View
220
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Cx
x
Cuu
3
2tan
12
tan3ln
51
313ln
51
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI-NORTE
ESTELÍ, NICARAGUA
Integral indefinida. Métodos de integración
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte1
“La Educación es una obra de infinito amor”
Integral indefinida. Métodos de integración .
El cálculo integral tiene sus orígenes en la antigua Grecia, uno de los principales problemas de su origen fue poder calcular áreas de regiones limitadas por curvas.
Cauchy, a principios del siglo XIX; Riemann, a mediados del mismo siglo; y Lebesgue, a principios del siglo XX, han sido los matemáticos a cuyos esfuerzos se deben los sucesivos refinamientos que ha tenido la teoría de la medida como continuación natural del cálculo integral.
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte2
UNIDAD I. “LA INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN”
INTRODUCCIÓN
El análisis matemático está constituido por dos grandes ramas: El Cálculo Diferencial y El Cálculo Integral. Estas dos grandes ramas, surgieron en distintas épocas, por distintas matemáticos y para resolver distintos problemas.
EL CÁLCULO INTEGRAL
La palabra Integrar tiene dos acepciones, la más profunda y fundamental coincide con el significado corriente de la palabra: se usa para indicar el “total de algo” o “una suma de partes”.
El segundo significado de la palabra integrar en matemáticas es “hallar una función conociendo su derivada”. En esta unidad se estudiará el proceso inverso, es decir, dada la derivada de , hallar la función .
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte3
PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Una función es una antiderivada de otra función , se cumple que
La antiderivada de una función también se conoce con el nombre de primitiva de la función.
Las antiderivadas de una función no son únicas, ya que forman una familia de funciones cuya representación gráfica se diferencia una de otra solamente en un número.
Ejemplo:
es una antiderivada de
. Algunas son:
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte4
X
Y
-4
-3/4
0
1
Al conjunto de todas las antiderivadas de una función f; se le llama integral indefinida de f y se representa por el símbolo .
Ejemplo:
Familia de DerivadasSimbólicamente la integral indefinida será
al despejar dy se obtiene
,entonces
INTEGRAL INDEFINIDA. DEFINICIÓN
sí y solo sí es la constante de integración
Significado de la notación de la integral indefinida:
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte5
Denota la variable respecto a la cual se realiza el proceso de integración
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
1. Factor de Integración
2. Integral de una constante
Ejemplo:
3. Integral Indefinida de una Potencia
si n es un número racional, entonces para .
Ejemplo:
a.
b.
c.
d.4. Integral del múltiplo constante
.
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte6
Ejemplo:
5. Integral de una suma o diferencia algebraica de dos ó más funciones
Ejemplo:
Nota Aclaratoria. Otra alternativa de solución es considerar la suma y/o diferencia algebraica de funciones como una sola función, procediendo a integrar de forma directa.
Ejemplo:
6. Integral de la Función Nula
PROPIEDADES ADICIONALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte7
Observación.
Al calcular la integral indefinida no importa cual sea el símbolo empleado para la variable de integración, ya que por ejemplo , entre otras, dan lugar a la misma función F.
Ejercicios Propuestos
I- Hallar la integral indefinida de cada función algebraica
a. R/
b. R/
c. R/
d. R/
e. R/
f. R/
g. R/
h. R/
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte9
i. R/
j. R/
II- Verificar en cada uno de los ejercicios anteriores que la respuesta es la antiderivada de la función dada.
Ejemplo:
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Los Métodos de Integración que se desarrollan a continuación, permiten calcular gran parte de las integrales que se estudian en este curso.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
La Integración por sustitución tiene su fundamento en la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte10
El Método de Integración por Sustitución consiste en introducir una variable U que sustituye a una expresión apropiada en función de x, de forma que la integral se transforme en otra integral de variable U más fácil de integrar.
Definición. Si F es una antiderivada de f y g es una función derivable, entonces:
Ejemplos:
a- Evaluar
Solución.
Primero, se reescribe la integral como
Segundo, se identifica a u;
Tercero, se deriva a u y se despeja
Cuarto, se realiza el cambio de variable aplicando la definición
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte11
b- Hallar la integral de la siguiente función
c- Evaluar
Como la integral queda en función de dos variables, se procede a encontrar el valor de x despejándola en U para luego sustituirla en la integral.
