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Unidad 6: Funciones algebraicas.
6.1 Función, regla de correspondencia, valor, dominio, contradominio y rango.
6.1.1 Función.
Es el conjunto de pares ordenados de números reales (𝑥, 𝑦) en los que el primer elemento es
diferente en todos y cada uno de los pares ordenados.
Ejemplos:
1) 𝐴 = {(2,5), (3,6), (4,7), (5,8)} representa una función, ya que el primer elemento de
cada ordenado es diferente a los otros.
2) 𝐵 = {(1,1), (1, −1), (4,2), (4, −2)} no representa una función, ya que se repite el
primer elemento en ciertos pares ordenados.
6.1.2 Regla de correspondencia.
Es la expresión que relaciona la variable dependiente con la variable independiente y se denota
por:
𝑦 = 𝑓(𝑥), se lee (𝑦 es igual a 𝑓 de 𝑥)
Donde:
𝑥: variable independiente
𝑦: variable dependiente
𝑓(𝑥): regla de correspondencia
Ejemplos:
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 2) 𝑓(𝑥) =1
𝑥 3) 𝑦 = 1 − 𝑥
2 4) 𝑦 = √𝑥 + 1
6.1.3 Valor de una función.
Se obtiene al sustituir un cierto valor de 𝑥 en la función 𝑓(𝑥).
Ejemplos:
2
1.- Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3, el valor de f(3) es igual a:
a) 3 b) 0 c) 9 d) 6
Solución:
𝑓(3) = (3)2 − 3 = 9 − 3 = 6
2.- Si 𝑓(𝑥) =𝑥+1
𝑥−1 , el valor de 𝑓(−2) es:
a) −3 b) 1
3 c) 3 d) −
1
3
Solución:
𝑓(−2) =−2 + 1
−2 − 1=
−1
−3=
1
3
6.1.4 Dominio de una función.
Es el conjunto de todos los valores de 𝑥 admisibles para una función.
6.1.5 Contradominio.
Es el conjunto de todos los valores de 𝑦 admisibles para una función.
6.1.6 Rango o imagen.
Es el conjunto de todos los valores resultantes de 𝑦 al sustituir cada uno de los elementos del
dominio en la función.
Ejemplo:
1.- Si 𝑓: 𝐷 → 𝐶 𝑐𝑜𝑛 𝐷 = {1,3} 𝑦 𝐶 = {2, 4, 6}, 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1. ¿Qué conjunto representa el
rango de la función?
a) 𝑅 = {2,4} b) 𝑅 = {2} c) 𝑅 = {2, 4, 6} d) 𝑅 = {4}
3
Solución:
▪ El dominio de la función es el conjunto 𝐷 y el contradominio es el conjunto 𝐶.
▪ El rango se conforma de los elementos del contradominio, que se obtienen al sustituir
los elementos del dominio en la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
𝑓(1) = 1 + 1 = 2 ; 𝑓(3) = 3 + 1 = 4
6.2 Función algebraica.
Es aquella función formada por operaciones algebraicas sobre la variable 𝑥. Estas operaciones
son adición, sustracción, producto, cociente, potenciación y radiación.
6.2.1 Clasificación de las funciones algebraicas.
6.2.1.1 Función constante.
Es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑐, y representa todos los puntos (𝑥, 𝑐), su dominio son los reales y su
rango es {𝑐}.
Gráfica:
6.2.1.2 Función lineal.
Es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, su gráfica es una línea recta inclinada, el exponente de 𝑥 es la
unidad.
Y
X
f(x) = c
Dominio = (- ∞, ∞)
Rango = {c}
4
Gráfica:
6.2.1.3 Función cuadrática.
▪ Para obtener los valores de (ℎ, 𝑘) se aplican las siguientes fórmulas:
