.
Luego de recabar la información anterior para cada uno de los artículos seleccionados, se
pasó a la comparación de los artículos, por tema, y entre sí. Lo anterior para observar las
coincidencias, las diferencias, los marcos teóricos más referidos, la manera en que se
proponían las actividades, etc.
Por último, se realizó un análisis más a detalle de los artículos, poniendo más énfasis e
interés en el tipo de actividades que se proponían; lo anterior repercutió en una disminución
del número de artículos que se considerarían en nuestra base de datos (ver Anexo de
reportes de investigación).
Luego de la revisión de los artículos de investigación y de recabar la información que nos
interesaba de cada una de ellas, el siguiente paso de nuestra investigación consistió en el
diseño, con ayuda de toda la información que se recabó, de una propuesta didáctica sobre
110
Aspectos Metodológicos
Cálculo Diferencial. El tema específico sobre el que se trabajó en la propuesta fue el de
derivadas, debido a motivaciones personales.
A partir del diseño de nuestra propuesta para el tema de Derivadas y con el análisis de los
reportes de investigación que conformaban nuestra base de datos, se encontraron los
Elementos que servirían de base para el diseño de propuestas. Estos elementos se
consideran presentes en todas las propuestas, aunque, no de una manera explícita.
111
Conclusiones y comentarios finales
CAPÍTULO 7
CONCLUSIONES Y COMENTARIOS FINALES
Con este trabajo de investigación no pretendemos remediar la situación actual en la que se
encuentra la enseñanza del cálculo, ni reportar ampliamente todos los resultados que la
investigación en didáctica del cálculo ha llevado a cabo, a manera de un estado del arte;
más bien este trabajo es un esfuerzo para hacer más accesible a los profesores los
principales resultados de la investigación en didáctica del cálculo, de manera que se puedan
aprovechar al máximo tales resultados e innovaciones que la investigación reporta.
La motivación a la realización de este trabajo se encuentra en lo que se mencionó
anteriormente, lo cual podría traducirse en la creación de un puente entre investigación y
docencia; para lo cual creímos conveniente primero, encontrar información pertinente en
los variados reportes de investigación referidos a la didáctica de algunos tópicos de cálculo;
segundo, sistematizar y analizar la información para luego extraer aquellos ejes rectores de
las investigaciones, aquellas partes medulares que en su momento fueron consideradas por
investigadores e innovadores en didáctica del cálculo y a su vez, para nosotros son el pilar
de acción cuando se pretendan diseñar propuestas o secuencias didácticas; y por último
mostrar cómo se puede echar mano de estos elementos, diseñando con base a ellos, una
propuesta didáctica para algún tema particular de cálculo.
Principalmente, nuestra meta es mostrar que, con la ayuda de los reportes de investigación,
es posible elaborar diseños de ingeniería que tomen en cuenta, algunos de los resultados
más importantes que la investigación reporta; sin embargo hallar la manera de articular la
112
Conclusiones y comentarios finales
investigación y la docencia no es tarea fácil, sobre todo si se considera la diversidad de los
paradigmas teóricos usados en la investigación y los sistemas educativos. Tanto la
investigación en didáctica del cálculo y la práctica docente tienen sus propios problemas y
dificultades, que quizás, hoy día, tienen muy pocos puntos en común. Lo anterior es debido
principalmente a que el conocimiento basado en la investigación no se transforma
fácilmente en estrategias educativas efectivas aunado con la poca accesibilidad e interés de
lo profesores hacia los resultados de la investigación o por el poco interés de los profesores
en ejercicio hacia los problemas propios del proceso enseñanza-aprendizaje del cálculo.
Cabe mencionar que en varios casos, la investigación ha conducido a la producción de
diseños de instrucción que han mostrado ser efectivos, al menos en entornos
experimentales. Sin embargo, también debemos reconocer que la investigación no nos da
una forma general de mejorar fácilmente los procesos de enseñanza y aprendizaje (Artigue,
2003).
Por nuestra parte, creemos que el florecimiento de investigaciones cuyo fin sea crear
“puentes” entre la investigación y la práctica docente, serán las bases para poder aspirar a
un cambio, aunque no radical, si muy valioso en la práctica docente actual, pero ello
significa encontrar formas de hacer que el conocimiento basado en la investigación sea útil
fuera de las comunidades y los entornos experimentales donde se desarrolla, no pudiendo
ser esto sólo responsabilidad de los investigadores. Los aportes de la investigación en
Matemática Educativa pueden ayudarnos considerablemente si llegamos a hacer posible
que sus resultados perneen a un gran número de profesores. Lo anterior implicaría también
cambiar, en gran medida, los roles del profesor y del estudiante, haciendo que el del último
sea cada vez más activo, mientras que para el primero implicaría un conocimiento personal,
113
Conclusiones y comentarios finales
una buena formación didáctica y una reflexión crítica sobre sus prácticas. Lo que tiene que
reorganizarse no es solamente el contenido de la enseñanza (no es suficiente con escribir o
adoptar nuevos libros de texto), sino cuestiones mas globales, tales como las formas del
trabajo de los alumnos, los modos de interacción entre alumnos y profesores, y las formas y
contenidos de la evaluación. En síntesis, se requiere en nuestra opinión, desarrollar trabajos
sobre el currículo matemático y los programas de Formación de Profesores. Trabajos
específicos que atiendan en un sentido amplio, las necesidades reales y las limitaciones que
plantean tanto el sistema educativo como el sistema didáctico. Nuestro trabajo nos permite
señalar la posibilidad de incidir en la matemática escolar a través de currículo y el ejercicio
docente a través de proyectos orientados por la praxis disciplinar.
Por nuestra parte creemos, tal y como menciona Artigue (2003), que la investigación
desarrollada en el nivel universitario nos ayuda a entender mejor las dificultades de
aprendizaje que nuestros estudiantes tienen que afrontar, la resistencia sorprendente de
algunas, y las limitaciones y disfunciones de algunas prácticas de enseñanza.
114
Anexos
ANEXOS
115
Anexos
A.1 Algunas contribuciones en Didáctica del Cálculo
A.1.1 FUNCIONES
A.1.1.1 Funciones Embotelladas
Edison de Faria Campos. Universidad de Costa Rica.
Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.
• La propuesta consta de actividades relacionadas con la representación gráfica de
ciertas funciones y su vinculación con una representación en un contexto físico o
icónico, en este caso coincide con el dibujo o forma de un recipiente (Ver Anexo de
actividades A.2.1.1). Se pide bosquejar gráficas a partir de la forma de un recipiente
y viceversa.
• Público: Las actividades pueden ser aplicadas a estudiantes de nivel medio y
superior.
• Ventajas de las actividades según el autor: permite visualizar el comportamiento
global de la gráfica de una función dado su modelo físico o icónico, modelo del
recipiente, dado la representación gráfica de elementos del mismo.
• Las actividades se aplicaron a 25 estudiantes de Enseñanza de la Matemática de la
Universidad de Costa Rica, las sesiones fueron videograbadas y analizadas con todo
el grupo.
• Marco teórico: Teoría de las Representaciones Semióticas de Duval.
116
Anexos
• Tratamiento: Gráfico. Se muestra un recipiente y se pide realizar una gráfica que
corresponda al llenado del recipiente y viceversa.
• Se utilizan materiales concretos para que los alumnos exterioricen las
representaciones mentales que poseen de un concepto mediante diagramas, curvas,
símbolos, frases.
