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UNIDAD No. 2 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales. INTEGRACIÓN MEDIANTE EL DESARROLLO DE FRACCIONES PARCIALES. Si f(x) y g(x) son polinomios, entonces a la expresión f(x)/g(x) se le denomina fracción racional. - PowerPoint PPT Presentation
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UNIDAD No. 2Métodos de integración
Integración por
fracciones parciales
INTEGRACIÓN MEDIANTE EL DESARROLLO DE FRACCIONES PARCIALES
Si f(x) y g(x) son polinomios, entonces a la expresión f(x)/g(x) se le denomina fracción racional.
Si el grado de f(x) es menor que el grado de g(x), entonces a la fracción se le llama propia. Es impropia Cuando el grado del numerador es de igual o mayor grado que el denominador.
INTEGRACIÓN MEDIANTE EL DESARROLLO DE FRACCIONES PARCIALES…
Cuando se requiere integrar una fracción racional propia de la forma:
La fracción pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales cuyos denominadores son los factores de la fracción dada y los numeradores no son conocidos y solo bastaría investigar cual es el numerador de cada una de ellas.
dxxQ
xP
)(
)(
INTEGRACIÓN MEDIANTE EL DESARROLLO DE FRACCIONES PARCIALES…
Cuando los términos de la suma:se combinan por medio de un denominador común, se obtiene la expresión racional:
Así:
2
5
1
2
xx
2
17
)2)(1(
)1(5)2(22
xx
x
xx
xx
dxxx
dxxx
x)2
5
1
2(
2
172
cxx 2ln51ln2
INTEGRACIÓN MEDIANTE EL DESARROLLO DE FRACCIONES PARCIALES…
El método de integración mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en descomponer en fracciones parciales la fracción racional propia y a partir de ello, obtener la integral de cada una de dichas fracciones. De esta manera se obtiene la integral de la fracción racional.
Existen cuatro casos a considerar para la descomposición de la fracción racional.
CASO IFactores lineales no repetidos
Si:
en donde todos los factores aix+bi son distintos y el grado de P(X) es menor que n, entonces existen constantes reales únicas A1, A2, … , An tales que:
))...()((
)(
)(
)(
2211 nn bxabxabxa
xP
xQ
xP
nn
n
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xP
22
2
11
1
)(
)(
CASO IIFactores lineales repetidos
Si:
en donde n>1 y el grado de P(X) es menor que n, entonces existen constantes reales únicas A1, A2, … , An tales que:
nbax
xP
xQ
xP
)(
)(
)(
)(
nn
bax
A
bax
A
bax
A
xQ
xP
)()()(
)(2
21
CASO IIIFactores cuadráticos no repetidos Si:
en donde todos los factores aix2+bix+ci son distintos y el grado de P(X) es menor que 2n, entonces existen constantes reales únicas A1, A2, … , An, B1, B2, …, Bn tales que:
)())((
)(
)(
)(2
222
2112
1 nnn cxbxacxbxacxbxa
xP
xQ
xP
nnn
nn
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
xQ
xP
2
222
2
22
112
1
11
)(
)(
CASO IVFactores cuadráticos repetidos
Si:
en donde n>1 y el grado de P(X) es menor que 2n, entonces existen constantes reales únicas A1, A2, … , An, B1, B2, …, Bn tales que:
ncbxax
xP
xQ
xP
)(
)(
)(
)(2
nnn
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
xQ
xP
)()()(
)(222
222
11
PROBLEMAS: Resolver mediante el método de
desarrollo de fracciones parciales los siguientes problemas:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
dxx
xx
3
2
)1(
42dx
xx
x
3)12(
16
dxx
x 22
2
)4(dx
xx
xx
23
2 134
dxx
xx
2
24
)1(
43 222 )4(xx
dx
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