ℎ = −𝑏
2𝑎 , 𝑘 =
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
6.2.1.3 Función cuadrática.
Es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
Y
X
f(x) = ax + b Dominio = (- ∞, ∞)
Rango = {- ∞, ∞}
Si a > 0
Dominio = R
Rango = {k, ∞}
Y
X
V (h, k) k
h
Dominio = R
Rango = {- ∞, k}
Si a < 0 Y
X
V (h, k) k
h
5
Gráfica:
Ejemplos:
1.- Los puntos que pertenecen a la función 𝑓(𝑥) = 3, son:
a) {(3, 2), (3, 3), (3, 4)} b) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
c) {(1, 3), (2, 3), (3, 3)} d) {(−3, 1), (−2, 3), (−1, 4)}
Solución:
▪ Los puntos que pertenecen a la función 𝑓(𝑥) = 3, son todos aquellos cuya ordenada es
3, significa que son la forma (𝑥, 3) para cualquier valor de 𝑥, entonces, el conjunto es:
{(1, 3), (2, 3), (3, 3)}
2.- Representa una función constante:
a) 𝑓(𝑥) = 𝜋 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 d) 𝑓(𝑥) =1
𝑥
Solución:
▪ Una función constante es aquella regla de correspondencia que a cualquier valor de 𝑥 le
asigna el mismo valor:
𝑓(𝑥) = 𝜋
2.- Representa una función lineal:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 4 c) 𝑓(𝑥) =𝑥+1
𝑥 d) 𝑓(𝑥) = 3
𝑥
Y
X
Dominio = (- ∞, ∞) = R
Rango = {- ∞, ∞} = R
6
Solución:
▪ Una función lineal es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, donde el exponente de 𝑥 es la unidad
y sólo se encuentra como numerador:
𝑓(𝑥) = 𝑥
4.- El vértice de una parábola 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 8 es:
a) 𝑉(2, −4) b) 𝑉(−2, 4) c) 𝑉(4, −2) d) 𝑉(4, 2)
Solución:
▪ El vértice de la parábola se define 𝑉 (−𝑏
2𝑎,
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎) y los valores son: 𝑎 = 1, 𝑏 = 4 𝑦 𝑐 =
8.
▪ Por tanto:
𝑉 (−𝑏
2𝑎,4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎) = 𝑉 (−
4
2(1),4(1)(8) − (4)2
4(1)) = 𝑉 (−
4
2,32 − 16
4) = 𝑉 = (−2, 4)
5.- El rango de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6 es:
a) [−23
4, −∞) b) (−∞, ∞) c) (−∞, −
23
4) d) (−∞, −
23
4]
Solución:
▪ El coeficiente de 𝑥2 es negativo, la parábola abre hacia abajo y su rango está dado por:
(−∞, 𝑘] con 𝑘 =4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
▪ Se obtiene el valor de 𝑘:
𝑘 =4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎=
4(−1)(−6) − (1)2
4(−1)=
24 − 1
−4=
23
−4= −
23
4
▪ Por consiguiente, el rango es el intervalo:
(−∞, 𝑘] = (−∞, −23
4]
7
6.2.1.4 Función racional.
Es de la forma 𝑓(𝑥) =ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥) con 𝑔(𝑥) ≠ 0, si 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛 son los valores para los cuales
𝑔(𝑥1) = 𝑔(𝑥2) =. . . 𝑔(𝑥𝑛) = 0, entonces el dominio de 𝑓(𝑥) se define como:
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ 𝑥1, 𝑥2 … , 𝑥𝑛}
Donde a 𝑥1, 𝑥2 … , 𝑥n se les denomina asíntotas verticales.
Asíntota:
Es una recta o curva cuya distancia a la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) se aproxima a cero, esto es, la asíntota
se acerca a la función, pero nunca la toca.
Gráfica:
Ejemplos:
1.- La asíntota vertical de la función 𝑓(𝑥) =𝑥+2
𝑥−1 es:
a) 𝑥 = −2 b) 𝑥 = 1 c) 𝑥 = −1 d) 𝑥 = 2
Solución:
▪ Se iguala el denominador con cero y se despeja a la variable 𝑥 para obtener las
ecuaciones de las asíntotas verticales:
𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 1
▪ La función sólo tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 1.
y = f(x)
As. vertical Y
X
y = b
x = a
Q = (x, y)
L
d As. horizontal
8
2.- El dominio de la función 𝑓(𝑥) =1
𝑥2+5𝑥+6 es:
a) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ −3, −2} b) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ −6, −1}
c) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ −3, 2} d) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ −1, 6}
Solución:
▪ El dominio de la función se obtiene a partir de sus asíntotas verticales, entonces:
𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 → (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = 0
𝑥 + 3 = 0, 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −3, 𝑥 = −2
▪ Por consiguiente, el dominio es:
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ −3, −2}
6.2.1.5 Función raíz cuadrada.
Es de la forma 𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥) , y su dominio es 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑥) ≥ 0}.
▪ Nota: la resolución de una desigualdad se desarrolla en la unidad 4.