A.1.1.2 Las Funciones en la resolución de problemas
M. Bonacina, A. Haidar, M. Quiroga, E. Sombas, C. Teti, G. Pavan. Universidad del
Rosario, Argentina.
Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.
• Reflexiones y propuesta didáctica acerca de la enseñanza por resolución de
problemas, siendo el eje de esta última la aplicación y discusión del concepto de
FUNCIÓN.
• La propuesta consiste en el planteamiento de una situación problemática familiar al
estudiante (situaciones concretas), para proceder, bajo la guía del profesor, a su
discusión, planteo de conjeturas e hipótesis, resolución y verificación. Los
problemas requieren el uso del concepto de función (Ver anexo de actividades
A.2.1.2).
• Tratamiento: gráfico, numérico, algebraico. La modelación matemática por
resolución de problemas; este es, según los autores, un poderoso instrumento de
cambio metodológico.
117
Anexos
• Metodología: por resolución de problemas. Se planificó la enseñanza del tema,
tratando integralmente las tres instancias que abarca el acto educativo: Formación
del concepto, ejercitación y aplicación, evaluación. Los autores pretenden enseñar
por medio de cómo un científico trabaja o bien, cómo el conocimiento científico
surge. Quieren acercar al estudiante al verdadero quehacer científico.
• Para el desarrollo de las actividades se utiliza la modelación matemática para
resolver los problemas. Se le proporcionan al alumnos datos, los cuales se tabulan,
se grafican y se trata de encontrar alguna función que describa el comportamiento
de la gráfica. (Ver cuadro en anexo de actividades A.2.1.2)
• Objetivos: desarrollar en los estudiantes la capacidad para resolver problemas, sin
caer en la manipulación rutinaria de datos, fórmulas. Lograr que el estudiante pase
del “razonamiento basado en evidencias” al “razonamiento en términos de
hipótesis”.
• Marco teórico: Aprendizaje Significativo, Modelo de cambio conceptual y
metodológico (Ausubel, Novak, Hanesian, 1983; Posner et al, 1982).
A.1.1.3 Construcción visual de las funciones lineales, cuadráticas y cúbicas
Gisela Montiel Espinosa. Casio Académico/CICATA – IPN
Fuente: Mosaicos Matemáticos No. 11, 2003.
La propuesta está basada en la visualización y en el desarrollo del pensamiento matemático
del concepto de función. En esta propuesta se maneja la construcción de las funciones
118
Anexos
lineales, cuadráticas y cúbicas tomando como base la construcción del polinomio de
interpolación de Lagrange mediante estrategias de visualización.
• Para la autora la visualización es la habilidad para representar, transformar, generar,
comunicar, documentar y reflejar información visual en el pensamiento y el
lenguaje del que aprende. La actividad de visualización requiere la utilización de
nociones matemáticas asociadas a los ámbitos numéricos, gráficos, algebraicos,
verbales y gestuales (Montiel, 2003). Además, a la visualización se le ubica como
componente de los procesos mentales que tienen lugar en la actividad matemática.
La propuesta
• La propuesta usara a la visualización como vehículo para construir inductivamente,
una curva de grado conocido que pase por un conjunto dado de puntos en el plano,
apoyándose principalmente en las posibilidades que ofrecen las gesticulaciones de
giros, flexiones, desplazamientos, elongaciones, contracciones, traslaciones,
evaluaciones a partir de gráficas elementales conocidas por los alumnos.
• Tratamiento: gráfico, numérico, algebraico, gestual. La propuesta contempla la
utilización de calculadoras con capacidades gráficas de manera dinámica; en este
caso se utiliza la Casio modelo Algebra FX 2.0 (Plus).
• Marco teórico o marco de referencia: Visualización.
La Secuencia (se trabaja con el caso particular de la función lineal)
• Se proponen las siguientes situaciones problemáticas:
119
Anexos
1. ¿Cómo podremos tener una recta que pase por el punto (4, 0) a partir de la gráfica
de f(x)=x?;
2. ¿Cómo obtendríamos la recta que pase por los puntos (4, 0) y (6, 4)?;
3. ¿Cómo obtendríamos ahora la ecuación de la recta que pase por los puntos (4, 8) y
(6, 4)?
• Todas estas situaciones se pueden resolver aplicando la ecuación de la recta a partir
de dos puntos dados, sin embargo, el diseño de la propuesta tiene la intención de
utilizar solamente estrategias visuales.
• Por medio de afectar a los parámetros de la función lineal se llega a la construcción
de las funciones lineales pedidas en cada caso. Para el problema 2, por ejemplo, se
utilizan estrategias que permitan rotar la recta que pasa por el punto (4, 0) de
manera que pase también por el punto (6, 4). En palabras de la autora: “debemos
imaginar que tomamos a la recta con las manos y la giramos, apoyada en el punto
(4, 0), hasta que toque al punto (6, 4). (Ver anexo de actividades A.2.1.3)
• Una vez que los alumnos han utilizado estrategias visuales para responder que sí es
posible encontrar la recta, se trabaja algebraicamente. Una vez realizado lo anterior
se pasa al trabajo algebraico; se sabe que la familia de rectas que pasa por el punto
(4, 0) son de la forma )4(1 −= xAY , por lo que si se quiere que pase por el punto
(6, 4) con lo cual se obtiene que A=2, con lo cual la recta pedida es . )4(21 −= xY
120
Anexos
• Utilizando estas mismas estrategias se puede responder la pregunta 3. Además la
misma lógica que se utilizó se utiliza para construir las funciones cuadráticas y
cúbicas.
• La aproximación de una curva de n puntos es la construcción del polinomio de
interpolación de Lagrange.
A.1.2 LÍMITES
A.1.2.1 Estrategia para la enseñanza de Límite de una función
Nélida Priemer; Graciela Lazarte. Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Jujuy,
Argentina.
Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 19, 2006.
• Público: nivel superior. La propuesta se aplicó a estudiantes del primer año de la
Facultad de Ingeniería (Universidad de Jujuy, Argentina).
• Problema didáctico: la enseñanza de la definición épsilon-delta de límites. Ésta
resulta poco significativa para los estudiantes, de manera que se pierde valor en su
aprendizaje cuando se deben realizar las conexiones entre las representaciones
gráficas, numéricas y algebraicas.
• La presencia de prácticas sociales de la actividad humana como aproximar, buscar
tendencias y otras, permiten la reconstrucción de significados en el área de cálculo.
Esta significación se consideró en el diseño de la estrategia.
• Marco teórico: concepción del proceso enseñanza-aprendizaje de Vigotsky y
Piaget; la didáctica de la matemática de Guy Brousseau, quien considera a las
121
Anexos
estrategias áulicas como mediadoras del proceso de enseñanza-aprendizaje; y el
juego de marcos de Regine Douady.
• La metodología de investigación que se utilizó para el diseño de las estrategias se
basó en la Ingeniería Didáctica.
• Lineamientos de la secuencia didáctica: la actividad del alumno es la base del
aprendizaje; el docente busca la actividad cognoscitiva del estudiante; la
organización de las actividades de manera grupal; el aprendizaje debe ser
significativo y autónomo.
• Las actividades se implementaron en un seminario de tres encuentros de 2 horas
cada uno. Los alumnos, a quienes se les aplicó las actividades estaban cursando la
materia de análisis matemático. Los alumnos pertenecían a de diferentes carreras de
la facultad; participaron 37 alumnos.
• Primer encuentro: se familiarizó a los alumnos en el empleo de: entorno, entorno
reducido, intervalo, inecuación, inecuación con valor absoluto y las relaciones de
equivalencia entre ellos. (ver anexo de actividades A.2.2.1)
• Segundo encuentro: se trabajó sobre la definición intuitiva de límite, las actividades
transitaron del marco numérico al gráfico. Se procuró que los alumnos pudieran
expresar con palabras los resultados obtenidos. (ver anexo de actividades A.2.2.1)
• Tercer encuentro: se plantearon actividades tendientes a encontrar un δ dado un ε
determinado. En estas actividades se trabajó gráficamente sobre ejemplos donde
pudieron encontrar el δ para cualquier ε, y otros donde sólo pudieron hacerlo para
algunos ε. (ver anexo de actividades A.2.2.1)
122
Anexos
• Tratamiento: el tema se desarrolla utilizando en las secuencias diferentes
registros: gráfico, numérico, algebraico y verbal.
A.1.2.2 El concepto de Límite en la educación secundaria
Sonsoles Blázquez, Tomas Ortega. Universidad de Valladolid, España.
Fuente: El Futuro del Cálculo Infinitesimal. ICME-8, 2000.
• Los autores proponen una definición “alternativa” para el concepto de límite, la
cual, según los autores, no abusa de formalismo de la notación que comúnmente la
definición formal propone. La definición es:
Sea f una función y a un número real, el número L es el límite de la función f en el
punto a, y se escribe LxfLimax
=→
)( , si cuando x se acerca al número a, sus imágenes
f(x) se acercan a L más que cualquier otro número.
• Marco teórico: La Teoría de las Imágenes Conceptuales (Tall, Vinner), y la de los
Obstáculos Epistemológicos de Brousseau.
• La metodología que se utiliza para abordar la secuencia didáctica que se diseñó se
basa en la exposición del profesor de los conceptos principales, apoyado por una
guía que de trabajo que también posee el alumno. Se complementan con tareas para
la casa, que son corregidas por el profesor, así como también por evaluaciones. Se
recogen con cintas de audio las sesiones para complementar las producciones
escritas de los alumnos.
123
Anexos
• Se trabajó con un grupo de 2º de bachillerato de ciencias sociales (17-18 años) y con
un grupo de 4o de ESO (Escuela Secundaria Obligatoria) (15-16 años).
Metodología de las actividades
• Las actividades inician con un estudio de sucesiones y tendencias de sucesiones (sin
definir el límite secuencias) se trabaja con una idea que será coherente con la
definición que los autores proponen del concepto del límite. Después se repasa el
concepto de función, en esta parte se insiste en los distintos sistemas de
representación funcional. Se introducen luego los conceptos de tendencia infinita y
de asíntotas, lo cual se considera fundamental para definir el concepto de límite más
tarde. Luego de trabajar con situaciones en las cuales el límite es visto como una
necesidad, se da entonces la definición que los autores proponen. Se trabaja de
forma gráfica y numérica y se calculan límites sencillos (unificando la notación).
Luego se deja ciertas actividades de tarea de forma individual. Las respuestas a los
ejercicios así como los comentarios de los alumnos sirven para elaborar un sistema
de categorías, las cuales se utilizan para evaluar el grado de comprensión de los
alumnos. (ver anexo de actividades A.2.2.2)
• La propuesta presenta las siguientes etapas: Test inicial, Sobre Sucesiones y
Tendencias, Sobre Funciones, Sobre Límites y Tareas de Evaluación.
• Los investigadores consideran que el alumno domina el concepto de límite si
entiende el aspecto explicativo-conceptual (son capaces de definir el concepto y
explicar la definición ilustrándola numérica y gráficamente), el gráfico y el
numérico (su imagen conceptual debe incluir los aspectos gráficos y numéricos de
124
Anexos
las diferentes concepciones de límite) y es capaz de intuir algunas propiedades en
las que aparece el concepto (el teorema de la caracterización, el de la existencia,
unicidad y el teorema de intercalación).
• Tratamiento: gráfico, numérico, algebraico.
A.1.3 CONTINUIDAD
A.1.3.1 Aspectos discursivos y gestuales asociados a la noción de continuidad
puntual
Eddie Aparicio, Ricardo Cantoral. Facultad de Matemáticas-UADY; DME-Cinvestav IPN
y Cimate-UAG.
Fuente: Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 9(1), 2006.
• Se analizan las formas discursivas (descripción, exposición, narración y
argumentación) y la gesticulación al momento de discurrir sobre la noción de
continuidad puntual de una función real.
• Para el diseño experimental usado en la investigación, se supone la noción de
continuidad puntual como una consecuencia de la discontinuidad puntual, no de
la noción global de continuidad. Es decir, se considera que la noción de continuidad
puntual se estabiliza entre los estudiantes sólo hasta que aparece como un medio
para evitar las discontinuidades de orden puntual. La tesis que se maneja es: aceptar
que la noción de discontinuidad puntual y la percepción global de la continuidad
global deban anteceder al tratamiento de la continuidad puntual.
125
Anexos
• Marco teórico: Socioepistemologia, es decir la construcción social del
conocimiento bajo un enfoque sistémico. Lo anterior indica que se consideran las
componentes cognitivas, didácticas, epistemológicas y sociales del concepto en
cuestión.
• Se diseño una secuencia de actividades didácticas que supusiera a la percepción de
la continuidad global y a los usos de la discontinuidad puntual como precedentes a
la definición formal de la continuidad puntual.
• Para la realización e implementación del diseño experimental se trabajó con
estudiantes universitarios que hubieran tenido contacto previo con el concepto de
continuidad. Se eligieron 8 estudiantes (4 hombres y 4 mujeres) de ingeniería en
Mecatrónica, Telemática y Biónica. Las edades de los estudiantes oscilaba entre los
19 y 21 años.
• Se utilizó como materiales papel, pizarrón y computadora con una serie de
actividades diseñadas en Sketchpad 4.0, las cuales se proyectaron de acuerdo a tres
fases. Éstas fueron: preparación para la lectura de las actividades, desarrollo de la
secuencia e institucionalización de los saberes.
• Primera Fase: buscaba desarrollar las competencias necesarias en los estudiantes
para la adecuada lectura de las actividades planteadas.
• Segunda Fase: se planeo de manera que los estudiantes pudieran discutir sobre la
noción de continuidad puntual a partir de la percepción global de la continuidad y la
idea de discontinuidad puntual.
• La secuencia didáctica estuvo formada por cuatro actividades en la pantalla de la
computadora. Las dos primeras iban destinadas al estudio de la noción de
126
Anexos
continuidad global, mediado por las representaciones que involucran movimientos y
la exploración de expresiones funcionales asociadas a tales movimientos; las dos
restantes, al estudio de la noción de discontinuidad y continuidad puntual, mediado
por la percepción visual de los “rompimientos” de las curvas. (Ver anexo de
actividades A.2.3.1)
• Tratamiento: gráfico, algebraico, numérico y verbal. Se tomaron en consideración
los comportamientos de los estudiantes, los tipos de discurso empleados (gestual) y
los razonamientos.
• El análisis de la dimensión gestual favorece el aprendizaje a partir de las
interacciones establecidas entre los miembros de un grupo y un saber compartido.
127
Anexos
A.1.4 DERIVADAS
A.1.4.1 Situación Didáctica del Concepto de Derivada
Bertha Ivonne Sánchez Lujan, Alberto Camacho Ríos. Instituto Tecnológico de Ciudad
Jiménez e Instituto Tecnológico de Chihuahua.
Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.
• Se introduce el concepto de derivada mediante una aplicación de la velocidad
media utilizando un simulador y el desarrollo en serie de funciones.
• Objetivo: introducir el concepto de derivada en el curso de Matemáticas 1,
mediante situaciones didácticas donde se utilice la noción de velocidad media, para
lograr una concepción real vía la construcción del concepto.
• Marco Teórico: Teoría de las Situaciones de Aprendizaje.
• La secuencia está diseñada de manera que los estudiantes logren dar una definición
propia del concepto de derivada.
• Metodología: como primer acercamiento es necesario que los estudiantes realicen
ejercicios sobre el binomio de Newton (ver anexo de actividades 7). De lo anterior
se quiere llegar a concluir que ., se pretende
que comparar el segundo término del desarrollo (primera variación) con el valor
obtenido en la velocidad en la velocidad media cuando Δt tiende a cero los alumnos
perciban que es el mismo valor y además es el que cumple la relación:
...)()()( 2 +Δ+Δ+=Δ+ xCxBxfxxf
velocidadx
xfxxfxLim
=Δ
−Δ+→Δ
)()(0
. (ver anexo de actividades A.2.4.1)
128
Anexos
• Tratamiento: el concepto se presenta de manera numérica, de forma verbal, y
luego se traduce a un lenguaje matemático logrando así una transposición didáctica
entre el objeto del saber y el objeto del conocimiento. Las actividades inician con el
planteamiento de un problema (Ver anexo de actividades A.2.4.1), donde se les
pide que completen una tabla de velocidad para los diversos intervalos de tiempo.
A continuación se les presentan una serie de preguntas, las cuales giran en torno al
comportamiento de los valores obtenidos.
• Se trabajó con alumnos pertenecientes a dos grupos de la carrera de Ingeniería
Industrial en el Instituto Tecnológico de Chihuahua II, por el mismo profesor.
Materia: Matemáticas I, (Cálculo Diferencial y Cálculo Integral). Las edades varían
entre los 17 y 22 años.
• Los alumnos contaban con calculadoras, se les proporcionaron hojas de trabajo. Se
utilizó un proyector de acetatos para las tablas y se llenaron con la participación de
los estudiantes. Se grabó en video la sesión y además se contó con la participación
de observadores.
• Por medio del binomio de Newton se familiarizó a los estudiantes con los
incrementos. Se concluyó que la inclusión del binomio como una parte del proceso
para la obtención del concepto de derivada, es una alternativa didáctica que se
relaciona con el concepto de velocidad promedio, es una forma fácil de “ver” la
correspondencia entre los dos términos comparativos.
129
Anexos
A.1.4.2 ¿Cómo entender La Regla de La Cadena?: Un acercamiento
Socioepistemológico
Ramón Flores Hernández. Universidad Autónoma de Coahuila-Instituto Tecnológico de
Saltillo, México.
Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.
• Este trabajo presenta la fase de concepción y análisis a priori de las situaciones
didácticas correspondientes a una Ingeniería Didáctica sobre la regla de la cadena.
• Marco teórico: Aproximación Socioepistemológica.
• Objetivo: favorecer la construcción de la regla de la cadena bajo la actividad de
encontrar elementos de orden epistemológico que expliquen las dificultades vividas
en su apropiación, utilizando las prácticas humanas para provocar la relación
epistemología-generación de conocimiento.
• Se diseñaron 7 situaciones problema (actividades), compuestas por 27 tareas. Las
primeras 3 actividades, se refieren a la reconstrucción de significados de la función
compuesta y las restantes a la reconstrucción de la regla de la cadena bajo la noción
de predicción utilizada como actividad humana. La secuencia se estructuró sobre las
situaciones didácticas de: acción, formulación, validación e institucionalización.
(ver anexo de actividades A.2.4.2)
• Objetivos de la situación didáctica: proporcionar contextos sociales que permitan
introducir la transición de variables y así ver aparecer la función compuesta.
Permitir aparecer la regla de la cadena ligada a la función compuesta. Confrontar la
130
Anexos
presentación de la regla de la cadena como un cociente de cambios instantáneos,
con la del producto de cambios instantáneos. Que el estudiante transite en tres
registros de representación, gráfico, numérico algebraico; bajo la predicción y la
construcción de consensos.
• Tratamiento: gráfico, numérico, y algebraico.
A.1.4.3 Reconstrucción de significados de la primitiva y derivada en ambientes
gráficos, la argumentación como parte esencial de la actividad humana
María Antonieta Aguilar Víquez. Instituto Tecnológico de Pachuca, CICATA, IPN,
México.
Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.
• El estudio se centra en la relación entre la función primitiva y su derivada, cuya
forma analítica está dada por: ∫ = )()(' xfdxxf
• Escenarios: hallar f(x) a través de la gráfica de f’(x); considerando a la función
primitiva f(x) como el área bajo la curva, donde la curva representa la derivada
f’(x).
• Marco teórico: Teoría de las Situaciones Didácticas. La investigación se enmarca
en la línea de investigación socioepistemológica.
• Metodología: Ingeniería Didáctica.
• Se plantea como hipótesis que la actividad es la fuente de reorganización de la obra
matemática y del rediseño del discurso escolar. La aproximación
131
Anexos
socioepistemológica considera epistemologías modelizadas a través de la actividad
matemática y busca hacerlo a través de la actividad humana.
• El trabajo de investigación presenta dos secuencias de la situación didáctica que se
diseñó. Cada una de las secuencias contiene cuatro momentos (M1, M2, M3, M4).
Los primeros tres son llamados momentos de interacción y reflexión; el momento
cuatro se denomina momento de integración.
• Secuencia 1: en M1 y M2 se les pide a los estudiantes que dibujaran la curva de la
función primitiva, representada por el área sombreada. En M3 se pidió a los
estudiantes dibujar el área bajo la curva representada por la gráfica de la función
primitiva dada. En M4 los estudiantes discuten acerca de funciones crecientes y
decrecientes y sus relaciones con las gráficas de las derivadas. (ver anexo de
actividades A.2.4.3)
• Secuencia 2: en M1 y M2 se pide a los estudiantes que dibujen la curva de la
función primitiva, representada por el área sombreada. En M3 se les pide dibujar el
área bajo la curva representada por la gráfica de la función primitiva dada. En M4 se
les pidió a los estudiantes que dibujaran las áreas de las funciones primitivas dadas
(ver anexo de actividades A.2.4.3). En esta parte se observó que los estudiantes eran
capaces de reconocer a una función primitiva lineal con un área rectangular y a una
primitiva cuadrática con un área triangular. Además se resignificó la función cero.
• Tratamiento: gráfico.
• Público: estudiantes de ingeniería.
132
Anexos
A.1.4.4 Una propuesta didáctica para la enseñanza de la derivada
Crisólogo Dolores. Facultad de Matemáticas. Universidad Autónoma de Guerrero, México.
Fuente: El Futuro del Cálculo Infinitesimal. ICME-8, 2000.
• Objetivo: elaborar una propuesta didáctica que contribuya a la comprensión del
concepto de derivada a través de la formación de ideas variacionales,
particularmente a través de la noción de rapidez de variación.
• Según el autor, la introducción de la derivada por medio de la variación se
fundamenta en su origen histórico, por la necesidad de resolver problemas de
movimiento, es como surge la noción de la variación instantánea como forma
germinal del concepto de derivada. La propuesta pretende ser estructurada
siguiendo el enfoque variacional, considerando al estudio de la variación como una
especie de eje rector del que se desprende el contenido matemático a tratar.
• La propuesta pretende que en el Cálculo Diferencial se desarrollen métodos
matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar cambios, se asume a la razón
de cambio como el concepto fundamental. Además, recuperar la idea de que la
derivada permite determinar cuánto cambia una variable respecto a otra en un
instante, en un punto.
• Para el autor las siguientes actividades y habilidades se consideran como indicativos
de la comprensión del concepto de derivada: identificar ejemplos del medio
circundante con el concepto de derivada; conocer y utilizar correctamente la
simbología; conocer las propiedades invariantes del concepto; reconocer el
133
Anexos
concepto en diversos contextos; dar ejemplos y contraejemplos y fundamentar por
qué estos pertenecen o no a la extensión del concepto; distinguir entre razones de
cambio promedio e instantáneas; calcular razones de cambio instantáneas por
medios numéricos y algebraicos; utilizar definiciones equivalentes obre el concepto;
ser capaz de aplicar el concepto de derivada en la solución de problemas,
principalmente los relacionados con la variación física.
• Tres nociones físicas son las fundamentalmente tratadas: la variación, la rapidez
promedio de la variación y la rapidez instantánea de la variación; siguiendo la línea
indicada por Wenzelburger E. (1993). De lo anterior, la propuesta está estructurada
en tres fases: la fase preparatoria, la fase de formación del concepto y la fase de
fijación.
• En la fase preparatoria se pretender crear las condiciones mínimas del nivel de
partida para acceder al proceso de formación del concepto en cuestión. Se parte de
la modelación de problemas sencillos de la física donde se abstraen las nociones de
variable y de función.
• La fase de formación del concepto se inicia a través de la rapidez de la variación,
particularmente de la velocidad y de la aceleración promedio. Luego se arriba a la
rapidez instantánea mediante un manejo intuitivo del límite y la utilización de los
infinitesimales.
• La fase de fijación se amplía la extensión del concepto a funciones que no
necesariamente dependen del tiempo introduciendo la definición de derivada, se
introduce la noción de función derivada, se deducen (por medio de diferenciales) y
134
Anexos
utilizan las fórmulas y reglas básicas de derivación, y se resuelven problemas
tendientes a fijar el concepto en los estudiantes.
• Tratamiento: gráfico, analítico, algebraico.
• Metodología: la propuesta por la Enseñanza de las Matemáticas (MEM). La
propuesta se ajusta a la situación típica: Tratamiento de Conceptos y sus
Definiciones.
Nota: el artículo de investigación reportado no presenta actividades o ejemplos del tipo de
problemas que los investigadores aplican.
A.1.4.5 Propuesta alternativa para la Enseñanza del Concepto de Derivada desde
una perspectiva histórico-epistemológica de su desarrollo
Ma. Eugenia Andreu Ibarra, Jesús Alfonso Riestra.
Fuente: http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm, 2004
• Históricamente la derivada fue primero utilizada, después descubierta, luego
desarrollada y finalmente definida (Grabiner).
• Se propone una síntesis histórica del establecimiento del concepto de derivada,
posible gracias a los recursos computacionales. Lo anterior permite convertir entre
varios registros de representación (tabular, gráfico, algebraico). Como táctica se
introduce la derivada significativamente, partiendo de problemas de máximos y
mínimos, iniciando con un acercamiento tabular (Kepler) y culminando con un
135
Anexos
planteamiento puramente algebraico del Método de Fermat, con lo cual se obtiene la
función derivada de un polinomio.
• El conocer el desarrollo histórico-epistemológico de conceptos en matemáticas,
puede ser de mucha ayuda tanto para entender las dificultades en el aprendizaje de
conceptos fundamentales como para sugerirnos pautas para su enseñanza.
• La etapa en que la derivada fue utilizada se refiere al Método de Fermat para
máximos y mínimos. La etapa en que fue descubierta se refiere a la invención del
Cálculo por Newton y Leibniz. La etapa del desarrollo se centra en las
contribuciones de Euler y Lagrange. La etapa de definición corresponde a la dada
por Cauchy y Weierstrass (Grabiner, 1983).
Plan de las experiencias de aprendizaje:
• 1ª etapa: Método de Fermat para la determinación de máximos y mínimos. En
esta parte se evade el concepto de límite y es sustituido por álgebra, obteniendo
la función derivada para funciones polinomiales y extendiéndola para funciones
algebraicas.
• 2ª etapa: se interpreta como la etapa de descubrimiento; la derivada como
pendiente y la derivada como razón de cambio. Se siguen algunos aspectos de
Euler, sin embargo no se manejan los infinitesimales como Euler lo hacia. Se
opta por utilizar software con capacidad gráfica y de “lente de acercamiento”
(ZOOM), lo cual se considera como un sustituto de los límites y las ideas de
infinitésimos.
136
Anexos
• En el artículo se presentan algunos ejemplos que se pretenden realizar para la
primera etapa de la propuesta, ésta contiene problemas de máximos y mínimos, en
los cuales se usa un acercamiento tabular, a la Kepler, con algunas referencias
gráficas. Lo anterior les permite acceder al planteamiento de Fermat, el cual es
fundamentalmente algebraico y con ello a la derivada de un polinomio. (ver anexo
de actividades A.2.4.5)
• Marco teórico: Filogenia, teoría de Los Obstáculos Epistemológicos.
• Tratamiento: numérico, gráfico y algebraico.
A.1.4.6 Por una visión dinámica y global de los conceptos del cálculo y su enseñanza:
el caso de la derivada
José Ramón Jiménez Rodríguez. Universidad de Sonora
Fuente: http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm, 2004
• Los autores proponen que para estudiar un concepto matemático es necesario
atender los aspectos operacionales y estructurales.
• Las nociones matemáticas poseen dos aspectos: uno puntual (local) y otro global.
Para los investigadores el referirse al significado de tales nociones requiere que se
haga en dos niveles. En un primer nivel, debería ser de manera puntual y por lo
tanto estático y local; en un nivel menos elemental debería manejarse un significado
global y dinámico. Los autores ponen como ejemplo el caso de la derivada:
Significado puntual y estático del concepto de derivada:
137
Anexos
x
xfxxfxfxdxfd
xxx Δ
−Δ+=′=
→Δ=
)()(lim)()( 00
00
0
, donde fDx ∈0
Significado global y dinámico del concepto de derivada:
x
xfxxfxfxdxfd
x Δ−Δ+
=′=→Δ
)()(lim)()(0
, donde fDx ∈
• Los autores asumen la siguiente postura: el diseño de las actividades de enseñanza
de los conceptos matemáticos debe incorporar, desde su misma concepción, la
doble relación dialéctica que se manifiesta en el proceso de gestación y evolución
de dichos conceptos, por un lado, como tensión entre lo puntual y lo global, y por
otro, entre las interpretaciones estática y dinámica de los conceptos.
• Para los autores, algunas secuencias didácticas relativas al la definición del
concepto de derivada adolecen de un tratamiento basado en un proceso dinámico
pero puntual. Además, tienen un enfoque claramente inductivo y privilegia a la
secuencia de números de la forma 1/10n para los incrementos Δx.
• La propuesta de los autores descansa en una concepción dinámica y global; pues los
autores proponen que la visualización de la función derivada debe darse
simultáneamente en todos los planos posibles. Proponen que la visualización de la
derivada debe darse en tantos puntos como sea posible y necesario, inclusive en
todo el dominio de la función.
• Tratamiento: se propone que el acercamiento a la derivada debe darse de una
manera global y dinámica. Por tal motivo se utilizan calculadoras graficadoras (TI-
138
Anexos
92) en las cuales se corren programas que muestran diferentes facetas de la derivada
y de la función.
