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``La transformada de Laplace``
Prof. Gil Sandro Gómez. 1
Unidad 5. La transformada de Laplace
Introducción.
En nuestro curso de cálculo elemental aprendimos que la derivación y la
integración son transformadas, es decir, que estas operaciones transforman
una función en otra. Estas transformadas poseen la propiedad de linealidad,
de que la transformada de una combinación lineal de funciones; es una
combinación lineal de las transformadas. En este capítulo analizaremos un tipo
especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además
de la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene otras
propiedades muy importantes para resolver problemas con valores iniciales.
Es necesario revisar los conceptos de las integrales impropias que aprendimos
en nuestro curso de cálculo II, para tener un buen desempeño en este tema.
Es importante también, revisar nuestro conocimiento de la técnica de
fracciones parciales que hemos estudiado en el álgebra lineal.
5.1 Definición. Transformada de Laplace
Sea 𝑓 una función definida para 𝑡 ≥ 0, la transformada de Laplace de 𝑓(𝑡) se
define como
( ) ~ (1)f t dt
-st
0L(f(t))= e
siempre que converja la integral.
Cuando la integral (1) converge, el resultado es una función de 𝑠.
La transformada de Laplace se puede escribir también como 𝐹(𝑠).
Una de las principales propiedades de la transformada de Laplace es la
linealidad. Esto nos dice que la transformada de Laplace un operador lineal.
Linealidad de la transformada
Teorema 5.1. Sean 𝑓, 𝑓1 y 𝑓2 funciones cuyas transformadas de Laplace existen
para 𝑠 > 𝛼 y sea 𝑐 una constante. Entonces, para 𝑠 > 𝛼,
1 2 1 2 ~ (2)
~ (3)
f f f f
cf c f
L L L
L L
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Condiciones suficientes para la existencia de la transformada
La integral que define la transformada de Laplace no tiene que converger. Un
ejemplo concreto son las funciones 𝑓 𝑡 = 1/𝑡 la cual decrece rápidamente
cuando 𝑡 → 0, de forma similar no existe una transformada para 𝑓 𝑡 = 𝑒𝑡2 que
crece de manera veloz cuando 𝑡 → ∞. Las condiciones suficientes que
garantizan la existencia de ( )L f t son que 𝑓 sea continua por partes en
0, ∞ y que 𝑓 sea de orden exponencial para 𝑡 > 𝑇.
Continuidad por partes
Definición. Una función 𝑓(𝑡) es continua por partes en un intervalo finito [𝑎, 𝑏] si
𝑓(𝑡) es continua en cada punto de [𝑎, 𝑏] excepto en un número finito de
puntos donde 𝑓(𝑡) tiene una discontinuidad de salto.
Una función 𝑓(𝑡) es continua por partes en [𝟎, ∞) si 𝑓(𝑡) es continua por partes
en [0, 𝑁] para todo 𝑁 > 0.
Orden exponencial
Definición. Una función 𝑓(𝑡) es de orden exponencial 𝛽 si existen constantes
positivas 𝑇 y 𝑀 tal que
𝑓(𝑡) ≤ 𝑀𝑒𝛽𝑡 , para toda 𝑡 ≥ 𝑇.
Ejemplo 1. Determine si la función dada es de orden exponencial en 0, ∞ )
𝑓 𝑡 = 𝑡2
Vamos a realizar un análisis gráfico para determinar si la función dada es de
orden exponencial o no.
x
y
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La gráfica azul representa a 𝑓 𝑡 = 𝑡2 y la roja la de 𝑔 𝑡 = 𝑒𝑡
Para 𝑀 = 1 y 𝛽 = 1.
Como podemos observar, 𝑔(𝑡) crece más rápido que 𝑓 𝑡 , por tanto es de
orden exponencial.
Teorema 5.2 Condiciones suficientes para la existencia de la transformada
Si 𝑓(𝑡) es continua por partes en [𝟎, ∞) y de orden exponencial 𝛽, entonces
( )L f t existe para 𝑠 > 0.