Ejemplos:
1.- El dominio de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 es:
a) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑥) < 2} b) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑥) ≥ 2}
c) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑥) > 2} d) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑥) ≤ 2}
Solución:
▪ Para obtener el dominio se resuelve la desigualdad 𝑥 − 2 ≥ 0
𝑥 − 2 ≥ 0 → 𝑥 ≥ 2
▪ Por consiguiente:
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑥) ≥ 2}
9
2.- El dominio de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 3𝑥 − 10 es:
a) [−5, 2] b) (−∞, −2] ∪ [5, ∞) c) (−5, 2) d) (−∞, −5] ∪ [2, ∞)
Solución:
▪ Se resuelve la desigualdad 𝑥2 + 3𝑥 − 10 ≥ 0, obteniendo las soluciones de la ecuación
𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0:
𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0 → (𝑥 + 5)(𝑥 − 2) = 0 → 𝑥 = −5, 𝑥 = 2
La solución es:
𝑥 ≤ 5 o 𝑥 ≥ 2 es equivalente a (−∞, −5] ∪ [2, ∞)
3.- El dominio de la función 𝑓(𝑥) = √9 − 4𝑥2 es:
a) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / −3
2 ≥ 𝑥 o 𝑥 ≤
3
2} b) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / −
3
2 ≤ 𝑥}
c) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≤3
2 } d) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / −
3
2≤ 𝑥 ≤
3
2 }
Solución:
▪ Se resuelve la desigualdad 9 − 4𝑥2 ≥ 0, la cual se multiplica por (−1) para convertir en
positivo el término cuadrático:
9 − 4𝑥2 ≤ 0
▪ Se obtienen las raíces de 9 − 4𝑥2 = 0
4𝑥29−= 0 → 4𝑥2 = 9 → 𝑥2 =
9
4
→ 𝑥 = ±
3
2
▪ Que son 𝑥 =3
2 𝑦 𝑥 = −
3
2 , por consiguiente, el dominio es:
−3
2≤ 𝑥 ≤
3
2 o [−
3
2,3
2]
10
6.2.1.5 Funciones implícitas y explícitas.
▪ En una función explícita una variable se escribe en términos de la otra.
Ejemplos:
1) 𝑦 = −3𝑥 + 5 2) 𝑦 =𝑥+1
𝑥−1 3) 𝑥 = 𝑦
2 + 3𝑦
▪ En una función implícita la relación se expresa en términos de 𝑥 y 𝑦.
Ejemplos:
1) 𝑥2 + 𝑦2 = 1 2) 𝑥𝑦 = 4 3) 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 2𝑦2 = 0
6.2.1.6 Función creciente.
▪ Una función definida en un intervalo es creciente en ese intervalo, si y sólo si para todo
𝑥2 > 𝑥1 se cumple que 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1); esto es, una función es creciente si al aumentar
𝑥 también 𝑓(𝑥) aumenta.
Ejemplo:
Determinar si la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 es creciente.
Solución:
▪ Se eligen 2 valores para 𝑥, en este caso 𝑥 = 2 y 𝑥 = 4:
Si 𝑥 = 2, 𝑓(2) = 2(2) + 5 = 9
Si 𝑥 = 4, 𝑓(4) = 2(4) + 5 = 13
11
▪ Se observa que al aumentar los valores de 𝑥 también aumentan los valores de 𝑓(𝑥), por
tanto, la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 es creciente.
6.2.1.7 Función decreciente.
▪ Una función definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo, si y sólo si, para
todo 𝑥1 < 𝑥2 se cumple que 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2); esto es, una función es decreciente si al
aumentar 𝑥 𝑓(𝑥) disminuye.
Ejemplo:
Determinar si la función 𝑓(𝑥) =1
𝑥 es decreciente.
Solución:
▪ Se eligen 2 valores para 𝑥, en este caso 𝑥 = 1 y 𝑥 = 2, entonces:
Si 𝑥 = 1, 𝑓(1) =1
1= 1
Si 𝑥 = 2, 𝑓(2) =1
2
▪ Se observa que mientras los valores de 𝑥 aumentan, los valores de 𝑓(𝑥) disminuyen, por consiguiente, la función es decreciente.
6.2.1.8 Funciones continuas y discontinuas.
▪ Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 𝑥0, si 𝑓(𝑥0) está definida.
12
▪ Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 = 𝑥0, si 𝑓(𝑥0) no está definida; esto es, se
obtiene una expresión de la forma 𝑐
0 o
0
0.
Ejemplos:
1.- ¿Para qué valor de 𝑥 es discontinua la función 𝑓(𝑥) =4
𝑥+3?
a) 𝑥 = 3 b) 𝑥 = −2 c) 𝑥 = −3 d) 𝑥 = 2
Solución:
▪ La función es discontinua en un valor de 𝑥 si al sustituirlo en la función se obtienen
expresiones como: 𝑐
0 o
0
0.
Si 𝑥 = 3, 𝑓(3) =4
3 + 3=
4
6=
2
3, en este punto es continua 𝑓(𝑥).
Si 𝑥 = −2, 𝑓(−2) =4
−2 + 3=
4
1= 4, en este punto es continua 𝑓(𝑥).
Si 𝑥 = −3, 𝑓(−3) =4
−3 + 3=
4
0, en este punto es discontinua 𝑓(𝑥).