Ejercicios propuestos
Hallar la integral de cada función por el método de sustitución
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte12
a- R/
b- R/
c- R/
d- R/
e- R/
f- R/
g- R/
h- R/
i- R/
INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
I- Tabla de integrales inmediatas para funciones trigonométricas directas.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte13
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
r.
s.
t.
Ejemplos:
a- Evaluar
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte14
b- Evaluar
c- Evaluar
Nota: Recuérdese de las fórmulas de ángulo doble que:
d- Evaluar
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte15
Ejercicios propuestos
I- Hallar la integral de cada función
a- R/
b- R/
c- R/
d- R/
e- R/
f- R/
g- R/
h- R/
i- R/
j- R/
II- Tabla de Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas.
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte16
Formas que contienen:
a-
b-
c-
Cuando a = número real
d-
e-
f-
III- Tabla de integrales de funciones trigonométricas inversas
g-
h-
i-
j-
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte17
k-
l-
Ejemplos:
1. Calcular
Se agrupan los términos en función de la variable, se extrae factor común y se hace completación de cuadrados
, entonces como:
de donde
donde se factoriza el Trinomio Cuadrado
Perfecto y se reduce a
obtenemos una integral de la
forma de donde
Aplicando la fórmula
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte18
2. Calcular dividir todo el integrado por 2
al introducir 2 a la raíz es 22
hacemos un cambio de variable
De otra manera
3. Calcular
Sustituyendo
Prueba. Derivamos el resultado obtenido
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte19
4. Calcular
Ejercicios propuestos
Calcule las siguientes integrales
a- R/
b- R/
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte20
c- R/
d- R/
e- R/
f- R/
g- R/
h- R/
i- R/
INTEGRACIÓN POR PARTES
Una razón para transformar una integral en otra, es la de producir una integral que sea más fácil de evaluar. Una de las formas generales de evaluar para lograr dicha trasformación es el Método de Integración por Partes.El procedimiento de integración por parte tiene su fundamento en la regla de la derivación del producto de dos funciones. Sí u y v son funciones derivables de x entonces la diferencial del producto (u.v)´ =udv+vdu
Despejamos y nos queda: Fórmula para la Integración por Partes
La correcta utilización del método de integración por partes consiste en saber identificar cuál de los elementos del integrando será “u” y cuál será “dv”.
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte21
Cuando se aplica la fórmula para la integración por partes a una integral, se empieza por hacer que una parte del integrando corresponda a u según éste orden, la primera prioridad será para las funciones inversas, siguen en orden las funciones logarítmicas, luego las algebraicas y la última prioridad corresponde a las funciones exponenciales. Después de elegir a u, se toma el resto del integrando como dv,el cual debe incluir a la diferencial dx.
¿Para qué se hace u? y ¿Para qué se hace dv?se hace u para derivar y encontrar du y se hace dv para integrar y encontrar “v” para luego sustituir todos estos elementos en la fórmula de integración por partes.
Ejemplos:
Determine la integral de cada función usando integración por partes.
a-
Solución:
Sea :
Luego:
b-
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte22
Solución:
Sea:
Luego
c- En este ejemplo requiere usar dos veces el método , hacemos
e integrando por partes
nos queda otra integración por partes.
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte23
Hacemos
d) En este ejemplo aplicamos integración por partes repetidas, pero con un giro diferente
Hacemos
e integrando por partes
a)
Ahora integramos por partes la integral del lado derecho de la ecuación a-
Hacemos
e- Integrando por partes
b-
Sustituyendo ahora la ecuación b- en el lado derecho de la ecuación a-, obtenemos:
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte24
Sumando a ambos lados tenemos:
Factor común en el miembro derecho
Dividimos ambos lados entre 2 y agregamos la constante de integración
Ejercicios propuestos
Evalué las siguientes integrales aplicando el método de integración por partes
a. R/
b. R/
c. R/
d. R/
e. R/
f. R/
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte25
g. R/
h. R/
i. R/
j. R/
INTEGRALES DE FUNCIONES HIPERBOLICAS
Integrales de Funciones hiperbólicas directas.
Ciertas combinaciones de ex y e-x aparecen tan frecuentemente en aplicaciones de matemática que reciben nombres especiales. Dos de esas funciones son la función seno hiperbólico y la función coseno hiperbólico.