Teorema 5.3. Comportamiento de 𝑭(𝒔) cuando 𝒔 → ∞.
Si 𝑓 es continua por partes en (0, ∞) y de orden exponencial y 𝐹 𝑠 = ( )L f t ,
entonces lim ( ) 0s
F s
.
Tabla 5.1 Transformadas de Laplace de algunas funciones básicas
𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)
𝑘, 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝐾
𝑠, 𝑠 > 0
𝑒𝑎𝑡 1
𝑠 − 𝑎, 𝑠 > 𝑎
𝑡𝑛 , 𝑛 = 1, 2, … 𝑛!
𝑠𝑛+1, 𝑠 > 0
𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) 𝑏
𝑠2 + 𝑏2, 𝑠 > 0
cos(𝑏𝑡) 𝑠
𝑠2 + 𝑏2, 𝑠 > 0
𝑒𝑎𝑡 𝑡𝑛 𝑛!
(𝑠 − 𝑎)𝑛+1, 𝑠 > 𝑎
𝑒𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) 𝑏
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2, 𝑠 > 𝑎
𝑒𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑡) 𝑠 − 𝑎
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2, 𝑠 > 𝑎
5. 2 Propiedades de la transformada de Laplace
No siempre es conveniente usar la definición para hallar la transformada de
Laplace de 𝑓(𝑡). Como es sabido por todos, para determinar la transformada
de Laplace de una función es necesario resolver una integral por partes, que
en algunas ocasiones resulta un poco tedioso. Analizaremos algunas
propiedades de la Transformada de Laplace que agilizan el cálculo. Estas
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propiedades nos permitirán aplicar la transformada de Laplace para resolver
problemas con condiciones iniciales.
Teorema 5.4 Traslación en el eje 𝑺
Si la transformada de Laplace ( ) ( )L f t F s existe para 𝑠 > 𝛼, entonces
( ) ( ) ~ (1)L ate f t F s a
para 𝑠 > 𝛼 + 𝑎.
Teorema 5.5 Transformada de Laplace de la derivada
Sea 𝑓(𝑡) continua en [0, ∞) y 𝑓 ′(𝑡) continua por partes en [0, ∞), ambas de
orden exponencial 𝛼. Entonces, para 𝑠 > 𝛼,
'( ) ( ) (0) ~ (2)L Lf t s f t f .
Teorema 5.6 Transformada de Laplace de derivadas en orden superior
Sean 𝑓 𝑡 , 𝑓 ′ 𝑡 , … , 𝑓 𝑛−1 (𝑡) continuas en [0, ∞) y sea 𝑓 𝑛 (𝑡) continuas por
partes en [0, ∞), con todas estas funciones de orden exponencial 𝛼. Entonces,
para 𝑠 > 𝛼,
( ) 1 2 1( ) ( ) (0) '(0) ... (0) ~ (3).L Ln n n n nf t s f t s f s f f
Los teoremas 5.5 y 5.6 nos muestran la ventaja que tiene utilizar la transformada
de Laplace, porque una ecuación diferencial, la transformamos en una
ecuación algebraica bastante simple.
Teorema 5.7 Derivadas de la Transformada de Laplace
Sea ( ) ( )LF s f t y suponga que ( )f t es continua por partes en [0, ∞) y de
orden exponencial 𝛼. Entonces, para 𝑠 > 𝛼,
( ) ( )( ) ( ) ( 1) ~ (4).L
nn n
n
d F sF s t f t
ds
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Tabla 5.2 Propiedades de la transformada de Laplace
( ) ( ) ( )L L Lf g f g
( ) ( )L Lcf c f para cualquier constante c .