Si 𝑥 = 2, 𝑓(2) =4
2 + 3=
4
2= 2, en este punto es continua 𝑓(𝑥).
y = f(x)
Y
X x0
Y
X x0
y = f(x)
13
2.- La función 𝑓(𝑥) =𝑥−2
𝑥2−4 es discontinua en:
a) 𝑥 = 4 b) 𝑥 = 2 c) 𝑥 = −1 d) 𝑥 = 3
Solución:
Si 𝑥 = 4, 𝑓(2) =4 − 2
(4)2 − 4=
2
16 − 4=
2
12=
1
6, en este punto es continua 𝑓(𝑥).
Si 𝑥 = 2, 𝑓(2) =2 − 2
(2)2 − 4=
0
4 − 4=
0
0, en este punto es discontinua 𝑓(𝑥).
Si 𝑥 = −1, 𝑓(−1) =−1 − 2
(−1)2 − 4=
−3
1 − 4=
−3
−3= −1, en este punto es continua 𝑓(𝑥).
Si 𝑥 = 3, 𝑓(3) =3 − 2
(3)2 − 4=
1
9 − 4=
1
5, en este punto es continua 𝑓(𝑥).
3.- ¿Cuál de las siguientes funciones es continua en 𝑥 = −1?
a) 𝑓(𝑥) =1
𝑥2−1 b) 𝑔(𝑥) =
1
𝑥2+5𝑥+4 c) ℎ(𝑥) =
𝑥−1
𝑥+1 d) 𝑤(𝑥) =
1
𝑥2−4
Solución:
▪ Se sustituye 𝑥 = −1 en cada una de las funciones:
𝑓(−1) =1
(−1)2 − 1=
1
1= 0, la función es discontinua en 𝑥 = −1.
𝑔(−1) =1
(−1)2 + 5(−1) + 4=
1
1 − 5 + 4=
1
0, la función es discontinua en 𝑥 = −1.
ℎ(−1) =−1 − 1
−1 + 1= −
2
0, la función es discontinua en 𝑥 = −1.
𝑤(−1) =1
(−1)2 − 4=
1
−3, la función es continua en 𝑥 = −1.
6.2.1.9 Identificación de una función mediante su gráfica.
Para identificar gráficamente a una función de una relación, se traza una recta vertical sobre la
gráfica.
▪ Si interseca en un punto a la gráfica, entonces representa una función.
14
Ejemplo:
La siguiente gráfica no es una función, representa una relación, ya que la línea vertical toca 2
puntos a la curva.
▪ Si interseca en más de un punto a la gráfica, entonces representa una relación.
Ejemplo:
La siguiente gráfica no es una función, representa una relación, ya que la línea vertical toca en 2
puntos a la curva.
6.2 Álgebra de funciones.
Sean las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥), entonces:
Suma de funciones:
▪ Se denota 𝑓 + 𝑔 y se define por:
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
15
Resta de funciones:
▪ Se denota 𝑓 − 𝑔 y se define por:
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
Multiplicación de funciones:
▪ Se denota 𝑓 ∗ 𝑔 y se define por:
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)
División de funciones:
▪ Se denota 𝑓
𝑔 y se define por:
(𝑓
𝑔) (𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
Función composición:
▪ Se denota por 𝑓°𝑔 y se define por:
(𝑓°𝑔)(𝑥) = 𝑓{𝑔(𝑥)}
Ejemplos:
1.- Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 y 𝑔(𝑥) = −5𝑥 + 7, entonces 𝑓 + 𝑔 es:
a) 𝑥2 − 7𝑥 + 7 b) 𝑥2 − 2𝑥 + 7 c) 𝑥2 + 8𝑥 + 7 d) 𝑥2 − 8𝑥 + 7
Solución:
𝑓 + 𝑔 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + (−5𝑥 + 7) = 𝑥2 + 3𝑥 − 5𝑥 + 7 = 𝑥2 − 2𝑥 + 7
2.- Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 y 𝑔(𝑥) =1
𝑥+2, entonces 𝑓 ∗ 𝑔 es:
a) 𝑥 − 2 b) 𝑥 + 2 c) 𝑥 + 4 d) 𝑥 − 4
16
Solución:
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 − 4 ) (1
𝑥 + 2) =
𝑥2 − 4
𝑥 + 2=
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
𝑥 + 2= 𝑥 − 2
3.- Si 𝑓(𝑥) =𝑥+1
𝑥−1 y 𝑔(𝑥) =
1
𝑥, entonces la función composición 𝑓°𝑔 es:
a) 𝑥+1
𝑥−1 b)
𝑥−1
1−𝑥 c)
1+𝑥
1−𝑥 d)
1+𝑥
1+𝑥
Solución:
(𝑓°𝑔)(𝑥) = 𝑓{𝑔(𝑥)} = 𝑓 (1
𝑥) =
1𝑥
+ 1
1𝑥 − 1
=
1 + 𝑥𝑥
1 − 𝑥𝑥
=𝑥(1 + 𝑥)
𝑥(1 − 𝑥)=
1 + 𝑥
1 − 𝑥
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