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte26
Definición: La función seno hiperbólico está definida por:
Senhx = e x – e -x El dominio y el rango son el conjunto de todos los números reales. 2
Definición: La función coseno hiperbólico está definida por:
Coshx = e x + e -x El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango es el 2 Conjunto de todos los números en el intervalo [1, + ) Estas combinaciones particulares de exponenciales familiares son útiles en ciertas aplicaciones del cálculo y también son eficaces para evaluar ciertas integrales. Las otras cuatro funciones hiperbólicas: la tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas se definen:
tanhx = senhx = e x – e -x coshx ex + e-x
cothx = coshx = e x + e -x (x ≠ 0) senhx ex – e-x
sechx = 1___ = ___2___ coshx ex + e-x
cschx = ___1__ = ___2____ (x ≠ 0) senhx ex – e-x
Tabla de Integrales de Funciones Hiperbólicas Directas
a) ∫ senhxdx = coshx + C b) ∫ coshxdx = senhx + C
c) ∫ tanhxdx = ln lcoshxl + C d) ∫ cothxdx = ln |senhx| + C
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte27
e) ∫ sechxdx = tan-1 |senhx| + C f) ∫ cschxdx = ln | tanh x | + C 2 g) ∫ senh2xdx = 1 senh 2x – x + C h) ∫ cosh2xdx = 1 senh 2x + x + C 4 2 4 2 i) ∫ tanh 2 xdx = x – tanhx + C j) ∫ coth 2 xdx = x – cothx + C
k) ∫ sech2xdx = tanhx + C l) ∫ csch2xdx = - cothx + C
m) ∫ sechxtanhxdx = - Sechx + C n) ∫ cschxcothxdx = - cschx + C
Ejemplos:
a) Demostrar que ∫ tanhxdx = ln lcoshx l + C
Solución ∫tanhxdx = dx =
Hacemos u = coshx
du = senhxdx = du = ln |u | + C dx = du = ln |coshx| + C L. q. q. d
senhx
b) Evaluar ∫ cosh 3xdx
∫ cosh3xdx = ∫coshu 1 du = 1 ∫coshudu 3 3
Hacemos u = 3x = 1 senhu + C du = 3dx 3
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte28
∫ ∫
∫
dx = du = 1 senh3x + C 3 3
c) Evaluar ∫ senh3cosh2xdx
Solución: Descomponer senh3x en senh2x . senhx
∫senh2x . cosh2x (senhxdx), como cosh2x – senh2x = 1 entonces senh2x = cosh2x - 1
∫ (cosh2x – 1) cosh2x (senhxdx) = ∫ cosh4x (senhxdx) - ∫cosh2x(senhxdx)Hacemos u = cosh u4senhx du - u2 senhx _du_ senhx senhxdu = senhxdx ∫ u4du - ∫ u4 dudx = _du_ senhx = u 5 – u 3 + C
5 3 = 1 cosh5x – 1 cosh3x + C 5 3
d) Evaluar ∫xsenh2(x2)dx = xsenh2udu dx
Hacemos u = x2 = 1 ∫ senh2udu aplicando formulas du = 2xdx 2
=
= 1 senh2x2 – x 2 + C 8 4
Ejercicios Propuestos
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte29
∫∫∫
∫
∫
Hallar la integral de cada función
a) ∫ x2senhx3dx R / 1coshx3 + C 3
b) ∫ tanhxln(coshx)dx R/ ln2coshx + C
c) ∫ tanh23xdx R / x – 1 tanh3x + C 3
d) sech x tanh x dx R / 2sech x + C x
e) senhx dx R / - 1 sech2x + C cosh3x 2
f) senh x dx R / 2 cosh x + C x
g) ∫ sech4x dx R / tanhx – 1 tanh3x + C 3
h) ∫ cosh23udu R / 1 senh6u + 3u + C 12 2 i) ∫senh3x dx R / 1 cosh3x – coshx + C
3 j) senh(lnx)dx R / cosh(lnx) + C x
INTEGRALES DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
Las funciones hiperbólica inversas se pueden aplicar en integración, y algunas veces su uso simplifica los cálculos considerablemente. Debe notarse, que al usarlas no se calculan nuevos tipos de integrales. Solamente se obtienen nuevas formas de los resultados. Por ejemplo Dx(senh -1u) = 1 Dx U U2 + 1
de lo cual obtenemos la fórmula de integración
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte30
∫
∫∫
∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
du__ = senh-1u + C √ u2 +1
Tabla de integrales que dan como resultado funciones hiperbólicas inversas.