• Se diseñaron tres programas: en el primero se muestran los acercamientos de la
recta secante a la recta tangente a una curva cuando los incrementos se van haciendo
cada vez más pequeños. En el segundo programa hace posible la visualización de la
derivada como el límite de las razones promedio de cambio de la función cuando los
incrementos se hacen cada vez más pequeños. El tercer programa permite visualizar
la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de la función en cualquier punto. (Ver figuras en Anexo de actividades
A.2.4.6)
• Según los autores, su propuesta incluye el tratamiento de la noción de derivada a
partir de las tres variantes de la definición, es decir, promueve el uso de la
definición de derivada derecha, izquierda y simétrica.
• Consideraciones teóricas: aspecto puntual y global de los conceptos, aspecto
operacional y estructural de los objetos matemáticos.
• Observaciones: este trabajo de investigación no se ha sometido a una prueba
experimental, solo se presenta la propuesta de las calculadoras para abordar el tema.
A.1.4.7 Software para la enseñanza de la derivada
José Carlos Cortés Zavala, Jesús Roberto García Pérez, Graciela Eréndira Núñez
Palenius. Matemática Educativa UMSNH.
Fuente: http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm, 2004
139
Anexos
• Se pretende abordar el concepto de derivada a través del manejo de tablas y
gráficas, las cuales permiten trabajar con la función derivada. Para ello, se analizará
la razón de cambio que se obtiene al tomar dos puntos de una función dada.
• Marco teórico: La Teoría de los Registros Semióticos de Representación propuesta
por Duval.
• Tratamiento: numérico al concepto de razón de cambio, tabular y gráfico. Se
construyó un software educativo en el que se presentan diferentes registros de
representación. Primeramente, se da un tratamiento numérico, a través de introducir
ideas relacionadas con progresiones aritméticas y luego se relaciona con
representaciones gráficas. (ver anexo de actividades A.2.4.7)
La propuesta está diseñada en tres bloques utilizando un software educativo. Las
características de los bloques son las siguientes:
• Bloque 1: consiste en poner de manifiesto las ideas de incremento de una variable y
la razón de cambio o razón de incrementos, para ello se utilizan progresiones
aritméticas. Se utilizan diferentes niveles de complejidad en el manejo de las
progresiones. Para ayudar a solucionar los últimos niveles de complejidad se
utilizan tablas que muestran los incrementos entre las posiciones así como también
los incrementos de los valores. Para representar la información que muestran las
tablas con los incrementos, se utilizan gráficas. Con ayuda de esta gráfica se
pretende explicar la relación entre la razón de cambio y lo que es la pendiente de la
recta que une dos puntos. (ver anexo de actividades A.2.4.7)
140
Anexos
• Bloque 2: en esta parte se trabaja con funciones continuas (lineales, cuadráticas,
cúbicas, trascendentes). A partir de conocer cómo se obtiene la razón de cambio (la
cual se obtiene por medio de tablas), se construye una función, denominada función
razón de cambio, la cual se grafica y se manipula con la finalidad de encontrar
relaciones entre ésta nueva función y la derivada de la función original. En este
mismo bloque, se propone un análisis de las funciones, sobre todo polinomiales, a
través de revisar las diferencias de diferentes grados, es decir primeras, segundas y
terceras diferencias. El propósito de este acercamiento es el de visualizar como cada
una de las diferencias representa una nueva función. En el caso de las polinomiales
cada diferencia va reduciendo el grado del polinomio. Otra actividad que se maneja
es la de visualizar cómo varía la pendiente de la línea secante y el signo de la recta
tangente al recorrer la función. Se presenta otra actividad donde se puede apreciar la
línea secante que se convierte en tangente.(ver anexo de actividades A.2.4.7)
• Bloque 3: aquí se propone obtener la expresión algebraica a partir de la información
numérica dada a través de tablas de valores. A partir de la información resultante de
las primeras, segundas y terceras diferencias de las correspondientes funciones se
obtienen las expresiones algebraicas correspondientes de las aproximaciones a la
primera, segunda y tercera derivada de la función original. Se trabaja del registro
numérico al algebraico. Por medio de las aproximaciones numéricas a la función
razón de cambio, se van obteniendo aproximaciones a la gráfica de la función
derivada. En este bloque, una vez obtenidas las primeras, segundas y terceras
diferencias, es posible mostrar que cuando 0→Δx las funciones que se obtienen
141
Anexos
son mejores aproximaciones para la primera, segunda y tercera derivada de la
función original. (ver anexo de actividades A.2.4.7).
A.2 Actividades incluidas en las propuestas
A.2.1 FUNCIONES
A.2.1.1 Funciones Embotelladas
Edison de Faria Campos. Universidad de Costa Rica.
Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.
Actividades propuestas:
142
Anexos
A.2.1.2 Las Funciones en la resolución de problemas
M. Bonacina, A. Haidar, M. Quiroga, E. Sombas, C. Teti, G. Pavan. Universidad del
Rosario, Argentina.
Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.
Actividades propuestas:
143
Anexos
Cuadro 1
144
Anexos
A.2.1.3 Construcción visual de las funciones lineales, cuadráticas y cúbicas
Gisela Montiel Espinosa. Casio Académico/CICATA – IPN
Fuente: Mosaicos Matemáticos No. 11, 2003.
Actividades propuestas (Situación 2):
145
Anexos
A.2.2 LÍMITES
A.2.2.1 Estrategia para la enseñanza de Límite de una función
Nélida Priemer; Graciela Lazarte. Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Jujuy,
Argentina.
Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 19. 2006
Actividades propuestas:
146
Anexos
A.2.2.2 El concepto de Límite en la educación secundaria
Sonsoles Blázquez, Tomas Ortega. Universidad de Valladolid, España.
Fuente: El Futuro del Cálculo Infinitesimal. ICME-8, 2000.
Actividades propuestas (Tomadas textualmente):
Para motivar la introducción del límite, se presenta la siguiente situación:
“La función dada por la ecuación ( ) ( ))1( xxay −−= definida en [0,1], representa un
crecimiento hipotético de la población española por años, desde 1900 (que corresponde a
147
Anexos
x=0). ¿Cómo evoluciona la población después de un millón de años?” (Se presentan tablas
y la gráfica de la función).
Una vez dada la definición, para concretar un poco más la idea de límite, a la vista de la
tabla de valores, se les pregunta:
¿A qué valores se aproxima x?...
¿Y sus imágenes, f(x)?....
Como ejemplo de las tareas de evaluación, presentamos lo siguiente:
1. Escribe dos funciones distintas que tengan el mismo límite en x = 2.
2. Escribe una función que tenga límite 3 en dos puntos diferentes.
3. Escribe dos funciones que en x = -2 tengan distinto límite.
148
Anexos
A.2.3 CONTINUIDAD
A.2.3.1 Aspectos discursivos y gestuales asociados a la noción de continuidad
puntual
Eddie Aparicio, Ricardo Cantoral. Facultad de Matemáticas-UADY; DME-Cinvestav IPN
y Cimate-UAG.
Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.
Actividades propuestas:
FASE 1: creación de las competencias y familiarización con la manera de trabajar.
149
Anexos
FASE 2:
150
Anexos
A.2.4 DERIVADAS
A.2.4.1 Situación didáctica del concepto de derivada
Bertha Ivonne Sánche z Lujan, Alberto Camacho Ríos. Instituto Tecnológico de Ciudad
Jiménez e Instituto Tecnológico de Chihuahua.
Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.
Actividades propuestas:
151
Anexos
A.2.4.2 ¿Cómo entender La Regla de La Cadena?: Un acercamiento
Socioepistemológico
Ramón Flores Hernández. Universidad Autónoma de Coahuila-Instituto Tecnológico de
Saltillo, México.
Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.
Algunas actividades propuestas:
152
Anexos
153
Anexos
A.2.4.3 Reconstrucción de significados de la primitiva y derivada en ambientes
gráficos, la argumentación como parte esencial de la actividad humana
María Antonieta Aguilar Víquez. Instituto Tecnológico de Pachuca, CICATA, IPN,
México.
Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.
Secuencia #1: en M1 y M2 (momentos de interacción) se les pidió a los estudiantes que
dibujaran la curva de la función primitiva, representada por el área sombreada. En M3 se
les pidió a los estudiantes dibujar el área bajo la curva representada por la gráfica de la
función primitiva dada. M4 es llamado momento de integración y es donde los estudiantes
discuten sobre sus resultados.
Secuencia #2: las actividades son las mismas que en la secuencia #1.
154
Anexos
A.2.4.5 Propuesta alternativa para la Enseñanza del Concepto de Derivada desde
una perspectiva histórico-epistemológica de su desarrollo.
Ma. Eugenia Andreu Ibarra, Jesús Alfonso Riestra.
Fuente: http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm, 2004
Actividades propuestas:
1. Un granjero tiene 14 m de malla de alambre y desea cercar una zona rectangular para
reproducir un cierto tipo de semilla. ¿Qué dimensiones debe tener esa zona rectangular para
que sea la mayor posible?
155
Anexos
2. ¿Qué dimensiones deberá tener un envase cilíndrico (cilindro circular recto) cuya
diagonal mide 5 dm, para que su volumen sea el más grande posible?
A.2.4.6 Por una visión dinámica y global de los conceptos del cálculo y su enseñanza:
el caso de la derivada
José Ramón Jiménez Rodríguez. Universidad de Sonora
Fuente: http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm, 2004
Imágenes de los programas:
Programa 1:
156
Anexos
Programa 2:
157
Anexos
A.2.4.7 Software para la enseñanza de la derivada
José Carlos Cortés Zavala, Jesús Roberto García Pérez, Graciela Eréndira Núñez
Palenius. Matemática Educativa UMSNH.
Fuente: http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm, 2004
Bloque 1:
Primeramente se generan algunos valores, preguntando por los valores siguientes (progresión).
Figura 3.
Nivel II - Se presentan términos en cuya posición la diferencia sea distinta de 1 pero constante (figura 4), tal que sus valores tengan una diferencia entre 1 y 10. La estrategia empleada en este nivel es similar a la empleada en el nivel II.
Figura 4.
158
Anexos
Nivel III - Se presenta la posición de forma que la diferencia sea distinta de 1 y que no sea constante, el valor tendrá una diferencia entre 1 y 10 (figura 5). La estrategia empleada en este nivel es similar a la empleada en el nivel II, agregando posiciones grandes con la finalidad de que se deduzca una fórmula que emplee para calcular estos valores.
Figura 5. Nivel IV - Se presenta la posición de forma que la diferencia sea distinta de 1 y que no sea constante (figura 6). Los datos correspondientes al valor aparecen en diferentes posiciones. La estrategia empleada en este nivel es similar a la empleada en el nivel III, agregando lugares vacíos entre valores con la finalidad de que se deduzca una fórmula que emplee para calcular estos valores.
Figura 6.
Figura 8.
Figura 9. Figura 10
159
Anexos
Bloque 2:
Figura 11.
Figura 12.
Figura 13. Figura 14.
Figura 15.
Figura 16.
160
Anexos
Sobre la diferencia de funciones:
Sobre la visualización de la recta tangente y la secante que se convierte en tangente:
Bloque 3:
I. Incremento de x igual a 1 (Δx= 1).
Dada la función , que es una función cúbica, los
parámetros a, b , c y d se obtienen de la siguiente manera tomando la información que se
presenta en la tabla 1.
dcxbxaxxf +++= 23)(
Tabla 1.
Para obtener la expresión algebraica asociada a estos valores tomamos cuatro puntos de la
función y se plantea el siguiente sistema de ecuaciones:
161
Anexos
P1(0,-3): P2(1,-6): P3(2,-15): P4(3,-42):
d=− 33
6−=++
+++=−cba
dcba
6241224824815
−=++−=++
− = + + +
cbacba
dcba
1339393927392742
−=++−=++
− ++= +
cbacba
dcba
Resolviendo el sistema simultáneo por reducción tenemos
333624
3
=−−=−−−
−=++
bacba
cba
10281339
3
=−−=−−−
−=++
bacba
cba
421028626
=−=−−−=+
aba
ba
por lo que ; ; 2−=a 3=b 4−=c y 3= −d
Por lo tanto la función es 3432)( 23 −−+−= xxxxf
II. Sea la primera diferencia una función cbxaxxf ++= 2)(
P1(0,-3): P2(1,-9): P3(2,-27):
33−==−
cc
6
9−=+
++=−ba
cba
1222427
−=−++=−
bacba
Resolviendo el sistema simultáneo por reducción tenemos
66122
−==−−−=+
ababa
por lo que 6−=a ; 0=b y 3−=c
Por lo tanto la función es 36)( 2 −−= xxf
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BIBLIOGRAFIA
Aguilar, M. (2004). Reconstrucción de significados de la primitiva y derivada en
ambientes gráficos, la argumentación como parte esencial de la actividad humana.
Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 17, 176-180.
Alanís, J. (2000). La predicción: un hilo conductor para el desarrollo de un curso de
cálculo. En R. Cantoral (Ed.), El futuro del cálculo infinitesimal. (pp. 233-245). México.
Grupo Editorial Iberoamérica.
Andreu, M.; Riestra, J. (2004). Propuesta alternativa para la Enseñanza del
Concepto de Derivada desde una perspectiva histórico-epistemológica de su
desarrollo. Recuperado de:
http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm
Anido, M. (2004). La ingeniería didáctica en el diseño y seguimiento de unidades
curriculares. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 17, 235, 236.
Aparicio, E. (2003). Sobre la noción de continuidad puntual: un estudio de las formas
discursivas utilizadas por estudiantes universitarios en contextos de geometría dinámica.
Tesis de maestría, Cinvestav-IPN, México.
Aparicio, E.; Cantoral, R. (2004). Sobre la noción de continuidad puntual: un estudio de las
formas discursivas utilizadas por estudiantes universitarios en contextos de geometría
dinámica. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 17, 341-347.
Aparicio, E.; Cantoral, R. (2006). Aspectos discursivos y gestuales asociados a la
noción de continuidad puntual. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa.
9(1), 1-29.
Aparicio, E. (2006). Dificultades en los conocimientos de cálculo: una experiencia con
profesores de bachillerato del estado de Yucatán. Acta Latinoamericana de Matemática
Educativa. 19, 663-668.
Aparicio, E., Ávila, E. (2006). Un estudio de las dificultades que presentan estudiantes
universitarios en el área de cálculo. Memoria electrónica del V encuentro de investigación
educativa.
Aspinwall, L. & Miller, L. (2001). Diagnosing conflict factors in calculus through
students’ writings. One teacher’s reflections. Journal of Mathematical Behavior. 20, 89-
107.
Arrieta, J. (2003). Las prácticas de modelación como proceso de matematización en el
aula. Tesis de Doctorado, Cinvestav-IPN, México.