( ) ( )L ate f t F s a
'( ) ( ) (0)L Lf t s f t f
2''( ) ( ) (0) '(0).L Lf t s f t sf f
( ) 1 2 ( 1)( ) ( ) (0) '(0) ... (0).L Ln n n n nf t s f t s f s f f
( ) ( ) ( 1) ( )Ln
n n
n
dt f t F s
ds
5.3 La transformada inversa de Laplace
Definición. Si 𝐹(𝑠) es la transformada de Laplace de una función 𝑓(𝑡), es decir,
( ) ( )L f t F s , decimos entonces que 𝑓(𝑡) es la transformada de Laplace
inversa de 𝐹(𝑠) y se escribe 1( ) ( )Lf t F s .
Teorema 5.8 Linealidad de la transformada inversa
Si 1 1
1L , LF F y 1
2L F existen y son continuas en [0, ∞) y sea 𝑐 cualquier
constante. Entonces
1 1 1
1 2 1 2
1 1
~ (1),
~ (2).
L L L
L L
F F F F
cF c F
Ejemplo 2. Encuentre la función 𝑓(𝑡) cuya transformada de Laplace es,
1
2
1 1 1
2L
s s s
Primero apliquemos el teorema 5.8 y luego el concepto de transformada
inversa de Laplace.
1 1 1 1
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2L L L L
s s s s s s
, entonces
𝑓 𝑡 = 𝑡 − 1 + 𝑒2𝑡
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5.4 Solución de Problemas con Valores Iniciales
Hasta este momento habíamos tratado el tema de la transformada de
Laplace, pero todo eso era para llegar al objetivo principal, que es, resolver
ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales sin tener que encontrar
primero la solución general como hacíamos en el inicio de nuestro curso.
Otras aplicaciones que podemos hacer de la transformada de Laplace es
determinar la solución de una ecuación diferencial con coeficientes variables
de una forma sencilla, así como resolver ecuaciones integrales, sistemas de
ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales parciales.
Método de transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales
con valores iniciales.
Para resolver una ecuación diferencial con condiciones iniciales realizamos los
siguientes pasos:
a. Aplique la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación.
b. Use las propiedades de la transformada de Laplace y las condiciones
iniciales para obtener una ecuación para la transformada de Laplace de la
solución y luego despeje la transformada en esta ecuación.
c. Determine la transformada de Laplace de la solución, buscándola en una
tabla o usando un método apropiado (como fracciones parciales) junto
con la tabla.
Ejemplo 3. Utilizando transformada de Laplace resuelva el problema con
condiciones iniciales.
𝑦′′ − 4𝑦′ = 6𝑒3𝑡 − 3𝑒−𝑡 , 𝑦 0 = 1, 𝑦′ 0 = −1~(2)
Apliquemos la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación dada
en (2).
3'' 4 ' 6 3 ~ (3)L L t ty L y e e
𝑠2𝐹 𝑠 − 𝑆𝑓 0 − 𝑓 ′ 0 − 4 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0) =6
𝑠 − 3−
3
𝑠 + 1~(4)
Sustituimos las condiciones iniciales en (4):