a) du__ = senh-1u + C √ u2 +1
b) du__ = cosh-1u + C √ u2 -1
c) du__ = tanh-1u + C si |u | < 1 = 1 ln 1+ u + C si u ≠ 1 √ 1 - u2 coth-1u + C si |u | > 1 2 1- u
d) __du___ = - sech-1 | u | + C u √ 1- u2
e) __du___ = - csch-1 | u | + C u √ 1+ u2
Ejemplos
a) Evaluar __dx __ = dx = 1 du √4x2 + 1 √ (2x)2 +1 √ u2 + 1 2
Hacemos u = 2x = 1 ____1____ du aplicando fórmula du = 2dx 2 √ u2 + 1 du = du
2 = 1 senh-1u + C
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte31
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
2 = 1 senh-12x + C 2
b) __e x __ dx = __e x ___ dx = hacemos u = ex
16 – e2x 42 – (ex)2 du = exdx dx = du ex
__e x ___ du = ___1_____ du = aplicando fórmula 42 – u2 ex 42 – u2
= 1 tanh-1 u + C = 1 tanh-1 e x + C a a 4 4
c) Evaluar ___dx ____ = ___dx / 5____ = 1 _dx _____ x √ x2 + 25 x x2/25 + 25/25 5 x (x/5)2 + 1
Aplicamos la fórmula 1 senh-1 x + C 5 5
En este ejemplo se divide entre 5 para obtener la fórmula deseada.
Ejercicios propuestos
Utilice las funciones hiperbólicas inversas para evaluar las integrales de los siguientes problemas.
a) __dx _____ x 4 - 9x2
R/ -1 sech-1 (3/2 x ) + C 2
b) __dx _____ 25 + 9x2
R / 1 senh-1 3x + C 3 5
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte32
∫
∫
∫
∫
∫
∫
c) __dx _____ x2+ 9 R / senh-1 + C
d) __e x _ ____ dx e2x + 91
R / senh-1ex + C
e) __1_____ dx 1- e2x
R / -sech-1ex + C
f) __1_____ dx 81+ 16x2
R / 1 senh-1 4 x + C 4 9
g) __1____ dx
R / 1 tanh-1 2 x + C 14 7
h) __e x _ ____ dx e2x - 16
R / cosh-1 (ex/ 4) + C
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
El método de sustitución trigonométrica al trabajar con integrales que contienen en sus integrados ciertas expresiones algebraicas tales como a2 – u2 , a2 + u2 y u2 - a2 a > 0 estas se eliminan mediante sustituciones adecuadas.
Si la Integral Contiene entonces se sustituye y se utiliza la identidad. a2 – u2 u = asenθ 1- sen2θ = Cos2θ
a2 + u2 u = atanθ 1+ tan2θ = Sec2θ
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte33
u2 - a2 u = asecθ Sec2θ -1 = tan2θ
La Sustitución u = asenθ significa, en términos mas precisos, la sustitución trigonométrica inversa
θ = sen -1 u , - П ≤ θ ≤ П donde │u │ ≤ a a 2 2
Por ejemplo, supóngase que una integral contiene la expresión a2 – u2 . Entonces la sustitución implica:
a2 – u2 = a2 – (asenθ)2 = a2 – a2sen2θ
= a2 (1-sen2θ) = a2cos2θ = acosθ , θ ≥ 0
Triángulos de Referencia
a) Triángulo de referencia para la sustitución u = asenθ
a u θ
a2 - u2
b) Triángulo de referencia para la sustitución u = atanθ
a a2 + u2
a u
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte34
∫
∫
∫
∫ ∫
c) Triángulo de referencia para la sustitución u = asecθ
u u2 - a2
θ a
Ejemplos
1) Determine 9-x 2 dx = 9 – (3sen θ ) dx x 3senθ
usando a2 – u2 , u= asenθ , a = 3 , u = x , x = 3senθ, dx = 3cosθdθ
= 3cosθdθ = = =
3senθ
3 =
3 ∫ cscθdθ – 3 ∫ senθdθ = 3ln │cscθ – cotθ │ + 3 cosθ + C
Para volver a la variable x se usa un triángulo rectángulo de referencia y aplicamos las razones trigonométricas.