Artigue, M. (1995). La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos,
cognitivos y didácticos. En P. Gómez (Ed.), Ingeniería didáctica en educación matemática:
Un esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas. 97-140. México. Una empresa docente y Grupo editorial Iberoamérica.
Artigue, M. (2000). Enseñanza y aprendizaje del análisis elemental: ¿Qué nos enseñan las
investigaciones y los cambios curriculares? En R. Cantoral (Ed.), El futuro del cálculo
infinitesimal. 93-115. México. Grupo Editorial Iberoamérica.
Artigue, M. (2003). ¿Qué se puede aprender de la investigación educativa en el nivel
universitario? Boletín de la Asociación Matemática Venezolana. 10(2), 117-134.
Azcárate, C.; Camacho, M. (2003). Sobre la investigación en didáctica del análisis
matemático. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana. 10(2), 135-149.
Blázquez, S. Ortega, T. (2000). El concepto de Límite en la educación secundaria. En
R. Cantoral (Ed.), El futuro del cálculo infinitesimal. (pp. 331-354). México. Grupo
Editorial Iberoamérica.
Bonacina, M. (2004). Las funciones en la resolución de problemas. Acta Latinoamericana
de Matemática Educativa. 17, 911-918.
Brousseau, G. (1986). Fondaments et méthodes de la didactiques des mathématiques.
Recherches en Didactique des Mathématiques. 7(2), 33-115.
Buendía G.; et al, (2006). La tecnología en el Aula de Matemáticas: Prácticas de
Laboratorio y Medios Virtuales. Material presentado en la Vigésima Reunión de
Matemática Educativa en la Universidad de Camagüey, Camagüey, Cuba.
Cabañas, M.; et al, (2004). Situaciones didácticas en la comprensión de número racional en
los alumnos de nivel medio superior. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 17,
181-187.
Cantoral, R. (1993). Hacia una didáctica del cálculo basada en la cognición. Memorias de
la Séptima Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e
Investigación en Matemática Educativa. 1, 397 – 410.
Cantoral, R.; Farfán, R. (2000). Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al
análisis. En R. Cantoral (Ed.), El futuro del cálculo infinitesimal. 69-91. México. Grupo
Editorial Iberoamérica.
Cantoral, R.; et al, (2000). Un modelo para el desarrollo del pensamiento matemático. En
Desarrollo del pensamiento matemático. 69. México. Editorial Trillas.
Cantoral, R.; Reséndiz, E. (2003). El papel de la variación en las explicaciones de los
profesores: un estudio en situación escolar. Revista Latinoamericana de Matemática
Educativa. 6(2), 133-154.
Cantoral, R.; et al, (2005). Socioepistemologia de la predicción. Acta Latinoamericana de
Matemática Educativa. 18, 463-468.
Carrasco, E. (2005). Visualizando lo que varía. Interpretación y construcción de gráficas de
variación en el tiempo. Tesis de Maestría, IPN, México.
Cortés, J.; et al, (2004). Software para la enseñanza de la derivada. Recuperado de:
http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm
D’Amore, B.; Martini, B. (2000). Sobre la preparación teórica de los maestros de
matemáticas. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa. 3(1), 33-45.
De Faria, E. (2004). Funciones Embotelladas. Acta Latinoamericana de Matemática
Educativa. 17, 584-589.
Dolores, C. (1999). Una introducción a la derivada a través de la variación. Grupo
Editorial Iberoamérica, México.
Dolores, C. (2000). Una propuesta didáctica para la enseñanza de la derivada. En R.
Cantoral (Ed.), El futuro del cálculo infinitesimal. 69-91. México. Grupo Editorial
Iberoamérica.
Dolores, C.; Alarcón G.; Albarrán D. (2002). Concepciones alternativas sobre las
gráficas cartesianas de movimiento: el caso de la velocidad y la trayectoria. Revista
Latinoamericana de Matemática Educativa. 5(3), 225-250.
Espinoza, L. (2000). La problemática del profesor de matemáticas en las instituciones de
enseñanza actuales. En R. Cantoral (Ed.), El futuro del cálculo infinitesimal. 247-264.
México. Grupo Editorial Iberoamérica.
Flores, R. (2004). ¿Cómo entender La Regla de La Cadena?: Un acercamiento
Socioepistemológico. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 17, 249-255.
Garbin, S. (2005). ¿Cómo piensan los alumnos entre 16 y 20 años el infinito? La
influencia de los modelos, las representaciones y los lenguajes matemáticos. Revista
Latinoamericana de Matemática Educativa. 8(2), 169-193.
García, E. (2006). Una caracterización de la cultura didáctica al interior del aula de cálculo.
Factor reflexivo del quehacer docente en los estilos de aprendizaje. Tesis de Licenciatura,
Facultad de Matemáticas-UADY.
García, L.; Vázquez, R.; Hinojosa, M. (2004). Dificultades en el aprendizaje del
concepto de función en estudiantes de ingeniería. Ingenierías 7(24), (pp. 27-34).
Guillermina, W. (1996). Identificación de obstáculos didácticos en el estudio del
infinito actual. Revista Mexicana de Investigación Educativa. 1(1), 107-122.
Hitt, F.; Páez, R. (2004). Dificultades de aprendizaje del concepto de límite y
actividades de enseñanza. Recuperado de:
http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm
Ibarra, S.; et al, (2001). El papel de los registros de representación semiótica en la
enseñanza del cálculo diferencial. Recuperado de:
http://www.mat.uson.mx/semana/Memorias%20XIII/Ibarra%20Olmos.pdf
Jiménez, R. (2004). Por una visión dinámica y global de los conceptos del cálculo y
su enseñanza: el caso de la derivada. Recuperado de:
http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm
Malisani, E. (1999). Los obstáculos epistemológicos en el desarrollo del
pensamiento algebraico. Visión histórica. Revista del Instituto Rosario de
Investigaciones en Ciencias de la Educación. 13.
Marcolini, M. y Perales, J. (2005). La noción de predicción: Análisis y propuesta didáctica
para la educación universitaria. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática
Educativa. 8(1), 25-68.
Montiel, G. (2002). Una Caracterización del Contrato Didáctico en un Escenario virtual.
Tesis de maestría, Cinvestav-IPN, México.
Montiel, G. (2003). Construcción visual de funciones lineales, cuadráticas y cúbicas.
Mosaicos Matemáticos. 11.
Moreno, M. (2005). El papel de la didáctica en la enseñanza del Cálculo: evolución, estado
actual y retos futuros. Noveno Simposio de la Sociedad Española de Educación Matemática
SEIEM. 81-96.
Muñoz, G. (2003). Génesis didáctica del cálculo integral: el caso de la relación entre lo
conceptual y lo algorítmico. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 16(2), 415-
421.
Peralta, J. (2004). El papel de la tecnología portátil en la educación matemática.
Recuperado de:
http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm
Priemer, N.; Lazarte, G. (2006). Estrategia para la enseñanza de límite de una función.
Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 19, 144-149.
Sánchez, B.; Camacho A. (2004). Situación Didáctica del Concepto de Derivada.
Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 17, 856-861.
Sánchez, M. (2005). La enseñanza de las Matemáticas y la formación matemática de los
profesores. Una perspectiva desde la Didáctica de las Matemáticas. Recuperado de:
http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/vsanchez210100.html
Sánchez, M.; Molina, J. (2006). Pensamiento y lenguaje variacional: una aplicación al
estudio de la derivada. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. 19, 739-744.
Wenselburger, E. (1993). Cálculo diferencial. Una guía para maestros y alumnos. Grupo
Editorial Iberoamérica, México.
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