𝑠2𝐹 𝑠 − 𝑆 + 1 − 4𝑆𝐹 𝑠 + 4 =6
𝑠 − 3−
3
𝑠 + 1~(5)
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Reagrupando los términos en (5)
𝑠2𝐹 𝑠 − 4𝑆𝐹 𝑠 =6
𝑠 − 3−
3
𝑠 + 1− 5 + 𝑆
𝑠2𝐹 𝑠 − 4𝑆𝐹 𝑠 =6 𝑆 + 1 − 3 𝑆 − 3 − 5 𝑆2 − 2𝑆 − 3 + 𝑆 𝑆2 − 2𝑆 − 3
𝑆2 − 2𝑆 − 3
𝑠2𝐹 𝑠 − 4𝑆𝐹 𝑠 =𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15
𝑆2 − 2𝑆 − 3
Sacamos a 𝐹 𝑠 factor común:
𝐹(𝑠)(𝑆2 − 4𝑆) =𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15
𝑆2 − 2𝑆 − 3~(6)
Despejamos a 𝐹 𝑠 de (6):
𝐹(𝑠) =𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15
(𝑆2 − 4𝑆)(𝑆2 − 2𝑆 − 3)~(7)
De nuestro conocimiento de Álgebra hacemos uso de las fracciones parciales
𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15
(𝑆2 − 4𝑆)(𝑆2 − 2𝑆 − 3)=
𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15
𝑆 𝑆 − 4 (𝑆 − 3)(𝑆 + 1)
𝐹 𝑠 =𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15
𝑆 𝑆 − 4 (𝑆 − 3)(𝑆 + 1)=
𝐴
𝑆+
𝐵
𝑆 − 4+
𝐶
𝑆 − 3+
𝐷
𝑆 + 1~(8)
Multiplicamos (7) por 𝑆 𝑆 − 4 (𝑆 − 3)(𝑆 + 1):
𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15 =
𝐴 𝑆 − 4 𝑆 − 3 𝑆 + 1 + 𝐵𝑆 𝑆 − 3 𝑆 + 1 + 𝐶𝑆 𝑆 − 4 𝑆 + 1 + 𝐷𝑆 𝑆 − 4 𝑆 − 3 ~(9)
Desarrollando (9), tenemos:
𝑆3 − 7𝑆2 + 10𝑆 + 15 = 𝑆3𝐴 − 6𝑆2𝐴 + 5𝑆𝐴 + 12𝐴 + 𝑆3𝐵 − 2𝑆2𝐵 − 3𝑆𝐵
+𝐶𝑆3 − 3𝑆2𝐶 − 4𝑆𝐶 + 𝑆3𝐷 − 7𝑆2𝐷 + 12𝑆𝐷
Aplicando la teoría de la igualdad entre polinomios obtenemos que:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 16𝐴 + 2𝐵 + 3𝐶 + 7𝐷 = 7
5𝐴 − 3𝐵 − 4𝐶 + 12𝐷 = 1012𝐴 = 15
~(10)
Resolviendo (10), encontramos los valores de A, B, C y D, donde:
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𝐴 =5
4, 𝐵 =
7
20, 𝐶 = −
3
4, 𝐷 =
3
20~(11)
Sustituyendo (11) en (8):
𝐹 𝑠 =5
4𝑆+
7
20(𝑆 − 4)−
3
4(𝑆 − 3)+
3
20(𝑆 + 1)~(12)
Haciendo uso del criterio de la inversa de la transformada de Laplace en (12):
𝐿−1 𝐹(𝑠) =5
4𝐿−1
1
𝑆 +
7
20𝐿−1
1
𝑆 − 4 −
3
4𝐿−1
1
𝑆 − 3 +
3
20𝐿−1
1
𝑆 + 2
Tenemos que la solución es:
𝑦 𝑡 =5
4+
7
20𝑒4𝑡 −
3
4𝑒3𝑡 +
3
20𝑒−2𝑡
Hemos podido observar lo útil que resulta usar transformada de Laplace para
encontrar la solución de un problema con condiciones iniciales.
5. 5 La transformada de Laplace y funciones especiales
Transformada de integrales
En algunas aplicaciones de ingeniería, en comportamiento de un sistema
puede estar representado por una ecuación integro-diferencial, que es una
ecuación que contiene tanto derivadas como integrales de una incógnita
variable. Un caso recurrente es cuando estamos analizando un circuito
eléctrico en el dominio del tiempo; en cuyo caso nos enfrentamos a
ecuaciones tales como:
𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡+ 𝑅𝑖 +
1
𝐶 𝑖 𝜏 𝑑𝜏 = 𝐸 𝑡 ~(1)𝑡
0
Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario poder obtener la
transformada de Laplace de integrales tales como 𝑓 𝜏 𝑑𝜏𝑡
0 .
Asumamos
𝑔 𝑡 = 𝑓 𝜏 𝑑𝜏~(2)𝑡
0
de ahí que:
𝑔′ 𝑡 = 𝑓 𝑡 ~ 4 , 𝑔 0 = 0~(5)
Aplicando transformada de Laplace en (4):
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𝐿 𝑔′ 𝑡 = 𝐿 𝑓 𝑡 ~(6)
Esto nos da:
𝑆𝐺 𝑠 − 𝑔 0 = 𝐹 𝑠 ~(7)
Aplicando las condiciones iniciales en (7) y despejando a 𝐺 𝑠 :
𝐺 𝑠 =1
𝑆𝐹 𝑠 =
1
𝑆𝐿 𝑓 𝑡 ~(8)
De la ecuación (8) podemos concluir que:
𝐿{ 𝑓 𝜏 𝑑𝜏} =𝑡
0
1
𝑆𝐿 𝑓 𝑡 =
1
𝑆𝐹 𝑠
Continuamos analizando otras funciones especiales que surgen
frecuentemente cuando usamos el método de la transformada de Laplace a
problemas de ingeniería. Entre estas funciones tendremos la que introdujo el
ingeniero eléctrico anglosajón Oliver Heaviside, que la denominó función
escalón.
Función escalón unitario
Definición. La función escalón unitario 𝐻(𝑡) está dada por
𝐻 𝑡 = 0, 𝑡 < 0,1, 𝑡 > 0.
Transformada de Laplace de la función escalón unitario
Por definición de transformada de Laplace, la transformada de 𝐻 𝑡 − 𝑎 , 𝑎 ≥ 0,
está dada por
( )sae
L H t as
Demostración:
0 0
( )
( ) ( ) (0) (1)
lim (1) lim lim
ast st st
a
bst sb sa s sa sa
bst
ab b ba
L H t a H t a e dt e dt e dt
e e e e e ee dt
s s s s s s
En el caso de 0a
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1
( )L H t as
Ejemplo 4. Escriba a 𝑓(𝑡) en términos de funciones escalón unitario
23 0 4
( ) 2 3 4 6
5 6
t t
f t t t
t
Escribiendo a 𝑓(𝑡) usando el concepto de función escalón unitario, tenemos
que:
𝑓 𝑡 = 3𝑡2𝐻 𝑡 + 2𝑡 − 3 − 3𝑡2 𝐻 𝑡 − 4 + 5 − 2𝑡 + 3 𝐻 𝑡 − 6
𝑓 𝑡 = 3𝑡2𝐻 𝑡 + 2𝑡 − 3 − 3𝑡2 𝐻 𝑡 − 4 + 8 − 2𝑡 𝐻 𝑡 − 6 ~(2)
Teorema 5.9 Teorema de Traslación en 𝑡
Suponga que 𝐹 𝑠 = 𝐿 𝑓(𝑡) existe para 𝑆 > 𝛼 ≥ 0. Si 𝑎 es una constante
positiva, entonces
𝐿 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝐻(𝑡 − 𝑎) = 𝑒−𝑎𝑠𝐹 𝑠 ,
y recíprocamente, una transformada inversa de Laplace de 𝑒−𝑎𝑠𝐹(𝑠) está
dada
𝐿−1 𝑒−𝑎𝑠𝐹(𝑠) = 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝐻 𝑡 − 𝑎 .
A este teorema, también se le llama segundo teorema de
traslación.
Ejemplo 5. Encuentre la transformada de Laplace.
5. cos2 ( ) L tu t
Como podemos observar, la expresión (5) no se ajusta al formato del segundo
teorema de traslación, por tal motivo tenemos que acomodar la expresión
para poder aplicar el teorema.
Hagamos la siguiente conversión:
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2 cos(2 2 2 ) cos (2 2 ) 2co t t t
Usando la identidad trigonométrica del coseno de la suma de dos ángulos,
tenemos que:
2 cos(2 2 2 ) cos (2 2 ) 2
cos (2 2 ) 2 cos(2 2 )cos2 (2 2 ) 2
cos(2 2 )(1) (2 2 )(0) cos(2 2 ) cos2( ) ~ (6)
co t t t
t t sen t sen
t sen t t t
Usando (6), podemos reescribir la expresión:
cos2( ) ( ) ~ (7)L t u t
Observamos que la expresión (7) si se ajusta al segundo teorema de traslación.
Haciendo uso de la tabla de la transformada de Laplace:
2cos2( )
4
sL t
s
.
La solución final viene expresada como:
2 4
se
s
Función periódica
Antes habíamos calculado la transformada de Laplace para funciones
periódicas como 𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡 y 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡, que son funciones continuas suaves
(diferenciables). Pero, en muchas aplicaciones de ingeniería, frecuentemente
nos encontramos con funciones periódicas que tienen un comportamiento
discontinuo.
Podemos ver algunos ejemplos como los que se muestran a continuación:
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Estas funciones pueden representarse como series infinitas de términos que
involucran funciones escalonadas; una vez expresada en tal forma, podemos
usar ese resultado para obtener la transformada de Laplace.
Definición. Una función 𝑓(𝑡) es periódica con período 𝑇 si
𝑓 𝑡 + 𝑇 = 𝑓(𝑡)
para todo 𝑡 en el dominio de 𝑓.
Teorema 5.10. Transformada de una función periódica
Si 𝑓 tiene período 𝑇 y es continua en 0,𝑇 , entonces
0( )( )
( ) .1 1
Tst
T
sT sT
e f t dtF sL f t
e e
En términos de la función escalón unitario de Heaviside, el teorema 5.10 puede
ser expresado de la siguiente manera:
Sea 𝑓(𝑡), definida para todo 𝑡 > 0, es una función periódica con período 𝑇
𝑓𝑇 𝑡 = 𝑓 𝑡 (𝑢 𝑡 − 𝑢 𝑡 − 𝑇 )
entonces
( )
( )1
T
sT
L f tL f t
e
.
Ejemplo 6. Halle la transformada de Laplace de la función dada, siendo ésta
periódica.
6. 𝑓 𝑡 = 𝑡, 0 < 𝑡 < 2, y 𝑓 𝑡 tiene período 2.
Aplicando el teorema 5.10 en su segunda versión:
( ) ( ) ( ) ( )Tf t f t u t u t T
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( ) ( ) ( 2) ~ (7)Tf t t u t u t
Desarrollamos (7):
( ) ( ) ( 2) ( ) ( 2 2) ( 2)
( ) ( ) ( 2 2) ( 2) ( ) ( 2) ( 2) 2 ( 2) ~ (8)
T
T
f t tu t tu t tu t t u t
f t tu t t u t tu t t u t u t
Como la función dada es periódica entonces,
2
2 22 2
2 2 2 2 2
1( ) ( 2) ( 2) 2 ( 2)
1
1 1 1 2 1 1 2
1 1
s
s ss s
s s
L t L tu t L t u t L u te
e seL t e e
e s s s e s
2 2
2 2
1 2
(1 )
s s
s
e seL t
s e
Función gamma
Definición. La función gamma se define como
Γ 𝑡 = 𝑒−𝑢𝑢𝑡−1𝑑𝑢, 𝑡 > 0.∞
0
Una propiedad importante de la función gamma es la relación recursiva
Γ 𝑡 + 1 = 𝑡Γ 𝑡 .
Para 𝑡 ∈ ℤ, digamos 𝑡 = 𝑛, entonces la relación recursiva puede aplicar varias
veces para obtener
Γ 𝑛 + 1 = 𝑛Γ 𝑛 = 𝑛 𝑛 − 1 Γ 𝑛 − 1 = ⋯ = 𝑛 𝑛 − 1 n − 2 … 2Γ 1
De la definición tenemos que:
Γ 𝑛 + 1 = 𝑛!.
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5.6 Convolución, Función Impulso y Delta de Dirac
Definición. Sea 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) funciones continuas por partes en [0, ∞). La
convolución de 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡), se denota por 𝑓 ∗ 𝑔, se define como
𝑓 ∗ 𝑔 𝑡 = 𝑓 𝑡 − 𝜏 𝑔 𝜏 𝑑𝜏𝑡
0
.
Propiedades de la convolución
Teorema 5.11. Sean 𝑓 𝑡 , 𝑔(𝑡) y (𝑡) continuas por partes en [0, ∞).
Entonces
1. 𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑔 ∗ 𝑓,
2. 𝑓 ∗ 𝑔 + = 𝑓 ∗ 𝑔 + 𝑓 ∗ ,
3. 𝑓 ∗ 𝑔 ∗ = 𝑓 ∗ 𝑔 ∗ ,
4. 𝑓 ∗ 0 = 0.
Teorema de Convolución
Teorema 5.12. 𝑓 𝑡 y 𝑔(𝑡) continuas por partes en [0, ∞) y de orden
exponencial 𝛼; sean 𝐹 𝑠 = 𝐿 𝑓(𝑡) y 𝐺 𝑠 = 𝐿 𝑔(𝑡) . Entonces
𝐿 𝑓 ∗ 𝑔 (𝑡) = 𝐿 𝑓 𝑡 𝐿 𝑔 𝑡 = 𝐹 𝑠 𝐺 𝑠 ,
o en la forma inversa más usual,
𝐿−1 𝐹 𝑠 𝐺 𝑠 = 𝑓 ∗ 𝑔 𝑡 .
Ejemplo 7. Use el teorema de la convolución para determinar la transformada
inversa de Laplace de la función dada.
𝐿−1 2
𝑠 + 1 (𝑠 + 2) = 2𝐿−1
1
𝑠 + 1
1
(𝑠 + 2
Sabemos que: 1 1 21 1
y 1 2
t tL e L es s
Por el teorema de la convolución:
1 22* ,
( 1)( 2
t tL e es s
entonces
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3
2 2 3 3
0 00
4
1*
3 3
3
tt v
t tt t t v v t v t t t
t t
ee e e e dv e dv e e
e e
La función impulso y delta de Dirac
Definición. La función delta de Dirac ( )t se caracteriza por las dos
propiedades siguientes:
0, 0
, 0,
-
1). ( )
2). ( ) ( ) (0)
t
tt
y
f t t dt f
Para cualquier función ( )f t que sea continua en un intervalo abierto que
contiene a 0t .
Función Impulso
Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a
una tensión eléctrica en el caso de los circuitos eléctricos) de gran magnitud,
que solamente actúa durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una
descarga eléctrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión; a un cuerpo
sujeto a un resorte podría dársele un fuerte golpe con un martillo, una pelota
(de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada
velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como un
bate de beisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis. La función impulso
unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.
Definición. Esta función está simbolizada por 𝛿(𝑛) y se define como
𝛿 𝑛 = 1, 𝑛 = 00, 𝑛 ≠ 0
De manera coloquial, decimos que una función impulso unitario, es una señal
que vale cero para 𝑛 ≠ 0 y su valor es uno cuando 𝑛 = 0.
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Teorema 5.13. Área Bajo la Función Impulso
La función 𝛿𝑎 𝑡 − 𝑡0 se llama impulso unitario, porque posee la propiedad de
integración 00
( ) 1.t t dt
Demostración:
0 0 0
00 00 0 0
0 0
1 1 1( ) (0) (0)
2 2 2
1 1( ) (2 ) 1
2 2
. .
t a t a t a
t at a t at t dt dt dt dt t t a t a
a a a
a a aa a
Q E D
Propiedad del Filtrado
Una propiedad importante de la función impulso unitario que es de significado
práctico es la llamada propiedad del filtrado, que establece que si 𝑓(𝑡) es
continua en 𝑡 = 𝑎 entonces
( ) ( ) ( )f t t a dt f a
Esto se conoce como la propiedad del filtrado porque provee un método que
permite aislar, o separar, el valor de la función en cualquier punto particular.