3 = 3 ln │3/x – 9-x2/x │ + 3 9-x 2 + C x 3
θ = 3 ln │3- 9-x2 / x │ + 9-x2 + C
9 – x2
2) Determine 2___ dx usamos a2 + u2 ; u = atanθ 4+5x2
a = 2 , u = 5 x ˆ u = 2tanθ
5 x = 2tanθ
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte35
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
x = 2 tanθ 5
dx = 2 sec2θ dθ 5 Sustituimos ____2____ . 2 sec2θ dθ = 4 sec 2 θ ___ dθ
4 + (2tanθ)2 5 5 4 + 4tan2θ
4 ___sec 2 θ dθ = 4 sec 2 θ dθ = 4 sec 2 θ dθ5 4(1 + tan2 θ) 5 4sec2θ 5 2secθ
= __4 __ secθdθ = 2 secθdθ = 2 ln │secθ + tanθ │ + C 2 5 5 5
4+5x2 θ 2 = 2 ln 4+5x 2 + _5 x + C 5 2 2
5 x
= 2 ln 4+5x 2 + 5 x + C 5 2
c) Determine ___ dx_______ usando u2 – a2 , u = asecθ x 16x2 - 25
a = 5 , x = 4x u = 5secθ x = 5 secθ 4
4x = 5secθ dx = 5 secθtanθdθ 4Sustituimos
5 secθ . tanθ 4________________________ dθ = 5 . 4 ___ secθ . tanθ_____ dθ 5 secθ (5secθ)2 - 25 4 5 secθ 25sec2 θ - 25
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte36
∫ ∫ ∫
∫
4
Secθ tanθ______ = _____sec θ tan θ__ dθ = secθ tanθ dθsecθ 25 (sec2θ -1 ) secθ 25tan2θ 5 secθ tanθ
= 1 dθ = 1 θ + C 5 5
= 1 sec-1 θ + C 1 Sec-14x + C 5 5 5
4x . 16x2 - 25 . . Esto es porque no conocemos a θ, de acuerdo θ a la fórmula usada u2 – a2 corresponde
5 u = asecθ ; para hallar θ = sec-1 u a
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Las sustituciones hiperbólicas se usan de manera semejante que las trigonométricas. Las tres sustituciones hiperbólicas básicas son las siguientes:
Si la Integral Contiene entonces se sustituye y se utiliza la identidad. a2 – u2 u = atanhθ 1- tanh2θ = Sech2θ
a2 + u2 u = asenhθ 1+ senh2θ = Cosh2θ
u2 - a2 u = acoshθ cosh2θ -1 = Senh2θ
Ejemplo:
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte37
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫∫
Determine _ 1 __ dx x2 -1
Utilizamos u2 – a2 , u = acoshθ , cosh2θ – 1 = senh2θ donde u = x ^ a = 1 , entonces x = acoshθ ˆ dx = senhθdθ
Hacemos la sustitución en la integral.
__ _ 1 ____ senhθ dθ = ___senhθ___ dθ = __senhθ dθ (coshθ)2 -1 cosh2θ -1 senh2θ
senhθ dθ = dθ = θ +c = cosh-1x + C senhθ
Ejercicios Propuesto
Utilice sustituciones trigonométricas e hiperbólicas para evaluar las integrales dadas.
a) 1- 4x 2 dx R / 1-4x2 - ln 1+ 1-4 x 2 + C x 2x
b) _ x 2 __ dx 25-x2
R/ 25 sen-1 1 x – 1x 25-x2 + C 2 5 2
c) ___dx____ (4x2 - 9)3/2
R / -1x (4x2 -9)-1 + C 9
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte38
∫∫
∫
∫∫∫
d) 9 – x 2 dx x2
R / - 9 – x 2 - sen-1 x + C x 3
e) x2 x2-1 dx R / 1 x (2x2 – 1) x2 – 1 – 1 ln │x + x2 – 1 │+ C 8 8
f) sec 2 x dx (4- tan2x )3/2
R / tanx ___ + C 4 – tan2x
g) ___1___ dx x x2 + 9
R / 1 ln x 2 +9 - 3 + C 3 x
h) __ 1__ dx 25 + x2
R / senh-1 1 x + C 5
i)R / cosh-1 1 x - x 2 – 4 + C 2 x
j) R / 1 x (1+2x2 ) 1 + x2 - 1 senh-1x + C 8
INTEGRALES QUE CONTIENEN UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO
Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrático ax2 + bx + c se pueden simplificar mediante el proceso de completar el cuadrado.
