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1
Unidad 1: Matrices.
Calcula A2000
, siendo
202
020
200
A
Dada la matriz
10
21A ; a) Calcula A
2 y A
3 , b) Halla una ley
general para calcular An .
Dada la matriz
016
102
211
A , calcula, si existen las siguientes
matrices: a) Una matriz X tal que 101 AX . b) Una matriz Y
tal que
010
101YA (PAU).
Dada la matriz
000
00
00
a
a
A . Hallar An para todo numero entero
positivo n. (PAU).
Dadas las matrices:
30
12A ,
12
13B y
13
12C
comprueba las siguientes igualdades: a) CBACBA ;
b) CABACBA ; c) CBCACBA ; d) 2BA ;
e) ABBA 222
Dadas las matrices
001
100
010
A y
100
010
101
B Encontrar la
regla de calculo de las potencias sucesivas de A y de B, es decir An y
Bn.
2
Dadas las matrices
100
052
025
A y
100
0
0
cc
ba
B . Se pide: a) Encon-
trar las condiciones que deben cumplir a, b yc para que se verifique
ABBA . b) Para a = b = c = 1, calcular 10B .
(PAU Junio 2006-07).
Dadas las matrices
021
102A y
11
10
01
B y las ecuaciones
matriciales X – A = B ; Y – A·B = O y Z – B·A = O
a) Señala las planteadas correctamente. b) En su caso, calcula la
matriz X , Y ó Z. Razona la respuesta. (PAU).
Encontrar un número real 0 , y todas las matrices B de dimension
2x2 (distintas de la matriz nula), tales que
39
03
13
0BB
(PAU Junio 2002-03).
Expresar la matriz
2
6X como combinación lineal de
2
1A y
1
1B
Hallar todas las matrices
b
aaA
0 distintas de la matriz
00
00
tales que AA 2 . b) Para una cualquiera de las matrices A obtenidas
en el apartado anterior, calcular 102 AAAM .
(PAU Septiembre 2005-06).
Obtener, para todo numero natural n, el valor de:
nn
11
11
11
11
(PAU Modelo 2009-10).
3
Probar que las matrices
cos
cos
sen
senA y
cos
cos
sen
senB
conmutan es decir A·B = B·A . Hallar este producto. Aplicarlo para
hallar A2, A
3 y A
n , n N.
Resolver el siguiente sistema matricial
188
11025
117
8432
BA
BA
(PAU).
Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales:
416
3723 YX
272
1263YX (PAU).
Resuelve los sistemas matriciales:
a)
11
012 YX b)
24
42YX
45
31YX
212
823 XY
Sea A una matriz de dimensión 5x4, B una matriz de dimensión mxn
y C otra de dimensión 3x7. Si se sabe que se puede obtener la matriz
producto A·B·C, ¿cuál es la dimensión de la matriz B?. ¿Y la de la
matriz A·B·C?. (PAU).
Sea
111
111
111
A e I la matriz identidad de orden tres.
a) ¿Existe algún valor real, m, que verifique: (A – I ) · (A + mI) = I
? . Razona la respuesta. b) Calcula una matriz B tal que
(A – I) · B = I4 . (PAU).
4
Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad
A2 = I, siendo I la matriz identidad de orden n. Se pide: a) Expresar A
-1
en terminos de A. b) Expresar An en terminos de A e I, para cualquier
numero natural n. c) Calcular a para que A2 = I, siendo A la matriz:
aA
0
11 (PAU Septiembre 2001-02).
Sea A una matriz mxn. a) ¿Existe una matriz B tal que B·A sea una
matriz fila?. b) ¿Se puede encontrar una matriz B tal que A·B sea una
matriz fila?. Si existe, ¿que dimensión tiene?. c) Busca una matriz B
tal que 00 AB siendo
00
10
11
A (PAU).
Sea la matriz
10
1 aA : a) Para cada numero natural n, hallar A
n.
b) Calcular A22
– 12A2 + 2A. (PAU).
Sea la matriz
201
112
101
b
A , con b un parámetro real. a) ¿Para qué
valores del parámetro b el sistema de ecuaciones lineales
0
0
0
z
y
x
A
tiene solo la solución x = y = z = 0?. Justifica la respuesta.
b) Para b = - 1 resuelve, si es posible, el sistema
1
1
1
z
y
x
A (PAU).
Sea la matriz
13
01A y sea n un numero natural . Encontrar el
valor de An para cada n y hallar A
350 – A
250 . (PAU).
5
Sea I y A las matrices
10
01I
1710
2917A . Calcular, escribien-
do las operaciones necesarias: a) Las matrices A2 y A
5. b) Los números
reales y para los que se verifica AIAI 3 . (PAU).
Sean A una matriz cuadrada de orden n tal que A2 = A, I la matriz
unidad de orden n y B = 2A – I. Calcula B2.
Sean A, I y B las matrices
001
011
110
A ,
100
010
001
I y
514
123
436
B Contestar razonadamente, ¿existe algún valor de
real, tal que la igualdad BIA 2
sea cierta?. En caso afirmativo,
hallar dicho valor de . (PAU).
Sean A y B matrices diagonales de orden tres:
3
2
1
00
00
00
a
a
a
A
3
2
1
00
00
00
b
b
b
B Probar que A·B también es diagonal.
Sean las matrices
3
2
1
A ,
2
2
7
B ,
100
010
000
C y
3
5
2
E .
Calcular
z
y
x
M para que verifique la ecuación (A·Bt + C)·M = E
6
Se consideran las matrices
221
111
122
A y
200
315
110
B
calcula (A + B)2 , A
2 + 2AB + B
2 y A
2 + B
2 , ¿Por qué no coinciden sus
resultados?. ¿Cuál seria la formula correcta para el cuadrado de una
suma de matrices?.
Se consideran las matrices
221
111
122
A e I 3x3.
Se pide: a) Hallar (A – I)2. b) Calcular A
4 haciendo uso del apartado
anterior. (PAU MODELO 2005-06)
Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si se verifica que
A · At = I, donde A
t es la matriz traspuesta de A e I la matriz identi-
dad. Si A y B son dos matrices ortogonales de igual orden, analiza si
A · B es también una matriz ortogonal. (PAU).
Si una matriz cuadrada A verifica A2 + 7A = I, siendo I la matriz
unidad, calcula A-1
en funcion de A
7
Unidad 2: Determinantes
Averiguar según el valor de a el número de raíces reales que tiene la
ecuación 0
2
2
2
2
xaaa
axaa
aaxa
aaax
(PAU).
Calcula el valor de los siguientes determinantes.
1321
0120
1003
2121
A
1210
2401
2320
2031
B
Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, la
identidad: 322
111
22 babbaa
baba
PAU Junio 2002-03).
Comprueba, utilizando las propiedades de los determinantes, que los
siguientes determinantes, llamados de Vandermonde, verifican:
bcacab
cba
cbaB 222
111
cdbdbcadacab
dcba
dcba
dcbaC
3333
2222
1111
Comprueba que 31
1111
1211
1121
1112
xx
x
x
8
Comprueba que la ecuación 0
64278
1694
432
1111
3
2
x
x
x tiene solo tres
soluciones sin necesidad de calcular el determinante. ¿Cuáles son?.
Comprueba sin desarrollar que 0
1
1
1
bac
acb
cba
A
Dadas las matrices
38
13A ,
10
01I a) Comprobar que
22 AA y que IAIA . b) Sea M una matriz cuadrada de
orden 2. ¿Se puede asegurar que se cumple que 22 MM ?. Razonar
la respuesta. c) Encontrar todas las matrices cuadradas M, de orden
dos, tales que: IMIM . (PAU Septiembre 2005-06).
El determinante de una matriz cuadrada A de orden n vale k. Hallar
el determinante de las matrices 5A ; - A ; At y A·A
t .
El determinante de una matriz cuadrada A de orden n es k. ¿Qué
condición debe verificar k para que la matriz tenga inversa?. Cuánto
vale en ese caso 1A .
El determinante de una matriz cuadrada A de orden tres vale 16.
Hallar el determinante de las matrices: a) 5A ; b) – A ; c) - 6A ;
d) At ; e) A
t·A ; f) A·A
t .
El determinante
358
134
52
3
2
a
a
a
vale cero para a = 3. Comprobar que es
así sin desarrollarlo.
9
Encontrar las transformaciones de filas o columnas necesarias para
deducir: 313
111
111
111
111
aa
a
a
a
a
Halla los valores reales de a, b, c y d para que se cumplan las
igualdades a) 2
22
114
13
a
a
; b) 197
132
41
021
c
cc
c) 5
253
1
12
bb
b
; d) 18
0
012
12
dd
ddd
Hallar el determinante de la matriz
100
0cos
0cos
sen
sen
A
Justifica, sin realizar calculo alguno, que:
222333
222
111
zyx
zyxzyx
zyx
zyx
zyx
Obtén el desarrollo de los siguientes determinantes por los adjuntos
de la primera fila:
012
103
211
A
241
210
231
B
Obtén, sin calcular el valor del determinante, dos soluciones para
0
11
11
1112
x
x
10
Obtener en función de a, b y c el determinante de la matriz
1111
1111
1111
1111
c
b
aA (PAU).
Resolver la ecuación : 0
2000
1300
7510
271
a
a
a
a
Resolver la ecuación:
0
111
111
1112
22
22
xxx
xxx
xxx
(PAU Modelo 2008-09).
Resolver las ecuaciones:
a) 0
011
111
11
011
x
x
xx
x
b) 0
11
1
11
x
xx
x
Resolver las ecuaciones siguientes:
a) 0
371
431
2112
1111
x
x b) 0
1
10
1
aa
a
aa
c) 0
32
220
512
2
k
d) 2
102
11
1
x
xx
Sabemos que el determinante de la matriz
dc
baA vale 12.
Hallar él determinante de las matrices: a) 3A , b) -2A ; c) 7A ;
d) At ; e) A·A
t ; f) A
t·A .
11
Sabiendo que 5
102
432
413
, determina sin desarrollarlos el valor de
los siguientes determinantes. a)
306
462
423
, b)
144
031
223
,
c)
103
435
418
y d)
014
344
146
Sabiendo que 6
ihg
fed
cba
, determina sin desarrollar el valor de los
siguientes determinantes. a)
ihg
fed
cba
3/3/3/
222
, b)
5/32
5/32
5/32
ggih
ddfe
aacb
c)
ifchebgda
fcebda
cba
Sabiendo que 10
ihg
fed
cba
, calcula el valor de
fed
ihg
cba
555
222
333
Sabiendo que 3306
321
, y utilizando las propiedades de los
determinantes, calcular: a) el determinante de la matriz
4
306
642
,
b)
333
102
302010
, c)
36
222
634323
(PAU Junio Especifica 2009-10).
12
Sea A una matriz cuadrada de orden 3. a) Si sabemos que el
determinante de la matriz 2Aes igual a 8, ¿Cuánto vale el A .
b) Calcula para que valores de x se cumple que 82 A , siendo la
matriz
12
221
11
xx
x
x
A (PAU).
Sea la matriz
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
2
2
2
2
, calcular el valor de su
determinante en función de a. (PAU).
Sean dos matrices cuadradas de orden n, A y B. Probar, haciendo
uso de las propiedades estudiadas, que ABBA , a pesar de que en
general ABBA
Sean las matrices :
17
53A y
65
24B Hallar los determinan-
tes de las siguientes matrices. a) A ; b) B ; c) 3A ; d) 2B ;
e) A + B ; f) 3A + 2B ; g) A·B ; h) B·A ; i) At .
Se considera la función:
x
x
x
baba
xf
100
010
001
32
)(
Sí f(0) = -3 y f(1)
= f(-1), determina a y b. (PAU).
Si 3
igg
fed
cba
, calcula sin desarrollar el valor de
bac
beadcf
hgi
333
13
Si 321 ,, CCCA es una matriz cuadrada de orden 3 con columnas
321 ,, CCC , y se sabe que 4det A , se pide a) Calcular 3det A y A3det .
b) Calcular Bdet y 1det B , siendo 1213 5,,2 CCCCB la matriz cuyas
columnas son 1213 5,,2 CCCC .
(PAU Modelo 2008-09).
Si la matriz
ihg
fed
cba
A tiene determinante n, averigua el valor del
determinante de las siguientes matrices
cba
ihg
fed
B
369
23
246
,
hihig
bcbca
efefd
C
Simplificar sin desarrollar: bcc
baa
32
32
Si A es una matriz tal que
00
002A , a) ¿Cuál es el valor del deter-
minante de A?. b) Calcular un numero k tal que:
00
00
10
01
11
432
k (PAU Septiembre 2003-04).
Sin desarrollar los determinantes comprueba que:
2
2
2
ccab
bbac
aabc
= 32
32
32
1
1
1
cc
bb
aa
14
Unidad 2 . Rangos de matrices
Considera la matriz
2
22
111
mmm
mmmA . Halla los valores de m para los
que el rango de A es menor que 3. (PAU).
Determina los valores de x para los que el rango de la matriz
111
10
03
x
x
A valga 2.
Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a:
011
2011
11
a
aa
aaa
A Razonar si A es inversible para algún valor
de a.
Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a. ¿Para que
valores de a es la A inversible?.
8602
3115
301
a
a
A
Estudiar el rango de las siguientes matrices según el valor del
correspondiente parámetro.
371
431
2112
1111
A ;
aa
a
aa
B
1
10
1
;
232
220
112
k
C
25
32
mm
mD ;
51
42
E
15
Halla el rango de la matriz:
111
0110
111
a
a
a
A según el valor del
parámetro a. (PAU).
Halla el rango de la matriz :
a
bb
aa
A
112
12
112
según los valores de
los parámetros a y b . (PAU).
Halla el rango de las siguientes matrices:
20426
10213A
1223
0412
0321
B
Halla el rango de las siguientes matrices:
a)
0447
0976
0531
A ; b)
1005
402
603
B ; c)
56
97
31
C
d)
3142
0921D
Halla el rango o característica de las siguientes matrices:
412
321A ;
111
123
321
B ;
300
210
420
C
Hallar el rango de la matriz
100
0cos
0cos
sen
sen
A
16
Hallar el rango de las siguientes matrices:
1111
1111
1111
1111
A ;
2125
3123
4211
1312
B
Sea la matriz
30
14
101
m
mA . Determine los valores de m para los
que Rango(A) < 3. ¿Puede ser rango(A) = 1 para algun valor de m?.
(PAU).
Sea r el rango de la matriz
2130
0012
3241
1101
A a) Hallar r, b) Señalar
r filas y r columnas linealmente independientes.
17
Unidad 2. Matriz inversa. Ecuaciones matriciales
Calcula la matriz X, tal que X · B + A = C siendo:
315
124A ,
230
102
030
B ,
642
531C (PAU).
Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica
X·A2 +B·A = A
2, siendo
001
010
100
A ,
002
020
200
B
(PAU Septiembre 2006-07).
Considera las matrices
100
212
111
A y
111
110
100
B , Calcula la
matriz X que verifica que X·A + B = I. (PAU).
Considera las matrices
12
1 xA y
21
10B . Halla x para que se
cumpla
126
8822 BA (PAU).
Contesta a las siguientes cuestiones: a) calcula los valores x, y, z que
verifican la siguiente ecuación matricial:
10
1
0
12
11
12
3
2
1
z
yx
b) Expresa el sistema anterior en forma matricial A·X = B .
c) Calcula la matriz inversa de A. (PAU).
Dada la ecuación matricial A · X + B = C, se pide obtener la matriz
X siendo:
100
021
011
A ,
21
10
11
B ,
11
31
10
C (PAU).
18
Dada la matriz
43
21A calcula la expresión: (A
t · A
-1)2 · A
Dada la matriz
x
xA
41
12
211
calcula para que valor de x, posee
inversa y para cuales no es inversible. Calcular A-1
. (PAU).
Dada la matriz
a
a
A
10
010
11
estudiar para que valores de a tiene
inversa y calcularla siempre que sea posible.
( PAU Junio Especifica 2009-10).
Dada la matriz
x
x
x
A
111
111
111
, obtén los valores de x para los
que posee inversa. Calcular A-1
.
Dada la matriz
102
102
112
a
a
a
A se pide: a) Determinar el rango
de A según los valores del parámetro a. b) Decir cuando la matriz A es
invertible. Calcular la inversa par a = 1.
(PAU Septiembre 2007-08).
Dada la matriz:
20
01
0
aa
aa
aa
A , se pide: a) Estudiar el rango de
la matriz A según los valores del parámetro a. b) ¿Para que valores de
a existe la matriz inversa. Obtener la matriz inversa de A para a = 1
(PAU Septiembre común 2009-10).
19
Dada la matriz
112
12
12
M a) Determinar el rango de M según
los valores del parametro . b) Determinar para que valores de exis-
te la matriz in versa de M. Calcular dicha matriz inversa para 0 .
(PAU Modelo 2006-07).
Dada la matriz:
110
21
21
m
mm
M , se pide: a) Determinar los valores
del parámetro m para los cuales la matriz M es invertible. b) Determi-
nar los valores del parámetro m para los cuales la matriz 25M es inver-
tible. c) Para m = -1 calcular, si es posible, la matriz inversa 1M de M.
(PAU Septiembre 2008-09).
Dadas las matrices:
320
210
021
A ,
310
111
211
B a) Determinar la
matriz inversa de B. b) Determinar una matriz X tal que XBA
(PAU Septiembre 2003-04).
Dadas las matrices:
215
113
001
A y
000
010
001
B . Se pide :
a) Hallar 1A . b) Hallar la matriz X, tal que: BAXA t (donde At
significa matriz traspuesta de A). (PAU Junio 2003-04).
Dadas las matrices:
11
24A ,
13
24B , obtener una matriz
cuadrada X de orden 2 que verifique la ecuación matricial
BABXA . (PAU Septiembre 2008-09).
20
Determina la matriz X, sabiendo que se verifica: X · A2 + B · A = A
2
y que:
001
010
100
A y
002
020
200
B (PAU).
Estudia para que valores de m la matriz siguiente tiene inversa
mm
m
0
110
10
. En caso de ser posible, halla su inversa para m = -1 (PAU).
Estudiar para que valores del parámetro a tiene inversa cada una
de las siguientes matrices y hallar la inversa en esos casos:
a)
a
a
a
A
00
020
202
b)
3012
112
0
aa
aa
aa
B
Halla la matriz inversa de la matriz:
010
121
111
A
En la matriz del anterior, señala los cambios que ocurren en A-1
si en
la matriz A se intercambian dos de sus filas o dos de sus columnas. ¿Y
si se multiplica una de sus filas por un numero p 0?. ¿Y si se multipli-
ca por p 0 una columna?.
Halla, si existe, una matriz cuadrada A de orden 2, que cumpla las
siguientes condiciones:
a) Coincide con su traspuesta.
b) Verifica la ecuación matricial
33
33
10
11
11
11A
(PAU).
Hallar la inversa de la matriz
39
47A y comprueba sí
(A-1
)2 = (A
2)-1
.
21
Hallar las inversas de las matrices:
a)
150
013
101
A ; b)
1
111
111
111
B
Resolver la ecuación matricial A·X = B siendo:
10
21A ;
110
321B
Resolver la ecuación matricial A2·X – B = A
2 siendo:
100
020
001
A y
100
030
001
B (PAU).
Resolver la ecuación matricial B·(2A + I) = A·X·A + B siendo
10
11A ,
11
21B e
10
01I (PAU).
Resuelve la ecuación matricial A·X + C = B, siendo
01
14A ,
0112
1021B y
0301
1210C (PAU).
Sea la ecuación A·X = B con :
115
203
011
A y
3
2
1
B
Hallar A-1
y X.
Sea k un numero natural y sean las matrices
1
1
0
,
100
010
111
BA y
211C a) Calcular kA . b) Hallar la matriz X que verifica la
ecuación CBXAk . (PAU Junio 2000-01).
22
Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la identidad
A + B = A·B. Comprobar que entonces se tiene la formula:
ABBI 11 (donde I denota la matriz identidad). b) Dada la
matriz
12
11A hallar la matriz B para la cual se verifica
BABA . (PAU Septiembre 2002-03).
Sean las matrices
3
2
1
A ,
2
2
7
B ,
100
010
000
C y
3
5
2
E .
Calcular
z
y
x
M para que verifique la ecuación (A·Bt +C)·M = E.
(PAU).
Sean las matrices
010
201
101
A ,
301
011
201
B a) Calcular A-1
. b)
Resolver la ecuación matricial A·X = B·A.
(PAU Prueba 2001-02).
Sean las matrices:
10
11A ,
38
37B . a) Hallar una matriz X tal
que BXAX 1 . b) Calcular 10A . c) Hallar todas las matrices M que
satisfacen 22 MAMAMA .
(PAU Modelo 2007-08).
Sean las matrices:
10
02A ,
76
98B . Hallar una matriz X tal
que BXAX 1 . (PAU Junio 2006-07).
23
Se consideran las matrices
111
21 A y
20
0
31
B , donde es
cualquier numero real. a) Encuentra los valores de para los que A·B
es invertible. b) Determina los valores de para los que B·A es
invertible. c) Dados a y b, números reales cualesquiera, ¿puede ser el
sistema
b
a
z
y
x
A compatible determinado?. (PAU Junio 1998-99).
24
25
Unidad 3. Sistemas de ecuaciones
Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo
que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades
de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 años la edad de la
madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento
y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo
menor tendrá 42 años.
(PAU Junio 2001-02).
De tres números x, y ,z, sabemos lo siguiente: que el primero mas el
segundo suman 0; que el primero mas el tercer suman 1; que la suma
de los tres es 0 y, para terminar, que el primero multiplicado por un
numero k mas el doble de la suma del segundo y del tercero da 1.
a) ¿Que puede decirse del valor de k?. b) ¿Cuánto valen esos tres nú-
meros?. (PAU).
El capitán Ala Triste tiene a su cargo tres compañías: una de suizos,
otra de zuavos y una tercera de sajones. Al asaltar una fortaleza el ca-
pitán promete una recompensa de 901 escudos que se repartirán de la
siguiente forma: El soldado que primero suba junto con todos los de su
compañía recibirán un escudo y el resto de la recompensa se repartirá
a partes iguales entre las otras dos compañías. Si el primero que sube
es suizo, las otras dos compañías recibirán ½ escudo cada una; si el pri-
mero que sube es zuavo, las otras dos reciben 1/3 de escudo cada una y
si el primero que sube es sajón, las otras dos obtienen ¼ de escudo.
¿Cuántos hombres hay en cada compañía?.
El tío Evaristo tiene 10 litros de mezcla de agua y vino. Al probarla,
observa que esta muy aguada, por lo que decide añadirle una cierta
cantidad de vino y entonces la cantidad de agua es del 30 % del total.
Como sigue estando aguada, le añade de nuevo la misma cantidad de
vino que antes y entonces la cantidad de agua es del 20 % del total.
¿Cuantos litros de vino se añaden en cada ocasión y cuantas hay de
agua?.
26
En una autonomía existen tres hospitales dedicados a urgencias. Se
sabe que en el primer hospital se han atendido en doble de casos que en
el segundo y que en el tercero se han atendido solo la mitad que en el
segundo, Si el total de urgencias ha sido de 3003, ¿cuántas prestacio-
nes ha realizado cada hospital? Plantear el sistema y resolverlo.
En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g y
1 Kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más
de tamaño pequeño que de tamaño mediano. Sabiendo que el precio
del kg de bombones es de 40 euros y que el importe total de los bombo-
nes envasados es de 1250 euros: a) Plantea un sistema de ecuaciones
para determinar cuantas cajas se han envasado. b) Resuelve el sistema.
En una feria, un granjero vendió cada ganso, pollo y codorniz por 10,
5 y 1 € respectivamente. En total vendió 50 animales y recibió 100 €.
¿cuántos animales vendió de cada clase, si vendió la quinta parte de
pollos que de codornices?.
La liga de futbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuel-
ta. Este año, los partidos ganados valían 3 puntos, los empatados 1
punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón
de liga obtuvo 70 puntos. Hasta el año pasado, los partidos ganados
valían 2 puntos y el resto igual. Con este sistema el actual campeón
habría obtenido 50 puntos. ¿Cuántos partidos gano, empato y perdió el
equipo campeón?. (PAU).
La suma de las edades en el momento actual, de un padre y sus dos
hijos es de 73 años. Dentro de 10 años, la edad del padre será el doble
de la edad del hijo menor. Hace 12 años, la edad del hijo mayor era el
doble de la edad de su hermano. Hallar la edad actual de cada uno.
27
Las edades, en años, de un niño, su padre y su abuelo verifican las
siguientes condiciones:
- La edad del padre es veces la de su hijo.
- El doble de la edad del abuelo mas la edad del niño y mas la del
padre es de 182 años.
- El doble de la edad del niño mas la del abuelo es 100.
a) Establece las edades de los tres suponiendo que = 2.
b) Para = 3, ¿que ocurre con el problema planteado?.
c) Siguiendo con = 3, ¿que ocurre si en la segunda condición la
suma es de 200 en vez de 182?. (PAU).
Luis, Juan y Oscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: Si te doy la
tercera parte del dinero que tengo, los tres tendremos la misma canti-
dad. Calcular lo que tiene cada uno, sabiendo que entre los tres reúnen
60 €. (PAU).
Resuelve el sistema que se obtenga del siguiente enunciado: ¿Cuan-
tos litros de leche con 35% de grasa han de mezclarse con leche del
40% de grasa, para obtener 20 litros de leche con el 25% de grasa?.
Si a un numero de dos cifras se le suma 18, se obtiene un numero
con las cifras intercambiadas. Sabiendo que la suma de las cifras del
numero es 16, encuentra dicho numero.
Si la altura de Carlos aumentase el triple de la diferencia entre las
alturas de Toni y de Juan, Carlos seria igual de alto que Juan. Las
alturas de los tres suman 515 cm. Ocho veces la altura de Toni es lo
mismo que nueve veces la altura de Carlos. Hallar las tres alturas.
Si la suma de las dos cifras de un numero es 11 y al invertir el
orden de las cifras, el nuevo numero aumenta en 27 unidades. Calcular
el numero.
28
Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto, se
obtiene un vino del 10% de alcohol. Si, por el contrario se mezclan 20
litros de vino blanco con 60 litros de tinto, se obtiene un vino de 11 %
de alcohol. ¿Qué graduación tendra una mezcla de 40 litros de vino
blanco y 40 litros de tinto?.
(Llamar x a la graduación del vino blanco, y a la graduación del vino
tinto, z a la graduación de la mezcla)
Tres amigos juegan tres partidas a los chinos. Acuerdan que, si uno
pierde le dará a cada uno de los otros dos, igual cantidad de dinero que
la que tengan en ese momento. Cada uno pierde una partida y todos
acaban con 40 €. ¿Con cuanto dinero empezó a jugar cada jugador?.
Tres personas A, B y C van a hacer un regalo a un amigo común. El
regalo les cuesta 86 euros. Como no todos disponen del mismo dinero,
deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan
B y C juntos, y por cada 2 euros que paga B, C paga 3 euros. Se pide:
a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar
cuanto paga cada uno de ellos. b) Resuelve el sistema planteado por el
método de Gauss.
Tres personas A, B y C deciden repartirse 8600 pts, de la siguiente
forma: A recibe el triple de lo que reciban B y C juntos y además por
cada 2 pts que reciba B, el C recibe 3 pts. Se pide: a) Plantear el siste-
ma de ecuaciones que permita determinar cuanto recibe cada uno.
b) Resolver el sistema.
Un almacenista dispone de tres tipos de cafés: el A, a 9,80 € / kg; el B,
a 8,75 € / kg, y el C, a 9,50 € / kg. Desea hacer una mezcla con los tres
tipos de café para suministrar un pedido de 1050 kg a un precio de
9,40 € / kg. ¿Cuántos kg de cada tipo de café debe mezclar sabiendo
que debe poner del tercer tipo el doble de lo que ponga del primero y
del segundo juntos?. (PAU Junio 1997-98).
29
Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de pata-
tas, manzanas y naranjas a un precio de 1, 1,20 y 1,50 euros por kg res-
pectivamente. El importe total de la compra fue de 11,60 euros. Si el
peso total de la misma es de 9 kg y, además, compró 1 kg más de na-
ranjas que de manzanas: a) Plantea un sistema de ecuaciones para de-
terminar la cantidad adquirida de cada producto, b) resuelve el siste-
ma.
Un automóvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en
llano marcha a 80 km/h. Para ir de la ciudad A ala B tarda 2 horas y
30 minutos y para volver de B a A, 2 horas y 38 minutos. ¿Cuál es la
longitud del camino llano entre A y B si se sabe que A y B distan en-
tren sí 192 km?.
Un cajero automático contiene 95 billetes de 100, 200 y 500 € y un
total de 20000 €. Si el número de billetes de 100 es el doble que el nú-
mero de billetes de 200, averiguar cuantos billetes hay de cada tipo.
(PAU Septiembre 1998-99).
Un coleccionista decide regalar un montón de sellos. A cada persona
con la que se encuentra le da la mitad de los sellos que llevaba mas
uno, y se encuentra exactamente a 6 personas. Si al final regala todos
los sellos, ¿Cuántos sellos tenis el coleccionista?. (PAU).
Un estudiante hizo un examen que constaba de tres preguntas y ob-
tuvo un 8 de calificación. En la segunda pregunta saco 2 puntos más
que en la primera y en la tercera obtuvo 1 punto más que en la según-
da. Plantea el sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método de
Gauss.
30
Un mayorista del sector turístico vende a la agencia de viajes A, 10
billetes a destinos nacionales, 10 billetes a destinos extranjeros euro-
peos comunitarios y 10 billetes a destinos internacionales no comuni-
tarios, cobrando por todo ello 12000 €. A una segunda agencia B le
vende 10 billetes a destinos nacionales, y 20 a internacionales no comu-
nitarios, y cobra 13000 €. A una tercera agencia C le vende 10 billetes a
destinos nacionales y 10 a destinos extranjeros europeos comunitarios,
cobrando 7000 €. Se pide: a) Hallar el precio de cada billete. b) Por ra-
zones de mercado, el mayorista se ve obligado a bajar un 20 por ciento
el precio de todos los billetes nacionales. Hallar en que porcentaje debe
incrementar el precio de todos los billetes extranjeros comunitarios,
manteniendo constante el precio de todos los billetes internacionales no
comunitarios, para mantener constantes sus ingresos totales por las
ventas a las tres agencias. (PAU)
Un vinatero posee tres tipos de vino con precios por litro de 3, 4 y 7
euros, respectivamente. ¿Cómo debería mezclarlos para obtener un
litro de vino cuyo precio fuese 5 euros el litro, teniendo en cuenta que
debe emplear doble cantidad del vino de 4 euros por litro que del vino
que solo cuesta 3 euros el litro?.
Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares
y libras. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264000
€. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del
valor del dinero en dólares y que el valor del dinero en libras sea la dé-
cima parte del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es
igual a 1,5 euros y que un dólar es igual a 1,1 euros, se pide determinar
la cantidad de euros, dólares y libras que la empresa ha de tener dispo-
nible.
Una persona va al supermercado y compra una docena de huevos,
una bolsa de patatas y una botella de aceite. El día siguiente compra
una botella de huevos y dos botellas de aceite. Vuelve a la tienda y com-
pra una bolsa de patatas y otra docena de huevos. El primer día pago 6
€, al día siguiente se gasto 6,5 € y en la tercera ocasión pago 3,5 €.
Calcula, si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite.
31
Una refinería compra petróleo a dos países A y B. Comprando 500
barriles al país A y 15500 barriles al país B, resulta un precio medio de
19´875 dólares el barril. Comprando 1000 barriles al país A y 1000 al
país B, el precio medio es de 18 dólares el barril. ¿Cuanto cuesta el ba-
rril de crudo de cada país?.
32
33
UNIDAD 3: Estudio general de sistemas de ecuacio-
nes lineales.
Averigua si es posible escribir un sistema lineal homogéneo (sus tér-
minos independientes son nulos) de dos ecuaciones con dos incógnitas
que sea: a) compatible y determinado; b) compatible e indetermina-
do; c) incompatible. Razona la respuesta en cada caso y pon un ejem-
plo cuando la respuesta sea afirmativa.
Averigüe si el siguiente sistema
0
0342
023
mzyx
zyx
zyx
puede ser compatible
indeterminado para algún valor de m. ¿Es incompatible para algún
valor de m?
Clasifica y resuelve el siguiente sistema:
322336
6
5
422
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
Considera el sistema: 3243
1
zyx
zyx a) Añade una ecuación lineal
al sistema anterior de modo que el sistema resultante sea incompatible.
b) Si añadimos al sistema dado la ecuación mx + y – z = -1, determina
para que valores del parámetro m el sistema resultante es compatible
indeterminado y resuélvelo. (PAU).
Considerar el siguiente sistema de ecuaciones, en el que a es un
parametro real:
1
4
4
zyx
aazayx
aazyax
Se pide a) Discutir el sistema. b)
Resolver el sistema para a = 1. (PAU Modelo 2004-05).
34
Dadas las ecuaciones 4232
523
zyx
zyx a) Añade una ecuación para
que el sistema sea incompatible. b) Añade una ecuación para que el
sistema sea compatible determinado. Justifica en cada caso el procedi-
miento seguido para añadir la ecuación. (PAU).
Dado el sistema 432
523
zyx
zyx a) Añade una ecuación lineal de
manera que el sistema resultante sea incompatible. b) Añade una
ecuación lineal de manera que el sistema resultante sea compatible
indeterminado. Resuelve el sistema. (PAU).
Dado el sistema 3
122
zyx
zyx a) ¿Cómo ha de ser la ecuación que
debe de añadirse para que sea incompatible?. b) ¿Cómo es la ecua-
ción que debe de añadirse para que resulte compatible indetermina-
do?. Resuelve el sistema. (PAU).
Dado el sistema 12
12
zyx
yx , a) escribir una tercera ecuación de la
forma cbyax (distinta de las dos anteriores) de manera que el siste-
ma de tres ecuaciones y dos incógnitas resultante siga siendo compati-
ble. b) Dado el sistema 12
122
zyx
zyx , escribir una tercera ecuación de
la forma 1 zyx (distinta de los dos anteriores) de manera que el
sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas resultante sea compatible
indeterminado. (PAU Junio 03-04).
Dado el sistema:
acybz
bazcx
cbxay
si a,b y c son no nulos, el sistema tiene
solución única. Halla dicha solución. (PAU).
35
Dado el sistema:
0
01
0421
zayx
zyax
zyxa
a) Estudiar la compatibilidad
según los valores del parámetro a. b) Resolver el sistema anterior
cuando sea compatible indeterminado. (PAU Junio 2003-04).
Dado el sistema
23
42
2
yx
yx
yx
se pide: a) Discutir el sistema según los
valores del parámetro . b) Resolver el sistema cuando sea posible.
(PAU Junio 2008-09).
Dado el sistema:
5
4
2
zyx
zyx
zx
se pide: a) Discutirlo para los
distintos valores del parámetro . b) Resolverlo cuando el sistema sea
compatible indeterminado. c) Resolverlo para 2 .
(PAU Modelo 2009-10).
Dado el sistema
02
02
02
zyx
zyx
zyx
se pide: a) Obtener los valores del
parámetro para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de:
x = y = z = 0. b) Resolver el sistema para 5
(PAU Septiembre 2008-09).
Dado el sistema de ecuaciones: 532
332
zyx
zyx Se pide: a) Calcular a y
b de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma
ax+ y + bz = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el
sistema original. b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que
la suma de los valores de las incógnitas sea igual a 4.
(PAU Septiembre 2006-07).
36
Dado el sistema de ecuaciones
65
232
22
azyx
zyx
zyx
Se pide: a) Discutirlo
según los valores del parámetro a. b) Resolverlo cuando tenga infinitas
soluciones. (PAU Junio 2000-01).
Dado el sistema de ecuaciones:
2
22
zx
zax
azayx
se pide: a) Discutirlo
según los valores del parámetro a. b) Resolverlo en el caso a = 0.
(PAU Junio General 2009-10).
Dado el sistema de ecuaciones lineales
121
121
kzyxk
kzykx
zykx
a) Discu-
tirlo según los distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo cuando
tenga infinitas soluciones.
(PAU. Septiembre 2006-07).
Dado el sistema de ecuaciones lineales 431232
112
2
mzmyxm
mzmymx
mmzyx
a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro m . b) Resolver-
lo cuando tenga infinitas soluciones.
(PAU Modelo 2007-08).
Dado el sistema de ecuaciones
14
232
32
zkykx
zyx
kzyx
a) Discutirlo según los
distintos valores de k. b) Resolverlo cuando sea compatible indetermi-
nado. (PAU Modelo 2005-06).
Dado el sistema de ecuaciones: 22
2
2 1
kzkkyx
kkzkyx
zkkyx
a) Discutirlo según
los distintos valores de k. b) Resolverlo para k = -1
(PAU Modelo 2006-07).
37
Dado el sistema de ecuaciones:
kyx
kyx
yx
53
232
3
a) Discutirlo según los
distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo en los casos en que sea
posible. (PAU Modelo 2008-09).
Dado el sistema homogéneo
01
0
0
yxk
zykx
zkyx
Averiguar para que
valores de k tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. Resolverlo en
tales casos. (PAU. Junio 2005-06).
Determina, según los valores del parámetro , cuando tiene solución
el sistema: 2
2
2
2
11
zyx
zyx
zyx
Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado. (PAU).
Discute el siguiente sistema para los distintos valores del parámetro
a.
1
2
zyax
azayx
aazyx
Resuélvelo en los casos de compatibilidad. (PAU).
Discute el sistema de ecuaciones lineales 11
21
22
zbbyx
bbzybx
zyx
según los
valores de b. (PAU).
Discute el sistema de ecuaciones
262
242
062
azayx
zayx
zyax
según los valores
del parametro a. b) Resuelve el sistema de ecuaciones anterior para
a = 2. (PAU Junio 1998-99).
38
Discute, en función de a, el sistema 1
ayx
aayax (PAU).
Discute y resuelve por Cramer los siguientes sistemas:
a) 35
632
ba
ba b)
yxz
yx
zyx
2310
193
23353
c)
332
323
62
zyx
zyx
zyx
d)
066
0335
074
01133
rqp
rqp
rp
rqp
Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k y
resolverlo en el caso de que sea compatible indeterminado:
23
1
`
kzyx
zkyx
kzkx
Discutir el siguiente sistema. Hallar, si existe, su solución cuando
a = 0.
0
011
11
2
2
2
zax
zaya
azyax
Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones
aazyx
zyx
azyx
33
1 en función del parámetro a (PAU).
Discutir la existencia de soluciones del siguiente sistema según los
valores del parámetro . Resolverlo, si es posible, para = 0.
133
32
zyx
zyx
Discutir razonadamente, en función del parámetro k, el siguiente
sistema:
12
2
kkzyx
kzykx
kzkyx
(PAU Modelo 2009-10).
39
Discutir según los valores del parámetro real el sistema:
1
1
3
zyx
zyx
zyx
y resolver el sistema anterior en el caso 2
(PAU Septiembre 2003-04).
Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores del
parámetro : 2
1
zyx
zyx
zyx
Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores del
parámetro a:
03
22
1
zyx
zyx
zyax
Encuentra el valor del parámetro a, a , para los cuales el
sistema:
azyx
zyax
zyx
5356
2
4232
es compatible, y, en caso afirmativo,
resuélvelo. (PAU).
Encuentra la relación entre las soluciones obtenidas y la matriz
inversa de la matriz de los coeficientes
11
32 (PAU).
Estudie, según los valores del parametro a, el sistema de ecuaciones
lineales siguiente:
azyx
aazyx
aayax
32
(PAU).
Hallar para que valores de es incompatible el sistema:
zx
zyx
zx
33
21
40
Obtén los valores x, y, z que verifiquen la siguiente ecuación matri-
cial:
0
0
1
10
12
11
1
2
1
z
yx
Resolver el sistema de ecuaciones 532
03
zyx
zyx . Hallar la solución
del sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a
cada una de las tres incógnitas sea igual a 4.
(PAU. Septiembre 2006-07).
Resolver el siguiente sistema:
022
86242
432
432
zx
vzyx
vzyx
vzyx
(PAU Septiembre 2007-08).
Resuelve el sistema de ecuaciones 22
132
zyx
zyx. Hallar dos
constantes y de manera que al añadir al sistema anterior una
tercera ecuación: zyx5 , el sistema resultante sea compatible
indeterminado. (PAU Junio 2004-05).
Resuelve los siguientes sistemas:
a)
13
11
16
zy
zx
zyx
b)
723
1154
12332
zyx
zyx
zyx
c)
453
432
1123
zyx
zyx
zyx
d)
362
1732
42
zyx
zyx
zyx
e)
1274
62
032
zyx
zyx
zyx
f)
043
02
0
zyx
zyx
zyx
g)
082
043
02
zyx
zyx
zyx
h)
0
0232
0
zyx
zyx
zyx
41
Resuelve los siguientes sistemas:
a)
23
062
01
yx
yx
yx
b) 2
5
xy
yx c)
153
32
342
zyx
zyx
zyx
d) 4325
17325
zyx
tzyx
e)
0434
0322
0232
zyx
zyx
zyx
f)
743
53
1059
zx
zy
yx
g)
5573
1
335
13
zyx
zyx
zyx
zyx
Resuelve los siguientes sistemas homogéneos:
a)
023
02
0
zyx
yx
zyx
b)
0987
0654
032
zyx
zyx
zyx
Resuelve los sistemas de ecuaciones:
0
132
yx
yx y
1
032
yx
yx
Resuelve, utilizando un método algebraico, el siguiente sistema de
ecuaciones:
524
42
3
zyx
zyx
zyx
Sea el sistema de ecuaciones:
022
02
02
tyx
tzy
zyx
Hallar los valores de
para los que el rango de la matriz de coeficientes del sistema es 2.
Resolverlo si = 0
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
parametro real a:
654
2
43
zyx
zayx
azyx
Se pide: a) Discutir el sistema según
los diferentes valores del parametro a. b) Resolver el sistema en el caso
en que tenga infinitas soluciones. (PAU Modelo 2003-04).
42
Se considera el sistema de ecuaciones:
1
1
1
11
11
11
111
z
y
x
a) Discu-
tirlo según los valores del parámetro real . b) Resolverlo para 3 .
c) Resolverlo para 1 . (PAU. Junio 2000-01).
Se considera el sistema de ecuaciones:
915
02
332
zymx
zyx
zmyx
se pide:
a) Discutir el sistema según los valores de m. b) Resolver el sistema
para el caso m = 0. (PAU Junio Especifica 2009-10).
Se considera el sistema de ecuaciones:
1
2
312
zmyx
zymx
zymxm
Se pide:
a) Resolverlo para m = 1. b) Discutirlo para los distintos valores de m.
(PAU Junio 2002-03).
Se considera el sistema de ecuaciones:
2
52
9343
zyx
zymx
zyx
Se pide:
a) Determinar los valores de m para que el sistema dado tenga solución
única. b) Resolverlo para m = 1. (PAU Septiembre 2002-03).
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