Por razones puramente teórica es conveniente usar límites infinitos en la
ecuación anterior, aunque en la realidad pueden ser sustituidos por límites
finitos. Esto es cierto, dado que para 𝛼 ≤ 𝑎 ≤ 𝛽, donde 𝛼 𝑦 𝛽 son constantes
( ) ( ) ( )f t t a dt f a
La transformada de Laplace de las funciones impulsos
Usando la definición de transformada de Laplace, tenemos que para cualquier
𝑎 > 0
0
( ) ( ) stL t a t a e dt
la cual, aplicando la propiedad de filtrado, da el importante resultado
( ) asL t a e
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Expresando en término de la inversa de la transformada de Laplace,
1 ( )asL e t a
Función de transferencia
Definición. La función de transferencia 𝐻(𝑠) de un sistema lineal invariante en el
tiempo es la razón de la transformada de Laplace de la función de salida del
sistema 𝑦(𝑡) a la transformada de Laplace de la función de entrada 𝑔(𝑡), bajo
el supuesto que todas las condiciones iniciales se anulan (el sistema
inicialmente está en estado de reposo).
( )
( )( )
Y sH s
G s
Función Respuesta al Impulso
Definición. Es la respuesta del sistema a un impulso unitario aplicado en el
tiempo 𝑡 = 0 cuando todas las condiciones iniciales son cero. Esta viene
dada por
1( ) ( )h t L H s
Teorema 5.14. Solución Mediante la Función de Respuesta al Impulso
Sea 𝐼 un intervalo que contiene al origen. La solución única del problema con
condiciones iniciales
𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 𝑔 𝑡 ~(15); 𝑦 0 = 𝑦0, 𝑦′ 0 = 𝑦1,
donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son constantes y 𝑔(𝑡) es continua en 𝐼, está dada por
0
( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ (16)t
k ky t h t g t y t h t v g v dv y t
Siendo ( )h t la función de respuesta al impulso y ( )ky t es la solución única.
Ejemplo. Un sistema lineal queda descrito por el problema de condiciones
iniciales dado. Determine la función de transferencia para el sistema, la función
de respuesta al impulso y dé una fórmula para la solución del problema con
valores iniciales.
1. '' 9 ) ); (0) 2, '(0) -3y y g t y y
``La transformada de Laplace``
Prof. Gil Sandro Gómez. 18
Aplicamos transformada de Laplace a la ecuación (1) en ambos lados:
2 ( ) (0) '(0) 9 ( ) ( )s Y s sy y Y s G s
Por la definición de función de transferencia tenemos que:
2
2
( ) 9 ( ) ( )
( )( 9) ( ) ~ (2)
s Y s Y s G s
Y s s G s
Despejando de (2):
2
( )( ) ~ (3)
( 9)
G sY s
s
De la ecuación (3) obtenemos la función de transferencia:
2
( ) 1( ) ~ (4)
( ) ( 9)
Y sH s
G s s
Aplicamos la inversa de la transformada de Laplace en (4):
1
2
1( )
( 9)h t L
s
Entonces, la función de respuesta al impulso es:
3
( )3
sen th t
Revolvemos la ecuación homogénea asociada a (1):
'' 9 0 ~ (5)y y
Escribimos la ecuación auxiliar de (5)
2 9 0 3r r i
1 2( ) cos3 3 ~ (6)ky t c t c sen t
Derivamos la ecuación (6) y evaluamos 𝑡 = 0:
1 2
1 2
cos(0) (0) 2~ (8)
3 (0) 3 cos(0) 3
c c sen
c sen c
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