En general, el objetivo es convertir ax2 + bx + c en una suma o en una diferencia de cuadrados (u2 +
a2 ó a2 – u2 ) para que se pueda usar el método de sustitución trigonométrica.
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte39
∫
∫ ∫ ∫∫ ) ) ∫
Recordemos el proceso de completar cuadrado en un polinomio de segundo grado, cuando a= 1 en el polinomio ax2 + bx + c, se completa con la expresión ( b/2)2 , a ≠ 0.
Ejemplo. Completar el cuadrado en 3x2 + 12x + 20
3x2 + 12 x +20 agrupamos ( 3x2 + 12x) + 20
extraemos factor común 3(x2 + 4x) + 20 y se completa el cuadrado
= 3[x2 + 4x + (4/2)2 ] + 20 – 3 (4/2)2
= 3 (x2 + 4x + 4) +20 -12
= 3(x2 + 4x +4 ) +8
= 3 (x+2)2 + 8
Ejemplos
a) Determine ____1 ____ dx 9x2 + 6x +5
Solución
____1 ____ dx = ____1 ____ dx = ___ 1 ______ dx 9x2 + 6x +5 9 (x2 + 6x +5 9 (x2 + 2 x ) + 5 9 3
= __ _____________ 1 _______________ dx = ________1__________ dx 9 [ x2 + 2 x + 2/3 2 ] + 5 – 9 2/3 2 9 (x2 + 2 x + 1 ) + 5 -1 3 2 2 3 9
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte40
( (
∫
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫∫ ∫ ∫∫ ∫
(x+4)2 + 9
∫
= _______1_____ dx Aplicando la tabla de integrales que dan como resultado funciones
9 ( x + 1 ) 2 + 4 trigonométricas inversas. 3
u = 3 ( x + 1 ) , a = 2 3
u = 3x +1 du = 3dx
dx = du 3 = __ 1__ du = 1 __1___ du = 1 ( 1 tan -1 u + C ) u2 + 4 3 3 u2 + 4 3 2 2
= 1 tan-1 (3x +1) + C 6 2
b) Determine ____dx____ x2 + 8x + 25
Solución
____dx____ = ________dx_________ = ___dx ___ x2 + 8x + 25 (x2 + 8x + 16) + 25 -16 (x+4)2 + 9
por sustitución trigonométrica = _3sec 2 θdθ__ = _3sec 2 θdθ_ = _ 3sec 2 θdθ_ (3tanθ)2 + 9 9tan2θ + 9 9 (tan2θ +1)
u = x = x + 4 = 3tanθ = _ 3sec 2 θdθ = sec 2 θ dθ = secθdθdx = 3sec2θdθ 3 (sec2θ ) secθ
= ln │sec + tan │ + C x +4 = ln (x+4) 2 + 9 + x+4 + C = ln (x+4) 2 + 9 + x + 4 + C 3 3 3 3
Ejercicios Propuestos
Evalúe las siguientes integrales
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte41
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫
a) __x 2 ___ dx R / 3 sen-1 (x -1) -2 1- (x-1)2 - 1 (x-1) 1-(x-1)2 + C 2x - x2 2 2
b) ____1____ dx R / tan-1(x+2) + C x2 + 4x + 5
c) 1___ dx R / sen-1 1 (x-2) + C 4x - x2 2
____ 1_____ dx R / 1 tan-1 1 (x+2) + C d) x2 + 4x + 13 3 3
e) _2x + 3 __ dx R / -2 9-8x-x2 - 5 sen-1 1(x+4) + C 9-8x-x2 5
f) x+4 dx R / 1 ln │(x+3)2 + 9│ + 1tan-1 x+3 + C x2 + 6x + 18 2 3 3
g) x+ 4 dx R / 1(7x-12) (6x-x2)-1/2 + C (6x –x2)3/2 9
h) 1 dx R / 1 ln x + 2 - x___ + C (x2 + 4)2 32 x – 2 8(x2 – 4)
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR EL MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES
Toda función racional se puede integrar en términos de funciones elementales. Recuerde que una función racional f(x) es aquella que se expresa como cociente de dos polinomios. Es decir, f(x) = P(x) , donde P(x) y Q(x) son polinomios. El método de fracciones
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte42
∫
∫
Q(x)
parciales es una técnica algebraica que descompone R(x) en una suma de términos.
Para calcular una integral de la forma P(x) dx , donde P(x) y Q(x) son polinomios se Q(x)
tienen los siguientes casos:
Caso 1
Cuando f(x) = P(x) es impropia, o sea que el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x) , Q(x)
se logran fracciones parciales mediante la división de P(x) entre Q(x) obteniéndose un cociente C(x) y un residuo R(x) de lo cual se sabe que f(x) = P(x) = C(x) + R(x)
Q(x) Q(x)
Ejemplos:
a) Evalúe 2x3 dx primero dividimos P(x) por Q(x) para obtener el cociente C(x) x2 – 4 y el residuo R(x).
Recordando las técnicas algebraicas, para dividir polinomios, el dividendo y el divisor deben estar ordenados y completos.
2x3 + 0x2 + 0x x2 + 0x – 4 -2x 3 + 0x 2 + 8x 2x 8x
C(x) = 2x R(x) = 8x
Ahora apliquemos el teorema y resolver la integral obtenida
f(x) = P(x) = C(x) + R (x) Q(x) Q (x)
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte43
= =
= hacemos u = x2-4 du = 2xdx dx = du
2x= = x2 + C1 + 8
, donde C= C1 + C2
b) Evalúe
-4x2 + 0x+5 2x +34x 2 + 6x -2x+3 6x + 5 - 6x - 9
-4
Hacemos u=2x+3
du= 2dx dx =
= , en donde C = C1 + C2
Caso 2
Cuando es propia, osea que el grado de P(x) es menor que el grado Q(x). De este
caso se tiene a su vez dos situaciones:
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte44
2.1 Si el denominador Q(x) tiene solo factores lineales repetidos y no repetidos ax+b.
A cada factor ax+b de Q(x) que aparezca “n” veces se le hace corresponder la suma parcial
donde A1 , A2 , A3 , ….. An son constantes a buscarse.
Ejemplo de factor lineal no repetido.
Determine primero se factoriza el denominador
, Ahora encontramos el valor de A y B
, buscamos el m.c.d (x+2) (x-1) y nos queda
3 = A (x-1) + B (x+2) Sustituyendo B en 1 A + B = 03 = Ax - A + Bx + 2B A + 1 = 0 A = -13 = (Ax + Bx) – A + 2B Otra manera de encontrar A y B es sustituyendo los 3 = (A + B) x – A + 2B valores de x = -2 x=1 3 = A (x-1) 3 = B(x+2)Formamos un sistema de Ecuaciones 3 = A (-2 – 1) 3 = B (1+2)1 A + B = 0 B=3/3 3 = -3A 3 = 3B2 -A + 2B = 3 B=1 A = -1 B = 1 3B = 3
Sustituimos los valores de A y B y resolvemos la integral
= -
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte45
Hacemos u= x+2 u = x-1 = - du = dx du = dx = -
= , donde C = C1 + C2
Ejemplo de factor lineal repetido
Determine En este ejemplo tenemos factores lineales repetidos y no
repetidos.
=
1 A + B = 1 sustituyendo A = 1 B = 0 en 2 2 -3A–2B+C = 0 -3A–2B+C = 03 3A + B – C + D = -4 - 3(1) – 2(0) + C = 04 -A = -1 / (-1) -3 + C = 0 A = 1 C = 3Sustituyendo A = 1 en 1 sustituyendo A, B y C en 3A+B = 1 3A+ B – C + D = -41+B = 1 3(1) + 0- 3+ D = -4B = 0 D = -4
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte46
=
Hacemos u = x-1 =
du = dx =
=
=
= , donde C = C1 + C2 + C3 + C4
2.2 Si el denominador Q(x) tiene solo factores cuadráticos ax2+ bx+c La parte de la descomposición en fracciones parciales de f(x) correspondiente al factor cuadrático irreducible ax2+bx+c de multiplicidad “n” es una suma de “n” fracciones parciales de la forma
donde
A1, A2, …, An y B1, B2, ….Bn son constantes a buscarse
Ejemplo:
a) Determine
Solución
m. c. d = (x2 + 1)2
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte47
A=0 , B=2 , A+C = 0 ; B+D = 3 , C = 0 , D = 1
Usando una sustitución =
Trigonométrica tenemos =
u = x = atan , a = 1 =
dx = sec2d =
1 =
x
=
También puede ocurrir que el denominador Q(x) tenga factores lineales y cuadráticos a la vez, en este caso se usan ambos métodos.
Ejemplo: Determine
Solución
m. c. d. = x (2x2 + 1)
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte48
2 A + B = 0 ; C = 0 , A = 1
Sust. A = 1 en 2 A + B = 0
2(1) + B = 0
B = -2
Hacemos u = 2x2+1
du = 4xdx
= donde C = C1+C2
Ejercicios Propuestos
Evaluar las siguientes integrales
a) R /
b) R /
c) R /
d) R /
e) R /
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte49
f) R /
g) R /
h) R /
i) R /
INTEGRALES RACIONALES DE SENOS Y COSENOS
La sustitución permite reducir el problema de calcular la integral de cualquier función racional de senx y cosx al de hallar la integral de una función racional de u.Esta a su vez puede resolverse mediante el método de descomposición en fracciones parciales. La aplicación de este método es siempre laboriosa, se utiliza solo cuando han fallado otros métodos más sencillos.
Definición: Si un integrando es una expresión racional en senx y cosx, las siguientes sustituciones lo transforman en una expresión racional en u:
donde
Ejemplo de ¿Cómo deducir la expresión ?
Sea y sea se realiza la siguiente sustitución
se multiplica ambos miembros por por conveniencia
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte50
despejamos separamos
como entonces nos queda L. q . q. d
Ejemplos1) Evaluar
Solución: se sustituye dx por y por
=
Usando la tabla de integrales de funciones trigonométricas inversas nos queda
=
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte51
2) Evaluar
Solución
=
= Hacemos v = 1+u
dv = du=
=
3) Evaluar
Solución
=
= Resolvemos esta integral aplicando al método de fracciones parciales
Factorizamos dando como resultado
=
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte52
m.c.d =
1 3A + B = 0 2 -A + 3B = 2 * 3 3A + B = 0 -3A +9B = 6 10 B = 6 ; Sustituimos en 1
entonces
Hacemos
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte53
Ejercicios Propuestos
Evalúe las Siguientes Integrales:
R /
R /
R /
R /
R /
R /
R /
INTEGRALES DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte54
Algunas integrales trigonométricas se pueden evaluar sin integrar por partes. Si n es un entero positivo impar, se escribe Como el entero n-1 es par, se puede aplicar la identidad trigonométrica para obtener una integral más fácil.
Ejemplo: Evaluar
Solución : = =
Hacemos
senxdudx
Para potencias impares de cos x se escribe y se utiliza la identidad , para obtener una integral mas sencilla.
Cuando el integrando es xsenn o bien , para n par, se utiliza la identidad
trigonométrica ,
Ejemplo : Evaluar
Solución:
= se aplica otra vez la identidad y se escribe
y se sustituye en la integral
Hacemos u = 2x
du = 2dx
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte55
y u = 4x
= du = 4dx
Integrales de la Forma
Si uno de los exponentes m ó n es impar se utiliza la identidad trigonométrica
Ejemplo: Evaluar
Solución:
Hacemos
=
Si los exponentes m y n son pares se usan las identidades trigonométricas
Ejemplo : Evaluar Solución
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte56
=
=
Se aplica otra vez la identidad y se escribe hacemos
=
hacemos
Integrales del tipo ó
Cuando el exponente m es impar según la integral se separan los factores ó y se usan las identidades trigonométricas ó
Luego se realiza un cambio de variable conveniente.
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte57
Ejemplo. Evaluar Solución:
Hacemos
Cuando el exponente n es par se separan los factores sec2x ó csc2x y se utilizan las identidades trigonométricas ó y luego se realiza un cambio de variable conveniente.
Ejemplo Evaluar
Solución
Hacemos
Cuando el exponente m es par y el exponente n es impar se usa el método de integración por partes.
- Para las integrales de potencias hiperbólicas se consideran situaciones similares usando las identidades hiperbólicas análogas a las trigonométricas.
Ejercicios Propuestos
Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte58